复变函数1 复数与复变函数

z1 x1 x 2 + y 1 y 2 x 2 y 1 − x1 y 2 = +i ( z2 ≠ 0) 2 2 2 2 z2 x2 + y2 x2 + y2
复数运算满足交换律,结合律和分配律:
z1+z2=z2+z1 ; z1z2=z2z1 ; z1+(z2+z3)=(z1+z2)+z3) z1(z2z3)=(z1z2)z3 ; z1(z2+z3)=z1z2+z1z3 .
2 2
θ
z = z = r = x + y ----复数z的模 r z 与x轴正向的夹角θ ----复数z的辐角(argument)
2 2
0 r
x
记作Arg z=θ . 任何一个复数z≠0有无穷多个幅角,将满足 −π <θ0≤π 的θ0 称为Arg z的主值, 记作θ0=arg z .则 Arg z=θ0+2kπ =arg z +2kπ (k为任意整数)
Argz1 z2 = Argz1 + Argz2 = −
π
2
+ 2kπ
( k, m , n ∈ Z )
若取 k = 1, 则 n = −1 , m = 1 , 若取 m = n = 0 , 则 k = 1.
( n = −m ) ;
按照乘积的定义, 当z1≠0时, 有
⎧ z2 z1 ⎪ z2 = z1 z2 ⎪ z2 = z1 ⇒ ⎨ ( z1 ≠ 0 ) z1 ⎪ Argz = Arg z 2 + Argz 2 1 ⎪ z1 ⎩ ⎧ z2 z2 = ⎪ z1 ⎪ z1 z r 2 2 i (θ 2 −θ1 ) ⇒ ⎨ = e ; ⎪ Arg z2 = Argz − Argz z1 r1 2 1 ⎪ z1 ⎩
⇔
他们的实部和虚部都相等
复数的表示法 1.代数形式 : z = x + iy
1)点表示 虚轴
复数z = x + iy ↔ 平面XOY 上的点 z ( x, y )
y y r
θ
z(x,y)
复平面
0
x
实轴
x
2) 向量表示
y
r 复数z=x+iy ↔ 矢径z
y
r = | |z
r z z=x+iy
| x |≤| z |,| y |≤| z | | z |≤| x | + | y |, zz =| z | =| z | x
⎧ x = x1 + t ( x2 − x1 ), ⎨ ⎩ y = y1 + t ( y 2 − y1 ).
( −∞ < t < +∞ )
因此, 它的复数形式的参数方程为
z=z1+t(z2−z1). (−∞<t<+∞)
由此得知由z1到z2的直线段的参数方程可以写成
1 得知线段 z1 z2 取 t= 2
2 ）开方: 若满足，wn 记为 于是
= z 则称w为z的n次方根， n w= z .
= ze
iArg z
w e
n
inArg w
推得
⎧w = n z ⎪ argz + 2kπ ⎪ ⎨ Argw = n ⎪ ⎪(k = 0,1, 2,L , n − 1) ⎩
从而
n
z=
1 n
n
z e
i
arg z + 2 kπ n
§1.1复数及其表示法 一对有序实数（x, y）构成一个复数，记为 z = x + iy .
x, y 分别称为 Z 的实部和虚部, 记作x=Re(Z), y=Im(Z), i = −1 . z = x − iy 称为 Z 的共轭复数。
两个复数相等
特别地，z = x + iy = 0 ⇔ x = y = 0 与实数不同, 一般说来, 任意两个复数不能比较大小.
arg z + 2kπ arg z + 2kπ ⎞ ⎛ = r ⎜ cos + i sin ⎟ n n ⎝ ⎠ (k = 0,1,L , n − 1)
几何解释：z1/n的n个值就是以原点为中心, r1/n为半径的圆 的内接正n边形的n个顶点。
π π⎞ ⎛ [解] 因为 1 + i = 2 ⎜ cos + i sin ⎟ , 例2 求 1 + i . 4 4⎠ ⎝ π ⎛ π ⎞ + 2kπ + 2kπ ⎟ ⎜ + i sin 4 所以 4 1+ i = 8 2 ⎜ cos 4 ⎟ ,(k = 0,1,2,3) 4 4 ⎟ ⎜ ⎝ ⎠
定理1 两个复数乘积的模等于它们的模的乘积, 两个复 数乘积的幅角等于它们幅角的和.
几何上 z1z2 相 当于将 z2 的 模扩大 |z1| 倍 并旋转一个角 度Arg z1 .
y
z1 z2
r1r2
θ1
iz1
θ1 +θ2
0
θ1
θ2
r2 r1
z2 z1
2 z1
1
x
的意思是等式的两
等式 Arg(z1z2)=Arg z1+Arg z2,
定理2 两个复数的商的模等于它们的模的商, 两个复数 的商的辐角等于被除数与除数的幅角之差.
2 . 乘方与开方运算 1）乘方 z
n
=r e
n inθ
= r ( cos nθ + i sin nθ )
n
n
De Moivre 公式： ( cosθ + i sin θ ) = cos nθ + i sin nθ
| x + ( y + 1)i |= 2 x + ( y + 1) = 2,
2 2
O
x + ( y + 1) = 4
2 2
2)wenku.baidu.com
| z − 2i |=| z + 2 |
几何上, 该方程表示到点2i和−2的距离相等的点的轨 迹, 所以方程表示的曲线就是连接点2i和−2的线段的垂直 平分线, 方程为 y = − x , 也可用代数的方法求出。
y=−x
y 2i
−2
O y
O
x x y=−3
3)
Im(i + z ) = 4.
设 z = x + i y , 那末
z=z1+t(z2−z1). (0≤t≤1)
z1 + z2 z= 2
的中点为
例4 求下列方程所表示的曲线:
1) 2) 3)
| z + i |= 2; | z − 2i |=| z + 2 |; Im(i + z ) = 4.
解：
1)
| z + i |= 2
y x −i
设 z = x + i y , 方程变为
z = r (cos θ + i sin θ )
利用欧拉公式 e iθ = cosθ + i sinθ 得指数表示式:
z = re
iθ
( r = z , θ = Arg z )
例1 将下列复数化为三角表示式与指数表示式. π π 1) z = − 12 − 2i; 2) z = sin + i cos . 5 5 [解] 1) r =| z |= 12 + 4 = 4. z在第三象限, 因此
复变函数的 理论和方法在数学，自然科学和工程技术中有 着广泛的应用，是解决诸如流体力学，电磁学，热学弹性理论中 平面问题的有力工具。 复变函数中的许多概念，理论和方法是实变函数在复数领域的 推广和发展 。
第一章
复数与复变函数
自变量为复数的函数就是复变函数, 它是本课程的研究对象.由 于在中学阶段已经学过复数的概念和复数的运算,本章将在原有的基 础上作简要的复习和补充; 然后再介绍复平面上的区域以及复变函 数的极限与连续性的概念, 为进一步研究解析函数理论和方法奠定 必要的基础.
(
)
r = z =1, z
=e
.
§1.2复数复数的运算
1 . 四则运算 设 z1 = x1 + iy1,
z2 = x2 + iy2
z 1 ± z 2 = x1 ± x 2 + i ( y 1 ± y 2 ) z 1 z 2 = ( x1 x 2 − y 1 y 2 ) + i ( x1 y 2 + x 2 y 1 )
说明：当 z 在第二象限时，
< θ = arg z < π ⇒ − < θ − π < 0 2 2 y y ⇒ θ − π = arctan ⇒ tan(θ − π ) = − tan(π −θ ) = tanθ = x x y ⇒ θ = π + arctan . x
π
π
2.指数形式与三角形式 利用直角坐标与极坐标的关系: x = r cosθ, y = r sinθ, 可以将z表示成三角表示式:
加减法与平行四边形 法则的几何意义:
z2
z1 + z2
z1 − z2
z1
乘、除法的几何意义:
z1 = r1 e
iθ 1
,
z 2 = r2 e
iθ 2
,
z1 z 2 = r1 r2 e
i (θ 1 + θ 2 )
,
⎧ z1 z 2 = r1 r2 = z1 z 2 ⎨ ⎩ Argz1 z 2 = A rg z1 + Argz 2
8
O
w3
四个根是内接于中心在原 点半径为21/8的圆的正方 形的四个顶点.
§1.3复数形式的代数方程与平面几何图形
很多平面图形能用复数形式的方程(或不等式)来表 示; 也可以由给定的复数形式的方程(或不等式)来确定 它所表示的平面图形. 例3 将通过两点z1=x1+iy1与z2=x2+iy2的直线用复数形式的方 程来表示. [解] 通过点(x1,y1)与(x2,y2)的直线可用参数方程表示为
当 z = 0 时, | z | = 0, 而幅角不确定. arg z可由下列关系确定:
y ⎧ ⎪ arctan x , z 在第一、四象限 ⎪ y π y π ⎪ arg z = ⎨π + arctan , z 在第二象限 其中 − < arctan < 2 x 2 x ⎪ y ⎪ ⎪ − π + arctan x , z 在第三象限 ⎩
边都是无限集合, 两边的集合相等, 即每给定等式左边 的一个数, 就有等式右边的一个数与之对应, 反之亦然.
例2：设 z1 = −1 ,
z2 = i . 求 z1 z2
π
2
：
;
Argz1 z2 .
z1 z2 = −i = e 解：
−i
;
Argz1 = π + 2nπ ,
Argz2 =
π
2
+ 2mπ ,
3 5 ⎛ −2 ⎞ θ = arctan ⎜ ⎟ − π = arctan 3 − π = − 6 π . 因此 ⎝ − 12 ⎠
5 5 ⎡ ⎤ z = 4 ⎢ c o s ( − π ) + i s in ( − π ) ⎥ = 4 e 6 6 ⎣ ⎦
−
5 πi 6
2) 显然, r = | z | = 1, 又 π π ⎞ 3 ⎛π = cos ⎜ − π , s in ⎟ = cos 5 5 ⎠ 10 ⎝ 2 π π ⎞ 3 ⎛π = s in ⎜ − π . cos ⎟ = s in 5 5 ⎠ 10 ⎝ 2 3 i π 3 3 z = cos π + i sin π = e 10 因此 10 10 练习： 写出 z = − 1 + i 3 的辐角和它的指数形式。 2 3 2 π 2π 解： arg z = arctan , + π = arctan − 3 + π = − + π = 3 3 −1 2 2π Argz = arg z + 2kπ = + 2kπ , k ∈ Z , 3 i 2π 3
引 言
在十六世纪中叶，G. Cardano (1501-1576) 在研究一元二次 方程 x (10 − x ) = 40时引进了复数。他发现这个方程没有根，并 把这个方程的两个根形式地表为 5 + −15与5 − −15 。在当时， 包括他自己在内，谁也弄不清这样表示有什麽好处。事实上， 复数被Cardano引入后，在很长一段时间内不被人们所理睬，并 被认为是没有意义的，不能接受的“虚数”。直到十七与十八世纪， 随着微积分的产生与发展，情况才有好转。特别是由于 L.Euler 的研究结果，复数终于起了重要的作用。例如大家所熟知的 iθ e = cos θ + i sin θ 揭示了复指数函数与三角函数之 Euler公式 间的关系。然而一直到C.Wessel (挪威.1745-1818)和R.Argand (法国.1768-1822）将复数用平面向量或点来表示，以及 K.F.Gauss (德国1777-1855)与W.R.Hamilton (爱尔兰1805-1865) 定义复数 a + ib 为一对有序实数后，才消除人们对复数真实性 的长久疑虑，“复变函数”这一数学分支到此才顺利地得到建立和 发展。
4
即
π π⎞ ⎛ w0 = 2 ⎜ cos + i sin ⎟ , 16 ⎠ ⎝ 16 9π ⎞ ⎛ 9π 8 w1 = 2 ⎜ cos + i sin ⎟ , 16 16 ⎠ ⎝
8
w1
y 1+i
2
8
2
w0 x
17π ⎞ w ⎛ 17π + i sin w2 = 2 ⎜ cos ⎟, 2 16 16 ⎠ ⎝ 25π ⎞ ⎛ 25π 8 + i sin w3 = 2 ⎜ cos ⎟. 16 16 ⎠ ⎝