2015华南理工大学625数学分析考研真题试题及解答

华南理工大学2008年数学分析考研试题

625
பைடு நூலகம்
华南理工大学 2008 年攻读硕士学位研究生入学考试试卷
（请在答题纸上做答，试卷上做答无效，试后本卷必须与答题纸一同交回）科目名称：数学分析适用专业：基础数学，计算数学，概率论与数理统计，应用数学，运筹学与控制论共3页
一、求解下列各题（每小题 10 分，共 60 分） 1、若 lim n→ ∞
∫
b a
x k f ( x )dx = 0 ( k = 0,1,2, L , n)
用数学归纳法证明 f ( x ) 在 ( a , b ) 内至少有 n + 1 个不同的零点。七、（15 分）设常数 A, B , C 满足 AC B 2 < 0 ，且线性变换
ξ = x + λ1 y , η = x + λ 2 y
把方程
2u 2u 2u A 2 + 2B +C 2 =0 x y x y
变换为方程
2u = 0， ξ η
证明 λ1 , λ 2 为方程 Cλ 2 + 2 Bλ + A = 0 的两个不同实根。
第
3
页
计算 ∫0 Dn ( x )dx 。
x2 y2 z2 x2 y2 6、计算曲面 2 + 2 + 2 = 2 + 2 所围成的体积。 a b c a b
2
π
二、（15 分）计算极限
1 2 2π n nπ π lim 1 + sin 2 + 1 + sin 2 + L + 1 + sin 2 。 n→ ∞ n n n n n n
xn a = 0 ，证明 lim x n = a 。 n→ ∞ xn + a

2015-2016学年华南理工大学期末考试《工科数学分析》下试卷(B)

《工科数学分析》2015—2016学年第二学期期末考试试卷诚信应考，考试作弊将带来严重后果！华南理工大学本科生期末考试《工科数学分析》2015—2016学年第二学期期末考试试卷（B ）卷注意事项：1. 开考前请将密封线内各项信息填写清楚； 2. 所有答案请直接答在试卷上(或答题纸上)； 3．考试形式：闭卷； 4. 本试卷共 5个大题，满分100分，考试时间120分钟。

一、填空题（每小题3分，共15分）１. 微分方程24x y y xe ''-=的特解形式为；２. 设(),z z x y =满足方程(),x az y bz ϕ-=-其中ϕ可微，,a b 为常数，则z z a b x y ∂∂+=∂∂ ；３. 函数()(),,cos f x y z xyz =在点1,1,3P π⎛⎫ ⎪⎝⎭处使方向导数取得最大的方向是；４. 设222:,L x y a +=取逆时针方向，则()2228L xydx x y dy ++⎰ ；５. 设幂级数0n n n a x ∞=∑在3x =-条件收敛，则该幂级数的收敛半径为R = 。

《工科数学分析》2015—2016学年第二学期期末考试试卷二、计算题（每小题8分，共40分）1. 设函数,x z f xy y ⎛⎫= ⎪⎝⎭，其中(),f ξη具有连续的二阶偏导数，求2z x y ∂∂∂。

2. 计算曲线积分2I x ds Γ=⎰，其中Γ是球面2222x y z a ++=与平面0x y z ++=的交线。

《工科数学分析》2015—2016学年第二学期期末考试试卷3. 设曲线积分()()()sin cos xL f x e ydx f x ydy --⎰与路径无关，其中()f x 有一阶的连续导数，且()00f =。

（1）求()f x ；（2）计算曲线积分()()()()()1,10,0sin cos xI f x e ydx f x ydy =--⎰。

华南理工大学数分(二)期末考卷

《数学分析（二）》试卷（A ）一、写出以下定义1、函数f(x)在[a,b]上可积；（5分）2、函数序列f n (x)在(0,1)上内闭一致收敛于f(x)；（5分)二、求不定积分∫x 2+1x +1dx （5分）三、令I n =∫(sin x)n dx π0，求I n 与I n−2之间的递推公式。

（10分）四、平面上的心脏线参数表达式为r (θ)=a (1+cos (θ))，(0≤θ≤2π)，求该曲线所谓区域面积。

（10分）五、旋轮线的参数表达式由x (t )=r (t −sin (t ))，y (t )=r (1−cos (t ))，(0≤t ≤2π)给出，把该曲线绕x 轴旋转一周，求所得旋转体体积。

（10分）六、对不同的值a ，判断反常积分∫ln(1+x)x +∞0dx 的收敛性（条件收敛、绝对收敛）。

（10分）七、令S =∑k 2+12∞k=11、判断该数项级数收敛性（条件收敛、绝对收敛）；（10分）2、求幂级数∑n 2x n ∞k=1的收敛区域；（10分）3、求S 的值；（5分）八、周期函数f(x)={1，(x∈(2kπ,2kπ+π])−1，(x∈(2kπ−π,2kπ])1.求f(x)的傅里叶级数展开a02+∑[a k cos(kx)∞k=1+b k sin(kx)]；（10分）2.求部分和函数a02+∑[a k cos(kx)∞k=1+b k sin(kx)]的极限函数f̃(x)；（5分）3.判断函数序列{f n(x)}是否一致收敛于f̃(x)，并说明理由。

（5分）《数学分析（二）》试卷（B）一、写出以下定义1、函数序列f n(x)一致收敛于函数f(x)；（5分）2、数列{a n}的上极限为A；（5分）二、求不定积分∫ln(x 2+1)xdx。

（10分）三、计算定积分∫x sin x1+(cos x)2dxπ。

（5分）四、求椭圆x 24+y2=1内部区域面积。

（10分）五、平面上的心脏线参数表达式为r(θ)=a(1+cos(θ))，(0≤θ≤2π)，ba该曲线在x轴以上的部分绕x轴旋转一周，求所得旋转体的体积（5分）六、对反常积分∫[ln(x)]8x a dx+∞1，1、在a取不同的值时判断它的收敛性（条件收敛、绝对收敛）；（10分）2、在a=2时计算该反常积分的值（5分）七、令S=1−12+13−14+⋯+(−1)n−11n+⋯=∑[∞n=1(−1)n−11n]，1、判断该数项级数收敛性（条件收敛、绝对收敛）；（10分）2、写出函数ln(1+x)及11+x在x=0处的幂级数展开，并判断收敛性；（10分）3、求S的值；（5分）八、定义在全部实数上的周期函数f(x)=x，x∈[2kπ−π,2kπ+π)，1、求f(x)的傅里叶级数展开a02+∑[a k cos(kx)∞k=1+b k sin(kx)]；（10分）2、求部分和函数a02+∑[a k cos(kx)∞k=1+b k sin(kx)]的极限函数f̃(x)；（5分）3、判断函数序列{f n(x)}是否一致收敛于f̃(x)，并说明理由。

华南理工2001--2003年数学分析考研试题及解答

华南理工大学 2001 年数学分析考研试题
一．解答下列各题 1.求极限 lim
x→0
sin 2 x ； 1 + x sin x − cos x
− 1 4
2. 证明不等式 2e
∞
< ∫ ex
0
22ຫໍສະໝຸດ −xdx < 2e2 ；
3.判断级数 ∑
1 的敛散性； n = 2 ln ( n !)
⎧ 1 ,x ≥0 ⎪ 2 ⎪ x +1 4.设 f ( x ) = ⎨ x ，求 ∫ f ( x − 1) dx ； 0 ⎪ e ,x <0 x ⎪ ⎩1 + e
n −2
，
显然它的收敛区间为 ( −∞, +∞ ) ，
∞
∑ ( n + 1)! = ∑ ( n + 1)! = ∑ n ! − ∑ ( n + 1) !
n =1 n =1 n =1 n =1
n
∞
( n + 1) − 1
∞
1
∞
1
= ( e − 1) − ( e − 2 ) = 1 ； 6.解 f ( 0, y ) = y 2 sin 1 1 ， f ( x, 0 ) = x 2 sin ， y x
y . x
I = ∫ xzdydz + yzdzdx + z x2 + y 2 dxdy
∑
= ∫∫∫ z + z + x 2 + y 2 dxdydz
V
(
)
= ∫ dθ ∫ dϕ ∫
0
2π
π 4 0
2a
a
( 2r cos ϕ + r sin ϕ ) ⋅ r 2 sin ϕdr

2015年考研数学(二)真题及答案详解

2015年全国硕士研究生入学统一考试数学（二）试题解析一、选择题:1 8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1) 下列反常积分收敛的是 ( )(A)2+∞⎰(B) 2ln x dx x+∞⎰(C)21ln dxx x +∞⎰(D) 2x x dx e+∞⎰【答案】(D) 【解析】(1)xx x dx x e e-=-+⎰，则2222(1)3lim (1)3xx x x x dx x e e x e e e +∞+∞----→+∞=-+=-+=⎰.(2) 函数()2sin lim(1)x tt t f x x→=+在(,)-∞+∞内( )(A) 连续 (B) 有可去间断点 (C) 有跳跃间断点 (D) 有无穷间断点【答案】(B)【解析】220sin lim 0sin ()lim(1)t x t x x t x tt t f x e e x→→=+==，0x ≠，故()f x 有可去间断点0x =. (3) 设函数()1cos ,00,0x x x f x x α⎧>⎪=⎨⎪≤⎩(0,0)αβ>>,若()'f x 在0x =处连续则:( ) (A)0αβ-> (B)01αβ<-≤ (C)2αβ-> (D)02αβ<-≤ 【答案】(A)【解析】0x <时，()0f x '=()00f -'=()1001cos10lim lim cosx x x x f x x x ααβ++-+→→-'== 0x >时，()()()11111cos1sin f x x x x x x ααβββαβ-+'=+-- 1111cossin x x x xααβββαβ---=+()f x '在0x =处连续则：()()10100lim cos 0x f f x xαβ+--+→''===得10α-> ()()++1100110lim =lim cos sin =0x x f f x x x x x ααβββαβ---→→⎛⎫''=+ ⎪⎝⎭得：10αβ-->，答案选择A(4)设函数()f x 在(),-∞+∞内连续，其中二阶导数()''f x 的图形如图所示，则曲线()=y f x 的拐点的个数为( )(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 【答案】(C)【解析】根据图像观察存在两点，二阶导数变号.则拐点个数为2个.(5) 设函数(),f u v 满足22,y f x y x y ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭ ，则11u v fu==∂∂与11u v f v==∂∂ 依次是 ( )(A)1,02 (B) 10,2 (C) 1,02- (D) 10,2-【答案】(D)【解析】此题考查二元复合函数偏导的求解. 令,y u x y v x =+=，则,11u uv x y v v ==++，从而22(,)y f x y x y x+=-变为222(1)(,)111u uv u v f u v v v v -⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭.故222(1)2,1(1)f u v f u u v v v ∂-∂==-∂+∂+，因而111110,2u u v v ff uv ====∂∂==-∂∂.故选（D ）. (6)设D 是第一象限由曲线21xy =，41xy =与直线y x =，y =围成的平面区域，函数(),f x y 在D 上连续，则(),Df x y dxdy =⎰⎰ ( )(A)()13sin2142sin2cos ,sin d f r r rdr πθπθθθθ⎰⎰(B)()34cos ,sin d f r r rdr ππθθθ⎰ (C)()13sin 2142sin 2cos ,sin d f r r drπθπθθθθ⎰⎰(D)()34cos ,sin d f r r dr ππθθθ⎰【答案】(B)【解析】根据图可得，在极坐标系下计算该二重积分的积分区域为(,)43D r r ππθθ⎧⎫=≤≤≤≤⎨⎩所以34(,)(cos ,sin )Df x y dxdy d f r r rdr ππθθθ=⎰⎰⎰故选B.(7) 设矩阵21111214a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ,21d d ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭b .若集合}{1,2Ω=，则线性方程组=Ax b 有无穷多解的充分必要条件为 ( )(A) ,a d ∉Ω∉Ω (B) ,a d ∉Ω∈Ω (C) ,a d ∈Ω∉Ω (D) ,a d ∈Ω∈Ω 【答案】(D)【解析】2211111111(,)1201111400(1)(2)(1)(2)A b ad a d a d a a d d ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭，由()(,)3r A r A b =<，故1a =或2a =，同时1d =或2d =.故选（D ）(8) 设二次型()123,,f x x x 在正交变换=x Py 下的标准形为2221232y y y +-，其中123(,,)=P e e e ，若132(,,)=-Q e e e 则123(,,)f x x x =在正交变换=x Qy 下的标准形为( )(A)2221232y y y -+ (B) 2221232y y y +-(C) 2221232y y y -- (D) 2221232y y y ++【答案】(A)【解析】由x Py =，故222123()2T T T f x Ax y P AP y y y y ===+-. 且200010001TP AP ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭.由已知可得100001010Q P PC ⎛⎫⎪== ⎪ ⎪-⎝⎭故200()010001T T TQ AQ C P AP C ⎛⎫⎪==- ⎪ ⎪⎝⎭所以222123()2T T T f x Ax y Q AQ y y y y ===-+.选（A ）二、填空题：9 14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. (9) 3arctan 3x t y t t=⎧⎨=+⎩ 则 212t d y dx ==【答案】48【解析】 2222333(1)11dy dy t dt t dx dxdt t +===++ 2222[3(1)]d y d t dx dx=+=222222[3(1)]12(1)12(1)11d t t t dt t t dx dt t ++==++ 22148t d ydx ==. (10)函数2()2x f x x =⋅在0x =处的n 阶导数(0)nf =_________ 【答案】()()21ln 2n n n --【解析】根据莱布尼茨公式得：()()()()()(2)222(1)0222ln 2(1)ln 22n n n n x n x n n f C n n ---=-===- (11) 设()f x 连续，()()20x x x f t dt ϕ=⎰，若()()11,15ϕϕ'==，则()1f =【答案】2【解析】已知2()()x x x f t dt ϕ=⎰，求导得2220()()2()x x f t dt x f x ϕ'=+⎰，故有1(1)()1,f t dt ϕ==⎰(1)12(1)5,f ϕ'=+=则(1)2f =.(12)设函数()y y x =是微分方程'''20y y y +-=的解，且在0x =处()y x 取得极值3，则()y x = .【答案】22x x e e -+【解析】由题意知：()03y =，()00y '=，由特征方程：220λλ+-=解得121,2λλ==- 所以微分方程的通解为：212x x y C e C e -=+代入()03y =，()00y '=解得：12C =21C = 解得：22xxy e e-=+(13)若函数(),Z z x y =由方程231x y ze xyz +++=确定，则()0,0dz = .【答案】()1d 2d 3x y -+ 【解析】当0,0x y ==时0z =，则对该式两边求偏导可得2323(3)x y z x y z ze xy yz e x++++∂+=--∂ 2323(3)2x y z x y z ze xy xz e y++++∂+=--∂.将（0,0,0）点值代入即有 12,.(0,0)(0,0)33z z x y ∂∂=-=-∂∂则可得()(0,0)121|d 2d .333dz dx dy x y =--=-+ (14) 若3阶矩阵A 的特征值为2,2,1-，2B A A E =-+，其中E 为3阶单位阵，则行列式B = .【答案】21【解析】A 的所有特征值为2,2,1.-B 的所有特征值为3,7,1. 所以||37121B =⨯⨯=.三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15) (本题满分10分）设函数()ln(1)sin f x x a x bx x =+++，3()g x kx =.若()f x 与()g x 在0x →时是等价无穷小，求,,a b k 的值.【答案】111,,32a kb =-=-=- 【解析】方法一：因为233ln(1)()23x x x x o x +=-++，33sin ()3!x x x o x =-+，那么，23333000(1)()()()ln(1)sin 231lim lim lim ()x x x a aa xb x x o x f x x a x bx x g x kx kx→→→++-+++++===，可得：100213a ab ak⎧⎪+=⎪⎪-=⎨⎪⎪=⎪⎩，所以，11213a b k ⎧⎪=-⎪⎪=-⎨⎪⎪=-⎪⎩．方法二：由题意得300sin )1ln(lim )()(lim1kx xbx x a x x g x f x x +++==→→203cos sin 11limkx x bx x b x ax ++++=→由分母03lim 2=→kx x ，得分子)cos sin 11(lim 0x bx x b xax ++++→0)1(lim 0=+=→a x ，求得c ；于是)()(lim10x g x f x →=23cos sin 111lim kx x bx x b x x +++-=→）（x kx xx bx x x b x x +++++=→13cos )1(sin )1(lim20 203c o s )1(s i n )1(lim kx xx bx x x b x x ++++=→kxxx bx x bx x x b x x b x b x 6sin )1(cos cos )1(cos )1(sin 1lim0+-++++++=→由分母06lim 0=→kx x ，得分子]sin )1(cos cos )1(2sin 1[lim 0x x bx x bx x x b x b x +-++++→0)cos 21(lim 0=+=→x b x ，求得21-=b ；进一步，b 值代入原式)()(lim 10x g x f x →=kxx x x x x x x x x 6sin )1(21cos 21cos )1(sin 211lim0++-+--=→ kxx x x x x x x x x x x x x x 6cos )1(21sin 21sin )1(21sin 21cos 21sin )1(cos cos 21lim 0++++++-++--=→k621-=，求得.31-=k(16) (本题满分10分)设A>0，D 是由曲线段sin (0)2y A x x π=≤≤及直线0y =，2x π=所围成的平面区域，1V ，2V 分别表示D 绕x 轴与绕y 轴旋转成旋转体的体积，若12V V =，求A 的值.【答案】8π【解析】由旋转体的体积公式，得dx x f ⎰=2021)(V ππdx x A ⎰=202)sin (ππdx x A⎰-=20222cos 1ππ422A π=dx x xf ⎰=22)(2V ππA x d x A -πππ2c o s 220==⎰由题,V V 21=求得.8A π=(17) (本题满分11分)已知函数(,)f x y 满足"(,)2(1)x xy f x y y e =+，'(,0)(1)xx f x x e =+，2(0,)2f y y y =+，求 (,)f x y 的极值. 【答案】极小值(0,1)1f -=-【解析】xxye y y xf )1(2),(+=''两边对y 积分，得 )()21(2),(2x e y y y x f x x ϕ++=')()2(2x e y y x ϕ++=，故x x e x x x f )1()()0,(+=='ϕ，求得)1()(+=x e x x ϕ，故)1()2(),(2x e e y y y x f x x x +++='，两边关于x 积分，得⎰+++=dx x e e y y y x f x x )1()2(),(2⎰+++=xxde x e y y )1()2(2 ⎰-+++=dx e e x e y y xxx )1()2(2 C )1()2(2+-+++=x x x e e x e y y C )2(2+++=x x xe e y y由y y y y y f 2C 2),0(22+=++=，求得.0=C 所以x x xe e y y y x f ++=)2(),(2.令⎪⎩⎪⎨⎧=+='=+++='0)22(0)2(2xy xx x x e y f xe e e y y f ，求得⎩⎨⎧-==10y x . 又x x x xxxe e e y y f +++=''2)2(2， x xye yf )1(2+=''，xyy e f 2=''，当1,0-==y x 时，(0,1)1,xxA f ''=-=,0)1,0(B =-''=xy f 2)1,0(=-''=yy fC ， 20,AC B ->(0,1)1f -=-为极小值.(18) (本题满分10分) 计算二重积分()Dx x y dxdy +⎰⎰，其中{}222(,)2,D x y x y y x =+≤≥【答案】245π-【解析】2()DDx x y dxdy x dxdy +=⎰⎰⎰⎰21202xdx dy =⎰12202)x x dx =⎰12240022222sin 2cos 55x t xt tdt π=--⎰⎰22242002222sin 2sin .5545u t tdt udu πππ==-=-=-⎰⎰(19)(本题满分 11 分) 已知函数()21Xf x =+⎰⎰，求()f x 零点的个数？【答案】2个【解析】()21)f x x '=- 令()0f x '=,得驻点为12x =, 在1(,)2-∞,()f x 单调递减,在1(,)2+∞,()f x 单调递增故1()2f 为唯一的极小值,也是最小值.而112241()2f =+=-⎰⎰⎰1224=--⎰⎰⎰在1(,1)2故0-<从而有1()02f <1lim ()lim[]x x x f x →-∞→-∞=+=+∞⎰⎰22111lim ()lim[]lim[]x x xx x x f x →+∞→+∞→+∞=+=-⎰⎰⎰⎰考虑2lim lim x x x ==+∞，所以lim ()x f x →+∞=+∞.所以函数()f x 在1(,)2-∞及1(,)2+∞上各有一个零点，所以零点个数为2. (20) (本题满分10分)已知高温物体置于低温介质中，任一时刻该物体温度对时间的变化率与该时刻物体和介质的温差成正比，现将一初始温度为120C ︒的物体在20C ︒的恒温介质中冷却，30min后该物体降至30C ︒，若要将该物体的温度继续降至21C ︒，还需冷却多长时间？【答案】30min【解析】设t 时刻物体温度为()x t ，比例常数为(0)k >，介质温度为m ,则()dxk x m dt=--，从而()kt x t Ce m -=+， (0)120,20x m ==，所以100C =，即()10020kt x t e -=+又1()30,2x =所以2ln10k =，所以11()20100t x t -=+ 当21x =时，t =１，所以还需要冷却３０min.(21) (本题满分10分)已知函数()f x 在区间[]+a ∞，上具有2阶导数，()0f a =，()0f x '>，()''0f x >，设b a >，曲线()y f x =在点()(),b f b 处的切线与x 轴的交点是()00x ，，证明0a x b <<.【证明】根据题意得点(,())b f b 处的切线方程为()()()y f b f b x b '-=-令0y =，得0()()f b x b f b =-' 因为(x)0f '>所以(x)f 单调递增，又因为(a)0f = 所以(b)0f >，又因为()0f b '>所以0()()f b x b b f b =-<' 又因为0()()f b x a b a f b -=--'，而在区间（a,b ）上应用拉格朗日中值定理有 (b)f(a)(),(a,b)f f b aξξ-'=∈-所以0()()()()()()()()()()()f b f b f b f b f x a b a f b f b f f b f b f ξξξ''--=--=-=''''' 因为(x)0f ''>所以(x)f '单调递增所以()()f b f ξ''>所以00x a ->，即0x a >，所以0a x b <<，结论得证.(22) (本题满分 11 分)设矩阵101101a A a a ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭且3A O =.(1) 求a 的值；(2) 若矩阵X 满足22X XA AX AXA E --+=，E 为3阶单位阵，求X .【答案】2010,111211a X -⎛⎫ ⎪==-- ⎪ ⎪-⎝⎭【解析】 (I)323100100111100011a A O A a a a a a a a a=⇒=⇒-=--==⇒=- (II)由题意知()()()()()()()()()222211122212X XA AX AXA E X E A AX E A E E A X E AE X E A E A E A E A X E A A ------+=⇒---=⎡⎤⇒--=⇒=--=--⎣⎦⇒=-- 2011111112E A A -⎛⎫ ⎪--=- ⎪ ⎪--⎝⎭，011100111010111010011100112001112001----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭M M M M M M111010111010011100011100021011001211------⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→--→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭M M M M M M110201100312010111010111001211001211---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭M M M M M M312111211X -⎛⎫ ⎪∴=- ⎪ ⎪-⎝⎭(23) (本题满分11 分)设矩阵02313312A a -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭相似于矩阵12000031B b -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.（1）求,a b 的值；（2）求可逆矩阵P ，使1P AP -为对角阵.【答案】（1）4,5a b ==；（2）231101011P --⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭【解析】(I)~()()311A B tr A tr B a b ⇒=⇒+=++0231201330012031--=⇒--=-A B ba 14235-=-=⎧⎧∴⇒⎨⎨-==⎩⎩a b a a b b (II)023100123133010123123001123A E C ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=--=+--=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()123112*********---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=--=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭CC 的特征值1230,4λλλ===0λ=时(0)0-=E C x 的基础解系为12(2,1,0);(3,0,1)ξξ==-T T 5λ=时(4)0-=E C x 的基础解系为3(1,1,1)ξ=--T A 的特征值1:1,1,5λλ=+A C令123231(,,)101011ξξξ--⎛⎫ ⎪==- ⎪ ⎪⎝⎭P ，1115-⎛⎫ ⎪∴= ⎪⎪⎝⎭P AP文档内容由金程考研网整理发布。

2004年和2005年华南理工数学分析考研试题及解答

华南理工大学2004年数学分析考研试题及解答1 求极限202cos 2lim tan sin x x x e x x x→+--。

解由30tan sin limx x x x →-201sin 1cos lim cos x x x x x x →-=⋅⋅0sin lim 2x x x →=12=，得202cos 2lim tan sin x x x e x x x →+-- 2302cos 22lim x x x e x x →+-=2202sin 2lim 3x x x x e xe x x →+-= 0112sin 2(lim )336x x e x →+=++1112()333=++2=。

2 设221ln()arctan 2y x y x+=，求22d y dx 。

解对221ln()arctan 2yx y x+=两边求导，有 2222122121()x yy y x yy x y x x''+-=⋅++，于是有 x yy y x y ''+=-， x yy x y+'=-，对x yy y x y ''+=-两边求导，得21()()y yy y x y y '''''''++=+-， 21()()y y x y '''+=-，故21()y y x y'+''=-21()x y x yx y++-=-2232()x y x y +=-。

3设11x >，11nn nx x x α++=+，(1,2,...)n =，试证：{}n x 收敛，并求lim n n x →∞。

证明令xxx f ++=1)(α，则有2)1(1)(x x f +--='α，αα=)(f ，)(x f 在),0(+∞上是严格递减的；当α>x 时，α<)(x f ；当α<x 时，α>)(x f ；若α>1x ，则有显然α>-12n x ，α<n x 2，),2,1( =n ；将11nn nx x x α++=+代入1211n n n x x x α++++=+，得22(1)(1)2nn nx x x ααα+++=++，由n n n n n x x x x x -++++=-+2)1()1(22αααnn x x 2)1()(22++-=αα，得}{12-n x 单调递减，}{2n x 单调递增，设a x n n =-∞→12lim，b x n n =∞→2lim ，在121221--++=n n n x x x α，nnn x x x 22121++=+α中，令∞→n 取极限，得aab ++=1α，bba ++=1α，从而有α==b a ，故α=∞→n n x lim或者注意到111111n n n na x a x x x ++-==+>++，我们有当n x1111)n x +<+=+=当n x <1111)n x +>+=+=于是11x >>，知21n x ->，21n x <<(1,2,...)n =往证21{}n x -递减，2{}n x 递增，实际上从11k k k a x x x ++=+中，解出111k k k a x x x ++-=-1121111k k k k k k a x a x x x x x ++++++--=-+-11112((1)(1)k k k k x x x x +++++=+-当k 为偶数时，20k k x x +->，当k 为奇数时，20k k x x +-<，从而由单调有界原理，存在[]1,1,b c x ∈使得 21lim n n x b -→∞=，2lim n n x c →∞=，在22121n n n a x x x ++=+，212211n n n a x x x --+=+中，令n →∞，取极限，有1a c b c +=+，1a bc b+=+，解之得b c ==故lim n n x →∞=4 设C 为单位圆周，逆时针方向为正向，求22(9)()9Cy x dx y x dyx y ++-+⎰。

华南理工大学数学分析考研真题2001-2016

f (1) = 1 ，试证： ∃ x ∈ (−1,1) ，使 f (3) ( x) ≥ 3 ． 10．（15 分）试讨论无穷级数 f ( x) =
∑ 1 + n 2 x 在 (0, ∞) 上的一致收敛
n =1
∞
1
性，以及 f ( x) 在 (0, ∞) 上的有界性．
11 ．（ 15 分）设 f ( x) ≥ 0 在 (−∞,+∞) 上连续， f ε ( x) = 1
∫0
∞
试证： g (t ) ≤ e A f (t ), t ≥ 0 ．
第
2 页
325 2006
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2
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√ √ n+ n− n . lim √ n→∞ n 3n + 5n + 7n
2
1. (10
)
n→∞
lim
√
√ 1+ n n ln √ n

√ n n+1
+
n+1 n
− 1 .

2. (10
)
x→0
lim

1 x2
−
1 x
+1−
1 x
∫−∞ f ( x) dx = 1 ，
+∞
ε
x f ( ) ．试证明：对每个有界连续函数 ϕ ( x) ，有
ε
ε →0 + − ∞
lim
∫
+∞
ϕ ( x ) f ε ( x ) dx = ϕ ( 0) ．

2015年华南理工大学试卷应用数学基础考研真题复试线参考书招录比模拟题-育明教育广州分校

9
① 101思想政治理论 ② 201英语一③301数
812汽车理论
复试笔试科目：
同上
础知识
同上
9
/
229
全国统一咨询热线：400-6998-626,广州分校:020-29122496 育明教育广州分校地址：广州市海珠区新港中路财智大厦 1401
吴杰谢小鹏杨志坚臧孟炎赵克刚 080402测试计量技术及 7 仪器 ① 101思想政治理论 ② 201英语一③301数 01智能传感技术及网络洪晓斌学一④804传感器与检化测控刘桂雄测技术或813自动控制 906 微机原理及全燕鸣原理接口技术 02制造过程质量检测技术与无损检测仪器 03新能源高效变换技术同上与装置 080503材料加工工程 01金属材料制备与成型陈维平 ② 201英语一③302数 935 材料加工工及其数值模拟陈玉坤学二④802金属学及热程专业综合
11
戈明亮同上何光建何和智
01-02 方向招生 23人 03-05方向 ①101 思想政治理论招生22人
同上
同上
11
/
229
全国统一咨询热线：400-6998-626,广州分校:020-29122496 育明教育广州分校地址：广州市海珠区新港中路财智大厦 1401
苏峰华隋贤栋卫国强文劲松吴宏武肖志瑜谢红希杨超易玉华张大童张水洞张卫文赵海东郑志军朱德智朱权利 080703动力机械及工程 01新型制冷循环及热物王红民 ② 201英语一③301数 916传热学理过程王惜慧学一④826工程热力学
15
同上工程硕士 ① 101思想政治理论
曹贤武 ② 201英语一③301数

华南理工大学期末考试“数学分析(二)”试卷

，
供则 f (x) 在任何区间[a,b]上
，但 f ( x) 在区间[a, b]上
3、曲线 x = a(t − sin t), y = a(1 − cos t) (0 ≤ t ≤ 2π ) 绕 x 轴旋转的体积
4、设 x = a 是 f ( x) 的在[a, b]上的唯一奇点，且 lim( x − a) p f ( x) = k x→a
{ } λ(∆)
=
max
i =1,2,L,n
∆xi
< δ 时，对应于幅度 ωi' ≥ ε 的那些区间 ∆xi' 的长度之和
供 ∑ ∆xi′ < σ 。 i′ D． f ( x) 为连续函数
学号
3、极限
lim ⎜⎛ m→∞⎝
1 m+
1
+
1 m+
2
+
L+
1 2m
⎟⎞ ⎠
=
。
A．1
B. 0
C. + ∞
D. ln 2
n=1
n=1
供 x ≠ kπ , k = 0, ± 1, ± 2, L时是否为条件收敛？
《数学分析（二）》试卷 A 第 3 页共 3 页
5、设
f
(x)
为周期为 T
的函数，且在
⎢⎣⎡−
T 2
,

T 2
⎤ ⎥⎦
上可积和绝对可积，则
其中正确的是
∑ f ( x) =
a0 2
∞
+ (ak cos kωx + bk sin kωx),
k =1
ω
=
2π T
。
∫ ∫ A． ak

2015年考研数学(二)真题及答案详解【完整清晰版】

2 0 0 且 P AP 0 1 0 . 0 0 1
T
1 0 0 由已知可得 Q P 0 0 1 PC 0 1 0 2 0 0 T T T 故 Q AQ C ( P AP)C 0 1 0 0 0 1
为( )
2 2 2 (B) 2 y1 y2 y3 2 2 2 (D) 2 y1 y2 y3
2 2 2 (A) 2 y1 y2 y3 2 2 2 (C) 2 y1 y2 y3
【答案】(A)
2 2 2 【解析】由 x Py ，故 f xT Ax yT ( PT AP) y 2 y1 . y2 y3
2 2
2 f 2u (1 v) f 2u 2 u uv u (1 v) , .故， f (u, v) u 1 v v (1 v) 2 1 v 1 v 1 v
因而
f u
u 1 v 1
0,
f v
得： 1 0 ，答f ( x) 在 , 内连续，其中二阶导数 f ( x) 的图形如图所示，则曲线
y f ( x) 的拐点的个数为(
(A) 0 (B)
) (D)
1
(C)
2
3
【答案】(C) 【解析】根据图像观察存在两点，二阶导数变号.则拐点个数为 2 个. (5) 设函数 f u, v 满足 f x y, x 2 y 2 ，则 u x 与
1 1 1 【解析】 ( A, b) 1 2 a 1 4 a 2
1 1 1 1 a 1 d 1 0 1 d2 0 0 (a 1)(a 2) (d 1)(d 2) ， 1 d

华南理工数学试题及答案

华南理工数学试题及答案一、单项选择题（每题4分，共40分）1. 函数f(x)=x^2+2x+1的最小值是（）。

A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B2. 极限lim(x→0) (sin(x)/x)的值是（）。

A. 0B. 1C. πD. 2答案：B3. 矩阵A=\[\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}\]的行列式是（）。

A. -2B. 2C. 5D. 8答案：A4. 函数y=e^x的反函数是（）。

A. ln(x)B. e^xC. x^eD. x^2答案：A5. 曲线y=x^3-3x^2+2在点(1,0)处的切线斜率是（）。

A. 0B. 1C. -1D. 2答案：C6. 函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的零点个数是（）。

A. 1B. 2C. 3D. 4答案：C7. 函数f(x)=x^2-4x+4的值域是（）。

A. [0, +∞)B. (-∞, 0]C. (-∞, 4]D. [4, +∞)答案：A8. 极限lim(x→∞) (x^2-3x+2)/(x^2+2x+1)的值是（）。

A. 1B. 0C. 2D. -1答案：A9. 函数y=ln(x)的定义域是（）。

A. (0, +∞)B. (-∞, 0)C. (-∞, +∞)D. [0, +∞)答案：A10. 函数f(x)=x^2-4x+3的对称轴是（）。

A. x=2B. x=-2C. x=1D. x=-1答案：A二、填空题（每题4分，共20分）1. 函数f(x)=x^3-3x的导数是______。

答案：3x^2-32. 函数f(x)=x^2-4x+4的极小值是______。

答案：03. 函数f(x)=x^2-6x+8的零点是______。

答案：2和44. 函数y=e^x的不定积分是______。

答案：e^x+C5. 函数f(x)=x^3-3x^2+2的单调递增区间是______。