离散数学试题

评分标准：完全正确给分，否则不给分
1
二、判断题（本大题 10 分，每小题 1 分，用对或错回答）
1、句子”请勿吸烟！”是命题 (错) 2、句子”如果太阳从西方升起，你就可以长生不老。”不是命题。(错) 3、若无向连通图中无回路，则其每条边均为割边。(对)
4、对所有的正整数 n, K n 都为欧拉图。(错)
“任何金属都可以溶解在某种液体中” 可以符号化为 x(M (x) y(L( y) D(x, y))) 。
⑶取论域为所有事物的集合。令
M (x) : x 是金属， L(x) : x 是液体， D(x, y) : x 可以溶解在 y 中。
“至少有一种金属可以溶解在所有液体中” 可以符号化为 x(M (x) y(L( y) D(x, y))) 。
答： 前序序列：EBIGCAJFDH 中序序列：IGBEJACDFH 后序序列：GIBJADHFCE
评分标准：求出前序、中序和后序的结果各给 2 分，部分正确酌情给分
3
四、计算题（本大题 23 分，其中第 1 小题 9 分，第 2 小题 4 分，第 3 小题 10 分）
1、设f, g, h是N → N 的函数, 其中N是自然数集合，f(n)＝5n＋1, g(n)＝2n,
2
离散数学 课程期末考试试卷（A 卷）答案及评分标准
2、已知 运算的运算表如下，请回答：
(1) 该运算有没有单位元，如果有，请指出那个是单位元。 (2) 该运算有没有零元，如果有，请指出那个是零元。 (3) 该运算是否满足幂等率？请说明判断的依据及判断的 结论。 (4) 该运算在集合{a, b, c, d}上是否构成群？请说明判断的 依据及判断的结论。
院系:
专业: 班级: 姓名: 学号:
五、证明题（本大题 25 分，其中第 1 小题 10 分，第 2 小题 9 分，第 3 小题 6 分）
得分： 1、用等值演算法证明： ( p q) (q p) ( p q) ( p q)
5
2、已知命题逻辑中的前提： ( p q) r, s p, q , t s , t, 结论：r
授课 专业班级：
答： (1) 有单位元，c 为单位元 (2) 有零元，d 为零元 (3) 不满足幂等率，因为 aa 的 结 果 不 是 a
(4)不构成群，群要求每个元素都有逆元，运算中元素 d 没有逆元
评分标准：(1), (2), (3), (4)各给 2 分。
3、写出下面二叉树的前序、中序和后序遍历的结果。
Байду номын сангаас
A．0
B．8
C．3
） D．5
4、设个体域 A={a,b}，公式 xP(x) xS(x) 在 A 中消去量词后应为(
)
A． P(x) S(x)
B． P(a) P(b) (S(a) S(b))
C． P(a) P(b)
D． P(a) P(b) S(a) S(b)
5、设 A，B，C 代表三个集合，则以下各式中(
T (x) : x 是火车， C(x) : x 是汽车， F (x, y) : x 比 y 跑得快。
“所有的火车都比某些汽车快”可以符号化为 x(T (x) y(C( y) F(x, y))) 。
⑵ 取论域为所有事物的集合。令
M (x) : x 是金属， L(x) : x 是液体， D(x, y) : x 可以溶解在 y 中。
10、设 A，B 为集合，设 B ，则 A B A。(错)
评分标准：完全正确给分，否则不给分
三、简答题（本大题 22 分，其中第 1 小题 8 分，第 2 小题 8 分，第 3 小题 6 分）
1、试将下列命题符号化： (1) 所有的火车都比某些汽车快。 (2) 任何金属都可以溶解在某种液体中。 (3) 至少有一种金属可以溶解在所有液体中。 (4) 有些职业是所有的人都喜欢的。 答： ⑴取论域为所有事物的集合。令
B．边的个数一定相同 D．顶点的最大度一定相同
)
A．
B．
10、具有如下定义的代数系统<G,*>, (
A．G={1,10} *为模 11 乘 C．G=Q(有理数集) *为普通加法
C．
D．
)不构成群。
B．G={1,3,4,5,9} *为模 11 乘 D．G=Q(有理数集) *为普通乘法
1
二、判断题（本大题 10 分，每小题 1 分，用对或错回答）
C．{<a,b>,<c,c>,<b,a>,<b,c>}
D．{<a,a>}
7、下面哪个度数列是不可图化的：( A A．(3，2，1，2，1 ) C．(3，2，1，2，2)
) B．(3，3，1，2，1) D．(4，2，2，2，2)
8、一个图 G 和它的对偶图 G* ( B ) A．顶点的个数一定相同 C．面的个数一定相同
)一定成立
A． (A B) A
B． (A B) B A
C． (A B) (B C) A C
D． A B A C B C
6、设集合 A {a, b, c} 上的二元关系如下，具有传递性的有(
)
A．{<a,c>,<c,a>,<a,b>,<b,a>} C．{<a,b>,<c,c>,<b,a>,<b,c>}
7、H 是群 G 的一个子群，a 和 b 为 G 中的任意两个元素，则 Ha 和 Hb 中含有的元素的个数一定相等。( )
8、若 G 是一个有 n 个点，m 条边，r 个面的连通的平面图，则 n-m+r=2。( )
9、一个二元关系可能同时具有对称性和反对称性。( )
10、设 A，B 为集合，设 B ，则 A B A。( )
A．矛盾式 B．蕴含式 C．重言式
D．等值式
2、下面哪一组命题公式是等值的( B
A． p q，p q C．q ( p q)， q （p q）
)
B．p (q p)， p (p q) D． p （p q），q
3、命题公式 ( p q) r 的主析取范式中含极小项的个数为（ D ）
A． (A B) A
B． (A B) B A
C． (A B) (B C) A C
D． A B A C B C
6、设集合 A={a, b, c}上的二元关系如下，具有传递性的有( D )
A．{<a,c>,<c,a>,<a,b>,<b,a>}
B．{<a,c>,<c,a>}
(4)取论域为所有事物的集合。令
M (x) : x 是人， J (x) : x 是职业， L(x, y) : x 喜欢 y。
“有些职业是所有的人都喜欢的”可以符号化为 x(J (x) y(M ( y) L( y, x))) 。
评分标准：(1), (2), (3), (4)各给 2 分，只把句子各部分转换为谓词而没有写出完整表达式的，给一半分数。
2 , n mod 3 2 试求：ff，fg，gh 及 fgh
2、无向树 T 有 6 个 2 度顶点，4 个 3 度顶点，3 个 4 度顶点，其余为树叶，求这个无向树的树叶的个数。
3、求下图中顶点 a 到其他各顶点的最短距离，及相应的路径。
4
离散数学 课程期末考试试卷（A 卷）
注意：装订 线左侧请不 要答题，请 不要在试卷 上书写与考 试无关的内 容，否则将 按相应管理 规定处理。
5、任意一个 n 元置换都有逆元存在。(对)
6、设 H1，H2 分别为 G 的 r，s 阶子群，若 r，s 互素，则 H1 H 2 {e} 。(对)
7、H 是群 G 的一个子群，a 和 b 为 G 中的任意两个元素，则 Ha 和 Hb 中含有的元素的个数一定相等。(对) 8、若 G 是一个有 n 个点，m 条边，r 个面的连通的平面图，则 n-m+r=2。(对) 9、一个二元关系可能同时具有对称性和反对称性。(对)
1、句子”请勿吸烟！”是命题 ( )
得分：
2、句子”如果太阳从西方升起，你就可以长生不老。”不是命题。( )
3、若无向连通图中无回路，则其每条边均为割边。( )
4、对所有的正整数 n, K n 都为欧拉图。( )
5、任意一个 n 元置换都有逆元存在。( )
6、设 H1，H2 分别为 G 的 r，s 阶子群，若 r，s 互素，则 H1 H 2 {e} 。( )
试证明该推理，要求写出推理步骤及推理规则的名称。
3、已知 F, G, H 为三个二元关系，试证明：F (G∪ H)=FG∪ FH
6
离散数学 课程期末考试试卷（A 卷）答案及评分标准
授课 专业班级：
本试卷共 5 道大题，满分 100 分。
一、选择题（本大题 20 分，每小题 2 分） 1、命题公式 （p （p q）） q 是( C )
B．{<a,c>,<c,a>} D．{<a,a>}
7、下面哪个度数列是不可图化的：( A．(3，2，1，2，1 ) C．(3，2，1，2，2)
) B．(3，3，1，2，1) D．(4，2，2，2，2)
8、一个图 G 和它的对偶图 G* (
)
A．顶点的个数一定相同
C．面的个数一定相同
9、下面四个哈斯图，哪个存在最小元：(
三、简答题（本大题 22 分，其中第 1 小题 8 分，第 2 小题 8 分，第 3 小题 6 分）
1、试将下列命题符号化： (1) 所有的火车都比某些汽车快。
得分：
(2) 任何金属都可以溶解在某种液体中。
(3) 至少有一种金属可以溶解在所有液体中。
(4) 有些职业是所有的人都喜欢的。
2
注意：装订 线左侧请不 要答题，请 不要在试卷 上书写与考 试无关的内 容，否则将 按相应管理 规定处理。
B．边的个数一定相同 D．顶点的最大度一定相同
9、下面四个哈斯图，哪个存在最小元：( C )
A．
B．
C．
D．
10、具有如下定义的代数系统<G,*>, ( D )不构成群。
A．G={1,10} *为模 11 乘
B．G={1,3,4,5,9} *为模 11 乘
C．G=Q(有理数集) *为普通加法
D．G=Q(有理数集) *为普通乘法
A．0
B．8
C．3
D．5
4、设个体域 A={a,b}，公式 xP(x) xS(x) 在 A 中消去量词后应为( B )
A． P(x) S(x)
B． P(a) P(b) (S(a) S(b))
C． P(a) P(b)
D． P(a) P(b) S(a) S(b)
5、设 A，B，C 代表三个集合，则以下各式中( A )一定成立
院系:
离散数学 课程期末考试试卷（A 卷）
2、已知 运算的运算表如下，请回答：
(1) 该运算有没有单位元，如果有，请指出那个是单位元。 (2) 该运算有没有零元，如果有，请指出那个是零元。 (3) 该运算是否满足幂等率？请说明判断的依据及判断的 结论。 (4) 该运算在集合{a, b, c, d}上是否构成群？请说明判断的 依据及判断的结论。
0 , n mod 3 0 h(n) 1 , n mod 3 1
2 , n mod 3 2 试求：ff，fg，gh 及 fgh
解：
f f (x) f ( f (x)) f (5x 1) 5 (5x 1) 1 25x 6 f g(x) g( f (x)) g(5x 1) 10x 2
1、命题公式 （p （p q）） q 是(
)
A．矛盾式 B．蕴含式 C．重言式
D．等值式
得分：
2、下面哪一组命题公式是等值的(
A． p q，p q C．q ( p q)， q （p q）
)
B．p (q p)， p (p q) D． p （p q），q
3、命题公式 ( p q) r 的主析取范式中含极小项的个数为（
离散数学 课程期末考试试卷（A 卷）
注意：装订 线左侧请不 要答题，请 不要在试卷 上书写与考 试无关的内 容，否则将 按相应管理 规定处理。 院系:
专业:
班级:
姓名:
学号:
题号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总 分 得分
本试卷共 5 道大题，共 6 页，考试时长 120 分钟。
一、选择题（本大题 20 分，每小题 2 分）
专业: 班级: 姓名: 学号:
3、写出下面二叉树的前序、中序和后序遍历的结果。
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得分： 四、计算题（本大题 23 分，其中第 1 小题 9 分，第 2 小题 4 分，第 3 小题 10 分）
1、设f, g, h是N → N 的函数, 其中N是自然数集合，f(n)＝5n＋1, g(n)＝2n,
0 , n mod 3 0 h(n) 1 , n mod 3 1