蔡氏电路混沌演化研究
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式(1.3-2)一般可以表示为：
(1.3-2)
i (uc1 ) mo uc1 ( m1 m0 )( uc1 E ) uc1 E ) /2
(1.3-3)
这样就可以得到如图 1.3-2 所示的非线性电阻 RN 伏安特性曲线。整个曲线为折线型，转折点处可 能会出现电路状态的变化。
1
表 2.1-1 蔡氏电路仿真软件特点对比一览表 软件名称 Protel Pspice EWB VewSystem Matlab VB VC 功能原理图 最好 好 好 好 很好 无 无 电路原理图 最好 好 好 好 无 无 无 波形图 好 好 好 好 很好 编程技巧 编程技巧 相图 无 好 很好 很好 很好 编程技巧 编程技巧 频谱图 好 很好 很好 很好 编程 编程 编程 管理界面 无 无 无 无 编程 编程技巧 编程技巧
1 简单蔡氏电路设计及模型分析
1.1 蔡氏电路的提出
蔡氏电路是一个典型的混沌电路，最早由著名华裔科学家、美国加州大学蔡少堂教授设计。他证明 了在满足以下条件时能够产生混沌现象： (1) 非线性元件不少于1 个； (2) 线性有效电阻不少于1 个； (3) 储能元件不少于3 个。 根据以上条件，在图1.1-1中给出蔡氏电路方框图。图中R为线性有效电阻，L、C1、C2为储能元件， RN为非线性元件。
A( , , b)( X K ), X D1 X A( , , a ) X , X D0 A( , , b)( X K ), X D 1
其中:
源自文库
(1.4-6)
(c 1) A( , , c) 1 1 0
(注：在子空间 D0 中 c
(1.3-1)
VC1 E ( VD VB ) VC1 E VC1 E
D1 截止， D2 导通 D1 ， D2 截止 D1 导通， D2 截止
i 1 R 2 VC1 R5 R1R3 i R m1 2 VC1 R1R3 i 1 R m2 2 m0 VC1 R4 R1R3 m0
式中 h 为根据要求选择的合适步长。四阶龙格-库塔算法的公式每一步计算需四次调用 f 的函数值， 计算量较大，但精确度较高。 (2.2-3)
2.3 仿真结果分析
采用 MATLAB 对方程进行求解，积分步长取 h=0.01,采用长整型 long 型数据。仿真中固定以下参 数：
C1 10nF , C 2 100nF , L 18mH , E 1.85V , m0 0.408 10 3 , m1 0.757 10 3 在范围 0~3k 改变线性电阻 R 阻值，得到随着电阻的减小，电路的混沌演化可归纳出经历如下四
个过程：稳定态，周期态，混沌态，负阻尼振荡态（各态间存在过渡态） 。
2.3.1 稳定态
当 R>2285 时，方程的解趋近于初始值所在的子空间的平衡点。对应于电路中，电路初始经历一 段阻尼振荡，最终停在一个稳定态。此时电路等效电容为零，在相图上，轨线趋近于一稳定焦点如图所 示。
图 2.3.1-1 R>2285 时，电路处于稳定态相图
0 1 0
a ，子空间 D1 和 D1 中 c b 。电路的平衡点在外部区为 P+,P-,在内部区为 0。根据前
面电路的参数可以求得： , 分别为 10,16。)
由此得出三个子空间中的平衡点都是鞍点。到目前为止，还不知道系统是否会出现混沌现象，还需 要进一步判断。Lyapunov 是指数判断系统混沌现象的最常见方法，它能够定量地描述动力系统在相空 间中相邻轨道的发散程度。若动力系统在一定区域内的第一个 Lyapunov 指数 1 >0，则动力系统在这个 区域上出现混沌现象，并且对于初值是敏感的。
1.3 简单蔡氏电路设计及电路模型
下面我们按图 1.1-1，设计一种简单蔡氏电路如图 1.3-1，电路元件参数见表 1.3-1。电路中非线性电 阻采用一个运算放大器 LM741，两个二极管 LN4148 和七个电阻组成。为了观察混沌现象的演化过程， 线性电阻 R 采用可变电阻，调节范围 0-3k。
图 1.3-1 简单蔡氏电路结构图：(a)电路框架图；(b)非线性电阻 RN 等效电路图。 表 1.3-1 电路元件具体参数 元件 参数
(注：式中微分都是相对变量 )
这样，式(1.4-1)可以化为：
x2 1 . 0 x3
.
x1
.
1
0 x1 f ( x1 ) 1 x2 0 x3 0
(1.4-2)
令 X= ( x1 , x 2 , x3 ) 考虑到平衡态 X=0，即：
T
x1 f ( x1 ) 0 x2 0 x x 0 3 1
y n1 y n h ( K1 2 K 2 2 K 3 K 4 ) / 6 K1 f ( xn , y n ) K 2 f ( xn h / 2, y n K1 h / 2) K 3 f ( xn h / 2, y n K 2 h / 2)
其中 uc1 为电容 C1 两端的电压， uc 2 为电容 C2 两端的电压， iL 为电感 L 的电流。
(1.3-4)
1. 4 简单蔡氏电路数学模型及其分析 2 取 x1 = uc1 ，x2 = uc 2 ，x3 = iL R ， iL R C2 ，a=m1R，b=m0R, C2 C1 , R C2 L ,其中 x1 ，
1 >0,蔡氏电路的运动处于混沌状态。
在平衡点处的局部区域内计算以上蔡氏电路的第一个 Lyapunov 指数，可以得到： 1 3.83 ，可见
2 基于 MATLAB 的蔡氏电路仿真及结果分析
2.1 仿真软件选择
对于蔡氏电路仿真软件一般用 EWB， Pspice，Matlab，VB 等等[20]。软件选择很多，但都不完美， 表 2.1-1 列出了一些软件在蔡氏电路仿真方面的应用情况。
注： VD 为二极管导通电压， VC1 为电容 C1 两端的电压
这样，电流 i 对于电压 uC1 的函数可以表示为：
m 0 u c 1 E ( m 1 m 0 ), u c 1 E i (V C 1 ) m 1 u c 1 , u c 1 E m u E ( m m ), u E 1 0 c1 0 c1
2.3.2 周期态 当 2265 <R<2285 时，方程的解趋近于维数大于零的吸引子中。对应于电路中，经过一段暂态
后，电路进行周期和概周期振荡，R 的极小变化就会使周期发散为概周期。在相空间中，轨线趋近于一 个稳定的空间极限环或稳定环面 （分别对应于周期振荡和概周期振荡） ， 如图 2. 2 .3 给出了振荡的相图。
P (k , o,k ) D1 0 (0,0,0) D0 P (k ,0, k ) D1
T
(其中: k
(b a ) E ) (b 1)
(1.4-5)
在三个子空间中，式(3.4-2)为线性方程。令 K ( k ,0, k ) ， (1.4-2)可改写为:
根据 f(x1)的不同形式，在 R3 的三个子空间：
(1.4-3)
2
D1 ( x1 , x 2 , x3 ), x1 E
D 2 ( x1 , x 2 , x3 ), x1 E
(1.4-4)
D3 ( x1 , x 2 , x3 ), x1 E
式中有唯一的平衡点，分别是：
r
20
C1
10nF
C2
100nF
L
18mH
R1
3.3k
R2 R3
22 k
R4 = R6
2.2k
R5 = R7
220
VC VE
1.85V
下面分析非线性电阻的伏安特性。非线性电阻中的运算放大器LM741工作在线性放大区域中,由它 及和其相连的电阻组成线性负阻,运放本身并没有产生非线性。 非线性的产生是通过调节电阻R 的阻值， 改变二极管 D1 和 D2 的状态来改变 uc1 的大小实现的。 当二极管 D1 和 D2 都截止时，AB 两点的电压为：
图 1.3-2 非线性电阻 RN 伏安特性曲线
这样，这个简单的蔡氏电路的电路模型就列出来了：
c duc1 (u u ) / R i (u ) c2 c1 R c1 dt 1 duc 2 (uc1 u c 2 ) / R iL c2 dt L diL uc 2 riL dt
蔡氏电路的混沌演化
摘要：本文简要介绍了混沌及其特征，产生的机理和条件，并从理论分析与 MATLAB 仿真两个角度 分别研究了简单蔡氏电路混沌现象演化过程。研究结果表明，蔡氏电路中元件参数影响电路混沌状态 的演化，随着线性电阻阻值的减小电路状态大致经历：稳定态，周期态，混沌态，负阻尼振荡态。 关键词：蔡氏电路；混沌演化； MATLAB 仿真
VA VE R4 ( R4 R6 ) VB VC R5 ( R5 R7 )
下面将调节电阻 R，实现对二极管 D1 和 D2 状态与非线性电阻输出端状态列表 1.3-2。
表 1.3-2 电阻 R，对二极管 D1 和 D2 状态与非线性电阻输出端状态控制表 条件 二极管 D1 和 D2 状态 非线性电阻输出端状态
图 1.1-1 蔡氏电路方框图
1.2 蔡氏电路的特点
蔡氏电路中的非线性元件可用多种方法实现，电路的主要特点也与 RN 有关。蔡氏电路的运动形电 压控制非线性元件 RN 的驱动点特征应符合至少有两个不稳定平衡点的要求。因此，蔡氏电路至少是三 阶以上的自洽电路。 因元件参数值的不同而有本质的不同， 可以把电路元件参数值看作控制参数而使蔡氏电路工作在不 同的状态。现以图 1.1-1 为例，假设非线性元件为蔡氏二极管，L、C1、C2 为线性储能元件，说明电路 的状态与电路元件参数的关系。假设以线性电阻 R 为控制参量， R 将线性元件 C 2 、L 连接在 C1、RN 两端，蔡氏二极管是放能元件，只有 R 是耗能元件。不断地改变电阻 R 的数值，可以得到各种周期相 图和吸引子。
x2 ，x3 为系统状态变量，自变量为 为时间，x1，x2，x3 分别对 求导，可以得到电路的数学模型：
1 ( x2 x1 f ( x1 )) x 2 x1 x2 x3 x x 3 x2
其中:
(1.4-1)
bx1 (a b) E , x1 E f(x1) = ax1 , | x1 | E bx1 (a b) E , x1 E
3
综合以上数据及个人能力，我们选择了 MATLAB。
2.2 仿真算法
式 (1.4-1)是非线性微分方程组，需要用数值方法求解。一般地，四阶龙格-库塔算法[21]是求解这类 方程的基本算法，其算法思想如下： 基于 Taylor 级数展开的方法，利用 f 在某些点处函数值的线性组合构造差分方程，从而避免高阶导 数的计算。 按微分中值定理： y ( xi 1 ) y ( xi ) h y ( xi h),0 1 (2.2-1) 利用微分方程 y ( x) f ( x, y ( x)) ，得到
y ( xi 1 ) y ( xi ) hf ( xi h, y ( xi h))
(这里 K
* *
(2.2-2)
f ( xi h, y ( xi h)) 称作区间 xi , xi 1 上的平均斜率)
因此只要对平均斜率 K 提供一种算法， 便可以得到一个微分方程的数值计算公式。 如果 xi , xi 1 在 上多预置几个点的斜率值， 然后将它们的加权平均作为近似值， 则就可以构造出高精度的数值计算公式。 四阶龙格-库塔算法的计算公式就是按照这一思路推导出来的，它有多种形式，其标准的数学描述如下：
(1.3-2)
i (uc1 ) mo uc1 ( m1 m0 )( uc1 E ) uc1 E ) /2
(1.3-3)
这样就可以得到如图 1.3-2 所示的非线性电阻 RN 伏安特性曲线。整个曲线为折线型，转折点处可 能会出现电路状态的变化。
1
表 2.1-1 蔡氏电路仿真软件特点对比一览表 软件名称 Protel Pspice EWB VewSystem Matlab VB VC 功能原理图 最好 好 好 好 很好 无 无 电路原理图 最好 好 好 好 无 无 无 波形图 好 好 好 好 很好 编程技巧 编程技巧 相图 无 好 很好 很好 很好 编程技巧 编程技巧 频谱图 好 很好 很好 很好 编程 编程 编程 管理界面 无 无 无 无 编程 编程技巧 编程技巧
1 简单蔡氏电路设计及模型分析
1.1 蔡氏电路的提出
蔡氏电路是一个典型的混沌电路，最早由著名华裔科学家、美国加州大学蔡少堂教授设计。他证明 了在满足以下条件时能够产生混沌现象： (1) 非线性元件不少于1 个； (2) 线性有效电阻不少于1 个； (3) 储能元件不少于3 个。 根据以上条件，在图1.1-1中给出蔡氏电路方框图。图中R为线性有效电阻，L、C1、C2为储能元件， RN为非线性元件。
A( , , b)( X K ), X D1 X A( , , a ) X , X D0 A( , , b)( X K ), X D 1
其中:
源自文库
(1.4-6)
(c 1) A( , , c) 1 1 0
(注：在子空间 D0 中 c
(1.3-1)
VC1 E ( VD VB ) VC1 E VC1 E
D1 截止， D2 导通 D1 ， D2 截止 D1 导通， D2 截止
i 1 R 2 VC1 R5 R1R3 i R m1 2 VC1 R1R3 i 1 R m2 2 m0 VC1 R4 R1R3 m0
式中 h 为根据要求选择的合适步长。四阶龙格-库塔算法的公式每一步计算需四次调用 f 的函数值， 计算量较大，但精确度较高。 (2.2-3)
2.3 仿真结果分析
采用 MATLAB 对方程进行求解，积分步长取 h=0.01,采用长整型 long 型数据。仿真中固定以下参 数：
C1 10nF , C 2 100nF , L 18mH , E 1.85V , m0 0.408 10 3 , m1 0.757 10 3 在范围 0~3k 改变线性电阻 R 阻值，得到随着电阻的减小，电路的混沌演化可归纳出经历如下四
个过程：稳定态，周期态，混沌态，负阻尼振荡态（各态间存在过渡态） 。
2.3.1 稳定态
当 R>2285 时，方程的解趋近于初始值所在的子空间的平衡点。对应于电路中，电路初始经历一 段阻尼振荡，最终停在一个稳定态。此时电路等效电容为零，在相图上，轨线趋近于一稳定焦点如图所 示。
图 2.3.1-1 R>2285 时，电路处于稳定态相图
0 1 0
a ，子空间 D1 和 D1 中 c b 。电路的平衡点在外部区为 P+,P-,在内部区为 0。根据前
面电路的参数可以求得： , 分别为 10,16。)
由此得出三个子空间中的平衡点都是鞍点。到目前为止，还不知道系统是否会出现混沌现象，还需 要进一步判断。Lyapunov 是指数判断系统混沌现象的最常见方法，它能够定量地描述动力系统在相空 间中相邻轨道的发散程度。若动力系统在一定区域内的第一个 Lyapunov 指数 1 >0，则动力系统在这个 区域上出现混沌现象，并且对于初值是敏感的。
1.3 简单蔡氏电路设计及电路模型
下面我们按图 1.1-1，设计一种简单蔡氏电路如图 1.3-1，电路元件参数见表 1.3-1。电路中非线性电 阻采用一个运算放大器 LM741，两个二极管 LN4148 和七个电阻组成。为了观察混沌现象的演化过程， 线性电阻 R 采用可变电阻，调节范围 0-3k。
图 1.3-1 简单蔡氏电路结构图：(a)电路框架图；(b)非线性电阻 RN 等效电路图。 表 1.3-1 电路元件具体参数 元件 参数
(注：式中微分都是相对变量 )
这样，式(1.4-1)可以化为：
x2 1 . 0 x3
.
x1
.
1
0 x1 f ( x1 ) 1 x2 0 x3 0
(1.4-2)
令 X= ( x1 , x 2 , x3 ) 考虑到平衡态 X=0，即：
T
x1 f ( x1 ) 0 x2 0 x x 0 3 1
y n1 y n h ( K1 2 K 2 2 K 3 K 4 ) / 6 K1 f ( xn , y n ) K 2 f ( xn h / 2, y n K1 h / 2) K 3 f ( xn h / 2, y n K 2 h / 2)
其中 uc1 为电容 C1 两端的电压， uc 2 为电容 C2 两端的电压， iL 为电感 L 的电流。
(1.3-4)
1. 4 简单蔡氏电路数学模型及其分析 2 取 x1 = uc1 ，x2 = uc 2 ，x3 = iL R ， iL R C2 ，a=m1R，b=m0R, C2 C1 , R C2 L ,其中 x1 ，
1 >0,蔡氏电路的运动处于混沌状态。
在平衡点处的局部区域内计算以上蔡氏电路的第一个 Lyapunov 指数，可以得到： 1 3.83 ，可见
2 基于 MATLAB 的蔡氏电路仿真及结果分析
2.1 仿真软件选择
对于蔡氏电路仿真软件一般用 EWB， Pspice，Matlab，VB 等等[20]。软件选择很多，但都不完美， 表 2.1-1 列出了一些软件在蔡氏电路仿真方面的应用情况。
注： VD 为二极管导通电压， VC1 为电容 C1 两端的电压
这样，电流 i 对于电压 uC1 的函数可以表示为：
m 0 u c 1 E ( m 1 m 0 ), u c 1 E i (V C 1 ) m 1 u c 1 , u c 1 E m u E ( m m ), u E 1 0 c1 0 c1
2.3.2 周期态 当 2265 <R<2285 时，方程的解趋近于维数大于零的吸引子中。对应于电路中，经过一段暂态
后，电路进行周期和概周期振荡，R 的极小变化就会使周期发散为概周期。在相空间中，轨线趋近于一 个稳定的空间极限环或稳定环面 （分别对应于周期振荡和概周期振荡） ， 如图 2. 2 .3 给出了振荡的相图。
P (k , o,k ) D1 0 (0,0,0) D0 P (k ,0, k ) D1
T
(其中: k
(b a ) E ) (b 1)
(1.4-5)
在三个子空间中，式(3.4-2)为线性方程。令 K ( k ,0, k ) ， (1.4-2)可改写为:
根据 f(x1)的不同形式，在 R3 的三个子空间：
(1.4-3)
2
D1 ( x1 , x 2 , x3 ), x1 E
D 2 ( x1 , x 2 , x3 ), x1 E
(1.4-4)
D3 ( x1 , x 2 , x3 ), x1 E
式中有唯一的平衡点，分别是：
r
20
C1
10nF
C2
100nF
L
18mH
R1
3.3k
R2 R3
22 k
R4 = R6
2.2k
R5 = R7
220
VC VE
1.85V
下面分析非线性电阻的伏安特性。非线性电阻中的运算放大器LM741工作在线性放大区域中,由它 及和其相连的电阻组成线性负阻,运放本身并没有产生非线性。 非线性的产生是通过调节电阻R 的阻值， 改变二极管 D1 和 D2 的状态来改变 uc1 的大小实现的。 当二极管 D1 和 D2 都截止时，AB 两点的电压为：
图 1.3-2 非线性电阻 RN 伏安特性曲线
这样，这个简单的蔡氏电路的电路模型就列出来了：
c duc1 (u u ) / R i (u ) c2 c1 R c1 dt 1 duc 2 (uc1 u c 2 ) / R iL c2 dt L diL uc 2 riL dt
蔡氏电路的混沌演化
摘要：本文简要介绍了混沌及其特征，产生的机理和条件，并从理论分析与 MATLAB 仿真两个角度 分别研究了简单蔡氏电路混沌现象演化过程。研究结果表明，蔡氏电路中元件参数影响电路混沌状态 的演化，随着线性电阻阻值的减小电路状态大致经历：稳定态，周期态，混沌态，负阻尼振荡态。 关键词：蔡氏电路；混沌演化； MATLAB 仿真
VA VE R4 ( R4 R6 ) VB VC R5 ( R5 R7 )
下面将调节电阻 R，实现对二极管 D1 和 D2 状态与非线性电阻输出端状态列表 1.3-2。
表 1.3-2 电阻 R，对二极管 D1 和 D2 状态与非线性电阻输出端状态控制表 条件 二极管 D1 和 D2 状态 非线性电阻输出端状态
图 1.1-1 蔡氏电路方框图
1.2 蔡氏电路的特点
蔡氏电路中的非线性元件可用多种方法实现，电路的主要特点也与 RN 有关。蔡氏电路的运动形电 压控制非线性元件 RN 的驱动点特征应符合至少有两个不稳定平衡点的要求。因此，蔡氏电路至少是三 阶以上的自洽电路。 因元件参数值的不同而有本质的不同， 可以把电路元件参数值看作控制参数而使蔡氏电路工作在不 同的状态。现以图 1.1-1 为例，假设非线性元件为蔡氏二极管，L、C1、C2 为线性储能元件，说明电路 的状态与电路元件参数的关系。假设以线性电阻 R 为控制参量， R 将线性元件 C 2 、L 连接在 C1、RN 两端，蔡氏二极管是放能元件，只有 R 是耗能元件。不断地改变电阻 R 的数值，可以得到各种周期相 图和吸引子。
x2 ，x3 为系统状态变量，自变量为 为时间，x1，x2，x3 分别对 求导，可以得到电路的数学模型：
1 ( x2 x1 f ( x1 )) x 2 x1 x2 x3 x x 3 x2
其中:
(1.4-1)
bx1 (a b) E , x1 E f(x1) = ax1 , | x1 | E bx1 (a b) E , x1 E
3
综合以上数据及个人能力，我们选择了 MATLAB。
2.2 仿真算法
式 (1.4-1)是非线性微分方程组，需要用数值方法求解。一般地，四阶龙格-库塔算法[21]是求解这类 方程的基本算法，其算法思想如下： 基于 Taylor 级数展开的方法，利用 f 在某些点处函数值的线性组合构造差分方程，从而避免高阶导 数的计算。 按微分中值定理： y ( xi 1 ) y ( xi ) h y ( xi h),0 1 (2.2-1) 利用微分方程 y ( x) f ( x, y ( x)) ，得到
y ( xi 1 ) y ( xi ) hf ( xi h, y ( xi h))
(这里 K
* *
(2.2-2)
f ( xi h, y ( xi h)) 称作区间 xi , xi 1 上的平均斜率)
因此只要对平均斜率 K 提供一种算法， 便可以得到一个微分方程的数值计算公式。 如果 xi , xi 1 在 上多预置几个点的斜率值， 然后将它们的加权平均作为近似值， 则就可以构造出高精度的数值计算公式。 四阶龙格-库塔算法的计算公式就是按照这一思路推导出来的，它有多种形式，其标准的数学描述如下：