初中概率论基础
概率初中知识点总结
概率初中知识点总结概率是数学中的一个重要分支，它用于研究随机事件发生的可能性。
在初中阶段，概率是数学课程的一个重要内容，它是培养学生逻辑思维和推理能力的重要工具。
下面将对初中知识点进行总结，以帮助读者更好地理解概率的概念和应用。
一、基本概念概率是指某个事件发生的可能性，通常用一个介于0和1之间的数来表示。
0表示不可能事件，1表示必然事件。
概率的取值范围在0和1之间，概率越大，事件发生的可能性就越大。
二、概率的计算1. 事件的概率计算公式：事件的概率等于有利结果的个数除以总的可能结果的个数。
2. 等可能事件的概率计算公式：等可能事件的概率等于事件的个数除以总的可能结果的个数。
三、概率的性质1. 互斥事件的概率：互斥事件是指两个事件不能同时发生的情况。
互斥事件的概率等于两个事件概率之和。
2. 对立事件的概率：对立事件是指两个事件中只能发生一个的情况。
对立事件的概率等于1减去另一个事件的概率。
四、概率的应用1. 抽样与事件发生概率：在抽样问题中，通过对样本空间和事件的分析，可以计算出事件发生的概率。
2. 生日悖论：生日悖论是指在一群人中，至少有两个人生日相同的概率远远大于我们的直觉。
这个问题可以通过概率的方法进行解答。
3. 游戏中的概率：在游戏中，概率也有很大的应用。
比如掷骰子，扑克牌游戏等，概率可以帮助我们计算出不同结果的可能性。
4. 事件的独立性：事件的独立性是指一个事件的发生不会对另一个事件的发生产生影响。
在计算复杂问题的概率时，可以根据事件的独立性将问题简化。
五、概率与统计概率与统计是紧密相关的两个学科。
统计学中的概念和方法往往需要概率知识的支持。
比如抽样调查、数据分析等都需要用到概率的方法。
同时，概率也可以通过统计学的方法进行验证和应用。
六、概率与现实生活概率在现实生活中有广泛的应用。
比如购买彩票、天气预报、金融投资等都与概率有关。
了解概率的知识可以帮助人们做出更明智的决策。
概率是数学中的重要分支，它可以帮助我们理解和计算随机事件发生的可能性。
初中概率的知识点总结_高三数学知识点总结
初中概率的知识点总结_高三数学知识点总结概率是数学中的一个重要分支，也是我们日常生活中经常会遇到的概念。
初中阶段，学生需要学习有关概率的一些基本知识和应用。
下面是初中概率的一些重要知识点总结。
1. 随机事件随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件。
例如掷骰子、抽卡片等。
随机事件可以用一个字母来表示，如A、B等。
2. 样本空间样本空间是指所有随机事件的集合。
用英文大括号{}表示。
掷一枚骰子的样本空间为{1,2,3,4,5,6}。
3. 事件的概率事件的概率是指该事件发生的可能性大小。
概率的取值范围在0到1之间，其中0表示不可能发生，1表示一定会发生。
概率可以用一个小数或百分数来表示。
4. 等可能事件等可能事件是指在一定条件下，每个事件发生的可能性相等。
抛硬币时正面朝上和反面朝上的概率都是1/2。
5. 计算概率的方法计算概率有两种基本方法：频率法和古典概型法。
频率法是指通过大量实验，统计事件发生的次数与总次数的比值来估计发生某事件的概率。
古典概型法是指根据事件的样本空间和等可能性来计算事件的概率。
6. 概率的性质概率具有以下性质：- 任何事件的概率都在0到1之间。
- 必然事件的概率为1。
- 不可能事件的概率为0。
- 两个互斥事件的概率之和等于它们各自的概率之和。
7. 互斥事件和对立事件互斥事件是指两个事件不能同时发生的事件，也就是说，两个事件的交集为空。
对立事件是指两个事件发生的概率之和等于1。
8. 事件的联合概率事件的联合概率是指两个或多个事件同时发生的概率。
两个事件A和B的联合概率可以用P(A∩B)表示。
9. 事件的独立性事件的独立性是指事件A的发生与事件B的发生无关。
如果两个事件A和B是独立事件，则P(A∩B) = P(A) × P(B)。
10. 条件概率条件概率是指在事件B已经发生的前提下，事件A发生的概率。
条件概率用P(A|B)表示，读作“在B发生的条件下A发生的概率”。
(完整版)初中概率初步知识点归纳
第九章概率初步知识点归纳【知识梳理】 济宁附中李涛1、事件类型：○1必然事件：有些事情我们事先肯定它一定发生，这些事情称为必然事件.○2不可能事件： 有些事情我们事先肯定它一定不会发生，这些事情称为不可能事件. ○3不确定事件： 许多事情我们无法确定它会不会发生，称为不确定事件（又叫随机事件）. 说明：（1）必然事件、不可能事件都称为确定性事件.（2）事件分为确定事件和不确定事件，确定事件又分为必然事件和不可能事件，其中， ① 必然事件发生的概率为1，即P(必然事件)=1； ② 不可能事件发生的概率为0,即P （不可能事件）=0； ③ 如果A 为不确定事件，那么0<P(A)<12、概率定义（1）概率的频率定义：一般地，在大量重复试验中，如果事件A 发生的频率mn会稳定在某个常数p 附近，那么这个常数p 就叫做事件A 的概率。
（2）概率的一般定义：就是刻划（描述）事件发生的可能性的大小的量叫做概率.又称或然率、机会率、机率（几率）或可能性，是概率论的基本概念。
是对随机事件发生的可能性的度量，一般以一个在0到1之间的实数表示一个事件发生的可能性大小。
越接近1，该事件更可能发生；越接近0，则该事件更不可能发生。
3、概率表示方法一般地，事件用英文大写字母A ，B ，C ，…，表示。
事件A 的概率p ，可记为P （A ）=P4、概率的计算 ①等可能事件的概率• 古典概型古典概型讨论的对象是所有可能结果为有限个等可能的情形，每个基本事件发生的可能性是相同的。
历史上古典概型是由研究诸如掷骰子一类赌博游戏中的问题引起的。
计算古典概型，公式：分析方法:（1）列举法（适应一个过程）：列出所有等可能基本事件结果，再数清所求事件所含的基本事件个数,最后相除。
以下补充是初三学习内容:（2）列表法（适应两个过程）：当一次试验要设计两个因素，可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法．其中一个因素作为行标，另一个因素作为列标．特别注意放回去与不放回去的列表法的不同．如：一只箱子中有三张卡片，上面分别是数字１、２、３，第一抽出一张后再放回去再抽第二次，两次抽到数字为数字１和２或者２和１的概率是多少？若不放回去，两次抽到数字为数字１和２或者２和１的概率是多少？放回去 P （１和２）=92 不放回去P （１和２）=62(3,3)(3,2)(3,1)3(2,3)(2,2)(2,1)2(1,3)(1,2)(1,1)1第一次结果321第二次(3,2)(3,1)3(2,3)(2,1)2(1,3)(1,2)1第一次结果321第二次（3）树状图法（适应一个两个或多个过程）：当一次试验要设计三个或更多的因素时，用列表法就不方便了，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图法求概率． 还是以上例题：(1)放回去,树状图如下:由树状图可知,总共有9种等可能结果，而两次抽到数字为数字１和２或者２和１的结果有两种。
初中数学：概率初步知识点
初中数学：概率初步知识点一．事件学校组织六年级八个班进行“元旦联欢会”活动，每个班都准备了一个节目，活动的时候用抽签的方式确定各个班级的出场顺序．那么哪个年级可能第一个出场？此时，每个班级都有第一个出场的可能，但无法确定具体哪个班级第一个出场．像上述的问题，我们把它称为事件．类似的事件有许多，如抛掷一枚硬币，落地后是正面朝上还是背面朝上？掷骰子停止后，哪一点朝上？等等．．二．确定事件和随机事件在一定条件下必定出现的现象叫做必然事件．在一定条件下必定不出现的现象叫做不可能事件．必然事件和不可能事件统称为确定事件．那些在一定条件下可能出现也可能不出现的现象叫做随机事件，也称为不确定事件．三．事件的概率一般地，如果一个实验共有n 个等可能的结果，事件A 包含其中的k 个结果，那么事件A 的概率：()==A k P A n事件包含的可能结果数所有的可能结果总数．1.确定事件与随机事件⎧⎧⎪⎨⎨⎩⎪⎩必然事件不可能事件随机事件确定事件事件必然事件：在一定条件下必定出现的现象，叫做必然事件.不可能事件：在一定条件下必定不出现的现象叫做不可能事件.确定事件：必然事件和不可能事件统称确定事件.随机事件：在一定条件下可能出现也可能不出现的现象叫随机事件.2.事件发生的可能性100%())10P A ⎧⎪⎫⎪⎪<<⎪⎨⎬⎪⎪⎭⎪⎪⎩必然（）很有可能有可能随机事件可能性大小(不太可能不可能（0）3.事件的概率=A 1A =1=0A A A k n ⎧⎪⎨⎪<<⎩⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩定义：用来表示某事件发生的；为必然事件：P(A)事件的概率为不可能事件：P(A)为随机事件：P(A)用频率估计概率：把与的叫该事件发生的频率；定义：试验结果有限，各种结果可能出现的，任何两个等可能试验：结果不可能；事件包含的等可能性大小的数0频数试验总次数比值机会均等同时出现可能结果可能事件的概率数所有：P(A)=利用树形可能结果数图求概率⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩：可以避免重复和遗漏，直观又条理分明.。
第一章-概率论的基础知识
组合（不放回抽样）：从含有n个元素的集合中 随机抽取k个，共有
n A n! k Cn k k ! k !(n k )!
k n
种取法.
(1) 摸球问题 例1:设盒中有4个白球，2个红球，现从盒中
任抽2个球，分别在放回抽样与不放回抽样的
情况下求
(1)取到两只白球的概率。
AB
“A发生必导致B发生”。
2.和事件： (p4) AB
AB发生“事件A与B 至少有一个发生”
i 2’n个事件A1, A2,…, An至少有一个发生 A发生 i 1
n
3. 积事件(p4) :AB＝AB
A与B同时发生 AB发生
3’n个事件A1, A2,…, An同时发生 A1A2…An发生
容的事件，即AiAj＝，(ij), i , j＝1, 2, …, 有
P( A1 A2 … )＝ P(A1) ＋P(A2)+…. 则称P(A)为事件A的概率。( p8) 称为概率的公理化定义
概率的性质 P(8-9) (1) P() 0 (2) 有限可加性：设A1，A2，…，An , 是n个两两互 不相容的事件，即AiAj＝ ，(ij), i , j＝1, 2, …, n , 则有 P( A1 A2 … An)＝ P(A1) ＋P(A2)+… +P(An); (3) 单调不减性：若事件AB，则 P(A)≥P(B) A S , P( A) 1
解：
P( A B) 0.6 ,
求 P( AB )
P( AB) P( A B) P( A) P( AB)
P( A) [ P( A) P( B) P( A B)]
0.4 (0.4 0.3 0.6) 0.3
初一概率知识点归纳总结
初一概率知识点归纳总结概率是数学中的一个重要分支，它研究事件发生的可能性。
在初一数学学习中，我们也接触到了一些概率的知识，下面对初一概率知识点进行归纳总结。
一、概率的基本概念概率是指事件发生的可能性大小，通常用一个介于0到1之间的实数表示。
其中，0表示不可能事件，1表示必然事件，介于0和1之间的数表示事件发生的可能性大小。
例如，一个硬币掷出正面的概率为0.5，表示掷硬币时正面朝上和背面朝上的可能性大小相等。
二、事件的分类在概率中，我们常将事件分为必然事件、不可能事件和可能事件。
1. 必然事件：指在任何情况下都会发生的事件，其概率为1。
2. 不可能事件：指在任何情况下都不会发生的事件，其概率为0。
3. 可能事件：指发生与不发生都有可能的事件，其概率介于0和1之间。
三、事件的运算1. 事件的并：设A和B是两个事件，它们的并事件表示为A∪B，表示事件A和事件B中至少发生一个的情况。
2. 事件的交：设A和B是两个事件，它们的交事件表示为A∩B，表示既发生事件A又发生事件B的情况。
3. 事件的差：设A和B是两个事件，它们的差事件表示为A-B，表示发生事件A而不发生事件B的情况。
四、事件的概率计算1. 等可能性原理：在某些情况下，当事件的样本空间中的样本点等可能出现时，可以使用等可能性原理计算事件的概率。
例如，掷一个骰子，计算出现奇数的概率为3/6=1/2。
2. 频率与概率的关系：频率是指在大量试验中，某事件发生的次数与总试验次数的比值。
当试验次数无限增加时，频率趋近于概率。
3. 古典概型：指将样本空间中的每个样本点等可能性地出现，可以使用定理计算事件的概率。
例如，扑克牌中抽出一张牌是红心的概率为13/52=1/4。
五、事件的独立性事件的独立性是指事件A的发生与否不会影响事件B的发生与否，反之亦然。
当事件A和事件B相互独立时，可以将它们的概率相乘计算它们同时发生的概率。
六、排列和组合排列和组合是数学中的常见概念，在概率计算中也经常用到。
初中数学概率知识点归纳
初中数学概率知识点归纳概率作为数学的一个重要分支，是研究随机事件发生的可能性的一门学科。
在数学中，概率的研究对于帮助我们理解和解决各种实际问题具有重要意义。
在初中数学中，学生们也会接触到一些基础的概率知识。
本文将对初中数学概率的相关知识点进行归纳，帮助学生们更好地理解和应用这些知识。
1. 试验和随机事件试验是为了观察和研究某个现象而进行的操作或观察，试验的结果称为随机事件。
随机事件是在相同的条件下可能发生也可能不发生的事件。
2. 样本空间和事件样本空间是指一个试验所有可能结果的集合。
事件是样本空间的一个子集，表示某些结果的集合。
3. 概率的基本性质概率取值在0到1之间，概率为0表示不可能事件，概率为1表示必然事件。
对于任何事件A，有0≤P(A)≤1。
对于样本空间S，有P(S)=1。
对于互不相容的事件A和B，有P(A∪B) = P(A) + P(B)。
4. 等可能概型当试验的样本空间中的每个结果出现的概率相等时，称为等可能概型。
在等可能概型中，事件A发生的概率可以通过计算其有利结果数与总结果数之比来求得。
5. 互斥事件互斥事件是指两个事件不能同时发生的情况。
对于互斥事件A和B，有P(A∪B) = P(A) + P(B)。
6. 事件的补事件事件的补事件是指与该事件互斥且在样本空间中的所有结果中不发生的事件。
事件A的补事件记作A'，有P(A') = 1 - P(A)。
7. 独立事件独立事件是指一个事件的发生不受其他事件影响的情况。
对于独立事件A和B，有P(A∩B) = P(A) × P(B)。
8. 条件概率条件概率是指在已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率。
条件概率可以通过P(A|B) = P(A∩B) / P(B)的公式来计算。
9. 乘法定理乘法定理是指计算多个事件同时发生的概率。
对于事件A和B，有P(A∩B) =P(A) × P(B|A) = P(B) × P(A|B)。
初中概率知识点总结大全
初中概率知识点总结大全一、概率基础知识1. 随机试验：指条件具备，结果不确定的实验，比如掷骰子、抛硬币等。
2. 样本空间：随机试验的所有可能结果组成的集合。
3. 事件：样本空间的子集称为事件，包含了我们关心的一些结果。
4. 必然事件和不可能事件：必然事件是指一定会出现的事件，比如抛硬币一定会出现正反面其中之一；不可能事件是指一定不会出现的事件，比如抛硬币会出现正反面之外的结果。
5. 等可能事件：指所有事件发生的可能性相等。
6. 概率：事件发生的可能性大小。
用符号 P(A) 表示事件 A 的概率。
二、概率计算1. 古典概型计算当样本空间中的元素个数有限且每个基本事件发生的可能性相等时，可使用古典概型计算概率。
例如：掷一枚骰子，求点数为偶数的概率。
样本空间 S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}，事件A是点数为偶数的结果，即 A = {2, 4, 6}。
所以 P(A) = n(A) / n(S) = 3 / 6 = 1/2。
2. 几何概型计算当事件的发生是与随机试验的空间几何结构有关时，可使用几何概型计算概率。
例如：在一个圆形的靶子上打靶，求打在靶心的概率。
由于靶心只有一个点，而靶子的面积是一个圆，所以 P(A) = 0。
3. 频率法计算当样本空间中的元素个数非常大，无法通过统计来确定每个基本事件的发生概率时，可使用频率法计算概率。
例如：抛掷硬币，实验多次后计算正面朝上的频率来估算正面朝上的概率。
4. 排列和组合排列和组合是概率计算中常用的计算方法。
排列是指从n 个不同元素中任取m（m ≤ n）个元素按照一定顺序排成一列的不同排列数。
排列数用 P(n, m) 或 n!/(n-m)! 表示。
组合是指从 n 个不同元素中任取 m（m ≤ n）个元素并成一组的不同组合数。
组合数用 C(n, m) 或 n!/m!(n-m)! 表示。
三、概率的运算1. 事件的关系事件的关系包括事件的和、差、积和余事件。
初中概率初步知识点归纳
初中概率初步知识点归纳初中阶段的概率是数学中的一门重要内容，是学生在数学学习中的必修课程。
下面是初中概率的初步知识点归纳：1.基本概念：概率是实验结果的可能性的度量，通常用0到1之间的数值表示。
0表示不可能事件，1表示必然事件。
样本空间是指一个试验的所有可能结果的集合。
事件是样本空间的子集，由一个或多个结果所组成。
2.概率的计算：概率的计算公式为：P(A)=事件A发生的可能结果数÷样本空间的可能结果数。
当样本空间中的每个结果出现的可能性相等时，可以使用等可能原则计算概率。
3.各种事件的概率：单个结果的概率为1除以样本空间中可能结果的数目。
对立事件的概率为1减去该事件的概率。
子集事件的概率为子集所包含结果的概率之和。
和事件的概率为两个事件概率之和减去二者的交集概率。
4.独立事件：如果两个事件发生与否互不影响，那么这两个事件是独立事件。
两个独立事件的概率乘积等于它们各自的概率之积。
5.互斥事件：如果两个事件发生一个就不能发生另一个，那么这两个事件是互斥事件。
互斥事件的概率之和等于它们各自的概率之和。
6.排列与组合：排列是从n个不同元素中取出m个进行排列，所得到的不同序列的个数，用P(n,m)表示。
组合是从n个不同元素中取出m个进行组合，所得到的不同组合的个数，用C(n,m)表示。
排列公式：P(n,m)=n!/(n-m)!组合公式：C(n,m)=n!/(m!(n-m)!)7.实际问题的概率计算：实际问题中的概率计算需要根据具体情况进行分析和计算。
根据问题所给条件，确定样本空间和事件，然后应用概率的计算公式进行计算。
8.必然事件和不可能事件：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0。
必然事件和不可能事件是对立事件。
9.完整事件：完整事件是样本空间的一个划分，即所有可能结果的和。
10.频率和概率的关系：频率是概率的一种估计值，当试验次数趋于无穷时，频率会趋于概率。
频率与概率之间存在着一个稳定的关系。
概率初中知识点总结
概率初中知识点总结概率初中知识点总结正文:一、随机事件和概率1. 随机事件:在一定条件下可能发生的事件称为随机事件。
2. 样本空间:所有可能事件所组成的空间称为样本空间。
3. 事件的概率:一个随机事件发生的概率等于该事件发生的次数除以样本空间中该事件发生的次数。
4. 独立事件:两个事件互不影响,且其中一个事件的发生不会影响另一个事件的发生。
5. 等可能事件:两个事件都是可能发生的,称为等可能事件。
二、随机变量和概率分布1. 随机变量:表示随机事件的序列或集合的变量称为随机变量。
2. 离散型随机变量:其取值只分布在有限或可数个离散点上的变量称为离散型随机变量。
3. 连续型随机变量:其取值连续或可无限连续的变量称为连续型随机变量。
4. 概率分布:随机变量取值的概率密度函数称为该变量的概率分布。
5. 概率分布的密度函数:表示随机变量取值的概率密度函数称为该变量的概率分布的密度函数。
三、概率的计算方法1. 期望:随机变量的平均值称为该变量的期望。
2. 方差:随机变量的标准差称为该变量的方差。
3. 协方差:两个随机变量之间相互关联的程度称为它们之间的协方差。
4. 相关系数:表示两个变量之间相互关联程度的系数称为它们之间的相关系数。
拓展:1. 随机变量的数字特征:表示随机变量取值离散程度的特征称为随机变量的数字特征。
2. 概率分布的图形表示:概率分布的密度函数可以用概率分布的图形表示,如散点图、密度图等。
3. 概率分布的应用:概率分布可以用于模拟、预测、决策等领域。
4. 随机变量的独立性:两个独立随机变量之间相互独立,即它们之间的方差之和为0。
初中《概率》知识点归纳
初中《概率》知识点归纳概率是数学中的一个分支，研究随机事件的发生概率和可能性的科学。
初中阶段，学生会学习一些基础的概率知识，本文将对初中《概率》知识点进行归纳总结。
一、随机事件和样本空间1.随机事件：具有不确定性的事件称为随机事件，如抛掷一枚硬币的结果、掷骰子的点数等。
2.样本空间：随机试验的所有可能结果的集合称为样本空间，用S表示。
例如，抛掷一枚硬币的样本空间为{正面，反面}。
二、事件的概率1.定义：事件A的概率是指在一次随机试验中，事件A发生的可能性，用P(A)表示。
2.概率的性质：-非负性：对于任意事件A，0≤P(A)≤1-必然事件：对于一定发生的事件，概率为1-不可能事件：对于一定不发生的事件，概率为0。
-加法公式：若A、B为互斥事件，则P(A∪B)=P(A)+P(B)。
3.等可能概率：在样本空间中，每个事件的发生概率相等。
例如，抛掷一枚硬币正面朝上的概率为1/24.事件的互斥与独立：-互斥事件：两个事件不能同时发生，P(A∩B)=0。
-独立事件：两个事件的发生不会相互影响，P(A∩B)=P(A)×P(B)。
三、事件的确定性和可能性1.确定性事件：在一次随机试验中，一定会发生的事件。
2.可能性事件：在一次随机试验中，可能发生也可能不发生的事件。
四、频率与概率1.频率：在大量重复试验中，事件A发生的频次与总试验次数的比值称为事件A的频率，记作f(A)。
2.大数定律：在试验次数很大时，事件A的频率趋近于事件A的概率。
五、排列和组合1.排列：从n个不同元素中，按照一定顺序取出m(m≤n)个元素，称为从n个不同元素中选取m个元素的排列数，记作A(n,m)。
2.组合：从n个不同元素中，取出m(m≤n)个元素，不考虑其顺序，称为从n个不同元素中选取m个元素的组合数，记作C(n,m)。
3.公式：-A(n,m)=n!/(n-m)!-C(n,m)=n!/(m!(n-m)!)六、概率的计算1.等可能概率的计算：P(A)=有利的结果数/总结果数。
七年级概率初步知识点总结
七年级概率初步知识点总结概率，是指某件事情发生的可能性大小。
在数学中，概率是一个十分重要的概念，也是数学中比较基础的知识之一。
下面我们来总结一下七年级概率初步的知识点。
一、基础概念1. 事件：概率问题中所研究的问题2. 样本空间：在概率问题中，所有可能出现的情况组成的集合3. 事件的概率：事件发生的可能性大小，通常用P（A）表示4. 必然事件：有些事件必然会发生，如掷一枚硬币，正反两面一定会有一面朝上5. 不可能事件：有些事件不可能会发生，如掷一枚硬币的正反两面同时朝上二、概率的计算方法1. 等可能概型下的概率计算：对于每种可能性发生的概率相同的问题，可以使用总数与被计数项数的比值计算例如：在掷一枚硬币的情况下，正面向上的概率为1/2。
2. 容斥原理：指如果想要求得至少发生其中一个事件的概率，可以先将每个事件的概率相加，再减去同时发生两个事件的概率，最后加上同时发生所有事件的概率例如：一枚骰子掷两次，至少有一次出现3点的概率为11/36。
3. 互不相容事件的概率计算：指若两个事件不会发生重叠部分，概率可以直接相加例如：在掷一枚骰子的情况下，得到2点或3点的概率为1/6+1/6=1/3。
三、概率模型的修改1. 添加事件：指增加概率模型中事件的可能性例如：在掷两次一枚骰子的情况下，至少有一次获得5点及以上的概率为11/18。
2. 删除事件：指减少概率模型中事件的可能性例如：在初始有5个红球和3个蓝球的情况下，如果从中随机取出一个球，得到红球的概率为5/8；但如果从中取出一个红球后，放回去又取一次，得到两次都得到红球的概率为25/64。
以上就是七年级概率初步的知识点总结，希望能对大家的学习有帮助。
初中概率初步知识点归纳
初中概率初步知识点归纳1.概率的基本概念：概率是指一些事件发生的可能性大小。
用数字来表示概率，概率的范围在0到1之间，其中0表示不可能发生，1表示必然发生。
2.试验与样本空间：试验是指一些随机事件的观察或测试过程，样本空间是指试验的所有可能结果的集合。
例如，抛一枚硬币的试验，样本空间为{正面，反面}。
3.事件与事件的概率：事件是指样本空间的一个子集，即一些试验的可能结果的集合。
事件的概率是指该事件发生的可能性大小。
事件的概率可以通过计算实验中该事件发生的次数与实验总次数的比例来确定。
4.相等概率事件：如果一个试验的样本空间中的每个结果发生的概率相等，那么每个结果就是一个相等概率事件。
例如，抛一枚均匀硬币的结果正面和反面都是相等概率事件。
5.基本事件与复合事件：基本事件是样本空间中的一个单独结果，复合事件是样本空间中的一个或多个事件的集合。
复合事件可以通过基本事件的交、并、非等运算得到。
6.事件的互斥与独立：两个事件互斥是指它们不能同时发生，即它们的交集为空集；两个事件独立是指它们的发生与不发生相互独立，即一个事件的发生不影响另一个事件的发生。
7.计数原理：计数原理是概率问题中常用的计算方法。
包括排列计数原理和组合计数原理。
排列是指从一组不同的元素中取出若干个按照一定顺序排列的方式，组合是指从一组不同的元素中取出若干个按照任意顺序排列的方式。
8.条件概率：条件概率是指在一些条件下事件发生的概率。
如果事件A和事件B相互独立，那么事件A在事件B发生的条件下发生的概率与事件A发生的概率相等。
9.事件的发生次数的概率分布：事件的发生次数的概率分布可以用频率来近似估计。
当试验次数很大时，事件发生次数的频率趋近于事件发生的概率。
10.古典概型：古典概型是指试验的样本空间有限且所有结果发生的概率相等的情况。
在古典概型中，事件发生的概率可以通过计数原理进行计算。
初二数学易考点概率的基础知识与计算
初二数学易考点概率的基础知识与计算在初二数学的学习中，概率是一个重要且有趣的知识点。
它不仅在数学领域有着广泛的应用，在我们的日常生活中也随处可见。
下面就让我们一起来深入了解概率的基础知识与计算方法。
一、概率的定义概率，简单来说，就是用来衡量某个事件发生可能性大小的一个数值。
通常，我们把一个事件发生的可能性大小的数值范围设定在 0 到 1 之间。
如果一个事件完全不可能发生，那么它的概率就是 0；如果一个事件肯定会发生，那么它的概率就是 1；而对于那些有可能发生也有可能不发生的事件，其概率就介于 0 和 1 之间。
例如，太阳从西边升起这个事件是完全不可能发生的，所以它的概率为 0；而掷一枚硬币，正面朝上这个事件是有可能发生的，所以它的概率是 05。
二、概率的计算方法1、古典概型在古典概型中，事件的概率等于该事件所包含的基本事件个数除以基本事件的总数。
比如，一个袋子里装有 5 个红球和 3 个白球，从袋子中任意取出一个球，取出红球的概率是多少？总共有 8 个球，取出红球的情况有 5 种，所以取出红球的概率就是5÷8 ＝ 0625。
2、几何概型几何概型是指每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度、面积或体积成比例。
例如，在一个半径为 1 的圆内随机取一点，该点在圆的某一半径上的概率是 0，而该点在圆内的概率是 1。
如果要计算该点落在半径为 05 的同心圆内的概率，就需要计算两个圆的面积之比。
小圆的面积为025π，大圆的面积为π，所以该点落在半径为 05 的同心圆内的概率就是 025。
三、事件的关系与运算1、互斥事件互斥事件是指两个事件不能同时发生。
例如，掷一枚骰子，“出现 1 点”和“出现 2 点”就是互斥事件。
如果 A、B 是互斥事件，那么它们的和事件的概率等于各自概率之和，即 P(A∪B) ＝ P(A) ＋ P(B) 。
2、对立事件对立事件是指两个互斥事件中必有一个发生。
例如，“骰子点数小于4”和“骰子点数大于等于4”就是对立事件。
初中数学概率知识点汇总
初中数学概率知识点汇总数学是一门广泛应用于我们生活中的学科，而概率则是其中的一个重要分支。
作为初中阶段的学生，掌握概率知识对于我们的日常生活和学习都有着重要的意义。
在本文中，我将为您汇总一些初中数学概率的知识点，希望能对您的学习有所帮助。
一、基本概念1. 概率的定义：概率是指某一事件发生的可能性大小，用一个介于0和1之间的实数表示。
2. 必然事件与不可能事件：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0。
3. 事件的互斥与对立：互斥事件指的是两个事件不能同时发生，对立事件指的是两个事件中必定发生一个。
4. 样本空间与事件：样本空间是指一个试验的所有可能结果的集合，而事件则是样本空间的一个子集。
二、概率的计算方法1. 等可能性原理：当样本空间中的每个事件发生的可能性相等时，可以通过事件发生的次数除以样本空间的元素个数来计算概率。
2. 频率与概率的关系：频率是指某一事件在大量重复实验中发生的次数与实验总次数的比值，当重复实验次数趋近于无穷大时，频率会趋近于概率。
三、事件之间的关系1. 事件的和事件：两个事件A和B的和事件，表示事件A或事件B发生的情况，记作A∪B。
2. 事件的积事件：两个事件A和B的积事件，表示事件A和事件B同时发生的情况，记作A∩B。
3. 事件的差事件：事件A和B的差事件，表示事件A发生但事件B不发生的情况，记作A-B。
4. 事件的对立事件：事件A的对立事件，表示事件A不发生的情况，记作A'。
四、概率计算公式1. 加法定理：对于两个事件A和B，概率公式为P(A∪B) = P(A) + P(B) -P(A∩B)。
2. 减法定理：对于两个事件A和B，概率公式为P(A-B) = P(A) - P(A∩B)。
五、古典概型古典概型是指在样本空间中，每个基本事件发生的可能性相等的情况。
在古典概型中，概率的计算可以通过事件发生的有利结果数目除以样本空间的元素个数来计算。
六、排列与组合1. 排列：排列是指从n个元素中按照一定的顺序选取r个元素的不同方式的数目，记作A(n,r)。
初中概率知识点总结
初中概率知识点总结概率是数学中的一个重要分支，也是统计学的基础。
它研究的是事件发生的可能性大小及其规律性。
概率的研究可以帮助我们预测事件发生的可能性、解决实际问题、做出合理决策等，具有广泛的应用价值。
以下是关于初中概率知识点的总结。
1.事件与样本空间：事件是指某一结果或结果的集合，样本空间是所有可能事件的集合。
例如，抛一枚硬币，正面朝上和反面朝上都是事件，而硬币有两面，所以样本空间为{正面，反面}。
2.概率的定义与性质：概率用来描述某个事件发生的可能性大小，通常用P(A)表示。
概率的性质包括：非负性（概率值大于等于0）、规范性（样本空间的概率为1）、可加性（互不相容事件的概率可以相加）。
3.计算概率的方法：(1)频率法：通过实验统计结果出现的次数来估计概率。
(2)古典概型：针对简单事件，采用数学方法进行计算。
(3)用有利于事件A发生的次数除以总的可能次数的方法。
4.概率的相等性：对于互不相容事件A和B，有P(A∪B) = P(A) + P(B)。
对于不互不相容事件A和B，有P(A∪B) = P(A) + P(B) -P(A∩B)。
5.排列与组合：排列是指从n个不同元素中取出m个元素，按照一定顺序排列的方法数目。
组合是指从n个不同元素中取出m个元素，不考虑顺序的方法数目。
计算排列和组合的方法有公式法和分步法。
6.古典概型：古典概型是指每个简单事件发生的可能性相等的概率模型。
针对古典概型，概率可以用公式 P(A) = m / n 计算，其中m为事件A包含的实验点数目，n为样本空间中的实验点数目。
7.条件概率：条件概率是指在另一个事件已经发生的条件下，某个事件发生的概率。
条件概率的计算公式为P(A|B) = P(A∩B) / P(B)，其中P(A∩B)表示事件A与事件B同时发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率。
8.独立事件：两个事件A和B互相独立，表示A的发生不影响B的发生，反之亦然。
若A与B相互独立，则P(A∩B) = P(A) * P(B)。
期末概率知识点总结初中
期末概率知识点总结初中概率是数学中一个非常重要的概念，它在我们生活中有着广泛的应用。
而在初中阶段，学生们学习的概率知识主要包括基本概率、古典概率和条件概率等内容。
今天我将对这些知识进行总结，以便帮助大家更好地理解和掌握概率知识。
一、基本概率1.1 实验与样本空间在概率论中，实验是指一种可以在某种特定条件下进行的事物观察或测量。
样本空间则是实验所有可能结果的集合。
例如，抛硬币的实验，样本空间为{正面，反面}；掷骰子的实验，样本空间为{1,2,3,4,5,6}。
1.2 事件与概率在样本空间中的子集称为事件，事件的发生即为实验的某一结果。
概率是事件发生的可能性大小，通常用P(A)表示。
概率的计算公式为P(A)=事件A的次数/样本空间的大小。
概率的取值范围是0至1之间。
1.3 事件的互斥与独立互斥事件是指两个事件不可能同时发生的情况，如抛硬币得到正反面就是互斥事件。
独立事件则是指一个事件的发生不影响另一个事件的概率大小。
1.4 概率的性质概率具有以下性质：非负性，即概率不会为负数；规范性，即样本空间的概率为1；可列可加性，即事件A与事件B的和事件的概率等于事件A与事件B分别发生的概率之和。
二、古典概率古典概率是通过特定的概率分布来计算事件发生的可能性。
它的计算方法主要是通过频率来估计概率。
2.1 古典概率的计算方法对于有限个元素的样本空间，单个元素发生的概率为1/样本空间的大小。
例如，抛硬币的概率就是1/2。
对于有限个元素的样本空间，事件A发生的概率可以通过公式P(A)=事件A的元素个数/样本空间的大小来计算。
2.2 古典概率的应用古典概率在生活中有着很多应用，例如投掷骰子的概率计算、抽签抽奖的概率计算等等。
2.3 古典概率的局限性古典概率只适用于样本空间有限的情况，而不适用于样本空间无限的情况。
三、条件概率条件概率是指在另一个事件已经发生的前提下，另一个事件发生的概率大小。
条件概率的计算方法为P(A|B)=P(A∩B)/P(B)。
七年级概率初步知识点
七年级概率初步知识点概率是数学中一个非常重要的概念，也是我们日常生活中不可避免的问题。
简单来说，概率就是某一个事件发生的可能性大小。
在七年级的初步学习中，我们将会学到概率的基本概念、公式运用、以及实际中的应用。
一、基本概念1.概率的定义概率是某个事件发生的可能性大小，通常是用一个介于0和1之间的数值来表示。
2.样本空间和事件样本空间是指某个试验中所有可能结果组成的集合，事件则是样本空间中的任意一个子集。
3.基本事件基本事件是指样本空间中的一个单独的结果，例如掷一枚骰子得到的点数就是一个基本事件。
二、公式运用1.频率和概率的关系频率是某个事件在大量试验中出现的相对次数，而概率则是某个事件出现的理论可能性大小。
当试验次数无限接近时，频率将会无限接近于概率。
2.概率的加法原理当某个事件可以用两个或多个不相交的事件来表示时，该事件的概率等于每个不相交事件的概率之和。
3.概率的乘法原理当某个事件可以用两个或多个独立事件的组合来表示时，该事件的概率等于每个独立事件概率的乘积。
三、实际应用1.在游戏中应用概率在玩掷骰子的游戏时，我们可以利用概率来计算掷出某个数字的可能性大小，从而决策自己的游戏策略。
2.概率在科学中的应用概率在统计学中广泛应用，可以用来对某些自然现象进行预测和研究，例如气象、物理等领域。
3.概率在经济中的应用概率在金融和股票市场中广泛应用，可以用来帮助投资者预测股市走向和做出相应的决策。
总结以上是七年级概率初步知识点的基本内容，希望同学们能够掌握概率的基本概念、公式运用以及实际中的应用。
在实践中，通过不断地练习和探索，我们可以更深入地了解概率，以及如何在实际应用中更好地运用概率。
概率初步九年级知识点
概率初步九年级知识点一、概率的基本概念概率是研究随机事件发生可能性的数学工具。
在我们日常生活中，概率无处不在。
我们可以通过概率来计算各种事件的发生概率，从而进行合理的决策。
二、事件与样本空间1. 事件：概率论中，事件是指一个随机试验的结果。
例如，掷一枚硬币，正面朝上为事件A，反面朝上为事件B。
2. 样本空间：样本空间是指随机试验的所有可能结果的集合。
对于掷一枚硬币的试验，样本空间为{正面，反面}。
三、概率的计算概率的计算可以通过频率法和几何法两种方法。
1. 频率法：通过实验的结果次数与实验总次数的比值来计算概率。
例如，掷一枚硬币，正面朝上的次数除以总次数即可得到正面出现的概率。
2. 几何法：通过样本点在样本空间中的位置来计算概率。
例如，在掷一枚骰子的试验中，三点出现的概率为1/6。
四、基本事件的概率1. 基本事件：样本空间中的单个元素称为基本事件。
例如，掷一枚硬币，正面朝上、反面朝上分别为两个基本事件。
2. 基本事件的概率：基本事件的概率等于事件发生的可能性除以样本空间的大小。
例如，掷一枚硬币，正面朝上的概率为1/2。
五、互斥事件与对立事件1. 互斥事件：两个事件不能同时发生，称为互斥事件。
例如，掷一枚硬币，正面朝上和反面朝上是互斥事件。
2. 对立事件：两个事件发生其中一个必然排除另一个，称为对立事件。
例如，掷一枚硬币，正面朝上和反面朝上是对立事件。
六、加法定理加法定理是计算事件并的概率的公式。
对于两个事件A和B，其并的概率等于A事件的概率加上B事件的概率减去A和B同时发生的概率。
即P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)。
七、乘法定理乘法定理是计算事件交的概率的公式。
对于两个事件A和B，其交的概率等于A事件的概率乘上B事件在A发生的条件下的概率。
即P(A∩B) = P(A) * P(B|A)。
八、条件概率条件概率是指在一个事件已经发生的条件下，另一个事件发生的概率。
用P(B|A)表示在事件A发生的条件下B发生的概率。
初一概率知识点总结
初一概率知识点总结概率是描述一个事件发生可能性大小的数值，是数学中的一个重要分支，也是生活中经常用到的概念。
初一的学生在数学学习中，也会接触到一些简单的概率知识。
接下来，我将对初一的概率知识点进行总结，希望对同学们的学习有所帮助。
一、基本概念1. 样本空间和事件在概率论中，我们把一个试验所有可能结果组成的集合称为这个试验的样本空间，通常用S表示。
而事实上我们所关心的是样本空间中的某些子集，这些子集通常称为事件。
事件是样本空间的一个子集，通常用大写字母A，B，C等表示。
2. 概率事件A的概率通常用P(A)表示，表示该事件发生的可能性大小。
概率是介于0到1之间的实数，当P(A)=1时，表示事件一定发生；当P(A)=0时，表示事件一定不发生。
3. 等可能事件如果一个试验的各个基本事件发生的可能性相同，那么这些基本事件是等可能事件。
4. 互斥事件如果事件A和事件B不能同时发生，那么这两个事件就是互斥事件。
5. 相关事件如果事件A的发生与事件B的发生有关系，那么这两个事件是相关事件。
相关事件可以是互斥事件，也可以是非互斥事件。
二、概率计算1. 定义法概率的定义法是最基本的计算方法。
一个事件A发生的概率可以通过计算A包含的样本点的个数与样本空间中的样本点个数之比来表示。
2. 几何法对于某些几何问题，用面积、体积或长度来表示事件的概率，称为几何概型。
3. 频率法频率法是通过重复试验并统计试验结果来计算概率的方法。
在进行多次试验后，事件A发生的频率会趋于它的概率。
4. 条件概率条件概率指的是在事件B已经发生的条件下，事件A发生的概率。
条件概率通常用P(A|B)表示，读作“在B的条件下，A的概率”。
5. 乘法定理乘法定理是计算复合事件的概率的一种方法。
如果两个事件A和B相互独立，那么它们的乘积事件的概率等于它们的概率的乘积。
6. 全概率公式和贝叶斯公式全概率公式和贝叶斯公式是在条件概率的基础上发展起来的概率计算方法。
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第一章概率论基础1、（2002，数四，8分）设是任意二事件，其中的概率不等于0和1，证明是事件与独立的充分必要条件。
2、（2003，数三，4分）将一枚硬币独立地掷两次，引进事件“掷第一次出现正面”，“掷第二次出现正面”，“正、反面各出现一次”，“正面出现两次”，则事件（）（A）相互独立。
（B）相互独立。
（C）两两独立。
（D）两两独立。
3、（2003，数四，4分）对于任意二事件和，则（A）若,则一定独立；（B）若,则有可能独立；（C）若,则一定独立；（D）若,则一定不独立；4、（2006，数一，4分）设为两个随机事件,且则必有（A）（B）（C）（D）第二章随机变量及其分布1、（2005，数一，4分）从数1，2，3，4中任取一个数，记为，再从中任取一个数，记为，则。
2、（2003，数三，13分）设随机变量的概率密度为，是的分布函数。
求随机变量的分布函数。
3、（2006，数一，4分）随机变量与相互独立，且均服从区间[0,3]上的均匀分布，则。
20、（2007，数一，4分）在区间（0，1）中随机地取两个数，则这两个数之差的绝对值小于的概率为。
4、（2007，数一，4分）某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为。
则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为（）（A）（B）（C）（D）第三章多维随机变量及其分布1、（2002，数一，3分）设和是任意两个相互独立的连续型随机变量，它们的概率密度分别为和，分布函数分别为和，则（）（A）必为某一随机变量的概率密度。
（B）必为某一随机变量的概率密度。
（C）必为某一随机变量的分布函数。
（D）必为某一随机变量的分布函数。
2、（2003，数一，4分）设二维随机变量的概率密度为，则。
3、（2003，数三，13分）设随机变量与独立，其中的概率分布为，而的概率密度为，求随机变量的密度。
4、（2003，数四，4分）设随机变量和都服从正态分布，且它们不相关，则（A）与一定独立；（B）服从二维正态分布；（C）与未必独立；（D）服从一维正态分布。
5、（2004，数一，9分）设为两个随机事件,且令求：（1）二维随机变量的概率分布；（2）的概率分布。
6、（2004，数四，13分）设随机变量在区间（0，1）上服从均匀分布，在的条件下，随机变量在区间上服从均匀分布，求：（1）随机变量和的联合概率密度；（2）的概率密度；（3）概率。
7、（2005，数一，4分）设二维随机变量的概率分布为0 10 1 0.4 0.1已知随机事件与相互独立，则（A），（B），（C），（D）。
8、（2005，数一，9分）设二维随机变量的概率密度为求（1）的边缘概率密度；（2）的概率密度；9、（2006，数一，9分）设随机变量的概率密度为，令,为二维随机变量的分布函数，求（1）的概率密度；（2）。
10、（2007，数一，4分）设随机变量服从正态分布，且与不相关，分别表示的概率密度，则在的条件下，的条件概率密度为（）（A）（B）（C）（D）11、（2007，数一，11分）设二维随机变量的概率密度为，求：（1）;（2）求的概率密度；12、（2008，数一，4分）设随机变量独立同分布，且的分布函数为，则的分布函数为 ( )（A）（B）（C）（D）13、（2008，数一，11分）设随机变量与相互独立，的概率分布为，的概率密度为，记，求：（1）求（2）求的概率密度。
第四章随机变量的数字特征1. 设随机变量和的联合概率分布为X Y-1 0 100.07 0.18 0.1510.08 0.32 0.20(1)（02年考研，数学四，3分）和的相关系数___________。
(2)（02年考研，数学三，3分）和的协方差___________。
2.（02年考研，数学一，7分）设随机变量的概率密度为，对独立重复观察4次，用表示观察值大于的次数，求的数学期望。
3.（02年考研，数学三，8分）假设随机变量U在区间[-2，2]上服从均匀分布，随机变量试求(1)和的联合概率分布；(2)。
4.（03年考研，数学一，10分）已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有3件合格品和3件次品，乙箱中仅装有3件合格品，从甲箱中任取3件产品放入乙箱后，求：乙箱中次品件数的数学期望；从乙箱中任取一件产品是次品的概率。
5.（03年考研，数学三，4分）设随机变量和的相关系数为0.9，若，则与的相关系数为______________。
6.（03年考研，数学四，4分）设随机变量和的相关系数为0.5，，则____________。
7.（03年考研，数学四，13分）对于任意二事件A和B，0<P(A)<1，0<P(B)<1，称作事件A和B的相关系数。
(1) 证明事件A和B独立的充分必要条件是其相关系数等于零。
(2) 利用随机变量相关系数的基本性质，证明。
8.（04年考研，数学一，4分）设随机变量独立同分布，且方差，令随机变量，则[ ](A) (B)(C) (D)9.（04年考研，数学一，9分）设A和B为两个随机事件，且令求(1) 二维随机变量（X，Y）的概率分布；(2)与的相关系数；(3) 的概率分布。
10.（06年考研，数学三，13分）设随机变量的概率密度为令为二维随机变量（X，Y）的分布函数，求(1) Y的概率密度；(2) ；(3) 。
11.（07年考研，数学四，11分）设随机变量与独立同分布，且的概率分布为1 22/3 1/3记，(1) 求（u,v）的概率分布；(2) 求u与v的协方差）cov（u,v）12.（08年考研，数学一，4分）设随机变量，且相关系数，则[ ](A) (B)(C) (D)13.（08年考研，数学一，4分）设随机变量服从参数为1的泊松分布，则_________第五章大数定律和中心极限定理1.（01年考研，数学一，3分）设随机变量X的方差为2，则根据切比雪夫不等式有估计______________。
1/22.（01年考研，数学三，3分）设随机变量X和Y的数学期望都是2，方差分别为1和4，而相关系数为0.5，则根据切比雪夫不等式__________________。
1/123.（02年考研，数学四，3分）设随机变量相互独立，则根据林德伯格-列维（Lingdberg -Levy）中心极限定理，当充分大时，近似服从正态分布，只要[ ]（A）有相同的数学期望. （B）有相同的方差（C）服从同一指数分布. （D）服从同一离散分布. 4.（03年考研，数学三，4分）设总体服从参数为2的指数分布，为来自总体的简单随机样本，则当时，依概率收敛于_________________.5.（05年考研，数学四，4分）设为独立同分布的随机变量列，且均服从参数为的指数分布，记为标准正态分布函数，则[ ]（A）（B）（C）（D）第六章数理统计基础1. ( 02年考研，数学三，3分)设随机变量X和Y都服从标准正态分布，则（）(A) X+Y服从正态分布. (B) X2+Y2服从2分布.(C) X2和Y2都服从2分布. (C) X2/Y2服从F分布.2. ( 03年考研，数学一，4分)设随机变量，求的分布.则（）(A) (B)(C) Y～F(n，1) (D) Y～F(1，n)3. ( 04年考研，数学三，4分)设总体X服从正态分布X～N(1，2)，总体Y服从正态分布N(2，2)，X1，X2，…，X n1和Y1，Y2，…，Y n2分别是来自总体X和Y的简单随机样本，则_________.4. ( 05年考研，数学一，4分)设X1，X2，…，X n(n2)是来自总体N(0，2)的简单随机样本，是样本均值，是样本方差，则（）(A) (B)(C) (D)5. ( 05年考研，数学一，9分)设X1，X2，…，X n（n>2）是来自总体N(0，2)的简单随机样本，其样本均值为，记(1) 求的方差DY i，i = 1，2，…，n；(2) 求Y i与Y n的协方差COV(Y i，Y n).6. (05年考研，数学四，13分)设X1，X2，…，X n（n>2）是独立同分布的随机变量，且均服从N(0，1)，记，记(1) 求的方差DY i，i = 1，2，…，n；(2) 求Y1与Y n的协方差COV(Y1，Y n).(3) P{Y1 + Y2 0}.7. ( 06年考研，数学三，4分)设总体X的概率密度为，X1，X2，…，X n 为总体X的简单随机样本，其样本方差为S2，则ES2=__________.第七章参数估计1. (02年考研，数学一，7分)设总体的概率分布为X0123Pθ22θ(1 – θ)θ2 1 – 2θ其中是未知参数，利用总体X的如下样本值3，1，3，0，3，1，2，3，求的矩估计值和最大似然估计值．2. (02年考研，数学三，3分)设总体X的概率密度为，而为来自X的简单随机样本，则未知参数的矩估计值为___________．3. (03年考研，数学一，4分)已知一批零件的长度X（单位:cm）服从正态分布N(，1)，从中随机抽取16个零件，得到长度的平均值为40（cm），则的置信度为0.9的置信区间为___________________．（注：标准正态分布函数值）4. (03年考研，数学一，8分)设总体X的概率密度为，其中是未知参数，从X中抽取简单随机样本，记(1) 求总体X的分布函数；(2) 求统计量的分布函数；(3) 如果作为的估计量，讨论它是否具有无偏性．5. (04年考研，数学一，9分)设总体X的分布函数，其中未知参数，为来自X的简单随机样本，求(1)的矩估计量;的最大似然估计量．6. (04年考研，数学三，13分)设随机变量X的分布函数，其中参数，设为来自X的简单随机样本，(1) 当时，求未知参数的的矩估计量．(2) 当时，求未知参数的的最大似然量．(3) 当时，求未知参数的的最大似然量．7. (05年考研，数学三，4分)设一批零件的长度服从正态分布，现从中随机抽取16个零件，测样本均值为，样本标准差，则的置信度为0.90的置信区间是(A) (B)(C) (D)8. (05年考研，数学三，13分)设X1，X2，…，X n（n>2）是来自总体N(0，2)的简单随机样本，其样本均值为，记(1) 求的方差DY i，(2) 求与的协方差COV(Y i，Y n);(3) 若是的无偏估计量，求常数c．9. (06年考研，数学一，9分) 设总体X的概率密度为，其中是未知参数．为来自X的简单随机样本，记N为样本值中小于1的个数，求的最大似然估计．10. (06年考研，数学三，13分)在第8题中增加:求的矩估计．11. (07年考研，数学一，11分) 设总体X的概率密度为其中参数未知，为来自总体X的简单随机样本，是样本均值．(1) 求的矩估计量；(2) 判断是否为的无偏估计量，并说明理由．12. (08年考研，数学一，11分) 设为来自总体的简单随机样本．记，，．(1) 证明是的无偏估计量；(2) 当时，求DT．第八章假设检验近年无。