高中数学人教版必修简单的三角恒等变换教案(系列五)

3．2简单的三角恒等变换

教法分析

●三维目标

1．知识与技能

(1)利用二倍角的变形公式推导半角的正弦、余弦、正切公式．

(2)通过三角恒等变形将形如a sin x＋b cos x的函数转化为y＝A sin(x＋φ)的函数．

(3)灵活利用公式，通过三角恒等变形，解决函数的最值、周期、单调性等问题．

2．过程与方法

经历半角公式、积化和差公式、和差化积公式的推导过程，引导学生对变换对象目标进行对比、分析，促进学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力．

3．情感、态度与价值观

通过对本节内容的学习和运用实践，培养学生观察、分析和解决问题的能力；培养学生的探索精神，加强学生的应用意识，激发学生的学习兴趣．

●重点、难点

重点：引导学生以已有的十一个公式为依据，以积化和差、和差化积、半角公式的推导作为基本训练，学习三角变换的内容、思路和方法，在与代数变换相比较中，体会三角变换的特点，提高推理、运算能力．

难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力．

方案设计

●教学建议

本节主要包括利用已有的十一个公式进行简单的恒等变换，以及三角恒等变换在数学中的应用．本节的内容都是用例题来展现的．通过例题的解答，引导学生对变换对象和变换目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，教学中对半角公式、和差化积公式以及积化和差公式只要求学生掌握其推导过程，并希望学生能从它们设计变换途径和方法的途径中，找到思维过程的共性，其结果不要求记忆．

自主导学

问题导思

为丰富三角变换，我们曾由和角公式引出倍角公式，且“倍角是相对的”，那么倍角公式中的2α能否化为α，结果怎样？

提示能，结果是sin α＝2sin α

2cos α

2

；cos α＝2cos2α

2

－1＝1－2sin2α

2

＝cos2α

2

－sin2α

2

；tan α

＝

2tan

α

2

1－tan2

α

2

.

sin

α

2

＝±1－cos α

2

，

cos

α

2

＝±1＋cos α

2

，

tan

α

2

＝±1－cos α

1＋cos α

，

tan

α

2

＝

sin

α

2

cos

α

2

＝

sin

α

2·2cos

α

2

cos

α

2·2cos

α

2

＝sin α

1＋cos α

，

tan

α

2

＝

sin

α

2

cos

α

2

＝

sin

α

2·2sin

α

2

cos

α

2·2sin

α

2

＝1－cos α

sin α.

a sin x＋

b cos x＝a2＋b2sin(x＋θ)(其中tan θ＝

b

a)．

互动探究

(见学生用书第72页)

例1 已知sin θ＝45，且5π2<θ<3π，求cos θ2和tan θ2

. 思路探究 解答本题先求cos θ，而后确定θ2

的范围，最后应用半角公式化简． 自主解答 ∵sin θ＝45，5π2

<θ<3π， ∴cos θ＝－1－sin 2θ＝－35

. 由cos θ＝2cos 2θ2

－1得 cos 2θ2＝1＋cos θ2＝15

. ∵5π4<θ2<32π. ∴cos θ2

＝－1＋cos θ2＝－55. tan θ2＝sin θ2cos θ2＝2cos θ2sin θ22cos 2θ2

＝

sin θ1＋cos θ

＝2.

规律方法

1．若没有给出角的范围，则根号前的正负号需要根据条件讨论． 2．由三角函数值求其他三角函数式的值的步骤：

(1)先化简所求的式子；

(2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从角和三角函数名称入手)．

互动探究

本例中将条件改为“π<θ<32π，且sin θ＝－45

”，如何求解？ 解 ∵sin θ＝－45，π<θ<32

π， ∴cos θ＝－1－sin 2θ＝－35

. 由cos θ＝2cos 2θ2

－1得 cos 2θ2＝1＋cos θ2＝15，

∵π<θ<32π，∴π2<θ2<34π. ∴cos θ2＝－1＋cos θ2＝－55. ∴tan θ2＝sin

θ

2cos θ2 ＝2sin θ2·cos θ22cos 2θ2

＝sin θ1＋cos θ＝－2. 类型2 三角恒等式的证明 例2 求证：2cos x －sin x 1＋sin x ＋cos x ＝cos x 1＋sin x －sin x 1＋cos x

.

思路探究 解答本题可先将右边两个分式用升幂公式变形，再通分逐步向左边的式子变换．

自主解答 右边＝cos 2x 2－sin 2x 2sin x 2＋cos x 2

2－2sin x 2cos x 22cos 2x 2＝ cos x 2－sin x 2sin x 2＋cos x 2－sin x 2cos x 2

＝cos 2x 2－sin 2x 2－2sin x 2cos x 2cos x 2sin x 2＋cos x 2

＝2cos x －sin x 2sin x 2cos x 2＋2cos 2x 2

＝

2cos x －sin x 1＋sin x ＋cos x ＝左边． ∴原等式成立．

规律方法

1．恒等式的证明，包括无条件的恒等式和有条件的恒等式两种．

(1)无条件的恒等式证明，常用综合法(执因索果)和分析法(执果索因)，证明的形式有化繁为简、左右归一、变更论证等．