量子力学考博中用到的物理公式(复习时总结的)

初等量子力学的四块容

一、薛氏方程

C1：波函数与薛氏方程 1、付氏变换：（动量→坐标为正）

/332

1()()(2)i p r r p e d p ψψπ+∞

⋅-∞

=

⎰

2、δ函数的两个重要极限及一个积分公式

1()2i x x e d αδαπ∞

-∞

=

⎰

（相当于物理中的波粒转换）

其推导过程：

000()

0()()()1

()()2i x x f x f x x x dx

f x dx

d f x

e αδαπ

∞

-∞

∞

∞

--∞

-∞

=-=

⎰

⎰

⎰两式比较得出。

2

4()lim i i x

x e

πααδ-=（试题1.5用到）

2

4

i i e d ξπ

ξ∞

-∞

=⎰

（好像与某个积分是一样的，只是有些变换）

3、证明技巧

等式一边含有V ，而一边没有。2

22V m

⇒-∇+肯定是作为一个整体消去的。

4、波函数平方可积的要求

2

3(3/2)

,()s d r A r r r ψψ-+=⇒→∞⎰

全

（0s >） 可以在证明某些概率守恒的式子时（体积分→面积分

V

S

AdV A ds ∇⋅=⋅⎰⎰）

，可以得到一些式子的积分为0。

5、(,0)

(,)x x t ψψ→

先将(,0)x ψ展为能量本征态的线性组合（自由粒子时即可以通过付氏化为()p ψ），再

/

(,)()iEt E n x t C x e ψψ-=∑。

C2：一维势场中的粒子 1、各种势类型

方势、δ势、谐振子、半壁无限谐振子（谐振子奇数解）、半壁无限方势、不对称方势阱。 2、()

()((),())n n n n n

x C x C x x ψϕϕψ=⇒=∑。*()()n n C x x dx ϕψ=⎰（注

意积分围）

22

11222

2

222

1122H C E C E H C E C E =+=+

3、无限深势阱的解

)()0

n n x x a πψ=⎩

。222

2

2n n E ma π=（能量可通过22222P E m m -∇==求得）

4、谐振子的解

22

12

()(!)()n x n n x n e

H x αψ

α-=⋅其中α=。

5、递推关系

12()2()2()0n n n H x xH x nH x ----=

1()2()n n H x nH x -'=

()(1)()n n n x x ψψ-=-（所以对于半壁无限高的谐振子只有奇数才可以满足）

C5：中心力场 1、径向波函数

()()R r r r χ=

2

2(1)()[(())]()02l l l l r E V r r r

χχμ+''⇒+--=

0r →时，若有20

lim ()0r r V r →=，则()

l l R r r 。

2、无限深球方势阱

○

1S 态（0l =），其与无限深方势阱一样。 ○20l ≠时，令kr ρ= 则本征方程

2

2

2(1)()()[]()00()0l l l l l l R r R r k R r r a

r r R a boundry condition

+⎧'''++-=≤≤⎪⎨

⎪=-⎩

转化为球Bessel 方程。()

()l l R r j kr ，从()0l j ka =导出能量本征值。

3、三维各向同性谐振子（合流超几何函数）

3()22

N r E N N n l ω

=+=+

简并度：1

(1)(2)2

n f N N =

++，若计及电子自旋时，则2⨯。 F-H 定理：对l 求导，可得出21

r

，对ω

求导，可得出2r 。

球坐标↔直角坐标

0111000110100100010000

1ψψψ-⎡⎤--Φ⎡⎤⎡⎤

⎢⎥⎢⎥⎢

⎥=-Φ⎢

⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥Φ⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣

⎦

（相当于在三、四象限）

4、氢原子（合流超几何函数）

22

1

12N r e E n n l a n =-

=++，其中2

2

a e

μ=

（Bohr 半径）。

简并度：2n f n =，若计及电子自旋时，则2⨯。 F-H 定理：对l 求导，可得出

21r

。位力定理可得出类氢原子

1

r

，2p ，在计算过程要注意电荷量Z 。

基氢波函数：1/100

31()r a

e a

ψπ-=。 5、圆轨道（0,1r

n n l ==+）

最概然半径：20,1()0n d

r dr

χ-≡0/0,1()Zr na n n r Cr e χ--⇒=。20/n r n a Z =。

6、二维不对称谐振子