(优选)第四节可逆矩阵与逆矩阵
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高等数学第四章课件-矩阵的逆
( AB ) B −1 = EB −1 ,
例1 判断矩阵A是否可逆，若可逆，求其逆 . ⎛ 1 2 3⎞ (1) A = ⎜ 2 2 1 ⎟ ⎜ 3 4 3⎟ ⎝ ⎠ 1 2 3 −1 ∴ A 存在. 解: ∵ A = 2 2 1 = 2 ≠ 0, 3 4 3 2 1 2 1 2 2 A11 = = 2, A12 = − = −3, A13 = = 2, 3 3 3 4 4 3 同理可得, A21 = 6, A22 = −6, A23 = 2,
2 A − 3 A − 10 E = 0 相矛盾. 这与
所以, A + 2 E 与 A − 5 E 不同时可逆.
例2’’ 设方阵 A 满足 A2 − 3 A − 10 E = 0, 若 A ≠ 5 E , 证明: A + 2 E 不可逆. 证： （反证法） 假设A+2E可逆,
−1 2 ( A + 2 E ) ( A − 3 A − 10 E ) = 0 则 −1 即( A + 2 E ) ( A + 2 E )( A − 5 E ) = 0
⎛ A1 (3) 设 A1 , A2 是 n1 , n2 级可逆矩阵, A = ⎜ ⎝ A3 解: 因为 A1 , A2可逆
0⎞ ⎟. A2 ⎠
A1 ∴| A |= A3
0 =| A1 || A2 |≠ 0. A2
故A可逆. ⎛ X 11 −1 设A =⎜ ⎝ X 21 ⎛ A1 则 ⎜ ⎝ A3
⇒ B = 6( A − E ) .
−1 −1
B = 6( A − E )
−1
−1
⎡⎛ 2 ⎜ ⎢ = 6 ⎜0 ⎢ ⎜0 ⎢ ⎣⎝
0 4 0
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可逆矩阵与逆矩阵PPT精选文档
16
1 0 1
例1.
设
A
2
1
0
,
求A 的伴随矩阵.
解:
3 2 5
10
A11 2
5 5
01
A21 2
2 5
01
A31 1
1 0
20
11
11
A12 3
10 5
A22 3
2 5
A32 2
2 0
21
A13 3
7 2
10
A23 3
2 2
10
A33 2
1 1
17
A*
第三节 n阶方阵的行列式
1、定义：设 A = ( aij )n×n 为 n阶方阵 . 由A 中
所有的元素按它们在 A 中的排列位置构成的
n阶行列式称为方阵A 的行列式, 记作 A 或
det A, 即
a11 a12 L a1n
A
a21 a22 L a2n
MM
M
an1 an2 L ann
1
注： 方阵与行列式的区别
a an n1 1A n a1 n 2 a n 2 A an n2 n A1n a A n 2nA n n A A n nn
A
O
O
A
A
,
A
19
所以 AA* AE, 同理 A*A AE,
故有
AA*A*AAE,
当 A 0 时，我们有
A A 1 A* A 1 A*AE.
从而A可逆, 且 A 1 1 A* . A
方阵与行列式是两个不同的概念，
n 阶方阵是 n2 个数按一定方式排成的
数表. 而 n 阶行列式是按行列式的定义 所确定的一个数．要清楚两者的含义 及记号的区别.
1 0 1
例1.
设
A
2
1
0
,
求A 的伴随矩阵.
解:
3 2 5
10
A11 2
5 5
01
A21 2
2 5
01
A31 1
1 0
20
11
11
A12 3
10 5
A22 3
2 5
A32 2
2 0
21
A13 3
7 2
10
A23 3
2 2
10
A33 2
1 1
17
A*
第三节 n阶方阵的行列式
1、定义：设 A = ( aij )n×n 为 n阶方阵 . 由A 中
所有的元素按它们在 A 中的排列位置构成的
n阶行列式称为方阵A 的行列式, 记作 A 或
det A, 即
a11 a12 L a1n
A
a21 a22 L a2n
MM
M
an1 an2 L ann
1
注： 方阵与行列式的区别
a an n1 1A n a1 n 2 a n 2 A an n2 n A1n a A n 2nA n n A A n nn
A
O
O
A
A
,
A
19
所以 AA* AE, 同理 A*A AE,
故有
AA*A*AAE,
当 A 0 时，我们有
A A 1 A* A 1 A*AE.
从而A可逆, 且 A 1 1 A* . A
方阵与行列式是两个不同的概念，
n 阶方阵是 n2 个数按一定方式排成的
数表. 而 n 阶行列式是按行列式的定义 所确定的一个数．要清楚两者的含义 及记号的区别.
矩阵的逆
第二章
矩
阵
第一节 矩阵的概念 第二节 矩阵的运算 第三节 矩阵的逆 第四节 矩阵的秩
第三节 矩阵的逆
本节主要内容: 本节主要内容: 一. 可逆矩阵与逆矩阵 二. 可逆矩阵的判别 三. 矩阵的初等变换 四. 用初等行变换求逆矩阵 五. 小结
一.可逆矩阵与逆矩阵
1. 定义
对于矩阵 A ， 如果存在一个矩阵 B , 使得
1 2 −2 r2 − 2r1 0 −7 6 → r3 + 2r1 0 3 −3
1 0 0 −2 1 0 2 0 1
1 2 −2 r2 + 2r3 0 −1 0 → 0 3 −3
1 0 0 2 1 2 2 0 1
A23 = 2,
A33 = −2 .
6 −4 2 A* = −3 −6 5 2 2 −2
所以 A−1
3 −2 2 6 −4 1 * A 1 5 3 = = −3 −6 5 = − −3 det A 2 2 2 2 2 −2 1 1 −1
A1 A2 ⋯ Am 也可逆 且 (A A ⋯A )−1 = A−1⋯A−1A−1 也可逆, 1 2 m m 2 1
性质5 性质 若矩阵 A 可逆 则 AT也可逆 且 可逆, 也可逆,
(AT)−1 = (A−1 )T
性质6 性质 若矩阵 A 可逆 则 det( A−1 ) = (det A)−1 可逆, 说明 若矩阵 ,B ,C 满足 若矩阵A 满足AB=AC, 且A可逆 则 可逆, 可逆 AB=AC
1 2 3 −3 −4 可逆 = 0 −3 −4= = 4≠ 0, 所以 A可逆 . 1 0 0 1 0
1 2 ∵ A11 = = −3, 3 3 2 1 A13 = = 5, 1 3 2 2 A12 = − = −4, 1 3
矩
阵
第一节 矩阵的概念 第二节 矩阵的运算 第三节 矩阵的逆 第四节 矩阵的秩
第三节 矩阵的逆
本节主要内容: 本节主要内容: 一. 可逆矩阵与逆矩阵 二. 可逆矩阵的判别 三. 矩阵的初等变换 四. 用初等行变换求逆矩阵 五. 小结
一.可逆矩阵与逆矩阵
1. 定义
对于矩阵 A ， 如果存在一个矩阵 B , 使得
1 2 −2 r2 − 2r1 0 −7 6 → r3 + 2r1 0 3 −3
1 0 0 −2 1 0 2 0 1
1 2 −2 r2 + 2r3 0 −1 0 → 0 3 −3
1 0 0 2 1 2 2 0 1
A23 = 2,
A33 = −2 .
6 −4 2 A* = −3 −6 5 2 2 −2
所以 A−1
3 −2 2 6 −4 1 * A 1 5 3 = = −3 −6 5 = − −3 det A 2 2 2 2 2 −2 1 1 −1
A1 A2 ⋯ Am 也可逆 且 (A A ⋯A )−1 = A−1⋯A−1A−1 也可逆, 1 2 m m 2 1
性质5 性质 若矩阵 A 可逆 则 AT也可逆 且 可逆, 也可逆,
(AT)−1 = (A−1 )T
性质6 性质 若矩阵 A 可逆 则 det( A−1 ) = (det A)−1 可逆, 说明 若矩阵 ,B ,C 满足 若矩阵A 满足AB=AC, 且A可逆 则 可逆, 可逆 AB=AC
1 2 3 −3 −4 可逆 = 0 −3 −4= = 4≠ 0, 所以 A可逆 . 1 0 0 1 0
1 2 ∵ A11 = = −3, 3 3 2 1 A13 = = 5, 1 3 2 2 A12 = − = −4, 1 3
应用高等数学-4.2.3 可逆矩阵与逆矩阵
使得 AA1 A1A E,
则矩阵 A1称为 A 的逆矩阵或逆阵.
二、逆矩阵的概念和性质
定义 对于n 阶矩阵 A ，如果有一个n 阶矩阵B
,使得
AB BA E,
则说矩阵A是可逆的，并把矩阵 B 称为A 的逆矩阵. A的逆矩阵记作 A1. 例 设 A 1 1, B 1 2 1 2,
1 1 1 2 1 2 AB BA E, B是A的一个逆矩阵.
小结
1. 可逆矩阵与逆矩阵的概念 2. 逆矩阵的性质 3. 利用初等行变换求逆矩阵的步骤
课堂练习
练习题4.2
练习册 第4章 练习四
思考题
3 0 0
1.
设A
0
1
0
,
则An
0 0 4
2.已知A3 E,则A1
3. 若n阶矩阵A满足方程A2 2A 3E 0,则 A1
答案
3n 0 0 1. 0 1 0 .
3 2 12 1
5 2 1 2 . 1
注意: 用初等行变换求逆矩阵时，必须始终用行变换， 其间不能作任何列变换．
练习1
1 2 3
设
A 2
2
1 ,求 A1.
3 4 3
解：
1 2 3 1 0 0
A
E
2
2
1
0
1
0
3 4 3 0 0 1
－2 －3
1 2 3 1 0 0
0
2
5
2
1
0
0 2 6 3 0 1
0
1
1
1
-2
0 0 1 0 1 1
1 1 0 0 1 2
0
2
0
1
1
0 0 1 0 1
则矩阵 A1称为 A 的逆矩阵或逆阵.
二、逆矩阵的概念和性质
定义 对于n 阶矩阵 A ，如果有一个n 阶矩阵B
,使得
AB BA E,
则说矩阵A是可逆的，并把矩阵 B 称为A 的逆矩阵. A的逆矩阵记作 A1. 例 设 A 1 1, B 1 2 1 2,
1 1 1 2 1 2 AB BA E, B是A的一个逆矩阵.
小结
1. 可逆矩阵与逆矩阵的概念 2. 逆矩阵的性质 3. 利用初等行变换求逆矩阵的步骤
课堂练习
练习题4.2
练习册 第4章 练习四
思考题
3 0 0
1.
设A
0
1
0
,
则An
0 0 4
2.已知A3 E,则A1
3. 若n阶矩阵A满足方程A2 2A 3E 0,则 A1
答案
3n 0 0 1. 0 1 0 .
3 2 12 1
5 2 1 2 . 1
注意: 用初等行变换求逆矩阵时，必须始终用行变换， 其间不能作任何列变换．
练习1
1 2 3
设
A 2
2
1 ,求 A1.
3 4 3
解：
1 2 3 1 0 0
A
E
2
2
1
0
1
0
3 4 3 0 0 1
－2 －3
1 2 3 1 0 0
0
2
5
2
1
0
0 2 6 3 0 1
0
1
1
1
-2
0 0 1 0 1 1
1 1 0 0 1 2
0
2
0
1
1
0 0 1 0 1
线性代数2.4可逆矩阵
= O + 4E = 4E 所以
A
1 4
(A
−
3E )
=
E
所以
A 可逆，且
A−1 =
1 (A − 3E)
4
。
（2）因为 (A- 2E)(A − E) = A(A − E)− 2E(A − E) = A2 − A − 2A + 2E
= A2 − 3A − 4E + 6E = O + 6E = 6E
所以 (A- 2E)16 (A − E) = E 也就是 A - 2E 可逆，且 (A - 2E)−1= 1 (A − E)
( ) ( ) 求（1） A∗ （2） A-1 （3） A∗ -1 （4） A∗ ∗
解：（1）因为
21 0
A = 0 1 -3 =2
20 4
又
AA∗ = A∗A = A E
等号各边取行列式有 AA∗ = A E ，
所以 A A∗ = A 3 E = A 3 得到 A∗ = A 2 = 22 = 4
（对于n阶方阵 A ，我们有 关系式 A∗ = A n−1 ）
所以 E − A 可逆，且 (E − )A −1 = E + A + A2 ++ An−1 。
例5 已知 A2 − 3A − 4E = O
证明（1）A 可逆 ，并求 A−（1 2）A - 2E 可逆，并求 (A - 2E)−1 证（1）因为 A(A − 3E) = A2 − 3A= A2 − 3A − 4E + 4E
A31= (−1)3+111 -03 = −3
A32
=
(−
)1 3+2
2 0
−03 = 6
大学数学(高数微积分)第四章矩阵第四节(课堂讲义)
节矩阵的逆
引例 逆矩阵的定义 矩阵可逆的条件 可逆矩阵的性质 克拉默法则的另一证法 矩阵乘积的秩的性质
一、引例
二、逆矩阵的定义
1. 可逆的定义
定义 10 n 级方阵 A 称为可逆的，如果 级方阵有Bn，使得
AB = BA = E ,
(1)
这里 E 是 n 级单位矩阵.
定义 11 如果矩阵 B 适合 (1)，那么就称 的逆矩为阵A，记为 A-1 .
|A*| = |A|n-1.
2),
证 由于 AA* = A*A = |A|E , 所以
|A| |A*|) |A| 0, 即 A 可逆, (4) 式两端除以 |A| 即
得
|A*| = |A|n-1.
(2) |A| = 0, 且 A = O, 则 A* = O, 结论显然成 立.
的？ 如果 A 可逆，怎样求 A-1 ？
为此先引入伴随
矩阵的概念.
1. 伴随矩阵
定义 12 设 Aij 是矩 阵
a11 a12 a1n
A
a21
a22
a2n
an1 an2 ann
中元素 aij 的代数余子式，矩阵
A11 A21 An1
| AA-1 | = | A | | A-1 | = | E | = 1 ,
因而 | A | 0，即 A 非退化 .
定理 3 不但给出了一矩阵可逆的条件，同时 也给出了求逆矩阵的公式 (4) ，用公式 (4) 求逆矩
阵的方法叫伴随矩阵法.
下面利用伴随矩阵法求逆阵.
证毕
例 １ 用伴随矩阵法求下列矩阵的逆阵
而
2 2 3 A2E 1 1 0,
1 2 1
引例 逆矩阵的定义 矩阵可逆的条件 可逆矩阵的性质 克拉默法则的另一证法 矩阵乘积的秩的性质
一、引例
二、逆矩阵的定义
1. 可逆的定义
定义 10 n 级方阵 A 称为可逆的，如果 级方阵有Bn，使得
AB = BA = E ,
(1)
这里 E 是 n 级单位矩阵.
定义 11 如果矩阵 B 适合 (1)，那么就称 的逆矩为阵A，记为 A-1 .
|A*| = |A|n-1.
2),
证 由于 AA* = A*A = |A|E , 所以
|A| |A*|) |A| 0, 即 A 可逆, (4) 式两端除以 |A| 即
得
|A*| = |A|n-1.
(2) |A| = 0, 且 A = O, 则 A* = O, 结论显然成 立.
的？ 如果 A 可逆，怎样求 A-1 ？
为此先引入伴随
矩阵的概念.
1. 伴随矩阵
定义 12 设 Aij 是矩 阵
a11 a12 a1n
A
a21
a22
a2n
an1 an2 ann
中元素 aij 的代数余子式，矩阵
A11 A21 An1
| AA-1 | = | A | | A-1 | = | E | = 1 ,
因而 | A | 0，即 A 非退化 .
定理 3 不但给出了一矩阵可逆的条件，同时 也给出了求逆矩阵的公式 (4) ，用公式 (4) 求逆矩
阵的方法叫伴随矩阵法.
下面利用伴随矩阵法求逆阵.
证毕
例 １ 用伴随矩阵法求下列矩阵的逆阵
而
2 2 3 A2E 1 1 0,
1 2 1
可 逆 矩 阵
解 由A2-A+E=O可得A-A2=E，利用矩阵乘法运算法则可得 A-A2=A（E-A）=（E-A）A=E 由定义2-11可知A可逆，且A-1=E-A.
可逆矩阵
二、 矩阵可逆的充要条件
在数的运算中，并不是所有的数都有倒数， 只有非零的数才有倒数．类似地，不是所有的n阶 方阵A都存在逆矩阵，如零矩阵就不可逆（因为 任何矩阵与零矩阵的乘积都是零矩阵）．我们接 下来要解决的问题就是：n阶方阵A在什么条件下 可逆？如果可逆，又如何求它的逆矩阵？为此先 介绍一个转置伴随矩阵的概念．
可逆矩阵
因为如果A有两个逆阵B1和B2，根据定义211，有
AB1=B1A=E，AB2=B2A=E 于是 B1=B1E=B1(AB2)=(B1A)B2=EB2=B2 这说明A的逆矩阵是唯一的，我们规定A的逆 矩阵记作A-1，则有 AA-1=A-1A=E
可逆矩阵
【例2-13】
若方阵A满足等式A2-A+E=O，问A是否可逆，若可逆,求出 其逆阵．
可逆矩阵
性质2-5
可逆矩阵
可逆矩阵
【例2-17】
可逆矩阵
故Λ-1=B．
谢谢聆听
可逆矩阵
【例2-16】
证明：若A，B是同阶方阵，且满足AB=E或BA=E，则 A，B都可逆，且
A-1=B，B-1=A 证明 由A，B是同阶方阵且AB=E可得|AB|=|||B|=|E|=1． 所以|A|≠0，|B|≠0．由定理2-1知A，B都可逆．
可逆矩阵
在等式AB=E的两边同时左乘A-1，可得A1(AB)=A-1E，即A-1=B．
(A1A2…Ak)－1=A－1k…A－12A－11
性质2-3
可逆矩阵
若A可逆，则AT也可逆，且有(AT)-1=(A-1)T． 因为A可逆，所以存在A-1，使AA-1=E，于是根据 矩阵的转置运算规律，有 AT(A－1)T=(A－1A) T=ET=E 则AT可逆，且(AT)-1 =(A-1)T．
可逆矩阵
二、 矩阵可逆的充要条件
在数的运算中，并不是所有的数都有倒数， 只有非零的数才有倒数．类似地，不是所有的n阶 方阵A都存在逆矩阵，如零矩阵就不可逆（因为 任何矩阵与零矩阵的乘积都是零矩阵）．我们接 下来要解决的问题就是：n阶方阵A在什么条件下 可逆？如果可逆，又如何求它的逆矩阵？为此先 介绍一个转置伴随矩阵的概念．
可逆矩阵
因为如果A有两个逆阵B1和B2，根据定义211，有
AB1=B1A=E，AB2=B2A=E 于是 B1=B1E=B1(AB2)=(B1A)B2=EB2=B2 这说明A的逆矩阵是唯一的，我们规定A的逆 矩阵记作A-1，则有 AA-1=A-1A=E
可逆矩阵
【例2-13】
若方阵A满足等式A2-A+E=O，问A是否可逆，若可逆,求出 其逆阵．
可逆矩阵
性质2-5
可逆矩阵
可逆矩阵
【例2-17】
可逆矩阵
故Λ-1=B．
谢谢聆听
可逆矩阵
【例2-16】
证明：若A，B是同阶方阵，且满足AB=E或BA=E，则 A，B都可逆，且
A-1=B，B-1=A 证明 由A，B是同阶方阵且AB=E可得|AB|=|||B|=|E|=1． 所以|A|≠0，|B|≠0．由定理2-1知A，B都可逆．
可逆矩阵
在等式AB=E的两边同时左乘A-1，可得A1(AB)=A-1E，即A-1=B．
(A1A2…Ak)－1=A－1k…A－12A－11
性质2-3
可逆矩阵
若A可逆，则AT也可逆，且有(AT)-1=(A-1)T． 因为A可逆，所以存在A-1，使AA-1=E，于是根据 矩阵的转置运算规律，有 AT(A－1)T=(A－1A) T=ET=E 则AT可逆，且(AT)-1 =(A-1)T．
可逆矩阵的判定及其逆矩阵的求法
（Ａ。 ）～＝（ 。］（三 ）～＝（
此外
Ｉ ０ ；）Ｉ 一：＝ Ａ０－ １— Ｂ －１Ｊｌ ， （詈／－１￣ －（一 一 ］
］ 参考文 献
…１ 同济 大学数 学数 学 系 ．工程数 学线性 代数 【Ｍ】．高等教 育出版
社 ．２００７
［２】陈逢明 ．逆矩阵的求法及 其在证券投 资组合 中的应 用 福建 商业 高等专科学校 学报 ，２００６（５）：１１１—１１４．
＋２Ｅ可逆并求出ｆ ＋２Ｅ）～。
证明：
一 Ａ 一 ２Ｅ ＝ ０变形 为 Ａ２ 一 Ａ 一６ ：－４Ｅ，
—
１ －
即（ ＋２Ｅ）１ Ｌ４ （３Ｅ—Ａ）Ｊｌ ：Ｅ，
１
所 以 存 在 一 个 矩 阵 Ｂ＝÷（３Ｅ一 ）， 使 （ ＋２Ｅ）Ｂ＝Ｅ， 由 定 义 得 Ｅ 可 逆， 且
关键词 ：逆矩阵的判定；伴随矩阵；初等变换；分块矩阵
矩 阵理论是 线性 代数 的核心 内容 ，也是处 理实 际 问题 的 重要 工具 。可逆 矩 阵在矩 阵理论 中 占有非 常重 要 的地位 。有 关 可逆矩 阵 的 内容 对于初 学者来 说 是一个 难 点 ，下 面我们 将 教 学 中有 关 可逆矩 阵 的判 定方 法作 一些 总结 ，并 给出几 种常 用 的求逆 矩阵 的方 法 。
３．初等 行 （列 ）变换 求逆矩 阵 。矩 阵 可 逆 的充 分必要
条件是 可表示为同阶初等矩阵乘积。所以，求 ｎ阶矩阵
的逆矩 阵时 ，首先 在 的右边拼上 Ｅ 构成 一个 ｎ×２ｎ 矩 阵 ，
即（ ， ），其次对这个矩阵进行初等行变换，将它的左半
部 的矩阵 化为单 位矩 阵 ，那么 原来 右半 部的单 位矩 阵就 同时
营 ｎ元齐次线 性方 程组 Ａｘ＝０只有零 解 § ｎ元非齐 次线性 方程组 Ａｘ＝ｂ有 唯一解
可逆矩阵知识点总结
可逆矩阵知识点总结一、可逆矩阵的定义1. 定义阐述- 设A为n阶方阵，如果存在n阶方阵B，使得AB = BA=E（E为n阶单位矩阵），则称矩阵A是可逆的，并称B是A的逆矩阵，记作B = A^-1。
例如，对于二阶矩阵A=begin{pmatrix}a&bc&dend{pmatrix}，若ad - bc≠0，则A可逆，其逆矩阵A^-1=(1)/(ad - bc)begin{pmatrix}d& - b-c&aend{pmatrix}。
2. 可逆矩阵的唯一性- 若矩阵A可逆，则A的逆矩阵是唯一的。
假设B和C都是A的逆矩阵，那么AB = BA = E且AC=CA = E。
由B = BE=B(AC)=(BA)C = EC = C，可证得逆矩阵的唯一性。
二、可逆矩阵的性质1. 基本性质- 若A可逆，则A^-1也可逆，且(A^-1)^-1=A。
因为A与A^-1满足AA^-1=A^-1A = E，所以A^-1的逆矩阵就是A。
- 若A、B为同阶可逆矩阵，则AB也可逆，且(AB)^-1=B^-1A^-1。
证明如下：(AB)(B^-1A^-1) = A(BB^-1)A^-1=AEA^-1=AA^-1=E，同理(B^-1A^-1)(AB)=E。
- 若A可逆，k≠0为常数，则kA可逆，且(kA)^-1=(1)/(k)A^-1。
因为(kA)((1)/(k)A^-1)=k×(1)/(k)(AA^-1) = E，同理((1)/(k)A^-1)(kA)=E。
2. 与行列式的关系- 矩阵A可逆的充要条件是| A|≠0。
当| A| = 0时，称A为奇异矩阵；当| A|≠0时，称A为非奇异矩阵。
例如，对于三阶矩阵A=begin{pmatrix}1&2&34&5&67&8&9end{pmatrix}，计算其行列式| A|=0，所以A不可逆；而对于矩阵B=begin{pmatrix}1&0&00&2&00&0&3end{pmatrix}，| B| = 6≠0，则B可逆。
线性代数 2-4 可逆矩阵的逆矩阵
2a c 1, 2b d 0 , a 0, b 1,
又因为
a 0, b 1, c 1, d 2.
AB
BA
2 1 0 1 0 1 2 1 1 0 , 1 0 1 2 1 2 1 0 0 1
所以
0 1 A .. 1 2
1
定理2.3 矩阵 A 可逆的充要条件是 1 1 A A , A
其中A为矩阵A的伴随矩阵.
A 0 ，且
证明 若 A 可逆， 即有A1使AA 1 E .
故 A A1 E 1,
所以 A 0. .
当 A 0时,
例5 证明:若A是可逆的反对称,则 A 1也是反对称矩阵。 证明 因为
( A1 )T ( AT )1 ( A)1 A1 ,
所以 A 是反对称矩阵。
1
同理可以证明:可逆的对称矩阵的逆矩阵也是对称矩阵。 .
例
设A,B均为n阶可逆矩阵,证明:
(1)
( AB ) B A ;
2.4 可逆矩阵的逆矩阵
一、概念的引入
在数的运算中，当数 a 0 时， 有
aa a a 1,
其中 a 1 1 为 a 的倒数， （或称 a 的逆）； a 在矩阵的运算中， 单位阵 E相当于数的乘法运算中 的1， 那么，对于矩阵 A ， 如果存在一个矩阵A1, 使得
1
1
AA1 A1 A E ,
a11 a12 a1n A11 A21 An1 a a22 a2 n A12 A22 An 2 21 AA a A a A a A A 11 12 1 1n 11 12 n a a a A A A n1A n a A nn n a 2 nA A 1 2 nn a
可逆矩阵知识点总结
可逆矩阵知识点总结一、可逆矩阵的定义可逆矩阵是指一个方阵A，如果存在另一个方阵B，使得AB=BA=I，其中I为单位矩阵，那么我们称A是可逆的，B就是A的逆矩阵，记作A^-1。
换句话说，如果一个n阶方阵A的行列式det(A)不等于零，则该矩阵A是可逆的，即存在一个n阶矩阵B，使得AB=BA=I。
我们知道，单位矩阵I是一个对角线上元素均为1，其余元素均为0的n阶方阵。
二、可逆矩阵的性质1. 可逆矩阵的逆矩阵是唯一的在可逆矩阵中，如果存在逆矩阵B，那么逆矩阵是唯一的。
这是因为假设还有一个逆矩阵B'也满足AB'=B'A=I，那么可以证明B=B'。
这个性质在证明逆矩阵的存在时非常重要。
2. 可逆矩阵的转置矩阵也是可逆的如果一个矩阵A是可逆的，那么它的转置矩阵A^T也是可逆的，并且(A^T)^-1 = (A^-1)^T。
3. 可逆矩阵的逆矩阵也是可逆的如果一个矩阵A是可逆的，那么它的逆矩阵A^-1也是可逆的，而且(A^-1)^-1=A。
4. 可逆矩阵的乘积是可逆的如果两个矩阵A和B都是可逆的，那么它们的乘积AB也是可逆的，且(AB)^-1=B^-1A^-1。
5. 可逆矩阵的逆矩阵的逆矩阵还是它本身如果一个矩阵A是可逆的，那么它的逆矩阵A^-1的逆矩阵还是它本身，即(A^-1)^-1=A。
6. 可逆矩阵的乘法满足结合律如果三个矩阵A、B、C都是可逆的，那么它们的乘法满足结合律，即(AB)C=A(BC)。
三、可逆矩阵的判定定理在求解一个矩阵是否可逆时，我们需要有一个判定的定理，这就是可逆矩阵的判定定理。
1. 矩阵可逆的判定公式对于一个n阶方阵A，它的行列式不等于0，即det(A)≠0，则矩阵A可逆。
这是最基本的判定定理，也是我们最常用的方法。
2. 矩阵可逆的充分必要条件对于一个n阶方阵A，它的行列式不等于0，则矩阵A可逆。
反之，如果一个n阶方阵A可逆，则其行列式也不等于0。
3. 矩阵可逆的另一种判定法对于一个n阶方阵A，如果它的秩等于n，则矩阵A可逆。
第四节 可逆矩阵与逆矩阵
9
(3)如果方阵 是可逆的, (3)如果方阵A是可逆的,则A的逆矩阵是唯 一的. 一的. 这是因为: 这是因为: 若B、C 都是 A 的逆矩阵,则有 的逆矩阵,
B = BE = B( AC) = ( BA)C = EC = C
所以A的逆矩阵是唯一的. 的逆矩阵是唯一的.
A−1 .则若AB=BA=E,就有 今后将A的逆矩阵记作
因为
1 0 1 A= 2 1 0 , −3 2 −5
Байду номын сангаас23
下面给出判别矩阵可逆的更简便的方法： 下面给出判别矩阵可逆的更简便的方法： 命题： 设A、 B为n阶方阵，若 AB = E , 命题： 阶方阵， 为 阶方阵 −1 都可逆， 则A、B 都可逆，且 B = A , A = B −1 . 证： 因为 AB = E , 所以
2
2、性质 、 均为n 设 A ，B 均为 阶方阵 （1） A = A ）
T
kA = k n A （2） ）
（3） AB = A B =| BA | ） 推广： 推广： 若 A1 , A2 ,⋯ AS 为同 阶方阵 则 阶方阵,则
A1 A2 ⋯ AS = A1 A2 ⋯ AS
(4) A = A
n
n
1 = E = AB = A B ≠ 0 ,
都可逆,则有 因此有 A ≠ 0 , B ≠ 0 , 故A、 B 都可逆 则有
B = EB = ( A A) B = A ( AB ) = A E = A A = AE = A( BB ) = ( AB ) B = EB = B
−1 −1 −1
−1
−1
−1
3 5
5
0
2 −4
1
2( AB ) = 2 ( AB ) = 8 AB = 8( A B )
(3)如果方阵 是可逆的, (3)如果方阵A是可逆的,则A的逆矩阵是唯 一的. 一的. 这是因为: 这是因为: 若B、C 都是 A 的逆矩阵,则有 的逆矩阵,
B = BE = B( AC) = ( BA)C = EC = C
所以A的逆矩阵是唯一的. 的逆矩阵是唯一的.
A−1 .则若AB=BA=E,就有 今后将A的逆矩阵记作
因为
1 0 1 A= 2 1 0 , −3 2 −5
Байду номын сангаас23
下面给出判别矩阵可逆的更简便的方法： 下面给出判别矩阵可逆的更简便的方法： 命题： 设A、 B为n阶方阵，若 AB = E , 命题： 阶方阵， 为 阶方阵 −1 都可逆， 则A、B 都可逆，且 B = A , A = B −1 . 证： 因为 AB = E , 所以
2
2、性质 、 均为n 设 A ，B 均为 阶方阵 （1） A = A ）
T
kA = k n A （2） ）
（3） AB = A B =| BA | ） 推广： 推广： 若 A1 , A2 ,⋯ AS 为同 阶方阵 则 阶方阵,则
A1 A2 ⋯ AS = A1 A2 ⋯ AS
(4) A = A
n
n
1 = E = AB = A B ≠ 0 ,
都可逆,则有 因此有 A ≠ 0 , B ≠ 0 , 故A、 B 都可逆 则有
B = EB = ( A A) B = A ( AB ) = A E = A A = AE = A( BB ) = ( AB ) B = EB = B
−1 −1 −1
−1
−1
−1
3 5
5
0
2 −4
1
2( AB ) = 2 ( AB ) = 8 AB = 8( A B )
可逆矩阵与逆矩阵
2.5 可逆矩阵与逆矩阵
数的除法 在矩阵当中，我们也采取这样的方法 倒数的概念：
既两数相乘等于1， a.b=1 a, b互为倒数。 在矩阵当中，我们怎样求倒数呢？
2。5。1 逆矩阵的定义
定义2。11: 对于n阶方阵A，如果有n阶方阵B，
且满足 AB=BA=I （单位阵） 则称A是可逆矩阵，称B是A的逆矩阵. 记作：
称为 A的逆阵. A称为 的逆阵.
性质1： 性质2：若A可逆
则 （ 是一个数）
证明：
性质3：若A可逆，则： 证明：
性质4：若 A, B均可逆。则AB也可逆。 且 证；
性质5； 若A可逆，则
是唯一的。
证（用反证法）： 设 B ,C 均为
, 则 I=AB
（所以，性质5是正确的。）
定理9.4 若 A , B 是方阵，且满足 AB=I或 BA=I 则：
（限于方阵）
例1：设： 问：B,C是否为A的逆阵
解：根据：AB=BA=I
例2：设
答案是: A不可逆 归纳：
问： A是否可逆？
1 什么叫逆阵？ 2 仅限于方阵 3 不是所有的方阵都有逆阵 4 会验证是否为逆阵 5 有了逆阵就相当于有了除法
问题： 1 究竟什么样的方阵有逆阵？ 2 如何求逆阵？
2.6.2 可逆矩阵的性质 由定义知：
Hale Waihona Puke （一边乘等于单位阵，即是它的逆阵。）
例3：
设
求：
且已知
解：
验证：
归纳：逆矩阵的概念（定义）* 可逆矩阵的性质
数的除法 在矩阵当中，我们也采取这样的方法 倒数的概念：
既两数相乘等于1， a.b=1 a, b互为倒数。 在矩阵当中，我们怎样求倒数呢？
2。5。1 逆矩阵的定义
定义2。11: 对于n阶方阵A，如果有n阶方阵B，
且满足 AB=BA=I （单位阵） 则称A是可逆矩阵，称B是A的逆矩阵. 记作：
称为 A的逆阵. A称为 的逆阵.
性质1： 性质2：若A可逆
则 （ 是一个数）
证明：
性质3：若A可逆，则： 证明：
性质4：若 A, B均可逆。则AB也可逆。 且 证；
性质5； 若A可逆，则
是唯一的。
证（用反证法）： 设 B ,C 均为
, 则 I=AB
（所以，性质5是正确的。）
定理9.4 若 A , B 是方阵，且满足 AB=I或 BA=I 则：
（限于方阵）
例1：设： 问：B,C是否为A的逆阵
解：根据：AB=BA=I
例2：设
答案是: A不可逆 归纳：
问： A是否可逆？
1 什么叫逆阵？ 2 仅限于方阵 3 不是所有的方阵都有逆阵 4 会验证是否为逆阵 5 有了逆阵就相当于有了除法
问题： 1 究竟什么样的方阵有逆阵？ 2 如何求逆阵？
2.6.2 可逆矩阵的性质 由定义知：
Hale Waihona Puke （一边乘等于单位阵，即是它的逆阵。）
例3：
设
求：
且已知
解：
验证：
归纳：逆矩阵的概念（定义）* 可逆矩阵的性质
第4节 可逆矩阵
广 东 金 融 学 院
定义 1 对于 n 阶方阵 A ,如果存在一个 n 阶 矩阵 B ,使得 AB = BA = E ,则称 A 为可逆矩阵, 简称 A 可逆,并称 B 为 A 的逆矩阵.记作 A1 ,即 A1 = B .
注意: 注意
由可逆矩阵定义可知:
(1) A 与 B 互为逆矩阵.即有 A1 = B , B1 = A .
1
1
1
0 6 0 0 1 0 0 1 0 = 6 0 3 0 = 6 0 1 3 0 = 0 2 0 . 0 0 6 0 0 1 6 0 0 1
23
广 东 金 融 学 院
例 现有甲,乙两种产品销往 A , A2 两地,已知销售 1 量(单位:吨) ,总价值(单位:万元)与总利润 (单位:万元)如下表所示,求甲,乙两种产品的 单位价格与单位利润.
证 :由 2 A 2E = 0, 明 A
得 ( A E) = 2E A
A E A =1 2
1
A E A =E 2
A ≠ 0,
A E . 故 可 , A = A 逆 2
15
广 东 金 融 学 院
又 A2 A 2E = 0, 由
( A+ 2E)( A 3E) + 4E = 0
1 ( A+ 2E) ( A3E) = E 4 1 A+ 2E 可 逆 . A+ 2E ( A3E) =1, 故 4
广 东 金 融 学 院
第四节 可逆矩阵
一,可逆矩阵 二,矩阵可逆的条件 三,可逆矩阵的运算性质
广 东 金 融 学 院
§4 可逆矩阵
一,可逆矩阵的概念
问题的提出:在数的运算中,当数 a ≠ 0 ,总 b = a1 ,使得 ab = ba =1, b 称为 存在唯一的一个数 a 的倒数或逆.
§2 可逆矩阵与逆矩阵
1 3 3 1 1 A 2 E 可逆，且 ( A 2 E ) 1 1 3 2 1 1 1 0 3 3 B ( A 2 E ) 1 A 1 2 3 1 1 0
§2可逆矩阵与逆矩阵
2 3 3 A 2 E 1 1 0 2 0 1 2 1
注： ①(唯一性)可逆矩阵A的逆矩阵唯一，记作 A1 .
AA1 A1 A E .
②可逆矩阵A的逆矩阵 A1 也可逆，且 ( A1 )1 A.
③单位矩阵 E 可逆，且
§2可逆矩阵与逆矩阵
E 1 E .
二、可逆条件、逆矩阵的求法
1、伴随矩阵
定义2设 Aij 是矩阵 A (aij )nn 中元素 aij 的代数
1 A ， 求 (2A)1 5 A* . 例8 若A是三阶矩阵， 2
§2可逆矩阵与逆矩阵
1
1 m
1 2
1 1
§2可逆矩阵与逆矩阵
4 若A可逆, 则A 亦可逆 , 且 A
T
T 1
A .
1 T
(5) 若A可逆，则 A 亦 可逆，且 A
k
1
1 A. A
(6) 若A可逆，则 A 亦 可逆，且 A
k
1
A
1
k
.
注： 当 A 0 时，定义
a1l A1 j a2 l A2 j
A, l j anl Anj 0, l j
立即可得,
a11 a12 a21 a22 * AA a a n1 n 2 A 0 0 A 0 0 §2可逆矩阵与逆矩阵
a1n A11 a2 n A12 ann A1n 0 0 A E. A
逆矩阵
求矩阵X满足 AXB=C 。 分析 若A、B可逆，则用A−1左乘上式，B−1右乘 AXB=C ，有 A−1AXBB−1=A−1CB−1， 即 X=A−1CB−1。
Solution : ⎡ 1 ⎢ 3 −1 A = ⎢− ⎢ 2 ⎢ 1 ⎣ −2 ⎤ ⎥ ⎡ 3 −1⎤ 5⎥ −1 −3 , B =⎢ ⎥, 2⎥ ⎣ −5 2 ⎦ 1 −1⎥ ⎦ 3
⎛a b⎞ 例2 已知 A = ⎜ ⎟ , 且ad − bc ≠ 0.求A－1 。 ⎝c d⎠
解 |A|＝ad－bc ≠0，故A可逆。 且易得
1 ⎛ d −b ⎞ A = ⎜ ⎟. ad − bc ⎝ −c a ⎠
−1
例3 设
⎡ 1 2 3⎤ ⎡1 3⎤ ⎢ 2 2 1⎥ , B = ⎡ 2 1⎤ , C = ⎢ 2 0 ⎥ , A=⎢ ⎢ 5 3⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎢ 3 4 3⎥ ⎢3 1⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
例1 判定矩阵
⎡1 1 −1⎤ ⎢ 2 −1 0 ⎥ A=⎢ ⎥ ⎢1 0 1 ⎥ ⎣ ⎦
是否可逆。若可逆，求出其逆矩阵。 解 由于
1 1
故A可逆.
1 0
−1 0 = −4 ≠ 0 1
det A = 2 −1
−1 A1 1 = 0 A3 1 A22 A13 A3 3 1 = −1 1 = 1 2 = 1 1 = 2
0 1 6 2 − 3
−
⎡ ⎤ ⎢ 1 −5 1 0⎥ ⎥ r2 + 1 r3 ⎢ 2 1 ⎥ → ⎢0 0 1 − r1 − 2 r3 ⎢ ⎥ 3 ⎢ ⎥ 1 ⎢0 1⎥ 0 ⎥ ⎢ 3 ⎦ ⎣ 1 ⎤ ⎡ −2 ⎥ ⎢1 0 0 3 ⎥ r1 + 5 r2 ⎢ 1 1⎥ → ⎢0 1 0 ⎢ 6 2⎥ ⎥ ⎢ 1 ⎢0 0 1 1⎥ ⎢ ⎥ 3 ⎣ ⎦
Solution : ⎡ 1 ⎢ 3 −1 A = ⎢− ⎢ 2 ⎢ 1 ⎣ −2 ⎤ ⎥ ⎡ 3 −1⎤ 5⎥ −1 −3 , B =⎢ ⎥, 2⎥ ⎣ −5 2 ⎦ 1 −1⎥ ⎦ 3
⎛a b⎞ 例2 已知 A = ⎜ ⎟ , 且ad − bc ≠ 0.求A－1 。 ⎝c d⎠
解 |A|＝ad－bc ≠0，故A可逆。 且易得
1 ⎛ d −b ⎞ A = ⎜ ⎟. ad − bc ⎝ −c a ⎠
−1
例3 设
⎡ 1 2 3⎤ ⎡1 3⎤ ⎢ 2 2 1⎥ , B = ⎡ 2 1⎤ , C = ⎢ 2 0 ⎥ , A=⎢ ⎢ 5 3⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎢ 3 4 3⎥ ⎢3 1⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
例1 判定矩阵
⎡1 1 −1⎤ ⎢ 2 −1 0 ⎥ A=⎢ ⎥ ⎢1 0 1 ⎥ ⎣ ⎦
是否可逆。若可逆，求出其逆矩阵。 解 由于
1 1
故A可逆.
1 0
−1 0 = −4 ≠ 0 1
det A = 2 −1
−1 A1 1 = 0 A3 1 A22 A13 A3 3 1 = −1 1 = 1 2 = 1 1 = 2
0 1 6 2 − 3
−
⎡ ⎤ ⎢ 1 −5 1 0⎥ ⎥ r2 + 1 r3 ⎢ 2 1 ⎥ → ⎢0 0 1 − r1 − 2 r3 ⎢ ⎥ 3 ⎢ ⎥ 1 ⎢0 1⎥ 0 ⎥ ⎢ 3 ⎦ ⎣ 1 ⎤ ⎡ −2 ⎥ ⎢1 0 0 3 ⎥ r1 + 5 r2 ⎢ 1 1⎥ → ⎢0 1 0 ⎢ 6 2⎥ ⎥ ⎢ 1 ⎢0 0 1 1⎥ ⎢ ⎥ 3 ⎣ ⎦
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（优选）第四节可逆矩阵与逆 矩阵
2、方阵行列式的性质 设 A ，B 均为n 阶方阵
（1） AT A （2） kA k n A （3） AB A B | BA |
推广： 若 A1, A2 , AS为同 阶方阵,则 A1 A2 AS A1 A2 AS
特别地： An A n
1 1 0 2 4 1
20
11
11
A12 3
10 5
A22 3
2 5
A32 2
2 0
21
A13 3
7 2
10
A23 3
2 2
10
A33 2
1 1
A11 A21 A31
A*
A12
A22
A32A13 A23 A来自3 5 2 110
2
2
7 2 1
例2: 设A 为n阶方阵, A* 是A 的伴随矩阵, 计算 A* A , AA* .
例3：设
1 0 1
A
2 3
1 2
0 5
,
判断A是否可逆？ 若可逆，求出 A1 .
解：因为
101
A 2 1 0 20
3 2 5
所以A可逆，且 A1 1 A* . A
因为
5 2 1
A*
10
2
2
,
7 2 1
1 0 1
A
2
1
0
,
3 2 5
所以 A1
5
1 A
A*
1 2
10 7
A11
A
A12
A1n
A21 A22
An1
An2 称为矩阵A 的伴随
矩阵.
A2n Ann
注： A*中第i行第j列处的元素是Aji 而不是Aij
1 0 1
例1.
设
A
2
1
0
,
求A 的伴随矩阵.
解:
3 2 5
10
01
A11 2
5 5
A21 2
2 5
01
A31 1
1 0
类似地,引入逆矩阵的概念
定义：对于n 阶方阵A，如果存在n阶方阵B，
使得
AB BA E
成立，则矩阵A称为可逆矩阵， B 称为A 的 逆矩阵或逆阵。
说明：零矩阵不是可逆矩阵。
例如,
由于 EnEn En, 所以 En 是可逆矩阵, 且 En的逆矩阵是En .
同样,当 k1, k2, k3 都不为零时,由
故有
AA* A* A A E ,
当 A 0时，我们有
A
1 A
A*
1 A
A* A
E.
从而A可逆, 且 A1 1 A* . A
这样我们得到下述定理： 定理: n阶方阵A是可逆的充分必要条件是
A 0 , 即A是非退化的, 而且 A1 1 A* . A
说明：该定理给出了判断一个矩阵是否可 逆的一种方法，并且给出了求逆矩 阵的一种方法，称之为伴随矩阵法。
k1
k2
1
k3
k1
1 k2
1
k1
1 k3
1 k2
k1
1 k3
k2
k3
1 0 0 0 1 0
0 0 1
知对角矩阵
k1
是其逆矩阵.
k2
k3
1 k1
是可逆矩阵,且
1 k2
1 k3
一般地,若 k1, k2,, kn 都不为零,则对角矩阵
1
如：
A
1 0
2
1
,
∵
1 A
2 1 0,
01
∴ A是非退化矩阵。
第四节 可逆矩阵与逆矩阵
一、逆矩阵的定义 二、逆矩阵判断及计算 三、逆矩阵的性质
一、逆矩阵的定义 在矩阵乘法中，对于任意n阶方阵A都有
AEn En A A, 单位阵En具有与数1在数的乘法中类似的性质.
而对于任意数 a ，若a 0 ,则存在 a1 使得 aa1 a1a 1,
解 A B k1En k2En
k1n En k2n En k1n k2n
A B k1En k2En
(k1 k2)En k1 k2 n En
k1 k2 n
注：一般地 A B A B
4、退化矩阵： 设 A 为n 阶方阵, 若 A 0, 则称 A是非
退化的或非奇异的；若 A 0, 则称 A是退化 的或奇异的。
例1
设
A
0
2
0
,
B
1
5
0
,求
2 AB5
1 1 1
0 1 1
解
11 0
2 4 1
A 0 2 0 2, B 1 5 0 5,
1 1 1
0 1 1
2AB5 23 AB5 8AB5 8 A B 5
8 2 55 8105
例2 设 A k1En, B k2En, 其中 k1, k2 是数, 求 A B 及 AB
2 2 2
1
2
1
5 2
1
1 2
5 1 1 .
7
1
1
2
2
下面给出判别矩阵可逆的更简便的方法：
命题： 设A、 B为n阶方阵，若 AB E , 则，A、B 都可逆，且 B A1, A B1.
证：因为 AB E , 所以
1 E AB A B 0 ,
因此有 A 0 , B 0 ,故A、 B 都可逆,则有
AA
a11 a12
a21 a22 a11 A11
a1n a2n
a12 A12
A11 A12
A21
A22 a1n A1n
An1 An2 A
aann11Ana1n2 an2 Aann2n A1n aAnn2nAnn AAnn
A
O
O
A
A
, A
所以 AA* A E , 同理 A* A A E ,
k1
k1
1 k2
1 kn
是对角矩阵
k2
的逆矩阵
kn
例
A
2 3
1 4
,
B
1 5
4 3
1
2
,
因为
2
AB
3
11 4
4
5
3
1
2
1 0
0
1
,
BA
1 4
5
3
1 2
2
3
1 1
4
0
0
1
,
即 AB BA E
所以A为可逆矩阵， B 为A 的逆矩阵。 同理 A 也是 B 的逆矩阵, A、 B 互为逆矩阵。
注：
如果方阵A是可逆的,则A的逆矩阵是唯一的.
这是因为:
B、C 都是 A 逆矩阵,则有
B BE BAC BAC EC C
所以A的逆矩阵是唯一的. 今后将A的逆矩阵记作 A1. 即若AB=BA=E,则
A1 B
注1
A1
并不是A的-1次方，不能写成
1, A
的形式。
问题 是否所有的方阵都可逆呢？ 否则，如何判别矩阵是否可逆？ 若A为可逆矩阵，如何求 A1 ?
二. 矩阵可逆的判别、逆矩阵的求法 方阵可逆的必要条件：
命题：若A可逆, 则 A 0
证：设A可逆, 则它有逆矩阵A1 , 使得
从而
AA1 E .
AA1 A A1 E 1 ,
所以
A 0
问题：上述必要条件是不是充分的？即若 A 0 , A一定可逆吗？
伴随矩阵: 设 A (aij )nn , 行列式 A 的各 个元素的代数余子式 Aij所构成的如下矩阵
2、方阵行列式的性质 设 A ，B 均为n 阶方阵
（1） AT A （2） kA k n A （3） AB A B | BA |
推广： 若 A1, A2 , AS为同 阶方阵,则 A1 A2 AS A1 A2 AS
特别地： An A n
1 1 0 2 4 1
20
11
11
A12 3
10 5
A22 3
2 5
A32 2
2 0
21
A13 3
7 2
10
A23 3
2 2
10
A33 2
1 1
A11 A21 A31
A*
A12
A22
A32A13 A23 A来自3 5 2 110
2
2
7 2 1
例2: 设A 为n阶方阵, A* 是A 的伴随矩阵, 计算 A* A , AA* .
例3：设
1 0 1
A
2 3
1 2
0 5
,
判断A是否可逆？ 若可逆，求出 A1 .
解：因为
101
A 2 1 0 20
3 2 5
所以A可逆，且 A1 1 A* . A
因为
5 2 1
A*
10
2
2
,
7 2 1
1 0 1
A
2
1
0
,
3 2 5
所以 A1
5
1 A
A*
1 2
10 7
A11
A
A12
A1n
A21 A22
An1
An2 称为矩阵A 的伴随
矩阵.
A2n Ann
注： A*中第i行第j列处的元素是Aji 而不是Aij
1 0 1
例1.
设
A
2
1
0
,
求A 的伴随矩阵.
解:
3 2 5
10
01
A11 2
5 5
A21 2
2 5
01
A31 1
1 0
类似地,引入逆矩阵的概念
定义：对于n 阶方阵A，如果存在n阶方阵B，
使得
AB BA E
成立，则矩阵A称为可逆矩阵， B 称为A 的 逆矩阵或逆阵。
说明：零矩阵不是可逆矩阵。
例如,
由于 EnEn En, 所以 En 是可逆矩阵, 且 En的逆矩阵是En .
同样,当 k1, k2, k3 都不为零时,由
故有
AA* A* A A E ,
当 A 0时，我们有
A
1 A
A*
1 A
A* A
E.
从而A可逆, 且 A1 1 A* . A
这样我们得到下述定理： 定理: n阶方阵A是可逆的充分必要条件是
A 0 , 即A是非退化的, 而且 A1 1 A* . A
说明：该定理给出了判断一个矩阵是否可 逆的一种方法，并且给出了求逆矩 阵的一种方法，称之为伴随矩阵法。
k1
k2
1
k3
k1
1 k2
1
k1
1 k3
1 k2
k1
1 k3
k2
k3
1 0 0 0 1 0
0 0 1
知对角矩阵
k1
是其逆矩阵.
k2
k3
1 k1
是可逆矩阵,且
1 k2
1 k3
一般地,若 k1, k2,, kn 都不为零,则对角矩阵
1
如：
A
1 0
2
1
,
∵
1 A
2 1 0,
01
∴ A是非退化矩阵。
第四节 可逆矩阵与逆矩阵
一、逆矩阵的定义 二、逆矩阵判断及计算 三、逆矩阵的性质
一、逆矩阵的定义 在矩阵乘法中，对于任意n阶方阵A都有
AEn En A A, 单位阵En具有与数1在数的乘法中类似的性质.
而对于任意数 a ，若a 0 ,则存在 a1 使得 aa1 a1a 1,
解 A B k1En k2En
k1n En k2n En k1n k2n
A B k1En k2En
(k1 k2)En k1 k2 n En
k1 k2 n
注：一般地 A B A B
4、退化矩阵： 设 A 为n 阶方阵, 若 A 0, 则称 A是非
退化的或非奇异的；若 A 0, 则称 A是退化 的或奇异的。
例1
设
A
0
2
0
,
B
1
5
0
,求
2 AB5
1 1 1
0 1 1
解
11 0
2 4 1
A 0 2 0 2, B 1 5 0 5,
1 1 1
0 1 1
2AB5 23 AB5 8AB5 8 A B 5
8 2 55 8105
例2 设 A k1En, B k2En, 其中 k1, k2 是数, 求 A B 及 AB
2 2 2
1
2
1
5 2
1
1 2
5 1 1 .
7
1
1
2
2
下面给出判别矩阵可逆的更简便的方法：
命题： 设A、 B为n阶方阵，若 AB E , 则，A、B 都可逆，且 B A1, A B1.
证：因为 AB E , 所以
1 E AB A B 0 ,
因此有 A 0 , B 0 ,故A、 B 都可逆,则有
AA
a11 a12
a21 a22 a11 A11
a1n a2n
a12 A12
A11 A12
A21
A22 a1n A1n
An1 An2 A
aann11Ana1n2 an2 Aann2n A1n aAnn2nAnn AAnn
A
O
O
A
A
, A
所以 AA* A E , 同理 A* A A E ,
k1
k1
1 k2
1 kn
是对角矩阵
k2
的逆矩阵
kn
例
A
2 3
1 4
,
B
1 5
4 3
1
2
,
因为
2
AB
3
11 4
4
5
3
1
2
1 0
0
1
,
BA
1 4
5
3
1 2
2
3
1 1
4
0
0
1
,
即 AB BA E
所以A为可逆矩阵， B 为A 的逆矩阵。 同理 A 也是 B 的逆矩阵, A、 B 互为逆矩阵。
注：
如果方阵A是可逆的,则A的逆矩阵是唯一的.
这是因为:
B、C 都是 A 逆矩阵,则有
B BE BAC BAC EC C
所以A的逆矩阵是唯一的. 今后将A的逆矩阵记作 A1. 即若AB=BA=E,则
A1 B
注1
A1
并不是A的-1次方，不能写成
1, A
的形式。
问题 是否所有的方阵都可逆呢？ 否则，如何判别矩阵是否可逆？ 若A为可逆矩阵，如何求 A1 ?
二. 矩阵可逆的判别、逆矩阵的求法 方阵可逆的必要条件：
命题：若A可逆, 则 A 0
证：设A可逆, 则它有逆矩阵A1 , 使得
从而
AA1 E .
AA1 A A1 E 1 ,
所以
A 0
问题：上述必要条件是不是充分的？即若 A 0 , A一定可逆吗？
伴随矩阵: 设 A (aij )nn , 行列式 A 的各 个元素的代数余子式 Aij所构成的如下矩阵