《大学物理AI》作业 No.09 磁感应强度 磁场高斯定理与环路定理

S
填空题 8 图
9.如图所示，在无限长直载流导线的右侧有面积为 S1 和 S2 的两个矩形回路。 两个回路与长直载流导线在同一个平面内，并且矩形回路的一边与长直载流 导线平行。通过面积为 S1 的矩形回路的磁通量与通过面积为 S2 的矩形回路的 磁通量之比为（1:1）。
解：通过 S1 的磁通量

2
r2 r2
B BI1
B
I2
=
0 r1 2
j
k

r1 r1
-
0r2 j
k
r2

0 j
kd
2
r2 2
将流密度
j

R2
I r2
代入可得：
则空心部分磁场大小为
B

0 Id 2 π(R2
r2)
，方向在截面内竖直向上。如图所示：
计算题 3 图
4
4.带电刚性细杆 AB，电荷线密度为 ，绕垂直于直线的轴 O 以 ω 角速度匀速转动（O 点在细杆 AB 延
点，如图所示。现在稳恒电流 I 从 a 端流入而从 b 端流出。求：
（1）求圆环中心 O 点的 BO ；
d

c
（2）磁感应强度沿图中所示的闭合路径 L 的线积分 B d l ?
L
计算题 2 图
解：（1）如图所示，圆环中心 O 点的 BO ，只与半无限长电流 Iaa 、圆弧电流 Iacb 和圆弧电流 Iadb 有关。

Bdl
（
0I
）（环路
a）；

Bdl
（0）（环路

b）； Bdl
（
2 0 I
）（环路
c）。
二、简答题
1.高斯定理揭示出磁场是无源场，这里的源指的是什么？是无本之源的意思吗？ 答：这里的源是指“磁单极子”或者“磁荷”这样的源，并非是无本之源的意思。实际上产生磁场的 源就是运动的电荷。
dr r
O 点的磁感应强度大小为
BO
dB

0 4
ab a
dr r

0 4
ln
a
a
b
0 时的方向为
A dr B
计算题 4 图
5
2
三、计算题
1、有一无限长通有电流 I、宽度为 a、厚度不计的扁平铜片，电流 I 在铜片上均匀 分布，求在铜片外与铜片共面、离铜片右边缘 b 处的 P 点 (如图所示) 的磁感应强
度 B 的大小和方向。
I
b
a
P
计算题 1 图
解：建立如图 Ox 坐标轴，在坐标 x 处取宽度为 dx 的窄条电流 dI I dx ，它在 P 点产生的磁感应强度为： a
dB

u0 d I 2 (a b
x)

u0 I 2 a

(a
dx b
x)
方向
P 点磁感应强度大小为：
B
dB

u0 I 2 a
a 0
(a
dx b
x)

u0 I 2 a
ln
a
b
b
I
b
a
P
x
O dx
x
2、长直导线 aa 与一半径为 R 的导体圆环相切于 a 点，另一长直导线 bb 沿半径方向与圆环相接于 b
设 OP r1，OP r2 ，对环路 L1 有：

B dl L1

B I1 2 π r1
0 j π r12
得：
BI1

u0 jr1 2
，考虑方向后，
B
I1

0 r1
j
k

2
r1 r1
（电流垂
直向外的方向为 k ）
同理可得： B I 2

0 r2
j
k
内均匀分布，方向平行于轴线，求：空心部分中任一点 P 的磁感应强度。
解：用补偿法做。原电流分布等效为半径 R 的实心圆柱电流 I1 减去半径为 r 的
实心电流 I2 ；原电流密度
j

R2
I r2
，则 I1

jR2 ， I2

jr 2

空心部分磁场为
B

BI1

B I2

其中 BI1和BI2 可分别用安培环路定理来求解，如图所示：
《大学物理 AI》作业 No.09 磁感应强度 磁场高斯定理和环路定理
班级 ________ 学号 ________ 姓名 _________ 成绩 ______
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半无限长电流 Ibb 在 O 点磁感应强度为零。导线 acb 与导线 adb 为并联，根据并联分流原则可得：
I acb

1 3
I
，
I adb

2 3
I
；规定以穿出纸面向外的方向为正方向，则：
半无限长电流
I
aa
在
O
的磁感应强度为：
0 I 4R
圆弧电流
I acb
在
O
的磁感应强度为：
2 3

0
1 3
Φ1
2a BdS
a
2a 0I hdr 0Ih ln2
a 2πr
2π
I
S1 S2
aa
2a
填空题 9 图
通过 S1 的磁通量
Φ1
4a BdS
2a
4a 0I hdr 0Ih ln2
2a 2πr
2π
10.两根长直导线通有电流 I，在图示三种环路中：
填空题 10 图
长线上），求 O 点的磁感应强度 Bo ；
Or
解：带电细杆匀速转动，等效为一系列环形电流。
如图示在 AB 上距 O 点 r 处取线元 d r ，其上带电量 dq dr
dq 旋转对应的电流强度为
dI

2
dq

2
dr
它在 O 点产生的磁感应强度大小为 dB

0dI 2r

0 4
磁感应线（不相交）；由载流导线产生的磁场，其磁感应线与电流间相互（套联）。
2.通过磁场中任意闭合曲面的磁通量总等于（零），这称为磁场的高斯定理。磁场的高斯定理揭示出磁 场是一种无源场，即不存在（磁单极子）这样的源。
3.在恒定磁场中，磁感应强度 B 沿任意闭合路径的线积分等于（穿过该路径所有电流的代数和与真空磁
2.能否用安培环路定理求解一有限长载流导线的的磁感应强度，为什么？ 答：不能。因为有限长的载流导线的磁感应强度分布不具有对称性，不能找到一个积分路径，在这个

路径上 B 的大小是一个常数，使得 Bdl 积分时，能将 B 提到积分号外。
3.、匀速转动的无限长均匀带电圆柱面、无限大载流平面等。
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一、填空题
1.无论是永磁铁，还是电磁铁，其磁场本质都是由（运动电荷）产生。磁感应线是为了形象的描述磁场 分布引入的一种虚拟曲线，其特点是：磁感应线是（闭合）曲线，或两端伸向（无穷远）；任意两条
导率 0 的乘积），这个结论称为安培环路定理，磁场的安培环路定理揭示出磁场
是一种（非保守）、（有旋）场；利用安培环路定理求电流磁场分布的条件是， 电流分布与磁场分布要满足（某些对称）条件。
4.如图所示，无限长直导线在 Q 处弯成半径为 r 的圆，当通以电流 I 时，则在圆心 O
u0I u0I 点的磁感应强度大小为（ 2r 2r ）。
填空题 4 图
5.一个电量为 q 的电点荷以 的角速度绕着 O 点做半径为 r 的圆周运动，其等效的圆线圈电流强度为
（
I

q 2
），O
点磁感强度大小为（
B

0q 4r
）。
6.如图所示三个电流，在曲率中心（图中小点）激发的磁感应强度
B 的大小顺序为（a>c>b）。
填空题 6 图
7.一长直螺线管是由直径 d = 0.2mm 的漆包线密绕而成。当它通以 I = 0.5A 的电流时, 其内部的磁感应
强度 B =（ 0I / d 3.14 10（3 T））。(忽略绝缘层厚度）。
1
解：
B

0nI
，n

1 d
。
8.如图所示，在无限长载流直导线附近，闭合球面 S 向导线靠近，则穿过球面 S 的磁通量Φm 将（不变），球面 S 上各点的磁感应强度 B 的大小将（增大）。（选 I 填项：“增大”、“不变”、“减小”）
I
2R
；圆弧电流
I acb
在
O
的磁感应强度为：
-
1 3

2 03 2R
I
圆环中心
O
点的总磁感应强度，
BO

0 I 4R

2 3

0
1 3
I
2R
-
1 3
0
2 3
I
2R
=