沪科版八年级数学上册第13章测试
沪科版八年级上册数学第13章 三角形中的边角关系、命题与证明含答案
沪科版八年级上册数学第13章三角形中的边角关系、命题与证明含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，将△ABC三个角分别沿DE、HG、EF翻折，三个顶点均落在点O处，则∠1＋∠2的度数为( )A.120°B.135°C.150°D.180°2、如图，△ABC的面积为1cm2， AP垂直∠B的平分线BP于P，则△PBC的面积为（）A. B. C. D.3、如图，在矩形ABCD中，点E是AD上任意一点，则有（）A.△ABE的周长＋△CDE的周长＝△BCE的周长B.△ABE的面积＋△CDE 的面积＝△BCE的面积C.△ABE∽△DECD.△ABE∽△EBC4、若等腰三角形的顶角为，则它的一个底角度数为A.20°B.50°C.80°D.100°5、平行四边形的两条对角线长分别为8cm和10cm，则其边长的范围是（）A.2＜x＜6B.3＜x＜9C.1＜x＜9D.2＜x＜86、如图，在△ABC中，∠A＝50°，∠1＝30°，∠2＝40°，∠D的度数是（）A.110°B.120°C.130°D.140°7、如图，已知△ABC中，∠C=90°，若沿图中虚线剪去∠C，则∠1+∠2等于（）A.90°B.135°C.270°D.315°8、如图，直线AB∥CD，∠B=50°，∠C=40°，则∠E等于（）A.70°B.80°C.90°D.100°9、如果三角形的两边长分别是4和9，那么第三边长可能是( )A.1B.5C.8D.1410、如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，AB=8cm，AC=6cm，则S△ABD :S△ACD=( )A.3:4B.4:3C.16:9D.9:1611、在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是、、，则下列说法中错误的是（）A.如果∠C-∠B=∠A，那么△ABC是直角三角形，∠C=90°B.如果，则∠B=60°，∠A=30° C.如果，那么△ABC是直角三角= D.如果，那么△ABC是直角三角形12、如图，四边形ABCD是菱形，AC＝8，AD＝5，DH⊥AB于点H，则DH的长为( )A.24B.10C.4.8D.613、如图，AB是圆O的直径，CD是圆O的弦，AB、CD的延长线交于点E，已知AB=2DE，∠E=16°，则∠ABC的度数是( )A. B. C. D.14、如图，锐角△ABC中，D、E分别是AB、AC边上的点，△ADC≌△ADC′，△AEB≌△AEB′，且C′D∥EB′∥BC，BE、CD交于点F．若∠BAC=35°，则∠BFC的大小是（）A.105°B.110°C.100°D.120°15、下列命题正确的有 ( )个①40°角为内角的两个等腰三角形必相似②若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则这个等腰三角形的底角为750③一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形④一个等腰直角三角形的三边是a、b、c，（a>b=c），那么a2∶b2∶c2=2∶1∶1⑤若△ABC的三边a、b、c满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c，则此△为等腰直角三角形。
沪科版八年级数学上册第13章三角形中的边角关系、命题与证明单元测试题含答案
第13章三角形中的边角关系、命题与证明一、选择题1.有下列三个命题：（1）两点之间线段最短（2）平面内，过一点能且只能作一条直线与已知直线垂直（3）过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行其中真命题的个数是（）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个【答案】D2.一个三角形至少有（）A. 一个锐角B. 两个锐角C. 一个钝角D. 一个直角【答案】B3.如图为一张方格纸，纸上有一灰色三角形，其顶点均位于某两网格线的交点上，若灰色三角形面积为平方厘米，则此方格纸的面积为（）A. 11平方厘米B. 12平方厘米C. 13平方厘米D. 14平方厘米【答案】B4.若三条线段中a=3，b=5，为奇数，那么由a、b、c为边组成的三角形共有（）A. 个B. 个C. 无数多个D. 无法确定【答案】B5.三角形三条高的交点在一边上，则这个三角形是（）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 以上都有可能【答案】B6.某轮船往返于A、B两地之间，设船在静水中的速度不变，那么，当水的流速增大时，轮船往返一次所用的时间（）A. 不变B. 增加C. 减少D. 增加，减少都有可能【答案】B7.如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=70°，AD是△ABC的一条角平分线，则∠CAD的度数为（）A. 40°B. 45°C. 50°D. 55°【答案】A8.已知△ABC中，∠A与∠C的度数比为5:7，且∠B比∠A大10°，那么∠B为( )A. 40°B. 50°C. 60°D. 70°【答案】C9.某校九年级四个班的代表队准备举行篮球友谊赛．甲、乙、丙三位同学预测比赛的结果如下：甲说：“902班得冠军，904班得第三”；乙说：“901班得第四，903班得亚军”；丙说：“903班得第三，904班得冠军”．赛后得知，三人都只猜对了一半，则得冠军的是（）A. 901班B. 902班C. 903班D. 904班【答案】B10.下列命题：①两点确定一条直线；②两点之间，线段最短；③对顶角相等；④内错角相等；其中真命题的个数是（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C11.下列说法正确的有（）①不相交的两条直线是平行线；②经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行；③两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补；④在同一平面内，若直线a⊥b，b⊥c，则直线a与c不相交．A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】B12.如图，△ABC中，∠ACB=90°，沿CD折叠△CBD，使点B恰好落在AC边上的点E处．若∠A=24°，则∠BDC等于（）A. 42°B. 66°C. 69°D. 77°【答案】C二、填空题13.命题：“三边分别相等的两个三角形全等”的逆命题________【答案】如果两个三角形全等，那么对应的三边相等14.等腰三角形的一个角是100°，其底角是________ °【答案】 40°、40°15.“等角的补角相等”的条件是________ ，结论是________ ．【答案】如果两个角都是某一个角的补角；那么这两个角相等16.如图,小林已经画出了一个三角形的两条角平分线,他说:“我不用再将第三个角平分,就能画出第三条角平分线.”他说的有道理吗?他会怎样做?答:________.他这样做的理由是什么?答:________.【答案】有道理；连接CO,并延长交AB于点F,则CF即为∠ACB的平分线;三角形的三条角平分线交于一点17.如果甲的身高数或体重数至少有一项比乙大，则称甲不亚于乙，在200个小伙子中，如果某人不亚于其他199人，就称他为棒小伙子，那么，200个小伙子中的棒小伙子最多可能有 ________ 【答案】200个18.请写出“等腰三角形的两底角相等”的逆命题： ________【答案】两个角相等三角形是等腰三角形19.如图，AD为△ABC中线，点G为重心，若AD=6，则AG=________ ．【答案】420.命题“如果两个实数相等，那么它们的平方相等”的逆命题是________ ，成立吗________ ．【答案】如果两个实数平方相等，那么这两个实数相等；不成立21.已知三角形的两边长是方程x 2－5x＋6=0的两个根，则该三角形的周长的取值范围是________．【答案】6＜＜1022.A、B、C、D、E、F六足球队进行单循环比赛，当比赛到某一天时，统计出A、B、C、D、E、五队已分别比赛了5、4、3、2、1场球，则还没与B队比赛的球队是 ________【答案】E三、解答题23.请写出命题“等角的余角相等”的条件和结论；这个命题是真命题吗？如果是，请你证明；如果不是，请给出反例．【答案】解：条件：两个角分别是两个相等角的余角；结论：这两个角相等这个命题是真命题，已知：∠1=∠2，∠3是∠1的余角．∠4是∠2的余角求证：∠3=∠4，证明：∵∠3是∠1的余角．∠4是的余角∴∠3=90°﹣∠1，∠4=90°﹣∠2，又∠1=∠2∴∠3=∠4．24.已知：△ABC中，AB＝AC，BD是AC边上的中线，如果D点把三角形ABC的周长分为12cm和15cm两部分，求此三角形各边的长．【答案】解答：∵AB＝AC，BD是AC边上的中线，∴AB=2AD=2CD，∴AB+AD=3AD.①当AB与AD的和是12厘米时，AD=12÷3=4（厘米），所以AB=AC=2×4=8（厘米），BC=12+15-8×2=12+15-16=11（厘米）；②当AB与AD的和是15厘米时，AD=15÷3=5（厘米），所以AB=AC=2×5=10（厘米），BC=12+15-10×2=12+15-20=7（厘米）.25.证明三角形的内角和定理：已知△ABC（如图），求证：∠A+∠B+∠C=180°【答案】证明：过点A作EF∥BC，∵EF∥BC，∴∠1=∠B，∠2=∠C，∵∠1+∠2+∠BAC=180°，∴∠BAC+∠B+∠C=180°．即三角形内角和等于180°．26.如图，已知点O是△ABC的两条角平分线的交点，（1）若∠A=30°，则∠BOC的大小是________；（2）若∠A=60°，则∠BOC的大小是________；（3）若∠A=n°，则∠BOC的大小是多少？试用学过的知识说明理由．【答案】（1）105°（2）120°（3）解：∵如图，在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，在△BOC中，∠BOC+∠OBC+∠OCB=180°，∵BO，CO分别是∠ABC和∠ACB的平分线，∴∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB，∴∠BOC+ ∠ABC+ ∠ACB=180°，又∵在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∴∠BOC= ∠A+90°=105°；∴若∠A=n°，∠BOC= n°+90°；27.已知△ABC中，∠ABC=∠ACB，D为线段CB上一点（不与C，B重合），点E为射线CA上一点，∠ADE=∠AED，设∠BAD=α，∠CDE=β．（1）如图（1），①若∠BAC=42°，∠DAE=30°，则α=________，β=________．②若∠BAC=54°，∠DAE=36°，则α=________，β=________．③写出α与β的数量关系，并说明理由；（2）如图（2），当E点在CA的延长线上时，其它条件不变，请直接写出α与β的数量关系．【答案】（1）12°；6°；18°；9°（2）解：α=2β﹣180°，理由是：如图（2），设∠E=x°，则∠DAC=2x°，∴∠BAC=∠BAD+∠DAC=α+2x°，∴∠B=∠ACB= ，∵∠ADC=∠B+∠BAD，∴β﹣x°= +α，∴α=2β﹣180°．。
沪科版数学八年级上册第十三章测试卷
沪科版数学八年级上册第十三章测试卷一、选择题1.下列句子中,是命题的是().A.今天的天气好吗B.作线段AB∥CDC.连接A、B两点D.正数大于负数2.下列命题是假命题的是().A.如果a∥b,b∥c,那么a∥cB.锐角三角形中最大的角一定大于或等于60°C.两条直线被第三条直线所截,内错角相等D.矩形的对角线相等且互相平分3.下列叙述错误的是().A.所有的命题都有条件和结论B.所有的命题都是定理C.所有的定理都是命题D.所有的公理都是真命题4．对于图中标记的各角，下列条件能够推理得到a∥b的是().A．∠1＝∠2B．∠2＝∠4C．∠3＝∠4D．∠1+∠4＝180°5．若直线a∥b，b∥c，则a∥c的依据是().A．平行的性质B．等值代换C．平行于同一直线的两条直线平行D．以上都不对6．如图所示是一条街道的路线图，若AB∥CD，且∠ABC=130°，那么当∠CDE等于（）时，BC∥DE．A．40°B．50°C．70°D．130°7.如下图，直线EF分别与直线AB、CD相交于点G、H，已知∠1＝∠2＝50°，GM平分∠HGB 交直线CD于点M．则∠3＝（）.A．60°B．65°C．70°D．130°8.如下图，已知AB∥CD，若∠A＝20°，∠E＝35°，则 C等于().A．20°B．35°C．45°D．55°二、填空题9．如图所示，AB∥CD，EF分别交AB、CD于G、H两点，若∠1＝50°，则∠EGB＝________．10．命题“如果a≠b，那么a2≠b2”的题设是________，结论是________________．11．如图，∠1=∠2=40°，MN平分∠EMB，则∠3=°．12.如图所示，请写出能判断CE∥AB的一个条件，这个条件是：①：________②：________③：________.13．如图，已知AB∥CD，CE，AE分别平分∠ACD，∠CAB，则∠1+∠2＝________.14．同一平面内的三条直线a，b，c，若a⊥b，b⊥c，则a________c．若a∥b，b∥c，则a________c．若a∥b，b⊥c，则a________c．16.如图，有一块含有60°角的直角三角板的两个顶点放在矩形的对边上．如果∠1＝18°，三、解答题17．如图所示，直线AB 、CD 、EF 相交于点O ，若∠1+∠2＝90°，∠3＝40°，求∠1的度数，并说明理由．18．如图所示，已知∠1＝∠2，AC 平分∠DAB，你能推断哪两条线段平行?说明理由．19.如图,△ABC 中,∠A＝80°,∠B、∠C 的角平分线相交于点O,∠ACD＝30°, 求∠DOB 的度数.ODCB A20．△ABC 中，∠B ＞∠C ，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，设∠B=x，∠C=y ．（1）如图1，若AE ⊥BC 于点E ，试用x 、y 表示∠EAD ，并说明理由．（2）如图2，若点F 是AD 延长线上的一点，∠BAF 、∠BDF 的平分线交于点G ，则∠G=．（用x 、y表示）【答案与解析】一、选择题1.【答案】D；2.【答案】C；【解析】当两直线平行时，内错角相等．3.【答案】B；4.【答案】D；【解析】同旁内角互补，两直线平行．5.【答案】C；【解析】平行线的传递性．6.【答案】B；【解析】∵AB∥CD，且∠ABC=130°，∴∠BCD=∠ABC=130°，∵当∠BCD+∠CDE=180°时BC∥DE，∴∠CDE=180°﹣∠BCD=180°﹣130°=50°，故选：B．7.【答案】B；【解析】由∠1＝∠2，得到AB∥CD,由邻补角与角平分线的性质得；∠BGM＝（180°－50°）×12＝65°，再由平行线的性质得∠3的度数．8.【答案】D；【解析】由三角形内角和定理推论1得∠EFB＝55°，由平行线的性质得∠C的度数．二、填空题9.【答案】50°；【解析】因为AB∥CD，所以∠1＝∠AGF，因为∠AGF与∠EGB是对顶角，所以∠EGB ＝∠AGF，故∠EGB＝50°．10.【答案】a≠b，a2≠b2；【解析】“如果”后是题设，“那么”后是结论．11.【答案】110；【解析】∵∠2=∠MEN，∠1=∠2=40°，∴∠1=∠MEN，∴AB∥CD，∴∠3+∠BMN=180°，∵MN平分∠EMB，∴∠BMN=，∴∠3=180°﹣70°=110°．故答案为：110．12．【答案】∠DCE＝∠A，∠ECB＝∠B，∠A+∠ACE＝180°；【解析】根据平行线的判定，CE∥AB成立的条件可以是∠DCE＝∠A或∠ECB＝∠B 或∠A+∠ACE＝180°．13.【答案】90°；【解析】∠BAC+∠ACD＝180°，11BAC+ ACD22∠＝90，即∠1+∠2＝90°.14.【答案】∥，∥，⊥；15.【答案】120；【解析】如下图，根据两直线平行，同位角相等求出∠3，再根据两直线平行，内错角相等求出∠4，然后相加即可得解．16.【答案】12°；【解析】根据三角形内角和定理可得∠1+∠3＝30°，则∠3＝30°-18°＝12°，由于AB∥CD，然后根据平行线的性质即可得到∠2＝∠3＝12°．三、解答题17.【解析】解：因为∠2＝∠3(对顶角相等)，∠3＝40°(已知)，所以∠2＝40°(等量代换)．又因为∠1+∠2＝90°(已知)，所以∠1＝90°-∠2＝50°．18.【解析】解：AB∥CD，理由如下：因为AC平分∠DAB(已知)，所以∠1＝∠3(角平分线定义)．又因为∠1＝∠2(已知)，所以∠2＝∠3(等量代换)，所以AB∥CD(内错角相等，两直线平行)．19.【解析】解：∵BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB，∴∠ABO＝∠CBO，∠BCD＝∠ACD＝30°．又∵∠A＝80°，∴∠ABC＝180°-∠A-∠ACD-∠BCD＝180°-80°-30°-30°＝40°．∴∠CBO＝12∠ABC＝12×40°＝20°．∴∠DOB＝∠CBO+∠BCD＝20°+30°＝50°．20.【解析】解：∵∠B=x，∠C=y，∴∠BAC=180°﹣x﹣y，∵∠BAC的平分线交BC于点D，∴∠BAD=∠BAC=（180°﹣x﹣y），在Rt△ABE中，∠BAE=90°﹣x，∴∠EAD=∠BAD﹣∠BAE=（180°﹣x﹣y）﹣（90°﹣x）=x﹣y；（2）∵∠BAD=∠BAC=（180°﹣x﹣y），AG平分∠BAD，∴∠BAG=∠BAD=（180°﹣x﹣y），∵∠BDF=∠BAD+∠B，∴∠G=∠BDF﹣∠GAD=x.。
沪科版八年级上册数学第十三章一次函数练习题(附解析)
沪科版八年级上册数学第十三章一次函数练习题一、单项选择题1、函数 y=3x﹣ 4 与函数 y=2x+3 的交点的坐标是（）A．（ 5， 6）B．（ 7，﹣ 7）C．（﹣ 7，﹣ 17）D．（ 7， 17）2、已知一次函数y=kx﹣ k，若 y 随 x 的增大而减小，则该函数的图象经过（）A．第一，二，三象限B．第一，二，四象限C．第二，三，四象限D．第一，三，四象限3、函数 y=-x-1 的图像不经过（）象限．A．第一B．第二C．第三D．第四4、若点 P（a， b）在第二象限内，则直线y=ax+b 不经过（）．A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限5、如图表示某加工厂今年前 5 个月每个月生产某种产品的产量c（件）与时间A． 1 月至 3 月每个月产量逐月增t （月）之间的关系，则对这类产品来说，添，4、5 两月产量逐月减小该厂（）B． 1 月至 3 月每个月产量逐月增添，4、 5 两月产量与 3 月持平C． 1 月至 3 月每个月产量逐月增添，4、 5 两月产量均停止生产6 、一次函数yx 4 和 y 2x 1D．1 月至 3 月每个月产量不变，4、5 两月均停止生产的图象的交点个数为（）个A、没有B、一C、两D、无数7、若直线 y=3x+6 与坐标轴围成的三角形的面积为S，则 S等于（）．A． 6 B． 12 C．3 D． 24A．加油前油箱中节余油量y（升）与行驶时间t（小时）的函数关系是y=﹣ 8t+25B．途中加油 21 升C．汽车加油后还可行驶 4 小时8、张师D．汽车抵达乙地时油箱中还余油 6 升傅驾车从甲地到乙地，两地相距 500 千米，汽车出发前油箱有油 25 升，途中加油若干升，加油前、后汽车都以100 千米 / 小时的速度匀速行驶，已知油箱中节余油量 y（升）与行驶时间 t （小时）之间的关系以下图．以下说法错误的选项是（）．9、假如直线经过第一、二、四象限，则m 的取值范围是（）A、 m<2B、m>1C、 m≠ 2D、 1<m<2A．甲、乙两人的速度相同B．甲先抵达终点10、甲、乙两人在一次百米赛C．乙用的时间短D．乙比甲跑的行程多跑中，行程 s（米）与赛跑时间t（秒）的关系以下图，则下列说法正确的选项是（）．11、一次函数y=kx+b 知足 x=0 时 y=-1；x=1 时， y=1，则一次函数的表达式为（）．A． y=2x+1 B． y=-2x+1 C．y=2x-1 D． y=-2x-112、如图 1，在矩形 ABCD中，动点 P 从点 B 出发，沿矩形的边由运动，设点 PA． 10 B． 16 C． 18 D．20 运动的行程为x，的面积为 y，把 y 看作 x 的函数，函数的图像如图 2 所示，则的面积为（）13、一次函数的图像以下图，则以下结论正确的选项是（）A．，B．，C．，D．，14、如图 1，在矩形中，动点从点出发，沿→→→方向运动至点处停止．设点运动的行程为，的面积为，假如对于的函数图象如图 2 所示，则当时，点应运动到（）．A．处B．处C．处D．处15、小李和小陆从 A 地出发，骑自行车沿同一条路行驶到 B 地，他们离出发地的距离 S（单位： km ）和行驶时间 t（单位： h）之间的函数关系的图象以下图，依据图中的信息，有以下说法：（1）他们都行驶了 20 km；（2）小陆全程共用了 1.5h；（3）小李和小陆相遇后，小李的速度小于小陆的速度（4）小李在途中逗留了 0.5h 。
八年级数学上册试题 第13章《三角形中的边角关系、命题与证明》章节测试卷-沪科版(含解析)
第13章《三角形中的边角关系、命题与证明》章节测试卷一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．下列实际情景运用了三角形稳定性的是（）A．人能直立在地面上B．校门口的自动伸缩栅栏门C．古建筑中的三角形屋架D．三轮车能在地面上运动而不会倒2．如图，△ABC的三边长均为整数，且周长为22，AM是边BC上的中线，△ABM的周长比△ACM的周长大2，则AC长的可能值有（）个．A．3B．4C．5D．63．下列命题是假命题的是（ ）A．如果∠1=∠2，∠2=∠3，那么∠1=∠3B．对顶角相等C．如果一个数能被6整除，那么它肯定也能被3整除D．内错角相等4．如图所示，∠F＝90°，CE⊥AB，C是BF的中点，D是BE上的一点，下列说法正确的是（ ）A．CD是△ABC的中线B．AF是△ABC的高C．CE是△ABF的中位线D．AC是△ABF的角平分线5．如图，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，若∠B=40°，∠C=60°，则∠ADE的度数为（）A．30°B．40°C．50°D．60°6．如图，在△ABC中，G是边BC上任意一点，D、E、F分别是AG、BD、CE的中点，S△ABC 的值为（）=48，则SΔDEFA．2B．4C．6D．87．如图，用四个螺丝将四条不可弯曲的木条围成一个木框，不计螺丝大小，其中相邻两螺丝的距离依序为3、4、5、7，且相邻两木条的夹角均可调整．若调整木条的夹角时不破坏此木框，则任两螺丝的距离之最大值是（ ）A．7B．8C．9D．108．如图，△ABC中，∠ABC=3∠C，E分别在边BC，AC上，∠EDC=24°，∠ADE=3∠AED，∠ABC的平分线与∠ADE的平分线交于点F，则∠F的度数是（ ）A．54°B．60°C．66°D．72°9．如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，AD⊥BC于点D．∠ABD的角平分线BF所在直线与射线AE 相交于点G，若∠ABC=3∠C，且∠G=20°，则∠DFB的度数为（）A．50°B．55°C．60°D．65°10.如图，∠ABC=∠ACB，BD、CD、BE分别平分∠ABC，外角∠ACP，外角∠MBC，以下结论：①AD∥BC，②BD⊥BE，③∠BDC+∠ABC=90°，④∠BAC+2∠BEC=180°，其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．如图，有一张三角形纸片ABC，∠B＝32°，∠A＝100°，点D是AB边上的固定点(BD<1AB)，2在BC上找一点E，将纸片沿DE折叠（DE为折痕），点B落在点F处，当EF与AC边平行时，∠BDE的度数为．12．如图，AD为△ABC的中线，DE，DF分别为△ABD，△ACD的一条高，若AB=6，DE=4，则AC=．，DF=8313．已知△ABC的边长a，b，c满足(a−2)2+|b−4|=0，则a、b的值分别是，若c为偶数，则△ABC的周长为．14．如图，在△ABC中，点D是AC边上一点，CD:AD=1:2，连接BD，点E是线段BD上一点，BE:ED=1:3，连接AE，点F是线段AE的中点，连接CF交线段BD于点G，若△ABC的面积是12，则△EFG的面积是．15．如图△AOB和△COD中，∠AOB=∠COD=90°，∠B=40°，∠C=70°，点D在边OA上，将△COD绕点O按每秒10°的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中当CD∥AB时，旋转时间秒．16．如果三角形中任意两个内角∠α与∠β满足2α−β=60°，那么我们称这样的三角形为“斜等边三角形”．在锐角三角形ABC中，BD⊥AC于点D，若△ABC、△ABD、△BCD都是“斜等边三角形”，则∠ABC=．三．解答题（共7小题，满分52分）17．（6分）（1）一个多边形的内角和是外角和的3倍，这个多边形是几边形？（2）小明求得一个多边形的内角和为1280°，小强很快发现小明所得的度数有误，后来小明复查时发现他重复加了一个内角，求出这个多边形的边数以及他重复加的那个角的度数．18．（6分）如图所示，D是△ABC的边AC上任意一点（不含端点），连结BD，请判断AB+BC+AC 与2BD的大小关系，并说明理由．19．（8分）在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC的三个顶点的位置如图所示．将△ABC平移，使点C平移至点D，点A、B的对应点分别是点E、F．(1)在图中请画出△ABC平移后得到的△DEF；(2)在图中画出△ABC的AB边上的高CH；(3)若连接CD、AE，则这两条线段之间的关系是 ；(4)△DEF的面积为 ．20．（8分）如图所示，已知AD，AE分别是△ABC的高和中线，AB=6cm，AC=8cm，BC=10 cm，∠CAB=90°．(1)求AD的长；(2)求△ACE和△ABE周长的差．21．（8分）在△ABC中，∠B，∠C均为锐角且不相等，线段AD是△ABC中BC边上的高，AE是△ABC的角平分线．(1)如图1，∠B=70°，∠C=30°，求∠DAE的度数；(2)若∠B=x°，∠DAE=10°，则∠C=______；(3)F是射线AE上一动点，C、H分别为线段A B，BC上的点（不与端点重合），将△BGH沿着GH 折叠，使点B落到点F处，如图2所示，请直接写出∠1，∠2与∠B的数量关系．22．（8分）已知，在△ABC中，∠BAC=∠ABC，点D在AB上，过点D的一条直线与直线AC、BC分别交于点E、F．(1)如图1，∠BAC=70°，则∠CFE+∠FEC=______°．(2)如图2，猜想∠BAC、∠FEC、∠CFE之间的数量关系，并加以证明；(3)如图3，直接写出∠BAC、∠FEC、∠CFE之间的数量关系______．23．（8分）将含30°角的三角板ABC（∠B=30°）和含45°角的三角板FDE及一把直尺按图方式摆放在起．使两块三角板的直角顶点A，F重合．点A，F，C，E始终落在直尺的PQ边所在直线上．将含45°角的三角板FDE沿直线PQ向右平移．(1)当点F与点C重合，请在备用图中补全图形，并求平移后DC与CB形成的夹角∠DCB的度数；(2)如图，点F在线段AC上移动，M是边AB上的动点，满足∠DFM被FB平分，∠EFM的平分线FN与边BC交于点N，请证明在移动过程中，∠NFB的大小保持不变；(3)仿照（2）的探究，点F在射线CQ上移动，M是边AB上的动点，满足∠DFM被FB平分，∠EFM的平分线F N'所在直线与直线BC交于点N，请写出一个与平移过程有关的合理猜想．（不用证明）答案一．选择题1．C【分析】根据三角形的稳定性进行判断即可求解．【详解】解：古建筑中的三角形屋架是利用了三角形的稳定性，故选C2．B【分析】依据ΔABC的周长为22，ΔABM的周长比ΔACM的周长大2，可得2<BC<11，再根据ΔABC的三边长均为整数，即可得到BC=4，6，8，10．【详解】解：∵ΔABC的周长为22，ΔABM的周长比ΔACM的周长大2，∴2<BC<22−BC，解得2<BC<11，又∵ΔABC的三边长均为整数，ΔABM的周长比ΔACM的周长大2，∴AC=22−BC−22=10−12BC为整数，∴BC边长为偶数，∴BC=4，6，8，10，即AC的长可能值有4个，故选：B．3．D【分析】利用对顶角的性质、实数的性质、平行线的性质分别判断后即可确定正确的选项．【详解】解：A、如果∠1=∠2，∠2=∠3，那么∠1=∠3，正确，是真命题，故本选项不符合题意；B、对顶角相等，正确，是真命题，故本选项不符合题意；C、如果一个数能被6整除，那么它肯定也能被3整除，正确，是真命题，故本选项不符合题意；D、两直线平行，内错角相等，原命题是假命题，故本选项符合题意．故选：D．4．B【分析】根据三角形中位线的定义，三角形角平分线、中线和高的定义作答．【详解】解：A、AC是△ABC的中线，故本选项不符合题意．B 、由∠F ＝90°知，AF 是△ABC 的高，故本选项符合题意．C 、CE 是△ABC 的高，故本选项不符合题意．D 、AC 是△ABF 的中线，故本选项不符合题意．故选：B ．5．C【分析】根据三角形内角和定理求出∠BAC ，再根据角平分线的定义可得∠BAD=∠DAC =40°，最后利用垂线的定义可得∠AED=90°，进而解答即可．【详解】解：∵∠B =40°，∠C =60°，∴∠BAC=180°−40°−60°=80°．∵AD 平分∠BAC ，∴∠BAD=∠DAC =40°．∵DE ⊥AC ，∴∠AED =90°，∴∠ADE =90°−∠DAE =50°．故选C ．6．C【分析】根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答．【详解】解：连接CD ，如图所示：∵点D 是AG 的中点，∴S △ABD =12S △ABG ，S △ACD =12S △AGC ，∴S △ABD +S △ACD =12S △ABC =24，∴S △BCD =12S △ABC =24，∵点E 是BD 的中点，∴S△CDE =12S△BCD=12，∵点F是CE的中点，∴S△DEF =12S△CDE=6．故选：C．7．C【分析】若两螺丝的距离最大，则此时这个木框的形状为三角形，根据三角形任意两边之和大于第三边，进行求解即可．【详解】解：①当3、4在一条直线上时，三边长为：5、7、7，此时最大距离为7；②∵4+5<3+7，∴3、7不可能在一条直线上；③当4、5在一条直线上时，三边长为：3、7、9，此时最大距离为9；④∵4+3<5+7，∴5、7不可能在一条直线上；综上所述：最大距离为9．故选：C．8．B【分析】根据题意可知∠FBC=32∠C，设∠C=x，表示出∠ADE，根据角平分线的定义，可得∠EDF的度数，根据∠FDC=∠F+∠FBC列方程，即可求出∠F的度数．【详解】解：∵BF平分∠ABC，∴∠FBC=12∠ABC，∵∠ABC=3∠C，∴∠FBC=32∠C，设∠C=x，则∠FBC=32x，∵∠EDC=24°，∴∠AED=x+24°，∵∠ADE=3∠AED，∴∠ADE=3x+72°，∵DF平分∠ADE，∴∠EDF=32x+36°，∵∠FDC=∠F+∠FBC，∴32x+36°+24°=∠F+32x，∴∠F=60°．故选：B．9．C【分析】由角平分线的定义可以得到∠CAE=∠BAE，∠ABF=∠DBF，设∠CAE=∠BAE=x，假设∠C=y，∠ABC=3y，通过角的等量代换可得到∠DFB=3∠G，代入∠G的值即可．【详解】∵AE平分∠BAC，BF平分∠ABD∴∠CAE=∠BAE，∠ABF=∠DBF设∠CAE=∠BAE=x∵∠ABC=3∠C∴可以假设∠C=y，∠ABC=3y∴∠ABF=∠DBF=∠CBG=12(180°−3y)=90°−32y∵AD⊥CD∴∠D=90°∴∠DFB=90°−∠DBF=32y设∠ABF=∠DBF=∠CBG=z，则{z=x+∠Gz+∠G=x+y∴∠G=12y∴∠DFB=3∠G∵∠G=20°∴∠DFB=60°故答案选：C10．D【分析】根据角平分线的定义、三角形的内角和定理、三角形的外角性质、平行线的判定一一判定即可．【详解】解：①设点A、B在直线MF上，∵BD、CD分别平分△ABC的内角∠ABC，外角∠ACP，∴AD平分△ABC的外角∠FAC，∴∠FAD=∠DAC，∵∠FAC=∠ACB+∠ABC，且∠ABC=∠ACB，∴∠FAD=∠ABC，∴AD∥BC，故①正确．②∵BD、BE分别平分△ABC的内角∠ABC、外角∠MBC，∴∠DBE=∠DBC+∠EBC=12∠ABC+12∠MBC=12×180°=90°，∴EB⊥BD，故②正确．③∵∠DCP=∠BDC+∠CBD，2∠DCP=∠BAC+2∠DBC，∴2(∠BDC+∠CBD)=∠BAC+2∠DBC，∴∠BDC=12∠BAC，∵∠BAC+2∠ACB=180°，∴12∠BAC+∠ACB=90°，∴∠BDC+∠ACB=90°，故③正确．④∵∠BEC=180°−12(∠MBC+∠NCB)=180°−12(∠BAC+∠ACB+∠BAC+∠ABC)=180°−12(180°+∠BAC)∴∠BEC=90°−12∠BAC，∴∠BAC+2∠BEC=180°，故④正确．故选：D．二．填空题11．124°【分析】根据已知、折叠和平行线，得∠BEF=∠C，再计算∠BED的度数，最后根据三角形内角和为180°计算∠BDE的度数即可．【详解】∵EF∥AC，∠B=32°，∠A=100°，∴∠BEF=∠C=180°−∠A−∠B=180°−100°−32°=48°（两直线平行，同位角相等），∵纸片沿DE折叠（DE为折痕），点B落在点F处，∴∠BED=12∠BEF=12×48°=24°，∴∠BDE=180°−∠B−∠BED=180°−32°−24°=124°（三角形内角和为180°），故答案为：124°．12．9【分析】由AD为△ABC的中线得S△ABD =S△ACD，从而得到12⋅AB⋅DE=12⋅AC⋅DF，代入进行计算即可得到答案．【详解】解：∵AD为△ABC的中线，∴BD=CD，∴S△ABD =S△ACD，∵DE，DF分别为△ABD，△ACD的一条高，∴12⋅AB⋅DE=12⋅AC⋅DF，∵AB=6，DE=4，DF=83，∴AC=9，故答案为：9．13． 2、4 10【分析】由(a −2)2+|b −4|=0，可得a −2=0，b −4=0，解得a =2，b =4，由三角形三边关系可得，b −a <c <a +b ，即2<c <6，由c 为偶数，可得c =4，然后求周长即可．【详解】解：∵(a −2)2+|b −4|=0，∴a −2=0，b −4=0，解得a =2，b =4，由三角形三边关系可得，b −a <c <a +b ，即2<c <6，∵c 为偶数，∴c =4，∴△ABC 的周长为2+4+4=10，故答案为：2、4，10．14．94【分析】连接DF ，CE ．由题意中的线段的比和S △ABC =12，可推出S △ABD =23S △ABC =8，S △CBD=13S △ABC =4，从而可求出S △ABE =14S △ABD =2，S △ADE =34S △ABD =6．结合中点的性质即得出S △ADF =S △EDF =12S △ADE =3，从而可求出S △CDF =12S △ADF =32，进而得出S △ECF =S △ACF=S △ADF +S △CDF =92，最后即得出DGEG =S △CDF S △ECF=13，最后即可求出S △EFG =34S △EDF =94．【详解】解：如图，连接DF ，CE ．∵CD:AD=1:2，S △ABC =12，∴S △ABD =23S △ABC =8，S △CBD =13S △ABC =4．又∵BE:ED =1:3，∴S△ABE =14S△ABD=2，S△ADE=34S△ABD=6．∵点F是线段AE的中点，∴S△ADF =S△EDF=12S△ADE=3．∵CD:AD=1:2，∴S△CDF =12S△ADF=32，∴S△ACF =S△ADF+S△CDF=92，∴S△ECF =S△ACF=92，∴S△CDFS△ECF =3292=13，即S△DEF+S△DGCS△EFG+S△EGC=13,∴DGEG =13，∴S△EFG =34S△EDF=94．故答案为：94．15．11或29【分析】根据题意，画出图形，进行分类讨论，①当点C在△AOB内时，根据三角形的内角和定理可得∠D=20°，根据平行线的性质得出∠1=∠B=40°，再根据三角形的外角定理求出∠2，进而得出∠AOD=∠AOB+∠2，即可求解；②当点C在△AOB外时，延长BO交CD 于一点，根据平行线的性质得出∠3=∠B=40°，再根据三角形的外角定理求出∠4=20°，即可得出∠AOD，即可求解．【详解】解：①当点C在△AOB内时，如图，在Rt△OCD中，∠C=70°，∴∠D=180°−90°−70°=20°，∵CD∥AB，∠B=40°，∴∠1=∠B=40°，∵∠D+∠2=∠1，∴∠2=40°−20°=20°，∴∠AOD=∠AOB+∠2=90°+20°=110°，∴旋转时间=110÷10=11（秒），②当点C在△AOB外时，延长BO交CD于一点，如图，∵CD∥AB，∠B=40°，∴∠3=∠B=40°，由①可得，∠D=20°，∴∠4=∠3−∠D=40°−20°=20°，∴∠AOD=90°−∠4=70°，∴△COD绕点O沿顺时针方向旋转了360°−70°=290°，∴旋转时间=290÷10=29（秒），故答案为：11或29．16．55°【分析】根据新定义的“斜等边三角形”的特点分情况分析，然后利用三角形内角和定理求解即可．【详解】解：△ABD是“斜等边三角形”，BD⊥AC，∴∠ADB=90°（1）2∠A−∠ABD=60°，∵∠A+∠ABD=90°，∴解得：∠A=50°，∠ABD=40°；（2）2∠A−∠ADB=60°，∴解得：∠A=75°，∠ABD=15°；（3）2∠ABD−∠A=60°，∵∠A+∠ABD=90°，∴解得：∠A=40°，∠ABD=50°；（4）2∠ABD−∠ADB=60°，∴解得：∠ABD=75°，∠A=15°；△BCD是“斜等边三角形”，①2∠C−∠CBD=60°，∵∠C+∠CBD=90°，∴解得：∠C=50°，∠CBD=40°；②2∠C−∠CDB=60°，∴解得：∠C=75°，∠CBD=15°；③2∠CBD−∠C=60°，∵∠C+∠CBD=90°，∴解得：∠C=40°，∠CBD=50°；④2∠CBD−∠CDB=60°，∴解得：∠CBD=75°，∠C=15°；当（1）①成立时，∠A=50°，∠ABD=40°，∠C=50°，∠CBD=40°，∴∠CBA=40°+40°=80°，∴三个角中不满足“斜等边三角形”的定义，不符合题意；当（1）②成立时，∠A=50°，∠ABD=40°，∠C=75°，∠CBD=15°，∴∠CBA=40°+15°=55°，∵2∠CBA−∠A=60°，∴△ABC是“斜等边三角形”，符合题意；同理得：符合题意的只有∠ABC=55°，故答案为：55°三．解答题17．解：（1）设这个多边形的边数是n，由题意得：(n−2)×180=360×3，∴n=8，∴这个多边形是八边形；（2）设这个多边形的边数是m，由题意得：(m−2)×180<1280<(m−2)×180+180，解得：819<m<919，∵m为整数∴m=9，∴重复加的那个角的度数是：1280°−(9−2)×180°=20°答：这个多边形的边数是9，重复加的那个角的度数是20°．18．解：AB+BC+AC＞2BD．理由如下：在△ABD中，AB+AD＞BD，在△BCD中，BC+CD＞BD，∴AB+AD+BC+CD＞2BD，即AB+BC+AC＞2BD．19．（1）如图所示，△DEF即为所求；（2）如图所示，CH即为所求；（3）如图所示，∵△ABC平移后得到的△DEF∴若连接CD、AE，CD∥AE，CD=AE∴这两条线段之间的关系是平行且相等；（4）如图所示，△DEF的面积=4×6−12×4×3−12×1×3−12×3×6=152．20．（1）解：∵∠BAC=90°，AD是边BC上的高，∴12AB⋅AC=12BC⋅AD，∴AD=AB⋅ACBC =6×810= 4.8(cm)，即AD的长度为4.8cm；（2）∵AE为BC边上的中线，∴BE=CE，∴△ACE的周长−△ABE的周长=(AC+AE+CE)−(AB+BE+AE)=AC−AB=8−6=2(cm)，即△ACE和△ABE的周长的差是2cm．21．（1）解：在△ABC中，∠B=70°，∠C=30°，∴∠BAC=180°−∠B−∠C=180°−70°−30°=80°，∵AE是△ABC的角平分线．∴∠BAE=12∠BAC=12×80°=40°，∵线段AD是△ABC中BC边上的高，∴∠ADB=90°，∴∠BAD=180°−∠B−∠ADB=180°−70°−90°=20°，∴∠DAE=∠BAE−∠BAD=40°−20°=20°，（2）解：∵∠B=x°，线段AD是△ABC中BC边上的高，∴∠BAD=90°−∠B=90°−x°，∵∠DAE=10°，∴∠BAE=∠BAD+∠DAE=90°−x°+10°=100°−x°，∵AE是△ABC的角平分线，∴∠BAC=2∠BAE=200°−2x°，∴∠C=180°−∠B−∠BAC=180°−x°−(200°−2x°)=(x−20°)，故答案为：(x−20)°；（3）解：连接BF，∵∠1=∠GBF+∠GFB，∠2=∠HBF+∠HFB，∴∠1+∠2=∠GBF+∠GFB+∠HBF+∠HFB=∠B+∠GFH，∵△GFH由△GBH折叠所得，∴∠B=∠GFH，∴∠1+∠2=2∠B．22．（1）解：∵∠ACB+∠ABC+∠BAC=180°，∠BAC=∠ABC，∴∠ACB=180°−2∠BAC，∵∠CFE+∠FEC=180°−∠ACB，∴∠CFE+∠FEC=180°−(180°−2∠BAC)=2∠BAC，∵∠BAC=70°，∴∠CFE+∠FEC=140°；（2）∠FEC+∠CFE=2∠BAC，证明：在△CEF中∵∠C+∠CEF+∠CFE=180°，∴∠CEF+∠CFE=180°−∠C，在△ABC中，∵∠C+∠BAC+∠ABC=180°，∴∠BAC+∠ABC=180°−∠C，∴∠CEF+∠CFE=∠BAC+∠ABC，∵∠BAC=∠ABC，∴∠CEF+∠CFE=2∠BAC；（3）解：∵∠ACB=∠FEC+∠CFE，∠ACB+∠ABC+∠BAC=180°，∠BAC=∠ABC，∴180°−2∠BAC=∠FEC+∠CFE，∴∠FEC+∠CFE=180°−2∠BAC．23．（1）解：如图所示，∵DC∥AB∴∠DCB=∠B=30°，（2）证明：∵AB∥FD∴∠DFB=∠MBF，设∠DFB=∠MBF=α∵∠DFM被FB平分∴∠DFB=∠MFB，则∠DFB=∠MFB=α，∴∠AMF=∠MBF+∠MFB=2α，∵∠BAC=90°∴∠MFA=90°−2α，∵FN平分∠EFM∴∠EFN=∠MFN=12(180°−∠MFA)=12(180°−90°+2α)=45°+α∴∠NFB=∠NFM−∠BFM=45°+α−α=45°，即∠NFB的大小保持不变；（3）解：在移动过程中，∠NFB的大小保持不变；如图所示，证明：∵AB∥FD∴∠DFB=∠MBF，设∠DFB=∠MBF=α∵∠DFM被FB平分∴∠DFB=∠MFB，则∠DFB=∠MFB=α，∴∠AMF=∠MBF+∠MFB=2α，∵∠BAC=90°∴∠MFA=90°−2α，∵F N'平分∠EFM∴∠EF N'=∠MF N'=12(180°−∠MFA)=12(180°−90°+2α)=45°+α∴∠N'FB=∠N'FM−∠BFM=45°+α−α=45°，∴∠NFB=135°，即∠NFB的大小保持不变；。
沪科版八年级数学上册试题 第13章 三角形中的边角关系、命题与证明 单元测试卷 (含解析)
第13章《三角形中的边角关系、命题与证明》单元测试卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知一个三角形的两边长分别为6和3，则这个三角形的第三边长可能是（）A ．3B ．6C ．9D ．102．下列图形中具有稳定性的是（ ）A ．B ．C ．D ．3．如图，CE 是的外角的平分线，若，，则的度数为（ ）．A ．95°B ．90°C ．85°D ．80°4．下列长度的三条线段能首尾相接构成三角形的是（ ）A ．，，B ．，，C ．，，D ．，，5．以下命题的逆命题中，属于真命题的是（ ）．A ．如果a>0，b>0，则a+b>0B ．直角都相等C ．两直线平行，同位角相等D ．若a=b ，则|a|=|b|6．具备下列条件的，不是直角三角形的是（ ）A ．B ．C ．D ．：：：：7．如图，直线CE ∥DF ，∠CAB ＝125°，∠ABD ＝85°，则∠1+∠2＝（ ）ABC ACD ∠40B ∠=︒65ACE ∠=︒A ∠1cm 2cm 3cm 3cm 4cm 5cm4cm 5cm 10cm 6cm 9cm 2cmABC A B C ∠+∠=∠1123A B C∠=∠=∠23A B C ∠=∠=∠A ∠B ∠1C ∠=34A ．30°B ．35°C ．36°D ．40°8．已知中，，求证：，下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤：①∴，这与三角形内角和为矛盾②因此假设不成立．∴③假设在中，④由，得，即．这四个步骤正确的顺序应是（ ）A ．④③①②B ．③④②①C ．①②③④D ．③④①②9．用反证法证明命题“在三角形中，至少有一个内角大于或等于60°”时，第一步应先假设（ ）A ．三角形中有一个内角小于B ．三角形中有一个内角大于C ．三角形的三个内角都小于D ．三角形的三个内角都大于10．如图，中，、分别是高和角平分线，点在的延长线上，，交于点，交于点；下列结论中正确的结论有（ ）①；②；③；④．A ．①②③B ．①③④C ．①②④D．①②③④ABC ∆AB AC =90B ∠<︒180A B C ∠+∠+∠>︒180︒90B ∠<︒ABC ∆90B ∠≥︒AB AC =90B C ∠=∠≥︒180B C ∠+∠≥︒60︒60︒60︒60︒ABC BD BE F CA FH BE ⊥BD G BC H DBE F ∠=∠()12F BAC C ∠=∠-∠2BEF BAF C ∠=∠+∠BGH ABE C ∠=∠+∠二、填空题（本大题共6个小题，每题3分，共18分）11．命题“平行四边形的对角线互相平分”，它的逆命题是__________，逆命题是__________命题（填“真”或“假”）12．现将一把直尺和的直角三角板按如图摆放，经测量得，则___________．13．BM 是ABC 中AC 边上的中线，AB=7cm ，BC=4cm ，那么ABM 与BCM 的周长之差为_________________cm ．14．用一组整数a ，b ，c 的值说明命题“若a ＞b ＞c ，则a+b ＞c”是错误的，这组值可以是a ＝__，b ＝__，c ＝__．15．如图所示，在△ABC 中，已知点D ，E ，F 分别是BC ，AD ，CE 的中点，且△ABC 的面积为4．则△BEF 的面积为_________．16．如图，射线AB 与射线CD 平行，点F 为射线AB 上的一定点，连接CF ，点P 是射线CD 上的一个动点（不包括端点C ），将沿PF 折叠，使点C 落在点E 处．若，当点E 到点A 的距离最大时，_____．三、解答题（本大题共8小题，共72分；第17-18每小题6分，第19-21每小题8分，第22小题10分，第23小题12分，第24小题14分）17．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝40°，△ABC 的外角∠CBD 的平分线BE 交AC 的延长线于点E ，点F 为AC 延长线上的一点，连接DF．60︒1142∠=︒2∠= PFC △=62DCF ∠︒=CFP ∠(1)求∠CBE 的度数；(2)若∠F ＝25°，求证：．18．如图，有下列三个条件：①DE//BC ；②；③．(1)若从这三个条件中任选两个作为题设，另一个作为结论，组成一个命题，一共能组成几个命题？请你都写出来；(2)你所写出的命题都是真命题吗？若是，请你就其中的一个真命题给出推理过程；若不是，请你对其中的假命题举出一个反例（温馨提示：）BE DF ∥12∠=∠B C ∠=∠180B C BAC ∠+∠+∠=︒19．先阅读下面的内容，再解决问题，例题：若，求和的值．解：问题：（1）若，求的值．（2）已知是的三边长，满足，且是中最长的边，求的取值范围．20．如图，△ABC 中，∠ABC 与∠ACB 的外角的平分线相交于点E ，且∠A=60°．(1)①若∠ABC=40°，则∠E=________；②若∠ABC=100°，则∠E=________．(2)嘉嘉说∠E 的大小与∠B 的度数无关，你认为他说得对吗？请说明理由．2222690m mn n n ++-+=m n 2222222226902690()(3)0m mn n n m mn n n n m n n ++-+=∴+++-+=∴++-=Q 0,303,3m n n m n ∴+=-=∴=-=2222440x y xy y +-++=y x ,,a b c ABC 2210841a b a b +=+-c ABCc21．用反证法证明：两条直线被第三条直线所截．如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．已知：如图，直线l1，l2被l3所截，∠1+∠2=180°．求证：l1 l2证明：假设l1 l2，即l1与l2交与相交于一点P．则∠1+∠2+∠P 180° 所以∠1+∠2 180°，这与 矛盾，故 不成立．所以 ．22．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，∠B＝∠D，点E为BC延长线上一点，连接AE，AE交CD 于H．∠DCE的平分线交AE于G．（1）求证：AD∥BC；（2）若∠BAC＝∠DAE，∠AGC＝2∠CAE．求∠CAE的度数；（3）（2）中条件∠BAC＝∠DAE仍然成立，若∠AGC＝3∠CAE，直接写出∠CAE的度数 ．23．如图1，已知线段AB、CD相交于点O，连接AC、BD，则我们把形如这样的图形称为“8字型”．(1)求证：∠A+∠C=∠B+∠D；(2)如图2，若∠CAB和∠BDC的平分线AP和DP相交于点P，与CD、AB分别相交于点M、N．①以线段AC为边的“8字型”有_______个，以点O为交点的“8字型”有________个：②若∠B=100°，∠C=120°，求∠P的度数；③若角平分线中角的关系改为“∠CAB=3∠CAP，∠CDB=3∠CDP”，试探究∠P与∠B、∠C之间存在的数量关系，并证明理由．24.在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P．（1）如图①，若∠BPC＝α，则∠A＝ ；（用α的代数式表示，请直接写出结论）（2）如图②，作△ABC外角∠MBC、∠NCB的角平分线交于点Q，试探究∠Q与∠BPC之间的数量关系，并说明理由；（3）如图③，延长线段CP、QB交于点E，△CQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，求∠A的度数．答案一、选择题1．B【分析】组成三角形的三边的大小关系是：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，由此即可求出答案．【详解】解：设第三边长为x ，根据三角形的三边关系得，∴，即．故选：．2．C【分析】根据三角形具有稳定性，即可对图形进行判断．【详解】解：A 、中间竖线的两侧是四边形，不具有稳定性，故本选项错误；B 、对角线下方是四边形，不具有稳定性，故本选项错误；C 、对角线两侧是三角形，具有稳定性，故本选项正确；D 、对角线两侧是四边形，不具有稳定性，故本选项错误．故选C ．3．B【分析】根据角平分线的定义，可求出∠ACD=2∠ACE ，再根据三角形的外角定理即可求出．【详解】∵CE 是的外角的平分线，，∴∠ACD=2∠ACE=130°，∵，∴∠A=130°-40°=90°，故选：B ．4．B【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析．【详解】解：根据三角形的三边关系，知A 、1+2＝3，不能组成三角形，故选项错误，不符合题意；B 、3+4＞5，能够组成三角形，故选项正确，符合题意；6363x -<<+39x <<B A ∠ABC ACD ∠65ACE ∠=︒40B ∠=︒C 、5+4＜10，不能组成三角形，故选项错误，不符合题意；D 、2+6＜9，不能组成三角形，故选项错误，不符合题意；故选：B ．5．C【分析】首先明确各个命题的逆命题，再分别分析各逆命题的题设是否能推出结论，可以利用排除法得出答案．【详解】解：A.如果，则不一定是，，选项错误，不符合题意；B.如果角相等，但不一定是直角，选项错误，不符合题意；C.同位角相等，两直线平行，选项正确，符合题意；D.如果，可得或，选项错误，不符合题意．故选：C ．6．C【分析】分别求出各个选项中，三角形的最大的内角，即可判断．【详解】解：根据三角形的内角和为180°，可知，据此逐项判断：A 、由，可以推出，本选项不符合题意；B 、由，可以推出，本选项不符合题意；C 、由，推出，是钝角三角形，本选项符合题意；D 、由，可以推出，本选项不符合题意；故选：C ．7．A【分析】根据三角形的外角的性质可得，根据平行线的性质可得，进而即可求得．【详解】解：∵CE ∥DF ，∴∠CAB ＝125°，∠ABD ＝85°，0a b +>0a >0b >a b =a b =a b =-180A B C ∠+∠+∠=o A B C ∠+∠=∠90C ∠=︒1123A B C ∠=∠=∠90C ∠=︒23A B C ∠=∠=∠108011A ⎛⎫∠=︒ ⎪⎝⎭ABC ∆::1:3:4A B C ∠∠∠=90C ∠=︒1,2CAB CEA DBA DFB ∠=∠+∠∠=∠+∠180CEA DFB ∠+∠=︒12∠+∠180CEA DFB ∠+∠=︒1,2CAB CEA DBA DFB∠=∠+∠∠=∠+∠()12CAB ABD CEA DFB ∴∠+∠=∠+∠-∠+∠，故选A ．8．D【分析】根据反证法的一般步骤判断即可．【详解】解：运用反证法证明这个命题的四个步骤1、假设在中，2、由，得，即3、，这与三角形内角和为矛盾4、因此假设不成立．综上所述，这四个步骤正确的顺序应是：③④①②故选：D9．C【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此进行判断．【详解】解：用反证法证明命题“三角形中至少有一个角大于或等于60°”时，第一步应假设这个三角形中三个内角内角都小于60°，故选：C ．10．D【分析】根据角平分线的性质、三角形的高线性质和三角形内角和定理判断即可；【详解】∵，∴，∵，∴，∵，∴，故①正确；，，∵，∴，12585180=︒+︒-︒=30︒ABC ∆90B ∠≥︒AB AC =90B C ∠=∠≥︒180B C ∠+∠≥︒180A B C ∴∠+∠+∠>︒180︒90B ∴∠<︒BD FD ⊥90FGD F ∠+∠=︒FH BE ⊥90BGO DBE ∠+∠=︒FGD BGH ∠=∠DBE F ∠=∠90ABD BAC ∠=︒-∠9090DBE ABE ABD ABE BAC CBD DBE BAC ∠=∠-∠=∠-︒+∠=∠-∠-︒+∠90CBD C ∠=︒-∠DBE BAC C DBE ∠=∠-∠-∠由①得，，∴，故②正确；∵BE 平分，∴，，∴，，∴，故③正确；∵，，∴，∵，，∴，∴，故④正确；∴正确的有①②③④；故选：D ．二、填空题11． 对角线互相平分的四边形是平行四边形 真【分析】根据逆命题的要求写出逆命题，再判断即可．【详解】解：命题“平行四边形的对角线互相平分”，它的逆命题是对角线互相平分的四边形是平行四边形，此命题是真命题．故答案为：对角线互相平分的四边形是平行四边形；真．12．【分析】由直尺可得，由直角三角板可知，再利用三角形外角定理和平行线性质推角，即可得到答案．【详解】解：如图，由题可知∴∵，∴又∵∴故答案为：．DBE F ∠=∠()12F BAC C ∠=∠-∠ABC ∠ABE CBE ∠=∠BEF CBE C ∠=∠+∠22BEF ABC C ∠=∠+∠BAF ABC C ∠=∠+∠2BEF BAF C ∠=∠+∠AEB EBC C ∠=∠+∠ABE CBE ∠=∠AEB ABE C ∠=∠+∠BD FC ⊥FH BE ⊥FGD FEB ∠=∠BGH ABE C ∠=∠+∠52︒AB CD 490∠=︒AB CD 56∠=∠1142∠=︒490∠=︒5141429052∠=∠-∠=︒-︒=︒26∠=∠252∠=︒52︒13．3【分析】根据中线的定义可得，ABM 与BCM 的周长之差=AB BC ，据此即可求解．【详解】解：∵BM 是ABC 的中线，∴MA=MC ，∴=AB+BM+MA BC CM BM=AB BC=74=3(cm)．答：ABM 与BCM 的周长是差是3 cm ．故答案是：3．14． -2 -3 -4【分析】根据题意选择a 、b 、c 的值，即可得出答案，答案不唯一．【详解】解：当a ＝﹣2，b ＝﹣3，c ＝﹣4时，﹣2＞﹣3＞﹣4，则（﹣2）+（﹣3）＜（﹣4），∴命题若a ＞b ＞c ，则a+b ＞c ”是错误的；故答案为：﹣2，﹣3，﹣4．15．1【分析】根据点D ，E ，F 分别是BC ，AD ，CE 的中点，可以推出，进而推出，即可得到答案．【详解】解：∵点D 是BC的中点- ΔΔABM BCM C C ------ 12S S =△BEC △ABC 14B E F A B C S S =∴∵点E 是AD 的中点∴∴又∵点F 是CE 的中点∴又∵∴故答案为：1．16．【分析】利用三角形三边关系可知：当E 落在AB 上时，AE 距离最大，利用且，得到，再根据折叠性质可知：，利用补角可知，进一步可求出．【详解】解：利用两边之和大于第三边可知：当E 落在AB 上时，AE 距离最大，如图：∵且，∴，∵折叠得到，∴，∵，∴．故答案为：三、解答题17.（1）解：∵∠ACB ＝90°，∠A ＝40°，∴∠CBD=∠A+∠ACB=130°，∵BE 平分∠CBD，ABD ADCS S = DEC S S S S ===△ABE △DBE △AEC △12S S =△BEC △ABC1124BEF BEC ABCS S S == 4ABC S = 1BEF S =△59︒AB CD =62DCF ∠︒=62CFA ∠︒EFP CFP ∠=∠118EFP CFP ∠+∠=︒59EFP CFP ∠=∠=︒AB CD =62DCF ∠︒=62CFA ∠︒PCF PEF EFP CFP ∠=∠118EFP CFP ∠+∠=︒59EFP CFP ∠=∠=︒59︒∴；（2）证明：∵∠ACB ＝90°，∴∠BCE=90°，∵∠CBE=65°，∴∠BEC=90°－65°=25°，∵∠F ＝25°，∴∠F=∠BEC ，∴．18.（1）解：一共能组成三个命题：①如果DE//BC ，，那么；②如果DE//BC ，，那么；③如果，，那么DE//BC ；（2）解：都是真命题，如果DE//BC ，，那么，理由如下：∵DE//BC ，∴，∵，∴．如果DE//BC ，，那么；理由如下：∵DE//BC ，∴，，∵，∴；如果，，那么DE//BC ；理由如下：∵，∴∠B+∠C=180°-∠BAC ，∵∠1+∠2+∠BAC=180°，∴∠1+∠2=180°-∠BAC ，1652CBE CBD ∠=∠=︒BE DF ∥12∠=∠B C ∠=∠B C ∠=∠12∠=∠12∠=∠B C ∠=∠12∠=∠B C ∠=∠1B ∠=∠2C∠=∠12∠=∠B C ∠=∠B C ∠=∠12∠=∠1B ∠=∠2C ∠=∠B C ∠=∠12∠=∠12∠=∠B C ∠=∠180B C BAC ∠+∠+∠=︒∴∠B+∠C=∠1+∠2，∵，，∴∠B=∠1，∴DE//BC ．19.解：（1）∵，∴，∴，∴，∴，∴；（2）∵，∴，∴，∴，∴，∵是中最长的边，∴，即．20.（1）解：①∵BE ，CE 分别是△ABC 的内角和外角的平分线∴∠DBE=∠ABC=20°，∠DCE=∠ACD∵∠ACD=∠ABC+∠A=60°+40°=100°，∠DCE=∠DBE+∠E∴∠DCE=∠ACD=50°，∴∠E=∠DCE-∠DBE=50°-20°=30°；②∵BE ，CE 分别是△ABC 的内角和外角的平分线∴∠DBE=∠ABC=50°，∠DCE=∠ACD∵∠ACD=∠ABC+∠A=100°+60°=160°，∠DCE=∠DBE+∠E∴∠DCE=∠ACD=80°，12∠=∠B C ∠=∠2222440x y xy y +-++=2222440x xy y y y -++++=()()2220x y y -++=0,20x y y -=+=2,2x y =-=-()2124y x -=-=2210841a b a b +=+-2210258160a a b b -+++=-()()22450a b -+=-50,40a b -=-=5,4a b ==c ABC 545c ≤<+59c ≤<121212121212∴∠E=∠DCE-∠DBE=80°-50°=30°；故答案为：①30°；②30°；（2）解：嘉嘉说得对．理由如下：∵BE ，CE 分别是△ABC 的内角和外角的平分线∴∠DBE=∠ABC ，∠DCE=∠ACD∵∠DCE=∠DBE+∠E∴∠E=∠DCE －∠DBE=∠ACD －∠ABC=(∠ACD －∠ABC)又∵∠ACD=∠ABC+∠A∴∠E=(∠ABC+∠A-∠ABC ）=∠A∴∠E 的大小与∠B 的度数无关．21.已知：如图，直线l 1，l 2被l 3所截，∠1+∠2=180°．求证：证明：假设l 1不平行l 2，即l 1与l 2交与相交于一点P ．则∠1+∠2+∠P=180°（三角形内角和定理），所以∠1+∠2＜180°，这与∠1+∠2=180°矛盾，故假设不成立．所以结论成立，l 1∥l 2．22.（1）证明：∵AB ∥CD ，∴∠B ＝∠DCE ，∵∠B ＝∠D ，∴∠D ＝∠DCE ，∴AD ∥BC ；1212121212121212l l //（2）解：设∠CAG ＝x ，∠DCG ＝z ，∠BAC ＝y ，则∠EAD ＝y ，∠D ＝∠DCE ＝2z ，∠AGC ＝2∠CAE ＝2x ，∵AB ∥CD ，∴∠AHD ＝∠BAH ＝x ＋y ，∠ACD ＝∠BAC ＝y ，△AHD 中，x ＋2y ＋2z ＝180°①，△ACG 中，x ＋2x ＋y ＋z ＝180°，即3x ＋y ＋z ＝180°，∴6x ＋2y ＋2z ＝360°②，②﹣①得：5x ＝180°，解得：x ＝36°，∴∠CAE ＝36°；（3）解：设∠CAE ＝x ，∠DCG ＝z ，∠BAC ＝y ，则∠EAD ＝y ，∠D ＝∠DCE ＝2z ，∠AGC ＝3∠CAE ＝3x ，∵AB ∥CD ，∴∠AHD ＝∠BAH ＝x ＋y ，∠ACD ＝∠BAC ＝y ，△AHD 中，x ＋2y ＋2z ＝180°①，△ACG 中，x ＋3x ＋y ＋z ＝180°，∴4x ＋y ＋z ＝180°，∴8x ＋2y ＋2z ＝360°②，②﹣①得：7x ＝180°，解得：x ＝，∴∠CAE ＝；故答案为：．23.（1）解：△AOC 中，∠A+∠C=180°-∠AOC ，△BOD 中，∠B+∠D=180°-∠BOD ，∵∠AOC=∠BOD ，∴∠A+∠C=∠B+∠D ；1807︒1807︒1807︒（2）解：①以线段AC 为边的“8字型”有：△ACM 和△PDM ，△ACO 和△BOD ，△ACO 和△DNO ，共3个；以点O 为交点的“8字型”有：△ACO 和△BDO ，△ACO 和△DNO ，△AMO 和△BDO ，△AMO 和△DNO ，共4个；②△AMC 和△DMP 中，∠C+∠CAM=∠P+∠PDM ，△BDN 和△PAN 中，∠B+∠BDN=∠P+∠PAN ，∴∠C+∠CAM+∠B+∠BDN =∠P+∠PDM+∠P+∠PAN ，∵PA 平分∠BAC ，PD 平分∠BDC ，∴∠CAM=∠PAN ，∠BDN=∠PDM ，∴∠C+∠B=2∠P ，∴120°+100°=2∠P ，∴∠P=110°；③∵∠CAB=3∠CAP ，∠CDB=3∠CDP ，∴∠CAM=∠CAB ，∠PAN=∠CAB ，∠BDN=∠BDC ，∠PDM=∠BDC ，△AMC 和△DMP 中，∠C+∠CAM=∠P+∠PDM ，∠C-∠P=∠PDM-∠CAM=∠BDC-∠CAB ，3（∠C-∠P ）=∠BDC-∠CAB ，△BDN 和△PAN 中，∠B+∠BDN=∠P+∠PAN ，∠P-∠B=∠BDN-∠PAN=∠BDC-∠CAB ，（∠P-∠B ）=∠BDC-∠CAB ，∴3（∠C-∠P ）=（∠P-∠B ），2∠C-2∠P=∠P-∠B ，3∠P=∠B+2∠C ；24.（1）如图①中，13232313131323233232∵∠ABC 与∠ACB 的平分线相交于点P ，∴∠BPC=180°﹣（∠PBC+∠PCB ）=180°（∠ABC+∠ACB ）=180°（180°﹣∠A ），=90°∠A ，∵∠BPC=α，∴∠A=2α﹣180°．故答案为2α﹣180°．（2）结论：∠BPC+∠BQC=180°．理由：如图②中，∵外角∠MBC ，∠NCB 的角平分线交于点Q ，∴∠QBC+∠QCB （∠MBC+∠NCB ）（360°﹣∠ABC ﹣∠ACB ）（180°+∠A ）12-12-12+12=12=12==90°∠A ，∴∠Q=180°﹣（90°∠A ）=90°∠A ，∵∠BPC=90°∠A ，∴∠BPC+∠BQC=180°．（3）延长CB 至F ，∵BQ 为△ABC 的外角∠MBC 的角平分线，∴BE 是△ABC 的外角∠ABF 的角平分线，∴∠ABF=2∠EBF ，∵CE 平分∠ACB ，∴∠ACB=2∠ECB ，∵∠EBF=∠ECB+∠E ，∴2∠EBF=2∠ECB+2∠E ，即∠ABF=∠ACB+2∠E ，又∵∠ABF=∠ACB+∠A ，∴∠A=2∠E ，∵∠ECQ=∠ECB+∠BCQ∠ACB ∠NCB =90°，如果△CQE 中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，那么分四种情况：①∠ECQ=2∠E=90°，则∠E=45°，∠A=2∠E=90°；②∠ECQ=2∠Q=90°，则∠Q=45°，∠E=45°，∠A=2∠E=90°；12+12+12-12+12=12+③∠Q=2∠E，∵∠Q+∠E=90°，∴∠E=30°，则∠A=2∠E=60°；④∠E=2∠Q，∵∠Q+∠E=90°，∴∠E=60°，则∠A=2∠E=120°．综上所述，∠A的度数是90°或60°或120°．。
八年级数学上册 第13章 三角形中的边角关系、命题与证明 单元测试卷(沪科版 24秋)
八年级数学上册第13章三角形中的边角关系、命题与证明单元测试卷（沪科版24秋）一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分)1．【2024·合肥瑶海区期中】以下列各组线段的长为边长，能组成三角形的是()A．1，2，3B．3，4，5C．3，5，10D．4，4，8 2．【母题：教材P73练习T3】在下列各图中，正确画出△ABC边AC上的高的是()3．【2024·合肥四十八中月考】若一个三角形的三个内角度数的比为2∶3∶4，则这个三角形是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形4．【2024·六安裕安中学校级期中】将一副三角尺按如图所示的方式叠放，则∠1的度数为()A．45°B．60°C．75°D．15°5．如图，BE，CF都是△ABC的角平分线，且∠BDC＝130°，则∠A＝() A．50°B．60°C．70°D．80°6．【2024·芜湖期中】如图，在△ABC中，点D为边BC上的一点，点E为AD 的中点，且S△ABC＝4cm2，则S△BEC＝()A．2cm2B．1cm2C．0.5cm2D．0.25cm27．如图，在△ABC中，CE和AD分别是AB，BC边上的高，若AD＝12，CE＝16，则ABBC的值为()A．35B．34C．43D．588．下列命题中，真命题有()①如果a＝b，b＝c，那么a＝c；②直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这个点到这条直线的距离；③如果a·b＝0，那么a＝b＝0;④如果a＝b，那么a3＝b3.A．1个B．2个C．3个D．4个9．【2024·宣城宣州区期中】如图，将一张三角形纸片ABC折叠，使点A落在A′处，折痕为DE，若∠A＝α，∠CEA′＝β，∠BDA′＝γ，那么下列式子中正确的是()A．γ＝180°－α－βB．γ＝α＋2βC．γ＝2α＋βD．γ＝α＋β10．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，CF平分∠ACB的补角∠ACE，交BA的延长线于点F，交BD的延长线于点M.下列结论：①∠BMC＝∠MBC＋∠F；②∠ABD＋∠BAD＝∠D CM＋∠DMC；③2∠BMC＝∠BAC；④2(∠BDC＋∠F)＝3∠BAC.其中正确的结论有()A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)11．命题“对顶角相等”的逆命题是______________________．12．如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线，△ABD的周长比△ACD的周长大4.若AB ＝10，则AC ＝________.13.《周礼·考工记》中记载有：“……半矩谓之宣(xuān)，一宣有半谓之欘(zhú)……”．意思是：“……直角的一半的角叫做宣，一宣半的角叫做欘……”，即1宣＝12矩，1欘＝112宣(其中，1矩＝90°)．问题：图①为中国古代一种强弩图，图②为这种强弩图的部分组件的示意图，若∠A ＝1矩，∠B ＝1欘，则∠C ＝________度．14．【2024·滁州天长市期中】如图，AC ，BD 相交于点O ，BP ，CP 分别平分∠ABD ，∠ACD ，且交于点P .(1)若∠A ＝70°，∠D ＝60°，则∠P ＝________°；(2)若∠A ∠D ∠P ＝24x ，则x ＝________．三、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)15．写出下列命题的逆命题，并判断真假．(1)三角形三个内角的和等于180°；(2)两直线平行，同旁内角互补．16．【2024·滁州育才中学月考】如图，DE ∥BC ，∠1＝∠3，CD ⊥AB ，求证：FG ⊥AB .四、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)17．【2023·合肥大地中学月考】有人说：“如果△ABC的三边长a，b，c满足a2－b2＝ac－bc，那么△ABC一定是等腰三角形．”你同意这个说法吗？请给出你的理由．18．如图，△ABC中，AD，AE分别是△ABC的高和角平分线，BF是∠ABC的平分线，BF与AE交于点O，若∠ABC＝40°，∠C＝60°，求∠DAE，∠BOE 的度数．五、(本大题共2小题，每小题10分，满分20分)19．如图，在△ABC中(AB＞AC)，AD是△ABC的中线，AE是△ACD的中线．(1)若DE＝2，求BC的长；(2)若△ABC的周长为35，BC＝11，且△ABD与△ACD的周长差为3，求AC的长．20．已知在△ABC中，AB＝20，BC＝8，AC＝2m－2.(1)求m的取值范围；(2)若△ABC是等腰三角形，求m的值及△ABC的周长．六、(本题满分12分)21．如图，在△ABC中，∠ABC与外角∠ACD的平分线相交于点O.(1)当∠ABC＝60°，∠ACD＝130°时，求∠BOC的度数；(2)求证：∠O＝12∠A.七、(本题满分12分)22．如果三角形的两个内角α与β满足2α＋β＝90°，那么我们称这样的三角形为“准直角三角形”．(1)如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BD是△ABC的角平分线．求证：△ABD是“准直角三角形”；(2)下列说法：①在△ABC中，若∠A＝100°，∠B＝70°，∠C＝10°，则△ABC是“准直角三角形”；②若△ABC是“准直角三角形”，∠C＞90°，∠A＝60°，则∠B＝20°；③“准直角三角形”一定是钝角三角形．其中正确的是________；(填序号)(3)如图②，B，C为直线l上两点，点A在直线l外，且∠ABC＝50°.若P是直线l上一点，且△ABP是“准直角三角形”，请直接写出∠APB的度数．八、(本题满分14分)23．问题情境：如图，在同一平面内，点B和点C分别位于一块直角三角板PMN 的两条直角边PM，PN上，点A与点P在直线BC的同侧，若点P在△ABC 内部，试问∠ABP，∠ACP与∠A的大小是否满足某种确定的数量关系？(1)特殊探究：若∠A＝55°，则∠ABC＋∠ACB＝________°，∠PBC＋∠PCB＝________°，∠ABP＋∠ACP＝________°.(2)类比探索：试猜想∠ABP＋∠ACP与∠A的关系，并说明理由．(3)类比延伸：改变点A的位置，使点P在△ABC外，其它条件都不变，判断(2)中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出∠ABP，∠ACP与∠A满足的数量关系式．答案一、1．B2．D3．A4．C5．D6．A7．B8．B9．C点方法：在解决折叠问题时，要分清楚折叠前后重合的角，即相等角，进而找到角之间的等量关系．10．D二、11．相等的两个角是对顶角12．613．22.514．(1)65(2)3【点拨】(1)由对顶角相等可得∠DOC＝∠AOB.设∠DOC＝∠AOB＝a，在△DOC中，∠DCO＝180°－∠D－∠DOC＝120°－a.∵CP平分∠ACD，∴∠PCA＝12∠DCO＝60°－12.在△AOB中，∠ABO＝180°－∠A－∠AOB＝110°－a.∵BP平分∠ABD，∴∠PBA＝12∠ABO＝55°－12a.∵∠AFP是△PCF的外角，∴∠AFP＝∠P＋∠PCF＝∠P＋60°－1 2 a.∵∠AFP是△ABF的外角，∴∠AFP＝∠A＋∠ABF＝125°－1 2 a.∴∠P＋60°－12a＝125°－12a.∴∠P＝65°.(2)设∠A＝2k，∠D＝4k，∠P＝xk，∠DOC＝∠AOB＝b.∵∠DCO＝180°－∠D－∠DOC，∴∠PCF＝12∠DCO＝12(180°－4k－b)．∵∠ABO＝180°－∠A－∠AOB，∴∠PBA＝12∠ABO＝12(180°－2k－b)．∵∠AFP＝∠P＋∠PCF＝∠A＋∠ABF，∴xk＋12(180°－4k－b)＝2k＋12(180°－2k－b)，解得x＝3.三、15．【解】(1)内角和等于180°的多边形是三角形；真命题．(2)同旁内角互补，两直线平行；真命题．16．【证明】∵DE∥BC，∴∠1＝∠2.又∵∠1＝∠3，∴∠2＝∠3.∴CD∥FG.又∵CD⊥AB，∴FG⊥AB.四、17．【解】同意．理由如下：∵a2－b2＝ac－bc，∴(a＋b)(a－b)＝c(a－b)．∴(a＋b－c)(a－b)＝0.∵a，b，c是△ABC的三边长，∴a＋b－c>0.∴a－b＝0，即a＝b.∴△ABC一定是等腰三角形．18．【解】∵∠ABC＝40°，∠C＝60°，∴∠BAC＝180°－∠ABC－∠C＝80°.∵AE是△ABC的角平分线，∴∠EAC＝12∠BAC＝40°.∵AD是△ABC的高，∴∠ADC＝90°.∴在△ADC中，∠DAC＝90°－∠C＝90°－60°＝30°.∴∠DAE＝∠EAC－∠DAC＝40°－30°＝10°.∵BF是∠ABC的平分线，∠ABC＝40°，∴∠FBC＝12∠ABC＝20°.∵∠C＝60°，∴∠AFO＝∠FBC＋∠C＝80°.∴∠AOF＝180°－∠EAC－∠AFO＝60°.∴∠BOE＝∠AOF＝60°.五、19．【解】(1)∵AE是△ACD的中线，DE＝2，∴CD＝2DE＝2×2＝4.∵AD 是△ABC 的中线，∴BD ＝CD .∴BC ＝2×4＝8.(2)∵△ABC 的周长为35，∴AB ＋AC ＋BC ＝35.又∵BC ＝11，∴AB ＋AC ＝24.∵△ABD 与△ACD 的周长差为3，∴(AB ＋BD ＋AD )－(AC ＋CD ＋AD )＝AB －AC ＝3，＋AC ＝24，－AC ＝3，＝13.5，＝10.5.∴AC 的长为10.5.20．【解】(1)∵在△ABC 中，AB ＝20，BC ＝8，AC ＝2m －2，∴20－8<2m －2<20＋8，解得7<m <15.∴m 的取值范围是7<m <15.(2)分两种情况：①当AB ＝AC 时，2m －2＝20，解得m ＝11.此时△ABC 的周长＝20＋20＋8＝48；②当BC ＝AC 时，2m －2＝8，解得m ＝5.∵7<m <15，∴此种情况不合题意．综上所述，m 的值为11，△ABC 的周长为48.六、21．(1)【解】∵BO 平分∠ABC ，CO 平分∠ACD ，∴∠CBO ＝12∠ABC ＝30°，∠DCO ＝12ACD ＝65°.∵∠DCO 是△BCO 的外角，∴∠BOC ＝∠DCO －∠CBO ＝35°.(2)【证明】∵∠ACD 是△ABC 的外角，∴∠A ＝∠ACD －∠ABC .∵BO 平分∠ABC ，CO 平分∠ACD ，∴∠DCO ＝12∠ACD ，∠CBO ＝12∠ABC .∵∠DCO 是△BCO 的外角，∴∠BOC＝∠DCO－∠CBO＝12(∠ACD－∠ABC)＝12∠A.七、22．(1)【证明】∵∠ACB＝90°，∴∠ABC＋∠A＝90°.∵BD是∠ABC的平分线，∴∠ABC＝2∠ABD.∴2∠ABD＋∠A＝90°.∴△ABD是“准直角三角形”．(2)①③(3)【解】∠APB的度数为10°或20°或40°或110°.八、23．【解】(1)125；90；35(2)猜想：∠ABP＋∠ACP＝90°－∠A.理由：在△ABC中，∠ABC＋∠ACB＝180°－∠A.∵∠ABC＝∠ABP＋∠PBC，∠ACB＝∠ACP＋∠PCB，∴∠ABP＋∠PBC＋∠ACP＋∠PCB＝180°－∠A.∴(∠ABP＋∠ACP)＋(∠PBC＋∠PCB)＝180°－∠A.∵在Rt△PBC中，∠P＝90°，∴∠PBC＋∠PCB＝90°.∴∠ABP＋∠ACP＋90°＝180°－∠A.∴∠ABP＋∠ACP＝90°－∠A.(3)(2)中的结论不成立．∠A＋∠ACP－∠ABP＝90°或∠A＋∠ABP－∠ACP＝90°或∠A－∠ABP－∠ACP＝90°.。
沪科版八年级上册数学第13章 三角形中的边角关系、命题与证明 含答案
沪科版八年级上册数学第13章三角形中的边角关系、命题与证明含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，圆内接四边形ABCD的边AB过圆心O，过点C的切线AD的延长线交于点E，若点D是弧AC的中点，且∠ABC=70°，则∠AEC等于（）A.80°B.75°C.70°D.65°2、三角形的三个外角之比为2：3：4，则与之相应的三个内角之比为（）A.2：3：4B.4：3：2C.5：3：1D.1：3：53、三角形的重心是三角形的（）A.三条中线的交点B.三条角平分线的交点C.三边垂直平分线的交点D.三条高所在直线的交点4、如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120 ，BC=6cm，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN的长为（）A.1.5cmB.2cmC.2.5cmD.3cm5、如下图，线段是的高的是（）A. B. C. D.6、如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象交矩形OABC的边AB于点D，交边BC于点E，且BE＝2EC.若四边形ODBE的面积为6，则k为（）A.3B.4C.6D.127、下列说法错误的是（）A.高矮不同的两个人在同一盏路灯下同一时刻的影子有可能一样长B.对角线互相垂直的四边形是菱形 C.方程x 2＝x的根是x1＝0，x2＝1 D.对角线相等的平行四边形是矩形8、如图，为的切线，切点为A，连接，与交于点C，延长与交于点D，连接，若，则的度数为( )A. B. C. D.9、画△ABC中AB边上的高，下列画法中正确的是（）A. B. C. D.10、5月1日，小明一家准备在市内作短途旅游．小明征求大家的意见：爷爷奶奶：如果去玉泉观就一定再去伏羲庙；爸爸妈妈：如果不去南寺也就不去李广墓；姑姑：要么去玉泉观，要么去南郭寺．如果只去一个景点，小明应该选择去（）A.玉泉观B.伏羲庙C.南郭寺D.李广墓11、如图，在△ABC中，∠A=20°，∠ABC与∠ACB的角平分线交于D1，∠ABD1与∠ACD1的角平分线交于点D2，依此类推，∠ABD4与∠ACD4的角平分线交于点D5，则∠BD5C的度数是（）A.24°B.25°C.30°D.36°12、如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，CE交BA的延长线于点E，∠B=40°，∠E=30°，则∠ACB的度数为( )A.30°B.35°C.40°D.70°13、下列长度的各组线段中，不能组成三角形的是（）A.1.5，2.5，3.5B. ，，C.2a，3a，5a（a＞0） D.m+1，m+2，m+3（m＞0）14、在三角形ABC中，D是边BC上的一点，已知AC=5，AD=6，BD=10，CD=5，那么三角形ABC的面积是（）A.30B.36C.72D.12515、两个相似三角形，他们的周长分别是36和12.周长较大的三角形的最大边为15，周长较小的三角形的最小边为3，则周长较大的三角形的面积是（）A.52B.54C.56D.58．二、填空题(共10题，共计30分)16、一个三角形的两边长分别是2和3，若它的第三边长为奇数，则这个三角形的周长为________．17、如图，在△ABC中，AC=BC，△ABC的外角∠ACE=100°，则∠A=________ 度．18、A、B、C、D、E、F六足球队进行单循环比赛，当比赛到某一天时，统计出A、B、C、D、E、五队已分别比赛了5、4、3、2、1场球，则还没与B队比赛的球队是________19、如图，AD是△ABC中BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，若∠B=44°，∠C=76°，则∠DAE=________．20、如图，在△ABC中,∠ACB=90°，沿CD折叠△CBD，使点B恰好落在AC边上的点E处,若∠A=22°,则∠BDC=________度；21、已知，△ABC的中线AD与中线BE相交于点F，若DF=2，则AD的长是________ .22、在△ABC中，已知∠A＝60°，∠B＝80°，则∠C的外角的度数是________.23、如图，直线轴于点，直线轴于点，直线轴于点，…，直线轴于点（其中为正整数）．函数的图象与直线, , ,…，分别交于点, , ，…，；函数的图象与直线, , ,…，分别交于点, , ，…, ，如果的面积记作，四边形的面积记作，四边形的面积记作,…，四边形的面积记作，那么________.24、在平面直角坐标系中，，，若的面积为，且点在坐标轴上，则符合条件的点的坐标为________．25、小明把一副含45°，30°的直角三角板如图摆放，其中∠C＝∠F＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，则∠α+∠β等于________.三、解答题(共5题，共计25分)26、如图，AD、AE分别是△ABC的高和角平分线，∠B=20°，∠C=80°，求∠AED的度数．27、如图，在△ABC中，D是BC的中点， DE⊥AB于E，DF⊥AC于点F，且∠BDE=∠CDF。
沪科版八年级数学上册第13章测试题及答案
沪科版八年级数学上册第13章测试题及答案13.1 三角形中的边角关系1、如果一个三角形的两边长分别为2和4，则第三边长可能是（）A、2B、4C、6D、82、下列长度的三条线段能组成三角形的是（）A、3，4，8B、5，6，11C、5，6，10D、1，2，33、下列能判定三角形是等腰三角形的是（）A、有两个角为30°，60°B、有两个角为40°，80°C、有两个角为50°，80°D、有两个角为100°，120°4、已知△ABC的外角∠CBE，∠BCF的角平分线BP，CP交于P点，则∠BPC是（）A、钝角B、锐角C、直角D、无法确定5、如图，∠2 大于∠1的是（）A、 B、C、 D、6、下列说法不正确的是（）A、三角形按边分可分为不等边三角形、等腰三角形B、等腰三角形的内角可能是钝角或直角C、三角形外角一定是钝角D、三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分7、如图，已知D为BC上一点，∠B=∠1，∠BAC=78°，则∠2=（）A、78°B、80°C、50°D、60°8、如图，∠1=________度．9、如图，已知BE和CF是△ABC的两条高，∠ABC=48°，∠ACB=76°，则∠FDE=________．10、如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，若∠B=40°，∠ACE=60°，则∠A =________度．11、如图，∠A=90°，∠B=21°，∠C=32°，求∠BDC的度数．12、如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E，判断∠BAC，∠B，∠E之间的关系，并说明理由．参考答案1、B解析：设第三边长为x，则由三角形三边关系定理得4﹣2＜x＜4+2，即2＜x＜6．因此，本题的第三边应满足2＜x＜6.2，6，8都不符合不等式2＜x＜6，只有4符合不等式．故选B．2、C解析：3+4＜8，则3，4，8不能组成三角形，A不符合题意；5+6=11，则5，6，11不能组成三角形，B不合题意；5+6>10,则5，6，10能组成三角形，C符合题意；1+2=3，则1，2,3不能组成三角形，D不合题意.故选C.3、C解析：A、因为有两个角为30°，60°，则第三个角为90°，所以此选项不正确； B、因为有两个角为40°，80°，则第三个角为60°，所以此选项不正确；C、因为有两个角为50°，80°，则第三个角为50°，有两个角相等，所以此选项正确；D、因为100°+120°＞180°，所以此选项不正确.故选C．4、B解析：∵△ABC的外角平分线BP，CP交于P点，∴∠PBC= ∠EBC，∠BCP= ∠BCF.∵∠CBE，∠BCF是△ABC的两个外角，∴∠CBE+∠BCF=360°﹣（180°﹣∠A）=180°+∠A，∴∠PBC+∠BCP= （∠EBC+∠BCF）= （180°+∠A）=90°+ ∠A.∵在△PBC中，∠BPC=180°﹣（∠PBC+∠BCP）=180°﹣（90°+ ∠A）=90°﹣∠A＜90°，∴∠BPC是锐角．故选B．5、B解析：A、∠2 和∠1的关系不能确定，故错误； B、∠2＞∠1，故正确；C、∠2 和∠1的关系不能确定，故错误；D、∠2=∠1，故错误，故选B．6、C解析：三角形按边分可分为不等边三角形、等腰三角形，故A不正确；等腰三角形的内角可能是钝角或直角，故B不正确；三角形外角可能是钝角、直角或锐角，故C正确；三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分，故D不正确；故选C.7、A解析：∵∠2=∠B+∠BAD，∠BAC=∠1+∠BAD，又∵∠B=∠1，∴∠2=∠BAC，∵∠BAC=78°，∴∠2=78°．故选A．8、130解析：如图，∠2=180°﹣100°=80°，则∠1=50°+∠2=130°．9、124°解析：（方法一）在△ABC中，∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∴∠A=180°﹣48°﹣76°=56°.在四边形AFDE中，∵∠A+∠AFC+∠AEB+∠FDE=360°，又∵∠AFC=∠AEB=90°，∠A=56°，∴∠FDE=360°﹣90°﹣90°﹣56°=124°.（方法二）∵∠AEB=∠ACB+∠EBC=90°，∠AFC=∠ABC+∠FCB=90°，∴∠CBE=14°，∠FCB=42°.∵∠BDC=180°﹣∠CBE﹣∠FCB=124°，∴∠FDE=124°．10、80解析：∵∠ACE=60°，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，∠ACD=2∠ACE=120°，∠ACD=∠A+∠B，∠B=40°，∴∠A=∠ACD﹣∠B=80°.11、解：如图，连接AD并延长AD至点E，∵∠BDE=∠BAE+∠B，∠CDE=∠CAD+∠C，∴∠BDC=∠BDE+∠CDE=∠CAD+∠C+∠BAD+∠B=∠BAC+∠B+∠C.∵∠A=90°，∠B=21°，∠C=32°，∴∠BDC=90°+21°+32°=143°．12、解：∠BAC=∠B+2∠E．理由：在△BCE中，∠DCE=∠B+∠E.因为CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，所以∠DCE=∠ACE．在△ACE中，∠BAC=∠E+∠ACE=∠E+∠B+∠E=∠B+2∠E，即∠BAC=∠B+2∠E．13.2 命题与证明1.下列语句属于命题的是（）A.等角的余角相等B.两点之间，线段最短吗C.连接P，Q两点D.花儿会不会在春天开放2.下列命题为真命题的是（）A.对顶角相等B.同位角相等C.若a2=b2，则a=bD.同旁内角相等，两直线平行3.能说明命题“对于任何实数a，a2≥a”是假命题的一个反例可以是（）A.a=﹣2B.a=1C.a=0D.a=0.24.下列命题：①同旁内角互补，两直线平行；②若|a|=|b|，则a=b；③直角都相等；④相等的角是对顶角．它们的逆命题是真命题的个数是（）A.4B.3C.2D.15.两个角的两边分别平行，那么这两个角（）A.相等B.互补C.互余D.相等或互补6.下列说法正确的是（）A.相等的角是对顶角B.同旁内角相等，两直线平行C.直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离D.经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行7.“如果∠A和∠B的两边分别平行，那么∠A和∠B相等”是（）A.真命题B.假命题C.定理D.以上选项都不对8.在一次1 500米比赛中，有如下的判断.甲说：丙第一，我第三.乙说：我第一，丁第四.丙说：丁第二，我第三．结果是每人的两句话中都只说对了一句，则可判断第一名是（）A.甲B.乙C.丙D.丁9.写出“同位角相等，两直线平行的题设为________，结论为________．10.命题“直角三角形两锐角互余”的逆命题是：________．11.在四边形ABCD中，给出下列论断：①AB∥DC；②AD=BC；③∠A=∠C，以其中两个作为题设，另外一个作为结论，用“如果…那么…”的形式，写出一个你认为正确的结论：________．12.“如果一个数是整数，那么它是有理数”这个命题的条件是________．13.证明命题“三角形的三内角和为180°”是真命题．14.判断下列命题是真命题还是假命题，如果是假命题，举出一个反例．（1）一个角的补角大于这个角；（2）已知直线a、b、c若a⊥b，b⊥c，则a⊥c．参考答案与解析1.A解析：A是用语言可以判断真假的陈述句，是命题，B，C，D均不是可以判断真假的陈述句，都不是命题．故选A．2.A解析：A.对顶角相等，所以A选项为真命题； B.两直线平行，同位角相等，所以B选项为假命题；C.若a2=b2，则a=b或a=﹣b，所以C选项为假命题；D.同旁内角相等，两直线平行，所以D选项为假命题．故选A．3.D解析：当a=0.2时，a2=0.04，所以a2<a.故选D.4. B解析：①同旁内角互补，两直线平行的逆命题是两直线平行，同旁内角互补，是真命题；②若|a|=|b|，则a=b的逆命题是若a=b，则|a|=|b|，是真命题；③直角都相等的逆命题是相等的角是直角，是假命题；④相等的角是对项角的逆命题是对顶角是相等的角，是真命题；它们的逆命题是真命题的个数是3．故选B．5.D解析：两个角的两边分别平行，这两个角可能是同位角或同旁内角，因此相等或互补．故选D．6.D解析：A.相等的角不一定是对顶角，故错误；B.同旁内角互补，两直线平行，故错误；C.直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，故错误；D.经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，故正确.故选D．7. B解析：如图，∠A和∠B的关系是相等或互补．∴“如果∠A和∠B的两边分别平行，那么∠A和∠B相等”是假命题，故选B．8. B解析：根据分析，知第一名应是乙．故选B．9.同位角相等；两直线平行解析：命题中，已知的事项是“同位角相等”，由已知事项推出的事项是“两直线平行”，所以“同位角相等”是命题的题设部分，“两直线平行”是命题的结论部分．故答案：同位角相等；两直线平行．10.如果三角形有两个角互余，那么这个三角形是直角三角形解析：因为“直角三角形两锐角互余”的题设是“三角形是直角三角形”，结论是“两个锐角互余”，所以逆命题是“如果三角形有两个角互余，那么这个三角形是直角三角形”．11.如果AB∥DC，∠A=∠C，那么AD=BC12.一个数是整数解析：“如果一个数是整数，那么它是有理数”这个命题的条件是“一个数是整数”．13.已知：∠A，∠B，∠C为△ABC的三个内角，求证：∠A+∠B+∠C=180°，证明：作射线BD，过C点作CE∥AB，如图，∵CE∥AB，∴∠1=∠A，∠2=∠B，而∠C+∠1+∠2=180°，∴∠A+∠B+∠C=180°．所以命题“三角形的三内角和为180°”是真命题．14.解：（1）一个角的补角大于这个角，是假命题，例如这个角是直角或钝角时，这个角的补角等于或小于这个角；（2）已知直线a，b，c若a⊥b，b⊥c，则a⊥c，是假命题，例如若a⊥b，b⊥c，则a∥c．。
沪科版八年级数学上册第13章测试题(含答案)
沪科版八年级数学上册第13章测试题（含答案）(考试时间：120分钟满分：150分)分数：__________一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分)每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是正确的．1．以下列各组线段的长为边，能组成三角形的是(B)A．1 cm，2 cm，3 cm B．1 dm，5 cm，6 cmC．1 dm，3 cm，3 cm D．2 cm，4 cm，7 cm2．如图，平面上直线a，b分别过线段OK两端点(数据如图)，则a，b相交所成的锐角是(B)A．20°B．30°C．70°D．80°第2题图第4题图3．用三角板作△ABC的边BC上的高，下列三角板的摆放位置正确的是(A)A B C D4．如图，下列推理错误的是(D)A．因为AB∥CD，所以∠A＝∠1B．因为AD∥BC，所以∠A＋∠B＝180°C．因为∠1＝∠C，所以AD∥BCD．因为∠A＝∠C，所以AB∥CD5．下列四个命题中，真命题有(A)①两条直线被第三条直线所截，内错角相等；②如果∠1和∠2是对顶角，那么∠1＝∠2；③三角形的一个外角大于任何一个内角；④如果x2＞0，那么x＞0.A．1个B．2个C．3个D．4个6．对假命题“任何一个角的补角都不小于这个角”举反例，正确的反例是(C) A．∠α＝60°，∠α的补角∠β＝120°，∠β＞∠αB．∠α＝90°，∠α的补角∠β＝90°，∠β＝∠αC．∠α＝100°，∠α的补角∠β＝80°，∠β＜∠αD．两个角互为邻补角7．锐角三角形中任意两个锐角的和必大于(D)A．120°B．110°C．100°D．90°8．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，沿CD折叠△CBD，使点B恰好落在AC边上的点E处．若∠A＝24°，则∠BDC等于(C)A．42°B．66°C．69°D．77°第8题图第9题图9．★如图所示，已知∠1＝60°，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝(C)A．180°B．360°C．240°D．200°10．★(东至县期末)已知：如图△ABC中，点D，E，F分别在三边上，E是AC的中点，AD，BE，CF交于一点G，BD＝2DC，S△BGD＝8，S△AGE＝3，则△ABC的面积是(B)A．25 B．30 C．35 D．40二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)11．把命题“任意两个直角都相等”改写成“如果……那么……”的形式是如果两个角都是直角，那么这两个角相等．12．已知一个三角形三个内角度数的比是2∶4∶6，则其最小内角的度数是30° .13．★(六安裕安区期末)如图，在△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，E为AD上一点，且EF⊥BC于点F，若∠C＝35°，∠DEF＝15°，则∠B的度数为65° .第13题图第14题图14．★如图，BE是∠ABD的平分线，CF是∠ACD的平分线，BE与CF交于G，若∠BDC15．写出下列命题的逆命题，并判断是真命题，还是假命题．(1)如果a＋b＝0，那么a＝0，b＝0；(2)等角的余角相等；(3)如果一个数的平方是9，那么这个数是3.解：(1)如果a ＋b ＝0，那么a ＝0，b ＝0的逆命题是如果a ＝0，b ＝0，那么a ＋b ＝0，此逆命题为真命题．(2)等角的余角相等的逆命题是余角相等的两个角相等，此逆命题为真命题．(3)如果一个数的平方是9，那么这个数是3的逆命题是如果一个数是3，那么这个数的平方是9，此逆命题为真命题．16．如图，CD 是∠ACB 的平分线，DE ∥BC ，∠AED ＝70°，求∠EDC 的度数．解：∵DE ∥BC ， ∴∠ACB ＝∠AED ＝70°. ∵CD 平分∠ACB ， ∴∠BCD ＝12∠ACB ＝35°.又∵DE ∥BC ，∴∠EDC ＝∠BCD ＝35°.四、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分) 17．在△ABC 中，AB ＝9，BC ＝2，AC ＝x.(1)求x 的取值范围；(2)若△ABC 的周长为偶数，且AC 取值为正整数，则△ABC 的周长为多少？ 解：(1)由题意知，9－2＜x ＜9＋2，即7＜x ＜11. (2)∵7＜x ＜11，且AC 取值为正整数， ∴x 的值是8或9或10，∴△ABC 的周长为：9＋2＋8＝19(舍去) 或9＋2＋9＝20或9＋2＋10＝21(舍去)． 即该三角形的周长是20.18．在下列解题过程的空白处填上适当的内容(推理的理由或数学表达式)．如图，在△ABC 中，已知∠ADE ＝∠B ，∠1＝∠2，FG ⊥AB 于点G.求证：CD ⊥AB.证明：∵∠ADE ＝∠B.(已知)∴ DE ∥BC .( 同位角相等，两直线平行 ) ∵DE ∥BC ，(已证)∴ ∠1＝∠DCF .( 两直线平行，内错角相等 ) 又∵∠1＝∠2，(已知)∴ ∠DCF ＝∠2 .( 等量代换 )∴CD ∥FG ，( 同位角相等，两直线平行 )∴ ∠BDC ＝∠BGF .(两直线平行，同位角相等) ∵FG ⊥AB ，(已知) ∴∠FGB ＝90°.(垂直的定义) 即∠CDB ＝∠FGB ＝90°，∴CD ⊥AB.(垂直的定义)五、(本大题共2小题，每小题10分，满分20分)19．如图，在△ABC 中，∠1＝100°，∠C ＝80°，∠2＝12∠3，BE 平分∠ABC.求∠4的度数．解：∵∠1＝∠3＋∠C ，∠1＝100°， ∠C ＝80°， ∴∠3＝20°. ∵∠2＝12∠3，∴∠2＝10°，∴∠ABC ＝180°－100°－10°＝70°. ∵BE 平分∠BAC ， ∴∠ABE ＝35°.∵∠4＝∠2＋∠ABE ，∴∠4＝45°.20．如图，它是一个大型模板，设计要求BA 与CD 相交成20°角，DA 与CB 相交成40°角，现测得∠A ＝145°，∠B ＝75°，∠C ＝85°，∠D ＝55°，就断定这块模板是合格的，这是为什么？解：延长DA ，CB ，相交于F ， ∵∠C ＋∠ADC ＝85°＋55°＝140°，∴∠F＝180°－140°＝40°；延长BA，CD相交于E，∵∠C＋∠ABC＝85°＋75°＝160°，∴∠E＝180°－160°＝20°，故合格．六、(本题满分12分)21．如图，AC平分∠DCE，且与BE的延长线交于点A.(1)如果∠A＝35°，∠B＝30°，则∠BEC＝________(直接在横线上填写度数)；(2)小明经过改变∠A，∠B的度数进行多次探究，得出∠A，∠B，∠BEC三个角之间存在固定的数量关系，请你用一个等式表示出这个关系，并说明理由．解：(1)∵∠A＝35°，∠B＝30°，∴∠ACD＝∠A＋∠B＝65°.又∵AC平分∠DCE，∴∠ACE＝∠ACD＝65°，∴∠BEC＝∠A＋∠ACE＝35°＋65°＝100°.故答案为100°.(2)关系式为：∠BEC＝2∠A＋∠B.理由：∵AC平分∠DCE，∴∠ACD＝∠ACE.∵∠BEC＝∠A＋∠ACE＝∠A＋∠ACD，∵∠ACD＝∠A＋∠B，∴∠BEC＝∠A＋∠A＋∠B＝2∠A＋∠B.七、(本题满分12分)22．如图所示，在平面直角坐标系中，线段AB的端点A在y轴上，端点B在x轴上，BF平分∠ABO并与△ABO的外角平分线AE所在的直线交于点F.(1)求∠F的大小；(2)当点A，点B分别在y轴的正半轴和x轴的正半轴上移动时，其他条件不变，(1)中结论还成立吗？说说你的理由．解：(1)∵BF平分∠ABO，AE平分∠BAG，∴∠ABF ＝12∠ABO ，∠BAE ＝12∠BAG.∵∠BAG ＝∠ABO ＋∠AOB ，∴∠BAE ＝12(∠ABO ＋∠AOB )＝12∠AOB ＋∠ABF ，∵∠BAE ＝∠F ＋∠ABF ， ∴∠F ＝12∠AOB ＝45°.(2)(1)中结论成立，理由如下：∵BF 平分∠ABO ，AE 平分∠BAG ， ∴∠ABF ＝12∠ABO ，∠BAE ＝12∠BAG ，∵∠BAG ＝∠ABO ＋∠AOB ， ∴∠BAE ＝12(∠ABO ＋∠AOB )＝12∠AOB ＋∠ABF ， ∵∠BAE ＝∠F ＋∠ABF ， ∴∠F ＝12∠AOB ＝45°.八、(本题满分14分)23．如图①，已知线段AB ，CD 相交于点O ，连接AD ，CB ，我们把形如图①的图形称之为“8字形”．如图②，在图①的条件下，∠DAB 和∠BCD 的角平分线AP 和CP 相交于点P ，并且与CD ，AB 分别相交于点M ，N ，试解答下列问题：(1)在图①中，请直接写出∠A ，∠B ，∠C ，∠D 之间的数量关系； (2)在图②中，若∠D ＝40°，∠B ＝36°，试求∠P 的度数；(3)如果图②中∠D 和∠B 为任意角时，其他条件不变，试问∠P 与∠D ，∠B 之间存在着怎样的数量关系(直接写出结论即可)．解：(1)在△AOD 中，∠AOD ＝180°－∠A －∠D ， 在△BOC 中，∠BOC ＝180°－∠B －∠C. ∵∠AOD ＝∠BOC ，(对顶角相等)∴180°－∠A －∠D ＝180°－∠B －∠C ， ∴∠A ＋∠D ＝∠B ＋∠C.故答案为∠A ＋∠D ＝∠B ＋∠C.(2)记∠DAP ＝∠1，∠PCM ＝∠2. ∵∠D ＝40°，∠B ＝36°，∴∠OAD ＋40°＝∠OCB ＋36°，∴∠OCB －∠OAD ＝4°.∵AP ，CP 分别是∠DAB 和∠BCD 的角平分线， ∴∠1＝12∠OAD ，∠2＝12∠OCB.又∵∠1＋∠D ＝∠2＋∠P ， ∴∠P ＝∠1＋∠D －∠2 ＝12(∠OAD －∠OCB )＋∠D ＝12×(－4°)＋40° ＝38°.(3)结论：2∠P ＝∠B ＋∠D. 记∠DAP ＝∠1，∠PCM ＝∠2. 根据“8字形”数量关系，∠OAD ＋∠D ＝∠OCB ＋∠B ， ∠1＋∠D ＝∠2＋∠P ，∴∠OCB －∠OAD ＝∠D －∠B ，∠2－∠1＝∠D －∠P.∵AP ，CP 分别是∠DAB 和∠BCD 的角平分线， ∴∠1＝12∠OAD ，∠2＝12∠OCB ，∴∠2－∠1＝12(∠D －∠B )＝∠D －∠P ，整理得，2∠P ＝∠B ＋∠D.。
最新沪科版数学八年级上册第13章检测试题及答案
第13章达标测试卷一、选择题(每题3分，共30分)1．在一个直角三角形中，有一个锐角等于40°，则另一个锐角的度数是() A．40°B．50°C．60°D．70°2．下列每组数分别表示三根木棒的长，将木棒首尾连接后，能摆成三角形的一组是()A．1，2，1 B．1，2，2 C．1，2，3 D．1，2，43．等腰三角形的两边长分别为6和3，则这个三角形的周长是() A．12 B．15 C．12或15 D．184．下面给出的四个命题中，假命题是()A．如果a＝3，那么|a|＝3B．如果x2＝4，那么x＝±2C．如果(a－1)(a＋2)＝0，那么a－1＝0或a＋2＝0D．如果(a－1)2＋(b＋2)2＝0，那么a＝1或b＝－25．对于命题“如果∠1＋∠2＝180°，那么∠1≠∠2”，能说明它是假命题的例子是()A．∠1＝100°，∠2＝80°B．∠1＝50°，∠2＝50°C．∠1＝∠2＝90°D．∠1＝80°，∠2＝80°6．若a，b，c是△ABC的三边长，且a2＋b2－6a－10b＋34＝0，则c的取值范围是()A．c＜8 B．2＜c＜8 C．2≤c≤8 D．4＜c＜167．如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线BE，CD相交于点F，∠ABC ＝42°，∠A＝60°，则∠BFC的度数为()A．118°B．119°C．120°D．121°8．如图，AD是∠CAE的平分线，∠B＝35°，∠DAC＝60°，则∠ACD等于()A．25°B．85°C．60°D．95°9．如图，点D，E在△ABC的边上，CD与BE相交于点F，则∠1，∠2，∠3，∠4应满足的关系是()A．∠1＋∠4＝∠2＋∠3B．∠1＋∠2＝∠3＋∠4C．∠1＋∠2＝∠4－∠3D．∠2－∠1＝∠3＋∠410．小明把一副含45°，30°角的直角三角板如图摆放，其中∠C＝∠F＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，则∠α＋∠β等于()A．180°B．360°C．210°D．270°二、填空题(每题3分，共18分)11．命题“和为180°的两个角互为补角”的逆命题是_____________________________________________________________．12．如图，直线m∥n，直角三角形ABC的顶点A在直线n上，∠C＝90°.若∠1＝25°，∠2＝70°，则∠B＝________．13．如图，已知∠CAE是△ABC的外角，AD∥BC，且AD是∠EAC的平分线．若∠B＝71°，则∠BAC＝________．14．如图，在△ABC中，点P是△ABC的角平分线的交点，则∠PBC＋∠PCA＋∠P AB＝________度．15．如图，已知D为△ABC的边BC延长线上一点，DF⊥AB于点F，交AC于点E，∠A＝35°，∠D＝42°，则∠ACD的度数为________．16．在△ABC中，BC边不动，点A竖直向上运动，∠A越来越小，∠B、∠C越来越大．若∠A减小α，∠B增加β，∠C增加γ，则α、β、γ三者之间的数量关系是__________．三、解答题(17，18题每题8分，其余每题9分，共52分)17．如图，∠ABC的两边分别平行于∠DEF的两边，且∠ABC＝25°.(1)∠1＝________________，∠2＝________________；(2)请观察∠1、∠2分别与∠ABC有怎样的关系，归纳出一个命题．18．梦雪的爸爸将一段长为30米的破旧渔网围成一个三角形，已知第一条边长为a米，第二条边长比第一条边长的2倍还多2米．(1)请用a表示第三条边长；(2)请求出a的取值范围．19．如图，一艘渔船在B处测得灯塔A在北偏东60°的方向，另一艘货轮在C处测得灯塔A在北偏东40°的方向，那么在灯塔A处观看B和C时的视角∠BAC 是多少度？20．如图，已知AD是△ABC的角平分线，CE是△ABC的高，AD、CE相交于点P，∠BAC＝66°，∠BCE＝40°，求∠ADC和∠APC的度数．21．如图①，AD，AE分别是△ABC中BC边上的高和中线，已知AD＝5 c m，EC＝3.5 c m.(1)求△ABE和△AEC的面积；(2)通过做题，你能发现什么结论？(3)根据(2)中的结论，解决下列问题：如图②，CD是△ABC的中线，DE是△ACD的中线，EF是△ADE的中线．若△AEF的面积为1 c m2，求△ABC的面积．22．如图①，在△ABC中，AE平分∠BAC，∠C＞∠B，F是AE上一点，且FD ⊥BC于D点．(1)试猜想∠EFD，∠B，∠C的关系，并说明理由；(2)如图②，当点F在AE的延长线上时，其余条件不变，(1)中的结论还成立吗？说明理由．①②答案一、1.B2．B点拨：根据三角形的三边关系：三角形中任何两边的和大于第三边，计算两较小边的和，看看是否大于第三边即可．只有B选项中1＋2＞2，能组成三角形，故选B.3．B 4.D5．C点拨：A满足条件∠1＋∠2＝180°，也满足结论∠1≠∠2，故错误；B不满足条件，也不满足结论，故错误；C满足条件，不满足结论，故正确；D 不满足条件，也不满足结论，故错误．6．B7.C8．D点拨：由题意得∠CAD＝∠DAE＝60°，∴∠BAC＝60°，∴∠ACD＝∠B ＋∠BAC＝35°＋60°＝95°.9．D10.C二、11.互为补角的两个角的和为180°12．45°点拨：∵m∥n，∴∠2＝∠BAC＋∠1.∴∠BAC＝∠2－∠1＝45°，∴∠B＝90°－∠BAC＝45°.13．38°点拨：∵AD∥BC，∴∠EAD＝∠B＝71°.∵AD是∠EAC的平分线，∴∠EAC＝2∠EAD＝142°，∴∠BAC＝38°.14．9015．83°点拨：∵DF⊥AB，∴∠AFE＝90°.∴∠AEF＝90°－∠A＝90°－35°＝55°.∴∠CED＝∠AEF＝55°.∴∠ACD＝180°－∠CED－∠D＝180°－55°－42°＝83°.16．α＝β＋γ点拨：∵三角形内角和是一个定值，为180°，∴∠A＋∠B＋∠C ＝180°.当∠A越来越小，∠B、∠C越来越大时，∠A－α＋∠B＋β＋∠C＋γ＝180°，∴α＝β＋γ.三、17.解：(1)25°；155°(2)∠1＝∠ABC，∠2＋∠ABC＝180°.命题：如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补．18．解：(1)第三条边长为30－a－(2a＋2)＝28－3a(米)．(2)根据三角形三边关系，得2a ＋2－a ＜28－3a ＜2a ＋2＋a ，解得133＜a ＜132.19．解：依题意，得∠DBA ＝60°，∠FCA ＝40°.∴∠ABC ＝∠DBC －∠DBA ＝90°－60°＝30°，∠BCA ＝∠BCF ＋∠FCA ＝90°＋40°＝130°.∴ 在△ABC 中， ∠BAC ＝180°－∠ABC －∠BCA ＝180°－30°－130°＝20°. 答：在灯塔A 处观看B 和C 时的视角∠BAC 是20°.20．解：∵CE ⊥AB ，∴∠AEC ＝90°.∴∠ACE ＝180°－∠BAC －∠AEC ＝24°.∵AD 平分∠BAC ，∴∠DAC ＝12∠BAC ＝33°.∵∠BCE ＝40°，∴∠ACB ＝40°＋24°＝64°.∴∠ADC ＝180°－∠DAC －∠ACB ＝83°.∴∠APC ＝∠ADC ＋∠BCE ＝83°＋40°＝123°.21．解：(1)∵AE 是△ABC 中BC 边上的中线，∴BE ＝EC ＝3.5 c m.∴S △ABE ＝12·BE ·AD ＝12×3.5×5＝354(c m 2)，S △AEC ＝12·EC ·AD ＝12×3.5×5＝354(c m 2)．(2)三角形的中线将三角形分成两个面积相等的三角形．(3)由(2)中的结论，可得S △ABC ＝2S △ACD ＝4S △ADE ＝8S △AEF ＝8×1＝8(c m 2)．22．解：(1)∠EFD ＝12∠C －12∠B .理由如下：由AE 是∠BAC 的平分线知∠BAE ＝12∠BAC .由三角形外角的性质知∠FED ＝∠B ＋12∠BAC ，故∠B ＋12∠BAC ＋∠EFD ＝90°①.由三角形内角和定理，得∠B ＋∠BAC ＋∠C ＝180°，所以12∠C ＋12∠B ＋12∠BAC ＝90°②.②－①，得∠EFD ＝12∠C －12∠B .(2)成立．理由如下：由对顶角相等和三角形的外角性质知∠FED＝∠AEC＝∠B＋12∠BAC，故∠B＋12∠BAC＋∠EFD＝90°③.由三角形内角和定理，得∠B＋∠BAC＋∠C＝180°，所以12∠B＋12∠BAC＋12∠C＝90°④.④－③，得∠EFD＝12∠C－12∠B.。
沪科版数学八年级上册第13章达标检测卷
第13章达标检测卷(120分，90分钟)题号一二三总分得分一、选择题(每题4分，共40分)1．以下语句中，不是命题的是()A．所有的平角都相等B．锐角小于90°C．两点确定一条直线D．过一点作直线的平行线2．(2021 ·大连改编)以下长度的三条线段能组成三角形的是()A．1，2，3 B．1，，3 C．3，4，8 D．4，5，63．假设三角形三个内角的度数的比为1∶2∶3，那么这个三角形是()A．钝角三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形4．以下命题：①三角形的三个内角中最多有一个钝角；②三角形的三个内角中至少有两个锐角；③有两个内角分别为50°和20°的三角形一定是钝角三角形；④直角三角形中两锐角之和为90°.其中是真命题的有()A．1个B．2个C．3个D．4个5．(2021 ·广西)如图，在△ABC中，∠A＝40°，点D为AB延长线上一点，且∠CBD ＝120°，那么∠C的度数为()A．40°B．60°C．80°D．100°(第5题)(第7题)(第8题)6．等腰三角形的周长为13 cm，其中一边长为3 cm，那么该等腰三角形的底边长为() A．7 cm B．3 cm C．7 cm或3 cm D．8 cm7．如图，直线l1∥l2，假设∠1＝140°，∠2＝70°，那么∠3的度数是()A．60°B．65°C．70°D．80°8．如图，CD，CE，CF分别是△ABC的高、角平分线、中线，那么以下各式中错误的选项是()A．AB＝2BF B．∠ACE＝12∠ACBC．AE＝BE D．CD⊥BE9．如图，在△ABC中，∠CAB＝52°，∠ABC＝74°，AD⊥BC，BE⊥AC，AD与BE 交于F，那么∠AFB的度数是()A．126°B．120°C．116°D．110°(第9题)(第10题)10．如图，在△ABC中，点D，E，F分别在三边上，点E是AC的中点，AD，BE，CF交于一点G，BD＝2DC，S△BGD＝8，S△AGE＝3，那么△ABC的面积是() A．25 B．30 C．35 D．40二、填空题(每题5分，共20分)11．如图，生活中都把自行车的几根梁做成三角形的支架，这是因为三角形具有________．(第11题)(第14题)12．“直角三角形有两个角是锐角〞这个命题的逆命题是____________________，它是一个________命题(填“真〞或“假〞)．13．(2021 ·佛山)各边长度都是整数、最大边长为8的三角形共有______个． 14．如图，在△ABC 中，∠A ＝α.∠ABC 与∠ACD 的平分线交于点A 1，得∠A 1；∠A 1BC 与∠A 1CD 的平分线相交于点A 2，得∠A 2，…，∠A 6BC 与∠A 6CD 的平分线相交于点A 7，得∠A 7，那么∠A 7＝________.三、解答题(15、16题每题6分，17题5分，18～20题每题8分，21题9分，22题10分，共60分)15．在△ABC 中，∠A ＋∠B ＝∠C ，∠B ＝2∠A. (1)求∠A ，∠B ，∠C 的度数；(2)△ABC 按边分类，属于什么三角形？△ABC 按角分类，属于什么三角形？16．如图，在△ABC 中，∠1＝100°，∠C ＝80°，∠2＝12∠3，BE 平分∠∠4的度数．(第16题)(第17题)17．填写下面证明中每一步的理由．如图，BD⊥AC，EF⊥AC，D、F是垂足，∠1＝∠2.求证：∠ADG＝∠C.证明：∵BD⊥AC，EF⊥AC()，∴∠3＝∠4＝90°(垂直的定义)，∴BD∥EF()．∴∠2＝∠CBD()．∵∠1＝∠2()，∴∠1＝∠CBD()，∴GD∥BC()，∴∠ADG＝∠C()．18．在等腰三角形ABC中，AB＝AC，一边上的中线BD将这个三角形的周长分为15和12两局部，求这个等腰三角形的底边长．19．如图，△ABC.(1)画△ABC的外角∠BCD，再画∠BCD的平分线CE；(2)假设∠A＝∠B，CE是外角∠BCD的平分线，请判断CE和AB的位置关系，并说明你的理由．(第19题)20．等腰三角形的三边长分别为a，2a－1，5a－3，求这个等腰三角形的周长．21．如图，AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线．(1)∠ABE＝15°，∠BAD＝40°，求∠BED的度数．(2)作△BED中BD边上的高，垂足为F.(3)假设△ABC的面积为40，BD＝5，那么△BDE中BD边上的高为多少？(第21题)22．∠MON＝40°，OE平分∠MON，点A、B、C分别是射线OM、OE、ON上的动点(A、B、C不与点O重合)，∠OAC＝x°.(1)如图①，假设AB∥ON，那么：①∠ABO的度数是________．②当∠BAD＝∠ABD时，x＝________；当∠BAD＝∠BDA时，x＝________．(2)如图②，假设AB⊥OM，那么是否存在这样的x的值，使得△ADB中有两个相等的角？假设存在，求出x的值；假设不存在，说明理由．(第22题)答案一、1.D 2.D3．C点拨：利用方程思想求解，设三个内角的度数分别为x，2x，3x，那么x＋2x＋3x ＝180°，解得x ＝30°. 3x ＝90°. 所以这个三角形是直角三角形．4．D5．C 点拨：∵∠CBD 是△ABC 的外角，∴∠CBD ＝∠C ＋∠∵∠A ＝40°，∠CBD ＝120°，∴∠C ＝∠CBD －∠A ＝120°－40°＝80°.6．B 点拨：利用分类讨论思想求解，当3 cm 为底边长时，腰长为13－32＝5(cm )，此时三角形三边长分别为3 cm ，5 cm ，5 cm ，符合三边关系，能组成三角形；当3 cm 为腰长时，底边长为13－2×3＝7(cm )，此时三角形三边长分别为3 cm ，3 cm ，7 cm ，3＋3<7，不符合三边关系，不能组成三角形．所以底边长只能是3 cm ，应选B .7．C8．C 点拨：CD 是△ABC 的高，所以CD ⊥BE ，D 正确；CE 是△ABC 的角平分线，所以∠ACE ＝∠BCE ＝12∠ACB ，B 正确；CF 是△ABC 的中线，AF ＝BF ＝12AB ，即AB ＝2BF ，A 正确；应选C .9．A 点拨：在△ABC 中，∠CAB ＝52°，∠ABC ＝74°，∴∠ACB ＝180°－∠CAB －∠ABC ＝180°－52°－74°＝54°.∵AD ⊥BC ，∴∠ADC ＝90°，∴∠DAE ＝90°－∠ACB ＝90°－54°＝36°.又∵BE ⊥AC ，∴∠AEB ＝90°，∴∠AFB ＝∠DAE ＋∠AEB ＝36°＋90°＝126°.10．B 点拨：在△BDG 和△CDG 中，由BD ＝2DC ，知S △BDG ＝2S △GDC ，因此S △GDC＝4，同理S △AGE ＝S △GEC ＝3，S △BEC ＝S △BGD ＋S △GDC ＋S △GEC ＝8＋4＋3＝15，所以△ABC 的面积＝2S △BEC B .二、11.稳定性12．有两个角是锐角的三角形是直角三角形；假13．20 点拨：∵各边长度都是整数、最大边长为8，∴三边长可以为：1，8，8；2，7，8；2，8，8；3，6，8；3，7，8；3，8，8；4，5，8；4，6，8；4，7，8；4，8，8；5，5，8；5，6，8；5，7，8；5，8，8；6，6，8；6，7，8；6，8，8；7，7，8；7，8，8；8，8，8，故各边长度都是整数、最大边长为8的三角形共有20个．14.α128三、15.解：(1)因为∠A ＋∠B ＋∠C ＝180°，而∠A ＋∠B ＝∠C ，所以2∠C ＝180°，∠C ＝90°.所以∠A ＋∠B ＝90°，而∠B ＝2∠A ，所以3∠A ＝90°，∠A ＝30°，∠B ＝2∠A ＝60°.(2)△ABC 按边分属于不等边三角形．按角分属于直角三角形．16．解：∵∠1＝∠3＋∠C ，∠1＝100°，∠C ＝80°，∴∠3＝20°，∵∠2＝12∠3，∴∠2＝10°，∴∠ABC ＝180°－100°－10°＝70°.∵BE 平分∠ABC ，∴∠ABE ＝35°.∵∠4＝∠2＋∠ABE ，∴∠4＝45°.17．同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；等量代换；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等18．解：设这个等腰三角形的腰长为a ，底边长为b. ∵D 为AC 的中点， ∴AD ＝DC ＝12AC ＝12a.根据题意得⎩⎨⎧32a ＝15，12a ＋b ＝12，或⎩⎨⎧32a ＝12，12a ＋b ＝15.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝10，b ＝7，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝8，b ＝11.又∵三边长为10，10，7和8，8，11均可以构成三角形． ∴这个等腰三角形的底边长为7或11.(第19题)19．解：(1)如图． (2)CE ∥AB.理由如下：∵∠A ＝∠B ，∴∠BCD ＝∠A ＋∠B ＝2∠B. 又∵CE 是∠BCD 的平分线， ∴∠BCD ＝2∠BCE ， ∴∠BCE ＝∠B ，∴CE ∥AB.20．解：当底边长为a 时，2a －1＝5a －3，即a ＝23，那么三边长为23，13，13，不满足三角形三边关系，不能构成三角形；当底边长为2a －1时，a ＝5a －3，即a ＝34，那么三边长为12，34，34，满足三角形三边关系．能构成三角形，此时三角形的周长为12＋34＋34＝2；当底边长为5a －3时，2a －1＝a ，即a ＝1，那么三边长为2，1，1，不满足三角形三边关系，不能构成三角形．所以这个等腰三角形的周长为2.(第21题)21．(1)∵∠ABE ＝15°，∠BAD ＝40°，∴∠BED ＝∠ABE ＋∠BAD ＝15°＋40°＝55°. (2)如图．(3)∵AD 为△ABC 的中线，BE 为△ABD 的中线，∴S △ABD ＝12S △ABC ，S △BDE ＝12S △ABD ，∴S △BDE ＝12×12S △ABC ＝14S △ABC ，∵△ABC 的面积为40，∴S △BDE ＝14×40＝10，∵BD ＝5，∴12×5·EF ＝10，解得EF ＝4，即 △BDE 中BD 边上的高为4. 22．(1)①20° ②120；60(2)存在．①当点D 在线段OB 上时，假设∠BAD ＝∠ABD ，∠BAD ＝∠BDA ，∠ADB ＝∠ABD ，那么x ＝50.②当点D 在射线BE 上时，因为∠ABE ＝110°，且三角形的内角和为180°，所以只有∠BAD ＝∠BDA ，此时x ＝125，综上可知，存在这样的x 的值，使得△ADB 中有两个相等的角，且x ＝20，35，50，125.。