平面曲线平移伸缩变换的技巧
函数像的平移与伸缩
函数像的平移与伸缩函数的平移和伸缩是数学中常见的概念，它们描述了函数图像在平面上以及在坐标轴上的变化。
通过对函数进行平移和伸缩的操作，我们可以改变函数的位置和形状，从而得到不同的函数。
一、函数的平移函数的平移是指将函数图像沿着坐标轴的某个方向移动一定的距离。
具体来说，对于一般的函数y = f(x)来说，将x坐标加上一个常数h，y坐标加上一个常数k，就可以将函数图像平移至(x+h, y+k)的位置。
1. 向右平移：将函数图像整体向右移动，可以通过将x坐标加上一个正数来实现。
例如，对于y = f(x)来说，如果将x坐标加上h，那么新函数的表达式可以写为y = f(x-h)。
2. 向左平移：将函数图像整体向左移动，可以通过将x坐标加上一个负数来实现。
例如，对于y = f(x)来说，如果将x坐标加上-h，那么新函数的表达式可以写为y = f(x+h)。
3. 向上平移：将函数图像整体向上移动，可以通过将y坐标加上一个正数来实现。
例如，对于y = f(x)来说，如果将y坐标加上k，那么新函数的表达式可以写为y = f(x) + k。
4. 向下平移：将函数图像整体向下移动，可以通过将y坐标加上一个负数来实现。
例如，对于y = f(x)来说，如果将y坐标加上-k，那么新函数的表达式可以写为y = f(x) - k。
二、函数的伸缩函数的伸缩是指改变函数图像的形状和大小，通常通过对函数的自变量和因变量进行伸缩系数的操作来实现。
1. 水平伸缩：水平伸缩是指改变函数图像在x轴方向上的形状。
通过改变自变量x的伸缩系数a的值，可以实现水平伸缩。
如果0 < a < 1，表示将函数图像在x轴方向上收缩；如果a > 1，表示将函数图像在x轴方向上拉伸。
具体而言，对于y = f(x)来说，将x乘以a，新函数的表达式可以写为y = f(ax)。
2. 垂直伸缩：垂直伸缩是指改变函数图像在y轴方向上的形状。
通过改变因变量y的伸缩系数b的值，可以实现垂直伸缩。
三种图象变换：平移变换、对称变换和伸缩变换
三种图象变换：平移变换、对称变换和伸缩变换①平移变换：(h>0)Ⅰ、水平平移：函数()y f x a =+的图像可以把函数()y f x =的图像沿x 轴方向向左(0)a >或向右(0)a <平移||a 个单位即可得到；1）y=f(x)h 左移→y=f(x+h)；2）y=f(x) h 右移→y=f(x -h)；Ⅱ、竖直平移：函数()y f x a =+的图像可以把函数()y f x =的图像沿x 轴方向向上(0)a >或向下(0)a <平移||a 个单位即可得到；1）y=f(x) h 上移→y=f(x)+h ；2）y=f(x) h下移→y=f(x)-h 。
②对称变换：Ⅰ、函数()y f x =-的图像可以将函数()y f x =的图像关于y 轴对称即可得到； y=f(x) 轴y →y=f(-x)Ⅱ、函数()y f x =-的图像可以将函数()y f x =的图像关于x 轴对称即可得到；y=f(x) 轴x →y= -f(x)Ⅲ、函数()y f x =--的图像可以将函数()y f x =的图像关于原点对称即可得到；y=f(x) 原点→y= -f(-x)Ⅳ、函数)(y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像关于直线y x =对称得到。
y=f(x) x y =→直线x=f(y)Ⅴ、函数)2(x a f y -=的图像可以将函数()y f x =的图像关于直线a x =对称即可得到；y=f(x) a x =→直线y=f(2a -x)。
③翻折变换：Ⅰ、函数|()|y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像的x 轴下方部分沿x 轴翻折到x 轴上方，去掉原x 轴下方部分，并保留()y f x =的x 轴上方部分即可得到；Ⅱ、函数(||)y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像右边沿y 轴翻折到y 轴左边替代原y 轴左边部分并保留()y f x =在y 轴右边部分即可得到④伸缩变换：Ⅰ、函数()y af x =(0)a >的图像可以将函数()y f x =的图像中的每一点横坐标不变纵坐标伸长(1)a >或压缩（01a <<）为原来的a 倍得到；y=f(x)ay ⨯→y=af(x)Ⅱ、函数()y f ax =(0)a >的图像可以将函数()y f x =的图像中的每一点纵坐标不变横坐标压缩(1)a >或伸长（01a <<）为原来的1a倍得到。
函数图像伸缩变换规律
函数图像伸缩变换规律
1.水平伸缩：y=f（ωx）（ω>0）的图象，可由y＝f（x）的图象上每点的横坐标伸长（0<ω<1）或缩短（ω＞1）到原来的倍（纵坐标不变）得到。
2.垂直伸缩：y＝Af（x）（A＞0）的图象，可由y＝f （x）的图象上每点的纵坐标伸长（A＞1）或缩短（0＜A＜1）到原来的A倍（横坐标不变）得到。
什么是函数图像
在数学中，函数f的图形（或图象）指的是所有有序对（x，f （x））组成的集合。
具体而言，如果x为实数，则函数图形在平面直角坐标系上呈现为一条曲线。
如果函数自变量x为两个实数组成的有序对（x1，x2），则图形就是所有三重序（x1，x2，f（x1，x2））组成的集合，呈现为曲面。
图像变换规律
图像有三大变换规律，分别有平移变换和对称变换以及伸缩变换，它是显示函数变化、化繁为简的重要解题方法。
1.平移变换，平移变换又分为两种，一是左右平移变换，而是上下平移变换。
2.对称变换，当y=f（x）是奇函数时，它的图像则关于原点对称，当y=f（x）为偶函数时，它的图象则关于y轴对称。
3.伸缩变换法，它是把图象上的所有点的纵坐标改变成原来的A 倍从而得到的。
函数与方程的平移与伸缩变换问题
函数与方程的平移与伸缩变换问题在数学中，函数与方程的平移与伸缩变换是一个常见的问题。
通过对函数或方程进行平移与伸缩，我们可以改变其图像在坐标平面上的位置和形状。
本文将详细介绍函数与方程的平移与伸缩变换问题，并讨论其应用。
一、平移变换平移变换是指在坐标平面上将函数或方程的图像沿着x轴或y轴方向移动的变换。
平移变换可以通过在原函数或方程中添加或减去一个常数来实现。
具体而言，对于函数y = f(x)，进行x轴方向的平移变换可以表示为y = f(x - a)，其中a为平移的距离。
同样地，进行y轴方向的平移变换可以表示为y = f(x) + b，其中b为平移的距离。
平移变换的应用非常广泛。
例如，在物理学中，我们可以通过平移变换来描述物体在空间中的位置变化。
在经济学中，平移变换可以用来描述价格的上涨或下跌等现象。
二、伸缩变换伸缩变换是指对函数或方程的图像进行放大或缩小的变换。
伸缩变换可以通过在原函数或方程中乘以或除以一个常数来实现。
具体而言，对于函数y = f(x)，进行x轴方向的伸缩变换可以表示为y = k * f(x)，其中k为伸缩的比例系数。
同样地，进行y轴方向的伸缩变换可以表示为y = f(k * x)，其中k为伸缩的比例系数。
伸缩变换也具有广泛的应用。
例如，在地图绘制中，我们可以通过伸缩变换来调整地图的比例尺。
在金融领域中，伸缩变换可以用来描述股票价格的涨跌幅度。
三、平移与伸缩的组合变换除了单独应用平移变换或伸缩变换外，我们还可以将它们进行组合，以实现更复杂的变换效果。
具体而言，对于函数y = f(x)，进行x轴方向的平移与伸缩变换可以表示为y = k * f(x - a)，其中k为伸缩的比例系数，a为平移的距离。
同样地，进行y轴方向的平移与伸缩变换可以表示为y = k * f(x) + b，其中k为伸缩的比例系数，b为平移的距离。
平移与伸缩的组合变换在数学建模、工程设计和计算机图形学等领域中有着广泛的应用。
空间几何的平移与伸缩运算
空间几何的平移与伸缩运算在空间几何中，平移和伸缩是两种常见的运算方式。
通过平移和伸缩操作，我们可以改变图形的位置和大小，从而得到新的图形。
本文将详细介绍空间几何的平移与伸缩运算，并探讨其应用。
一、平移运算平移是指将一个图形沿着指定的方向移动一定的距离，而不改变其形状和大小。
在空间几何中，平移运算可以用向量来表示。
设平移向量为a，图形为A，则平移运算可以表示为A' = A + a，其中A'为平移后的图形。
平移运算可以应用于直线、面和立体图形。
对于直线，我们可以通过平移操作将其沿着平行于直线的方向移动任意距离，从而得到新的直线。
对于面和立体图形，我们可以将其上的所有点都按照相同的方向和距离进行平移，从而得到新的面或立体图形。
平移运算在实际生活中有广泛的应用。
例如，在建筑设计中，设计师可能需要将建筑物沿着某个方向平移一定距离，以适应具体的场地要求。
此外，在计算机图形学中，平移运算也被广泛应用于图形的显示和处理。
二、伸缩运算伸缩是指改变一个图形的大小，同时保持其形状不变。
在空间几何中，伸缩运算可以用比例因子来表示。
设伸缩比例因子为k，图形为A，则伸缩运算可以表示为A' = k * A，其中A'为伸缩后的图形。
伸缩运算可以应用于直线、面和立体图形。
对于直线，我们可以通过伸缩操作改变其长度，从而得到新的直线。
对于面和立体图形，我们可以将其上的所有点都按照相同的比例进行伸缩，从而得到新的面或立体图形。
伸缩运算也在实际生活中有广泛的应用。
例如，在地图绘制中，绘图师可能需要将地图上的所有要素按照一定的比例进行放大或缩小，以适应具体的纸张大小。
此外，在工程设计中，伸缩运算也常常被用于工件的放大或缩小。
三、平移与伸缩的组合运算除了单独应用平移或伸缩运算外，我们还可以将两种运算进行组合，得到更为复杂的变换效果。
例如，我们可以先对图形进行平移，然后再对平移后的图形进行伸缩。
组合运算可以通过矩阵乘法来表示。
函数伸缩变换的规律
函数伸缩变换的规律函数伸缩变换是数学中一个重要的概念，它描述了函数图像在平面上的变形过程。
在函数伸缩变换中，函数的图像可以被拉伸、压缩、翻转或平移等操作，从而改变函数的形状和位置。
本文将详细介绍函数伸缩变换的规律，并通过具体的例子来说明这些规律。
一、基本定义在函数伸缩变换中，基本的函数形式是y = f(x)，其中x和y分别表示函数的自变量和因变量。
函数伸缩变换可以通过对函数的自变量和因变量进行一系列操作来实现。
具体来说，这些操作包括拉伸、压缩、翻转和平移等。
二、拉伸和压缩拉伸和压缩是函数伸缩变换中最常见的操作。
当函数的自变量或因变量被乘以一个常数时，函数的图像会相应地在水平或垂直方向上拉伸或压缩。
例如，对于函数y = f(x)，如果将x乘以一个常数k，那么函数的图像会在x轴方向上被拉伸或压缩。
同样地，如果将y 乘以一个常数k，那么函数的图像会在y轴方向上被拉伸或压缩。
三、翻转翻转是函数伸缩变换中另一种常见的操作。
当函数的自变量或因变量取相反数时，函数的图像会相应地在水平或垂直方向上翻转。
例如，对于函数y = f(x)，如果将x取相反数，那么函数的图像会在y轴上翻转。
同样地，如果将y取相反数，那么函数的图像会在x轴上翻转。
四、平移平移是函数伸缩变换中最常用的操作之一。
当函数的自变量或因变量加上一个常数时，函数的图像会相应地在水平或垂直方向上平移。
例如，对于函数y = f(x)，如果将x加上一个常数h，那么函数的图像会在x轴方向上平移h个单位。
同样地，如果将y加上一个常数k，那么函数的图像会在y轴方向上平移k个单位。
五、示例分析为了更好地理解函数伸缩变换的规律，我们来看几个具体的例子。
例1：考虑函数y = x^2，这是一个二次函数的图像。
如果将x乘以2，那么函数的图像会在x轴方向上被拉伸；如果将y乘以2，那么函数的图像会在y轴方向上被拉伸。
例2：考虑函数y = sin(x)，这是一个正弦函数的图像。
高考数学中的伸缩变换解析技巧
高考数学中的伸缩变换解析技巧高考数学中，伸缩变换是一个重要的概念，它是指将一个图形在平面内沿着某个方向进行拉伸或缩小，从而得到一个新的图形。
这个过程中，图形的大小、形状、方位等都可能发生变化，因此掌握伸缩变换的解析技巧对于高考考生来说非常重要。
一、伸缩变换的基本概念伸缩变换是一种几何变换，它通过对平面内的图形进行拉伸或缩小，使得原来的图形变成一个新的图形。
在伸缩变换中，存在一个伸缩因子k，它表示所进行的拉伸或缩小的比例，当k>1时表示拉伸，当0<k<1时表示缩小，k为负数时表示拉伸或缩小的同时进行翻折。
二、伸缩变换的解析表示伸缩变换的解析表示可以通过向量进行求解。
对于一个平面内的点P（x，y），经过伸缩变换之后，它的坐标变成了（kx，ky），其中k为伸缩因子，设伸缩变换的中心点为O（a，b），则向量OP变成了向量OP'，且OP' = k·OP那么根据向量的加减法，得到向量OP'的解析式为：OP' = (kx-a， ky-b)三、伸缩变换下图形的性质伸缩变换会改变原图形的大小和形状，但是有些图形经过伸缩变换之后仍然保持不变，这些图形称为伸缩不变图形。
其中，直线段、线段比值、角度、正方形、圆、它们的交、并等都是伸缩不变图形。
在伸缩变换的时候，我们有时需要保持某些点不动，这些点被称为不动点。
经过伸缩变换之后，不动点的坐标不变，而其他的点都随着伸缩因子的改变而发生了变化。
四、伸缩变换在高考中的应用伸缩变换经常被用来解决几何问题，例如解决一些三角形的相似性质、以及求解待定系数等问题。
例如，在解决三角形相似问题的时候，我们可以通过将一个三角形进行伸缩变换，使得变换后的三角形与另一个三角形具有相同的形状，并且满足相似性质，则可以通过将两个三角形的边长比值相等，得到方程组，进而求得所有的未知量。
此外，在求解待定系数的问题中，我们可以通过伸缩变换将函数图像进行缩放，然后通过变换前后的函数图像来解决方程组，从而求出待定系数的值。
函数的平移伸缩与翻转变换
函数的平移伸缩与翻转变换函数的平移、伸缩与翻转变换是数学中常见的概念，可以用来描述函数图像在坐标平面上的变化。
在数学和物理等领域中，函数的变换是解决问题和求解方程的重要工具。
本文将介绍函数的平移、伸缩与翻转变换的定义、原理和常见应用。
一、平移变换函数的平移变换是指将函数的图像沿着坐标轴平行移动的操作。
平移变换可以使函数图像向左、向右、向上或向下平移。
1. 向左平移：函数图像沿x轴的负方向移动。
设原函数为f(x)，向左平移a个单位后的新函数为f(x + a)。
2. 向右平移：函数图像沿x轴的正方向移动。
设原函数为f(x)，向右平移a个单位后的新函数为f(x - a)。
3. 向上平移：函数图像沿y轴的正方向移动。
设原函数为f(x)，向上平移b个单位后的新函数为f(x) + b。
4. 向下平移：函数图像沿y轴的负方向移动。
设原函数为f(x)，向下平移b个单位后的新函数为f(x) - b。
二、伸缩变换函数的伸缩变换是指对函数图像进行扩大或收缩的操作。
伸缩变换可以使函数图像在x轴和y轴方向上发生变化。
1. 水平伸缩：函数图像在x轴方向上进行横向拉伸或压缩。
设原函数为f(x)，横向拉伸k倍后的新函数为f(kx)。
2. 纵向伸缩：函数图像在y轴方向上进行纵向拉伸或压缩。
设原函数为f(x)，纵向拉伸k倍后的新函数为k * f(x)。
3. 水平压缩：函数图像在x轴方向上进行横向压缩。
设原函数为f(x)，横向压缩k倍后的新函数为f(x/k)。
4. 纵向压缩：函数图像在y轴方向上进行纵向压缩。
设原函数为f(x)，纵向压缩k倍后的新函数为f(x) / k。
三、翻转变换函数的翻转变换是指通过轴对称来改变函数图像的位置。
翻转变换可以使函数图像关于x轴或y轴对称。
1. 关于x轴对称：函数图像沿x轴翻转。
设原函数为f(x)，关于x 轴对称后的新函数为-f(x)。
2. 关于y轴对称：函数图像沿y轴翻转。
设原函数为f(x)，关于y 轴对称后的新函数为f(-x)。
高中数学函数图象的4种简单变换知识点总结(平移、对称、翻折、伸缩)
高中数学函数图象的简单变换知识点总结 高中阶段，函数图象的简单变换有：平移变换、对称变换、翻折变换、伸缩变换。
一、函数图象的平移变换①左右平移变换：()y f x =与()y f x a =+()()00a a a a y f x y f x a ><=−−−−−−−−−−−→=+时，向左平移个单位时，向右平移个单位 如：1y x =+的图象可由y x =的图象向右平移一个单位得到； 1y x =-的图象可由y x =的图象向下平移一个单位得到。
②上下平移变换()()00a a a a y f x y f x a ><=−−−−−−−−−−−→=+时，向上平移个单位时，向下平移个单位 如：1y x =+的图象可由y x =的图象向上平移一个单位得到。
1y x =-的图象可由y x =的图象向下平移一个单位得到。
【注】变换的口诀为：“上加下减，左加右减”。
二、函数图象的对称变换①()()y y f x y f x =−−−−−−−−−→=-作关于轴对称的图象②()()x y f x y f x =−−−−−−−−−→=-作关于轴对称的图象 ③()()y f x y f x =−−−−−−−−−→=--作关于原点对称的图象 如：（i ）()sin sin y x y x ϕ=→=+①0ϕ>时，把sin y x =的图象向左平移ϕ个单位得到； ②0ϕ<时，把sin y x =的图象向右平移ϕ个单位得到；（ii ）已知()2f x x x =-，则()()2g x f x x x =-=+的图象可由()2f x x x =- 的图象做关于y 轴对称的图象得到；函数()h x ()2f x x x =-=-+的图象可由 ()2f x x x =-的图象作关于x 轴对称后的图象得到；函数()()u x f x =--= 2x x --的图象可由()2f x x x =-的图象做关于坐标系原点对称的图象得到。
函数图像的变换规律
函数图像的变换规律函数图像的变换是数学中的重要概念，它描述了函数在坐标平面上的图像如何发生移动、伸缩和翻转等变化。
这些变换规律不仅在数学中有广泛应用，也在物理、经济等其他领域有着重要的意义。
本文将从平移、伸缩和翻转三个方面介绍函数图像的变换规律，并通过实例加以说明。
一、平移变换平移变换是指函数图像在坐标平面上沿着横轴或纵轴方向移动的操作。
对于一般的函数y=f(x)，如果将x坐标增加或减少一个常数a，那么对应的函数图像将向左平移a个单位；类似地，如果将y坐标增加或减少一个常数b，函数图像将向上或向下平移b个单位。
例如，考虑函数y=x^2的图像。
如果将x坐标增加2个单位，那么函数图像将向左平移2个单位；如果将y坐标减少3个单位，函数图像将向下平移3个单位。
这种平移变换可以用以下公式描述：平移后的函数图像：y=f(x-a)或y-a=f(x)二、伸缩变换伸缩变换是指函数图像在坐标平面上沿着横轴或纵轴方向发生扩张或压缩的操作。
对于一般的函数y=f(x)，如果将x坐标乘以一个常数m，那么对应的函数图像将在横轴方向上缩放为原来的1/m倍；类似地，如果将y坐标乘以一个常数n，函数图像将在纵轴方向上缩放为原来的1/n倍。
例如，考虑函数y=sin(x)的图像。
如果将x坐标乘以2，那么函数图像在横轴方向上缩放为原来的1/2倍；如果将y坐标乘以3，函数图像在纵轴方向上扩张为原来的3倍。
这种伸缩变换可以用以下公式描述：伸缩后的函数图像：y=f(mx)或y=1/n*f(x)三、翻转变换翻转变换是指函数图像在坐标平面上关于某一直线对称的操作。
对于一般的函数y=f(x)，如果将x关于直线x=a进行对称，那么对应的函数图像将在直线x=a处翻转；类似地，如果将y关于直线y=b进行对称，函数图像将在直线y=b处翻转。
例如，考虑函数y=1/x的图像。
如果将x关于直线x=1进行对称，那么函数图像将在直线x=1处翻转；如果将y关于直线y=2进行对称，函数图像将在直线y=2处翻转。
平面曲线平移伸缩变换的技巧.
平面内曲线平移伸缩变换的技巧江苏省靖江高级中学 蔡正伟在高中教材中，平移变换是在向量中提出来的，而伸缩变化是在三角函数介绍的，因为有了初中的“左加右减，上加下减”的结论，在教学过程中，很多同学往往会简单的套用这个结论，导致得到和正确答案完全相反的结论，笔者在近几年教学中，总结了一套简单且容易操作的处理方法，供同学们学习时参考。
曲线平移和放缩都可以依据以下结论处理：所有的平移和放缩都是x ，y 在变，且变化的规律与习惯相反。
一、平移规律中的“习惯”就是在坐标平面内特征，即左右平移是x 在变化，且向左变小，向右变大；上下平移是y 在变，且向下变小，向上变大。
下面举例说明。
例1 将函数)(x f y =的图象向左平移2个单位，向上平移1个单位。
求平移后的函数解析式。
解：向左平移2个单位，“习惯”是越左越小，而变化的结果将原来解析式中的x 变成2+x ；向上平移1个单位，“习惯”是越上越大，而变化的结果是将原来解析式中的y 变成1-y 。
所以平移后的函数解析式是)2(1+=-x f y 。
例2 求)43sin(21π+=x y 向右平移3π个单位，向下平移2个单位后的得到的函数解析式。
解：依据以上规律，就是将原来的解析式中的x 变成3π-x ，y 变成1+y ， 所以平移后的函数解析式是⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=+4)3(3sin 211ππx y ， 化简后得1)433sin(21--=πx y 。
例1也可以用“左加右减，上加下减”来处理，但如果不能从本质上弄清问题，就会出现错误，如例2还是套用“左加右减，上加下减”来处理，得到的结论就可能是14)3(3sin 211-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=+ππx y 。
二、放缩课本在三角函数这一章中给出了放缩的规律，笔者发现这个规律可以和平移规律整合在一起。
具体的规律是：纵坐标不变横坐标变为原来的ω倍就是将原来解析式中的x 变成ωx ；横坐标不变纵坐标变为原来的A 倍就是将原来解析式中的y 变成Ay 。
函数图像的伸缩变换规则
函数图像的伸缩变换规则
一、伸缩变换规则
伸缩变换是一种函数图像变换，它可以改变函数图像的大小，但不改变其形状。
伸缩变换的规则如下：
1. 平移变换：平移变换是指将函数图像在坐标轴上向某一方向移动，而不改变其形状。
2. 缩放变换：缩放变换是指将函数图像在坐标轴上按比例缩放，而不改变其形状。
3. 旋转变换：旋转变换是指将函数图像在坐标轴上按某一角度旋转，而不改变其形状。
4. 对称变换：对称变换是指将函数图像在坐标轴上按某一对称轴对称，而不改变其形状。
二、伸缩变换的具体操作
1. 平移变换：平移变换的具体操作是，将函数图像在坐标轴上向某一方向移动，其具体操作步骤如下：
（1）确定函数图像的平移方向；
（2）确定函数图像的平移距离；
（3）将函数图像按照确定的平移方向和平移距离进行平移变换。
2. 缩放变换：缩放变换的具体操作是，将函数图像在坐标轴上按比例缩放，其具体操作步骤如下：
（1）确定函数图像的缩放比例；
（2）将函数图像按照确定的缩放比例进行缩放变换。
3. 旋转变换：旋转变换的具体操作是，将函数图像在坐标轴上按某一角度旋转，其具体操作步骤如下：
（1）确定函数图像的旋转角度；
（2）将函数图像按照确定的旋转角度进行旋转变换。
4. 对称变换：对称变换的具体操作是，将函数图像在坐标轴上按某一对称轴对称，其具体操作步骤如下：
（1）确定函数图像的对称轴；
（2）将函数图像按照确定的对称轴进行对称变换。
函数图像的平移 伸缩与翻转技巧
函数图像的平移伸缩与翻转技巧函数图像的平移、伸缩与翻转技巧函数图像的平移、伸缩与翻转是数学中常见的变换操作。
通过这些操作，我们可以改变函数图像的位置、形状和方向，从而更好地理解和分析函数的特点。
本文将介绍函数图像平移、伸缩与翻转的基本概念和相关技巧。
一、函数图像的平移函数图像的平移是指将整个函数图像沿横轴或纵轴方向上移动一定的距离。
平移分为水平平移和垂直平移两种。
1. 水平平移：函数图像沿横轴方向平移当给定函数f(x)时，若改变x的取值范围，即f(x+a)，其中a为常数，可以实现函数图像在横轴方向上平移。
平移的距离和方向由a的正负决定。
当a>0时，函数图像向左平移；当a<0时，函数图像向右平移。
例如，若f(x) = x^2，若将x的取值范围改为x+a，即f(x+a) =(x+a)^2，函数图像将向左平移a个单位。
2. 垂直平移：函数图像沿纵轴方向平移当给定函数f(x)时，若改变f(x)整体的值，即f(x)+a，其中a为常数，可以实现函数图像在纵轴方向上平移。
平移的距离和方向由a的正负决定。
当a>0时，函数图像向上平移；当a<0时，函数图像向下平移。
例如，若f(x) = x^2，若将f(x)整体的值改为f(x)+a，即f(x)+a =x^2+a，函数图像将向上平移a个单位。
二、函数图像的伸缩函数图像的伸缩是指将整个函数图像在横轴或纵轴方向上拉长或收缩。
伸缩分为水平伸缩和垂直伸缩两种。
1. 水平伸缩：函数图像在横轴方向上的伸缩当给定函数f(x)时，若改变x的取值范围，即f(kx)，其中k为常数，可以实现函数图像在横轴方向上的伸缩。
伸缩的程度由k的绝对值决定。
当0<k<1时，函数图像横轴方向上收缩；当k>1时，函数图像横轴方向上拉长。
例如，若f(x) = x^2，若将x的取值范围改为kx，即f(kx) = (kx)^2，函数图像将在横轴方向上收缩。
2. 垂直伸缩：函数图像在纵轴方向上的伸缩当给定函数f(x)时，若改变f(x)的值，即kf(x)，其中k为常数，可以实现函数图像在纵轴方向上的伸缩。
“平移”与“伸缩”_谁先谁后
图象变换的顺序寻根一、图象变换的四种类型从函数y = f (x )到函数y = A f (ϕ+ωx )+m ，其间经过4种变换：1.纵向平移 —— m 变换2.纵向伸缩 —— A 变换3.横向平移 ——ϕ 变换4.横向伸缩 ——ω 变换一般说来，这4种变换谁先谁后都没关系，都能达到目标，只是在不同的变换顺序中，“变换量”可不尽相同，解题的“风险性”也不一样.以下以y = sin x 到y = A sin (ϕ+ωx )+m 为例，讨论4种变换的顺序问题.【例1】 函数)42sin(31)(π-+==x x f y 的图象可由y = sin x 的图象经过怎样的平移和伸缩变换而得到？【解法1】 第1步，横向平移：将y = sin x 向右平移4π，得 )4sin(π-=x y 第2步，横向伸缩： 将)4sin(π-=x y 的横坐标缩短21倍，得 )42sin(π-=x y 第3步：纵向伸缩： 将)42sin(π-=x y 的纵坐标扩大3倍，得 )42sin(3π-=x y第4步：纵向平移：将)42sin(3π-=x y 向上平移1，得 )42sin(31π-+=x y【解法2】 第1步，横向伸缩：将y = sin x 的横坐标缩短21倍，得 y = sin 2x 第2步，横向平移：将y = sin 2x 向右平移8π，得 )42sin(π-=x y 第3步，纵向平移： 将)42sin(π-=x y 向上平移31，得 )42sin(31π-+=x y 第4步，纵向伸缩：将)42sin(31π-+=x y 的纵坐标扩大3倍，得 )42sin(31π-+=x y【说明】 解法1的“变换量”（如右移4π）与参数值（4π）对应，而解法2中有的变换量（如右移8π）与参数值（4π）不对应，因此解法1的“可靠性”大，而解法2的“风险性”大.【质疑】 对以上变换，提出如下疑问：（1）在两种不同的变换顺序中，为什么“伸缩量”不变，而“平移量”有变？（2）在横向平移和纵向平移中，为什么它们增减方向相反——如当ϕ<0时对应右移（增方向），而m < 0时对应下移（减方向）？（3）在横向伸缩和纵向伸缩中，为什么它们的缩扩方向相反——如|ω| > 1时对应着“缩”，而| A | >1时，对应着“扩”？【答疑】 对于（2），（3）两道疑问的回答是：这是因为在函数表达式y = A f (ϕ+ωx )+m 中x 和y 的地位在形式上“不平等”所至. 如果把函数式变为方程式A '(y+m ') = f (ϕ+ωx )，则x 、y 在形式上就“地位平等”了.如将例1中的)42sin(31π-+=x y 变成)42sin()1(31π-=-x y 它们的变换“方向”就“统一”了.对于疑问（1）：在不同的变换顺序中，为什么“伸缩量不变”，而“平移量有变”？这是因为在“一次”替代：x →ϕ+ωx 中，平移是对x 进行的.故先平移（x →ϕ+x ）对后伸缩（→ϕ+ωx ）没有影响；但先收缩（x →x ω）对后平移（→ωϕ+ω=ϕ+ωx x )(）却存在着“平移”相关. 这就是为什么（在例1的解法2中）后平移40π=ωϕ=ϕ时，有8240π=π=ωϕ=ϕ的原因.【说明】 为了使得4种变换量与4个参数（A ，ω，ϕ，m ）对应，降低“解题风险”，在由sin x 变到A sin (ϕ+ωx ) (ω> 0) 的途中，采用如下顺序：（1）横向平移：x →ϕ+x（2）横向伸缩：x +ϕ→ϕ+ωx（3）纵向伸缩：sin (ϕ+ωx ) → A sin (ϕ+ωx )（4）纵向平移：A sin (ϕ+ωx ) → A sin (ϕ+ωx ) + m这正是例1中解法1的顺序.二、正向变换与逆向变换如果把由sin x 到A sin (ϕ+ωx )+m 的变换称作正向变换，那么反过来，由A sin (ϕ+ωx )+m 到sin x 变换则称逆向变换.显然，逆向变换的“顺序”是正向变换的“逆”.因为正向变换的一般顺序是：（1）横向平移，（2）横向伸缩，（3）纵向伸缩，（4）纵向平移.所以逆向变换的一般顺序则是：（1）纵向平移，（2）纵向伸缩，（3）横向伸缩，（4）横向平移.如将函数y = 2sin (2－3π) +1的图像下移1个单位得y =2sin (2x －3π)，再将纵坐标缩小一半得y= sin(2 x －3π),再将横坐标扩大2倍得y= sin(x －3π),最后将图象左移3π得函数y= sin x. 【例2】 将y = f (x )·cos x 的图象向右平移4π, 再向上平移1, 所得的函数为y =2sin 2 x . 试求f (x )的表达式.【分析】 这是图象变换的逆变换问题：已知函数的变换结果，求“原函数”. 我们考虑将“正向变换”的过程倒逆回去而得“逆向变换”的顺序.【解析】 将y = 2sin 2 x 下移1个单位（与正向变换上移1个单位相反），得 y = 2sin 2 x －1，再将 2sin 2x －1左移4π（与正向变换右移4π相反） 得 x x x x x y cos sin 22sin )4(2cos 1)4(sin 22==⎥⎦⎤⎢⎣⎡π+-=-π+= 令 f (x )·cos x = 2sin x cos x 得 f (x ) = 2sin x【说明】由此得原函数为y =f (x )cos x =2 sin x cos x =sin2x . 正向变换为sin 2x →2sin 2x ,其逆变换为2sin 2x →sin2x .因为2sin 2x =1+sin(2 x －2π),所以下移1个单位得sin(2 x －2π),左移4π得sin2x.三、翻折变换 使ω> 0平移变换x →ϕ+x 是“对x 而言”，由于x 过于简单而易被忽略.强调一下，这里x 的系数是+1. 千万不要误以为)4sin(π+-x 是由sin(- x )左移4π而得. 其实，x 或y 的系数变 -1，也对应着两种不同的图象变换：由x → - x 对应着关于y 轴的对称变换,即沿y 轴的翻折变换；由f (x ) → - f (x )对应着关于x 轴的对称变换,即沿x 轴的翻折变换.【例3】 求函数)43sin(2π+-=x y 的单调减区间. 【分析】 先变换 -3x →3x,即沿y 轴的翻折变换.【解析1】 )43sin(2)43sin(2)(π--=π+-==x x x f y ，转化为求g(x )=sin(3x －4π)的增区间 令 2π-≤43π-x ≤2π ⇒12π-≤ x ≤4π（f (x )减区间主解） 又函数的f (x )周期为32π，故函数f (x )减区间的通解为 1232π-πk ≤ x ≤ 432π+πk【解析2】 )43sin(2)43sin(2π--=π+-=x x y 的减区间为 22π-πk ≤43π-x ≤22π+πk 即是 1232π-πk ≤ x ≤ 432π+πk【说明】从图象变换的角度看问题,比较解析1和解析2可知,求f (x )的减区间,实际上分两步进行:(1)先求得f (x )减区间的主解12π-≤ x ≤4π (2)再利用主解进行横向平移(32π的整数倍)即得f (x )减区间的通解.【思考】 本解先将ω“正数化”，使ω>0是本解成功的关键. 否则，如果去解不等式组 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧π+π≤π+-π+π≥π+-k x k x 223432243 将会使你陷入歧途，不防试试！。
平面直角坐标系中的伸缩变换
x y
' '
x y
( 0) ( 0)
的作用下，点P(x,y)对应 P' (x', y') 称 为平面直角坐
标系中的伸缩变换。
注 : （1）λ>0,μ>0
（2）把图形看成点的运动轨迹，平面图形的伸缩 变换可以用坐标伸缩变换得到；
（3）在伸缩变换下，平面直角坐标系不变，在同 一直角坐标系下进行伸缩变换。
坐标伸长变换
8
6
4 2
- 10
-5 -2 -4
5
10
-6
-8
设P( x, y)是平面直角坐标系中的任意一点，保持
横坐标x不变，将纵坐标y伸长为原来的3倍，得到
点P '
(
x'
,
y'
),那么{
x' x y' 3 y
(2)
我们把(2)式叫做平面直角坐标系中的一个坐标
伸长变换。
（3）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=3sin2x? 写 出其坐标变换
平面直角坐标系的伸缩变换
定义：设点P( x, y)是平面直角坐标系中的
任意一点，在变换
φ：{ yx
λ μ
x( y(
λ μ
0) 0)
的作用下，点P( x, y)对到应点P( x, y)，称 为
平面直角坐标系中的坐 标伸缩变换简称伸缩变 换
定义：设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，在变
换
:
压缩变换。
(2)怎样由正弦曲线y sin x得到曲线y 3sin x?
如图，在正弦曲线 y sin x上任取一点P( x, y), 保持横坐标x不变，将纵坐标 y伸长原来的3倍， 那么正弦曲线y sin x就变成曲线y 3sin x
平移旋转和缩放几何中的变换操作
平移旋转和缩放几何中的变换操作在数学中，平移、旋转和缩放是几何中常见的变换操作。
这些变换不仅在纸上的图形绘制中有着广泛的应用，也在计算机图形学、工程设计等领域扮演着重要的角色。
本文将详细介绍平移、旋转和缩放这三种几何变换操作的概念、原理以及应用。
一、平移变换平移变换是指在平面上将一个图形的每一个点按照指定的方向和距离进行移动的操作。
它可以通过将每个点的坐标分别增加或减少指定的水平和垂直位移来实现。
平移变换可以改变图形在平面上的位置，但不会改变其大小和形状。
在二维几何中，平移变换可以用以下的矩阵表示：```[ x' ] [ 1 0 tx ] [ x ][ y' ] = [ 0 1 ty ] * [ y ][ 1 ] [ 0 0 1 ] [ 1 ]```其中 (x, y) 是原始点的坐标，(x', y') 是平移后点的坐标，(tx, ty) 是平移的水平和垂直距离。
平移变换的应用广泛，例如在图形设计中，可以通过平移变换将一个图形复制到另一个位置，从而实现对称、重复等效果。
二、旋转变换旋转变换是指将一个图形按照指定的中心点和角度绕着中心点进行旋转的操作。
旋转变换可以改变图形的方向和角度，但不会改变其大小和形状。
在二维几何中，旋转变换可以用以下的矩阵表示：```[ x' ] [ cosθ -sinθ 0 ] [ x ][ y' ] = [ sinθ cosθ 0 ] * [ y ][ 1 ] [ 0 0 1 ] [ 1 ]```其中 (x, y) 是原始点的坐标，(x', y') 是旋转后点的坐标，θ 是旋转的角度。
旋转变换在计算机图形学、机器人学等领域有着广泛的应用。
例如在计算机游戏中，可以通过旋转变换实现角色的转动、立体图形的展示等效果。
三、缩放变换缩放变换是指将一个图形按照指定的中心点和比例因子在水平和垂直方向进行放大或缩小的操作。
缩放变换可以改变图形的大小，但不会改变其形状和方向。
平移与伸缩的性质和计算
平移与伸缩的性质和计算平移（Translation）和伸缩（Scaling）是数学中常见的几何变换操作，它们在不同领域中有着广泛的应用。
本文将详细介绍平移和伸缩的性质以及计算方法。
一、平移的性质和计算方法平移是指在平面上将图形沿着某个方向按照一定距离移动的操作。
平移的性质有以下几点：1. 平移保持图形的大小和形状不变，只改变了图形的位置。
2. 平移是可逆的，即可以通过逆向平移将图形移回原位。
平移的计算方法如下：设要将点A(x, y)平移(dx, dy)得到点A'，则有以下计算公式：A'的横坐标为：x' = x + dxA'的纵坐标为：y' = y + dy二、伸缩的性质和计算方法伸缩是指在平面上按照一定比例改变图形的大小的操作。
伸缩的性质有以下几点：1. 伸缩可以同时改变图形的大小和形状。
2. 伸缩可以分为放缩和缩放两种操作，放缩是按照比例因子大于1进行伸缩，缩放是按照比例因子小于1进行伸缩。
3. 伸缩是可逆的，即可以通过逆向伸缩将图形还原。
伸缩的计算方法如下：设要将点A(x, y)按照比例因子k进行伸缩得到点A'，则有以下计算公式：A'的横坐标为：x' = k * xA'的纵坐标为：y' = k * y三、平移与伸缩的组合使用平移和伸缩可以组合使用，实现更加复杂的几何变换。
具体操作如下：1. 先将图形进行伸缩操作，得到伸缩后的图形。
2. 再对伸缩后的图形进行平移操作，得到最终的结果。
这里需要注意的是，在组合使用平移和伸缩时，先进行伸缩操作再进行平移操作，否则结果会产生偏差。
四、案例分析为了更好地理解平移和伸缩的性质和计算方法，我们来看一个案例分析。
假设有一个矩形ABCD，其中A(2,3)，B(6,3)，C(6,5)，D(2,5)。
我们要对这个矩形进行平移和伸缩操作，具体如下：1. 平移操作：将矩形ABCD沿x轴正方向平移3个单位，y轴正方向平移2个单位。
函数像的平移与伸缩
函数像的平移与伸缩函数图像的平移和伸缩是数学中常见的操作，它们可以改变函数的位置和形状，对于数学学习和实际问题求解具有重要作用。
本文将介绍函数图像的平移和伸缩的概念、方法以及应用，并通过具体例子进行讲解。
一、函数图像的平移函数图像的平移是指将函数的图像在平面上沿着横轴或纵轴方向上进行移动，从而改变函数的位置而不改变形状。
平移可以向左或向右进行，也可以向上或向下进行。
1. 沿横轴平移沿横轴向左平移a个单位，可以通过将函数中的自变量x替换为x-a来实现。
具体而言，对于一元函数f(x)，平移后的函数可以表示为f(x-a)。
同理，沿横轴向右平移a个单位，则可以表示为f(x+a)。
2. 沿纵轴平移沿纵轴向上平移b个单位，可以通过将函数中的因变量y替换为y-b来实现。
具体而言，对于一元函数f(x)，平移后的函数可以表示为f(x)-b。
同理，沿纵轴向下平移b个单位，则可以表示为f(x)+b。
通过平移操作，函数的图像可以在平面上向左、向右、向上或向下移动，从而实现对函数位置的调整。
二、函数图像的伸缩函数图像的伸缩是指将函数的图像在平面上按照一定的比例进行拉伸或压缩，从而改变函数的形状而不改变位置。
伸缩可以分为水平方向的伸缩和垂直方向的伸缩。
1. 水平方向的伸缩将函数图像在横轴的方向上进行拉伸或压缩，可以通过改变函数中的自变量x的系数来实现。
具体而言，对于一元函数f(x)，水平方向上的伸缩可以表示为f(kx)，其中k为正实数。
当k>1时，图像会被水平拉伸；当0<k<1时，图像会被水平压缩。
2. 垂直方向的伸缩将函数图像在纵轴的方向上进行拉伸或压缩，可以通过改变函数中的因变量y的系数来实现。
具体而言，对于一元函数f(x)，垂直方向上的伸缩可以表示为kf(x)，其中k为正实数。
当k>1时，图像会被垂直拉伸；当0<k<1时，图像会被垂直压缩。
通过伸缩操作，函数的图像可以在水平方向和垂直方向上按比例进行拉伸或压缩，从而实现对函数形状的调整。
平移及伸缩旋转变换
x
o
2
a-2 (2,2)
y (x 2)2 2
第2页，本讲稿共18页
一、平y移概念
a P(x,y) a F oa
a
P’ (x’,y’)
设F是坐标平面内的一个图形,
将F上所有点按照同一方向,
F’
移动同一长度，得到图形 x F’.称这一过程是图形的平
移.
(1)平移所遵循的“长度”和“方向”正是向量的 两个本质特征，因此，从向量的角度看，一个平 移就是一个向量.(这个向量就是平移向量)
第5页，本讲稿共18页
例题讲解
例 1. 把(-2，1)按a=（3,2) 平移，求对应点 A
的坐标 (x, y).
2. 点M（8,-10）,按 平a 移后的对应点 的
M
坐标为（-7，4）求 a.
解（1）由平移公式得
x 231 y 123
即对应点 A 的坐标（1，3）.
（2）由平移公式得
7 8 h 4 10 k
平移后函数的解析式为: y x2
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练习 ：
5.说明方程
4 x 2 9y2 1x 6 1y8 1表 1 示0什
么曲线。
6把函y数 1 2的图象 a按 (3,2)平移 , x3
求平移后函数 . 的解析式
第11页，本讲稿共18页
四.极坐标系中的旋转变换
设F是坐标平面内的一个图形,将F上所有点绕 着某一定点，按照同一方向（常取逆时针方向 为正）转动同样角度，得到图形F’.称这一过程是 图形的旋转.
(3)能利用平移公式求平移前后函数解析式及
平移向量.
第16页，本讲稿共18页
goodbye!
第17页，本讲稿共18页
文档：平面曲线平移伸缩变换的技巧
平面内曲线平移伸缩变换的技巧在高中教材中，平移变换是在向量中提出来的，而伸缩变化是在三角函数介绍的，因为有了初中的“左加右减，上加下减”的结论，在教学过程中，很多同学往往会简单的套用这个结论，导致得到和正确答案完全相反的结论，笔者在近几年教学中，总结了一套简单且容易操作的处理方法，供同学们学习时参考。
曲线平移和放缩都可以依据以下结论处理：所有的平移和放缩都是x ，y 在变，且变化的规律与习惯相反。
一、平移规律中的“习惯”就是在坐标平面内特征，即左右平移是x 在变化，且向左变小，向右变大；上下平移是y 在变，且向下变小，向上变大。
下面举例说明。
例1 将函数)(x f y =的图象向左平移2个单位，向上平移1个单位。
求平移后的函数解析式。
解：向左平移2个单位，“习惯”是越左越小，而变化的结果将原来解析式中的x 变成；向上平移1个单位，“习惯”是越上越大，而变化的结果是将原来解析式中的y 变成。
所以平移后的函数解析式是)2(1+=-x f y 。
例2 求)43sin(21π+=x y 向右平移3π个单位，向下平移2个单位后的得到的函数解析式。
解：依据以上规律，就是将原来的解析式中的x 变成3π-x ，y 变成， 所以平移后的函数解析式是⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=+4)3(3sin 211ππx y ， 化简后得1)433sin(21--=πx y 。
例1也可以用“左加右减，上加下减”来处理，但如果不能从本质上弄清问题，就会出现错误，如例2还是套用“左加右减，上加下减”来处理，得到的结论就可能是14)3(3sin 211-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=+ππx y 。
二、放缩课本在三角函数这一章中给出了放缩的规律，笔者发现这个规律可以和平移规律整合在一起。
具体的规律是：纵坐标不变横坐标变为原来的ω倍就是将原来解析式中的x 变成ωx ；横坐标不变纵坐标变为原来的A 倍就是将原来解析式中的y 变成Ay 。
例 3 （2000年理科全国卷）x y sin =经过怎样的平移和伸缩得到1cos sin 23cos 212++=x x y 。
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平面内曲线平移伸缩变换的技巧
江苏省靖江高级中学 蔡正伟
在高中教材中，平移变换是在向量中提出来的，而伸缩变化是在三角函数介绍的，因为有了初中的“左加右减，上加下减”的结论，在教学过程中，很多同学往往会简单的套用这个结论，导致得到和正确答案完全相反的结论，笔者在近几年教学中，总结了一套简单且容易操作的处理方法，供同学们学习时参考。
曲线平移和放缩都可以依据以下结论处理：所有的平移和放缩都是x ，y 在变，且变化的规律与习惯相反。
一、平移
规律中的“习惯”就是在坐标平面内特征，即左右平移是x 在变化，且向左变小，向右变大；上下平移是y 在变，且向下变小，向上变大。
下面举例说明。
例1 将函数)(x f y =的图象向左平移2个单位，向上平移1个单位。
求平移后的函数解析式。
解：向左平移2个单位，“习惯”是越左越小，而变化的结果将原来解析式中的x 变成2+x ；向上平移1个单位，“习惯”是越上越大，而变化的结果是将原来解析式中的y 变成1-y 。
所以平移后的函数解析式是)2(1+=-x f y 。
例2 求)4
3sin(2
1π
+
=x y 向右平移
3
π
个单位，向下平移2个单位后的得到的函数
解析式。
解：依据以上规律，就是将原来的解析式中的x 变成3
π
-
x ，y 变成1+y ，
所以平移后的函数解析式是⎥⎦⎤⎢⎣
⎡
+-=
+4)3(3sin 21
1ππx y ， 化简后得1)4
33sin(2
1--=πx y 。
例1也可以用“左加右减，上加下减”来处理，但如果不能从本质上弄清问题，就会出现错误，如例2还是套用“左加右减，上加下减”来处理，得到的结论就可能是
14)3(3sin 21
1-⎥⎦⎤⎢⎣
⎡
+-=
+ππx y 。
二、放缩
课本在三角函数这一章中给出了放缩的规律，笔者发现这个规律可以和平移规律整合在一起。
具体的规律是：纵坐标不变横坐标变为原来的ω倍就是将原来解析式中的x 变成ω
x
；
横坐标不变纵坐标变为原来的A 倍就是将原来解析式中的y 变成
A
y 。
例 3 （2000年理科全国卷）x y s i n =经过怎样的平移和伸缩得到
1c o s s i n 2
3c o s 2
12
++
=x x y 。
解：4
5)6
2sin(2
11cos sin 2
3cos
2
12
+
+
=
++
=
π
x x x x y 。
（变化一）
4
5)6
2sin(2
1)6
2sin(2
12sin 2
1sin 21sin )
4()
3()
2()
1(+
+
=
−→
−+
=
−→−=
−→−=−→−=π
π
x y x y x y x y x y
（1）y 变成了2y ，故横坐标不变，纵坐标变为原来的21； （2）x 变成了2x ，故纵坐标不变，横坐标变为原来的2
1；
（3）x 变成了12
x x +
，故将图象右移
12
π
个单位，需要将)6
2sin(2
1π
+
=
x y 写成
)12
(2sin 2
1π
+
=
x y ；
（4）y 变成了4
5-y ，故将图象上移
4
5个单位。
变换一和变换二的差别就先放缩后平移还是平移后放缩，变换一的第（3）步比较容易错，如果理解“都是x 、y 在变，变化规律与习惯相反”的规律后，每一步只需抓住变的实质，就可以轻松处理类似问题。
另外，这个结论对于平面内的曲线平移都是适用的。
有兴趣的读者不防一试。