(优选)第四节可逆矩阵与逆矩阵

k1
k1
1 k2
1 kn
是对角矩阵
k2
的逆矩阵
kn
例
A
2 3
1 4
,
B
1 5
4 3
1
2
,
因为
2
AB
3
11 4
4
5
3
1
2
1 0
0
1
,
BA
1 4
5
3
1 2
2
3
1 1
4
0
0
1
,
即 AB BA E
所以A为可逆矩阵， B 为A 的逆矩阵。 同理 A 也是 B 的逆矩阵, A、 B 互为逆矩阵。
20
11
11
A12 3
10 5
A22 3
2 5
A32 2
2 0
21
A13 3
Baidu Nhomakorabea7 2
10
A23 3
2 2
10
A33 2
1 1
A11 A21 A31
A*
A12
A22
A32
A13 A23 A33
5 2 1
10
2
2
7 2 1
例2: 设A 为n阶方阵, A* 是A 的伴随矩阵, 计算 A* A , AA* .
例1
设
A
0
2
0
,
B
1
5
0
,求
2 AB5
1 1 1
0 1 1
解
11 0
2 4 1
A 0 2 0 2, B 1 5 0 5,
1 1 1
0 1 1
2AB5 23 AB5 8AB5 8 A B 5
8 2 55 8105
例2 设 A k1En, B k2En, 其中 k1, k2 是数, 求 A B 及 AB
解 A B k1En k2En
k1n En k2n En k1n k2n
A B k1En k2En
(k1 k2)En k1 k2 n En
k1 k2 n
注：一般地 A B A B
4、退化矩阵： 设 A 为n 阶方阵, 若 A 0, 则称 A是非
退化的或非奇异的；若 A 0, 则称 A是退化 的或奇异的。
（优选）第四节可逆矩阵与逆 矩阵
2、方阵行列式的性质 设 A ，B 均为n 阶方阵
（1） AT A （2） kA k n A （3） AB A B | BA |
推广： 若 A1, A2 , AS为同 阶方阵,则 A1 A2 AS A1 A2 AS
特别地： An A n
1 1 0 2 4 1
类似地,引入逆矩阵的概念
定义：对于n 阶方阵A，如果存在n阶方阵B，
使得
AB BA E
成立，则矩阵A称为可逆矩阵， B 称为A 的 逆矩阵或逆阵。
说明：零矩阵不是可逆矩阵。
例如,
由于 EnEn En, 所以 En 是可逆矩阵, 且 En的逆矩阵是En .
同样,当 k1, k2, k3 都不为零时,由
k1
k2
1
k3
k1
1 k2
1
k1
1 k3
1 k2
k1
1 k3
k2
k3
1 0 0 0 1 0
0 0 1
知对角矩阵
k1
是其逆矩阵.
k2
k3
1 k1
是可逆矩阵,且
1 k2
1 k3
一般地,若 k1, k2,, kn 都不为零,则对角矩阵
1
故有
AA* A* A A E ,
当 A 0时，我们有
A
1 A
A*
1 A
A* A
E.
从而A可逆, 且 A1 1 A* . A
这样我们得到下述定理： 定理: n阶方阵A是可逆的充分必要条件是
A 0 , 即A是非退化的, 而且 A1 1 A* . A
说明：该定理给出了判断一个矩阵是否可 逆的一种方法，并且给出了求逆矩 阵的一种方法，称之为伴随矩阵法。
2 2 2
1
2
1
5 2
1
1 2
5 1 1 .
7
1
1
2
2
下面给出判别矩阵可逆的更简便的方法：
命题： 设A、 B为n阶方阵，若 AB E , 则，A、B 都可逆，且 B A1, A B1.
证：因为 AB E , 所以
1 E AB A B 0 ,
因此有 A 0 , B 0 ,故A、 B 都可逆,则有
AA
a11 a12
a21 a22 a11 A11
a1n a2n
a12 A12
A11 A12
A21
A22 a1n A1n
An1 An2 A
aann11Ana1n2 an2 Aann2n A1n aAnn2nAnn AAnn
A
O
O
A
A
, A
所以 AA* A E , 同理 A* A A E ,
A11
A
A12
A1n
A21 A22
An1
An2 称为矩阵A 的伴随
矩阵.
A2n Ann
注： A*中第i行第j列处的元素是Aji 而不是Aij
1 0 1
例1.
设
A
2
1
0
,
求A 的伴随矩阵.
解:
3 2 5
10
01
A11 2
5 5
A21 2
2 5
01
A31 1
1 0
二. 矩阵可逆的判别、逆矩阵的求法 方阵可逆的必要条件：
命题：若A可逆, 则 A 0
证：设A可逆, 则它有逆矩阵A1 , 使得
从而
AA1 E .
AA1 A A1 E 1 ,
所以
A 0
问题：上述必要条件是不是充分的？即若 A 0 , A一定可逆吗？
伴随矩阵: 设 A (aij )nn , 行列式 A 的各 个元素的代数余子式 Aij所构成的如下矩阵
注：
如果方阵A是可逆的,则A的逆矩阵是唯一的.
这是因为:
B、C 都是 A 逆矩阵,则有
B BE BAC BAC EC C
所以A的逆矩阵是唯一的. 今后将A的逆矩阵记作 A1. 即若AB=BA=E,则
A1 B
注1
A1
并不是A的-1次方，不能写成
1, A
的形式。
问题 是否所有的方阵都可逆呢？ 否则，如何判别矩阵是否可逆？ 若A为可逆矩阵，如何求 A1 ?
如：
A
1 0
2
1
,
∵
1 A
2 1 0,
01
∴ A是非退化矩阵。
第四节 可逆矩阵与逆矩阵
一、逆矩阵的定义 二、逆矩阵判断及计算 三、逆矩阵的性质
一、逆矩阵的定义 在矩阵乘法中，对于任意n阶方阵A都有
AEn En A A, 单位阵En具有与数1在数的乘法中类似的性质.
而对于任意数 a ，若a 0 ,则存在 a1 使得 aa1 a1a 1,
例3：设
1 0 1
A
2 3
1 2
0 5
,
判断A是否可逆？ 若可逆，求出 A1 .
解：因为
101
A 2 1 0 20
3 2 5
所以A可逆，且 A1 1 A* . A
因为
5 2 1
A*
10
2
2
,
7 2 1
1 0 1
A
2
1
0
,
3 2 5
所以 A1
5
1 A
A*
1 2
10 7