人猫鸡米渡河问题的数学模型

人猫鸡米渡河问题的数学模型

摘要：人带着猫、鸡、米过河，从左岸到右岸，船除了需要人划之外（船除了要载人外），只能载猫、鸡、米三者之一，而当人不在场时猫要吃鸡、鸡要吃米。本文将设计一个安全过河方案，使渡河次数尽量地少。模仿“商人过河”的模型设计出新的数学模型。

关键字：穷举法，Matlab运算求解。

一、问题的提出

课本P19.T5:模仿“商人过河”模型，做下面游戏：人带着猫、鸡、米过河，船除需要人划之外，至多能载猫、鸡、米三者之一，而当人不在场时猫要吃鸡、鸡要吃米。设计一个过河方案，建立数学模型，并使渡河次数尽量地少。

二、问题的分析

因为这是个简单问题，研究对象少，所以可以用穷举法，简单运算即可解题。

此问题是从状态向量A（1,1,1,1）经过奇数次运算向量B变为状态向量A（0,0,0,0）的状态。转移过程为什么是奇数次？我们注意到过河有两种，奇数次的为从左岸到右岸，而偶数的为右岸回到左岸，因此得到下述转移过程，所以最后应该是过河完成时状态转移数为奇数次。

三、问题的假设

1.1：假设船除了载人之外，至多只能载猫、鸡、米三者之一。

1.2：当人不在场时，猫一定会吃鸡、鸡一定会吃米。

四、定义符号说明：

我们将人，猫，鸡，米依次用四维向量中的分量表示，当一物在左岸时，相应的分量

记为1，在右岸时记为0.如向量（1,0,1,0）表示人和鸡在左岸，猫和米在右岸，并将这些向量称为状态向量。例如（1,1,1,1）表示它们都在左岸，（0,1,1,0）表示猫，鸡在左岸，人，米在右岸；由于问题中的限制条件，有些状态是允许的，有些状态是不允许的。凡问题可以允许存在的状态称为可取状态。A 向量定义为状态变量。比如()11,0,1,0A 是一个可取状态向量，但()20,0,1,1A 是一个不可取状态向量。此外，B 向量定义为运载变量。把每运载一次也用一个四维向量来表示。如()11,1,0,0B 表示人和猫在船上，而鸡和米不在船上，这自然是可取的运载，因为船可载两物，而()21,0,1,1B 则是不可取运载，依此规律类推。

五、模型的建立

对于这个问题我们用穷举的方法来解决，首先将此问题化为状态转移问题来解决。对本问题来说：

5.1、 可取状态向量A 共有10个，可以用穷举法列出来：

()1,1,1,1 ()0,0,0,0

()1,1,1,0 ()0,0,0,1

()1,1,0,1 ()0,0,1,0

()1,0,1,1 ()0,1,0,0

()1,0,1,0 ()0,1,0,1

右边5个正好是左边5个的相反状态。

5.2、 可取运载B 共有4个：

()1,1,0,0 ()1,0,1,0

()1,0,0,1 ()1,0,0,0

5.3、可取运算：规定A 与B 相加时对每一分量按二进制法则（异或运算）进行

()000,10011,110+=+=+=+=。这样，一次渡河就是一个可取状态向量与一

个可取运载向量相加，可取状态经过加法运算仍是一个可取状态，这种运算称

为可取运算。

在上述规定下，问题转化为：从初始状态()1,1,1,1至少经过多少次（奇数次）可取运算才能转化为状态()0,0,0,0。

如果一个状态是可取的就打∨，否则就打⨯，虽然可取但已重复就打∧，于是问题可用穷举法解答如下：

1）()()()()()()()()()1,0,1,00,1,0,11,1,0,00,0,1,11,1,1,11,0,0,10,1,1,01,0,0,00,1,1,1∨⎧⎧⎪⎪⨯⎪⎪+→⎨⎨⨯⎪⎪⎪⎪⨯⎩⎩（2）()()()()()()()()()1,0,1,01,1,1,11,1,0,01,0,1,10,1,0,11,0,0,11,1,0,01,0,0,01,1,0,1∧⎧⎧⎪⎪⨯⎪⎪+→⎨⎨⨯

⎪⎪⎪⎪∨

⎩⎩

（3）()()()()()()()()()1,0,1,00,1,1,11,1,0,00,0,0,11,1,0,11,0,0,10,1,0,01,0,0,00,1,0,1⨯⎧⎧⎪⎪∨⎪⎪+→⎨⎨∨

⎪⎪⎪⎪∧

⎩⎩ （4）()()()()()()()()()11,0,1,01,0,1,11,1,0,01,1,0,10,0,0,11,0,0,11,0,0,01,0,0,01,0,0,1∨⎧⎧⎪⎪∧⎪⎪+→⎨⎨⨯⎪⎪⎪⎪⨯⎩⎩ （4）()()()()()()()()()21,0,1,01,1,1,01,1,0,01,0,0,00,1,0,01,0,0,11,1,0,11,0,0,01,1,0,0∨⎧⎧⎪⎪⨯⎪⎪+→⎨⎨∧

⎪⎪⎪⎪⨯

⎩⎩ （5） （5）

（6）()()()()()()()()()1,0,1,01,0,0,01,1,0,01,1,1,00,0,1,01,0,0,11,0,1,11,0,0,01,0,1,0⨯⎧⎧⎪⎪∧⎪⎪+→⎨⎨∧⎪⎪⎪⎪∨⎩⎩ （7）()()()()()()()()()1,0,1,00,0,0,01,1,0,00,1,1,01,0,1,01,0,0,10,0,1,11,0,0,00,0,1,0∨⎧⎧⎪⎪⨯⎪⎪+→⎨⎨⨯

⎪⎪⎪⎪∧

⎩⎩ 第7步已经出现了()0,0,0,0状态，说明经7次运载即可，其过程为：

()()()()()()(),,,,→→→→→→→去回去回去回去

人鸡人人猫（或米）

人，鸡人米（或猫）人人鸡 因此，该问题的最优方案有2种：

1、人先带鸡过河，然后人再回来，把米带过河，然后把鸡运回河岸，人再把猫带过河，最后人回来把鸡带过去。

2、人先带鸡过河，然后人再回来，把猫带过河，然后把鸡运回河岸，人再把米带过河，最后人回来把鸡带过去。