高中数学人教版必修简单的三角恒等变换教案(系列五)

3．2简单的三角恒等变换教法分析●三维目标1．知识与技能(1)利用二倍角的变形公式推导半角的正弦、余弦、正切公式．(2)通过三角恒等变形将形如a sin x＋b cos x的函数转化为y＝A sin(x＋φ)的函数．(3)灵活利用公式，通过三角恒等变形，解决函数的最值、周期、单调性等问题．2．过程与方法经历半角公式、积化和差公式、和差化积公式的推导过程，引导学生对变换对象目标进行对比、分析，促进学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力．3．情感、态度与价值观通过对本节内容的学习和运用实践，培养学生观察、分析和解决问题的能力；培养学生的探索精神，加强学生的应用意识，激发学生的学习兴趣．●重点、难点重点：引导学生以已有的十一个公式为依据，以积化和差、和差化积、半角公式的推导作为基本训练，学习三角变换的内容、思路和方法，在与代数变换相比较中，体会三角变换的特点，提高推理、运算能力．难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力．方案设计●教学建议本节主要包括利用已有的十一个公式进行简单的恒等变换，以及三角恒等变换在数学中的应用．本节的内容都是用例题来展现的．通过例题的解答，引导学生对变换对象和变换目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，教学中对半角公式、和差化积公式以及积化和差公式只要求学生掌握其推导过程，并希望学生能从它们设计变换途径和方法的途径中，找到思维过程的共性，其结果不要求记忆．自主导学问题导思为丰富三角变换，我们曾由和角公式引出倍角公式，且“倍角是相对的”，那么倍角公式中的2α能否化为α，结果怎样？提示能，结果是sin α＝2sin α2cos α2；cos α＝2cos2α2－1＝1－2sin2α2＝cos2α2－sin2α2；tan α＝2tanα21－tan2α2.sinα2＝±1－cos α2，cosα2＝±1＋cos α2，tanα2＝±1－cos α1＋cos α，tanα2＝sinα2cosα2＝sinα2·2cosα2cosα2·2cosα2＝sin α1＋cos α，tanα2＝sinα2cosα2＝sinα2·2sinα2cosα2·2sinα2＝1－cos αsin α.a sin x＋b cos x＝a2＋b2sin(x＋θ)(其中tan θ＝ba)．互动探究(见学生用书第72页)例1 已知sin θ＝45，且5π2<θ<3π，求cos θ2和tan θ2. 思路探究 解答本题先求cos θ，而后确定θ2的范围，最后应用半角公式化简． 自主解答 ∵sin θ＝45，5π2<θ<3π， ∴cos θ＝－1－sin 2θ＝－35. 由cos θ＝2cos 2θ2－1得 cos 2θ2＝1＋cos θ2＝15. ∵5π4<θ2<32π. ∴cos θ2＝－1＋cos θ2＝－55. tan θ2＝sin θ2cos θ2＝2cos θ2sin θ22cos 2θ2＝sin θ1＋cos θ＝2.规律方法1．若没有给出角的范围，则根号前的正负号需要根据条件讨论． 2．由三角函数值求其他三角函数式的值的步骤：(1)先化简所求的式子；(2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从角和三角函数名称入手)．互动探究本例中将条件改为“π<θ<32π，且sin θ＝－45”，如何求解？ 解 ∵sin θ＝－45，π<θ<32π， ∴cos θ＝－1－sin 2θ＝－35. 由cos θ＝2cos 2θ2－1得 cos 2θ2＝1＋cos θ2＝15，∵π<θ<32π，∴π2<θ2<34π. ∴cos θ2＝－1＋cos θ2＝－55. ∴tan θ2＝sinθ2cos θ2 ＝2sin θ2·cos θ22cos 2θ2＝sin θ1＋cos θ＝－2. 类型2 三角恒等式的证明 例2 求证：2cos x －sin x 1＋sin x ＋cos x ＝cos x 1＋sin x －sin x 1＋cos x.思路探究 解答本题可先将右边两个分式用升幂公式变形，再通分逐步向左边的式子变换．自主解答 右边＝cos 2x 2－sin 2x 2sin x 2＋cos x 22－2sin x 2cos x 22cos 2x 2＝ cos x 2－sin x 2sin x 2＋cos x 2－sin x 2cos x 2＝cos 2x 2－sin 2x 2－2sin x 2cos x 2cos x 2sin x 2＋cos x 2＝2cos x －sin x 2sin x 2cos x 2＋2cos 2x 2＝2cos x －sin x 1＋sin x ＋cos x ＝左边． ∴原等式成立．规律方法1．恒等式的证明，包括无条件的恒等式和有条件的恒等式两种．(1)无条件的恒等式证明，常用综合法(执因索果)和分析法(执果索因)，证明的形式有化繁为简、左右归一、变更论证等．(2)有条件的恒等式证明，常常先观察条件式及欲证式中左、右两边三角函数的区别与联系，灵活使用条件，变形得证． 2．进行恒等变形时，既要注意分析角之间的差异，寻求角的变换方法，还要观察三角函数的结构特征，寻求化同名(化弦或化切)的方法，明确变形的目的．变式训练求证：tan(α＋π4)＋tan(α－π4)＝2tan 2α. 证明 法一 左边＝tan[(α＋π4)＋(α－π4)]·[1－tan(α＋π4)tan(α－π4)] ＝tan 2α·(1－tan α＋11－tan α·tan α－11＋tan α) ＝2tan 2α＝右边．故原等式成立． 法二 左边＝tan α＋tan π41－tan αtan π4＋tan α－tan π41＋tan αtan π4＝tan α＋11－tan α＋tan α－11＋tan α ＝1＋tan α2－1－tan α21－tan 2α ＝4tan α1－tan 2α＝2tan 2α＝右边． 故原等式成立.类型3 与三角函数性质有关的综合问题例3 已知函数f (x )＝cos(π3＋x )·cos(π3－x )，g (x )＝12sin 2x －14. (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求函数h (x )＝f (x )－g (x )的最大值，并求使h (x )取得最大值的x 的集合．思路探究 利用两角和、差的余弦公式，二倍角公式及正、余弦的辅助角公式，化f (x )、h (x )为A cos(ωx ＋φ)的形式，然后研究函数的性质．自主解答 (1)f (x )＝(12cos x －32sin x )· (12cos x ＋32sin x ) ＝14cos 2x －34sin 2x＝1＋cos 2x 8－31－cos 2x 8＝12cos 2x －14， ∴f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)h (x )＝f (x )－g (x )＝12cos 2x －12sin 2x ＝22cos(2x ＋π4)， 当2x ＋π4＝2k π(k ∈Z )时，h (x )有最大值22. 此时x 的取值集合为{x |x ＝k π－π8，k ∈Z }．规律方法1．为了研究函数的性质，往往要充分利用三角变换公式转化为余弦型(正弦型)函数，这是解决问题的前提．2．本题充分运用两角和(差)、二倍角公式、辅助角转换公式消除差异，减少角的种类和函数式的项数，为讨论函数性质提供了保障．变式训练已知f (x )＝cos 2(x ＋π12)＋sin x cos x ．求： (1)f (x )的最值；(2)f (x )的单调递增区间．解 f (x )＝12[1＋cos(2x ＋π6)]＋12sin 2x ＝12＋12(cos 2x cos π6－sin 2x ·sin π6)＋12sin 2x ＝12(12sin 2x ＋32cos 2x )＋12＝12sin(2x ＋π3)＋12. (1)f (x )max ＝1，f (x )min ＝0.(2)由2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z ， 得k π－5π12≤x ≤k π＋π12，k ∈Z ，则f (x )的单调递增区间为[k π－5π12，k π＋π12](k ∈Z ). 类型4 三角函数在实际问题中的应用例4 如图所示，要把半径为R 的半圆形木料截成长方形，应怎样截取，才能使△OAB 的周长最大？图3－2－1思路探究 设∠AOB ＝α→建立周长l (α)→求l 的最大值自主解答 设∠AOB ＝α，△OAB 的周长为l ，则AB ＝R sin α，OB ＝R cos α，∴l ＝OA ＋AB ＋OB＝R ＋R sin α＋R cos α＝R (sin α＋cos α)＋R＝2R sin(α＋π4)＋R . ∵0<α<π2，∴π4<α＋π4<3π4.∴l 的最大值为2R ＋R ＝(2＋1)R ，此时，α＋π4＝π2，即α＝π4， 即当α＝π4时，△OAB 的周长最大．规律方法1．解答此类问题，关键是合理引入辅助角α，确定各量之间的关系，将实际问题转化为三角函数问题，再利用三角函数的有关知识求解．2．在求解过程中，要注意三点：(1)充分借助平面几何性质，寻找数量关系；(2)注意实际问题中变量(角α)的范围；(3)重视三角函数有界性的影响．变式训练有一块以O 为圆心的半圆形空地，要在这块空地上划出一个内接矩形ABCD 辟为绿地，使其一边AD 落在圆的直径上，另外两点B ，C 落在半圆的圆周上，已知半圆的半径长为a ，如何选择关于点O 对称的点A ，D 的位置，可以使矩形ABCD 的面积最大？解 如图所示，设∠AOB ＝θ(θ∈(0，π2))，则AB ＝a sin θ，OA ＝a cos θ.设矩形ABCD 的面积为S ，则S ＝2OA ·AB ，∴S ＝2a cos θ·a sin θ＝a 2·2sin θcos θ＝a 2sin 2θ.∵θ∈(0，π2)，∴2θ∈(0，π)． 因此，当2θ＝π2，即θ＝π4时，S max ＝a 2. 这时点A 、D 距离O 的距离为22a ， 矩形ABCD 的面积最大值为a 2.方法技巧辅助角公式a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)的应用典例 (12分)已知函数y ＝12cos 2x ＋32sin x ·cos x ＋1，x ∈R . (1)当自变量y 取得最大值时，求自变量x 的集合；(2)求函数的单调递增区间．思路点拨 先利用辅助角公式将函数表达式化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式，再研究f (x )的有关性质，注意使用整体代换的思想将ωx ＋φ看成一个整体去讨论最值及单调性问题．规范解答 (1)y ＝12cos 2x ＋32sin x cos x ＋1 ＝12×1＋cos 2x 2＋32×12sin 2x ＋1 ＝12(32sin 2x ＋12cos 2x )＋54＝12 sin(2x ＋π6)＋54.………4分 当函数y 取得最大值时，2x ＋π6＝2k π＋π2(k ∈Z )即x ＝k π＋π6(k ∈Z )．故y 取得最大值时，自变量x 的集合为{x |x ＝π6＋k π，k ∈Z }.…………………………………………………8分 (2)由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z )，故函数的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z ). …………………………………………………………12分思维启迪我们只研究过函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的周期性、奇偶性、单调性和最大值与最小值问题，因此，解答本题的关键是利用辅助角公式将题中的函数进行化简．因此，对辅助角公式a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)要熟练掌握，并能灵活运用．课堂总结1．学习三角恒等变换，千万不要只顾死记硬背公式，而忽视对思想方法的理解，要学会借助前面几个有限的公式来推导后继公式，立足于在公式推导过程中记忆公式和运用公式．2．辅助角公式a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)，其中φ满足：①φ与点(a ，b )同象限；②tan φ＝b a (或sin φ＝b a 2＋b 2，cos φ＝a a 2＋b 2)． 3．研究形如f (x )＝a sin x ＋b cos x 的函数性质，都要运用辅助角公式化为一个整体角的正弦函数或余弦函数的形式．因此辅助角公式是三角函数中应用较为广泛的一个重要公式，也是高考常考的考点之一．对一些特殊的系数a 、b 应熟练掌握．例如sin x ±cos x ＝2sin(x ±π4)；sin x ±3cos x ＝2sin(x ±π3)等．当堂检测 (见学生用书第 74 页)1．若 cos α＝13，α∈(0，π)，则 cosα2的值为()6 A. 3B．－6 3C．±6 3D．±3 3解析 由题意知α2∈(0，π2)，∴cosα2>0，cosα2＝ 答案 A 2．已知 cos α＝45，α∈(32π，2π)，则 sinα2等于(1＋cos 2α ＝6 3.)A．－10 103 C.10 3解析 由题意知α2∈(34π，π)，10 B. 10 D．－35∴sinα2>0，sinα2＝1－cos α 2＝10 10 .答案 Bsin 13°＋cos 15°sin 2° 3.cos 13°－sin 15°sin 2°的值为( )A．2＋ 3B．2－ 32＋ 3 C. 2sin 15°－2° ＋cos 15°sin 2°解析原式＝ cos15°－2° －sin 15°sin 2°2－ 3 D. 2＝csoins15°cos 15°cos22°°＝tan15°.tan 45°－tan 30° ＝tan(45°－30°)＝1＋tan 45°tan 30°＝2－ 3.答案 B4．设函数 f(x)＝(sin ωx＋cos ωx)2＋2cos2ωx(ω>0)的最小正周期为23π.求 ω 的值． 解 f(x)＝1＋2sin ωxcos ωx＋2cos2ωx ＝1＋sin 2ωx＋(1＋cos 2ωx)＝ 2sin(2ωx＋π4)＋2，又 T＝22ωπ＝23π，∴ω＝32.一、选择题课后检测1．下列各式与 tan α 相等的是( )1－cos 2αsin αA. 1＋cos 2α B.1＋cos αsin α1－cos 2αC.1－cos 2α D. sin 2α解析 1－sinco2sα2α＝2si2nsiαnc2oαs α＝csoins αα＝tan α. 答案 D2．若函数 f(x)＝sin 2x－12(x∈R)，则 f(x)是()A．最小正周期为π2的奇函数B．最小正周期为 π 的奇函数C．最小正周期为 2π 的偶函数D．最小正周期为 π 的偶函数解析 y＝sin 2x－121－cos ＝22x－12＝－12cos 2x，∴函数是最小正周期为 π 的偶函数．答案 D3．已知 tan α2＝3，则 cos α 为()4 A.5B．－454 C.15D．－35解析tan2α2＝11－ ＋ccoossα α＝32＝9，∴cosα＝－45.答案 B 4．已知 sin θ＝－35，3π＜θ＜72π，则 tan θ2的值为( ) A．3 B．－3 C.13 D．－13 解析 ∵3π＜θ＜72π，sin θ＝－35，∴cos θ＝－ 1－ －35 2＝－45，∴tan θ＝34. ∵3π＜θ＜72π，∴32π＜θ2＜74π，θ 又 tan θ＝1－2tatnan22θ2＝34， ∴tan θ2＝－3 或13(舍去)． 答案 B5．设a＝12cos6°－3 2 sin6°，b＝2sin13°cos13°，c＝1－cos 50° 2 ，则有()A．c<b<a B．a<b<cC．a<c<b D．b<c<a 解析 a＝sin 30°cos 6°－cos 30°sin 6°＝sin(30°－6°)＝sin 24°，b＝2sin 13°·cos 13°＝sin 26°， c＝sin 25°， y＝sin x 在[0，π2]上是递增的． ∴a<c<b. 答案 C 二、填空题6．若32π＜α＜2π，且 cos α＝14，则12＋12 12＋12cos 2α的值是________．解析 原式＝12＋12 cos2α＝12＋12cos α＝12＋12×14＝10 4.答案10 47．(2013·常熟高一检测)函数 y＝cos2(x－1π2)＋sin2(x＋1π2)－1 的最小正周期为________．解析y＝cos2(x－1π2)＋sin2(x＋1π2)－1＝1＋cos2x－π6 21－cos ＋2x＋π6 2－1＝3 2 cos2x＋21sin2x－ 23 2 cos2x＋12sin2x＝12sin 2x，∴T＝22π＝π.答案 π2sin2x＋sin 8．已知 1＋tan x2x＝12(π4＜x＜π2)，则sinx－cosx＝________.2sin2x＋2sin xcos x解析 原式＝1＋csoinsx x2sin xcos x sin x＋cos x＝sin x＋cos x＝2sin xcos x＝12，由于π4＜x＜π2， 此时 sin x＞cos x，故 sin x－cos x＝ 1－2sin xcos x＝1－21＝2 2.答案2 2三、解答题9．已知： 2sinsin α π4－α2 sinπ4＋α21－cos 2α ＝2，求sin αcos α的值．解因为 2sinsin α 4π－α2 sinπ4＋α2＝ 2sinsin α π4－α2 cosπ4－α2＝ sinsin α 2π－α＝csoins αα＝tan α＝2.所以1si－n αcocoss2αα＝sin2sαinco2αs α＝2tan α＝4.sin x－cos x sin 2x10．(2012·北京高考)已知函数 f(x)＝sin x.(1)求 f(x)的定义域及最小正周期；(2)求 f(x)的单调递增区间．解 (1)由 sin x≠0 得 x≠kπ(k∈Z)，故 f(x)的定义域为{x∈R|x≠kπ，k∈Z}．sin x－cos x sin 2x因为 f(x)＝sin x＝2cos x(sin x－cos x)＝sin 2x－cos 2x－1＝ 2sin(2x－π4)－1，所以 f(x)的最小正周期为 π.(2)函数 y＝sin x 的单调递增区间为[2kπ－2π，2kπ＋2π](k∈Z)．由 2kπ－π2≤2x－π4≤2kπ＋2π，x≠kπ(k∈Z)，得 kπ－π8≤x≤kπ＋38π，x≠kπ(k∈Z)．所以 f(x)的单调递增区间为[kπ－π8，kπ)和(kπ，kπ＋38π](k∈Z)．11．点 P 在直径 AB＝1 的半圆上移动，过 P 作圆的切线 PT，且 PT＝1，∠PAB＝α，问α 为何值时，四边形 ABTP 的面积最大？解 如图，连接 PB，∵AB 为直径，∴∠APB＝90°， ∵∠PAB＝α，AB＝1， ∴PB＝sin α，PA＝cos α.又 PT 切圆于 P 点，则∠TPB＝∠PAB＝α. ∴S 四边形 ABTP＝S△PAB＋S△TPB ＝12PA·PB＋12PT·PB·sin α ＝12sin α·cos α＋12sin2α. ＝14sin 2α＋14(1－cos 2α)． ＝ 42sin(2α－π4)＋14， ∵0<α<π2，－π4<2α－π4<34π， ∴当 2α－π4＝π2，即 α＝38π 时，四边形面积最大． 教师备课资源 1．知识拓展 三角函数的和积互化 (1)三角函数的积化和差公式及推导 sin αcos β＝12[sin(α＋β)＋sin(α－β)]， cos αsin β＝12[sin(α＋β)－sin(α－β)]， cos αcos β＝12[cos(α＋β)＋cos(α－β)]， sin αsin β＝－12[cos(α＋β)－cos(α－β)]． 下面对这组公式进行推导： ∵sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β，(S(α＋β)) sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β，(S(α－β)) cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β，(C(α＋β)) cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β，(C(α－β)) (S(α＋β))＋(S(α－β))，(S(α＋β))－(S(α－β))，(C(α＋β))＋(C(α－β))，(C(α＋β))－(C(α－β))，得 sin(α＋β)＋sin(α－β)＝2sin αcos β， sin(α＋β)－sin(α－β)＝2cos αsin β， cos(α＋β)＋cos(α－β)＝2cos αcos β， cos(α＋β)－cos(α－β)＝－2sin αsin β，即 sin αcos β＝12[sin(α＋β)＋sin(α－β)]，①cos αsin β＝12[sin(α＋β)－sin(α－β)]，②cos αcos β＝12[cos(α＋β)＋cos(α－β)]，③sin αsin β＝－12[cos(α＋β)－cos(α－β)]，④公式①、②、③、④叫做积化和差公式．(2)三角函数的和差化积公式α＋β α－β sin α＋sin β＝2sin 2 ·cos 2 ，α＋β α－β sin α－sin β＝2cos 2 ·sin 2 ，α＋β α－β cos α＋cos β＝2cos 2 ·cos 2 ，α＋β α－β cos α－cos β＝－2sin 2 ·sin 2 .下面给出这组公式的推导：在积化和差的公式中，如果“从右往左”看，实质上就是和差化积．为了用起来方便，在θ＋φ θ－φ 积化和差的公式中，如果令 α＋β＝θ，α－β＝φ，则 α＝ 2 ，β＝ 2 .把这些值代入积化和差的公式①中，就有θ＋φ θ－φ sin 2 ·cos 2＝12[sin(θ＋2 φ＋θ－2 φ)＋sin(θ＋2 φ－θ－2 φ)]＝12(sin θ＋sin φ)．∴sinθ＋sinθ＋φ θ－φ φ＝2sin 2 ·cos 2 .同样可得：θ＋φ θ－φ sin θ－sin φ＝2cos 2 ·sin 2 ，θ＋φ θ－φ cos θ＋cos φ＝2cos 2 ·cos 2 ，θ＋φ θ－φ cos θ－cos φ＝－2sin 2 ·sin 2 .这四个公式叫做和差化积公式．第三章 三角恒等变换章末归纳提升(见学生用书第 75 页)知识网络构建tan α＋tan β 三角恒等变换和角公式 cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin βtan(α＋β)＝1－tan αtan βsin(α＋tan α－tan β β)＝sin αcos β＋cos αsin β 差角公式 cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin βtan(α－β)＝1＋tan αtan βsin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β 倍角公式 cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1 ＝1－2sin2αtan 2α＝1－2tatnanα2αsin 2α＝2sin αcos α 应用三角函数式的求值、化简和证明，讨论 三角函数的性质专题归纳提升专题 1三角函数的求值三角函数求值主要有三种类型，即：(1)“给角求值”，一般给出的角都是非特殊角，从表面看较难，但仔细观察就会发现这类问题中的角与特殊角都有一定的关系，如和或差为特殊角，当然还有可能需要运用诱导公式．(2)“给值求值”，即给出某些角的三角函数式的值，求另外一些三角函数的值，这类求值问题关键在于结合条件和结论中的角，合理拆、配角．当然在这个过程中要注意角的范围．(3)“给值求角”，本质上还是“给值求值”，只不过往往求出的是特殊角的值，在求出角之前还需结合函数的单调性确定角，必要时还要讨论角的范围．例 1 试求 3tan 10°＋4sin 10°的值．思路点拨 观察式中函数的特征及角的特征：有切有弦，且有数值 3以及 4.为此采取化 异为同，首先采取切化弦．3sin 10°＋4sin 10°cos 10°规范解答 原式＝cos 10°3sin 10°＋2sin 20°＝cos 10°3sin 30°－20° ＋2sin 20°＝cos 10°3sin 30°cos 20°－ 3cos 30°sin 20°＋2sin 20°＝cos 10°＝3 2 cos20°＋21sin cos 10°20° sin ＝60°＋20° cos 10°＝csoins80° 10°＝1.∴原式＝1.变式训练(2013·大庆高一检测)已知 tan(α＋π4)＝－12(π2＜α＜π)，(1)求 tan α 的值；sin 2α－2cos2α(2)求 sinα－π4的值．解 (1)由 tan(α＋π4)＝－12，得11＋ －ttaann αα＝－12，解得 tan α＝－3.sin 2α－2cos2α 2sin αcos α－2cos2α(2) sinα－π4＝＝2 2cos α.2 2sin α－cos α∵π2＜α＜π，且 tan α＝－3，∴cos α＝－ 1100.∴原式 22×(－1100)＝－255 .专题 2三角函数式的化简与证明三角函数式的化简是三角变换应用的一个重要方面，其基本思想方法是统一角、统一三角函数的名称．在具体实施过程中，应着重抓住“角”的统一．通过观察角、函数名、项的次数等，找到突破口，利用切化弦、升幂、降幂、逆用公式等手段将其化简．三角函数式的证明实质上也是化简，是有方向目标的化简；根本原则：由繁到简，消除两端差异，达到证明目的．例 2 证明：sin2340°－cos1240°＝32sin 10°. 思路点拨 由繁到简，故从左边到右边证明；先把左边通分后分子因式分解，再利用辅助角公式化归到与右边相同．规范解答∵左边＝32 sin 40°2－1 cos 40° 23cos 40° 2－ sin 40° 2＝sin240°cos240°＝3cos 40°＋sin 40°3cos 40°－sin 40°sin 240°cos 240° ＝4×32cos 40°＋12sin 40°32cos 40°－12sin 40°2sin 40°cos 40°2 ＝16sin 100°sin 20°sin 280°＝16sin 80°sin 20°sin 280°＝16sin 20°sin 80° ＝32sin 10°cos 10°cos 10°＝32sin 10°＝右边．∴原等式成立．变式训练化简：sin(α＋β)cos α－12[sin(2α＋β)－sin β]． 解 sin(α＋β)cos α－12[sin(2α＋β)－sin β] ＝sin(α＋β)cos α－12[sin(α＋β＋α)－sin(α＋β－α)] ＝sin(α＋β)cos α－12[sin αcos(α＋β)＋cos αsin(α＋β)－sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α] ＝sin(α＋β)cos α－12×2sin αcos(α＋β) ＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α＝sin(α＋β－α)＝sin β.专题3 三角恒等变形的综合运用(1)以三角恒等变形为主要的化简手段，考查三角函数的性质．当给出的三角函数关系式较为复杂，我们要先通过三角恒等变换，将三角函数的表达式变形化简，将函数表达式变形为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 或y ＝A cos(ωx ＋φ)＋k 等形式，然后再根据化简后的三角函数，讨论其图象和性质．(2)以向量运算为载体，考查三角恒等变形．这类问题往往利用向量的知识和公式，通过向量的运算，将向量条件转化为三角条件，然后通过三角变换解决问题；有时还从三角与向量的关联点处设置问题，把三角函数中的角与向量的夹角统一为一类问题考查．例3 (2013·邯郸高一检测)已知向量a ＝(sin x,1)，b ＝(cos x ，－12)， (1)当a ⊥b 时，求|a ＋b |的值；(2)求函数f (x )＝a ·(2b －a )＋cos 2x 的单调区间．思路点拨 (1)由a ·b ＝0及|a ＋b |＝a ＋b 2代入坐标求解；(2)由数量积的坐标运算法则化为f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋k 形式后再求单调区间．规范解答 (1)当a ⊥b 时，|a ＋b |＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝sin 2x ＋1＋cos 2x ＋14＝32. (2)f (x )＝2a ·b －a 2＋cos 2x ＝2sin x cos x －1－sin 2x －1＋cos 2x＝sin 2x ＋cos 2x －2＝2sin(2x ＋π4)－2， 当2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2(k ∈Z )时，f (x )单调递增， 解得k π－3π8≤x ≤k π＋π8(k ∈Z )； 当2k π＋π2≤2x ＋π4≤2k π＋32π(k ∈Z )时，f (x )单调递减，解得k π＋π8≤x ≤k π＋58π(k ∈Z )． ∴函数f (x )的单调增区间为[k π－3π8，k π＋π8]，k ∈Z . 单调减区间为[k π＋π8，k π＋58π]，k ∈Z . 变式训练已知函数f (x )＝(1＋cos x sin x )sin 2x －2sin(x ＋π4)·sin(x －π4)． (1)若tan α＝2，求f (α)；(2)若x ∈[π12，π2]，求f (x )的取值范围． 解 (1)f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x ＋cos 2x ＝1－cos 2x 2＋12sin 2x ＋cos 2x ＝12(sin 2x ＋cos 2x )＋12， 由tan α＝2，得sin 2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan α1＋tan 2α＝45， cos 2α＝cos 2α－sin 2αsin 2α＋cos 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α＝－35， 所以f (α)＝35. (2)由(1)得f (x )＝12(sin 2x ＋cos 2x )＋12＝22sin(2x ＋π4)＋12，由x ∈[π12，π2]，得2x ＋π4∈[5π12，5π4]， 所以sin(2x ＋π4)∈[－22，1]， 从而f (x )＝22sin(2x ＋π4)＋12∈[0，1＋22]. 专题4 转化与化归的思想三角式的恒等变换是解三角函数问题的方法基础，所谓三角式的恒等变换，就是运用有关概念和公式把给定的三角式化为另一等价形式．转化与化归的思想是三角恒等变换应用最广泛的，也是最基本的数学思想，它贯穿于三角恒等变换的始终，要认真体会理解，在解题过程中学会灵活应用．例4 已知sin(α－β2)＝45，cos(α2－β)＝－1213，且α－β2和α2－β分别为第二、第三象限角， 求tan α＋β2的值． 思路点拨 先根据α－β2，α2－β的范围求得其正、余弦再求正切值，最后由α＋β2＝(α－β2)－(α2－β)求解．规范解答 ∵sin(α－β2)＝45，且α－β2为第二象限角， ∴cos(α－β2)＝－1－sin 2α－β2＝－35. 又cos(α2－β)＝－1213，且α2－β为第三象限角， ∴sin(α2－β)＝－1－cos 2α2－β＝－513. ∴tan(α－β2)＝－43，tan(α2－β)＝512， ∴tan α＋β2＝tan[α－β2)－(α2－β)] ＝tan α－β2－tan α2－β1＋tan α－β2tan α2－β＝－43－5121－43×512＝－6316. 变式训练已知π2<β<α<3π4，cos(α－β)＝1213，sin(α＋β)＝－35，求sin 2α的值．解 ∵π2<β<α<3π4， ∴0<α－β<π4，π<α＋β<3π2. ∴sin(α－β)＝1－12132＝513. cos(α＋β)＝－1－－352＝－45. 即sin 2α＝sin[(α＋β)＋(α－β)]＝sin(α＋β)cos(α－β)＋cos(α＋β)sin(α－β)＝－35·1213＋513·(－45)＝－5665.。