投影变换与图像校正
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m31 m32 m33 m34 m41 m42 m43 m44
x向位移
x向 y向 z向透视变换结果
展开理解：
位移：|x y z 1| 1 1 1
Tx Ty Tz 1
= |x+ Tx,y+ Ty,z+ Tz , 1|
透视：
x2 x1 , f f z
y2 y1 f f z
得 : x2
f x1 f z
m11x1+ m21y1+ m31z1+ m41－m14x1x2－m24y1x2－m34z1x2 = x2 m12x1+ m22y1+ m32z1+ m42－m14x1y2－m24y1y2－m34z1y2= y2
12个系数，仅有二个方程，需要6对点可解。
立体测量原理：
立体测量参照系统的标定：
3.2 几何变换
-sinθ cosθ 0
0
01
x3 y2 x2
θ
θ
y1
x1
矩阵正交条件:
n
1
aik a jk
k 1
0
i j
i
j
n
或： akiakj
k 1
1 0
i j
i
j
旋转阵R为正交矩阵:
二维时:
y1 = cosθ sinθ x1
y2 -sinθ cosθ x2
有： x1 = cosθ –sinθ y1
x2 sinθ cosθ y2
得 Y 与 X 间关系：
y1= L11 X1+ L12 X2+ L13 X3
y2= L21 X1+ L22 X2+ L23 X3
y3= L31 X1+ L32 X2+ L33 X3
如： y1
L1
L11 L12 L13
Y= y2
R= L2 = L21 L22 L23
y3
L3
L31 L32 L33
则有Y = R X
B cd
B* 两条平行线变换后是否仍平行？
01 绕x=y轴∣x y∣ 0 1 =∣y, x∣=∣x* y*∣
10
剪移：∣x y∣ 1 b = ∣x, bx+y∣ 01 = ∣x* y*∣
同样：∣x y∣ 1 0 = ∣cx+y ,y∣ c1 = ∣x* y*∣
y
bx y
p*(x,bx+y)
p(x,y)
bx
x
2) 直线变换－－两个点的变换
A a b = A*
三维时： 有：L112 + L122 + L132 =1
A2（cos2α+ cos2β+ cos2γ）= A2
A
正交阵 RT = R-1
有： X = RTY
γ
αβ
x1= L11y1+ L21y2+ L31y3 x2= L12y1+ L22y2+ L32y3 x3= L13y1+ L23y2+ L33y3
y2
x2
x2
x
y1
y2
β y1 γ
x1
x1
[三维坐标中] 绕x3转θ角 则有:
L11= cosθ L12= cos(90°-θ) = sinθ L13=0 L21= cos(90°+θ) = -sinθ L22= cosθ L23= L31= L32= 0 = cos90° L33=1
即：R= cosθ sinθ 0
=| m11x1 m22y1 m33z1 m44 |
分项比
总比例
由三维变到二维空间：
| x1 y1 z1 1| m11 m12 0 m14
m21 m22 0 m24
矩阵A
m31 m32 0 m34 m41 m42 0 m44
= WH|x2 y2 0 1 |
矩阵C
矩阵B
讨论：
① 给定mij及空间点A，可求C，即由三维求二维投影结果。 ② 由B、C求A，即由两组不同的二维投影，可以算出三维空间坐 标，用于立体测距（两个相机相对关系确定，如二目测距）
γ x
任意旋转：
R Ri Rj Rk i, j, k 1,2,3
注意到：
m11 m12 m13
R = m21 m22 m23
m31 m32 m33
只包括旋转。
进一步的（旋转、位移、透视、缩放）如何呢？ [我们]引入齐次坐标系，扩展了非线性项—透视、位移
m11 m12 m13 m14 H = m21 m22 m23 m24
[研究典型的变换关系、典型线性变换、二维面上的线性变换含义表 示及特征。]
1) 点变换
比例变换：[x y] a 0
0b 旧坐标
= ∣ax, by∣=∣x* y*∣ 新坐标
原点变换：∣x y∣ a b = ∣0 0∣
cd
翻转：
绕x轴∣x y∣ 1
=∣x, -y∣=∣x* y*∣
-1 绕y轴∣x y∣ -1 0 =∣-x, y∣=∣x* y*∣
③ 由A、C求B，由足够的空间点对及其二维投影可算出两坐标系 间的变换关系（mij）
[展开:] WH x2 = m11x1+ m21y1+ m31z1+ m41 WH y2 = m12x1+ m22y1+ m32z1+ m42 WH = m14x1+ m24y1+ m34z1+ m44
令m44=1，消去WH得：
x1 1 z
f
y1
y2 z
p2
Baidu Nhomakorabea
f
x2
焦点
| x1 y1 z
WH
1
z f
1| 1 1 0 1/f 1
= | x1 y1 0 1+z/f| z的透视变换结果
x1
y1
0 1 z f
WH
x1 WH
y1 WH
0 1 x2
y2
0 1WH
Z p1 x1
缩放：
| x1 y1 z1 1| m11 m22 m33 m44
绕x3、x2、x1旋转的矩阵，转角逆时针为正：
绕x3轴转θ角
y2
x2
cosθ sinθ 0
y1
R3= -sinθ cosθ 0
001 绕x2轴转β角
θ
y1
x1
x1
cosβ 0 -sinβ
y3
R2= 0
1
0
sinβ 0 cosβ
绕x1轴转γ角
10
0
R1= 0 cosγ sinγ
β
y3
x3
x3
y2
0 - sinγ cosγ
第三章 投影变换与图像校正
3.1 投影变换 3.2 几何变换 3.3 图像校正 3.4 几何校正方法
3.1 投影变换：
任一两坐标系： X ,Y X ：P=[X1,X2,X3]T Y ：P1=[Y1,Y2,Y3]T
令两坐标系方向余弦为： L11－－y1与x1之间的方向余弦（夹角余弦） L12－－y1与x2之间的方向余弦 L13－－y1与x3之间的方向余弦 ┋ Lij－－yi与xj之间的方向余弦
x1 y1= L1 X=∣L11 L12 L13∣ x2
x3 L1 为X与y1之间的方向余弦
x1 X= x2
x3
到二维空间来理解:
x1=x cos(β+γ) x2=x sin(β+γ) y1= x1 cosγ+ x2 cos(90°-γ) = x cosβ y2= - x1 sinγ+ x2 cosγ
x向位移
x向 y向 z向透视变换结果
展开理解：
位移：|x y z 1| 1 1 1
Tx Ty Tz 1
= |x+ Tx,y+ Ty,z+ Tz , 1|
透视：
x2 x1 , f f z
y2 y1 f f z
得 : x2
f x1 f z
m11x1+ m21y1+ m31z1+ m41－m14x1x2－m24y1x2－m34z1x2 = x2 m12x1+ m22y1+ m32z1+ m42－m14x1y2－m24y1y2－m34z1y2= y2
12个系数，仅有二个方程，需要6对点可解。
立体测量原理：
立体测量参照系统的标定：
3.2 几何变换
-sinθ cosθ 0
0
01
x3 y2 x2
θ
θ
y1
x1
矩阵正交条件:
n
1
aik a jk
k 1
0
i j
i
j
n
或： akiakj
k 1
1 0
i j
i
j
旋转阵R为正交矩阵:
二维时:
y1 = cosθ sinθ x1
y2 -sinθ cosθ x2
有： x1 = cosθ –sinθ y1
x2 sinθ cosθ y2
得 Y 与 X 间关系：
y1= L11 X1+ L12 X2+ L13 X3
y2= L21 X1+ L22 X2+ L23 X3
y3= L31 X1+ L32 X2+ L33 X3
如： y1
L1
L11 L12 L13
Y= y2
R= L2 = L21 L22 L23
y3
L3
L31 L32 L33
则有Y = R X
B cd
B* 两条平行线变换后是否仍平行？
01 绕x=y轴∣x y∣ 0 1 =∣y, x∣=∣x* y*∣
10
剪移：∣x y∣ 1 b = ∣x, bx+y∣ 01 = ∣x* y*∣
同样：∣x y∣ 1 0 = ∣cx+y ,y∣ c1 = ∣x* y*∣
y
bx y
p*(x,bx+y)
p(x,y)
bx
x
2) 直线变换－－两个点的变换
A a b = A*
三维时： 有：L112 + L122 + L132 =1
A2（cos2α+ cos2β+ cos2γ）= A2
A
正交阵 RT = R-1
有： X = RTY
γ
αβ
x1= L11y1+ L21y2+ L31y3 x2= L12y1+ L22y2+ L32y3 x3= L13y1+ L23y2+ L33y3
y2
x2
x2
x
y1
y2
β y1 γ
x1
x1
[三维坐标中] 绕x3转θ角 则有:
L11= cosθ L12= cos(90°-θ) = sinθ L13=0 L21= cos(90°+θ) = -sinθ L22= cosθ L23= L31= L32= 0 = cos90° L33=1
即：R= cosθ sinθ 0
=| m11x1 m22y1 m33z1 m44 |
分项比
总比例
由三维变到二维空间：
| x1 y1 z1 1| m11 m12 0 m14
m21 m22 0 m24
矩阵A
m31 m32 0 m34 m41 m42 0 m44
= WH|x2 y2 0 1 |
矩阵C
矩阵B
讨论：
① 给定mij及空间点A，可求C，即由三维求二维投影结果。 ② 由B、C求A，即由两组不同的二维投影，可以算出三维空间坐 标，用于立体测距（两个相机相对关系确定，如二目测距）
γ x
任意旋转：
R Ri Rj Rk i, j, k 1,2,3
注意到：
m11 m12 m13
R = m21 m22 m23
m31 m32 m33
只包括旋转。
进一步的（旋转、位移、透视、缩放）如何呢？ [我们]引入齐次坐标系，扩展了非线性项—透视、位移
m11 m12 m13 m14 H = m21 m22 m23 m24
[研究典型的变换关系、典型线性变换、二维面上的线性变换含义表 示及特征。]
1) 点变换
比例变换：[x y] a 0
0b 旧坐标
= ∣ax, by∣=∣x* y*∣ 新坐标
原点变换：∣x y∣ a b = ∣0 0∣
cd
翻转：
绕x轴∣x y∣ 1
=∣x, -y∣=∣x* y*∣
-1 绕y轴∣x y∣ -1 0 =∣-x, y∣=∣x* y*∣
③ 由A、C求B，由足够的空间点对及其二维投影可算出两坐标系 间的变换关系（mij）
[展开:] WH x2 = m11x1+ m21y1+ m31z1+ m41 WH y2 = m12x1+ m22y1+ m32z1+ m42 WH = m14x1+ m24y1+ m34z1+ m44
令m44=1，消去WH得：
x1 1 z
f
y1
y2 z
p2
Baidu Nhomakorabea
f
x2
焦点
| x1 y1 z
WH
1
z f
1| 1 1 0 1/f 1
= | x1 y1 0 1+z/f| z的透视变换结果
x1
y1
0 1 z f
WH
x1 WH
y1 WH
0 1 x2
y2
0 1WH
Z p1 x1
缩放：
| x1 y1 z1 1| m11 m22 m33 m44
绕x3、x2、x1旋转的矩阵，转角逆时针为正：
绕x3轴转θ角
y2
x2
cosθ sinθ 0
y1
R3= -sinθ cosθ 0
001 绕x2轴转β角
θ
y1
x1
x1
cosβ 0 -sinβ
y3
R2= 0
1
0
sinβ 0 cosβ
绕x1轴转γ角
10
0
R1= 0 cosγ sinγ
β
y3
x3
x3
y2
0 - sinγ cosγ
第三章 投影变换与图像校正
3.1 投影变换 3.2 几何变换 3.3 图像校正 3.4 几何校正方法
3.1 投影变换：
任一两坐标系： X ,Y X ：P=[X1,X2,X3]T Y ：P1=[Y1,Y2,Y3]T
令两坐标系方向余弦为： L11－－y1与x1之间的方向余弦（夹角余弦） L12－－y1与x2之间的方向余弦 L13－－y1与x3之间的方向余弦 ┋ Lij－－yi与xj之间的方向余弦
x1 y1= L1 X=∣L11 L12 L13∣ x2
x3 L1 为X与y1之间的方向余弦
x1 X= x2
x3
到二维空间来理解:
x1=x cos(β+γ) x2=x sin(β+γ) y1= x1 cosγ+ x2 cos(90°-γ) = x cosβ y2= - x1 sinγ+ x2 cosγ