《指数函数比较大小》专题
指数函数比较大小与单调性
指数函数比较大小与单调性
设，函数在区间上的最大值是最小值的倍，则（
A．2 B．3 C．D．4 6，7，的大小顺序是（
A．0．7<< 6B．0．7<6<
C．<0．7<6D．<6<0．7
设，，，则（
A．B．C．D．
已知三个实数：、、，它们之间的大小关系是
A．B．C．D．
若，则（
A．B．C．D．
函数在上的最大值与最小值的和为，则函数在的最大值是（
A．B．C．
D．
三个数之间的大小关系是（
A．B．C．D．
设，则
A．c＞a＞b B．b＞a＞c C．a＞b＞c D．a＞c＞b 下图是指数函数的图象，则与的大小关
A．a＜b＜1＜c＜d B．
C．1＜a＜b＜c＜d D．a＜b＜1＜d＜c
当且时，函数的图象一定经过点（
A．B．C．D．设，则的大小关系是（
A．B．C．D．已知，，，则
A．B．C．D．
13. 的大小关系是（
A．B．C．D．三个数的大小关系为（
A．
B．
C．
D．
函数的图象必经过点（
A．（0，1）B．（1，1）C．（2， 0）D．（2，2）0< <1，则函数的图象必定不经过（
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限函数的图象必经过定点
设，，，则从小到大的顺序是
函数的图像恒过定点
若函数恒过定点，则_____________.
已知，那么、、的大小关系为（用号表示）。
如果指数函数在上的最大值与最小值的差为，则实数
满足的的取值集合是
已知函数在区间上的函数值总小于求的。
专题04比较大小(解析版)
《比较大小》专项突破高考定位比较大小题型每年必考，而且以多种形式出现，可以囊括高中各部分知识，综合性极强，该题型很好的考察了学生的综合素养。
考点解析（1）特殊值法（2）单调性法（3)基本不等式法（4）放缩法（5）图像法（6）作差法（7）作商法（8）构造法（9）反证法题型解析类型一、特殊值法例1-1．已知111,,,a b a M a N a P b a b <<===，则,,M N P 的大小关系正确的为（） A ．N M P << B ．P M N <<C ．M P N <<D ．P N M <<【答案】B【分析】根据指数函数与幂函数的单调性即可求解.【详解】 解：111a b <<，01b a ∴<<<，∴指数函数x y a =在R 上单调递减，b a a a ∴>，即N M >，又幂函数a y x =在()0,∞+上单调递增，a a ab ∴>，即M P >，N M P ∴>>，故选：B.例1-2．设02x π<<，记lnsin a x =，sin b x =，sin x c e =，则比较a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．b c a << 【答案】A【分析】 根据02x π<<，得到()sin 0,1b x =∈，再利用对数函数和指数函数的性质判断.【详解】 因为02x π<<，所以()sin 0,1b x =∈，lnsin 0a x =<，sin 1x c e =>，所以a b c <<，故选：A例1-3．已知()()2221,2,2,2,2x x xx a b c ∈===，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．a b c >>B ．b c a >>C ．b a c >>D ．c a b >> 【答案】B【分析】根据指数函数的单调性，将问题转化为比较当()1,2x ∈时2,2,2x x x 的大小，利用特值法即可求得结果.【详解】因为()2222x x b ==，函数2x y =是单调增函数，所以比较a ，b ，c 的大小，只需比较当()1,2x ∈时2,2,2x x x 的大小即可.用特殊值法，取 1.5x =，容易知3222.25,23,22x x x ===，再对其均平方得()()()2222232.25 5.0625,29,228x x x =====， 显然()()()22232229228 2.25 5.0625x x x =>==>==， 所以222x x x >>，所以b c a >>故选：B.【点睛】本题考查利用指数函数的单调性比较指数式的大小关系，属基础题.本题解题的关键在于将问题转化为比较当()1,2x ∈时2,2,2x x x 的大小，再通过特殊值法即可得答案.例1-4．设0x y >>，1x y +=，若1ya x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1log xyb xy ⎛⎫ ⎪⎝⎭=，1log yc x =，则实数a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．b c a <<D ．c b a <<【答案】C【分析】利用0x y >>，1x y +=可知01y x <<<，结合不等式性质知11x >，01xy <<，1111xy y x >>>，再利用指数函数、对数函数的性质直接求解．【详解】 0x y >>，1x y +=，01y x ∴<<<利用不等式性质可知11x>，01xy <<，1111xy y x >>>， ∴011()()1y a x x=>=，1()log 10xy b xy ==-<，111log 1log log 1y y y c x y =>>=-， ∴实数a ，b ，c 的大小关系为b c a <<．故选：C.【点睛】方法点睛：本题考查指数对数的大小判断，判断方法：解题时要根据实际情况来构造相应的函数，利用函数单调性进行比较，如果指数相同，而底数不同则构造幂函数，若底数相同而指数不同则构造指数函数，若引入中间量，一般选0或1，考查学生的转化能力，属于基础题.类型二、单调性法例2-1．设233344443,,332a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则,,a b c 的大小关系是（ ） A ．a c b >>B ．a b c >>C ．c b a >>D ．b c a >> 【答案】C【分析】 根据指数函数43⎛⎫= ⎪⎝⎭x y 与幂函数34y x =的单调性判断,,a b c 的大小关系. 【详解】 因为函数43⎛⎫= ⎪⎝⎭x y 在R 上是增函数，所以23344433<⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即a b <，又因为函数34y x =在(0,)+∞上是增函数，所以33444332⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以b c <，故a b c <<.故选：C练．已知 4.10.90.1445,,554a b c -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则这三个数的大小关系为（ ） A ．a c b >>B ．b c a >>C ．c a b >>D ．c b a >> 【答案】B【分析】 利用指数函数的单调性即可比较大小.【详解】0.90.94554b -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 因为54xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递增﹐则1b c >>， 又 4.1044155a ⎛⎫⎛⎫=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故b c a >>.故选：B.练．设3log πa =，32log 2b =，1ln e 4c =，则a ，b ，c 大小关系为（ ）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c b a >>D ．c a b >> 【答案】B【分析】根据指数函数、对数函数的性质判断可得；【详解】解：因为1ln ln10e<=，所以1ln 0e 0441<<=，即01c <<，又2333332log 2log 2log 4log log 31π==>>=，即1b a >>，所以b a c >>；故选：B类型三、简单同构法（同底、同指、同真、同分母、同分子等）例3-1．已知43a =，3log 4b =，0.13c -=，则a 、b 、c 的大小关系为（ ） A ．a b c >>B ．c b a >>C ．b a c >>D ．a c b >> 【答案】A【分析】 首先根据题意得到4333log 3log 4>，从而得到a b >，又根据3log 41b =>，100.313c -<==，从而得到b c >，即可得到答案.【详解】 因为4334log 33a ==， 344333=3=81464⎛⎫>= ⎪⎝⎭， 所以4333log 3log 4>，即a b >.又因为33log 4log 31b =>=，100.313c -<==，即b c >，所以a b c >>.故选：A练．已知2516log 3,log 9,0.3a a b c -===，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a >b >cB ．a >c >bC ．c >a >bD ．c >b >a【答案】D【分析】 利用对数运算、指数运算化简,b c ，结合对数函数的性质比较三者的大小关系.【详解】22444log 3log 3log 41b ==<=，所以01a b <<<，5555325log log log 5253log 32231010100.30.3110333a c --⎛⎫⎛⎫⎛⎫====>=> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以cb a >>.故选：D例3-2．已知ln 22a =，ln33b =，ln 55c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b a c <<D ．c a b <<【答案】D【分析】运用比差法分别比较,a b 与,a c ，进而可得结果.【详解】 因为ln 2ln 33ln 22ln 3ln8ln 902366a b ---=-==<，所以a b <； 又ln 2ln 55ln 22ln 5ln 32ln 250251010a c ---=-==>，所以a c >， 所以c ab <<.故选：D.练．已知12019ln 20202020a =+，12020ln 20212021b =+，12021ln 20222022c =+，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c b a >>D ．c a b >>【答案】A【分析】根据三个数的形式，构造函数，利用导数判断函数的单调性，最后根据单调性进行比较大小即可.【详解】构造函数()ln 1f x x x =+-，()111x f x x x -'=-=，当01x <<时，()0f x '>， ()f x 单调递增，所以111202*********f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，a b c >>. 故选：A练．已知ln 22a =，1b e =，ln 33c =，则a 、b 、c 的大小关系为（ ） A ．b c a <<B ．c a b <<C ．a c b <<D ．c b a << 【答案】C【分析】结合导数求()ln x f x x=的单调性，可判断,b a b c >>，令a c -，结合对数的运算性质可判断出c a >，从而可选出正确答案.【详解】解：设()ln x f x x =，则()21ln x f x x-'=，当0x e <<时，()0f x '>； 当x e >时，()0f x '<，则()f x 在()0,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减，则当x e =时，()max ln 1e f x e e ==，即,b a b c >>； ln 2ln 33ln 22ln 3ln8ln 902366a c ---=-==<，则c a >，所以bc a >>， 故选：C ．【点睛】思路点睛：比较几个数的大小关系时，常用的思路是：1、求出函数的单调性，结合增减性进行判断；2、利用作差法，判断两数与零的关系；3、利用作商法，判断两数与1的关系.练．已知7log 22a =，7log 33b =，7log 66c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c >>B ．b a c >>C ．a c b >>D ．b c a >> 【答案】B【分析】先把a 、b 、c 化为“同构”形式，利用函数的单调性判断大小.【详解】∵log log m a a m b b =， ∵777log lo 6g 23g 2826lo a ===， 777log 3lo 6g 2g 3936lo b ===7log 66c = 因为7log y x =为增函数，所以777log 6log 8log 9<<，所以b a c >>.故选：B【点睛】指、对数比较大小：（1）结构相同的，构造函数，利用函数的单调性比较大小；（2）结构不同的，寻找“中间桥梁”，通常与0、1比较.练．已知e a =，33log e b =，5ln 5c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．c a b <<B ．a c b <<C ．b c a <<D ．a b c <<【答案】D【分析】 设()ln x f x x =，e x ≥，利用导数判断函数的单调性，利用函数的单调性比较函数值的大小； 【详解】解：设()ln x f x x=，e x ≥，则()2ln 10(ln )x f x x -'=≥恒成立，∵函数()f x 在[e )+∞，上单调递增，又(e)a f =，333log e (3)ln 3b f ===，5(5)ln 5c f ==，∵e 35<<，()()()e 35f f f ∴<<，∵a b c <<，故选：D . 例3-3．已知0a b c d <<<<，若c a a c =，则d b 与b d 的大小关系为（ ）A ．d b b d <B ．d b b d =C ．d b b d >D ．不确定【分析】由c a a c =得ln ln a c a c =，构造新函数ln x y x =，利用导数讨论ln x y x =的单调性，从而判断出ln ln ln b c d b c d >>，即可 得到d bb d >.【详解】因为c a a c =，所以ln ln c a a c =，即ln ln aca c =， 设ln x y x =，则21ln x y x -'=，令21ln xy x -'==0，得x e =，当(0,)x e ∈时，0y '>，ln xy x =单调递增，当(,)x e ∈+∞时，0y '<，ln xy x =单调递减； 因为ln ln aca c =，0abcd <<<<，所以ae c <<， 所以ln ln ln b cdb c d >>，即d b b d >.故选：C.【点睛】指、对数比较大小：（1）结构相同的，构造函数，利用函数的单调性比较大小；（2）结构不同的，寻找“中间桥梁”，通常与0、1比较.练．若e a =π，3e b =，3c π=，则a ，b ，c 的大小关系为（） A ．b a c << B ．a b c << C ．c a b <<D ．b c a << 【答案】A首先利用指数函数和幂函数的单调性得到b c <和a b >，再构造函数，利用导数得到函数的单调性得到a c <，即可得到答案.【详解】因为3x y =在R 上为增函数，所以33e π<，即b c <.因为e y x =在(0,)+∞为增函数，所以3e e π>，即a b >. 设ln ()x f x x=， 21ln ()x f x x -'=，令()0f x '=，x e =. (0,)x e ∈，()0f x '>，()f x 为增函数，(,)x e ∈+∞，()0f x '<，()f x 为减函数.则()(3)f f π<，即ln ln 33ππ<，因此3ln ln3ππ<， 即3ln ln 3ππ<，33ππ<.又33e πππ<<，所以a c <.所以b a c <<.故选：A【点睛】本题主要考查指数和幂的比较大小，利用导数得到函数的单调性来比较大小为解决本题的关键，属于中档题.练．已知5ln 4a π=，4ln5b π=，45ln c π=，则a ，b ，c 的大小关系是A ．c b a <<B ．c a b <<C ．b a c <<D ．a b c <<【答案】C令ln ()()x f x x e x=≥，利用导数研究函数的单调性即可得出a ，b ，c 的大小关系. 【详解】 解：令ln ()()x f x x e x =≥，21ln ()x f x x -'=， 可得函数()f x 在(),e +∞上单调递减，ln 4ln 5,5ln 44ln 5,45a b ππππ∴>∴>∴>， 同理可得：44ln ln 4,4ln ln 4,4,5ln 5ln 4,4c a ππππππππ>∴>∴>∴>∴>， ∵b a c <<.故选：C.【点睛】 本题考查了利用导数研究函数的单调性、对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.类型四、中间量例4-1．若0.80.2a =，0.20.8b =，0.31.1c =，lg0.2d =，则a ，b ，c ，d 的大小关系是（ ） A ．c b a d >>>B ．c a b d >>>C ．b c a d >>>D ．a c b d >>>【答案】A【分析】由指数函数、幂函数以及对数函数的单调性比较大小即可.【详解】由指数函数的单调性知：0.20.80.20.2>，0.301.1 1.11>=由幂函数的单调性知：0.20.20.80.2>，所以0.20.20.810.80.20.20c b a >>=>>=>，又由对数函数的单调性可知：lg 0.2lg10d =<=综上有：c b a d >>>.故选：A例4-2．已知1253a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，2log 5b =，3log 7c =，则a ，b ，c 的大小顺序是（ ） A ．a b c >>B ．c a b >>C ．c b a >>D ．b c a >> 【答案】D【分析】 由11225335-⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，22log 5log 4>，333log 3log 7log 9<<判断.【详解】 因为112253135a -⎛⎫⎛⎫==< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，22log 5log 42b =>=，3331log 3log 7log 92c =<=<=，所以b c a >>故选：D练．已知a =b =2log 3c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．b a c >>B ．a c b >>C ．a b c >>D ．b c a >>【答案】C【分析】根据指数运算与对数的性质，求得2a >，2b <，12c <<，再结合22log log 3b c ==，利用对数函数的单调性，即可求解.【详解】根据指数运算与对数运算的性质，可得122a =>=，2b =<，2log 3(1,2)c =∈，设22log log 3b c =，因为函数2log y x =为增函数，由于8523>，所以b c >，所以a b c >>.故选：C.练．已知0.352,ln 2,2a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．a b c >>B ．c b a >>C ．b c a >>D ．c a b >> 【答案】B【分析】根据指数式与对数式互化公式，结合指数函数和对数函数的性质进行判断即可.【详解】由51log 2log log 522a a a =⇒==<，由112b >>>，0.312c =>，所以c b a >>， 故选：B类型五、放缩法例5-1．若1(,1)x e -∈，ln a x =，ln 1()2x b =，ln 2x c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．c b a >>B ．b a c >>C ．a b c >>D ．b c a >>【答案】D【分析】 先利用ln y x =的单调性求出a 值范围；再利用2x y =的单调性比较b 和c 的大小而得解.【详解】因1(,1)x e -∈，且函数ln y x =是增函数，于是10a -<<；函数2x y =是增函数，1ln 0ln 1x x -<<<-<，而ln ln 1()22x x -=，则ln 11()22x <<，ln 1212x <<，即1122c b <<<<， 综上得：b c a >>故选：D练．设02x π<<，记lnsin a x =，sin b x =，sin x c e =，则比较a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．b c a << 【答案】A【分析】 根据02x π<<，得到()sin 0,1b x =∈，再利用对数函数和指数函数的性质判断.【详解】 因为02x π<<，所以()sin 0,1b x =∈，lnsin 0a x =<，sin 1x c e =>，所以a b c <<，故选：A练．已知sin3a =，3log sin 3b =，sin33c =，则a ，b ，c 的大小关系是（） A ．a b c >> B ．b a c >>C ．c a b >>D ．c b a >>【答案】C【分析】利用指数函数、对数函数以及三角函数值即可得出选项.【详解】 因为32ππ<<，所以()sin30,1a =∈，33log sin 3log 10b =<=，sin30331c =>=，所以c a b >>.故选：C练．已知0.32=a ， 1.12.3b =，3log 6c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．c a b <<B ．c b a <<C ．a c b <<D ．b c a <<【答案】C【分析】根据指数函数，对数函数的单调性来判断数值大小.【详解】由对数及指数的单调性知：0.30.522 1.414a =<=， 1.12.3 2.3b =>，332log 6log 1.5c >=>，所以a ，b ，c 的大小关系为a c b <<.故选：C.类型六、比较法例6-1作差法．设2log 3a =，32log 2b =，32log 2c =-，则a ，b ，c 的大小顺序为（ ）A ．b c a <<B ．c b a <<C ．a b c <<D ．b a c <<【答案】A【分析】 先通过变形3339log 9log 2log 2c =-=，而332log 2log 4b ==，故可判断,b c 大小，再作差利用基本不等式有23log 3log 2220a c -=+->=即可得解.【详解】 由33333392log 2log 9log 2log log 42log 22c b =-=-=>==，23log 3log 222220a c -=+->>-=，所以a c >，所以a c b >>，故选：A.【点睛】本题考查了对数函数的比较大小，对数函数的比较大小是高考中重点考查对象，考查了利用中间量以及作差法比较大小，考查了变形转化以及对数的运算能力，比较大小有以下几种方法：（1）利用函数单调性比较大小；（2）中间量法比较大小；（3）作差法、作商法比较大小.例6-2作商法．已知0.75a =，52log 2=b ，21log 32=c ，则a 、b 、c 的大小关系是（ ） A ．a c b <<B ．a b c <<C ．b a c <<D ．c b a <<【答案】A【分析】 根据对数的运算法则及性质比较,b c 与a 的大小，利用作商法比较,b c 的大小.【详解】 由30.754a ==, 因为3444(5)1254256=<=，故3454<，所以3455log 5log 4a b =<=，因为3444(2)89=<=，故342<所以3422log 2log a c =<= 因为58165>，故85165>，因为5832<，故8532<， 所以8555558225222log 24log 2log 16log 511log 3log 3log 3log 22b c ===>=， 所以b c >，故a c b <<，故选：A【点睛】关键点点睛：根据对数的运算性质将a 写成对数345log 5，342log 2，利用函数的单调性比较真数大小即可，利用作商及放缩的方法可得,b c 的大小，属于较难题目. 练．已知1ln 23a =，24log 25b =，25log 26c =，则a ，b ，c 的大小关系为 A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c b a >>D ．b c a >> 【答案】D【分析】 先由题，易知1ln 231a =<，而2425log 251,?log 261b c =>=>，再将b ，c 作商，利用对数的运算以及基本不等式，求得比值与1作比较即可得出答案.【详解】 因为1ln 02<，故1ln 231a =< 2425log 251,?log 261b c =>=>2225252525252524log 26log 26log 241log 26log 24()[log (251)(251)]1log 2524c b +==⋅<=+⋅-< 所以c b < ，即b c a >>故选D【点睛】本题考查了对数的运算以及基本不等式的综合，解题的关键是在于运算的技巧以及性质，属于中档偏上题型.类型七、图像法例7-1．若()122211log ,0,222a b c a b b c -⎛⎫⎛⎫==>= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则,,a b c 的大小关系是（ ） A ．c a b <<B ．c b a <<C ．a c b <<D ．b c a <<【答案】B【分析】 分别画出函数1221(),log ,2x y y x y x ===的图象，由图象交点坐标，即可判断得出,,a b c 的大小关系.【详解】分别画出函数1221(),log ,2x y y x y x ===的图象，如图所示， 由图象，可得c b a <<.故选：B.练．若44log x x -=，144log y y =，44log 0z z -+=，则实数x ，y ，z 的大小关系为（ ） A ．x y z <<B ．z y x <<C ．z x y <<D ．y z x <<【答案】D【分析】 利用指数与对数函数的单调性，确定各方程根的范围，进而比较它们的大小.【详解】对于44log x x -=，由()4x f x -=与4()log g x x =有交点，()f x 过一、二象限，()g x 过一、四象限，∵()f x 与()g x 的交点必在第一象限且()f x 单调递减、()g x 单调递增，而1(1)(1)04f g =>=，11(2)(2)162f g =<=，可得()1,2x ∈，对于144log y y =，由()4y m y =与14()log n y y =有交点，()m y 过一、二象限，()n y 过一、四象限，∵()m y 与()n y 的交点必在第一象限且()m y 单调递增、()n y 单调递减，而(0)1m =，0lim ()y n y +→→+∞，111()2()222m n =>=，可得10,2y ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 对于44log 0z z -+=，显然有12z =， ∵x ，y ，z 的大小关系为y z x <<，故选：D.例7-2．已知,,(0,)a b c ∈+∞，且ln 1a a =-，ln 1b b =，e 1c c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．c b a <<B ．a b c <<C ．c a b <<D ．b a c <<【答案】C【分析】由题意可得ln 1a a =-，1ln b b =，1e c c =.依次作出e x y =，ln y x =，1y x =-，1y x =在(0,)+∞上的图像，然后根据函数图像可求得答案【详解】ln 1a a =-，1ln b b =，1e c c =.依次作出e x y =，ln y x =，1y x =-，1y x =在(0,)+∞上的图像，如图所示.由图像可知01c <<，1a =，1b >，所以c a b <<.故选：C.练．正实数a ，b ，c 满足22a a -+=，33b b +=，4log 4c c +=，则实数a ，b ，c 之间的大小关系为（ ）A ．b a c <<B ．a b c <<C ．a c b <<D ．b c a <<【答案】A【分析】将22a a -+=，33b b +=，4log 4c c +=，转化为函数13x y =+，122x y =+，4log y x =与4y x =-的图象交点的横坐标，利用数形结合法求解.【详解】4log 4c c +=4log 4c c ⇒=-，即c 为函数4log y x =与4y x =-的图象交点的横坐标，33b b +=134b b ⇒+=-，即b 为函数13x y =+与4y x =-的图象交点的横坐标，22a a -+=1242a a ⇒+=-，即a 为函数122x y =+与4y x =-的图象交点的横坐标， 在同一坐标系中画出图象，如图所示：由图象可知：b a c <<.故选：A.练．已知5630x y ==，log x z y =，则x ，y ，z 的大小关系为（ ）A ．x y z <<B ．z y x <<C ．y x z <<D ．z x y <<【答案】B【分析】首先对5630x y ==取对数，可比较x ，y 的大小关系，利用对数的运算判断,x y 与1的大小关系，即可利用单调性判断z 的范围，进而可得出x ，y ，z 的大小关系.【详解】对5630x y ==两边同时取常用对数可得lg 5lg 6lg 30x y ==, 所以lg 30lg 5x =，lg 30lg 6y =， 因为lg y x =在()0,∞+单调递增，所以0lg5lg6<<，所以lg30lg30lg5lg 6>，即x y >， 又因为5lg30lg5lg 61log 61lg5lg5x +===+>， 6lg30lg5lg 61log 51lg 6lg 6y +===+>， 所以0log log 1x x z y x <=<=，所以z y x <<.故选：B.【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是取对数判断x ，y 的大小关系，判断x 与1的关系利用单调性得出z 的范围.类型八、方程中隐含条件例8-1．已知正数x ，y ，z 满足ln z x y ye zx ==，则x ，y ，z 的大小关系为（ ） A ．x y z >>B ．y x z >>C ．x z y >>D ．以上均不对【答案】A【分析】将z 看成常数，然后根据题意表示出,x y ，再作差比较出大小即可【详解】解：由ln z x y ye zx ==，得ln x y zx =，则ln z y =，得z y e =， 所以z ze e zx ⋅=，所以2ze x z =，令()(0)z f z e z z =->，则()10z f z e -'=>，所以函数()f z 在(0,)+∞上单调递增，所以0()(0)01f z f e >=-=，所以z e z >，即y z > 所以22()0z z z z z z e e ze e e z x y e z z z---=-==>， 所以x y >，综上x y z >>，故选：A练．设正实数a ，b ，c ，满足2ln 2a c e b b ce ===，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b a c <<【答案】B【分析】通过构造函数()(0)x f x xe x =>，利用导数判断函数的单调性，并判断c 的范围，通过变形得c b e =，得,b c 的大小关系，再直接解方程求a 的范围，最后三个数比较大小.【详解】设()(0)x f x xe x =>，0x >时，()()10x f x x e '=+>恒成立，()f x 在(0,)+∞单调递增，1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()f x e ⎫∈⎪⎝⎭，2<，所以1,12c ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，ln ln ln b c b b b e ce =⋅=，故ln b c =，即)c b e e =∈，而ln 2122a =<，所以a c b <<． 故选：B【点睛】关键点点睛：本题的关键是构造函数()(0)x f x xe x =>，并且根据指对互化ln ln ln b b b b e =⋅，这样根据单调性可得ln b c =.练．设x ，y ，z 为正实数，且235log log log 1x y z ==>，则2x ，3y ，5z 的大小关系是（ ） A ．532z y x << B ．235x y z << C ．325y x z << D ．235x y z == 【答案】B【分析】,,x y z 为正实数，且235log log log 1x y z k ===>，可得：22,33,55k k k x y z =>=>=>,然后变形，构造函数，利用幂函数的单调性即可得出．【详解】,,x y z 为正实数，且235log log log 1x y z k ===>，可得22,33,55k k k x y z =>=>=>． ∵11121,31,51235k k k x y z ---=>=>=>， 令()1k f x x -=，又()f x 在()0+∞，上单调递增， ∵()()()532f f f >>，即532z y x >>， 故选：B ．【点睛】 关键点睛：本题的关键是指数式与对数式的互化、构造幂函数并运用其的单调性． 例8-2．已知a 、b 、c 均为不等于1的正实数，且ln ln a c b =，ln ln c b a =，则a 、b 、c 的大小关系是（ ）A ．c a b >>B ．b c a >>C ．a b c >>D ．a c b >>【答案】A【分析】分析可知，ln a 、ln b 、ln c 同号，分a 、b 、()0,1c ∈和a 、b 、()1,c ∈+∞两种情况讨论，结合对数函数的单调性可得出a 、b 、c 的大小关系.【详解】ln ln a c b =，ln ln c b a =，且a 、b 、c 均为不等于1的正实数， 则ln a 与ln b 同号，ln c 与ln a 同号，从而ln a 、ln b 、ln c 同号.∵若a 、b 、()0,1c ∈，则ln a 、ln b 、ln c 均为负数，ln ln ln a c b b =>，可得a b >，ln ln ln c b a a =>，可得c a >，此时c a b >>；∵若a 、b 、()1,c ∈+∞，则ln a 、ln b 、ln c 均为正数，ln ln ln a c b b =>，可得a b >，ln ln ln c b a a =>，可得c a >，此时c a b >>.综上所述，c a b >>.故选：A.【点睛】思路点睛：解答比较函数值大小问题，常见的思路有两个：（1）判断各个数值所在的区间；（2）利用函数的单调性直接解答.数值比较多的比较大小问题也也可以利用两种方法的综合应用.练．已知大于1的三个实数,,a b c 满足2(lg )2lg lg lg lg 0a a b b c -+=，则,,a b c 的大小关系不可能是（ ）A ．a b c ==B ．a b c >>C ．b c a >>D ．b a c >> 【答案】D【分析】令()22lg lg lg f x x x b b c =-+，则lg a 为()f x 的零点，根据判别式可得b c ≥，就b c =和b c >分类讨论后可得,,a b c 的大小关系.【详解】令()22lg lg lg f x x x b b c =-+，则lg a 为()f x 的零点且该函数图象的对称轴为lg x b =，故24lg 4lg lg 0b b c ∆=-≥，因为1,1b c >>，故lg 0,lg 0b c >>，所以lg lg b c ≥即b c ≥.又()()()()22lg lg lg lg lg lg lg ,lg lg lg lg lg lg lg f b b c b b c b f c c b c c c b =-=-=-=-，若b c =，则()()lg lg 0f b f c ==，故lg lg lg a b c ==即b c =.若b c >，则()()lg 0,lg 0f b f c <<，所以lg lg a c <或者lg lg b a <，即a c b <<或a b c >>.故选：D.【点睛】本题考查二次函数的零点，注意先根据方程的形式构建二次函数，再利用零点存在定理来讨论，注意合理分类，本题为中档题.例8-3．已知22,32a b a b +=+=，则lg b a 与lg a b 的大小关系是（ ）A ．lg lg b a a b <B ．lg lg b a a b =C ．lg lg b a a b >D ．不确定【答案】C【分析】 令()()2,3x x f x x g x x =+=+，结合题意可知01b a <<<，进而有b b a a b b >>，再利用对数函数的单调性和运算性质即可求解【详解】令()()2,3x x f x x g x x =+=+，则当0x >时，()()g x f x >，当0x <时，()()g x f x <；由22,32a b a b +=+=，得()()2,2f a g b ==考虑到()()2f a g b ==得01b a <<<，b b a a b b ∴>>由b a a b >，得()()lg lg b aab >， 即lg lg b a a b >故选：C练．设实数a ，b 满足51118a b a +=，7915a b b +=，则a ，b 的大小关系为（ ） A ．a b <B ．a b =C ．a b >D ．无法比较 【答案】A【分析】从选项A 或C 出发，分析其对立面，推理导出矛盾结果或成立的结果即可得解.【详解】假设a b ≥，则1111a b ≥，77a b ≥，由51118a b a +=得51151118()()11818a a a a a +≥⇒+≥， 因函数511()()()1818x x f x =+在R 上单调递减，又51116(1)1181818f =+=<，则()1(1)f a f ≥>，所以1a <；由7915a b a +=得797915()()11515b b b b b +≤⇒+≤， 因函数79()()()1515x x g x =+在R 上单调递减，又7916(1)1151515g =+=>，则()1(1)g b g ≤<，所以1b >；即有1a b <<与假设a b ≥矛盾，所以a b <，故选：A【点睛】思路点睛：应用反证法解决问题时必须先否定结论，把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推理，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法．巩固训练（精选以一敌百）1．（多选）（2022·全国·高三期中）已知a ，b 为正数，且1a b -=，则（ ） A ．221a b +<B ．331a b ->C ．222log log 2-<a bD ．211b b a+> 【答案】BD【详解】由于1a b -=，取1,2b a ==，代入四个选项对于A ：221a b +<，左边2251a b +=>故A 错误；对于C ，222log log 2a b -=，故C 错误2．（多选）（2022·江苏·南京市第一中学高三期中）已知实数,,x y z 满足ln 1y z x z e ⋅=⋅=.则下列关系式中可能成立的是（ ）A ．x y z >>B ．x z y >>C ．z x y >>D ．z y x >> 【答案】ABC 设1ln y x e k z ===，0k >，则k x e =，ln y k =，1z k=，画出函数图象，如图所示：当1k x =时，z x y >>；当2k x =时，x z y >>；当3k x =时，x y z >>； 故选：ABC。
指数函数比较大小及复合函数的单调性测试题(含答案)
指数函数比较大小及复合函数的单调性一、单选题(共8道，每道12分)1.已知实数a，b满足，则( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：指数函数单调性的应用2.设，则这三个数的大小关系是( )A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>bD.a>c>b答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：指数函数的图象与性质3.已知，这三个数的大小关系是( )A.b<a<cB.c<a<bC.a<b<cD.c<b<a答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：指数函数的图象与性质4.设，那么( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：指数函数单调性的应用5.函数的单调递减区间是( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：指数型复合函数的性质及应用6.若函数，满足，则的单调递减区间是( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：指数型复合函数的性质及应用7.函数，在上的最大值和最小值之和是5，则a＝( )A. B.C.2D.4答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：指数函数单调性的应用8.函数的单调递增区间与值域相同，则实数a的值是( )A.﹣2B.2C.﹣1D.1答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：指数型复合函数的性质及应用。
幂函数指数函数对数函数比较大小 ppt课件
（1）定义域：R （2）值域：（0， +）
（3）单调性：当01时，指数函数在定义域上是减函数 当1时，指数函数在定义域上是增函数
（4）奇偶性：非奇非偶
幂函数指数函数对数函数比较大小
幂函数指数函数对数函数比较大小
幂函数指数函数对数函数比较大小 Nhomakorabea精品资料
• 你怎么称呼老师？
• 如果老师最后没有总结一节课的重点的难点，你 是否会认为老师的教学方法需要改进？
• 你所经历的课堂，是讲座式还是讨论式？ • 教师的教鞭
• “不怕太阳晒，也不怕那风雨狂，只怕先生骂我 笨，没有学问无颜见爹娘 ……”
不同底数的指数函数比较大小
不同底数的指数函数比较大小【最新版】目录1.指数函数的定义和性质2.比较不同底数的指数函数大小的方法3.具体举例说明正文1.指数函数的定义和性质指数函数是一种以正实数为底，以实数为指数的函数。
其定义为：y = a^x，其中 a 为底数，x 为指数，y 为函数值。
指数函数具有以下性质：- 当 a>1 时，函数为增函数，即 x1<x2 时，a^(x1)<a^(x2)；- 当 0<a<1 时，函数为减函数，即 x1<x2 时，a^(x1)>a^(x2)；- 当 a=1 时，函数为常函数，即 y=1。
2.比较不同底数的指数函数大小的方法当底数不同时，指数函数的大小比较需要通过底数和指数的关系来判断。
- 当底数 a>1 时，指数函数 y=a^x 为增函数，即 x1<x2 时，a^(x1)<a^(x2)。
因此，当比较 a^x 和 b^x（a>1，b>1）时，如果 x 相同，则 a>b 时，a^x>b^x；如果 x 不同，则需要比较 a^x 和 b^x 的指数部分，即比较 x*log_a 和 x*log_b 的大小。
- 当底数 0<a<1 时，指数函数 y=a^x 为减函数，即 x1<x2 时，a^(x1)>a^(x2)。
因此，当比较 a^x 和 b^x（0<a<1，0<b<1）时，如果 x 相同，则 a<b 时，a^x>b^x；如果 x 不同，则需要比较 a^x 和 b^x 的指数部分，即比较 x*log_a 和 x*log_b 的大小。
3.具体举例说明假设我们需要比较以下两个指数函数的大小：y1 = 2^x 和 y2 = 3^x。
- 当 x=0 时，y1=y2=1；- 当 x=1 时，y1=2，y2=3，此时 y2>y1；- 当 x=2 时，y1=4，y2=9，此时 y2>y1；- 当 x 趋近于无穷大时，y1 和 y2 都趋近于无穷大，但 y2 的增长速度更快。
函数比较大小专题40道-带答案
x
，所以
ln
x 2
ln
x
x x
；又因为
ln x 2 x2
ln x x
2 ln
x x ln x2
x
0
(ln x )2
，所以 x
ln x x
ln x2 x2
，故应选
A.
考点：1、导数在研究函数的单调性中的应用.
5．A
【解析】
，
，故函数 在 是单调减函数，
又
，
6．B
，故选 A.
【解析】由题得， a log5 2 ， b ln2， c
合运用了函数的奇偶性，属于中档题．
12．A
【解析】
【分析】
根据函数解析式可判断出函数为偶函数且在
上单调递增；将 的自变量都转化
到
内，通过比较自变量大小得到
【详解】
的大小关系.
定义域为 且
为 上的偶函数
当
时，
，则 在
上单调递增
；
；
，即 本题正确选项： 【点睛】 本题考查利用函数性质比较大小的问题，能够通过函数的解析式得到函数的奇偶性、单调性， 将问题转化为自变量之间的比较是解决问题的关键.
，令
f
'x 0
，解得：
0 x 1，故
f
x 在（0，1）递减，而 sin
5
cos 5
1 ，故
f
sin
5
f
cos
5
，故选
A.
点睛：本题考查了三角函数的性质，考查函数的单调性问题，是一道基础题；考查函数的单
调性，由 f x 0 ，得函数单调递增， f x 0 得函数单调递减；求出函数 f x 的单
不同底数的指数函数比较大小
不同底数的指数函数比较大小摘要：1.指数函数的定义和性质2.比较底数大于1 的指数函数的大小3.比较底数小于1 的指数函数的大小4.结论正文：1.指数函数的定义和性质指数函数是一种以正实数为底，以实数为指数的函数。
它的一般形式为y=a^x，其中a 是底数，x 是指数，y 是函数值。
指数函数具有以下性质：- 当a>1 时，函数值随着x 的增大而增大；- 当0<a<1 时，函数值随着x 的增大而减小；- 当a=1 时，函数值始终为1。
2.比较底数大于1 的指数函数的大小当底数a 大于1 时，指数函数y=a^x 是一个增函数。
也就是说，随着x 的增大，函数值y 也会增大。
我们可以通过比较不同底数的指数函数的函数值来判断它们的大小。
例如，比较函数y=2^x 和y=3^x 的大小。
我们可以取x=0, 1, 2 等值，计算对应的函数值。
当x=0 时，2^0=1，3^0=1，两个函数值相等。
当x=1 时，2^1=2，3^1=3，此时y=3^x 的函数值大于y=2^x 的函数值。
当x=2 时，2^2=4，3^2=9，此时y=3^x 的函数值仍然大于y=2^x 的函数值。
因此，我们可以得出结论：当底数大于1 时，函数值较大的指数函数对应的底数也较大。
3.比较底数小于1 的指数函数的大小当底数a 小于1 时，指数函数y=a^x 是一个减函数。
也就是说，随着x 的增大，函数值y 会减小。
同样地，我们可以通过比较不同底数的指数函数的函数值来判断它们的大小。
例如，比较函数y=0.5^x 和y=0.3^x 的大小。
我们可以取x=0, 1, 2 等值，计算对应的函数值。
当x=0 时，0.5^0=1，0.3^0=1，两个函数值相等。
当x=1 时，0.5^1=0.5，0.3^1=0.3，此时y=0.3^x 的函数值大于y=0.5^x 的函数值。
当x=2 时，0.5^2=0.25，0.3^2=0.09，此时y=0.3^x 的函数值仍然大于y=0.5^x 的函数值。
不同底数的指数函数比较大小
不同底数的指数函数比较大小摘要：一、指数函数的定义和性质1.指数函数的定义2.指数函数的性质二、不同底数的指数函数的比较1.自然指数函数与常用指数函数的比较2.自然指数函数与对数函数的比较三、指数函数的实例与应用1.自然指数函数的实例2.常用指数函数的实例正文：一、指数函数的定义和性质指数函数是一种基本初等函数，以底数为自变量，以幂为因变量。
常见的指数函数有自然指数函数和常用指数函数。
自然指数函数以自然常数e 为底数，常用指数函数以正实数a 为底数。
指数函数具有以下性质：1.单调性：当底数a>1 时，函数单调递增；当0<a<1 时，函数单调递减。
2.周期性：当底数a>1 时，函数具有正周期；当0<a<1 时，函数具有负周期。
3.特殊点：当x=0 时，函数值为1。
二、不同底数的指数函数的比较1.自然指数函数与常用指数函数的比较自然指数函数和常用指数函数在数值上存在差异。
自然指数函数的图像更加平滑，而常用指数函数的图像可能具有更快的增长速度或更慢的衰减速度。
在实际应用中，需要根据问题特点选择合适的指数函数。
2.自然指数函数与对数函数的比较自然指数函数和对数函数在数学上具有紧密的联系。
自然指数函数和对数函数互为反函数，它们的图像关于直线y=x 对称。
在实际应用中，自然指数函数和对数函数常常一起出现，用于描述幂律关系。
三、指数函数的实例与应用1.自然指数函数的实例自然指数函数在生物学、物理学、经济学等领域具有广泛的应用。
例如，在生物学中，种群增长模型通常采用自然指数函数来描述；在物理学中，指数衰减函数常用于描述放射性元素的衰变过程。
2.常用指数函数的实例常用指数函数在金融领域具有广泛的应用。
例如，复利计算公式中，本金和利息的关系通常采用指数函数表示；在通货膨胀的计算中，也常常使用指数函数。
总之，指数函数作为数学中的基本概念，具有丰富的性质和广泛的应用。
《指数函数比较大小》专题
《指数函数比较大小》专题2017年（ ）月（ ）日 班级： 姓名每道错题做三遍。
第一遍：讲评时；第二遍：一周后；第三遍：考试前。
图像特征 函数性质x y a = (1,0≠>a a 且)图像都位于x 轴 方x 取任何实数时，都有x a 0函数图象都经过点（ ， ） 无论a 取任何正数时，总有0___a =图像m 在第一象限内的纵坐标都 1； 在第二象限内的纵坐标都 。
图像n 正好相反， 第一象限内的纵坐标都 1；在第二象限内的纵坐标都 。
当1a >时，当0x >时，___1x a ，当0x <时，0______1xa ；当01a <<时，当0x >时，0______1xa ， 当0x <时，___1xa 。
自左往右看，图像m 逐渐 ，图像n 逐渐当1a >时，x y a =是 函数； 当01a <<时，x y a =是 函数1.比较下列各组数中两个值的大小：(1) 30.8，30.7； (2) 0.75－0.1，0.750.1； (3) 1.012.7，1.013.5； (4) 0.993.3，0.994.5.0.90..2，30.3. 1.1-0.2，1.3-0.1.2. (1)已知3x ≥30.5，求实数x 的取值范围； (2)已知0.2x <25，求实数x 的取值范围．3．已知下列不等式，比较m 、n 的大小．(1)2m <2n ； (2)0.2m >0.2n ； (3)a m <a n (0<a <1)； (4)a m >a n(a >1)．4．比较下列各组数中两个值的大小：（21）32和（21）31 （21）32和 （51）32 （21）31和 （51）325．将下列各数排列起来 （21）31，（21）32，（51）32【选做】将下列各数从大到小排列起来132()3-， 123()5， 233， 122()5， 233()2， 05()6， 3(2)-， 135()3-，6.已知a>b,ab 0≠下列不等式①a 2>b 2, ②2a>2b, ③ba 11<, ④a 31>b 31,⑤(31)a <(31)b 中恒成立的有（ ）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 7．若a 23<a 2,则a 的取值范围是 。
指数比较大小练习题
---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------指数比较大小练习题指数比较大小练习题 1．下图是指数函数 y?ax，y?bx，y?cx，y?dx 的图象，则a，b，c， d 与 1 的大小关系是A．a?b?1?c?d B．b?a?1?d?c C．1?a?b?c?d D．a?b?1?d?c 4312．图中曲线是对数函数 y=logax 的图象，已知 a ,,四3510 个值，则相应于 C1，C2，C3，C4 的 a 值依次为4314134314 13A．3,,, B．3,,, C．,3,,D．,3,,510310535103105 3．已知 f?logax，g?logbx，r?logcx，h?logdx 的图象如图所示则a,b,c,d 的大小为 A．c?d?a?bB．c?d?b?a C．d?c?a?b D．d?c?b?a 4．如果 0?a?1，那么下列不等式中正确的是A．? B．1?a?1 C．log?0 D．log?0 5．若logn2?logm2?0 时，则 m 与 n 的关系是 A．m?n?1 B．n?m?1 C．1?m?n?0D．1?n?m?0 6．已知 logm5?logn5?0，则 m，n 满足的条件是 A．m?n?1B．n?m?1 C．0?n?m?1 D．0?m?n?11312 ?1?7．设y1?40.9,y2?80.48,y3????2??1.5，则A．y3?y1?y B．y2?y1?y3C．y1?y2?y3D．y1?y3?y2 8．以下四个数中的最大者是 A．2B．lnC ． D．ln2 9．若a=log2?，b=log76，c=log20.8，则 A．a?b?c B．b?a?cC．c?a?b D．b?c?a 10 ．设a?log3?,b?log2c?log A．a?b?c B．a?c?bC．b?a?c D．b?c?a 111．设a?log12,b?log13,c?0.3，则32 A．a?b?c1/ 7B．a?c?bC．b?a?cD．b?c?a 23235252512．设 a?,b?，c?，则a，b，c 的大小关系是 55 A．a?b?c B．a?c?bC．b?a?cD．b?c?a 13．设P?log23，Q?log32，R?log2，则A．R?Q?P B．P?R?QC．Q?R?P D．R?P?Q 14．设 a?log54,b?2,c?log45，则 A．a?b?c B．a?c?bC．b?a?cD．b?c?a 15．已知函数 f?lgx，0 A．ab?1 B．ab?1 C．ab?1 D．?0 16．设 a?log1 3124,b?log1,c?log3,则a,b,c 的大小关系是333 B．c?b?aC．b?a?c D ．b?c?a bA．a?b?c ?1??1?17．设 a,b,c均为正数，且2a?log1a，???log1b，???log2c．则?2??2?22c A．a?b?c B．c?b?a C．c?a?b 18．a?ln2ln3ln5,b?,c?,则有 35D．b?a?c A．abc B．c 指数、对数比较大小1．下图是指数函数 y?ax，y?bx，y?cx，y?dx 的图象，则 a，b，c，d 与 1 的大小关系是A．a?b?1?c?d B．b?a?1?d?cC．1?a?b?c?d D．a?b?1?d?c 4312．图中曲线是对数函数y=logax 的图象，已知 a ,,四 3510 个值，则相应于 C1，C2，C3，C4 的 a 值依次为 4314134314 13 A．3,,, B．3,,, C．,3,,D．,3,, 3510310535103105 3．已知 f?logax，g?logbx，r?logcx，h?logdx 的图象如图所示则a,b,c,d 的大小为 A．c?d?a?bB．c?d?b?a C．d?c?a?bD．d?c?b?a 4．如果 0?a?1，那么下列不等式中正确的是 A．?B．1?a?1 C．log?0 D．log?0．若 logn2?logm2?0 时，则m 与 n的关系是 A．m?n?1 B．n?m?1 C．1?m?n?0D．1?n?m?0．已---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------知logm5?logn5?0，则 m，n 满足的条件是 A．m?n?1B．n?m?1 C．0?n?m?1 D．0?m?n?1 13 12 ?1? 7．设y1?40.9,y2?80.48,y3??? ?2? ?1.5 ，则A．y3?y1?y B．y2?y1?y3C．y1?y2?y3D．y1?y3?y2．以下四个数中的最大者是 A．2B．lnC ． D．ln9．若 a=log2?，b=log76，c=log20.8，则 A．a?b?c B．b?a?cC．c?a?b D．b?c?a10 ．设 a?log3?,b?log2c?log A．a?b?c B．a?c?b C．b?a?c D．b?c?a 1 11．设a?log12,b?log13,c?0.3，则 232A．a?b?c B．a?c?b C．b?a?c D．b?c?a 232 352525 12．设a?,b?，c?，则 a，b，c 的大小关系是 555 A．a?b?c B．a?c?bC．b?a?cD．b?c?a 13．设 P?log23，Q?log32，R?log2，则 A．R?Q?P B．P?R?Q C．Q?R?P D．R?P?Q 14．设a?log54,b?2,c?log45，则A．a?b?c B．a?c?b C．b?a?c D．b?c?a 15．已知函数 f?lgx，0 A．ab?1 B．ab?1 C．ab?1 D．?0 16．设a?log1 3 124 ,b?log1,c?log3,则a,b,c 的大小关系是333 B．c?b?aC．b?a?c D ．b?c?a b A．a?b?c ?1??1?17 ．设a,b,c 均为正数，且2a?log1a，???log1b，???log2c．则 ?2??2?22 c A．a?b?c B．c?b?a C．c?a?b 18．a?3/ 7ln2ln3ln5 ,b?,c?,则有 35 D．b?a?c A．abcB．c 六法比较指数幂大小对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法． 1．转化法例 1 比较的大小． 23 解：∵3??1)2?1)?2，] ?2 ?12 ?1．又∵0?1?1，函数 y?1)x 在定义域 R上是减函数． 1? 1)，即． 23 评注：在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．２．图象法例比较 0.7 与 0.8 的大小．解：设函数y?0.7 与y?0.8，则这两个函数的图象关系如图． x x a a aaaa 0.8a?0.7a；当 x?a，且 a?0 时，当 x?a，且 a?0 时，0.8?0.7；当x?a?0 时，0.8?0.7．评注：对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．．媒介法 1 ?2 34 例比较 4.1，5.6，???的大小． ?1??3? 13 解：∵5.6?5.6?1?4.1?4.1 34 1?2 13 34 00 ? 12 ?1??0????， ?3? 13 5.6?4.1 ?1?????． ?3? 评注：---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ 当底数与指数都不相同时，选取适当的媒介数，分别与要比较的数比较，从而可间接地比较出要比较的数的大小．４．作商法例４比较 ab 与 ab 的大小． ab ba aabb?a??b??a??a??a?解：∵ba????????????? ab?b??a??b??b??b? 又∵a?b?0，aba?ba?b ， a ?1，a?b?0． b ?a????b? a?b aabb ?1，即ba?1．aabb?abba． ab 评注：当底数与指数都不同，中间量又不好找时，可采用作商比较法，即对两值作商，根据其值与 1 的大小关系，从而确定所比值的大小．当然一般情况下，这两个值最好都是正数． 5．作差法m?mn?n 例设 m?n?0，a?0，且 a?1，试比较 a?a 与 a?a 的大小．解：??am?a?m?an?a?n?? ?an?a?m?．当a?1 时，∵m?n?0 ， a 又∵a?1 ，a?0．am?a?m?an?a?n． m?n 当0?a?1 时，∵a n ?1，即 am?n?1?0． ?m 又∵m?n?0，a?1，a?0．am?a?m?an?a?n． m ?m 综上所述，a?a ?an?a?n．评注：作差比较法是比较两个数值大小的最常用的方法，即对两值作差，看其值是正还是负，从而确定所比值的大小．．分类讨论法例比较a2x 2 ?1 与 ax 2 ?2 的5/ 7大小． 2 分析：解答此题既要讨论幂指数 2x?1 与 x?2 的大小关系，又要讨论底数 a 与１的大小关系．解：令 2x?1?x?2，得 x?1，或 x??1．22 ①当 a?1 时，由 2x?1?x?2， 2 2 2 从而有 a 2x2?1 ?a x2?2 ；②当 0?a?1 时，a 2 2 2x2?1 ?ax 2 ?2 ． 2 2x 令 2x?1?x?2，得x??1，a ?1 ?ax 2 ?2 ． 22 令 2x?1?x?2，得?1?x?1．22 ①当 a?1 时，由2x?1?x?2，从而有 a 2x2?1 ?ax2 ?2 ； 2x2?1 ②当 0?a?1 时，a ?ax 2 ?2 ．评注：分类讨论是一种重要的数学方法，运用分类讨论法时，首先要确定分类的标准，涉及到指数函数问题时，通常将底数与 1 的大小关系作为分类标准． 6、设 a＞1,且 m?loga,n?loga,p?loga,则 m,n,p 的大小关系为 A. n＞m＞p B.m＞p＞n C.m＞n＞p D. p＞m＞n 1a+b 1．若 a＞b＞1，P=lgalgb，Q＝，R=lg，则 22 [ ] A．R＜P＜Q C．Q＜P＜R 3．若 loga2＜logb2＜0，则 [ ] A．0＜a＜b＜1 C．a＞b＞1 4．若 a、b 是任意实数，且 a＞b，则 B．0＜b＜a＜1 D．b＞a＞1 [ ] B．P---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------＜Q＜R D．P＜R＜Q A．a2＞b C．lg＞0 10．若 sin＞tan＞cot＜22 ?? ＜＜)，则 2 [ ] ?? A． 24? C． 4?B． 4 ?? D． 42 1 ?lga?lgb?，2 15．若正数 a、b 满足 ab=a＋b＋3，则 ab 的取值范围是________． 12.若 a?b?1，P=a?lgb，Q= ?a?b?R=lg??，则R ?2? ?1??1? b，c 均为正数，且2a?log1a，???log1b，???log2c．则9 设 a， ?2??2?22 Ａ．a?b?c Ｂ．c?b?a Ｃ．c?a?b Ｄ．b?a?cbc 1．若 a＞b＞1，则 A．R＜P＜Q ，，， B．P＜Q＜RC．Q＜P＜R D．P＜R＜Q 16.设 a?lge,b?2,c?a?b?c a?c?b c?a?bc?b?a6. 设a?log3?,b?log2c?log3 A.a?b?c B. a?c?bC. b?a?cD. b?c?a 54.若 log2a＜0，＞1，则A．a＞1,b＞0 B．a＞1,b＜0 C. 0＜a＜1, b＞0D. 0＜a＜1, b＜063.若函数f?x?的零点与g?x??4x?2x?2的零点之差的绝对值不超过0.25，则 f?x?可以是 A. f?x??4x?1 B. f?x??2 12b C. f?x??ex?1D. f?x??In?x? 9.若aA．a ??1??? ，则 ?20.5，b?log3，c?log2sinB．b 25 ?b?c C．c?a?b ?a?cD．b?c?a 8.若x?，a?lnx，b?2lnx，c?ln3x，则 B．c D． bca7/ 7。
专题08 利用指数函数、对数函数、幂函数的性质解决大小比较问题- 高一数学特色专题训练(原卷版)
A.
log3 4
1 5
0
log110
3
B.
log110
3
1 0 5
log3 4
C.
log3
4
log
110
3
1 5
0
D.
log
1 3
10
log3
4
1 5
0
12．【烟台市 2016-2017 学年期末】已知 a b 1 ， 0 c 1，则下列不等式正确的是（ ）
A. ac bc B. ca cb C. logac logbc D. logca logcb
26．【福建省泉港一中 2016-2017 学年期中】实数 a 0.2 2 ， b log 2 0.2 ， c
0.2
2 的大小关系正
确的是( )
A. a c b B. a b c C. b a c D. b c a
3
18．【吉林省梅河口五中 2016-2017 学年期末】设 a
20.1, b ln 5 , c 2
log3
9 10
，则
a,
b,
c
的大小关系是（
）
A. a b c B. a c b C. b a c D. b c a
19．【安徽亳州二中
2017
届检测】若
a
1 2
10
，
b
1 5
A zx y
B yzx C zyx
D x yz
10．【梅河口五中
2016-2017
学年期末】设
a
20.1
,
b
ln
5 2
,
c
log
3
9 10
专题01-利用函数值解决比较大小问题归类(解析版)
专题01 利用函数值解决比较大小问题归类一、重点题型目录【题型】一、利用指数函数的单调性比较大小 【题型】二、利用对数函数的单调性比较大小 【题型】三、利用幂函数的单调性比较大小 【题型】四、利用三角函数的单调性比较大小 【题型】五、作差法比较大小 【题型】六、作商法比较大小【题型】七、指数式与对数式互化法比较大小 【题型】八、构造函数法比较大小 【题型】九、放缩法比较大小 【题型】十、中间量法比较大小 二、题型讲解总结【题型】一、利用指数函数的单调性比较大小例1．（2023·全国·高三专题练习）已知0.50.60.3,0.3a b ==，122()5c =，则a 、b 、c 的大小关系为（ ） A ．a ＜b ＜c B ．c ＜a ＜b C ．b ＜a ＜c D ．c ＜b ＜a【答案】C【分析】根据给定条件，利用指数函数、幂函数单调性即可比较大小作答. 【详解】函数0.3x y =是定义域R 上的单调减函数，且0.50.6，则0.50.60.30.3>，即a b >，又函数0.5y x = 在(0,)+∞上单调递增，且20.35<，于是得10.5220.3()5<，即c a >，所以a 、b 、c 的大小关系为b a c <<． 故选：C例2．（2023·全国·高三专题练习）已知311434333(),(),,552a b c ---⎛⎫=== ⎪⎝⎭则a ，b ，c 的大小关系是________.【答案】c b a <<或a b c >>【分析】利用指数函数的单调性比较大小即可【详解】因为35xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭是R 上的减函数，且11034-<-<，所以11034333555--⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以1a b >>，因为32xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭是R 上的增函数，且304-<，所以30433122-⎛⎫⎛⎫<= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以1c <， 所以c b a <<故答案为：c b a <<或a b c >>【题型】二、利用对数函数的单调性比较大小例2．（2022·广西柳州·模拟预测（理））若35lg 0.3,log 2,log 4a b c ===，则（ ） A ．c b a >> B ．b c a >> C ．c a b >> D ．a b c >>【答案】A【分析】利用对数的运算及对数函数的性质进行比较大小. 【详解】因为lg0.3lg10<=，所以a<0；因为3355log 2log 10,log 4log 10>=>=，所以0,0b c >>，42211log 5log 5log 2c ===21log 3b =，而22log 3log >所以11b c >，即b c <. 故选：A.例4．（2023·全国·高三专题练习）已知正数,,x y z 满足3815x y z ==，则下列说法正确的是（ ） A ．230x y -> B ．230x y -< C ．50x z -> D ．50x z -<【答案】AD【分析】设38151x y z k ===>，可得3log x k =，8log y k =，15log z k =；根据对数运算法则和换底公式可表示出23x y -和5x z -，根据对数函数单调性可确定结果.【详解】,,x y z 为正数，∴可设38151x y z k ===>，则3log x k =，8log y k =，15log z k =；对于AB ，3821232log 3log log lg lg 2x y k k k k ⎛⎫-=-=-=⎪⎭，lg 2>1lg 2>，又lg lg10k >=，230x y ∴->，A 正确，B 错误； 对于CD ，31535log 5log log lg x z k k k k k ⎛⎫-=-=-=，5lg 243><lg lg10k >=，50x z ∴-<，C 错误，D 正确.故选：AD.【题型】三、利用幂函数的单调性比较大小例5．（2022·安徽·砀山中学高三阶段练习）已知实数()(),,00,m n ∈-∞+∞，且m n <，则下列结论一定正确的是（ ） A ．5533m n > B ．65m n > C ．22n mm n < D ．142m n n m-->【答案】D【分析】根据幂函数的单调性可判断AD 选项，利用特值法可判断BC 选项. 【详解】因为53y x =为增函数，且m n <，故5533m n <，故A 错误； 令1m =，2n =，此时65m n <，故B 错误； 令2m =-，1n =，故214n m =，22m n =-，故22n m m n >，故C 错误； 因为0n m ->，故n m y x -=在第一象限为增函数，则11424m n n mn m--->=，故D 正确；故选：D.例6．（2022·河南·开封清华中学高三阶段练习（理））122a =，133b =，166c =，则a ，b ，c 的大小关系正确的是（ ） A ．a b c >> B ．c b a >> C ．b a c >> D ．a c b >>【答案】C【分析】由幂的运算法则把幂的幂指数化为相同，然后由幂函数的单调性比较大小． 【详解】116228a ==，113639b ==，16y x =是增函数，689<<， ∴c<a<b 故选：C ．例7．（2022·北京·北大附中高三开学考试）已知302a =，203b =则a ，b 中较大的数是___________. 【答案】b【分析】利用指数的性质有10108,9a b ==，结合幂函数的单调性即可判断大小关系. 【详解】由101030203892a b =<===， 所以a b <，较大的数是b . 故答案为：b .【题型】四、利用三角函数的单调性比较大小例8．（2022·全国·高三专题练习）sin1,sin 2,sin 3按从小到大排列的顺序为（ ） A ．sin3sin2sin1＜＜ B ．sin3sin1sin2＜＜ C ．sin1sin2sin3＜＜D ．sin2sin1sin3＜＜【答案】B【分析】利用诱导公式化简后，再利用正弦函数的单调性比较即可. 【详解】sin 2sin(π2),sin3sin(π3)=-=-， 因为π0π31π22<-<<-<，sin y x =在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上为增函数，所以sin(π3)sin1sin(π2)-<<-， 所以sin3sin1sin2<<， 故选：B例9．（2022·四川·模拟预测（文））设1cos662a =︒︒，22tan131tan 13b ︒=+︒，c =则有（ ） A ．a b c >> B ．a b c << C ．a c b << D ．b<c<a【答案】C【分析】利用辅助角公式化简a ，利用倍角公式化简,b c ，利用正弦函数的单调性比较大小.【详解】()1cos 66sin 306sin 242a ===︒-︒︒︒︒，2222tan132sin13cos13sin 261tan 13cos 13sin 13b ︒︒︒︒︒==︒︒=++，sin 25c ===︒. 因为函数sin y x =在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上是增函数，所以a c b <<.故选：C.例10．（2022·全国·高三专题练习）下列不等式中成立的是（ ） A ．34cos cos 109ππ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．sin507sin145<C ．3tan tan 57ππ⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．sin4cos4<【答案】ABD【分析】利用三角函数的单调性判断.【详解】解：因为余弦函数cos y x =是偶函数，比较3cos 10π⎛⎫ ⎪⎝⎭与4cos 9π⎛⎫⎪⎝⎭即可，因为3401092πππ<<<，所以34cos cos 109ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即34cos cos 109ππ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，A 正确； sin507sin147=，正弦函数sin y x =，在（90，180）上单调递减，且90145147180<<<， 所以sin147sin145<，即sin507sin145<，B 正确；因为32752，且tan y x =在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭内单调递增， 所以3tan <tan 75ππ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，C 错误； 因为53442ππ<<，则sin4cos40<<，D 正确． 故选：ABD例11．（2022·广西·北海市教育教学研究室高一期末）设2sin38cos38a =︒︒，22tan 351tan 35b ︒=-︒，c =） A ．c b a << B ．c<a<b C ．a c b << D ．a b c <<【答案】B【分析】先对,a b 化简，然后利用三角函数的单调性比较大小即可 【详解】因为2sin38cos38sin76a =︒︒=︒，22tan 35tan 70tan 601sin 761tan 35b a ︒==︒>︒=>︒=-︒，sin 76sin 60a c =︒>︒==， 所以c<a<b ． 故选：B【题型】五、作差法比较大小例12．（2023·全国·高三专题练习）已知01b a <<<，则下列不等式成立的是（ ） A ．log log a b b a < B ．log 1a b > C ．ln ln a b b a < D ．ln ln a a b b >【答案】BC【分析】作差法判断选项A ；利用对数函数单调性判断选项B ；利用幂函数指数函数对数函数的单调性去判断选项C ；举反例排除选项D.【详解】选项A ：()()22lg lg lg lg lg lg lg lg log log lg lg lg lg lg lg a b b a b a b a b a b a a b a b a b-+--=-== 由01b a <<<，可得lg lg 0b a <<，则lg lg 0b a >，lg lg 0b a -<，lg lg 0b a +< 则()()lg lg lg lg 0lg lg b a b a a b-+>，则log log a b b a >.判断错误；选项B ：由01a <<，可得log a y x =为(0,)+∞上减函数， 又0b a <<，则log log 1a a b a >=.判断正确；选项C ：由01a <<，可知x y a =为R 上减函数，又b a <，则a b a a > 由0a >，可知a y x =为(0,)+∞上增函数，又b a <，则a a b a <，则b a a b >又ln y x =为(0,)+∞上增函数，则ln ln b a a b >，则ln ln a b b a <.判断正确； 选项D ：令211e e a b ==，，则01b a <<<，e ln l 111e n e a a =-=，222ln ln 112e e eb b =-=则22122e0e ln eln e a a b b --+==<-，即ln ln a a b b <.判断错误.故选：BC例13．（2023·全国·高三专题练习）已知实数m ，n 满足01n m <<<，则下列结论正确的是（ ） A ．11n n m m +<+ B ．11m n m n+>+ C ．n m m n > D ．log log m n n m <【答案】AC【分析】利用作差法比较大小，可判断A,B,利用指数函数和幂函数的单调性，可判断C;根据对数函数的单调性，可判断D.【详解】由01n m <<<知，0n m -< ，故110,1(1)1n n n m n n m m m m m m +-+-=<<+++，A 正确； 由01n m <<<得0m n ->，110mn -<，所以()11110m n m n m n mn ⎛⎫⎛⎫+-+=--< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即11m n m n+<+，故B 错误； 因为指数函数x y m =为单调减函数，故n m m m >，由幂函数m y x = 为单调增函数知m m m n > ，故n m m n >，故C 正确； 根据, 01n m <<<对数函数log ,log m n y x y x == 为单调减函数, 故log log 1log log m m n n n m n m >==>，故D 错误， 故选：AC【题型】六、作商法比较大小例14．（2023·全国·高三专题练习）下列说法中正确的是（ ） A ．若20352049x y =，则0x y == B ．若22x x <，则12x <<C ．若定义域为R 的奇函数()f x 在(),0∞-单调递减，且()20f =，则满足0xf x ≤（）的x 的取值范围为][()22∞∞--⋃+，，D ．若25log 3m =，log n =0mn m n <+<【答案】BD【分析】对于A ，令()203520490x yt t ==>，将指数式转化为对数式即可判断；对于B ， 作出函数2,2x y y x ==的图像，结合图像即可得判断B ；对于C ，根据函数的奇偶性不等式()0xf x ≤即为0x =或()00x f x <⎧⎨≥⎩或()00x f x >⎧⎨≤⎩，解之即可判断C ；对于D ，分别判断,m n 的符号，再利用作商法比较,m n mn +即可判断D.【详解】解：对于A ，令()203520490x yt t ==>，则20352049log ,log x t y t ==，当且仅当1t =时，0x y ==，当1t ≠时，x y ≠，故A 错误；对于B ，作出函数2,2x y y x ==的图像，又当1x =时，1221=⨯，当2x =时，2222=⨯， 所以若22x x <，则12x <<，故B 正确；对于C ，因为()f x 为R 上的奇函数，所以()00f =，因为()f x 在(),0∞-单调递减，所以函数在()0,∞+也单调递减，因为()20f =，所以()()220f f -=-=， 则当()(),20,2x ∈-∞-时，()0f x >，当()()2,02,x ∈-+∞时，()0f x <，若()0xf x ≤，则0x =或()00x f x <⎧⎨≥⎩或()00x f x >⎧⎨≤⎩，所以0x =或2x ≤-或2x ≥，所以满足()0xf x ≥的x 的取值范围为[][){}22,0-⋃∞+∞⋃,-，故C 不正确；对于D ，2255log 31l 5og 2m =<=-，225525log 3log 24m m =>==-， 所以()2,1m ∈--，221log log 2n ==，22log log 21n =<=，所以1,12n ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以0m n +<，0mn <，由331128log log 55m n mn m n +=+=+=， 因为380log 15<<，所以1m n mn +<，所以m n mn +>，所以0mn m n <+<，故D 正确. 故选：BD.【题型】七、指数式与对数式互化法比较大小例15．（2023·全国·高三专题练习）已知2510a b ==，则（ ） A ．111a b+>B ．2a b >C ．4ab >D ．4a b +>【答案】BCD【分析】根据指数式与对数式的互化，再利用对数的运算性质及对数大小的比较及不等式的性质即可求解.【详解】252510,log 10,log 10,a ba b ==∴==对于A ，lg lg lg lg log log lg lg lg lg a b +=+=+=+251111112510101010101025log log log log =+===⨯101010102255101，故A 不正确；对于B ，log ,log log log a b ====2255510221010100，342328,216,525,5125====log log log ;log log log a b <<⇒<<<<⇒<<222555816342510012522103，2a b >，故B 正确； 对于C ，()()lg lg lg lg lg lg log log log log lg lg lg lg ab ++=⋅=⋅=⋅=++102525251025101015122525log log log log log log =+++⋅=++25252515252252log log ,log log ab >=>=∴>++=22555422102204，故C 正确；对于D ，由B 知，,,a b b a b <<<<∴<<∴<+<311342231422，故D 正确；故选：BCD.【题型】八、构造函数法比较大小例16．（2022·广东·深圳中学高三阶段练习）下列大小关系正确的是（ ）． A ．2 1.91.92< B ． 2.922 2.9< C ．712log 4log 7< D．712log 4log 7+【答案】ABC【分析】构造函数ln ()xf x x=，利用导数判断其单调性后判断A ，利用指数函数性质判断B ，利用对数函数性质及基本不等式判断C ，根据对数换底公式、对数函数性质判断D ． 【详解】设ln ()x f x x=，则21ln ()xf x x -'=，0e x <<时，()0f x '>，()f x 递增，而0 1.92e <<<，所以(1.9)(2)f f <，即ln1.9ln 21.92<，2 1.9ln1.9ln 2<， 即2 1.91.92<，A 正确；2.9322288.41 2.9<=<=，B 正确；770log 4log 12<<，所以222777777(log 4log 12)(log 48)(log 49)log 4log 121444+⋅<=<=，所以71271log 4log 7log 12<=，C 正确；10102264(2)102410==>，76107823543104=<<，7107710log 4log 417=>，所以77log 40.710>=， 472401=，341217287=<，所以3412124log 7log 713=>，123log 70.754>=，所以712log 4log 70.70.75 1.45+>+=D 错． 故选：ABC ．例17．（2022·河南河南·一模（文））已知e ππe e ,π,a b c ===，则这三个数的大小关系为（ ） A ．c b a << B ．b c a << C ．b a c << D ．c a b <<【答案】A【分析】构造函数()()ln ,0xf x x x=>，利用导数法研究单调性，并利用单调性可比较,a b ，在同一坐标系中作出xy =与y x =的图象，结合图象与幂函数的性质可比较,b c ，即可求解【详解】令()()ln ,0xf x x x =>，则()()21ln ,0x f x x x -'=>， 由0fx，解得0e x <<，由()0f x '<，解得e x >，所以()()ln ,0xf x x x=>在()0,e 上单调递增，在()e,+∞上单调递减； 因为πe >， 所以()()πe f f <，即ln πln eπe<，所以eln ππlne <，所以e πln πln e <， 又ln y x =递增， 所以e ππe <，即b a <；ee ππ=⎡⎤⎢⎥⎣⎦，在同一坐标系中作出xy =与y x =的图象，如图：由图象可知在()2,4中恒有xx >，又2π4<<，所以ππ>，又e y x =在()0,∞+上单调递增，且ππ>所以eπe πeπ=⎡⎤>⎢⎥⎣⎦，即b c >；综上可知：c b a <<， 故选：A【题型】九、放缩法比较大小例18．（2023·上海·高三专题练习）设0.21e 1,ln1.2,5a b c =-==，则,,a b c 的大小关系为___________.（从小到大顺序排） 【答案】b<c<a【分析】方法一：构造函数()e 1x f x x =--和()ln 1g x x x =-+，求导确定单调性，利用单调性即可比较大小.【详解】[方法一]：【最优解】构造函数法记()e 1x f x x =--，则()e 1xf x '=-，当0x >时，()0f x '>，故()f x 在()0+∞，上单调递增，故0.20.2(0.2)(0)e 0.210e 10.2f f >⇒-->⇒->，故a c >，记()ln 1g x x x =-+，则11()1xg x x x-'=-=，当1x >时，()0g x '<，故()g x 在()1+∞，单调递减，故(1.2)(1)0ln1.2 1.210ln1.20.2g g <=⇒-+<⇒<，故b c <，因此a c b >>． 故答案为：b<c<a [方法二]：泰勒公式放缩0.2110.210.2a e c =->+-==，由函数切线放缩ln(1)x x +<得()ln 10.20.2b c =+<=，因此a cb >>.故答案为：b<c<a【整体点评】方法一：根据式子特征，构造相关函数，利用其单调性比较出大小关系，是该题的通性通法，也是最优解；方法二：利用泰勒公式以及切线不等式放缩，解法简洁，但是内容超出教材，不是每一个同学可以掌握．【题型】十、中间量法比较大小例19．（2022·天津北辰·高三期中）已知0.12a =，0.3log 0.5b =，0.5log 0.2c =，则（ ） A ．c b a >> B ．b c a >> C ．c a b >> D ．a c b >>【答案】C【分析】利用指数函数和对数函数的性质，与中间量1，2比较大小即可得到结果． 【详解】因为0.10.51222a <=<<，0.30.3log 0.5log 0.31b =<=，0.50.5log 0.2log 0.252c =>=， 所以c a b >>． 故选：C ．例20．（2022·北京·北大附中高三阶段练习）设ln 2a =，122b =，133c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c << B ．b a c << C ．a c b << D ．c a b <<【答案】A【分析】通过0ln 21<<，所以判断出01a <<；又对122b =，133c =进行化简，得到121628b ==，131639c ==，从而判断出a ，b ，c 的大小关系. 【详解】ln 2a =，而0ln 21<<，所以01a <<；又121628b ==，131639c ==∴令16()f x x =，而函数()f x 在(0,)+∞上递增∴1b c << ∴a b c <<三、题型模拟演练 一、单选题1．（2022·山东·济南市历城第二中学高三阶段练习）已知集合{}{}231,340x A x B x x x =≥=-->，则A B =（ ）A ．{}1x x <-B ．{}04x x <≤C ．{}4x x >D ．{10x x -<≤或}4x >【答案】C【分析】利用指数函数图象可得[)0A =+∞，，根据一元二次不等式可得B =4∞∞（，+)(-,-1)，进而求出A B ⋂.【详解】[)0A =+∞，，B =4（，+)(-，-1)∞∞，A B =4+∞（，） 故选：C.2．（2022·云南·高三阶段练习）已知0.11.1a -=，ln3b =，c = ） A ．a b c << B ．a c b << C ．c a b << D ．c b a <<【答案】B【分析】根据指数函数和对数函数的单调性即可判断,,a b c 的大小.【详解】0.101.1 1.11-<=，ln 3=，ln e 1=>= ，所以a c b <<； 故选：B.3．（2022·陕西·交大附中高一期中）已知12a ⎛⎫= ⎪⎝⎭4log 8b =，π32c -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）． A ．a b c >> B ．a c b >> C ．b c a >> D ．b a c >>【答案】A【分析】根据指数函数单调性及对数的运算性质即得.【详解】因为122a ⎛⎫==> ⎪⎝⎭，32443log 8log 42b ===，π33122c -⎛⎫⎛⎫=<= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 所以a b c >>. 故选：A.4．（2022·重庆南开中学高三阶段练习）已知实数a ，b ，c 满足13440a b +⨯-=1=()()25log 3R a c x x x =+-+∈，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a b c >> B ．b c a >> C ．c b a >>D ．a c b >>【分析】对题意进行化简，利用函数的单调性即可判断大小 【详解】由13440a b +⨯-=可得034144b a-=<=，所以0b a -<即b a <，1=y =R 上的增函数，可得b c <，因为221113124x x x ⎛⎫-+=-+> ⎪⎝⎭，所以由()()25log 3R a c x x x =+-+∈可得()255log 3log 10a c x x -=-+>=，所以a c >，故a c b >>． 故选：D5．（2022·山东省青岛第九中学高三阶段练习）已知函数 ()3xf x = ，且函数 ()g x 的图像与 ()f x 的图像关于 y x = 对称，函数 ()x ϕ 的图像与 ()g x 的图像关于 x 轴对称，设 12a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ， 12b g ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ， 12c ϕ⎛⎫= ⎪⎝⎭．则（ ）A ．a b c <<B ．b c a <<C ．c b a <<D ．b a c <<【答案】D【分析】根据函数图像的对称关系可以得到()g x ，()x ϕ的解析式，代入后跟特殊值0比较可得b 最小，然后构造函数，利用特殊值和函数的单调性比较a ，c 的大小即可.【详解】因为()g x 的图像与()f x 的图像关于y x =对称，所以()3log g x x =，又因为()x ϕ的图像与()g x 关于x 轴对称，所以()3log x x ϕ=-，1210312a f -⎛⎫<=-=< ⎪⎝⎭，311log 022b g ⎛⎫==< ⎪⎝⎭，33110log log 2122c ϕ⎛⎫<==-=< ⎪⎝⎭，所以b 最小；1a =221log 32log c== 构造()22log h x x x =-，则()2ln 221ln 2ln 2x h x x x -'=-=， 当20,ln 2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '<，所以()h x 在20,ln 2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调递减，因为0ln 21<<，所以22ln 2>，令2x =，得()20h =，所以()20h h >=，22112log 02log a c>⇒>>， 又因为0a >，0c >，所以c a >，综上所述c a b >>. 故选：D.【点睛】比较对数、指数、幂的大小的方法：∴利用指数函数、对数函数、幂函数的单调性比较大小； ∴借助特殊值“0”、“1”或其它的数值比较大小； ∴根据两数之间的关系，构造函数来比较大小.6．（2022·广西南宁·高三阶段练习（理））设e 3a =，πe b =，3πc =，则a 、b 、c 的大小关系为（ ） A ．a b c >> B ．b c a >>C ．b a c >>D ．c b a >>【答案】D【分析】利用e e 3ππ3m c a <=<==，构造ln ()xf x x=且(e,)x ∈+∞研究单调性比较ln ,ln b m 大小，构造()3ln g x x x =-且(3,)x ∈+∞研究单调性判断函数值符号比较ln ,ln b c 的大小，即可得结果.【详解】由e e 3ππ3m c a <=<==， 因为ln πlne b =，ln eln πm =，则ln ln e e πeb =，ln ln πe ππm =， 令ln ()xf x x=且(e,)x ∈+∞，则21ln ()0x f x x -'=<，则()f x 递减， 所以(e)(π)f f >，即ln e ln πe π>，则ln ln b m >，故b m a >>； 因为ln πb =，ln 3ln πc =，由ln ln π3ln πb c -=-， 令()3ln g x x x =-且(3,)x ∈+∞，则3()0x g x x-'=>，则()g x 递增； 故3e (3)33ln 3ln 027g =-=<，4e (4)43ln 4ln 064g =-=<，而3π4<<， 所以(π)π3ln π0g =-<，则ln ln b c <，即>c b ， 综上，c b a >>. 故选：D【点睛】关键点点睛：利用中间值得到e e 3ππ3m c a <=<==，构造ln ()xf x x=利用导数研究单调性比较ln ,ln b m ，作差法并构造()3ln g x x x =-研究函数值符号比较ln ,ln b c 大小.二、多选题7．（2023·全国·高三专题练习）已知2log a x =，2x b =，3x c =，其中()1,2x ∈，则下列结论正确的是（ ） A ．log b a c >B ．b c a b >C ．b c a b <D ．log log a b b c <【答案】CD【分析】根据()1,2x ∈求出()0,1a ∈，()2,4b ∈，()3,9c ∈，借助指数函数与对数函数的单调性分别判断选项即可.【详解】因为()1,2x ∈，所以()0,1a ∈，()2,4b ∈，()3,9c ∈，且b c <，所以log 1b c a >>，故A 错误；因为()0,1ba ∈，1cb >，即bc a b <，故B 错误，C 正确；因为log 0a b <，log 0b c >，即log log a b b c <，故D 正确. 故选：CD.8．（2023·全国·高三专题练习）已知x ，y ∈R 且3344x y y x -<-，则（ ） A ．x y < B ．33x y --<C ．()lg 0y x ->D ．133yx -⎛⎫< ⎪⎝⎭【答案】AD【分析】将原不等式转化为3344x x y y +<+，结合函数的单调性可得x y <，再根据指对幂函数的性质逐个判断即可【详解】因为x ，y ∈R 且3344x y y x -<-，即x ，y ∈R ，且3344x x y y +<+，设()34f x x x =+，因为函数3y x =在R 上单调递增，函数4y x =在R 上单调递增，所以函数()34f x x x =+在R 上单调递增，A ，由3344x x y y +<+，得()()f x f y <，所以x y <，故选项A 正确；B ，因为x ，y ∈R ，所以当x =0或y =0时，3x -，3y -没意义，故选项B 错误；C ，因为x y <，而只有当1y x ->时，()lg 0y x ->才能成立，故选项C 错误；D ，因为x y <，所以1133yx⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即133yx -⎛⎫< ⎪⎝⎭，故选项D 正确．故选：AD三、填空题9．（2022·四川省泸县第二中学模拟预测（文））设32log 2a =，9log 15b ，13c -=，则a ，b ，c 大小关系为___________. 【答案】a b c >>【分析】根据对数的运算及对数函数的单调性，结合指数的运算即可求解.【详解】由题意可知，332log 2log 4log a ===，293331log 15log 15log 15log 152b ， 当1a >时，log a y x =在()0,+∞上单调递增， 因为3331615,log 16log 15log 31，即1a b >>.11313c -==<，所以a b c >>. 故答案为：a b c >>.四、解答题10．（2022·全国·高三专题练习）已知0a >且1a ≠，()()log 1a f x x =+，()()log 1a g x x =-，()h x(1)求()()()f x g x h x ++的定义域D ；(2)已知0x D ∈，请比较()0f x 与()0g x 的大小关系. 【答案】(1)()0,1；(2)当1a >时，()()00f x g x >；当01a <<时，()()00f x g x <.【分析】(1)根据对数函数真数大于零，分母不为零，偶次开根根号下非负即可列出不等式组求D ；(2)根据a 的范围，根据对数函数单调性即可判断． (1)依题意，x 应满足10100x x x +>⎧⎪->⎨⎪>⎩，解得01x <<，∴函数()()()f x g x h x ++的定义域D =()0,1； (2)当()00,1x ∈时，有0011x x +>-，∴当1a >时，函数log a y x =单调递增，∴()()00f x g x >； ②当01a <<时，函数log a y x =单调递减，∴()()00f x g x <．。
《指数函数的图像和性质》专题
《指数函数的图像和性质》专题2014年（）月（）日班级：姓名不求快，不求多，不间断。
【类型一】比较大小比较下列各组数中两个值的大小：(1) 30.8，30.7；(2) 0.75－0.1，0.750.1；(3) 1.012.7，1.013.5；(4) 0.993.3，0.994.5. 【变式】(1)已知3x≥30.5，求实数x的取值范围；(2)已知0.2x<25，求实数x的取值范围．【小结】比较幂大小的方法(1)对于同底数不同指数（形如a m与a n）的两个幂的大小，利用指数函数的________性来判断；(2)对于底数不同指数相同的（形如a m与b m）两个幂的大小，利用指数函数的_______的变化规律来判断；(3)对于底数不同指数也不同（形如a m与b n）的两个幂的大小，则通过____________来判断．若a m<c且c<b n，则a m<b n；若a m>c且c>b n，则a m>b n.【练习】已知下列不等式，比较m、n的大小．(1)2m<2n；(2)0.2m>0.2n；(3)a m<a n(0<a<1)；(4)a m>a n(a>1)．曲线分别是指数函数 ,和的图象,则与1的大小关系是 ( ).(已知函数y ＝a x (a >0，a ≠1)在区间[－1,1]上的最大值与最小值的差是1，求实数a 的值．函数221(01)x x y a a a a =+->≠且在区间[11]-，上有最大值14，则a 的值是_______． 分析：令x t a =可将问题转化成二次函数的最值问题，需注意换元后t 的取值范围．注：利用指数函数的单调性求最值时注意一些方法的运用，比如：换元法，整体代入等． 解指数方程223380x x +--=．注：解指数方程通常是通过换元转化成二次方程求解，要注意验根．【类型二】指数式的不等式 1．不等式226xx-+<1的解集是________．2．若函数y ＝(a 2－3a ＋3)·a x 是指数函数，则它的单调性情况为____ _______．【小结】简单指数不等式的解法(1)形如a f (x )>a g (x )的不等式，可借助y ＝a x 的________性求解；(2)形如a f (x )>b 的不等式，可将b 化为以a 为底数的指数幂的形式，再借助y ＝a x 的________性求解；(3)形如a x >b x 的不等式，可借助两函数________________的图象求解．当a >1时，函数y ＝a f (x )与函数y ＝f (x )的单调性______；当0<a <1时，函数y ＝a f (x )与函数y ＝f (x )的单调性________．【类型三】指数函数图象的变换例1 说明下列函数的图象与指数函数y ＝2x 的图象的关系，并画出它们的示意图：(1)y ＝2x －2； (2)y ＝2x ＋2.解 比较函数y ＝2x 与函数y ＝2x －2，y ＝2x ＋2的取值关系，列表如下：备用图【小结】当h >0时，函数y ＝a x 的图象向 平移h 个单位，就得到函数y ＝a x ＋h 的图象；当h <0时，函数y ＝a x 的图象向 平移|h |个单位，就得到函数y ＝a x ＋h 的图象． 例6 为了得到函数935x y =⨯+的图象，可以把函数3x y =的图象（ ）． A ．向左平移9个单位长度，再向上平移5个单位长度 B ．向右平移9个单位长度，再向下平移5个单位长度 C ．向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度 D ．向右平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度【练习1】 探讨函数y ＝a x 和y ＝a －x (a >0且a ≠1)的图象的关系，并证明．函数y ＝a ｜x ｜(a>1)的图像是( )【类型四】指数形式的函数的单调性、奇偶性例2 设a 是实数，f (x )＝a －22x ＋1(x ∈R)．(1)求a 的值，使函数f (x )为奇函数；(2)试证明：对于任意a ，f (x )在R 上为增函数．小结 求与指数函数有关的复合函数的奇偶性、单调性时要注意运用指数函数的有关性质来解决问题，在(2)证明过程中，在对差式正负判断时，利用了指数函数的值域及单调性．跟踪训练2 用函数单调性定义证明a >1时，y ＝a x 是增函数．1．若函数y ＝(1－a )x 在R 上是减函数，则实数a 的取值范围是________．2．若(12)2a ＋1<(12)3－2a ，则实数a 的取值范围是________．某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过1年，这种物质剩留的质量是原来的84%.写出这种物质的剩留量关于时间的函数关系式．1．解简单指数不等式问题的注意点 (1)形如a x >a y 的不等式，可借助y ＝a x 的单调性求解．如果a 的值不确定，需分0<a <1和a >1讨论．(2)形如a x >b 的不等式，注意将b 化为以a 为底的指数幂的形式，再借助y ＝a x 的单调性求解．(3)形如a x>b x的不等式，可借助图象求解．2．作函数图象时，除使用描点法外，常见的还有平移变换、对称变换和翻折变换．(1)平移变换：y＝f(x)的图象左移a(a>0)个单位得到y＝f(x＋a)的图象，右移a个单位得到y＝f(x－a)的图象；上移a个单位得到y＝f(x)＋a的图象，下移a个单位得到y＝f(x)－a的图象；(2)对称变换：y＝f(－x)与y＝f(x)的图象关于y轴对称；y＝－f(x)与y＝f(x)的图象关于x 轴对称；y＝－f(－x)与y＝f(x)的图象关于原点对称；(3)翻折变换：①y＝f(x)与y＝|f(x)|的图象之间的关系是：将y＝f(x)在x轴下方的部分翻折到x轴上方而得到y＝|f(x)|的图象(下方部分不再保留)，②y＝f(x)与y＝f(|x|)的图象之间的关系是：将y＝f(x)在y轴左方的部分去掉，作右方部分关于y轴的对称图象，便得到y＝f(|x|)的图象．。
指数函数对数函数比较大小题型总结
1、 ） A 、、 C 、、2 ）A 、、C 、、3、三个数6log ,7.0,67.067.0的大小顺序是（ ）A 、60.70.70.7log 66<<B 、60.70.70.76log 6<< B 、0.760.7log 660.7<< D 、60.70.7log 60.76<< 4、设1.50.90.4812314,8,2y y y -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则（ ）A 、312y y y >>B 、213y y y >>C 、132y y y >>D 、123y y y >>5、当10<<a 时，aa a a a a ,,的大小关系是（ ）A 、aa a a a a >>B 、a a a aa a >> C 、a a a a a a>>D 、aa a a a a >>6．设y 1＝40.9，y 2＝80.48，y 3＝(12)－1.5，则( )A ．y 3>y 1>y 2B ．y 2>y 1>y 3C ．y 1>y 2>y 3D ．y 1>y 3>y 2 7．设13<(13)b <(13)a<1，则( )A ．a a <a b <b aB ．a a <b a <a bC ．a b <a a <b aD ．a b <b a <a a8．若x ＜0且a x ＞b x ＞1，则下列不等式成立的是( )A ．0＜b ＜a ＜1B ．0＜a ＜b ＜1C ．1＜b ＜aD ．1＜a ＜b 9．在⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－1,2－12，⎝ ⎛⎭⎪⎫12－12，2－1中，最大的数是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－1 B ．2－ 12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12－12D ．2－1 10．若a ＝0.512，b ＝0.513，c ＝0.514，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a >b >c B ．a <b <c C ．a <c <b D ．b <c <a 11．比较下列各题中两个值的大小： (1)0.8－0.1,0.8－0.2；(2)1.70.3,0.93.1； (3)a 1.3，a 2.5(a >0，且a ≠1)．12．设y 1＝40.9，y 2＝80.48，y 3＝(12)－1.5，则( )A ．y 3>y 1>y 2B ．y 2>y 1>y 3C ．y 1>y 2>y 3D ．y 1>y 3>y 21．设a ＝log 54，b ＝(log 53)2，c ＝log 45，则( )A ．a ＜c ＜bB ．b ＜c ＜aC ．a ＜b ＜cD ．b ＜a ＜c2．设a ＝lge ，b ＝(lg e)2，c ＝lg e ，则( )A ．a >b >cB ．a >c >bC ．c >a >bD ．c >b >a3．已知a ＝log 23.6，b ＝log 43.2，c ＝log 43.6，则( ) A ．a >b >c B ．a >c >b C ．b >a >c D ．c >a >b4．设a＝log1312，b＝log1323，c＝log343，则a，b，c的大小关系是( )A．a<b<cB．c<b<aC．b<a<cD．b<c<a2．若a＜0，则0.5a,5a,5－a的大小关系是( ) A．5－a＜5a＜0.5a B．5a＜0.5a＜5－aC．0.5a＜5－a＜5a D．5a＜5－a＜0.5a 8．已知2.4α＞2.5α，则α的取值范围是________．9．把(23)－13，(35)12，(25)12，(76)0按从小到大的顺序排列____________________．友情提示：本资料代表个人观点，如有帮助请下载，谢谢您的浏览！。
915076-6指数函数(图像,比较大小,求值)
6指数函数（图像，比较大小，求值）一．选择题（共13小题）1．若a=log20.5，b=20.5，c=0.52，则a，b，c三个数的大小关系是（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．a＜c＜b D．c＜a＜b2．已知，则（）A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b3．已知e为自然对数的底，a=（）﹣0.3，b=（）0.4，c=log e，则a，b，c的大小关系是（）A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．b＜a＜c D．a＜b＜c4．已知，则（）A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b5．已知实数a，b，c满足=3，log3b=﹣，c，则实数a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．b＜c＜a6．设a=，b=，c=，则（）A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．b＜c＜a D．b＜a＜c7．已知a=40.3，b=8，c=30.75，这三个数的大小关系为（）A．b＜a＜c B．c＜a＜b C．a＜b＜c D．c＜b＜a8．若函数f（x）=a x﹣k﹣1（a＞0，a≠1）过定点（2，0），且f（x）在定义域R上是减函数，则g（x）=log a（x+k）的图象是（）A．B．C．D．9．函数y=e﹣|x﹣1|的图象大致形状是（）A．B．C．D．10．已知函数f（x）=x﹣4+，x∈（0，4），当x=a时，f（x）取得最小值b，则函数g（x）=a|x+b|的图象为（）A．B．C．D．11．函数f（x）=﹣3|x|+1的图象大致是（）A． B．C．D．12．函数y=|2x﹣1|的大致图象是（）A．B． C．D．13．函数f（x）=的大致图象是（）A．B．C．D．二．填空题（共9小题）14．已知22x﹣7＜2x﹣3，则x的取值范围为．15．不等式恒成立，则a的取值范围是．16．已知函数f（x）=是（﹣∞，+∞）上的增函数，那么实数a的取值范围是．17．设函数f（x）=，则f（2）=．若f（f（x））≥9，则实数x的取值范围是．18．已知函数+1，则不等式f（2x﹣1）+f（x）＞2的解集为．19．函数y=1﹣（x∈R）的最大值与最小值之和为．20．设．则．21．若函数f（x）=xln（x+）为偶函数，则a=．22．设f（x）=，则f（﹣5）+f（﹣4）+…f（0）+…+f（5）+f（6）的值为．。
指数函数及其应用——比较大小PPT课件
复习
指数函数的定 义
性质
定义: 函数 y a x (a 0，且a 1)
叫指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R.
第1页/共10页
复习
指数函数的定义
性质
（5）当 x>0 时， y>1； （5）当 x>0 时，0<y<1；
同底数幂
同指数幂
不同底也不同指数幂
例．比较下列各题中两个值的大小：
(1) 0.82.5 ，0.83 ；
解：(1) 0 0.8 1，y 0.8x 是减函数，
又 2.5 3 0.82.5 0.83.
问：是否有另解？
同底数幂：可用 单调性比较大小
第4页/共10页
比较大小
同底数幂
同指数幂 不同底也不同指数幂
同指数幂：可利 用图像比较大小
√ 问：是否能用作商法？作差法呢？ 第5页/共10幂
例．比较下列各题中两个值的大小：
(3) 1.70.3 ，0.93.1 .
解：（3）由指数函数的性质知
1.70.3 1.70 1，
不同底也不同指数幂：
0.93.1 0.90 1， 常与“1”比较
当 x<0 时， 第2页/共10页
当 x<0 时，y>1.
复习
指数函数的定义
y (1)x 3
y
y (1)x
8
2
7
6
y 0.8x 5
4
3
2
性质
y 3x
y 2x
y 1.7x
1
●●
-4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 x
比较大小专题复习
比较大小专题1.单调性搭桥具体操作步骤如下：①底数相同，指数不同时，如1x a 和2x a ，利用指数函数x y a =的单调性；②指数相同，底数不同，如1ax 和2ax 利用幂函数a y x =单调性比较大小；③底数相同，真数不同，如1log a x 和2log a x 利用指数函数log a x 单调性比较大小；④底数、指数、真数都不同，寻找中间变量0，1或者其它能判断大小关系的中间量，借助中间量进行大小关系的判定.⑤换底公式1．已知0.20.32log 0.2,2,0.2a b c ===，则A．a b c<<B．a c b<<C．c a b<<D．b c a<<解析：22log 0.2log 10,a =<=0.20221,b =>=0.3000.20.21,<<=则01,c a c b <<<<．故选B．2．设()f x 是定义域为R 的偶函数，且在()0,∞+单调递减，则A．233231log 224f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭B．233231log 224f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C．23332122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭D．23323122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭解析：()f x 是R 上的偶函数，()()3331log log 4=log 44f f f ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭．230323log 412220--∴>=>>>，又()f x 在(0，+∞)单调递减，()23323log 422f f f --⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，23323122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选C．3．已知432a =,254b =,1325c =,则()A．b a c<<B．a b c<<C．b c a<<D．c a b<<解析:因为422335244a b ==>=,1223332554c a ==>=,故选A.4．若101a b c >><<，，则()A.cca b< B.c cab ba< C.log log b a a c b c< D.log log a b c c<解析：对A：由于01c <<，∴函数cy x =在R 上单调递增，因此1cca b a b >>⇔>，A 错误；对B：由于110c -<-<，∴函数1c y x -=在()1,+∞上单调递减，∴111c c c c a b ab ba ab -->>⇔<⇔<，B 错误；对C：要比较log b a c 和log a b c ，只需比较ln ln a c b 和ln ln b c a ，只需比较ln ln c b b 和ln ln ca a，只需ln b b 和ln a a构造函数()()ln 1f x x x x =>，则()'ln 110f x x =+>>，()f x 在()1,+∞上单调递增，因此()()110ln ln 0ln ln f a f b a a b b a a b b>>⇔>>⇔<又由01c <<得ln 0c <，∴ln ln log log ln ln a b c cb c a c a a b b<⇔<，C 正确对D：要比较log a c 和log b c ，只需比较ln ln c a 和ln ln cb而函数ln y x =在()1,+∞上单调递增，故111ln ln 0ln ln a b a b a b>>⇔>>⇔<又由01c <<得ln 0c <，∴ln ln log log ln ln a b c cc c a b>⇔>，D 错误，故选C．5．设,,x y z 为正数,且235x y z ==,则()A．235x y z <<B．523z x y <<C．352y z x <<D．325y x z <<解析：令235xyzk ===,则2log x k =,3log y k =,5log z k =∴22lg lg 3lg 913lg 23lg lg8x k y k =⋅=>,则23x y >，22lg lg 5lg 2515lg 25lg lg 32x k z k =⋅=<,则25x z <,故选D．2．结合重要不等式基本不等式，糖水不等式以及一些重要的恒等关系ba ab b a 11+=+等需注意.6．设0.2log 0.3a =，2log 0.3b =，则A ．0a b ab +<<B ．0ab a b <+<C ．0a b ab+<<D ．0ab a b<<+详解：.0.30.3log0.2,2a b log == 0.2211log0.3,0.3log a b ∴==0.3110.4log a b∴+=1101a b ∴<+<,即01a bab+<<，又a 0,b 0>< ，ab 0∴<即ab a b 0<+<，故选B.7.已知55<84，134<85．设a =log 53，b =log 85，c =log 138，则（）A.a <b <cB.b <a <cC.b <c <aD.c <a <b解析：由题意可知a 、b 、()0,1c ∈，()222528log 3lg 3lg81lg 3lg8lg 3lg8lg 241log 5lg 5lg 522lg 5lg 25lg 5a b ⎛⎫⎛⎫++⎛⎫==⋅<⋅==< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，a b ∴<；由8log 5b =，得85b =，由5458<，得5488b <，54b ∴<，可得45b <；由13log 8c =，得138c =，由45138<，得451313c <，54c ∴>，可得45c >.综上所述，a b c <<.故选：A.8.已知a >0，b >0，且a +b =1，则（）A.2212a b +≥B.122a b->C.22log log 2a b +≥-D.≤解析：对于A ，()222221221a b a a a a +=+-=-+21211222a ⎛⎫⎪⎭+ ⎝≥-=，当且仅当12a b ==时，等号成立，故A 正确；对于B ，211a b a -=->-，所以11222a b-->=，故B 正确；对于C ，2222221log log log log log 224a b a b ab +⎛⎫+=≤==- ⎪⎝⎭，当且仅当12a b ==时，等号成立，故C 不正确；对于D ，因为2112a b =+≤++=，+≤，当且仅当12a b ==时，等号成立，故D 正确；故选：ABD 3．结构一致建同构9．若2233x y x y ---<-，则()A．ln(1)0y x -+>B．ln(1)0y x -+<C．ln ||0x y ->D．ln ||0x y -<解析：由2233x y x y ---<-得：2323x x y y ---<-，令()23t t f t -=-，2x y = 为R 上的增函数，3x y -=为R 上的减函数，()f t ∴为R 上的增函数，x y ∴<，0y x ->Q ，11y x ∴-+>，()ln 10y x ∴-+>，则A 正确，B 错误；x y -Q 与1的大小不确定，故CD 无法确定．故选：A．10．若242log 42log aba b +=+，则()A．2a b >B．2a b<C．2a b >D．2a b <解析：设2()2log x f x x =+，则()f x 为增函数，因为22422log 42log 2log a b ba b b+=+=+所以()(2)f a f b -=2222log (2log 2)a b a b +-+=22222log (2log 2)b b b b +-+21log 102==-<，所以()(2)f a f b <，所以2a b <．2()()f a f b -=22222log (2log )a b a b +-+=222222log (2log )b b b b +-+=22222log b b b --，当1b =时，2()()20f a f b -=>，此时2()()f a f b >，有2a b >当2b =时，2()()10f a f b -=-<，此时2()()f a f b <，有2a b <，所以C、D 错误．故选：B．4.构造函数比较大小1.构造相同函数，比较不同函数值2.构造不同函数，比较相同函数值这类问题虽然可能几个数的形式不一致，但它们的特别是不同的函数取了相同的函数值，所以实质在比较不同函数差值或者商的性质，当然，这种问题下，如果自变量取值靠近基本初等函数的麦克劳林级数展开点，利用泰勒展开来近似估计绝对是一个很好的方法!3.构造不同函数，比较不同函数值这个时候，不等式放缩就是首选之道了！下面的这些不等式放缩需要你的注意.4.先同构，再构造，再比较当题干呈现一个较复杂的等式或者不等式关系，并没有前几类那么明显的数字时，往往可能现需要同构（变形）出一个函数之后再来比较大小.一、构造相同函数，比较不同函数值例1．已知ln 22a =，ln 33b =，ln 55c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．b<c<aB ．c<a<bC ．c b a <<D ．a c b<<解析：方法1.ln 2=2a =，ln 3=3b =，ln 5=5c =<<，又=ln y x 为()0+∞，上增函数，则<c<a<b ，故选：B 方法2.设()ln x f x x =，则()21ln ()0-'=>xf x x x，当()0,e x ∈时，()0f x '>，所以()f x 在(0,e)上递增，()f x 在()e ，+∞上递减.由于5432<<<<e ，)4()2(f f a ==，故选B .例2．若ln2ln3,,23a b c ==）A ．a b c <<B ．b c a <<C ．a c b <<D ．c b a<<解析：设()ln x f x x =，则()21ln ()0-'=>xf x x x，当()0,e x ∈时，()0f x '>，所以()f x 在(0,e)上递增，()f x 在()e ，+∞上递减，因为e 3<<，所以(()3>f f ，c b >，因为ln 3ln 22ln 33ln 2ln 9ln 803266---=-==>b a ，所以a b >；故a b c <<.故选：A.注：在这里，我们需要特别注意函数xxx f ln )(=在相关比较大小问题中的出镜率，以及结合对数性质，所出现的x x x exe e x g ==ln )(型等等，比如可以看下例.例3．设a =，b =，24ln 4e c -=，则（）A ．a b c <<B ．c b a<<C ．a c b<<D ．b c a<<解析：设()ln xf x x=，,()0x ∈+∞，所以()f x 在(0,e)上单调递增，在(e,)+∞上单调递减.而a f ==，12ln 2ln 4ln 2(2)(4)24b f f =====，22222e ln 4ln 42ln 2e 2e e e 222c f ⎛⎫--==== ⎪⎝⎭，因为02e <<<2e 42<，所以a b c <<．故选：A ．二、构造不同函数，比较相同函数值这类问题虽然可能几个数的形式不一致，但它们的特别是不同的函数取了相同的函数值，所以实质在比较不同函数差值或者商的性质，当然，这种问题下，如果自变量取值靠近基本初等函数的麦克劳林级数展开点，利用泰勒展开来近似估计绝对是一个很好的方法!例4．设0.110.1e ,ln 0.99a b c ===-，，则（）A ．a b c <<B ．c b a<<C ．c<a<bD ．a c b<<解析：方法1.构造函数，作差（商）比较大小，即讨论差（商）函数的性质.令e =x a x ，1xb x=-，ln(1)c x =--，为了方便比较，做如下处理：ln ln ln [ln ln(1)]-=+---a b x x x x ，ln(1),(0.0.1]y x x x =+-∈；1'1011xy x x-=-=<--，所以0y ，所以ln ln 0-a b ，所以b a >e ln(1),(0,0.1]-=+-∈xa c x x x ，1(1)(1)e 1'e e 11+--=+-=--x xxx x y x x x，令()(1)(1)1x k x x x e =+--，所以2'()(12)e 0=-->x k x x x ，所以()(0)0k x k >>，所以'0y >，所以0a c ->，所以a c >．方法2.构造函数，利用泰勒展开直接估值.构造函数.则可以看到：，由于1.0较小，所以对上述三个函数在0=x 处进行二阶泰勒展开：；（公众号：凌晨讲数学）；.在处，显然，故.例5．设ln1.1a =，0.1e 1b =-，tan 0.1c =，0.4d π=，则（）A ．a b c d <<<B ．a c b d<<<C ．a b d c <<<D ．a c d b<<<解析：方法1.（构造函数，泰勒展开估计）设()()ln 1a x x =+，()e 1x b x =-，()tan c x x =，()4d x x π=，注意到题干实质在比较：)1.0(),1.0(),1.0(),1.0(d c b a ，且考虑到1.0接近于0，故对上述函数在0=x 进行泰勒展开即：π4.0)(,3)(,2)(,2)(322=+≈+≈-≈x d x x x c x x x b x x x a ，代入1.0=x 到上式，显然易得：d b c a >>>，故选：B 方法2.（构造函数，作差比大小）易得()()()()0000a b c d ===.设()()4e 1x y d x b x π=--+=，则令0e 4x y π'=-=有4lnx π=，故()()y d x b x =-在4,ln π⎛⎫-∞⎪⎝⎭上单调递增.①因为10101055544525243e 3.2416162π⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫>==>=> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即104e π⎛⎫> ⎪⎝⎭，故410ln 1π>，即4ln 0.1π>，故()()()()0.10.1000d b d b ->-=，即d b >.②设()()e 1tan xy b x c x x --=-=，则222e 1cos 1c e os cos x x y x x x'=--=，设()2cos e 1x f x x =-，则()()()22cos 2si e e n sin 2sin 1x x x x f x x x '==---+.设()sin g x x x =-，则()1cos 0g x x '=-≥，故()sin g x x x =-为增函数，故()()00g x g ≥=，即sin x x ≥.故()()()2221e e 12x xx x x f x ⎡⎤≥--+=-++⎣'⎦，当[]0,0.1x ∈时()0f x '>，()2cos e 1x f x x =-为增函数，故()02cos 01e 0f x ≥-=，故当[]0,0.1x ∈时()()y b x c x =-为增函数，故()()()()0.10.1000b c b c ->-=，故b c >.③设()()()tan ln 1y c x a x x x -==+-，()2221sin cos co 111s x xy xx x x +-++'==，易得当()0,0.1x ∈时0y '>，故()()()()0.10.1000c a c a ->-=，即c a >.综上d b c a>>>三、构造不同函数，比较不同函数值这个时候，不等式放缩就是首选之道了！下面的这些不等式放缩需要你的注意.1.切线不等式：高中几个重要的函数x y x y e y xsin ,ln ,===都具有凸凹性，这样我们便可通过切线来构造不等式，具体的原理请见《高观点：函数凸凹性》，这里只列举一些重要的切线不等式：1.10,1≥+≥x x e x；1.20,1ln >-≤x x x ；将这两个切线不等式进行合适的取值与加减项，又可得到更多的不等式：①nn x n xx x xx xxx xnx e x e x e x e >−−−→−>−−−→−>−−−→−>===令：令：令：；;27;43322②)0(,1<<−−→−->-x xe x ex x取倒数；；③)1(,111<-<−−→−+->-x x e x e x x取倒数；；1ln 11ln ln 1-≥⇔-≥⇒≥-x x x xx x x 2.高次不等式放缩2.11212++≥x x e x ；2.20,2)1ln(2≥-≥+x x x x ；2.30,6sin 3≥-≥x x x x ；2.421cos 2x x -≥.3.分式不等式放缩3.10,11ln >-≥x xx 3.2⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<+-<≥+-≥10,1)1(2ln 1,1)1(2ln x x x x x x x x 例6．已知910a =，19e b -=，101ln 11c =+，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a b c<<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．c a b<<解：设()e 1x f x x =--，()e 1xf x '=-，令()0f x ¢=，解得0x =.(),0x ∈-∞，()0f x ¢<，()f x 单调递减，()0,x ∞∈+，()0f x ¢>，()f x 单调递增.所以()()00f x f ≥=，即e 10x x --≥，当且仅当0x =时取等号.所以()e 10xx x >+≠.又1911101e 199b a=>+==，故11b a >，所以b a <；设()ln 1g x x x =-+，()111xg x x x-'=-=，令()0g x ¢=，解得1x =.()0,1∈x ，()0g x ¢>，()g x 单调递增，()1,x ∈+∞，()0g x ¢<，()g x 单调递减.所以()()10g x g ≤=，即ln 10x x -+≤，当且仅当1x =时取等号.所以()ln 11x x x <-≠，故11111ln1101010<-=，又1011011ln ln ln ln1011101110c a -=+>+=，所以c a >，故b a c <<.故选：B.例7.设1sin 6111,e 1,ln 59a b c ==-=，（e 是自然对数的底数），则（）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c a b>>D ．b c a>>解析：由于1,1)1(2ln >+->x x x x ，故519209221911)1911(2911ln =⨯=+->所以对1-x e 也用帕德逼近xx e e x xxe x <<-<-∈-+<sin 11),2,0(,226161sin 5155115510112111131612612161=<==-=--+<-e ，故b a c >>.当题干呈现一个较复杂的等式或者不等式关系，并没有前几类那么明显的数字时，往往可能现需要同构（变形）出一个函数之后再来比较大小.例8.已知5a <且5e 5e ,4a a b =<且44,3b be e c =<且3e 3e c c =，则（）A.c b a<< B.b<c<aC.a c b<< D.a b c<<解析：因为5e 5e ,5aa a =<，故0a >，同理0,0bc >>，令(),0x e f x x x=>，则()()21x e x f x x-'=，当01x <<时，()0f x '<，当1x >时，()0f x ¢>，故()f x 在()0,1为减函数，在()1,+∞为增函数，因为5e 5e ,5aa a =<，故5e e5a a=，即()()5f f a =，而05a <<，故01a <<，同理01b <<，01c <<，()()4f f b =，()()3f f c =因为()()()543f f f >>，故()()()f a f b f c >>，所以01a b c <<<<.故选：D ．设()ln f x x x =，可得(e )()eaf f <，因为0a >，可得e 1a >，又因为(ln 1)0,0b b b ->>，所以ln 1b >，即e b >，附：泰勒公式00x =时的麦克劳林公式：21()2!!nxn x x e x o x n =+++++ 352112sin (1)()3!5!(21)!m m m x x x x x o x m --=-+++-+-24221cos 1(1)()2!4!(2)!m m m x x x x o x m +=-+++-+ 231ln(1)(1)()23n n n x x x x x o x n-+=-+++-+ 2(1)(1)(1)(1)1()2!!n n n x x x x o x n ααααααα---++=+++++ 211()1n n x x x o x x =+++++-练习题：1．若2log 3a =，3log 4b =，4log 5c =，则a 、b 、c 的大小关系是（）A ．a b c<<B ．b c a <<C ．b a c <<D ．c b a <<解：由题意，22log 3log 21>=，33log 4log 31>=，44log 5log 41>=，即1,1a b >>，1c >，21242221log 5log 5log 5log 5log 2c ===== 22log 3log a =>1a c >>，222log l 33og a =>= ，而332log 4l og 3b ==<，即312a b >>>，又5435log l og 43== 33log 4log b ==而4543>，则33l g log o >，即54b >，同理，5445log log 44== 445og l log c ==5445>，则44l g log o >54c >，综上得：35124a b c >>>>>，所以c b a <<.故选：D.习题2．若sin1tan1a =+，2b =，1ln 42c =+，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．c b a <<B ．c a b <<C ．a b c <<D ．b c a<<解析：令()12ln f x x x x =+-，则()()222221212110x x x f x x x x x----+-'=+-==≤，则()f x 在定义域()0,∞+上单调递减，所以()()210f f <=，即12ln 2202+-<，所以1ln 422+<，即b c >，令()sin tan 2g x x x x =+-，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()32221cos 2cos 1cos 2cos cos x x g x x x x -+'=+-=，因为0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()cos 0,1x ∈，令()3221h x x x =-+，()0,1x ∈，则()()234340h x x x x x '=-=-<，即()h x 在()0,1上单调递减，所以()()10h x h >=，所以()0g x '>，即()g x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，所以()()100g g >=，即sin1tan120+->，即sin1tan12+>，即a b >，综上可得a b c >>；故选：A.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
《指数函数比较大小》专题
2014年（）月（）日班级：姓名
每道错题做三遍。
第一遍：讲评时；第二遍：一周后；第三遍：考试前。
图像特征函数性质x
y a
=
图像都位于x轴方x取任何实数时，都有x a 0 函数图象都经过点（，）无论a取任何正数时，总有01
a=
图像m在第一象限内的纵坐标都 1；
在第二象限内的纵坐标都 1。
图像n正好相反，
第一象限内的纵坐标都 1；
在第二象限内的纵坐标都 1。
当1
a>时，
当0
x>时，1
x
a>，
当0
x<时，01
x
a
<<；当01
a
<<时，
当0
x>时，01
x
a
<<，当0
x<时，1
x
a>。
自左往右看，图像m逐渐上升，
图像n逐渐下降当1
a>时，x
y a
=是增函数；当01
a
<<时，x
y a
=是减函数
【类型一】比较大小
1.比较下列各组数中两个值的大小：
(1) 30.8，30.7；(2) 0.75－0.1，0.750.1；(3) 1.012.7，1.013.5；(4) 0.993.3，0.994.5.
2. (1)已知3x≥30.5，求实数x的取值范围；(2)已知0.2x<25，求实数x的取值范围．
3．已知下列不等式，比较m、n的大小．
(1)2m<2n； (2)0.2m>0.2n； (3)a m<a n(0<a<1)； (4)a m>a n(a>1)．
4．比较下列各组数中两个值的大小： （21）32和（21）31 （21）32和 （51）32 （21）31和 （5
1）32
5．将下列各数排列起来 （21）31，（21）32，（5
1）32
6.已知a>b,ab 0≠下列不等式①a 2>b 2, ②2a >2b , ③b a 11<, ④a 31>b 31
,⑤(31)a <(31)b 中恒成立的有（ ）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
7．若a 23<a
2,则a 的取值范围是 。
8.曲线
分别是指数函数 ,
和 的图象,则 与1的大小关系是 ( ).
( 9. 已知x ＞0，函数y=(a 2－8)x 的值恒大于1，则实数a 的取值范围是______．
10.已知三个实数a ,b=a a ,c=a a a ,且0.9<a <1,则这三个数（ ）
A.a <c <b
B.a <b <c
C.b<a <c
D.c<a <b
11．不等式226x x-+<1的解集是________．
12．若函数y ＝(a 2－3a ＋3)·a x 是指数函数，则它的单调性情况为____ _______．
13． x ∈(1，＋∞)时，x α＞x β，则α、β间的大小关系是[ ]
A ．|α|＞|β|
B ．α＞β
C ．α≥0≥β
D ．β＞0＞α
【小结】比较幂大小的方法
(1)对于底数相同，指数不同的两个幂的大小，利用指数函数的________性来判断；
(2)对于底数不同的两个幂，想看看是否能变化成相同底数；
(3)对于底数不同，不易化成同底数的两个幂的大小，则通过_____ ___来判断．经常用到0或1。