高中数学人教版必修简单的三角恒等变换教案(系列五)

3．2 简单的三角恒等变换
●三维目标
教法分析
1．知识与技能
(1)利用二倍角的变形公式推导半角的正弦、余弦、正切公式．
(2)通过三角恒等变形将形如 asin x＋bcos x 的函数转化为 y＝Asin(x＋φ)的函数．
(3)灵活利用公式，通过三角恒等变形，解决函数的最值、周期、单调性等问题．
2．过程与方法
经历半角公式、积化和差公式、和差化积公式的推导过程，引导学生对变换对象目标进
行对比、分析，促进学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变
形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换
思想，提高学生的推理能力．
3．情感、态度与价值观
通过对本节内容的学习和运用实践，培养学生观察、分析和解决问题的能力；培养学生
的探索精神，加强学生的应用意识，激发学生的学习兴趣．
●重点、难点
重点：引导学生以已有的十一个公式为依据，以积化和差、和差化积、半角公式的推导
作为基本训练，学习三角变换的内容、思路和方法，在与代数变换相比较中，体会三角变换
的特点，提高推理、运算能力．
难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从
整体上把握变换过程的能力．
●教学建议
方案设计
本节主要包括利用已有的十一个公式进行简单的恒等变换，以及三角恒等变换在数学中
的应用．本节的内容都是用例题来展现的．通过例题的解答，引导学生对变换对象和变换目
标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，教学中对半角公式、和差化
积公式以及积化和差公式只要求学生掌握其推导过程，并希望学生能从它们设计变换途径和
方法的途径中，找到思维过程的共性，其结果不要求记忆．
自主导学

课标解读
1.运用三角变换公式进行简单的三角恒等变换．(重点) 2.公式的综合运用，根据三角变换特点，设计变换过程．(难点) 3.应用半角公式求值时的符号问题．(易混点)
知识 1
半角公式
问题导思
为丰富三角变换，我们曾由和角公式引出倍角公式，且“倍角是相对的”，那么倍角公式
中的 2α 能否化为 α，结果怎样？
提示
能，结果是 sin α＝2sin
α 2cos
α2；cos α＝2cos2α2－1＝1－2sin2α2＝cos2α2－sin2α2；tan α
α 2tan2 ＝1－tan2α2.
sinα2＝±
1－cos α 2，
cosα2＝±
1＋cos α 2，
tanα2＝±
1－cos α 1＋cos α，
α αα
tanα2＝scionsα22＝csoins2α2··22ccooss2α2＝1＋sincoαs
， α
α αα
tanα2＝ sin2α＝ sin2α·2sin2α＝1－sincoαs
α .
cos2 cos2·2sin2
知识 2
辅助角公式
asin x＋bcos x＝ a2＋b2sin(x＋θ)(其中 tan θ＝ba)．
互动探究
(见学生用书第 72 页)

类型 1
应用半角公式求值
例1
已知
sin
θ＝45，且52π<θ<3π，求
cosθ2和
θ tan2.
思路探究 解答本题先求 cos θ，而后确定θ2的范围，最后应用半角公式化简．
自主解答 ∵sin θ＝45，52π<θ<3π，
∴cos θ＝－ 1－sin2θ＝－35.
由 cos θ＝2cos2θ2－1 得
cos2θ2＝1＋c2os θ＝15.
∵54π<θ2<32π.
∴cosθ2＝－
1＋cos 2
θ ＝－
5 5.
θ
θθ
tanθ2＝csoins2θ2＝2c2ocso2ss2i2θn2
＝1＋sincoθs θ＝2.
规律方法 1．若没有给出角的范围，则根号前的正负号需要根据条件讨论． 2．由三角函数值求其他三角函数式的值的步骤： (1)先化简所求的式子； (2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从角和三角函数名称入手)． 互动探究 本例中将条件改为“π<θ<32π，且 sin θ＝－45”，如何求解？ 解 ∵sin θ＝－45，π<θ<32π， ∴cos θ＝－ 1－sin2θ＝－35. 由 cos θ＝2cos2θ2－1 得 cos2θ2＝1＋c2os θ＝15，

∵π<θ<32π，∴π2<θ2<34π.
∴cos θ2＝－
1＋cos 2
θ ＝－
5 5.
θ
∴tanθ2＝
sin2 θ
cos 2
θθ ＝2s2inc2o·sc2oθ2s2＝1＋sincoθs θ＝－2.
类型 2
三角恒等式的证明
例2
2 cos x－sin x 求证： 1＋sin x＋cos x
＝1＋cossinx x－1＋sincoxs x.
思路探究 解答本题可先将右边两个分式用升幂公式变形，再通分逐步向左边的式子变
换．
自主解答
右边＝
cos22x－sin22x
xx 2sin 2cos 2
sin
2x＋cos
x 2
－
2
2cos22x
＝
cos
2x－sin
x 2
x sin 2
sin
2x＋cos
x－ 2 cos
x 2
＝cocso22xs－2x sinsi2n2x－2x＋2scions2x2xcos
x 2
2 cos x－sin x
＝ 2sin
x 2cos
2x＋2cos22x
2 cos x－sin x ＝ 1＋sin x＋cos x ＝左边．
∴原等式成立．
规律方法 1．恒等式的证明，包括无条件的恒等式和有条件的恒等式两种． (1)无条件的恒等式证明，常用综合法(执因索果)和分析法(执果索因)，证明的形式有化繁 为简、左右归一、变更论证等．

(2)有条件的恒等式证明，常常先观察条件式及欲证式中左、右两边三角函数的区别与联
系，灵活使用条件，变形得证．
2．进行恒等变形时，既要注意分析角之间的差异，寻求角的变换方法，还要观察三角函
数的结构特征，寻求化同名(化弦或化切)的方法，明确变形的目的．
变式训练
求证：tan(α＋π4)＋tan(α－π4)＝2tan 2α. 证明 法一 左边＝tan[(α＋π4)＋(α－4π)]·[1－tan(α＋π4)tan(α－π4)]
tan α＋1 tan α－1 ＝tan 2α·(1－1－tan α·1＋tan α)
＝2tan 2α＝右边．
故原等式成立．
法二
左边＝1t－antαan＋αttaannπ4π4＋1t＋antαan－αttaannπ44π
tan α＋1 tan α－1 ＝1－tan α＋1＋tan α
1＋tan α 2－ 1－tan α 2
＝
1－tan2α
＝1－4tatnanα2α＝2tan 2α＝右边．
故原等式成立.
类型 3
与三角函数性质有关的综合问题
例 3 已知函数 f(x)＝cos(π3＋x)·cos(π3－x)，g(x)＝12sin 2x－14. (1)求函数 f(x)的最小正周期；
(2)求函数 h(x)＝f(x)－g(x)的最大值，并求使 h(x)取得最大值的 x 的集合．
思路探究 利用两角和、差的余弦公式，二倍角公式及正、余弦的辅助角公式，化 f(x)、
h(x)为 Acos(ωx＋φ)的形式，然后研究函数的性质．
自主解答
(1)f(x)＝(12cos
x－
3 2 sin
x)·
(12cos x＋ 23sin x) ＝14cos2x－34sin2x

1＋cos 2x 3 1－cos 2x
＝8－
8
＝12cos 2x－14， ∴f(x)的最小正周期 T＝22π＝π.
(2)h(x)＝f(x)－g(x)＝12cos 2x－12sin 2x
＝ 22cos(2x＋4π)，
当
2x＋4π＝2kπ(k∈Z)时，h(x)有最大值
2 2.
此时 x 的取值集合为{x|x＝kπ－π8，k∈Z}．
规律方法
1．为了研究函数的性质，往往要充分利用三角变换公式转化为余弦型(正弦型)函数，这
是解决问题的前提．
2．本题充分运用两角和(差)、二倍角公式、辅助角转换公式消除差异，减少角的种类和
函数式的项数，为讨论函数性质提供了保障．
变式训练
已知 f(x)＝cos2(x＋1π2)＋sin xcos x．求：
(1)f(x)的最值；
(2)f(x)的单调递增区间．
解 f(x)＝12[1＋cos(2x＋π6)]＋12sin 2x
＝12＋12(cos 2xcos π6－sin 2x·sin 6π)＋12sin 2x
＝12(12sin
2x＋
3 2 cos
2x)＋12
＝12sin(2x＋π3)＋12.
(1)f(x)max＝1，f(x)min＝0. (2)由 2kπ－π2≤2x＋π3≤2kπ＋2π，k∈Z，
得 kπ－51π2≤x≤kπ＋1π2，k∈Z，

则 f(x)的单调递增区间为[kπ－51π2，kπ＋1π2](k∈Z).
类型 4
三角函数在实际问题中的应用
例 4 如图所示，要把半径为 R 的半圆形木料截成长方形，应怎样截取，才能使△OAB
的周长最大？
图 3－2－1 思路探究 设∠AOB＝α→建立周长 l(α)→ 求 l 的最大值 自主解答 设∠AOB＝α，△OAB 的周长为 l，则 AB＝Rsin α，OB＝Rcos α， ∴l＝OA＋AB＋OB ＝R＋Rsin α＋Rcos α ＝R(sin α＋cos α)＋R ＝ 2Rsin(α＋π4)＋R. ∵0<α<π2，∴π4<α＋π4<34π.
∴l 的最大值为 2R＋R＝( 2＋1)R，此时，α＋4π＝π2，即 α＝π4， 即当 α＝π4时，△OAB 的周长最大．
规律方法 1．解答此类问题，关键是合理引入辅助角 α，确定各量之间的关系，将实际问题转化为 三角函数问题，再利用三角函数的有关知识求解． 2．在求解过程中，要注意三点：(1)充分借助平面几何性质，寻找数量关系；(2)注意实

际问题中变量(角 α)的范围；(3)重视三角函数有界性的影响． 变式训练 有一块以 O 为圆心的半圆形空地，要在这块空地上划出一个内接矩形 ABCD 辟为绿地，
使其一边 AD 落在圆的直径上，另外两点 B，C 落在半圆的圆周上，已知半圆的半径长为 a， 如何选择关于点 O 对称的点 A，D 的位置，可以使矩形 ABCD 的面积最大？
解 如图所示，设∠AOB＝θ(θ∈(0，π2))，则 AB＝asin θ，OA＝acos θ.
设矩形 ABCD 的面积为 S，则 S＝2OA·AB， ∴S＝2acos θ·asin θ＝a2·2sin θcos θ＝a2sin 2θ. ∵θ∈(0，2π)，∴2θ∈(0，π)． 因此，当 2θ＝π2，即 θ＝π4时，Smax＝a2. 这时点 A、D 距离 O 的距离为 22a， 矩形 ABCD 的面积最大值为 a2.

方法技巧
辅助角公式 asin x＋bcos x＝ a2＋b2sin(x＋φ)的应用
典例
(12
分)已知函数
y＝12cos2x＋
3 2 sin
x·cos
x＋1，x∈R.
(1)当自变量 y 取得最大值时，求自变量 x 的集合；
(2)求函数的单调递增区间．
思路点拨 先利用辅助角公式将函数表达式化为 y＝Asin(ωx＋φ)＋k 的形式，再研究 f(x)
的有关性质，注意使用整体代换的思想将 ωx＋φ 看成一个整体去讨论最值及单调性问题．
规范解答
(1)y＝12cos2x＋
3 2 sin
xcos
x＋1
＝12×1＋c2os
2x ＋
31 2 ×2sin
2x＋1
＝12(
3 2 sin
2x＋12cos
2x)＋54＝12
sin(2x＋π6)＋54.………4 分
当函数 y 取得最大值时，2x＋π6＝2kπ＋π2(k∈Z)即 x＝kπ＋π6(k∈Z)．故 y 取得最大值时，
自变量 x 的集合为{x|x＝π6＋kπ，k∈Z}.…………………………………………………8 分
(2)由 2kπ－π2≤2x＋π6≤2kπ＋2π(k∈Z)，得 kπ－π3≤x≤kπ＋π6(k∈Z)，故函数的单调递增区间是
kπ－π3，kπ＋π6(k∈Z). …………………………………………………………12 分
思维启迪 我们只研究过函数 y＝Asin(ωx＋φ)的周期性、奇偶性、单调性和最大值与最小值问题， 因此，解答本题的关键是利用辅助角公式将题中的函数进行化简．因此，对辅助角公式 asin x ＋bcos x＝ a2＋b2sin(x＋φ)要熟练掌握，并能灵活运用．
课堂总结
1．学习三角恒等变换，千万不要只顾死记硬背公式，而忽视对思想方法的理解，要学会
借助前面几个有限的公式来推导后继公式，立足于在公式推导过程中记忆公式和运用公式．
2．辅助角公式 asin x＋bcos x＝ a2＋b2sin(x＋φ)，其中 φ 满足：①φ 与点(a，b)同象限；
②tan φ＝ba(或 sin φ＝
b ，cos φ＝ a2＋b2
a )． a2＋b2
3．研究形如 f(x)＝asin x＋bcos x 的函数性质，都要运用辅助角公式化为一个整体角的正

弦函数或余弦函数的形式．因此辅助角公式是三角函数中应用较为广泛的一个重要公式，也 是高考常考的考点之一．对一些特殊的系数 a、b 应熟练掌握．例如 sin x±cos x＝ 2sin(x±π4)； sin x± 3cos x＝2sin(x±π3)等．

当堂检测 (见学生用书第 74 页)
1．若 cos α＝13，α∈(0，π)，则 cosα2的值为(
)
6 A. 3
B．－
6 3
C．±
6 3
D．±
3 3
解析 由题意知α2∈(0，π2)，∴cosα2>0，cosα2＝ 答案 A 2．已知 cos α＝45，α∈(32π，2π)，则 sinα2等于(
1＋cos 2
α ＝
6 3.
)
A．－
10 10
3 C.10 3
解析 由题意知α2∈(34π，π)，
10 B. 10 D．－35
∴sinα2>0，sinα2＝
1－cos α 2
＝
10 10 .
答案 B
sin 13°＋cos 15°sin 2° 3.cos 13°－sin 15°sin 2°的值为( )
A．2＋ 3
B．2－ 3
2＋ 3 C. 2
sin 15°－2° ＋cos 15°sin 2°
解析
原式＝ cos
15°－2° －sin 15°sin 2°
2－ 3 D. 2
＝csoins
15°cos 15°cos
22°°＝tan
15°.
tan 45°－tan 30° ＝tan(45°－30°)＝1＋tan 45°tan 30°＝2－ 3.
答案 B

4．设函数 f(x)＝(sin ωx＋cos ωx)2＋2cos2ωx(ω>0)的最小正周期为23π.求 ω 的值． 解 f(x)＝1＋2sin ωxcos ωx＋2cos2ωx ＝1＋sin 2ωx＋(1＋cos 2ωx)＝ 2sin(2ωx＋π4)＋2，
又 T＝22ωπ＝23π，∴ω＝32.
一、选择题
课后检测
1．下列各式与 tan α 相等的是( )
1－cos 2α
sin α
A. 1＋cos 2α B.1＋cos α
sin α
1－cos 2α
C.1－cos 2α D. sin 2α
解析 1－sinco2sα2α＝2si2nsiαnc2oαs α＝csoins αα＝tan α. 答案 D
2．若函数 f(x)＝sin 2x－12(x∈R)，则 f(x)是(
)
A．最小正周期为π2的奇函数
B．最小正周期为 π 的奇函数
C．最小正周期为 2π 的偶函数
D．最小正周期为 π 的偶函数
解析 y＝sin 2x－12
1－cos ＝2
2x－12
＝－12cos 2x，
∴函数是最小正周期为 π 的偶函数．
答案 D
3．已知 tan α2＝3，则 cos α 为(
)
4 A.5
B．－45

4 C.15
D．－35
解析
tan2α2＝11－ ＋ccooss
α α＝32＝9，∴cos
α＝－45.
答案 B 4．已知 sin θ＝－35，3π＜θ＜72π，则 tan θ2的值为( ) A．3 B．－3 C.13 D．－13 解析 ∵3π＜θ＜72π，sin θ＝－35，
∴cos θ＝－ 1－ －35 2＝－45，∴tan θ＝34. ∵3π＜θ＜72π，∴32π＜θ2＜74π，
θ 又 tan θ＝1－2tatnan22θ2＝34， ∴tan θ2＝－3 或13(舍去)． 答案 B
5．设
a＝12cos
6°－
3 2 sin
6°，b＝2sin
13°cos
13°，c＝
1－cos 50° 2 ，则有(
)
A．cC．ab＝2sin 13°·cos 13°＝sin 26°， c＝sin 25°， y＝sin x 在[0，π2]上是递增的． ∴a6．若32π＜α＜2π，且 cos α＝14，则

12＋12 12＋12cos 2α的值是________．
解析 原式＝
12＋12 cos2α＝
12＋12cos α＝
12＋12×14＝
10 4.
答案
10 4
7．(2013·常熟高一检测)函数 y＝cos2(x－1π2)＋sin2(x＋1π2)－1 的最小正周期为________．
解析
y＝cos2(x－1π2)＋sin2(x＋1π2)－1＝1＋cos
2x－π6 2
1－cos ＋
2x＋π6 2
－1
＝
3 2 cos
2x＋21sin
2x－ 2
3 2 cos
2x＋12sin
2x
＝12sin 2x，
∴T＝22π＝π.
答案 π
2sin2x＋sin 8．已知 1＋tan x
2x＝12(π4＜x＜π2)，则
sin
x－cos
x＝________.
2sin2x＋2sin xcos x
解析 原式＝
1＋csoins
x x
2sin xcos x sin x＋cos x
＝
sin x＋cos x
＝2sin xcos x＝12，
由于π4＜x＜π2， 此时 sin x＞cos x，
故 sin x－cos x＝ 1－2sin xcos x＝
1－21＝
2 2.
答案
2 2
三、解答题
9．已知： 2sin
sin α π4－α2 sin
π4＋α2
1－cos 2α ＝2，求sin αcos α的值．
解
因为 2sin
sin α 4π－α2 sin
π4＋α2
＝ 2sin
sin α π4－α2 cos
π4－α2
＝ sin
sin α 2π－α

＝csoins αα＝tan α＝2.
所以1si－n αcocoss2αα＝sin2sαinco2αs α＝2tan α＝4.
sin x－cos x sin 2x
10．(2012·北京高考)已知函数 f(x)＝
sin x
.
(1)求 f(x)的定义域及最小正周期；
(2)求 f(x)的单调递增区间．
解 (1)由 sin x≠0 得 x≠kπ(k∈Z)，
故 f(x)的定义域为{x∈R|x≠kπ，k∈Z}．
sin x－cos x sin 2x
因为 f(x)＝
sin x
＝2cos x(sin x－cos x)
＝sin 2x－cos 2x－1
＝ 2sin(2x－π4)－1，
所以 f(x)的最小正周期为 π.
(2)函数 y＝sin x 的单调递增区间为
[2kπ－2π，2kπ＋2π](k∈Z)．
由 2kπ－π2≤2x－π4≤2kπ＋2π，x≠kπ(k∈Z)，
得 kπ－π8≤x≤kπ＋38π，x≠kπ(k∈Z)．
所以 f(x)的单调递增区间为[kπ－π8，kπ)和(kπ，kπ＋38π](k∈Z)．
11．点 P 在直径 AB＝1 的半圆上移动，过 P 作圆的切线 PT，且 PT＝1，∠PAB＝α，问
α 为何值时，四边形 ABTP 的面积最大？
解 如图，连接 PB，
∵AB 为直径，∴∠APB＝90°， ∵∠PAB＝α，AB＝1， ∴PB＝sin α，PA＝cos α.

又 PT 切圆于 P 点，则∠TPB＝∠PAB＝α. ∴S 四边形 ABTP＝S△PAB＋S△TPB ＝12PA·PB＋12PT·PB·sin α ＝12sin α·cos α＋12sin2α. ＝14sin 2α＋14(1－cos 2α)． ＝ 42sin(2α－π4)＋14， ∵0<α<π2，－π4<2α－π4<34π， ∴当 2α－π4＝π2，即 α＝38π 时，四边形面积最大． 教师备课资源 1．知识拓展 三角函数的和积互化 (1)三角函数的积化和差公式及推导 sin αcos β＝12[sin(α＋β)＋sin(α－β)]， cos αsin β＝12[sin(α＋β)－sin(α－β)]， cos αcos β＝12[cos(α＋β)＋cos(α－β)]， sin αsin β＝－12[cos(α＋β)－cos(α－β)]． 下面对这组公式进行推导： ∵sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β，(S(α＋β)) sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β，(S(α－β)) cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β，(C(α＋β)) cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β，(C(α－β)) (S(α＋β))＋(S(α－β))，(S(α＋β))－(S(α－β))，(C(α＋β))＋(C(α－β))，(C(α＋β))－(C(α－β))，得 sin(α＋β)＋sin(α－β)＝2sin αcos β， sin(α＋β)－sin(α－β)＝2cos αsin β， cos(α＋β)＋cos(α－β)＝2cos αcos β， cos(α＋β)－cos(α－β)＝－2sin αsin β，

即 sin αcos β＝12[sin(α＋β)＋sin(α－β)]，①
cos αsin β＝12[sin(α＋β)－sin(α－β)]，②
cos αcos β＝12[cos(α＋β)＋cos(α－β)]，③
sin αsin β＝－12[cos(α＋β)－cos(α－β)]，④
公式①、②、③、④叫做积化和差公式．
(2)三角函数的和差化积公式
α＋β α－β sin α＋sin β＝2sin 2 ·cos 2 ，
α＋β α－β sin α－sin β＝2cos 2 ·sin 2 ，
α＋β α－β cos α＋cos β＝2cos 2 ·cos 2 ，
α＋β α－β cos α－cos β＝－2sin 2 ·sin 2 .
下面给出这组公式的推导：
在积化和差的公式中，如果“从右往左”看，实质上就是和差化积．为了用起来方便，在
θ＋φ θ－φ 积化和差的公式中，如果令 α＋β＝θ，α－β＝φ，则 α＝ 2 ，β＝ 2 .
把这些值代入积化和差的公式①中，就有
θ＋φ θ－φ sin 2 ·cos 2
＝12[sin(θ＋2 φ＋θ－2 φ)＋sin(θ＋2 φ－θ－2 φ)]
＝12(sin θ＋sin φ)．
∴sin
θ＋sin
θ＋φ θ－φ φ＝2sin 2 ·cos 2 .
同样可得：
θ＋φ θ－φ sin θ－sin φ＝2cos 2 ·sin 2 ，
θ＋φ θ－φ cos θ＋cos φ＝2cos 2 ·cos 2 ，
θ＋φ θ－φ cos θ－cos φ＝－2sin 2 ·sin 2 .
这四个公式叫做和差化积公式．

第三章 三角恒等变换
章末归纳提升
(见学生用书第 75 页)
知识网络构建
tan α＋tan β 三角恒等变换和角公式 cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin βtan(α＋β)＝1－tan αtan βsin(α＋
tan α－tan β β)＝sin αcos β＋cos αsin β 差角公式 cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin βtan(α－β)＝1＋tan αtan β
sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β 倍角公式 cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1 ＝1－2sin2αtan 2α＝1－2tatnanα2αsin 2α＝2sin αcos α 应用三角函数式的求值、化简和证明，讨
论 三角函数的性质
专题归纳提升
专题 1
三角函数的求值
三角函数求值主要有三种类型，即：
(1)“给角求值”，一般给出的角都是非特殊角，从表面看较难，但仔细观察就会发现这类
问题中的角与特殊角都有一定的关系，如和或差为特殊角，当然还有可能需要运用诱导公式．
(2)“给值求值”，即给出某些角的三角函数式的值，求另外一些三角函数的值，这类求值
问题关键在于结合条件和结论中的角，合理拆、配角．当然在这个过程中要注意角的范围．
(3)“给值求角”，本质上还是“给值求值”，只不过往往求出的是特殊角的值，在求出角之
前还需结合函数的单调性确定角，必要时还要讨论角的范围．
例 1 试求 3tan 10°＋4sin 10°的值．
思路点拨 观察式中函数的特征及角的特征：有切有弦，且有数值 3以及 4.为此采取化 异为同，首先采取切化弦．
3sin 10°＋4sin 10°cos 10°
规范解答 原式＝
cos 10°
3sin 10°＋2sin 20°
＝
cos 10°
3sin 30°－20° ＋2sin 20°
＝
cos 10°

3sin 30°cos 20°－ 3cos 30°sin 20°＋2sin 20°
＝
cos 10°
＝
3 2 cos
20°＋21sin cos 10°
20° sin ＝
60°＋20° cos 10°
＝csoins
80° 10°
＝1.
∴原式＝1.
变式训练
(2013·大庆高一检测)已知 tan(α＋π4)＝－12(π2＜α＜π)，
(1)求 tan α 的值；
sin 2α－2cos2α
(2)求 sin
α－π4
的值．
解 (1)由 tan(α＋π4)＝－12，得11＋ －ttaann αα＝－12，解得 tan α＝－3.
sin 2α－2cos2α 2sin αcos α－2cos2α
(2) sin
α－π4
＝
＝2 2cos α.
2 2
sin α－cos α
∵π2＜α＜π，且 tan α＝－3，
∴cos α＝－ 1100.∴原式 2
2×(－
1100)＝－2
5
5 .
专题 2
三角函数式的化简与证明
三角函数式的化简是三角变换应用的一个重要方面，其基本思想方法是统一角、统一三
角函数的名称．在具体实施过程中，应着重抓住“角”的统一．通过观察角、函数名、项的次
数等，找到突破口，利用切化弦、升幂、降幂、逆用公式等手段将其化简．
三角函数式的证明实质上也是化简，是有方向目标的化简；根本原则：由繁到简，消除
两端差异，达到证明目的．
例 2 证明：sin2340°－cos1240°＝32sin 10°. 思路点拨 由繁到简，故从左边到右边证明；先把左边通分后分子因式分解，再利用辅
助角公式化归到与右边相同．
规范解答
∵左边＝
32 sin 40°
2－
1 cos 40° 2
3cos 40° 2－ sin 40° 2
＝
sin240°cos240°