位移法计算题
用位移法计算对称结构的例题
用位移法计算对称结构的例题位移法是一种常用的计算方法，用于求解结构在受到外力作用时的位移和应力分布。
它适用于对称结构的分析，因为对称结构具有一定的几何和物理特征，可以简化计算过程。
我们以一根悬臂梁为例来说明位移法的应用。
悬臂梁是一种常见的结构，它只有一端支撑，另一端悬空。
我们假设悬臂梁的截面为矩形，长度为L，宽度为b，高度为h。
悬臂梁在其自由端受到沿着梁轴方向的力F。
首先，我们需要将悬臂梁的截面划分为若干个小单元，每个小单元的长度为Δx。
我们假设每个小单元的变形与相邻单元的变形相同，且每个小单元的位移为u(x)，其中x表示小单元的位置。
根据位移法的基本原理，我们可以得到悬臂梁的位移方程：du/dx = M(x)/(E*I)其中，du/dx表示位移的二阶导数，M(x)表示在x位置的弯矩，E表示悬臂梁的弹性模量，I表示悬臂梁的截面惯性矩。
根据悬臂梁的几何关系，我们可以得到弯矩M(x)与力F之间的关系：M(x) = F*(L-x)将上述方程代入位移方程，我们可以得到悬臂梁的位移方程：du/dx = F*(L-x)/(E*I)对上述方程进行两次积分，并考虑边界条件u(0) = 0和du/dx(0) = 0，我们可以解得悬臂梁在任意位置x的位移u(x)：u(x) = (F*x*(3L - x))/(6*E*I)通过上述位移方程，我们可以计算出悬臂梁在不同位置的位移。
这对于分析和设计悬臂梁结构的性能和稳定性非常有帮助。
除了计算位移，位移法还可以用于计算对称结构的应力分布。
通过位移方程，我们可以得到应力与位移之间的关系，从而求解出结构中各点的应力值。
综上所述，位移法是一种常用的计算方法，适用于对称结构的分析。
通过解析和计算位移方程，我们可以得到结构在受力作用下的位移和应力分布，为结构的设计和分析提供了重要的理论支持。
位移法对称结构例题
位移法对称结构例题
以下是一个位移法求解对称结构问题的例题：
一个对称的矩形薄板，长为6m，宽为4m，在两端承受均匀分布的压力：P=10kPa。
求矩形薄板的挠曲形状。
解：首先，由于结构是对称的，因此可以将其分为一半进行计算。
假设矩形薄板在x方向上的挠度为u(x)，则在y方向上的挠度为：
y = u(x) + u(-x)
由于压力是均匀分布的，因此可以将其表示为：
P = P0 * x
其中，P0是压力的常量。
根据力学平衡方程，可以得到：
-P0 * x * (u(x) + u(-x)) = -M(x)
其中，M(x)是矩形薄板在x方向的弯矩。
由于压力是均匀分布的，因此可以将其表示为：
M(x) = P0 * x^3 / 12
将上述两个方程联立，可以得到：
-P0 * x * (u(x) + u(-x)) = P0 * x^3 / 12 化简得：
u(x) + u(-x) = -x^2 / 12
将上式代入y的表达式中，可以得到：y = u(x) + u(-x) = -x^2 / 12
因此，矩形薄板的挠曲形状为：
y = -x^2 / 12 （0 <= x <= 6m）。
位移法习题
结构力学-位移法习题1.确定用位移法计算下图所示结构的基本未知量数目，并绘出基本结构。
2.判断题1)位移法基本未知量的个数与结构的超静定次数无关。
（）2)位移法可用于求解静定结构的内力。
（）3)用位移法计算结构由于支座移动引起的内力时，采用与荷载作用时相同的基本结构。
（）4)位移法只能用于求解连续梁和钢梁，不能用于求解桁架。
（）3.已知下图所示钢架的结点B产生转角，试用位移法概念求解所作用外力偶M。
4.若下图所示结构结点B向右产生单位位移，试用位移法概念求解应施加的力。
5.已知钢架的弯矩图如下图所示，各杆常数，杆长，试用位移法概念直接计算结点B的转角。
6.用位移法计算下图所示的连续梁，作弯矩图和剪力图。
EI=常数。
7.用位移法计算下图所示结构，作弯矩图。
常数。
8.用位移法计算下图所示各结构，并作弯矩图。
常数。
9.利用对称性计算下图所示结构，作弯矩图。
常数。
10.下图所示等截面连续梁，，已知支座C下沉，用位移法求作弯矩图。
11.下图所示的刚架支座A下沉，支座B下沉，求结点D的转角。
已知各杆。
12.试用位移法计算下图所示结构，并绘出其内力图。
13.试用位移法计算下图所示结构，并绘出其内力图。
14.试用位移法计算图示结构，并绘出M图。
15.试用位移法计算图示结构，并绘出M图。
16.试利用对称性计算图示刚架，并绘出M图。
6m 6m9ml lq(a)4m 4m4m(b)10kN/m6m6m 6m 6m6m(a)8m 4m 4m 4m 4m20kN/m17. 试计算图示结构在支座位移作用下的弯矩，并绘出M 图。
18. 试用位移法计算下图所示结构，并绘出其内力图。
19. 试用位移法求作下列结构由于温度变化产生的M 图。
已知杆件截面高度h ＝0.4m ，EI ＝2×104kN ·m 2，α＝1×10－5。
20.试计算图示具有牵连位移关系的结构，并绘出M 图。
3EI lA D CB l EI EIϕl Δ=ϕa 2aa 2aaF P6m 4m A B C +20℃0℃ +20℃0℃ 20kN8m 8m 6m 3m A C D EB F G EI 1=∞EI 1=∞ 3EI3EI 3EI EI。
用位移法计算对称结构的例题
用位移法计算对称结构的例题位移法是结构力学中常用的一种计算方法，用于求解对称结构中的内力、位移等参数。
对称结构是指结构中存在对称平面或轴的结构形式，可以简化计算过程，降低计算难度。
以下是位移法计算对称结构的例题及参考内容。
例题：考虑一简支梁，长度为L，截面为矩形，宽度为b，高度为h，质量密度为ρ。
梁位于坐标系的x轴上，原点位于梁的左端。
假设载荷为均匀分布的集中载荷P，作用在梁的中点上。
使用位移法计算该梁的挠度和应力分布。
参考内容：一、计算挠度：1. 假设梁的挠度方程为w(x)。
2. 由于该梁为简支梁，在悬臂和简支的连接处有零位移和零弯矩的边界条件可以得到w(0) = 0和w(L) = 0。
3. 通过对称性可以得到梁的中点弯矩为零，即M(L/2) = 0，以及中点剪力为零，即V(L/2) = 0。
4. 根据力平衡条件可以得到剪力方程V(x) = -P/2。
5. 根据弯矩方程可以得到弯矩方程M(x) = -P/2 * x + C1，其中C1为常数。
6. 代入边界条件和悬臂边界条件可以解得C1 = P * L/8。
7. 根据挠度方程可以得到挠度方程w(x) = -(P/24 * x^3 - P * L/8 * x) / (EI) + C2，其中C2为常数。
8. 代入边界条件可以解得C2 = P * L^3 / (192EI)。
9. 最终挠度方程为w(x) = (P/24 * x^3 - P * L/8 * x) / (EI) + P *L^3 / (192EI)。
二、计算应力分布：1. 由于该梁为纯弯曲梁，所以其应力分布为线性的。
2. 根据弯曲应力公式σ = My/I可以得到梁剖面任意点的弯曲应力。
3. 注意由于结构具有对称性，所以对称位置的弯曲应力相等。
4. 在梁的截面上，对称轴的弯矩为零，即My = 0。
5. 根据矩形截面的惯性矩计算公式可以得到梁的惯性矩I = bh^3/12。
6. 代入公式可以得到对称轴上的弯曲应力为σ = 0。
位移法
基本体系
EI/3
2EI/3
2EI/3
M1 图 Z2=1
4、解方程，求得
28.56 Z1 EI Z 46.7EI/2 22.5 45 45
M2 图
MP图
5、依M=M1X1+ M2X2+ MP绘弯矩图（见上页）
第6章
例题2 试计算图示刚架，绘弯矩图。各杆EI相同。 Z1 Z2
2、剪力：QAB表示AB杆A端的剪力。正负号规定同 “材力”。 P B A QAB0 QBA0
第6章
3、固端弯矩、固端剪力：单跨超静定梁仅由于荷载作 用所产生的杆端弯矩称为固端弯矩，相应的剪力称为固端 剪力。用MfAB、 MfBA、QfAB、QfBA 表示。
三、两端固定梁的转角位移方程
φA P q MAB A φA βAB QAB QBA l t1˚C βAB EI t2˚C φB B ΔAB
令：i
EI 称 为 “ 线 刚 度 ” 、AB 称 为 “ 旋 转 角 ” ， 则 ： l l
f M AB 4i A 2i B 6i AB M AB
第6章
四、一端固定、另一端铰支梁的转角位移方程
φA MAB A φA B' P q βAB t1˚C t2˚C B ΔAB
EI 30 6 Z1 32.02kN m l 8 EI 30 6 M BA 4 Z1 3.46kN m l 8 EI EI M BC 4 Z1 2 Z 2 3.46kN m l l EI EI M CB 2 Z1 4 Z 2 21.63kN m l l EI 10 6 2 M CD 3 Z2 21.63kN m l 8 M DC 0 M AB 2
结构力学 位移法典型方程、计算举例
r21 B r22 CH R2
满足此方程，就消去了施加的2个约束
即，
r11 B r12 CH R1P 0 r21 B r22 CH R2 P 0
4）弯矩图的作法----消去最先附加的刚臂 P R1P R2P + MP图 R2
r
j 1
n
ij
Zj
，为消去该处的约束力，令： R iP
r
j 1
n
ij
Z j =0 即可。写成方程组的形式为：
r11 Z1 r12 Z 2 r1n Z n R1P 0 r Z r Z r Z R 0 21 1 22 2 2n n 2P rn1 Z1 rn 2 Z 2 rnn Z n RnP 0
R1P
R2P
+ +
r11 R A
1
r21R 2A
MP图 +
r12 B
r22 B
或
P
qL2/12
PL/8
4i
2i
q
R1P
R2P
+ A•
r11 8i r21 2i
2i
M 1图
MP图
4i
+
B•
4i r22 11i 2i r12 2i 3i 2i
M 2图
M M P M 1 A M 2 B
叠加右侧2个图，意味着结点B转动 及结点C侧移都发生。
叠加后B处的转角和C处的位移
分别为：B CH 则两处的约 束力必为R1，R2
r12 CH
07-08(2)校内位移法练习题
判断题1. 图a为对称结构，用位移法求解时可取半边结构如图b所示。
（×）2. 图示结构，用位移法求解，有三个结点角位移和二个结点线位移未知数（×）。
ϕ=所施加的弯矩相同。
（×）3. 以下两个单跨梁左端产生15. 用位移法计算图示结构时，独立的基本未知数数目是4 。
（×）6. 图示结构用位移法计算时，其基本未知量的数目为3个（√）。
7. 在位移法典型方程的系数和自由项中，数值范围可为正、负实数的有：（D）A 主系数；B 主系数和副系数；C 主系数和自由项D 负系数和自由项。
8. 用位移法计算超静定结构时考虑了到的条件是：（A）A物理条件、几何条件、和平衡条件；B平衡条件C平衡条件与物理条件D平衡条件与几何条件9. 规定位移法的杆端弯矩正负时，对杆端而言，以顺时针为正，对结点则以逆时针为正，这一规定也适合于杆端剪力的符号规定。
（×）10. 图a对称结构可简化为图（b）来计算。
（×）11. 图示结构用位移法求解时，基本未知量个数是相同的（√）12. 图示结构用位移法求解时，只有一个未知数（√）13. 图示结构横梁无弯曲变形，故其上无弯矩。
（×）14. 图ａ对称结构可简化为图ｂ来计算，EI均为常数。
（×）15. 图示结构用位移法求解的基本未知量数目最少为3。
（√）16. 图示结构EI＝常数，用位移法求解时有一个基本未知量。
（√）。
17. 位移法中固端弯矩是当其基本未知量为零时由外界因数所产生的杆端弯矩（√）18. 位移法的典型方程与力法的典型方程一样，都是变形协调方程。
（×）19. 用位移法可以计算超静定结构，也可以计算静定结构（√）20. 位移法中角位移未知量的数目恒等于刚结点数。
（×）21. 超静定结构中杆端弯矩只取决于杆端位移。
（×）pl EI。
（×）22. 图示结构B点的竖向位移为3/(5)23. 图示结构在荷载作用下结点B处的转角为０。
结构力学(5.1.2)--位移法习题及参考答案
习 题6-1 试确定图示结构位移法基本未知量的个数。
6-2～6-6作图示刚架的M 图。
(a)(f)习题6-1图(d)习题6-2图习题6-5图习题6-3图（BC 杆件为刚性杆件）习题6-4图6-6 试用位移法计算图示结构，并作内力图。
6-7 试用位移法计算图示结构，并作内力图。
6-8 试用位移法计算图示结构，并作内力图。
EI 为常数。
6-9试用位移法计算图示结构，并作弯矩图。
EI 为常数。
6-10 试用位移法计算图示结构，并作弯矩图（提示：结构对称）。
习题6-9图习题6-7图6-11作图示刚架的体系内力图。
6-12 设支座 B 下沉0.5cm B D =，试作图示刚架的M 图。
6-13如图所示连续梁,设支座C 下沉淀1cm ，试作M 图。
6-14图示等截面正方形刚架,内部温度升高+t°C ，杆截面厚度h ,温度膨胀系数为 ，试作M 图。
10 kN/m( a )( b)40 kN习题6-10图BGH习题6-11图（a ）（b ）q6-15试作图示有弹性支座的梁的弯矩图，332EIk l=，EI =常数。
6-16 试用弯矩分配法计算图示连续梁，并作M 图。
6-176-18 用力矩分配法计算图示结构，并作M 图。
6-19 已知图示结构的力矩分配系数1238/13,2/13,3/13,A A A m m m ===作M 图。
6-20 求图示结构的力矩分配系数和固端弯矩。
已知q=20kN/m,各杆EI 相同。
习题6-17图习题6-13图习题6-14图6-21～6-22 用力矩分配法计算图示连续梁，作M 图，并计算支座反力。
EI=常数。
6-23～6-25用力矩分配法计算图示刚架，作M 图。
EI=常数。
参考答案6.1 (a) 2 (b) 1 (c) 2 (d) 3 (e) 6 (f) 26.2 15BD M =kN·m （右侧受拉）20kN/m 40kN习题6-22图习题6-21图15kN/m习题6-23图F P =10kN 习题6-24图习题6-25图6.321112AB M ql =（上侧受拉）6.4P 0.4AD M F l =（上侧受拉）6.5150AC M =kN·m （左侧受拉）6.651.3AB M =kN·m （左侧受拉）6.780AB M =kN·m （上侧受拉）6.816.9AB M =kN·m （左侧受拉）6.9 (a) 10.43CA M =kN·m （左侧受拉） (b) 56.84CE M =kN·m （下侧受拉）6.10 (a) 8.5AB M =kN·m （上侧受拉） (b) 34.3AC M =kN·m （左侧受拉）6.11 (a) 20.794DC M ql =（右侧受拉） (b) 6.14GD M q =（右侧受拉）6.1223.68AC M =kN·m （右侧受拉）6.1359.3310BA M =ￗkN·m （上侧受拉）6.142/M EIt h a =（外侧受拉）6.152/32BA M ql =（下侧受拉）6.1617.5CB M =kN·m （下侧受拉）6.1778.75CD M =kN·m （上侧受拉）6.1827/12AB M ql =（上侧受拉）6.191117.95A M =kN·m （上侧受拉）6.200.34AD m =，13.33AD M =kN·m 6.2142.3BA M =kN·m （上侧受拉）6.2217.35BA M =kN·m （上侧受拉）6.2357.4BA M =kN·m （上侧受拉）6.2428.5BA M =kN·m （上侧受拉）6.2573.8BD M =kN·m （左侧受拉）。
位移法典型方程计算举例
n
n
rijZj ， 为 消 去 该 处 的 约 束 力 ， 令 ： R iP rijZj=0即 可 。 写 成 方 程 组 的 形 式 为 ：
j 1
j 1
r11Z1 r12Z2 r1n Zn R1P 0
r21
Z1
r22Z2
r2n
Zn
R2P
0
rn1Z1 rn2 Z2 rnnZn RnP 0
这就是位移法的典型方程。
R2P +
MP图
r11R1 A
r2R12A
+
rr2111AArr12
2B 2B
R1 R2
r12B r22B
rr2111AArr1222B BR R12PP00 这就是位移法方程，解出θA，θB
5）ri j的求法
2i 4i
r11 8i r212i
2i
M
图
1
4i 4i 2i r12 2i 3ir22 11i
2i
M
图
2
求r11,r12的研究对象
求r21,r22的研究对象
6）弯矩图的作法
qL2/12
q
P R1P
PL/8
R2P
MP图
++
r11R1 A
r2R12A
+
r12B r22B
即 M M P M 1A M 2B
qL2/12
q
P R1P
PL/8
R2P
4i
+ A•
MP图
2i + B•
2i
r11
r21
2i
M
图
1
4i
4i
r12
土木工程力学(本)位移法计算题答案新(往年考题)----
1. 用位移法计算图示刚架，求出系数项及自由项。
EI =常数。
（15分）解：(1)基本未知量这个刚架基本未知量只有一个结点B 的角位移1∆。
(2)基本体系在B 点施加附加刚臂，约束B 点的转动，得到基本体系。
Δ1(3)位移法方程01111=+∆P F k(4)计算系数和自由项令EI i =，作1M 图2=11k 11i作P M 图24由0=∑B M ，得=P F 1m kN ⋅-21⑸解方程组，求出=∆1i1121 2.用位移法计算图示刚架，求出系数项和自由项。
（15分）解：(1)基本未知量这个刚架基本未知量只有一个结点B 的角位移1∆。
(2)基本体系在B 点施加附加刚臂，约束B 点的转动，得到基本体系。
(3)位移法方程01111=+∆P F k(4)计算系数和自由项令lEIi =，作1M 图=12得=11k 12i作P M 图P得=P F 18Pl3用位移法计算图示刚架，求出系数项及自由项。
EI =常数。
（15分）解：(1)基本未知量这个刚架基本未知量只有一个结点B 的角位移1∆。
(2)基本体系在B 点施加附加刚臂，约束B 点的转动，得到基本体系。
(3)位移法方程 01111=+∆P F k(4)计算系数和自由项令lEI i =，作1M 图得=11k8i作PM图得4、用位移法计算图示刚架，求出系数项和自由项。
l l / 2 l / 2解：(1)基本未知量这个刚架基本未知量只有一个结点角位移1∆。
(2)基本体系在刚结点施加附加刚臂，约束B点的转动，得到基本体系。
基本体系(3)位移法方程01111=+∆P F k(4)计算系数和自由项令l EIi =，作1M 图 得=11k 12i 作P M 图 得=P F 18Pl F P F P5、用位移法计算图示刚架，求出系数项及自由项。
EI =常数。
2m2m 4m4m(1)基本未知量这个刚架基本未知量只有一个结点角位移1∆。
(2)基本体系在刚结点施加附加刚臂，约束结点的转动，得到基本体系。
位移法例题
r21=- 24i/l 2
0
6i/l 6i/l
r12= -24i/l 2
r12
Z2=1
-12i/l 2 -12i/l 2 12i/l 2
-12i/l 2 -12i/l 2 r22=48i/l 2 12i/l 2
r22
6i/l
M 2图
FP
说明：水平杆的M图没画，并不是其M=0，而 是EI无穷大的杆能平衡任何弯矩。
R1P FP
R1P=-FP
0 0 0 0 0
FP
R2P FP MP图
R2P=-FP
0
作用在结点上的外力相当于 支座，故杆件无弯矩。 解得
3FP l 2 Z1 = 24i FP l 2 Z2 = 12i
FPl /4 FPl /4 FPl / 2
FPl / 2
M图
(4) 利用叠加法作出弯矩图
例4:用位移法计算图示结构 ,并作弯矩图.EI= 常数. 4:
l
A l
D
（同济大学，2004年考研题）
Z1 = 1
B 4i A 4i 2i l
C 2i l D
Z2 = 1
6i/l
2i/l
B
C
4i/l
M1 图
A
6i/l
D
l
M2 图
l
Z1 = −ql / ( 84i )
2
Z 2 = ql / ( 3i )
3
M 图（× ql ）
2
例2： 位移法求解图示结构。
P
P /2
l A EA = B
Z1
l
l
P
l
注意： M 1图和 M P图的正确作图
例3：用位移法作图示结构的 M 图。EI=常数.
结构力学课后习题解答：6位移法习题解答
第6章位移法习题解答习题6.1确定用位移法计算习题6.1图所示结构的基本未知量数目，并绘出基本结构。
（除注明者外，其余杆的EI为常数。
）(a) (b) (c) (d)习题6.1图【解】各题基本未知量（取独立未知结点位移为基本未知量）如下：（a）n=4 （b）n=2 （c）n=6 （d）n=8习题6.2是非判断(1)位移法基本未知量的个数与结构的超静定次数无关。
（）(2)位移法可用于求解静定结构的内力。
（）(3)用位移法计算结构由于支座移动引起的内力时，采用与荷载作用时相同的基本结构。
（）(4)位移法只能用于求解连续梁和刚架，不能用于求解桁架。
（）【解】（1）正确。
位移法求解时基本未知量是结构的未知结点位移，与结构是否超静定无关。
（2）正确。
无任何结点位移发生的静定结构内力图可利用载常数直接确定；有结点位移发生的静定结构则可利用位移法的一般步骤计算。
（3）正确。
用位移法计算支座位移引起的内力时，可采用与荷载作用相同的基本结构，自由项可根据形常数和支移值确定。
（4）错误。
只要能够取得杆端力与杆端位移之间的函数关系，位移法就可用于求解任何杆系结构。
习题6.3已知习题6.3图所示刚架的结点B产生转角θB =π/180，试用位移法概念求解所作用外力偶M。
习题 6.3图【解】30i π 。
发生转角θB 时，可直接求得结点B 所连的各杆端弯矩，再由结点B 的平衡条件即可得M 。
习题6.4 若习题6.4图所示结构结点B 向右产生单位位移，试用位移法中剪力分配法的概念求解应施加的力F P 。
习题 6.4图【解】315lEI。
结点B 向右产生单位位移时，横梁所连各柱端剪力之和即为F P 。
习题6.5 已知刚架的弯矩图如习题6.5图所示，各杆EI =常数，杆长l =4m ，试用位移法概念直接计算结点B 的转角θB 。
m习题 6.5图【解】由M 图可知，BC 杆上无外荷载，其杆端弯矩为330BC BC B M i θ==-，由此求得40B EIθ=-。
匀速直线运动的位移和速度计算练习题
匀速直线运动的位移和速度计算练习题
1. 题目描述：
小明沿着笔直的跑道进行匀速直线运动，开始时他的速度为 5 m/s，持续运动了10秒钟之后停下来了。
求解小明在这段时间内的位移和加
速度。
2. 解答过程：
由于小明进行的是匀速直线运动，所以他的速度保持不变。
根据速
度的定义，速度的计算公式为：速度 = 位移 / 时间。
首先计算位移。
由于匀速直线运动的位移表达式为：位移 = 初始速
度 ×时间 + 1/2 ×加速度 ×时间的平方。
而在这道题中，小明的初始速
度为5 m/s，时间为10秒钟，所以可以根据这个位移公式计算得出位
移的值。
位移 = 5 × 10 + 1/2 × 0 × 10² = 50 + 0 = 50米
因为这是匀速直线运动，所以它的加速度为0。
加速度的定义为：
加速度 = (末速度 - 初始速度) / 时间。
已知末速度为5 m/s，初始速度为
5 m/s，时间为10秒钟，将这些数据带入加速度公式中进行计算。
加速度 = (5 - 5) / 10 = 0 / 10 = 0 m/s²
所以，小明在这段时间内的位移为50米，加速度为0。
3. 总结：
通过以上的解答过程，我们可以得出在匀速直线运动中，当速度保持不变时，位移和加速度的计算结果分别为50米和0 m/s²。
这道题目展示了匀速直线运动的基本计算方法，帮助我们更好地理解和应用运动学的概念和公式。
《结构力学习题》(含答案解析)
第三章 静定结构的位移计算一、判断题：1、虚位移原理等价于变形谐调条件，可用于求体系的位移。
2、按虚力原理所建立的虚功方程等价于几何方程。
3、在非荷载因素(支座移动、温度变化、材料收缩等)作用下，静定结构不产生内力，但会有位移且位移只与杆件相对刚度有关。
4、求图示梁铰C 左侧截面的转角时，其虚拟状态应取：A.;; B.D.C.=1=15、功的互等、位移互等、反力互等和位移反力互等的四个定理仅适用于线性变形体系。
6、已知M p 、M k 图，用图乘法求位移的结果为：()/()ωω1122y y EI +。
M k M p 21y 1y 2**ωω( a )M =17、图a 、b 两种状态中，粱的转角ϕ与竖向位移δ间的关系为：δ=ϕ 。
8、图示桁架各杆E A 相同，结点A 和结点B 的竖向位移均为零。
a a9、图示桁架各杆EA =常数，由于荷载P 是反对称性质的，故结点B 的竖向位移等于零。
二、计算题：10、求图示结构铰A 两侧截面的相对转角ϕA ，EI = 常数。
q l l l /211、求图示静定梁D 端的竖向位移 ∆DV 。
EI = 常数 ，a = 2m 。
a a a 10kN/m12、求图示结构E 点的竖向位移。
EI = 常数 。
l l l /3 2 /3/3q13、图示结构，EI=常数 ，M =⋅90kN m , P = 30kN 。
求D 点的竖向位移。
P 3m 3m 3m14、求图示刚架B 端的竖向位移。
ql15、求图示刚架结点C 的转角和水平位移，EI = 常数 。
q16、求图示刚架中Ｄ点的竖向位移。
EI ＝常数。
l/217、求图示刚架横梁中Ｄ点的竖向位移。
EI＝常数。
18、求图示刚架中D点的竖向位移。
E I = 常数。
qll l/219、求图示结构Ａ、Ｂ两截面的相对转角，EI＝常数。
l/23l/320、求图示结构A、B两点的相对水平位移，E I = 常数。
ll21、求图示结构B点的竖向位移，EI = 常数。
位移法计算超静定结构典型例题(附详细解题过程)
位移法计算超静定结构——典型例题【例1】采用位移法计算如图1(a)所示梁结构，并作M 图。
已知EI 为常数。
图1【解】（1）位移法基本未知量为结点C 处的角位移及竖向线位移，基本体系如图1(b)所示。
（2）建立位移法方程如下： （3）计算系数和自由项令。
分别作出基本结构在单位位移、及原荷载单独作用下的内力图、及，如图1(c)、(d)、 (e)所示。
取图1(c)中结点C 为研究对象，分别由力矩平衡条件、竖向力的投影平衡条件可求得：取图1(d)中结点C 为研究对象，分别由力矩平衡条件、竖向力的投影平衡条件可求得：取图1(e)中结点C 为研究对象，分别由力矩平衡条件、竖向力的投影平衡条件可求得：（4）解位移法方程，得基本未知量为： （5）由可计算各杆端弯矩，可作原结构的图，如图1(f)所示。
【例2】采用位移法计算如图2(a)所示刚架结构，并作M 图。
已知各杆EI 为常数。
1∆2∆1111221211222200P Pk k F k k F ∆+∆+=⎧⎨∆+∆+=⎩/i EI l =11∆=21∆=1M 2M P M 1121100k i k ==，21221018/k k i l ==，21219248P P F ql F ql =-=-，231224016ql ql i i∆=-∆=，1122P M M M M =∆+∆+M图2【解】（1）取刚结点D 、E 处的角位移、为基本未知量，基本体系如图2(b)所示。
（2）列位移法方程： （3）计算系数和自由项分别作出基本结构在单位位移、及原荷载单独作用下的内力图、及，如图2(c)、(d)、 (e)所示。
分别取图2(c)中结点D 、E 为研究对象，由力矩平衡条件可求得：，分别取图2(d)中结点D 、E 为研究对象，由力矩平衡条件可求得：，分别取图2(e)中结点D 、E 为研究对象，由力矩平衡条件可求得自由项：，（4）解位移法方程，得基本未知量为：（5）由可计算各杆端弯矩，作图如图2(f)所示。
位移法
位移法位移法也是计算超静定结构的基本方法。
位移法是以结构的结点位移（结点角位移和结点线位移）作为基本未知量，通过平衡条件建立位移法方程，求出位移后，即可利用位移和内力之间的关系，求出杆件和结构的内力。
在位移法求解超静定问题中，有七大步骤：第一步：分析结构体系（是否为几何不变体系，是否有结点位移），结构体系中的结点位移（结点角位移和结点线位移）就是结构的所求的基本未知量。
第二步：选取基本结构，即在原结构中的基本未知量（结点角位移和结点线位移）处加上约束（刚臂和链杆），均假设顺时针转动。
第三步：列位移法方程：01111=+P R Z r （一个结点位移未知量）当为n 次超静定时，0022112222212111212111=++++=++++=++++nP n nm n n P n n P n n R Z r Z r Z r R Z r Z r Z r R Z r Z r Z r第四步：画P M M 、1图，求nP nm R r 、（画P M M 、1图，通过查表得出，注意形常数及载常数的查法，记住是以顺时针转动为正。
）第五步：求解未知位移n Z 。
第六步：求杆端弯矩：P R Z M M +=11（一结点位移未知量）P n n i i R Z M Z M Z M Z M M ++++++= 2211（n 个结点位移未知量）此步骤的正负号规定容易与力法正负号规定混淆。
在位移法中，杆端弯矩以顺时针转动为正，逆时针转动为负。
第七步：求跨中弯矩（针对于集中力作用在跨中处以及均布荷载作用情况），作M图，Q图（注意：求跨中弯矩时的正负号规定，同力法一样）讨论：针对位移法中正负号规定判断需要注意的问题。
1、什么是杆端弯矩？例如：如图所示超静定梁假如截AB杆研究，就会暴露出三个内力（弯矩，剪力，轴力），现只研究弯矩，如图所示（夸张放大画出来）：图中所标的即为杆端弯矩，它的作用是相对于杆端而言的。
2、如何判断正负号及运用正负号画弯矩图？M为正的上图中杆端弯矩的方向是假设出来的，由图可知，杆ABM为负的（逆时针）。
位移法习题与答案
位移法习题与答案位移法是结构力学中常用的一种分析方法，通过计算结构在外力作用下的位移，来求解结构的应力、应变和变形等问题。
在学习位移法时，习题与答案的练习是非常重要的，可以帮助我们加深对位移法的理解和掌握。
下面将给大家介绍一些位移法习题及其答案。
习题一：求解简支梁的弯矩分布已知一根长度为L的简支梁，受到均布载荷q作用，求解弯矩分布。
解答：首先，我们需要根据受力分析确定梁的反力。
对于简支梁，两个支座处的反力相等，且为qL/2。
接下来，我们可以利用位移法求解弯矩分布。
假设梁的弯矩分布为M(x)，则根据位移法的基本原理，可以得到以下方程：d2M(x)/dx2 = -q对该方程进行两次积分，得到：M(x) = -q*x^2/2 + C1*x + C2由于梁两端是简支条件，即位移和转角为零，可以得到边界条件：M(0) = 0M(L) = 0代入上述方程，解得C1 = qL/2，C2 = -qL^2/2。
因此，弯矩分布为：M(x) = -q*x^2/2 + qL/2*x - qL^2/2习题二：求解悬臂梁的挠度已知一根长度为L的悬臂梁，受到集中力F作用在悬臂端点，求解梁的挠度。
解答：首先，我们需要根据受力分析确定梁的反力。
对于悬臂梁，端点处的反力只有一个，即为F。
接下来，我们可以利用位移法求解梁的挠度。
假设梁的挠度为δ(x)，则根据位移法的基本原理，可以得到以下方程：d2δ(x)/dx2 = -F/(EI)对该方程进行两次积分，得到：δ(x) = -F*x^2/(2EI) + C1*x + C2由于梁端点处的位移为零，可以得到边界条件：δ(0) = 0dδ(x)/dx|_(x=L) = 0代入上述方程，解得C1 = 0，C2 = 0。
因此，梁的挠度为：δ(x) = -F*x^2/(2EI)习题三：求解悬臂梁的最大挠度已知一根长度为L的悬臂梁，受到均布载荷q作用，求解梁的最大挠度。
解答：首先，我们需要根据受力分析确定梁的反力。
用位移法计算对称结构的例题
用位移法计算对称结构的例题对称结构在工程设计中起着重要的作用，能够有效减少结构的重量和材料使用量，提高结构的稳定性和承载能力。
在对称结构的设计中，计算结构的位移是非常重要的一步，通过位移法可以准确地分析结构在外力作用下的变形和应力分布情况，为工程设计提供科学依据。
以一座简单的对称结构为例，假设有一跨度为L的梁结构，两端支座固定，中间受到均布载荷P的作用。
我们需要用位移法计算这个结构的变形情况。
首先，我们需要对结构进行简化，将其分解为几个简单的部分，如梁和支座。
然后，我们可以根据结构的受力分析，确定结构中的受力情况，包括受力大小和方向。
在这个例题中，梁受到的均布载荷P会引起梁的挠度，我们需要计算梁的最大挠度和最大弯矩。
接着，我们可以建立结构的位移方程，通过位移方程可以得到结构的位移分布情况。
位移方程的建立需要考虑结构的几何特性和受力情况，通常可以通过叠加法或虚位移法来得到结构的位移方程。
在这个例题中，我们可以假设梁的位移为y(x)，根据梁的几何形状和受力情况，可以建立梁的位移方程。
通过位移方程的求解，我们可以得到梁的位移分布情况，包括梁的最大挠度和最大弯矩的位置和数值。
最后，我们需要验证计算结果的准确性，可以通过有限元分析或理论计算的方法进行验证。
通过对计算结果的验证，可以确保结构的设计和计算的准确性，为工程的施工和使用提供可靠的保障。
综上所述，位移法是计算对称结构的重要方法，通过位移法可以准确地分析结构的变形和应力分布情况，为工程设计提供科学依据。
在实际工程设计中，需要结合结构的几何形状和受力情况，建立结构的位移方程，通过位移方程的求解可以得到结构的位移分布情况，最终验证计算结果的准确性，确保结构的设计和计算的可靠性。
通过位移法的应用，可以提高结构的稳定性和承载能力，为工程的设计和施工提供科学的依据。
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2009-2017历年位移法计算题【此组题解题步骤相同，需注意形常数加倍问题。
】基本体系 1M 图 P M 图解： （1）一个刚结点角位移1∆，在刚结点施加附加刚臂，得基本体系如图。
1-1用位移法计算图示刚架，列出典型方程，求出系数项和自由项。
【1201，1607考题】 解： （1）一个刚结点角位移1∆，在刚结点施加附加刚臂，得到基本体系。
(2) 取lEIi=，作1M 图 、 P M 图 如图所示。
基本体系 1M 图 P M 图 (3)位移法典型方程 01111=+∆P F k（4）系数项i i i k 84411=+=， 自由项8P 1l F F P =【相当于把题1的图形左转90度，即得本题结果】1-2用位移法计算图示刚架，列出典型方程，求出系数项和自由项。
EI=常数。
【1301考题】 解：（1）一个刚结点角位移1∆。
基本体系如图。
(2) 令4EIlEI i ==，作1M 图 、P M 图 如图。
(3)位移法典型方程 01111=+∆P F k（4）m l4=，kN P 8=， 系数项i i i k 84411=+=， 自由项m kN Pl F P .484881=⨯==【把数据m l4=，kN P 8= 代入题1， 即得本题结果。
】1-3【与题1相比，本题竖杆刚度加倍为2EI ，其形常数也加倍，只需对1M 图和系数11k 作点改变即可。
】基本体系 1M 图 P M 图系数项i i i k 124811=+=， 自由项81lF F P P =1-4基本体系 1M 图 P M 图系数项i i i k 124811=+=， 自由项81lF F P P =【与题1相比，本题横杆刚度为2EI ，其形常数也加倍。
其余比照题1的解题步骤进行，只需对1M 图和系数11k 作出如上改变。
】基本体系1M 图 P M 图解： （1）一个刚结点角位移1∆，在刚结点施加附加刚臂，得基本体系如图。
1-5用位移法计算图示刚架，列出位移法方程，求出系数项和自由项。
【1401考题】解析：(1)一个结点角位移1∆，基本体系如图。
(2) 令lEIi=，作1M 图、P M 图如图所示。
基本体系 1M 图 P M 图(3) 位移法方程 01111=+∆P F k（4）计算：系数项i i i k 124811=+=， 自由项=P F 18Pl -【与题2相比，本题横杆刚度为2EI ，其形常数也加倍。
只需对1M 图和系数11k 作出改变即可。
】 1-6用位移法计算图示刚架，列出典型方程，求出系数项及自由项。
EI =常数。
【1107考题】 解： （1）基本体系如图， （2） 令 4EI l EI i ==， 作1M 图、P M 图 如图所示。
（3）位移法典型方程 01111=+∆P F k(4)系数项 i i i k 84411=+= ， 自由项m kN Pl F P .5841081-=⨯-=-= 【本题是题2图形左转90度，再代入数据m l 4=，kN P 10=的结果。
】【此组题解题步骤相同，需注意载常数的正负号。
】0901,1707考题】 解：（1）取 4EI l EI i ==，作基本体系图，作1M 图， 作P M 图，基本体系 1M 图 P M 图，（2）位移法典型方程 01111=+∆P F k（3）系数项 i i i i k 1134411=++= ， 自由项m kN 5841081⋅-=⨯-=-=Pl F P1601，1507考题】 解：（1）一个结点角位移1∆，kN P 10=，m l 4= ， 作基本体系如图。
（2）令4EIl EI i==，作1M 图、P M 图如图。
基本体系图 1M 图 P M 图（m kN .）(3) 位移法典型方程 01111=+∆P F k（4）计算 系数项i i i i k 1134411=++= 自由项m kN Pl F P .5.71641031631=⨯⨯==1101,1801】解：（1）取基本体系如图。
（2） 令 l EI i 2=， 作1M 图 和P M 图 。
基本体系 1M 图 P M 图（3） 位移法典型方程 01111=+∆P F k（4）系数项 i i i k 84411=+= ， 自由项l F F P P -=1 [右杆相当于悬臂梁]基本体系1M 图 P M 图 解：（1）取基本体系如图。
（2） 令 lEI i 2=， 作1M 图 和P M 图 如图 。
（3） 位移法典型方程 01111=+∆P F k（4）i i i k 84411=+=， =P F 1 10=-l F P【若考，必考原题。
需注意杆长加倍，载常数也加倍】1407 ，1207考题 】解：（1）一个刚结点角位移1∆的连续梁，令 lEIi 2=， 基本体系如图所示。
(2) 作1M 图 、 P M 图 如下图所示。
基本体系 1M 图 P M 图 (3)位移法典型方程01111=+∆P F k（4） 计算系数项i i i k 106411=+=， 自由项4P 1l F F P =1001，1307考题】 解：(1)取li2=，基本体系如图， （2）作1M 图 ，作P M 图如下： 基本体系 1M 图 P M 图 (3)位移法典型方程01111=+∆P F k(4) 计算系数和自由项i i i k 113811=+= ，=P F 1 83Pl -【若考，必考原题】【1007，1501考题】 解：（1）取基本体系如图所示。
(2) 取lEIi 2=， 作1M 图 、 2M 图 如下图所示。
基本体系 1M 图 2M 图(3)典型方程⎩⎨⎧=+∆+∆=+∆+∆0022221211212111P P F k k F k k(4)计算系数项i i i k 84411=+=， i i i i k 1244422=++=， i k k 22112==解：(1)有B 、C 两个刚结点的角位移, 在刚结点B 、C 施加附加刚臂，得到基本结构如图。
(2) 令4EIi =，作1M 图 、2M 图如图所示。
基本结构 1M 图2M 图(3)典型方程⎩⎨⎧=+∆+∆=+∆+∆0022221211212111P P F k k F k k(4)计算系数项i i i k 84411=+=， i i i i k 1244422=++=， i k k22112==解： （1）基本体系如图， （2） 令 4EI l EI i ==， 作1M 图、P M 图 如图所示。
基本体系 1M 图 P M 图（3）位移法典型方程 01111=+∆P F k(4)系数项 i i i k 84411=+= ， 自由项1221ql F P =5-2用位移法计算图示刚架。
已知基本结构如下图所示，求系数项和自由项。
【0907考题】解：1M 图 P M 图位移法典型方程01111=+∆P F k解：(1)基本未知量是结点B 的角位移1∆，在B 点施加附加刚臂，得到基本体系。
(2) 令6EI l EI i ==，作1M 图，作P M 图。
基本体系 1M 图 P M 图(3)位移法方程：01111=+∆P F k(4) 取结点B 为研究对象，得系数i i i i k 1134411=++=，自由项m kN ql Pl F P .6)36(308821-=-+=-=〖 用位移法计算图示刚架，各杆EI=常数，不计杆件轴向变形。
列出典型方程，求出系数项和自由项。
解：（1）一个结点角位移1∆，kN P 20=，m kN q /4=，m L 6= ， 作基本体系如图。
（2）令6EIL EI i==，作1M 图、P M 图如图。
(3) 位移法典型方程 01111=+∆P F k（4）计算 系数项i i i i k 1134411=++= ， 自由项m kN F P .318151-=-=AB 杆右端m kN Pl.15620818=⨯⨯=BC 杆左端 m kN ql .186481822-=⨯⨯-=-，解：(1)结点B 有角位移1∆，在B 点施加附加刚臂，得到基本体系。
(2) 令6EIi=，作1M 图，作P M 图基本体系 1M 图 P M 图(3) 位移法方程 01111=+∆P F k(4) 系数项i i i i k 1134411=++=，自由项m kN Plql F P .21)45(241631221-=-+=-= 〖本题左杆右端载常数2412681222=⨯=ql ，右杆左端载常数m kN Pl .45166403163-=⨯⨯-=-〗 〖难点在载常数的正负号，与P F 1的叠加及正负号的确定规则〗 一页开卷纸上应抄的弯矩形常数和载常数两端固定的单跨超静定梁的载常数两端固定，中间集中力P ：两端固定，中间均布荷载q一端固定一端铰支的单跨超静定梁的载常数右端铰支，中间集中力P ： 左端163Pl -，右端0； 中间折线连接 左端铰支，中间集中力P ： 左端0， 右端163Pl ； 中间折线连接 右端铰支，中间均布荷载q ： 左端82ql -，右端0； 中间抛物线连接左端铰支，中间均布荷载q ： 左端0， 右端82ql ； 中间抛物线连接。