8上北师大版数学变式训练平行线的性质

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北师大版初中数学八年级上册7.4 平行线的性质1

探究点二：平行线的性质定理 2
如图，已知 DA⊥AB，CB⊥AB，DE
平分 ∠ADC， CE 平分 ∠BCD，试说明
DE⊥CE.
解析：要证 DE⊥CE，即∠DEC＝90°.
需证∠1＋∠2＝90°.由 DE、CE 分别平分
∠ADC、∠BCD，则需证∠ADC＋∠BCD＝180
°，从而需证 AD∥BC.
方法总结：过一点作一条直线或线段的平行线是我们常作的辅助线．
三、板书设计平行线的性质
两直线平行，同位角相等
{ ) 两直线平行，内错角相等两直线平行，同旁内角互补平行于同一条直线的两直线平行
相信自己，就能走向成功的第一步
教师不光要传授知识，还要看待
方法总结：平行线与角的大小关系、直线的位置关系是紧密联系在一起的．由两直线平行的位置关系得到两个相关角的数量关系，从而得到相应角的度数．
探究点四：平行于同一条直线的两直线平行
如图所示，AB∥CD.求证：∠B＋ ∠BED＋∠D＝360°.
进一步理解和总结证明的步骤、格式、方法．了解两定理在条件和结构上的区别，体会正逆的思维过程. 进一步发展学生的推
证明： ∵DE∥AC(已知 )， ∴ ∠ BED＝ ∠A(两直线平行，同位角相等 )． ∵DF∥AB(已知 )， ∴ ∠ CFD＝ ∠A(两直线平行，同位角相等 )． ∴∠BED＝ ∠CFD(等量代换)．
方法总结：在已知两直线平行的前提下，若要求证的两角不是平行线被第三条直线所截得的角，就要借助一个中间量，将两者联系起来．
等)，
∠ EAC＝ ∠C(两直线平行，内错角相
一条公路两次拐弯后和原来的方向相等)．

北师大版八年级数学上册课件：7.4 平行线的性质

等.简述为：两直线平行，内错角相等. 【例题精讲】【例2】如图7-4-6，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD 于点E，F，EG平分∠AEF，∠1=40°，求∠2的度数.
解析根据平行线的性质“两直线平行，内错角相等”，再利用角平分线的性质推出∠2=180°-2∠1，这样就可求出∠2的度数.
学习很辛苦，但并不痛苦；学习没有什么捷径，苦学才是根本；在你没有找到 “不用重复就可以学习好” 的方法之前，请不放弃“重复”这种最简单、最有效的学习方法。
3. 直线a，b，c，d的位置如图7-4-2，如果∠1=100°，
∠2=100°，∠3=125°，那么∠4等于
D. 55°
名师导学
新知1 两直线平行，同位角相等定理：两条平行直线被第三条直线所截，同位角相
等.简述为：两直线平行，同位角相等.
【例题精讲】【例1】如图7-4-3，已知l1∥l2，l3∥l4，则∠2与∠3相等吗？请说明理由.
解 ∵AB∥CD(已知)， ∴∠1=∠AEG(两直线平行，内错角相等). ∵EG平分∠AEF(已知)， ∴∠1=∠GEF，∠AEF=2∠1(等量代换). 又∵∠AEF+∠2=180°(平角的定义)， ∴∠2=180°-2∠1=180°-80°=100°(等量代换).
【举一反三】
1. 如图7-4-7所示，已知∠3=∠4，若要使∠1=∠2，则
广东学导练数学八年级上册配北师大版
第七章平行线的证明
4 平行线的性质
课前预习
1. 下列图形中，由AB∥CD，能得到∠1=∠2的是( B )
2.如图7-4-1，直线l1，l2被直线l3所截，且l1∥l2，若
∠1=72°，∠2=58°，则∠3=

初中数学(北师大)八年级上册课件74平行线的性质

已知：直线b⊥a , c⊥a
求证：b∥c
bc
a
根据下列命题，画出图形，并结合图形写出已知、求证(不写证明过程)：
2)一个角的平分线上的点到这个角的两边
的距离相等；
已知：如图，OC是∠AOB的平分线，
EF⊥OA于F ,
FA
EG⊥OB于G O
EC
求证：EF=EG
GB
∵∠ 3=∠1 ( 对顶角相等 )
∴∠1=∠2 ( 等量代换 )
证明定理：
定理2 两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。简说成：两直线平行，同旁内角互补。
请作出相关图形，
写出已知、求证、证明过程
小结：命题证明的步骤： 1.根据题意，画出图形； 2.根据题设、结论，结合图形，写出已知、求证；
3.经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程.
根据下列命题，画出图形，并结合图形写出已知、求证(不写证明过程)： 1)垂直于同一直线的两直线平行； 2)一个角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等；
3)两条平行线的一对内错角的平分线互相平行.
根据下列命题，画出图形，并结合图形写出已知、求证(不写证明过程)： 1)垂直于同一直线的两直线平行；
∵∠ 1=∠2,∴
a判∥定b定. 理1:
a
内错角相等,两直线平行. b
∵ ∠1=∠2, ∴ a∥b.
判定定理2:
a
同旁内角互补,两直线平行.b 0∵∠1+∠2=180 , ∴ a∥b.
c
1 2
c
1 2
c
1 2
平行线性质
公理:
两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。
两直线平行,同位角相等.

北师大版八年级数学平行线的性质(1)

平行线的性质课前测试【题目】课前测试已知：如图，∠1=∠2，∠C=∠D．求证：∠A=∠F．证明：∵∠1=∠2（已知），又∠1=∠DMN（），∴∠2=∠（等量代换），∴DB∥EC（），∴∠DBC+∠C=180°（两直线平行，），∵∠C=∠D（），∴∠DBC+ =180°（等量代换），∴DF∥AC（），∴∠A=∠F（）【答案】对顶角；DMN；同为角相等，两直线平行；同旁内角互补；已知；∠D；同旁内角互补；两直线平行，内错角相等【解析】根据平行线的性质与判定即可求出答案．解：故答案为：对顶角；DMN；同为角相等，两直线平行；同旁内角互补；已知；∠D；同旁内角互补；两直线平行，内错角相等本题考查平行线的性质与判定，解题的关键是灵活运用平行线的性质与判定，本题属于基础题型．【难度】3【题目】课前测试如图，已知AD∥BC，∠1=2．求证：BE∥DF．【答案】BE∥DF．【解析】根据平行线的性质和判定证明即可．证明：∵AD∥BC，∴∠1=∠3，又∵∠1=∠2，∴∠2=∠3，∴BE∥DF．此题考查平行线的判定和性质，关键是根据平行线的性质和判定解答．【难度】2知识定位适用范围：北师大版，八年级知识点概述：本章重点部分是平行线的判定。

了解，掌握平行线的性质，会利用平行线的性质来计算解答几何问题，有关角的计算，以及证明问题的解答适用对象：成绩中等偏下的学生注意事项：熟练掌握平行线的性质重点选讲：①平行线性质和判定②平行线的性质与角的计算③平行线的性质的应用知识梳理知识梳理1：平行线的性质平行线的性质：定理：（1）两直线平行，同位角相等（2）两直线平行，内错角相等（3）两直线平行，同旁内角互补还有：平行于同一条直线的两条直线平行例题精讲题型1：平行线的性质和判定如图，四边形ABCD，E是CB延长线上一点，下列推理正确的是（）A．如果∠1=∠2，那么AB∥CDB．如果∠3=∠4，那么AD∥BCC．如果AD∥BC，那么∠6+∠BAD=180°D．如果∠6+∠BCD=180°，那么AD∥BC【答案】C【解析】根据平行线的性质和判定逐个判断即可．解：A、根据∠1=∠2不能推出AB∥CD，故本选项不符合题意；B、根据∠3=∠4不能推出AD∥BC，故本选项不符合题意；C、根据AD∥BC能推出∠6+∠BDA=180°，故本选项符合题意；D、根据∠6+∠BCD=180°不能推出AD∥BC，故本选项不符合题意；故选：C．本题考查了平行线的性质和判定，能正确根据平行线的性质和判定进行推理是解此题的关键．【难度】3【题目】题型1变式练习1：平行线的性质和判定如图，点D在直线AE上，量得∠CDE=∠A=∠C，有以下三个结论：①AB∥CD；②AD∥BC；③∠B=∠CDA．则正确的结论是（）A．①②③B．①②C．①D．②③【答案】A【解析】根据平行线的判定推出AD∥BC，AB∥CD，根据平行线的性质得出∠B+∠A=180°，∠A+∠CDA=180°，即可得出答案．解：∵∠C=∠CDE，∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行），（故①正确）∵∠A=∠CDE，∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行），（故②正确）∴∠B+∠A=180°，∠A+∠CDA=180°，∴∠B=∠CDA（等量代换），（故③正确）即正确的结论有①②③，故选：A．本题考查了平行线的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力．【难度】3【题目】题型1变式练习2：平行线的性质和判定如图，下列推理及所注明的理由都正确的是（）A．因为DE∥BC，所以∠1=∠C（同位角相等，两直线平行）B．因为∠2=∠3，所以DE∥BC（两直线平行，内错角相等）C．因为DE∥BC，所以∠2=∠3（两直线平行，内错角相等）D．因为∠1=∠C，所以DE∥BC（两直线平行，同位角相等）【答案】C【解析】A的理由应是两直线平行，同位角相等；B的理由应是内错角相等，两直线平行；D的理由应是同位角相等，两直线平行；解：A、因为DE∥BC，所以∠1=∠C（两直线平行，同位角相等），故A选项错误；B、因为∠2=∠3，所以DE∥BC（内错角相等，两直线平行），故B选项错误；C、因为DE∥BC，所以∠2=∠3（两直线平行，内错角相等），故C选项正确；D、因为∠1=∠C，所以DE∥BC（同位角相等，两直线平行），故D选项错误．故选：C．正确区分平行线的性质和判定是解决此类问题的关键．【难度】3题型2：平行线的性质与角的计算如图，∠D=∠C=90°，E是DC的中点，AE平分∠DAB，∠DEA=28°，则∠ABE 的度数是（）A．62 B．31 C．28 D．25【答案】C【解析】过点E作EF⊥AB于F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=EF，根据线段中点的定义可得DE=CE，然后求出CE=EF，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上证明即可得出BE平分∠ABC，最后求得∠ABE的度数．解：如图，过点E作EF⊥AB于F，∵∠D=∠C=90°，AE平分∠DAB，∴DE=EF，∵E是DC的中点，∴DE=CE，∴CE=EF，又∵∠C=90°，∴点E在∠ABC的平分线上，∴BE平分∠ABC，又∵AD∥BC，∴∠ABC+∠BAD=180°，∴∠AEB=90°，∴∠BEC=90°﹣∠AED=62°，∴Rt△BCE中，∠CBE=28°，∴∠ABE=28°．故选：C．本题考查了平行线的性质与判定，角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，到角的两边距离相等的点在角的平分线上的性质，熟记各性质并作出辅助线是解题的关键．【难度】3【题目】题型2变式练习1：平行线的性质与角的计算如图，∠1=∠B，∠2=25°，则∠D=（）A．25° B．45° C．50° D．65°【答案】A【解析】先根据同位角相等，两直线平行，由∠1=∠B得到AD∥BC，然后根据平行线的性质求解．解：∵∠1=∠B，∴AD∥BC，∴∠D=∠2=25°．故选：A．本题考查了平行线的判定与性质：平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．【难度】2【题目】题型2变式练习2：平行线的性质与角的计算光线在不同介质中的传播速度不同，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射，如图，由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．若水面和杯底是互相平行的，且∠1=45°，∠2=122°，则∠3= °，∠4= °．【答案】45；58．【解析】先根据EG∥FH得出∠3的度数，再由AB∥CD得出∠ECD的度数，根据CE∥DF 即可得出结论．解：∵EG∥FH，∠1=45°，∴∠3=∠1=45°．∵AB∥CD，∠2=122°，∴∠ECD=180°﹣122°=58°．∵CE∥DF，∴∠4=∠ECD=58°．故答案是：45；58．本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等．【难度】3题型3：平行线的性质的应用如图，已知EF∥AD，∠1=∠2，∠BAC=70°，求∠AGD（请填空）解：∵EF∥AD∴∠2= （）又∵∠1=∠2∴∠1=∠3（）∴AB∥（）∴∠BAC+ =180°（）∵∠BAC=70°（）∴∠AGD= （）【答案】∠3，两直线平行，同位角相等，等量代换，DG，内错角相等，两直线平行，∠DGA，两直线平行，同旁内角互补，已知，110°，等式的性质．【解析】根据平行线的性质和已知求出∠1=∠3，根据平行线的判定推出AB∥DG，根据平行线的性质求出∠BAC+∠DGA=180°即可．解：∵EF∥AD，∴∠2=∠3（两直线平行，同位角相等），∵∠1=∠2，∴∠1=∠3（等量代换），∴AB∥DG（内错角相等，两直线平行），∴∠BAC+∠DGA=180°（两直线平行，同旁内角互补），∵∠BAC=70°（已知），∴∠AGD=110°（等式的性质）．故答案为：∠3，两直线平行，同位角相等，等量代换，DG，内错角相等，两直线平行，∠DGA，两直线平行，同旁内角互补，已知，110°，等式的性质．本题考查了平行线的性质和判定的应用，能灵活运用平行线的性质和判定定理进行推理是解此题的关键，注意：平行线的性质是①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补，反之亦然．【难度】3【题目】题型3变式练习1：平行线的性质的应用已知：如图，AE⊥BC，FG⊥BC，∠1=∠2，∠D=∠3+60°，∠CBD=70°．（1）求证：AB∥CD；（2）求∠C的度数．【答案】AB∥CD；25°【解析】（1）求出AE∥GF，求出∠2=∠A=∠1，根据平行线的判定推出即可；（2）根据平行线的性质得出∠D+∠CBD+∠3=180°，求出∠3，根据平行线的性质求出∠C即可．（1）证明：∵AE⊥BC，FG⊥BC，∴AE∥GF，∴∠2=∠A，∵∠1=∠2，∴∠1=∠A，∴AB∥CD；（2）解：∵AB∥CD，∴∠D+∠CBD+∠3=180°，∵∠D=∠3+60°，∠CBD=70°，∴∠3=25°，∵AB∥CD，∴∠C=∠3=25°．本题考查了平行线的性质和判定的应用，注意：平行线的性质有：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补，反之亦然，题目比较好，难度适中．【难度】3【题目】题型3变式练习2：平行线的性质的应用问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB=130°，∠PCD=120°．求∠APC度数．小明的思路是：如图2，过P作PE∥AB，通过平行线性质，可得∠APC=50°+60°=110°．问题迁移：（1）如图3，AD∥BC，点P在射线OM上运动，当点P在A、B两点之间运动时，∠ADP=∠α，∠BCP=∠β．∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由；（2）在（1）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出∠CPD、∠α、∠β间的数量关系．【答案】（1）∠CPD=∠α+∠β；（2）当P在BA延长线时，∠CPD=∠β﹣∠α；当P在AB延长线时,∠CPD=∠α﹣∠β【解析】（1）过P作PE∥AD交CD于E，推出AD∥PE∥BC，根据平行线的性质得出∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，即可得出答案；（2）化成图形，根据平行线的性质得出∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，即可得出答案．（1）解：∠CPD=∠α+∠β，理由是：如图3，过P作PE∥AD交CD于E，∵AD∥BC，∴AD∥PE∥BC，∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，∴∠CPD=∠DPE+∠CPE=∠α+∠β；（2）当P在BA延长线时，∠CPD=∠β﹣∠α；当P在AB延长线时，∠CPD=∠α﹣∠β．本题考查了平行线的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力，题目是一道比较典型的题目，难度适中．【难度】3【题目】兴趣篇1探究题学习完平行线的性质与判定之后，我们发现借助构造平行线的方法可以帮我们解决许多问题．（1）小明遇到了下面的问题：如图1，l1∥l2，点P在l1、l2内部，探究∠A，∠APB，∠B的关系．小明过点P作l1的平行线，可证∠APB，∠A，∠B之间的数量关系是：∠APB= ．（2）如图2，若AC∥BD，点P在AC、BD外部，∠A，∠B，∠APB的数量关系是否发生变化？请你补全下面的证明过程．过点P作PE∥AC．∴∠A=∵AC∥BD∴∥∴∠B=∵∠BPA=∠BPE﹣∠EPA∴．（3）随着以后的学习你还会发现平行线的许多用途．试构造平行线解决以下问题：已知；如图3，三角形ABC，求证：∠A+∠B+∠C=180°【答案】∠A+∠B；∠1，PE，BD，∠EPB，∠APB=∠B﹣∠1；∠A+∠B+∠C=180°【解析】（1）过P作PE∥l1，根据平行线的性质得到∠APE=∠A，∠BPE=∠B，据此可得∠APB=∠APE+∠BPE=∠A+∠B；（2）过点P作PE∥AC，根据平行线的性质得出∠A=∠1，∠B=∠EPB，进而得出∠APB=∠B﹣∠1；（3）过点A作MN∥BC，根据平行线的性质进行推导即可．解：（1）如图，过P作PE∥l1，∵l1∥l2，∴PE∥l1∥l2，∴∠APE=∠A，∠BPE=∠B，∴∠APB=∠APE+∠BPE=∠A+∠B，故答案为：∠A+∠B．（2）如图2，过点P作PE∥AC．∴∠A=∠1，∵AC∥BD，∴PE∥BD，∴∠B=∠EPB，∵∠APB=∠BPE﹣∠EPA，∴∠APB=∠B﹣∠1；故答案为：∠1，PE，BD，∠EPB，∠APB=∠B﹣∠1；（3）证明：如图3，过点A作MN∥BC，∴∠B=∠1，∠C=∠2，∵∠BAC+∠1+∠2=180°，∴∠A+∠B+∠C=180°．本题主要考查了平行线的性质的运用，解题时注意：两直线平行，内错角相等．解决问题的关键是作平行线构造内错角．【难度】3【题目】兴趣篇2看图填空，在括号内填写理由．（1）如图1，已知∠B+∠BCD=180°，∠B=∠D．求证：AD∥BE．证明：∵∠B+∠BCD=180°（已知），∴AB∥（）∴∠DCE=∠B（）又∵∠B=∠D（已知）∴∠DCE= （等量代换）∴AD∥BE（）（2）如图2，已知CD⊥DA，DA⊥AB，∠1=∠2．试说明DF∥AE．证明：∵（已知）∴∠CDA=90°，∠DAB=90°（）∴∠1+∠3=90°，∠2+∠4=90又∵∠1=∠2（已知）∴DF∥AE（）【答案】（1）CD，同旁内角互补，两直线平行，两直线平行，同位角相等，∠D，内错角相等，两直线平行．（2）CD⊥DA，DA⊥AB；垂直定义；内错角相等，两直线平行．【解析】（1）根据平行线的判定推出AB∥CD，根据平行线的性质和已知推出∠DCE=∠D，根据平行线的判定定理推出即可．（2）根据垂直定义得出∠CDA=∠DAB，求出∠3=∠4，根据平行线的判定推出即可．证明：（1）∵∠B+∠BCD=180°，∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行），∴∠DEC=∠B（两直线平行，同位角相等），∵∠B=∠D，∴∠DCE=∠D，∴AD∥BE（内错角相等，两直线平行），故答案为：CD，同旁内角互补，两直线平行，两直线平行，同位角相等，∠D，内错角相等，两直线平行．（2）∵CD⊥DA，DA⊥AB（已知），∴∠CDA=90°，∠DAB=90°（垂直定义），∴∠1+∠3=90°，∠2+∠4=90又∵∠1=∠2（已知）∴∠3=∠4，∴DF∥AE（内错角相等，两直线平行），故答案为：CD⊥DA，DA⊥AB；垂直定义；内错角相等，两直线平行．本题考查了垂直定义和平行线的判定的应用，熟练掌握平行线的判定是解题关键．【难度】3【题目】备选题目1如图，已知CF∥DE，∠ABC=85°，∠CDE=150°，∠BCD=55°，求证：AB∥DE．【答案】AB∥DE．【解析】根据平行线的性质和判定证明即可．解：∵CF∥DE，∠CDE=150°，∴∠DCF=180°﹣∠CDE=180°﹣150°=30°．∵∠BCD=55°，∴∠BCF=∠BCD+∠DCF=55°+30°=85°，又∵∠ABC=85°，∴∠ABC=∠BCF，∴AB∥CF，又∵CF∥DE，∴AB∥DE．本题考查了平行线的判定与性质；熟练掌握平行线的判定与性质是解决问题的关键．【难度】3【题目】备选题目2如图，在△ABC中，CD=CA，CE⊥AD于点E，BF⊥AD于点F．求证：∠ACE=∠DBF．【答案】∠ACE=∠DBF．【解析】依据CE⊥AD，BF⊥AD，可得CE∥BF，即可得出∠DBF=∠DCE．根据∠ACE=∠DCE，即可得到∠ACE=∠DBF．证明：∵CE⊥AD，BF⊥AD，∴∠CED=∠BFD=90°．∴CE∥BF．∴∠DBF=∠DCE．∵CD=CA，CE⊥AD，∴∠ACE=∠DCE．∴∠ACE=∠DBF．本题主要考查了平行线的性质的运用，解题时注意：两直线平行，内错角相等．【难度】3【题目】备选题目3阅读下列材料：已知：如图1，直线AB∥CD，点E是AB、CD之间的一点，连接BE、DE得到∠BED．求证：∠BED=∠B+∠D．小冰是这样做的：证明：过点E作EF∥AB，则有∠BEF=∠B．∵AB∥CD，∴EF∥CD．∴∠FED=∠D．∴∠BEF+∠FED=∠B+∠D．图1即∠BED=∠B+∠D．请利用材料中的结论，完成下面的问题：已知：直线AB∥CD，直线MN分别与AB、CD交于点E、F．（1）如图2，∠BEF和∠EFD的平分线交于点G．猜想∠G的度数，并证明你的猜想；（2）如图3，EG1和EG2为∠BEF内满足∠1=∠2的两条线，分别与∠EFD的平分线交于点G1和G2．求证：∠FG1E+∠G2=180°．【答案】90°；∠FG1E+∠G2=180°【解析】（1）由材料中的结论得∠EGF=∠BEG+∠GFD，根据EG、FG分别平分∠BEF和∠EFD，得到∠BEF=2∠BEG，∠EFD=2∠GFD，由于BE∥CF到∠BEF+∠EFD=180°，于是得到2∠BEG+2∠GFD=180°，即可得到结论；（2）过点G1作G1H∥AB，由结论可得∠G2=∠1+∠3，∠EG1F=∠BEG1+∠G1FD，得到∠3=∠G2FD，由于FG2平分∠EFD，求得∠4=∠G2FD，由于∠1=∠2，于是得到∠G2=∠2+∠4，由于∠EG1F=∠BEG1+∠G1FD，得到∠EG1F+∠G2=∠2+∠4+∠BEG1+∠G1FD=∠BEF+∠EFD，然后根据平行线的性质即可得到结论．解：（1）如图2所示，猜想：∠EGF=90°；证明：由材料中的结论得∠EGF=∠BEG+∠GFD，∵EG、FG分别平分∠BEF和∠EFD，∴∠BEF=2∠BEG，∠EFD=2∠GFD，∵BE∥CF，∴∠BEF+∠EFD=180°，∴2∠BEG+2∠GFD=180°，∴∠BEG+∠GFD=90°，∵∠EGF=∠BEG+∠GFD，∴∠EGF=90°；（2）证明：如图3，过点G1作G1H∥AB，∵AB∥CD，∴G1H∥CD，由结论可得∠G2=∠1+∠3，∠EG1F=∠BEG1+∠G1FD，∴∠3=∠G2FD，∵FG2平分∠EFD，∴∠4=∠G2FD，∵∠1=∠2，∴∠G2=∠2+∠4，∵∠EG1F=∠BEG1+∠G1FD，∴∠EG1F+∠G2=∠2+∠4+∠BEG1+∠G1FD=∠BEF+∠EFD，∵AB∥CD，∴∠BEF+∠EFD=180°，∴∠EG1F+∠G2=180°．本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质定理是解题的关键．【难度】3。

北师版八上数学7.4 平行线的性质(课件)

“ ”，当两直线平行时，利用平行线的性质可以把未知角度转化为已知角度进行计算.
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1. 如图，已知 DE ∥ BC ， BE 平分∠ ABC . 若∠1＝70°，则 ∠ CBE 的度数为 35° .
⁠
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2. 如图，已知 OP ∥ QR ∥ ST . 若∠2＝100°，∠3＝120°，则 ∠1＝ 40° .
∵ AB ∥ CD ，
∴ EF ∥ CD . ∴∠ D ＝∠ DEF .
图3
∴∠ D ＋∠ BED ＝∠ DEF ＋∠ BED ＝∠ BEF ＝∠ B .
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（4）解：∠ E ＋∠ G ＝∠ B ＋∠ F ＋∠ D . （5）【解析】由规律可知，∠ E1＋∠ E2＋…＋∠ En ＝∠ B ＋ ∠ F1＋∠ F2＋…＋∠ Fn－1＋∠ D . 故答案为∠ B ＋∠ F1＋∠ F2 ＋…＋∠ Fn－1＋∠ D . 【点拨】解决此类问题时，可分别过除了 B ， D 外的每个拐角的顶点作已知平行线的平行线，利用平行线的性质解题.
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数学八年级上册 BS版
如图，已知 AB ∥ CD ，∠ BCF ＝180°， BD 平分∠ ABC ， CE 平分∠ DCF ，∠ ACE ＝90°，求证： AC ⊥ BD .
【思路导航】根据 AB ∥ CD 得到∠ ABC ＝∠ DCF ，进而由角平
分线得到∠2＝∠4，即可得到 BD ∥ CE ，从而可得∠ BGC ＝
⁠
【思路导航】根据两直线平行，同旁内角互补与∠1＝140°，可求得∠ EFC 的度数.再由 FG 平分∠ CFE ，求得∠3的度数.最后根据两直线平行，内错角相等得出∠2的度数.

八年级数学上册 7.4 平行线的性质教案 (新版)北师大版

课题：平行线的性质●教学目标：知识与技能目标：1．探索并掌握平行线的性质；2．能用平行线的性质定理进行简单的计算、证明．过程与方法目标：1．经历探索直线平行的性质的过程,掌握平行线的三条性质,并能用它们进行简单的推理和计算；2．经历观察、操作、想像、推理、交流等活动，进一步发展空间观念，推理能力和有条理表达能力.情感态度与价值观目标：1．通过对平行线性质的探究，使学生初步认识数学与现实生活的密切联系，体会科学的思想方法，激发学生探索创新精神.●重点：1．平行线性质的研究和发现过程；2．平行线性质的简单运用.难点：正确区分平行线的性质和判定.●教学流程：一、情境引入平行线的判定方法是什么？1、同位角相等，两直线平行.2、内错角相等，两直线平行.3、同旁内角互补，两直线平行.反过来，如果两条直线平行，同位角、内错角、同旁内角各有什么关系呢？如图，直线a与直线b平行.如图，直线a与直线b平行，被直线c所截.测量这些角的度数，把结果填入下表内.（1）同位角∠1 和∠5 的大小，它们有什么关系？图中还有其他同位角吗？它们的大小有什么关系？解：相等a//b∠1= ∠5，∠2= ∠6，∠3= ∠7，∠4= ∠8由此猜想：两直线平行，同位角相等（2）图中有几对内错角？它们的大小有什么关系？为什么？解：2对a//b∠4= ∠5，∠3= ∠6由此猜想：两直线平行，内错角相等（3）图中有几对同旁内角？它们的大小有什么关系？为什么？解：2对a//b ∠4+∠6=180°，∠3+∠5 =180°由此猜想：两直线平行，同旁内角互补定理1:两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等.简称：两直线平行, 同位角相等.定理2:两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等.简称：两直线平行, 内错角相等.定理3:两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补.简称：两直线平行, 同旁内角互补.目的：请学生说出自己量出各个角的度数．教师进行分类板书，并对踊跃回答问题的学生进行及时的表扬．老师引导学生注意他们量的角虽然不一样，但是总体是分为三类的，并且强调指出这种研究方法叫“测量法”．二、自主探究探究1：证明：两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等.简称：两直线平行, 同位角相等.已知：直线AB∥CD，∠1和∠2是直线AB，CD被直线EF截出的同位角.求证：∠1=∠2.证明：假设∠1≠∠2，那么我们可以过点M作直线GH，使∠EMH= ∠2，如图所示根据“同位角相等，两直线平行”，可知GH∥CD. 又因为AB∥CD，这样经过点M存在两条直线AB和GH都与直线CD平行.这与基本事实“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”相矛盾.这说明∠1≠∠2的假设不成立，所以∠1=∠2.学以致用：1.判断（1）凡是同位角都相等（）（2）两条直线被第三条直线所截，同位角相等（）解：（1）×（2）×2.如图所示,已知直线EF和AB,CD分别相交于K,H,且EG⊥AB,∠CHF=60°,∠E=30°,试说明AB∥CD。

北师大版八年级上册数学[平行线的性质知识点整理及重点题型梳理](提高版)

北师大版八年级上册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习平行线的性质知识讲解（提高）【学习目标】1. 掌握平行线的性质公理、定理，并能依据平行线的性质公理、定理进行简单的推解；2. 了解并掌握平行线的性质定理的探究过程；3.了解平行线的判定与性质的区别和联系.【要点梳理】要点一、平行线的公理、定理公理：两条平行线被第三条直线所截，得到的同位角相等.（简记为：两直线平行，同位角相等）.定理：两条平行线被第三条直线所截，得到的内错角相等（简记为：两直线平行，内错角相等）.定理：两条平行线被第三条直线所截，得到的同旁内角互补(简记为：两直线平行，同旁内角互补).要点诠释：（1）“同位角相等、内错角相等”、“同旁内角互补”都是平行线的性质的一部分内容，切不可忽视前提“两直线平行”．(2)从角的关系得到两直线平行，是平行线的判定；从平行线得到角相等或互补关系，是平行线的性质．要点二、平行线的性质定理的探究过程1.两条平行线被第三条直线所截，得到的内错角相等（简记为：两直线平行，内错角相等）.321cba因为a∥b,所以∠1=∠2（两直线平行，同位角相等），又∠3=∠1 (对顶角相等)所以∠2=∠3.2.两条平行线被第三条直线所截，得到的同旁内角互补(简记为：两直线平行，同旁内角互补).因为a∥b,所以∠3=∠2（两直线平行，内错角相等），又∠3+∠1=180°（补角的定义），所以∠2+∠1=180°.要点诠释：平行线性质定理的证明，要借助平行线线性质公理，因为公理是人们在生产和生活中总结出来的正确的结论，不需要证明，但是定理、性质或推论到的证明其正确性. 要点三、平行线的性质与判定（1）平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．（2）应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．（3）平行线的判定与性质的联系与区别区别：性质由形到数，用于推导角的关系并计算；判定由数到形，用于判定两直线平行．联系：性质与判定的已知和结论正好相反，都是角的关系与平行线相关．（4）辅助线规律，经常作出两平行线平行的直线或作出联系两直线的截线，构造出三类角．【典型例题】类型一、平行线的性质公理、定理的应用1、如图所示，把一块长方形纸片ABCD沿EF折叠，∠EFG=50°，求∠DEG和∠BGM的大小．【思路点拨】根据平行线的性质可求得∠EFC的度数，然后根据折叠的性质可知∠NFE=∠EFC，∠MEF=∠DEF，继而可求得∠DEG和∠BGM的度数．【答案与解析】解：∵AD∥BC，∠EFG=50°，∴∠EFC=180°-∠EFG=130°，由折叠的性质可知，∠NFE=∠EFC，∠MEF=∠DEF，∴∠DEG=100°，∴∠EGC=180°-100°=80°，则∠BGM=∠EGC=80°（对顶角相等）．【总结升华】本题考查了平行线的性质以及折叠的性质，解答本题的关键是由折叠的性质得出∠NFE=∠EFC，∠MEF=∠DEF．举一反三【变式】（2015•洛阳一模）如图，直线l∥m∥n，等边△ABC的顶点B，C分别在直线n和m上，边BC与直线n所夹的角为25°，则∠α的度数为度．【答案与解析】∵m∥n，边BC与直线n所夹的角为25°，∴∠BCD=25°．∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，∴∠ACD=60°﹣25°=35°．∵l∥m，∴∠α=∠ACD=35°．故答案为：35．2、如图所示，已知AB∥CD，分别探索下列四个图形中∠P与∠A，∠C的关系，请你从所得的四个关系中任选一个加以说明．【思路点拨】本题考查的是平行线的性质以及平行线的判定定理．（1），（2）都需要用到辅助线利用两直线平行，内错角相等的定理加以证明；（3），（4）是利用两直线平行，同位角相等的定理和三角形外角的性质加以证明．【答案与解析】解：（1）∠A+∠C+∠P=360；（2）∠A+∠C=∠P；（3）∠A+∠P=∠C；（4）∠C+∠P=∠A．说明理由（以第三个为例）：已知AB∥CD，根据两直线平行，同位角相等及三角形的一个外角等于两不相邻内角之和，可得∠C=∠A+∠P．【总结升华】考生应熟知平行线的有关知识点，这是中考常考的题型．3、（2015•东莞）如图，已知AB∥CD，∠A=36°，∠C=120°，求∠F-∠E的大小．【思路点拨】过E作EG∥AB，过F作FH∥AB，可以求出∠AEG与∠HFC的度数，又EG∥FH，根据两直线平行，内错角相等，∠GEF=∠EFH，所以∠F-∠E=∠HFC-∠AEG．【答案与解析】解：过E作EG∥AB，过F作FH∥AB，∴∠A=∠1，EG∥FH，∵∠A=36°，∴∠1=36°，∵AB∥CD，FH∥AB，∴FH∥CD，∴∠C+∠4=180°，∵∠C=120°，∴∠4=60°，∵EG∥FH，∴∠2=∠3，∴∠F-∠E=（∠3+∠4）-（∠1+∠2），=∠3+∠4-∠1-∠2，=∠4-∠1，=60°-36°=24°．【总结升华】本题主要考查两直线平行内错角相等和同旁内角互补的性质，作平行线把∠F、∠E分成两个角是解题的突破口，也是关键．举一反三【变式】如图，已知且l1∥l2，且l3与l1、l2分别交于A、B两点，点P在直线AB上，（1）当点P在A、B两点之间运动时，问∠1、∠2、∠3之间的数量关系，请说明理由（2）如果点P在A、B两点外侧运动时，试探究∠1，∠2，∠3之间的数量关系（点P与A、B不重合）只要写出结论即可，不必证明．【答案】解：（1）∠1+∠2=∠3；理由：如图1，过点P作l1的平行线，∵l1∥l2，∴l1∥l2∥PQ，∴∠1=∠4，∠2=∠5，∵∠4+∠5=∠3，∴∠1+∠2=∠3；（2）∠1-∠2=∠3或∠2-∠1=∠3．理由：如图2，当点P在下侧时，过点P作l1的平行线PQ，∵l1∥l2，∴l1∥l2∥PQ，∴∠2=∠4，∠1=∠3+∠4，∴∠1-∠2=∠3；当点P在上侧时，同理可得∠2-∠1=∠3．类型二、平行的性质与判定综合应用4、（2016春•玉州区期末）如图，BD丄AC 于D，EF丄AC 于F．∠AMD=∠AGF．∠1=∠2=35°（1）求∠GFC的度数：（2）求证：DM∥BC．【思路点拨】（1）由BD⊥AC，EF⊥AC，得到BD∥EF，根据平行线的性质得到∠EFG=∠1=35°，再根据角的和差关系可求∠GFC的度数；（2）根据平行线的性质得到∠2=∠CBD，等量代换得到∠1=∠CBD，根据平行线的判定定理得到GF∥BC，证得MD∥GF，根据平行线的性质即可得到结论．【答案与解析】解：（1）∵BD⊥AC，EF⊥AC，∴∠BDC=∠EFC∴BD∥EF，∴∠EFG=∠1=35°，∴∠GFC=90°+35°=125°；（2）∵BD∥EF，∴∠2=∠CBD，∴∠1=∠CBD，∴GF∥BC，∵∠AMD=∠AGF，∴MD∥GF，∴DM∥BC．【总结升华】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．举一反三【变式】如图，已知∠1+∠2=180°，∠DEF=∠A，求证：∠ACB=∠DEB．【答案】证明：∵∠2+∠BDC=180°，∠1+∠2=180°，∴∠1=∠BDC，∴EF∥AB，∴∠DEF=∠BDE，∵∠DEF=∠A，∴∠BDE=∠A，∴DE∥AC，∴∠ACB=∠DEB．5、如图，已知：∠FED=∠AHD，∠GFA=40°，∠HAQ=15°，∠ACB=70°，且AQ平分∠FAC，求证：BD∥GE∥AH．【思路点拨】由同位角∠FED=∠AHD，推知AH∥GE，再根据平行线的性质、角平分线的定义证得内错角∠HAC=55°+15°=70°=∠ACB，所以BD∥AH，最后由平行线的递进关系证得BD∥GE∥AH．【答案与解析】证明：∵∠FED=∠AHD，∴AH∥GE，∴∠GFA=∠FAH．∵∠GFA=40°，∴∠FAH=40°，∴∠FAQ=∠FAH+∠HAQ，∴∠FAQ=55°．又∵AQ平分∠FAC，∴∠QAC=∠FAQ=55°，∵∠HAC=∠QAC+∠HAQ，∴∠HAC=55°+15°=70°=∠ACB，∴BD∥AH，∴BD∥GE∥AH．【总结升华】本题考查了平行线的判定与性质．解答此题的关键是注意平行线的性质和判定定理的综合运用．。

北师大版八上数学7.4平行线的性质知识点精讲

知识点总结平行线的性质1. 两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.简单说成：两直线平行，同位角相等。

2. 两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补.简单说成：两直线平行，同旁内角互补。

3 . 两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.简单说成：两直线平行，内错角相等。

两个角的数量关系两直线的位置关系：垂直于同一直线的两条直线互相平行。

平行线间的距离，处处相等。

如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。

平行线的传递性如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.平行线间的距离两条平行线中，任意一条直线上的所有点到另一条直线的距离都是一个定值，这个定值叫做这两条平行线间的距离.★要点提示★1.由性质1推导性质2，进一步导出性质3，再运用平行线的知识得出平行线的传递性，体现了几何演绎的思想和方法，要逐步领会和掌握.2.几何学习要注意“看图说话”、“用图说话”，要逐步学会文字语言、图形语言、符号语言的转换和各自功效.如平行线的传递性，可用符号语言表示为：对于直线a、b、c，如果a∥b，b∥c，则a∥c.3.有了平行线间的距离，至此就学了几何中的三种距离：两点间的距离，点到直线的距离，两平行线间的距离.两点间的距离是两点间线段的长度，后两种都可转化为两点间的距离.两平行线间的距离是一条直线上任意点到另一条直线的距离（点到直线的距离），而点到直线的距离是该点到直线的垂线段的长度，即点到垂足（点到点）的距离.复习提纲1. 平行线的性质：性质1：两直线平行，同位角相等；性质2：两直线平行，内错角相等；性质3：两直线平行，同旁内角互补。

几何符号语言：∵AB∥CD∴∠1＝∠2（两直线平行，内错角相等）∵AB∥CD∴∠3＝∠2（两直线平行，同位角相等）∵AB∥CD∴∠4＋∠2＝180°（两直线平行，同旁内角互补）2.两直线平行的判定方法方法一两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行简称：同位角相等，两直线平行。

北师大版数学八年级上册：平行线的性质精品课件

c
已知：如图，直线a//b,∠1和
∠2是直线a,b被直线c截出的 a 同旁内角．
31
2
求证：∠1+∠2＝180°
b
证法２：ａ//b （已知）
∠3＝∠2 （两直线平行，内错角相等）
又 ∠1+∠3＝180°（补角定义）
∠1+∠2＝180°（等量代换）
北师大版数学八年级上册：平行线的性质精品课件
E 1
B
M
2 D
反证法---是一种间接的证明方法
这与基本事实”过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”相矛盾
这说明∠1≠∠2的假设不成立，所以∠1＝∠2 。
定理1：两条平行直线被第三条直线
所截，同位角相等
（简述为：两直线平行，同位角相等。)
证明：两条平行直线被第三条直线所截，
内错角相等。
北师大版数学八年级上册：平行线的性质精品课件
结束寄语
下课了!
l 一个人只要坚持不懈地追求,他就能达到目的.
北师大版数学八年级上册：平行线的性质精品课件
1 a 2 b 3 c
定理：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
（简述为：平行于同一条直线的两条直线平行）
北师大版数学八年级上册：平行线的性质精品课件
北师大版数学八年级上册：平行线的性质精品课件
练一练
1.一自行车运动员在一条公路上骑车，两次拐
弯后，和原来的方向相同（即拐弯前后的两条
c
3
已知：如图，直线a//b,∠1和 a
∠2是直线a,b被直线c截出的
1
同旁内角．
2
b
求证：∠1+∠2＝180°

北师版八年级数学上册作业课件(BS) 第七章平行线的证明平行线的性质

北师版
第七章平行线的证明
4 平行线的性质
两直线平行，同位角相等
1．(3分)(桂林中考)如图，a∥b，∠1＝50°，则∠2的度数是( B ) A.40° B．50° C．60° D．70°
2．(3分)如图，将一块三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，当∠1＝ 55°时，∠2的度数为(B )
A.25° B．35° C．45° D．55°
∠2＝∠ECD.∴∠AEC＝∠1＋∠2＝∠EAB＋∠ECD
(2)如图甲，当点E位于区域Ⅰ时，∠EMB＋∠END＋∠MEN＝360°，理由如下：过点E作EF∥AB，则EF∥AB∥CD，∴∠BME＋∠MEF＝ ∠DNE＋∠NEF＝180°.∴∠EMB＋∠END＋∠MEN＝360°；如图乙，当点E位于区域Ⅱ时，∠EMB＋∠END＝∠MEN，理由如下：过点E作 EF∥AB，则EF∥AB∥CD，∴∠BME＝∠FEM，∠DNE＝ ∠FEN.∴∠EMB＋∠END＝∠MEF＋∠NEF＝∠MEN
A．40° B．50° C．60° D．70°
9．(4分)如图，AB∥DE，AB⊥BC，∠1＝20°，则∠D＝__1_1_0_°_.
平行于同一条直线的两条直线平行 10．(7分)如图，已知∠B＝∠C，∠1＝∠D，求证：OM∥AB.
证明：∵∠B＝∠C，∴AB∥CD.又∵∠1＝∠D， ∴OM∥CD.∴OM∥AB
是( )
D
A．32° B．28° C．26° D．23°
二、填空题(每小题6分，共12分) 13．如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D，C分别落在D′，C′的位置，若∠EFB＝65°，则∠AED′等于____．50°
Hale Waihona Puke 14．(教材P177习题7.5T1变式)从汽车灯的点O处发出的一束光线经灯的反光罩反射后沿CO方向平行射出，如入射光线OA的反射光线为AB， ∠OAB＝75°.在如图所示的截面内，若入射光线OD经反光罩反射后沿DE 方向射出，且∠ODE＝22°，则∠AOD的度数是_5_3_°__或__9_7_°_．

2024八年级数学上册第七章平行线的证明4平行线的性质习题课件新版北师大版

上，点 G 在线段 CD 上， ED 与 FG 相交于点 H ，∠ C ＝
∠ EFG ，∠ CED ＝∠ GHD .
(2)试判断∠ AED 与∠ D 之间的数量关系，并说明理由；
1
2
3
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10
(2)解：∠ AED ＋∠ D ＝180°.理由如下：
∵ CE ∥ GF ，∴∠ C ＝∠ FGD .
第七章
4
平行线的证明
平行线的性质
CONTENTS
目
录
01
1星题
落实四基
02
2星题
提升四能
03
3星题
发展素养
知识点1平行线的性质
1. 如图，已知直线 a ∥ b .
(1)根据“两直线平行，同位角相等”，可得
∠1＝∠ 5
∠ 6
，∠4＝∠ 8
，∠3＝∠
1
2
3
，∠2＝
7 ；
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1. 如图，已知直线 a ∥ b .
(
C
)
A. 40°
B. 45°
C. 50°
D. 55°
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3. [2023济宁]如图， a ， b 是直尺的两边， a ∥ b ，把三角板
的直角顶点放在直尺的 b 边上，若∠1＝35°，则∠2的度
数是(
B
)
A. 35°
1
2
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4
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7
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9
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知识点2平行线的性质与判定的关系

八年级数学上册7.4_平行线的性质课件_新北师大版

8．(4分)如图，直线a⊥直线c，直线b⊥直线c，若∠1＝70°，则
∠2＝( A )Biblioteka A．70°B．90°
C．110°
D．80°
9．(6分)已知：如图，AD∥BE，∠1＝∠2，求证：∠A＝∠E. 证明：∵∠1＝∠2，∴DE∥AB，∴∠E＝∠EBC，又∵DA∥BE， ∴∠EBC＝∠A，∴∠A＝∠E
一分耕耘一分收获
一分耕耘一分收获
5．(6分)(2014·益阳)如图，EF∥BC，AC平分∠BAF，∠B＝80°. 求∠C的度数．
解：∵EF∥BC，∴∠BAF＝180°－∠B＝100°，∵AC 平分∠BAF， ∴∠CAF＝12∠BAF＝50°，∵EF∥BC，∴∠C＝∠CAF＝50°
一分耕耘一分收获
6．(4分)如图，直线a，b被直线c所截，下列说法正确的是( D ) A．当∠1＝∠2时，一定有a∥b
B．当a∥b时，一定有∠1＝∠2
C．当a∥b时，一定有∠1＋∠2＝90°
D．当∠1＋∠2＝180°时，一定有a∥b
7 ． (4 分 ) 如图， ∠ 1 与 ∠ 2 互补， ∠ 3 ＝ 135° ，则 ∠ 4 的度数是
(A ) A．45° C．65°
B．55° D．75°
一分耕耘一分收获
7.4 平行线的性质
一分耕耘一分收获
1．平行线的性质定理： (1)两条__平__行__直__线____被第三条直线所截，__同__位__角____相等． (2)两条__平__行__直__线____被第三条直线所截，___内__错__角___相等． (3)两条__平__行__直__线____被第三条直线所截，___同__旁__内__角__互__补____．
D．β＋γ－α＝180°

平行线的性质、平行线的判定与性质的综合应用北师大版八年级数学上册作业本上课课件

B
组
4. 如图，已知∠1=∠2=∠3=62°，则∠4=（ B ） A. 62° B. 118° C. 128° D. 38°
平行线的性质、平行线的判定与性质的综合应用北师大版八年级数学上册作业本上课课件
平行线的性质、平行线的判定与性质的综合应用北师大版八年级数学上册作业本上课课件
思考过程：
因为DE∥BC（已知），
所以∠3=∠EHC（两直线平行，内错角相等
）.
因为∠3=∠B（已知），
所以∠B=∠EHC（
等量代换
）.
所以AB∥EH（同位角相等，两直线平行
）.
所以∠2+ ∠4 =180°（两直线平行，同旁内角互补）.
因为∠1=∠4（
对顶角相等
），
所以∠1+∠2=180°（等量代换）.
平行线的性质、平行线的判定与性质的综合应用北师大版八年级数学上册作业本上课课件
平行线的性质、平行线的判定与性质的综合应用北师大版八年级数学上册作业本上课课件
（1）按小明的思路，易求得∠APC的度数为
；
请说明理由；
解：（1）∵AB∥CD， ∴PE∥AB∥CD. ∴∠A+∠APE=180°，∠C+∠CPE=180°. ∵∠PAB=130°，∠PCD=120°， ∴∠APE=50°，∠CPE=60°. ∴∠APC=∠APE+∠CPE=110°.故答案为110°.
3. 在括号内填写理由. 如图，已知∠B+∠BCD=180°，∠B=∠D. 求证：∠E=∠DFE.
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