切线精典题-----喜欢的是淡淡的爱

切线与定值的问题
圆222r y x =+上一点),(00y x M 的切线方程为200r y y x x =+；当),(00y x M 在圆外时，过M 点引切线有且只有两条，过两切点的弦所在直线方程为200r y y x x =+。

那么，在圆锥曲线中，又将如何？我们不妨进行几个联想。

联想一：（1）过椭圆
)0(12
22
2>>=+
b a b
y a
x 上一点),(00y x M 切线方程为
12
02
0=+
b
y y a
x x ；
（2）当),(00y x M 在椭圆
12
22
2=+
b
y a
x 的外部时，过M 引切线有两条，过两切点的弦所在直线方程
为：
12
02
0=+
b
y y a
x x
性质：过抛物线焦点F 的弦AB 两端点的切线12,l l 的交点P 的轨迹是相应的准线,且APB ∠是定值2
π
．
过抛物线2
1y 4
x =
的准线上任意一点作抛物线的两条切线，若切点为M 、N ，则直线MN 过定点
)(1,0A - )(1,0B )(0,1C - )(0,1D
抛物线C ：2(0)y ax a =≠与经过点A （3,0）的直线相交于点M 、N ，求抛物线C 在点M 、N 处的两切线交点轨迹方程。

过M （2，-2）作椭圆
2
2
19
4
x
y
+
=的两条切线，切点为P 、Q ，求椭圆的弦PQ 所在直线方程。

1.
2. 3.
4.
圆锥曲线切线的几个性质：
性质1 过椭圆的准线与其长轴所在直线的交点作椭圆的两条切线，则切点弦长等于该椭圆的通径．同理:双曲线,抛物线也有类似的性质
性质2 过椭圆的焦点F 1的直线交椭圆于A ，B 两点，过A ，B 两点作椭圆的切线交于点P ，则P 点的
轨迹是焦点 的对应的准线，并且
222
00(,)x y r M x y +=过圆 上一点 的切线方程:
200xx yy r
+=002
2
1
xx yy a
b
+
=2
2
0022(,)1x
y
P x y a b
+=设为椭圆上的点，则过该点的切线方程为：
22002
2
(,)1x y P x y a
b
-
=设为双曲线
上的点，则过该点的切线方程为：
002
2
1
xx yy a
b
-
=00(,)2P x y p x =2
设为抛物线y
上的点，则过该点的切线方程为：
00()
yy p x x =+1P F A B ⊥1F
同理:双曲线,抛物线也有类似的性质
1. 例题精讲：
练习1：
抛物线 与直线 围成的封闭的图形的面积为 ，若直线l 与抛物线相切，且平行于
直线 ，则直线l 的方程为 例1： 设抛物线 的焦点为F ，动点P 在直线 上运动，过P 作抛物线C 的两条切线PA 、PB ，且与抛物线C 分别相切于A 、B 两点.求△APB 的重心G 的轨
迹方程.
2. 圆锥曲线的切点弦方程:
1.
2.
3.
4.
练习2：
例题3：
容易证明，对于定斜率圆锥曲线的切线方程如下： 斜率为k ，并且和椭圆
12
22
2=+
b
y a
x 相切的切线方程为:2
22b k a kx y +±=(不问ab 的大小)；
斜率为k ，并且和双曲线
12
22
2=-
b
y a
x 、
12
22
2=-
b
x a
y 相切的切线方程分别
为:2
22b
k a kx y -±=(2
22b
k a ≥)、2
22b
k a kx y -±=(2
2
2a
k b ≤)；
斜率为k ，并且和抛物线px y 22±=、py x 22
±=相切的切线方程分别为:k
p y 2±
=（k 0≠）、
2
2
pk y
=.
3.3圆锥曲线切点弦
:20
l x y --=22002
2
(,)1x y P x y a
b
+=设为椭圆
外一点，过该点作椭圆的两条切线，
切点为A ，B 则弦AB 的方程为：
2
2
2
00(,)P x y x y r +=设为圆外一点，则切点弦的方程为：
2
00xx yy r
+=2
2
0022(,)1x y
P x y a b
-=过为双曲线的两支作两条切线，则切点弦方程为：0
02
2
1
xx yy a
b
-=00(,)2P x y px =2设为抛物线y 开口外一点，则切点弦的方程为：00()
yy p x x =+222
2
1(,0).
x y P m a
b
A B A B ±=≠对于圆锥曲线，过点，（m 0）作两条切线，
切点为，则直线恒过定点22
x 21,4312A,B AB O M N y P x y +=+=已知椭圆是在直线位于第一象限上一点，由P 向已知椭圆作两切线，切点分别为，问当直线与两坐标轴围成的三角形面积最小，最小值为多少？
02
2
1xx yy a
b
+
=2:C y x =2(0)y ax a =>1x =43260
x y -+=
从圆锥曲线外一点向圆锥曲线引两条切线（如果存在），那么经过两切点的圆锥曲线的弦叫做切点弦
[11]
.
圆锥曲线外一点()11,P x y 向圆锥曲线引两条切线，求经过两切点的切点弦方程同样可用2x 和2y 分别
换为x x 1和y y 1,x 换成2
1x x +,y 换成2
1y y +的“替换法则”去求它，即[12]
：
已知抛物线y x 42
=的焦点为F ，A 、B 是抛物线上的两个动点，且−→
−−→−=FB AF λ(λ＞0)，过A 、
B 两点分别作抛物线的切线，设其交点为M .
（1）证明−→
−−→
−⋅FB FA 为定值；
（2）设的△ABM 面积为S ，写出()λf S =的表达式并求S 的最小值.
设抛物线C :2x y =的焦点为F ,动点P 在直线：02=--y x 上的动点，过点P 作抛物线C 的两条切线PA 、PB 且与抛物线C 分别相交于A 、B 两点.
（1）求△APB 的重心G 的轨迹方程; （2）证明：∠PFA =∠PFB .。