课时跟踪检测(十七) 变化率与导数、导数的运算

课时跟踪检测（十七） 变化率与导数、导数的运算

一抓基础，多练小题做到眼疾手快

1．曲线f (x )＝x 3－x ＋3在点P 处的切线平行于直线y ＝2x －1，则P 点的坐标为( )

A ．(1,3)

B ．(－1,3)

C ．(1,3)和(－1,3)

D ．(1，－3)

解析：选C f ′(x )＝3x 2－1，令f ′(x )＝2，则3x 2－1＝2，解得x ＝1或x ＝－1，∴P (1,3)或(－1,3)，经检验，点(1,3)，(－1,3)均不在直线y ＝2x －1上，故选C.

2．曲线f (x )＝2x －e x 与y 轴的交点为P ，则曲线在点P 处的切线方程为( )

A ．x －y ＋1＝0

B ．x ＋y ＋1＝0

C ．x －y －1＝0

D ．x ＋y －1＝0

解析：选C 曲线f (x )＝2x －e x 与y 轴的交点为(0，－1)．

且f ′(x )＝2－e x ，∴f ′(0)＝1.

所以所求切线方程为y ＋1＝x ，

即x －y －1＝0.

3．(2018·温州模拟)设函数f (x )在(0，＋∞)内可导，且f (e x )＝x ＋e x ，则f ′(2 017)＝( )

A ．1

B ．2

C ．12 017

D ．2 0182 017

解析：选D 令e x ＝t ，则x ＝ln t ，所以f (t )＝ln t ＋t ，故f (x )＝ln x ＋x .求导得f ′(x )＝1x

＋1，故f ′(2 017)＝12 017＋1＝2 0182 017

.故选D. 4．若曲线f (x )＝x sin x ＋1在x ＝π2

处的切线与直线ax ＋2y ＋1＝0 相互垂直，则实数a ＝________.

解析：因为f ′(x )＝sin x ＋x cos x ，所以f ′⎝⎛⎭⎫π2＝sin π2＋π2cos π2

＝1.又直线ax ＋2y ＋1＝0的斜率为－a 2

，所以1×⎝⎛⎭⎫－a 2＝－1，解得a ＝2. 答案：2

5．(2018·杭州模拟)已知函数f (x )＝x 33－b 2

x 2＋ax ＋1(a ＞0，b ＞0)，则函数g (x )＝a ln x ＋f ′(x )a 在点(b ，g (b ))处切线的斜率的最小值是________．

解析：因为a ＞0，b ＞0，f ′(x )＝x 2－bx ＋a ，所以g ′(x )＝a x ＋2x －b a ，则g ′(b )＝a b ＋2b －b a

＝a b ＋b a ≥2，当且仅当a ＝b ＝1时取等号，所以斜率的最小值为2.

答案：2

二保高考，全练题型做到高考达标

1．曲线y ＝e x －ln x 在点(1，e)处的切线方程为( )

A ．(1－e)x －y ＋1＝0

B ．(1－e)x －y －1＝0

C ．(e －1)x －y ＋1＝0

D ．(e －1)x －y －1＝0

解析：选C 由于y ′＝e －1x ，所以y ′| x ＝1

＝e －1，故曲线y ＝e x —ln x 在点(1，e)处的切线方程为y －e ＝(e －1)(x －1)，即(e －1)x －y ＋1＝0.

2．(2018·开封模拟)已知直线y ＝kx ＋1与曲线y ＝x 3＋mx ＋n 相切于点A (1,3)，则n ＝

( )

A ．－1

B ．1

C ．3

D ．4

解析：选C 对于y ＝x 3＋mx ＋n ，y ′＝3x 2＋m ，∴k ＝3＋m ，又k ＋1＝3,1＋m ＋n ＝3，可解得n ＝3.

3．(2018·台州测试)已知f (x )＝x 2＋2f ′(1)，则f (0)等于( )

A ．2

B ．4

C ．－2

D ．－4

解析：选B 由已知f (x )＝x 2＋2f ′(1)，

得f ′(x )＝2x ，所以f ′(1)＝2，所以f (x )＝x 2＋4，

所以f (0)＝4.故选B.

4．(2018·衡水调研)曲线y ＝1－2x ＋2

在点(－1，－1)处的切线方程为( ) A ．y ＝2x ＋1

B ．y ＝2x －1

C ．y ＝－2x －3

D ．y ＝－2x －2 解析：选A ∵y ＝1－2x ＋2＝x x ＋2

， ∴y ′＝x ＋2－x (x ＋2)2＝2(x ＋2)2

，y ′| x ＝－1＝2， ∴曲线在点(－1，－1)处的切线斜率为2，

∴所求切线方程为y ＋1＝2(x ＋1)，即y ＝2x ＋1.

5．已知f (x )＝ln x ，g (x )＝12x 2＋mx ＋72

(m ＜0)，直线l 与函数f (x )，g (x )的图象都相切，且与f (x )图象的切点为(1，f (1))，则m 的值为( )

A ．－1

B ．－3

C ．－4

D ．－2

解析：选D ∵f ′(x )＝1x ，

∴直线l 的斜率为k ＝f ′(1)＝1，又f (1)＝0，

∴切线l 的方程为y ＝x －1.

g ′(x )＝x ＋m ，设直线l 与g (x )的图象的切点为(x 0，y 0)，

则有x 0＋m ＝1，y 0＝x 0－1，y 0＝12x 20＋mx 0＋72

，m ＜0， 解得m ＝－2.

6．(2018·浙江金华十校联考)已知函数f (x )＝x 3＋ax ＋b 的图象在点(1，f (1))处的切线方程为2x －y －5＝0，则a ＝________，b ＝________.

解析：由f (x )＝x 3＋ax ＋b ，得f ′(x )＝3x 2＋a ，由题意，得f ′(1)＝3＋a ＝2，解得a ＝－1.又在切线方程中，当x ＝1时，y ＝－3，所以f (1)＝13－1×1＋b ＝－3，解得b ＝－3.

答案：－1 －3

7．如图，y ＝f (x )是可导函数，直线l ：y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，其中g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝________.

解析：由题图可得曲线y ＝f (x )在x ＝3处切线的斜率等于－13，即f ′(3)＝－13

，因为g (x )＝xf (x )，所以g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)，由图可知f (3)＝1，所以g ′(3)

＝1＋3×⎝⎛⎭

⎫－13＝0. 答案：0

8．(2018·杭二期中)设函数F (x )＝ln x ＋a x (0＜x ≤3)的图象上任意一点P (x 0，y 0)处切线

的斜率k ≤12

恒成立，则实数a 的取值范围为________． 解析：由F (x )＝ln x ＋a x (0＜x ≤3)，得F ′(x )＝x －a x 2(0＜x ≤3 )，则有k ＝F ′(x 0)＝x 0－a x 20

≤12在(0,3]上恒成立，所以a ≥⎝⎛⎭⎫－12x 20＋x 0max .当x 0＝1时，－12x 20＋x 0在(0,3]上取得最大值12

，所以a ≥12

. 答案：⎣⎡⎭

⎫12，＋∞ 9．(2018·杭州六校联考)已知函数f (x )＝13

x 3－ax ＋1.若对任意m ∈R ，直线y ＝－x ＋m 都不是曲线y ＝f (x )的切线，求实数a 的取值范围．