第12章动量矩定理(田)

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理论力学 12 动量矩定理

轴转动(zhuàn dòng)。已知均质杆 OA 长为 l ，质 C1 量为 m 1，均质圆盘 C 2 的半径为 r ，质量为 m 2，
试求复摆对 O 轴的动量矩。
A
C2 r
解： J O 的计算(jìsuàn)：
JO
1 12
m1
l
2
m1
l 2
2
1 2 m2
r2
m2
l
r
2
图 12-9
由几何关系知： r R h z
h 薄圆片对 y 轴转动惯量 d J y 为：
1 r2 dm 4
精品资料
dJ y
1 4
r 2dm
z 2dm
1 4
r2
z2
r 2dz
1
4
R4 h4
h
z 4
R2 h2
h
z 2
z2
dz
整个(zhěnggè)圆锥体对于 y 轴的转动惯量为：
J y
h 0
1 4
底圆直径的转动惯量。已知圆锥体质量为 M ，
z
底圆半径为 R ，高为 h ，如图12-6所示。 r
h z dz
解：把圆锥体分成许多(xǔduō)厚度为 d z 的薄圆片，该薄圆片的质量为
d m r2d z
为圆锥体的密度，r为薄圆片的半径。
O
y
R
x
图 12-6
圆锥体的质量为
M 1R2h
3
薄圆片对自身直径的转动惯量为
精品资料
12.1 转动惯量、平行(píngxíng) 轴定1理2.1.1 转动惯量
质点系的运动，不仅(bùjǐn)与作用在质点系上的力有关，还与质点系各质点的质量其及分布情况有关。质心是描述质点系质量分布的一个特征量，转动惯量(Moment of inertia)则是描述质点系质量分布的另一个特征量。

工程力学-材料力学-第12章动量矩定理

•注意：内力不能改变质点系的动量矩。
•
例12-3 •已知：m1，r，k ，m2 ，R，
•求：弹簧被拉长s时，重物m2的加速度a2 。 •解 •选系统为研究对象,受力分析如图 •设：塔轮该瞬时的角速度为ω，则
•解得：
•
3．动量矩守恒定律
•若
，则常矢量；
•若
，则常量。
•
§12-3 刚体绕定轴转动的微分方程 •主动力： •约束力：
•
例12-8 •已知：l，m，θ=60°。求：1. αAB；2. FA • 解：绳子刚被剪断，杆AB作平面运
动，受力如图，根据平面运动微分方程
• 补充运动学方程
• 在y轴方向投影
•
例12-9 •已知：如图r，m， m1。求：1. aA；2. FAB ；3. FS2 • 解：分别以A、B、C为研究对象
•其中： • (O为定点)
•
质点的动量矩定理
•因此 •称为质点的动量矩定理：质点对某定点的动量矩对时间的一阶导数，等于作用力对同一点的矩。
•投影式：
•
2. 质点系的动量矩定理 •对第i个质点有： •对n个质点有：
• 由于
•得
•
2. 质点系的动量矩定理
•称为质点系的动量矩定理：质点系对某定点O的动量矩对时间的一阶导数，等于作用于质点系的外力对于同一点之矩的矢量和。 •投影式：
•2. 选轮2为研究对象
•积分
•
§12-4 质点系相对于质心的动量矩定理 •1．对质心的动量矩 •如图，以质心C为原点，取平移坐标系Cx’y’z’。 •质点系相对质心C为的动量矩为：
•由于 •得 • 质点系相对质心的动量矩，无论是以相对速度计算还是
以绝对速度计算，其结果都相同。

12动量矩定理

图12.7 钟摆
第12章动量矩定理
12.1 转动惯量
【例12.5】匀质圆盘与匀质杆组成的钟摆如图12.7所示。已知圆盘质量m1，直径d，杆的质量m2，长l，试求钟摆对悬挂轴O的转动惯量J0。
解：钟摆由匀质杆和匀质盘组成，所以有 = JO JO杆 + JO
其中
JO
=J c
+
m1
l
+
d 2
平方的乘积，即
12.7
J=z J zc + md 2
(12.7)
第12章动量矩定理
12.1 转动惯量
证明：如图12.5所示，设刚体总的质量为m，轴zc通过质心C，z与zc平行且相距为d。不失一般性，可令y与yc重合，在刚体内任取一质量为mi的质点Mi,它至zc轴和z轴的距离分别为ric和ri。刚体对于z、zc轴的转动惯量分别为
12.9
第12章动量矩定理
12.1 转动惯量
【例12.4】质量为m，长为l的匀质杆如图12.6所示，求杆对yc的转动惯量。
解：由例12.1知
Jy
=
1 ml2 3
,根据平行轴定理式(12.7)有
J yc
=J y
−
md 2
=1 ml2 3
−
m
l
2
2
=1 12
ml 2
12.10
图12.6 匀质杆
在工程问题上，计算刚体的转动惯量时，常应用下面公式
12.3
第12章动量矩定理
12.1 转动惯量
Jz
=
mρ
2 z
(12.2)
ρ 其中m为整个刚体的质量， z 为刚体对z轴的回转半径，它具有长

第十二章动量矩定理

Lz=Jzω
§2 动量矩定理
一、质点的动量矩定理
设质点质量为m，受力F， MO(mv) 动量mv，定坐标系Oxyz ，根据质点的动量定理 z
F
B
mv
r
o A y
MO(F)
d (mv ) F dt
等式两边同时与矢径r作矢量积，即 x
d (mv ) r F r dt
MO(F)
?
d (mv ) r F 为求等式 r 左边项，先来看 dt d (r mv ) dr mv r d (mv ) dt dt dt v ( r d ( v mv∵O为定点！)mv ) dt MO(mv) =0
第十二章
动量矩定理
z
§1 动量矩的概念
一、质点的动量矩
F r
o
B A m
y
回顾：力对点的矩 Mo(F)= r×F 若 r=xi+yj+zk F=Fxi+Fyj+Fzk
则 i M o (F ) x Fx
j y Fy k z Fz
MO(F)
x
大小：│Mo(F) │ =2S△OAB
方向：按右手螺旋规则定。
[Mo(mv)]z= M z(mv)
代数量
• 动量矩的量刚为 ML2T－1 （kg· 2/S） m
二、质点系的动量矩
质点系对固定点O的动量矩等于各质点对同一点O的动量矩的矢量和（即质点系动量对点O 的主矩）：
对定点
Lo M o (mi vi )
i 1
n
矢量
质点系对固定轴z的动量矩等于各质点对同一轴z的动量矩的代数和，即
vC
C
Lo = M o(Mvc)

第十二章：动量矩定理

周期 T = 2π J O
mga
§12-4 刚体对轴的转动惯量
n
Jz
=
∑
i −1
m
i
ri
2
单位：kg·m2
1. 简单形状物体的转动惯量计算
(1)均质细直杆对一端的转动惯量
∫ J z =
l 0
ρl x2dx
=
ρll3
3
由 m = ρll ，得
Jz
=
1 ml 2 3
（2）均质薄圆环对中心轴的转动惯量
与 zC 轴之间的距离。
即：刚体对于任一轴的转动惯量，等于刚体对于通过质心并与该轴平行的轴的转动惯量，加上刚体的质量与两轴间距离平方的乘积.
证明： J zC = ∑ mi (x12 + y12 )
Jz =∑mi r2 =∑mi (x2 +y2)
= ∑ mi[x12 + ( y1 + d )2 ]
=
1 ml 2 3
则
J zC
=
Jz
−
m( l )2 2
=
ml 2 12
要求记住三个转动惯量
（1）均质圆盘对盘心轴的
转动惯量 mR2
2
（2）均质细直杆对一端的
转动惯量 ml 2
3
（3）均质细直杆对中心轴
的转动惯量 ml 2
12
§12-5 质点系相对于质心的动量矩定理
1．对质心的动量矩
∑ ∑ r
=
r LC
r LO
=
rrC
× mvrC
+
r LC
=
r M
O
(
mvrC
)
+

第12章动量矩定理汇总

第十二章动量矩定理§12—1质点和质点系的动量矩一、质点的动量矩质点Q的动量对于点0的矩，定义为质点对于点0的动量矩M O mv = r mvM z mv 二2 0Q AM O mv ［二M z mv动量矩的单位：kgm2/s、质点系的动量矩nL o 二為M o m i V ii』nL z八M z m i v iM O (mv)(r mv ) dtdtdr dtmv rmvdt绕定轴转动刚体对其转轴的动量矩等于刚体对转轴的转动惯量与转动角速度的乘积n n n2L z 八 M z mM八 m i y 订i =mmyy ynJ z 八 m"2id ：§12— 2动量矩定理、质点的动量矩定理M O mv =v mv r F dt-J—M O mv 二 M O F dt质点的动量矩定理：质点对某定点的动量矩对时间的一阶导数，等于作用力对同一点的矩。

直角坐标投影式为d厂一Mx(mv)= Mx(F ) dt pl 2 My(mv)=My(F ) dt plL 2M z (mv)= M z (F ) dtL z=J z ：特殊情形：当质点受有心力F的作用时，如图11-4所示，力矩M°(F)=O，则质点对固定点0的动量矩M o(mv)=恒矢量，质点的动量矩守恒。

例如行星绕着恒星转，受恒星的引力作用，引力对恒星的矩M°(F)=O，行星的动量矩M o (m v )=恒矢量，此恒矢量的方向是不变的，因此行星作平面曲线运动；此恒矢量的大小是不变的，即mvh=恒量，行星的速度v与恒星到速度矢量的距离h成反比。

(1)从而由式(1)得单摆运动微分方程为护阶0(2)解式(2) 得单摆的运动规律为9 =cp o Sin( 3n t +8)其中，3-g称为单摆的角频率，单摆的周期为例1如图所示单摆，由质量为m的小球和绳索构成。

单摆悬吊于点0,绳长摆在铅垂平面内绕点0作微振幅摆动，设摆与铅垂线的夹角为「为逆时针时正，如图所示。

十二章动量矩定理

F mv
M0(F)
o
Ｑ
y
x
由牛顿第二定律
m
dv dt
F
d dt
(mv)
F
r
d dt
(mv)
r
F
d (r mv) r d(mv) dr mv
dt
ห้องสมุดไป่ตู้
dt dt
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第十二章动量矩定理
d (r mv) r F dt
M0(mv) m0(F)
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第十二章动量矩定理
C
m2
IOZ M
式中
M
m1
O
IOZ
1 3
m1L2
1 2
m2
r
2
m2L2
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第十二章动量矩定理
代入已知值得：
IOZ
1 10 0.32 3
1 40 0.152 2
40 0.32
4.35kg m2
M 20 4.6rad / s2
IOZ 4.35
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第十二章动量矩定理
dt
M y (mv)]
my (Fe )
d [
dt
M z (mv)]
mz (Fe )
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第十二章动量矩定理
【典型题精解】
例12-1 滑块Ａ，Ｂ质量分别为２Ｋｇ，0.5Ｋｇ，用长１
米的绳连接，在水平光滑滑竿上滑动，绳和竿的质量不计。
竿绕铅垂轴转动，轴的摩擦也不计。当 rA 0.6m 时，滑块Ａ以速度０.４ｍ／Ｓ沿竿向外运动，竿的角速度 0.5rad / s
求此时竿的角加速度。
1m
B rB

第12章动量矩定理(田)

第十二章动量矩定理一、填空题1如下（1）图所示，在提升重为G 的物体A 时，可在半径为 r 的鼓轮上作用一力偶M 。

已知鼓轮对轴O 的转动惯量为I,某瞬时鼓轮的角加速度为 G,则该瞬时，系统对轴O 的动量矩定理可写成 _____________________2.如下（2）图所示，轮E 由系杆AE 带动在固定轮A 上无滑动滚动，两圆的半径分别为R,r 。

若轮E 的质量为m,系杆的角速度为3,则轮E 对固定轴A 的动量矩大小是 ____________________3 .图（3）中匀质圆盘在光滑水平面上作直线平动，图（4）中匀质圆盘沿水平直线作无滑动滚动。

设两圆盘的质量皆为m,半径皆为r,轮心O 速度皆为v,则图示瞬时，它们各自对轮心O 和对与地面接触点 D 的动量矩分另U 为：（3）L O = ___________ ; L D= _________________________ ; （4）LO = ________________ ; L D= _________________________ 。

2 .如下图（2）所示，两匀质细杆OA 和EC 的质量均为m = 8kg ，长度均为1= 0.5m, 固连成图所示的T 字型构件，可绕通过点O 的水平轴转动。

当杆OA 处于图示水平位置时，该构件的角速度3 =4rad/s 。

则该瞬时轴O 处反力的铅垂分力NOy 的大小为（）。

A.N O =24.5N;B.N O =32.3N;C.N O = 73.8N;D.N O = 156.8N 3 .如果把下图（3）中重为GA 的物体换为图（4）所示的力 G A ，在这两种情况下，若把匀质滑轮的A . &1 V $B . e 1> e ； C .e 1= e 2二、选择题1.如下图（1）所示，已知两个匀质圆轮对转轴转动惯量分别为在A 轮上的转矩为M,则系统中A 轮角加速度的大小为（I A , I B ,半径分别为R A ,R B ，作用MRBA 、‘ A=I B R A I A R B ；BMRBI AD、、心 A —2222B A A B 角加速度 1和2的大小比较，则有（(1) (2)(1三、计算题1轮子的质量m=100 kg，半径r=1 m，可以看成匀质圆盘（如图）。

第12章-动量矩定理

它表达为刚体质量 m 与某一长度ρ z 旳平方
旳乘积： J z m z2
细直杆均质圆环均质圆板
J z /m 1 / 3 l2 z 0.5774 l
J z /m R2 z R
J z /m 1 / 2 R2 z 0.7071R
z 假如把刚体旳质量全部集中在与轴相距为ρ z 旳点
上，则此质点对 z 轴旳转动惯量与原刚体相同。
四、平行轴定理
J z J z md 2
定理：刚体对任意轴旳转动惯量，等于刚体对于经过质心、并与该轴平行旳轴旳转动惯量，加上刚体旳质量与两轴间距离平方旳乘积。
z
O
z
d
ri
ri
C
O
mi
zi
y( y)
C点为质心；
O z 为质心轴，O z
为与之平行旳任
xi
一轴，距离为 d 。
x d x yi J z mi ri2 mi ( xi2 yi2 )
d dt
(
J
z
)
Jz
Mz
dω dt
(Fi
)M
M z (Fi )
z
(
FN
i
)
Fi
或
Jz
d2
dt2
M z (Fi )
或 J z M z (Fi )
FNi
与 m a Fi 比较
例：已知滑轮半径为 R ，转动惯量为 J ，带动滑轮
旳皮带拉力分别为 F1 和 F2 。求滑轮旳角加速度。
F2 解：根据定轴转动微分方程
d(ri
mivi ) dt
ri
F (e) i
ri
Fi(i)
(i 1,2,, n)
相加得

第十二章动量矩定理-精品

第十二章动量矩定理
§12-1 质点和质点系的动量矩
1．质点的动量矩
对点O的动量矩
M O(m v)rm v
对 z 轴的动量矩
Mz(mv) 等于 [mv ]xy 对点O的矩.
Mz(mv)是代数量,从 z 轴正向看,逆时针为正,顺
时针为负.
[M O (m v)]zM z(m v)
单位:kg·m2/s
（3）研究 m 1
m 1gF T 1m 1a 1m 1r1
FT1 m 1(gr1)
（4）研究 m 2
F T 2 m 2gm 2a 2m 2r2
FT2 m2(gr2)
3．动量矩守恒定律
若MO(F(e))0, 则L O 常矢量；若 Mz(F(e))0, 则 L z 常量。
设叶片数为 n,水密度为 ,有
LCDcd1 nqVdtv2r2co2s LABa b1 nqVdtv1r1co1s
1
dL Onq V dt(v2r2cos2v1r1cos1)
M O (F ) n d d L tO q V(v 2 r 2c o s2 v 1 r 1 c o s1 )
例12-5:已知: R,J,F1,F2，求 .
解:
J(F1F2)R
(F1 F2)R
J
例12-6 物理摆（复摆），已知 m, JO ,a求微小
摆动的周期 .
解：
JO
d2
dt2
mgasin
微小摆动时， sin
JO
d2
dt2
mga
即： d2 mga 0
例12-9：均质细直杆，已知 m , l .
求：对过质心且垂直于杆的 zC 轴的转动惯量。

第12章——动量矩定理

12.1 质点和质点系的动量矩
一、简单形状刚体的转动惯量 z
1. 均质细杆
设均质细杆长 l，质量为m，O
取微段 dx, 则
x
x
dx
l
dm mdx l
Jz
l m d x x2 1 ml2
0l
3
Jz1
l
2 l
2
m l
d
x
x2

1 12
ml 2
z1
x l C x dx
2
12.1 质点和质点系的动量矩
对点的：
LO MO(mv) ( miri )vC MO(mvC )
对轴的：
Lz M z (mvC )
12.1 质点和质点系的动量矩
4 定轴转动刚体对转动轴的动量矩
Lz M z (mivi ) miviri miri2
令 Jz＝Σmiri2 称为刚体对 z 轴的转动惯量, 于是得
i 1
12.2 动量矩定理
上式左端为
n
i 1
d dt
MO (mivi )
d dt
n i 1
MO (mivi )
d dt
LO
于是得
d
dt
LO

n i 1
MO (Fi(e) )
质点系对某固定点O的动量矩对时间的导数，等于作用于质点系的外力对于同一点的矩的矢量和。
12.2 动量矩定理
设作用在刚体上的外力可向质
心所在平面简化为一平面力系，由
y y'
质心运动定理和相对质心的动量矩定理得
D

C
x'
maC F (e)

第12章动量矩定理

§12-3 动量矩定理
例题 5
两个鼓轮固连在一起，其总质量是 m，对水平转轴O的
转动惯量是 JO ；鼓轮的半径是 r1 和 r2 。绳端悬挂的重物 A和 B 质量分别是 m1 和 m2 ，且 m1 > m2。试求鼓轮的角加速度(与例12－1类似）。
r1 r2
w
A
B
§12-3
动量矩定理
例题 5
解: 1、选系统（含鼓轮，重物 A , B）为研究对象
2、运动分析设鼓轮的角速度为w，物 A的速度：v1= r1w 物 B的速度：v2= r2w
2
y
FO
r1 r2
w
mg
3、受力分析重力 mg，m1g ， m2g 轴O处约束力 FO
LOz ( J O m1r1 m2 r2 )w
2
v1 A m1 g v2
y
m
w
C
平面运动＝随C平动＋绕C转动
ri
O
rC
x
LC J C ωk , 为动量偶
第12章动量矩定理
§12-2 刚体对轴的转动惯量
§12-2 刚体对轴的转动惯量
z
2-1 定义
J z ri mi
2
ri
vi
mi
i
均质连续体：
w
O x
y
J z M r dm
2
单位：kg· m2
3、质点系动量矩守恒定理
若
e M O ( Fi ) 0 e M z ( Fi ) 0
dL O e MO dt
则 LO 常矢则 Lz 常量
即：当质系所受合外力对某定点（或某定轴）的矩为零，则质系对该点（或该轴）的动量矩保持不变 —— 质系动量矩守恒定律。

第12章动量矩定理

n
质点系对O点的动量矩在通过O点任一轴上的投影等于质点系对该轴的动量矩。
L L
O z
zபைடு நூலகம்
4
3．平动和转动刚体的动量矩
a 、刚体平动时可将其全部质量集中于质心，做为一个质点
计算动量矩。 L M (mv ) O O C
Lz M z (mvC )
b、刚体绕定轴转动 n n Lz M z mi vi mi vi ri
i 1
z
mi ri ri mi ri2
i 1
n
i 1
O’
ri mi
mi v i
定义：刚体对z轴转动惯量：
J z mi ri
则：
2
反映质量关于z的分布情况。
Lz J z
5
绕定轴转动刚体对其转轴的动量矩等于刚体对转轴的
转动惯量与转动角速度的乘积。
6
d [ M O ( mv )] M O ( F ) 1．质点的动量矩定理 dt 将此式在通过固定点O的三个直角坐标轴上投影，得
d [ M x ( mv )] M x ( F ) dt d [ M y ( mv )] M y ( F ) dt d [ M z ( m v )] M z ( F ) dt
0——称角振幅
周期
T 2
JO mga
——称初相位
19
例12-7：已知飞轮对O的转动惯量JO，以角速度0绕O轴转动，制动时，
闸块给轮正压力FN，已知闸块与轮之间的动滑动摩擦系数为f，轮半
径为R，轴承的摩擦忽略不计，求制动所需时间。
R O

20
例12-7：已知飞轮对O的转动惯量JO，以角速度0绕O轴转动，制动时，

第12章 动量矩定理(田)

理论力学 12 动量矩定理

工程力学-材料力学-第12章动量矩定理

12动量矩定理

第十二章 动量矩定理

第十二章：动量矩定理

第12章动量矩定理汇总

十二章动量矩定理

第12章动量矩定理(田)

第12章-动量矩定理

第十二章动量矩定理-精品

第12章——动量矩定理

第12章 动量矩定理

第12章动量矩定理

第12章动量矩定理(田)

第十二章动量矩定理

第12章动量矩定理