等比数列前n项和第二课时ppt课件
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等比数列的前n项和PPT课件
等比数列的前n项和ppt课件
xx年xx月xx日
contents
目录
• 引言 • 等比数列的前n项和公式推导 • 等比数列的前n项和的应用 • 特殊等比数列的前n项和 • 等比数列的前n项和求解方法 • 习题解答与练习
01
引言
课程背景
教学内容的重要性
等比数列是数学中的一个重要概念，其前n项和在数学、物理 、工程等领域有着广泛的应用。
特殊情况
当公比q不等于1时，等比数列的前n项和公式为 Sn=a1(1-q^n)/(1-q)。
05
等比数列的前n项和求解方法
利用公式求解等比数列的前n项和
公式法
利用等比数列的前n项和公式求解，当已知等比数列的首项a1和公比q时，可以直 接套用公式求出前n项和。
记忆口诀
为了方便记忆，可以总结一个简单的记忆口诀：“首项乘1减公比除以1减公比的 n次方”，这个口诀可以快速帮助我们记忆公式。
02
等比数列的前n项和公式推导
公比为r的等比数列求和公式推导
公式推导
$S_n = \frac{a_1}{1-r} * (1 - r^n)$
VS
推导步骤
将等比数列的每一项分别代入求和公式中 ，得到$S_n = a_1 + a_2 + \cdots + a_n$，再将$a_1 = ar, a_2 = ar^2, \cdots, a_n = ar^n$代入$S_n$中，经过 化简得到最终的求和公式。
04
特殊等比数列的前n项和
等差数列的前n项和公式
公式总结
等差数列的前n项和公式为Sn=n/2(a1+an)，其中n为项数， a1为首项，an为末项。
公式证明
通过采用倒序相加法，将前n项和与后n项和相加，得到 2Sn=n(a1+an)，从而得到前n项和公式。
xx年xx月xx日
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目录
• 引言 • 等比数列的前n项和公式推导 • 等比数列的前n项和的应用 • 特殊等比数列的前n项和 • 等比数列的前n项和求解方法 • 习题解答与练习
01
引言
课程背景
教学内容的重要性
等比数列是数学中的一个重要概念，其前n项和在数学、物理 、工程等领域有着广泛的应用。
特殊情况
当公比q不等于1时，等比数列的前n项和公式为 Sn=a1(1-q^n)/(1-q)。
05
等比数列的前n项和求解方法
利用公式求解等比数列的前n项和
公式法
利用等比数列的前n项和公式求解，当已知等比数列的首项a1和公比q时，可以直 接套用公式求出前n项和。
记忆口诀
为了方便记忆，可以总结一个简单的记忆口诀：“首项乘1减公比除以1减公比的 n次方”，这个口诀可以快速帮助我们记忆公式。
02
等比数列的前n项和公式推导
公比为r的等比数列求和公式推导
公式推导
$S_n = \frac{a_1}{1-r} * (1 - r^n)$
VS
推导步骤
将等比数列的每一项分别代入求和公式中 ，得到$S_n = a_1 + a_2 + \cdots + a_n$，再将$a_1 = ar, a_2 = ar^2, \cdots, a_n = ar^n$代入$S_n$中，经过 化简得到最终的求和公式。
04
特殊等比数列的前n项和
等差数列的前n项和公式
公式总结
等差数列的前n项和公式为Sn=n/2(a1+an)，其中n为项数， a1为首项，an为末项。
公式证明
通过采用倒序相加法，将前n项和与后n项和相加，得到 2Sn=n(a1+an)，从而得到前n项和公式。
等比数列的前n项和_优质PPT课件
条件,这时
k a1 . 1 q
5
4.等比数列的判定方法
(1)定义法: 列.
an1 an
(qq是不为0的常数,n∈N*)⇔{an}是等比数
(2)通项公式法:an=cqn(c,q均是不为0的常数,n∈N*)⇔{an}是 等比数列.
(3)中项公式法
:a2n+1=an·an+2(an·an+1·an+2≠0,n∈N*)⇔{an}
(2)只有同号的两个数才有等比中项,且这两数的等比中项互 为相反数.
18
类型二
等比数列的基本量运算
解题准备:在等比数列的通项公式和前n项和公式中,共有 a1,an,q,n,Sn五个量,知道其中任意三个量,都可以求出其余 两个量.解题时,将已知条件转化为基本量间的关系,然后利 用方程组的思想求解.
19
7
解析:由数列中an与Sn的关系,当n=1时,a1=S1=a-2;当n≥2时 ,an=Sn-Sn-1=(a-1)an-1,经验证n=1时,通项公式不符合,故当 a≠1时,从第二项起成等比数列;当a=1时,an=0(n≥2),数列从 第二项起成等差数列.
答案:D
8
2.已知等比数列{an}满足a1+a2=3,a2+a3=6,则a7=() A.64 B.81
2,3S2=a3-2,则公比q=(
)
A.3
B.4
C.5
D.6
解析 :
3S3 3S2
a4 a3
2① 2②
,
①
②得
:
3a3
a4
a3,
4a3
a4,
q a4 4. a3
答案:B
12
5.(2010·重庆)在等比数列{an}中,a2010=8a2007,则公比q的值 为( )
等比数列前n项公式2课件
（3）求证：数列{bn }是等比数列； （4）记 dn
an bn ,求{dn }的前 n项和 Sn 。
6
探究1：
1. 等比数列通项an与前n项和Sn的关系？
{an}是等比数列
Sn Aq B
n
其中A 0, q 1, A B 0.
练习1：
若等比数列{an}中，Sn＝m· 3n＋1，则
1 1 2 例3. 求和 : ( x ) ( x 2 ) y y
练习： 求数列1，x，x2，x3，…，xn，…的前n项和。
5
0.999
n个9
99
1 (x n ) y
n
1 1 2 1 3 例4：求和Sn = 2( ) 3( ) 2 2 2
练习： 求和S n 1 3 2 5 2 7 2
-1 实数m＝__________.
7
探究2：
an 的 前n项 和, 已 知Sn 是 等 比 数 列
且S10 5, S20 15.
(1).求S30 ;
35
( 2).问S10 , S20 S10 , S30 S20
是否成等比数列?
结论： S n 是等比数列an 的前n项和，
Sn≠0，
2 3
1 n n( ) 2
n 1
(2n 1) 2
a2 6, a5 18，数列{bn } 例5已知数列{an }是等差数列，
1 的前 n项和是 Tn ，且 Tn bn 1 。 2
（1）求数列{an } 的通项公式；
4 , 求{cn } 的前 n 项的和An ； （2）记 cn an an 1
2.5 等比数列的前n项和(2)
an bn ,求{dn }的前 n项和 Sn 。
6
探究1：
1. 等比数列通项an与前n项和Sn的关系？
{an}是等比数列
Sn Aq B
n
其中A 0, q 1, A B 0.
练习1：
若等比数列{an}中，Sn＝m· 3n＋1，则
1 1 2 例3. 求和 : ( x ) ( x 2 ) y y
练习： 求数列1，x，x2，x3，…，xn，…的前n项和。
5
0.999
n个9
99
1 (x n ) y
n
1 1 2 1 3 例4：求和Sn = 2( ) 3( ) 2 2 2
练习： 求和S n 1 3 2 5 2 7 2
-1 实数m＝__________.
7
探究2：
an 的 前n项 和, 已 知Sn 是 等 比 数 列
且S10 5, S20 15.
(1).求S30 ;
35
( 2).问S10 , S20 S10 , S30 S20
是否成等比数列?
结论： S n 是等比数列an 的前n项和，
Sn≠0，
2 3
1 n n( ) 2
n 1
(2n 1) 2
a2 6, a5 18，数列{bn } 例5已知数列{an }是等差数列，
1 的前 n项和是 Tn ，且 Tn bn 1 。 2
（1）求数列{an } 的通项公式；
4 , 求{cn } 的前 n 项的和An ； （2）记 cn an an 1
2.5 等比数列的前n项和(2)
1.3.2《等比数列的前n项和》课件(北师大版必修5)
1 q＝ 或 2 . n＝6
已知等比数列{an}中，前10项和S10＝10，前20项和S20＝
30，求S30.
方法一： 根据条件 设公比为q ―→ ―→ 解出q ―→ 代入求S30 列方程组 方法二： 根据题意S10；S20－S10， S10＝10， ―→ ―→ S30 S30－S20成等比数列 S20＝30
值．
解析： 方法一：设首项为a1，公比为q， a11－q4 ∵S4＝ ＝1，① 1－q a11－q8 S8 ＝ ＝3，② 1－q ① 由 ，得q4＝2. ②
a11－q20 a11－q16 ∴a17＋a18＋a19＋a20＝S20－S16＝ － 1－q 1－q a1q161－q4 ＝ ＝1·16＝24＝16. q 1－q
方法二：设S4＝a，S8－S4＝b，S12－S8＝c，S16－S12＝ d， S20－S16＝e， 则a，b，c，d，e又成等比数列．
则a＝1，b＝3－1＝2，
∴此数列的公比为2.
∴e＝a·24＝1·24＝16. ∴a17＋a18＋a19＋a20＝16.
)
B．－4 D．－2
答案： A
3．设{an}是公比为正数的等比数列，若a1＝1，a5＝16，则 数列{an}前7项的和为________．
a5 解析： ∵公比q ＝ ＝16， a1
4
且q＞0，∴q＝2， 1－27 ∴S7＝ ＝127. 1－2
答案： 127
4．在等比数列{an}中，已知a1＋a2＋…＋an＝2n－1，则a12
1 1－ q
所以q2＋4q＋4＝0，即(q＋2)2＝0. 所以q＝－2.
(4)∵a1an＝a2an－1＝128，又a1＋an＝66，
a ＝2 1 ∴ an＝64 a ＝64 1 或 an＝2
6.3.2等比数列的前n项和公式课件
§ 6.3.2 等比数列的 前n项和
8
7
6
5
4
陛下，赏小 人一些麦粒 请在第一个格 请在第三个格 请在第四个格 子放 1 颗麦粒 子放 4 颗麦粒 就可以 。 请在第二个格 子放 8 颗麦粒 依次类推 ……
子放2颗麦粒
8 7 6 5 4 64个格子 你想得到 3 什么样的 2 赏赐？ 1 3 2 1
①
30
两边同时乘以2，
2S30 2 2 2 2 2
2 3 29
②
由①-②得,
S30 1 2
'
30
30 10 S 2 1 1.0 10 . 即 30
而S30 3.0 10 ,显然S30比S30 大得多,
5 '
因此，建筑队队长最好不要同意这样的 条件,否则会亏大的.
n
错 位 4 相 减
由③- 4 得
(1 q) Sn a1 1 q n
(1 q) S n a1 1 q
n
S
？
n
a1 1 q n 1 q
等比数列的 通项公式
分类讨论 当 q 1时,
Sn
a1 1 q 1 q
n
a a q;
1 n
5 10
5
10
a1 an q 比数列的前n项和公式
a1 1 q n a1 an q Sn , q 1 1 q 1 q Sn na1 q 1
(2) 公式推导过程中用到的“错位相减” 方法; (3) 公式的运用.
a1 , q, n, Sn
作业布置 P25练习3.1，2习题6— 3A组3,4,5
(3)趣味题: 远望巍巍塔七层, 红光点点倍自增, 共灯三百八十一, 请问尖头几盏灯?
8
7
6
5
4
陛下，赏小 人一些麦粒 请在第一个格 请在第三个格 请在第四个格 子放 1 颗麦粒 子放 4 颗麦粒 就可以 。 请在第二个格 子放 8 颗麦粒 依次类推 ……
子放2颗麦粒
8 7 6 5 4 64个格子 你想得到 3 什么样的 2 赏赐？ 1 3 2 1
①
30
两边同时乘以2，
2S30 2 2 2 2 2
2 3 29
②
由①-②得,
S30 1 2
'
30
30 10 S 2 1 1.0 10 . 即 30
而S30 3.0 10 ,显然S30比S30 大得多,
5 '
因此，建筑队队长最好不要同意这样的 条件,否则会亏大的.
n
错 位 4 相 减
由③- 4 得
(1 q) Sn a1 1 q n
(1 q) S n a1 1 q
n
S
？
n
a1 1 q n 1 q
等比数列的 通项公式
分类讨论 当 q 1时,
Sn
a1 1 q 1 q
n
a a q;
1 n
5 10
5
10
a1 an q 比数列的前n项和公式
a1 1 q n a1 an q Sn , q 1 1 q 1 q Sn na1 q 1
(2) 公式推导过程中用到的“错位相减” 方法; (3) 公式的运用.
a1 , q, n, Sn
作业布置 P25练习3.1，2习题6— 3A组3,4,5
(3)趣味题: 远望巍巍塔七层, 红光点点倍自增, 共灯三百八十一, 请问尖头几盏灯?
最新-2018高中数学 第二章233节第二课时等比数列的前n项和课件 必修5 精品
解得 k＝8.
【点评】 此问题的本质还是等比数列的判定与 求和问题，只要抓住了本质，问题便可迎刃而 解．
变式训练
2．已知{an}是公比为 q 的等比数列，且 a1、a3、 a2 成等差数列． (1)求 q 的值； (2)设{bn}是以 2 为首项，q 为公差的等差数列， 其前 n 项和为 Sn，当 n≥2 时，比较 Sn 与 bn 的 大小，并说明理由．
由SS62＝＝97， 1，
a11＋q＝7， 得a111－－qq6＝91，
∴a11＋q1－1－qq1＋q2＋q4＝91， ∴q4＋q2－12＝0，∴q2＝3， ∴S4＝a111－－qq4＝a1(1＋q)(1＋q2) ＝7×(1＋3)＝28.
法二：设数列{an}的公比为 q， ∵S2＝7，S6＝91，
题型二 有关等比数列前n项和的综合问题
• 对于此类问题，在解答时要注意去伪存真，找到其
实质，从而转化为等比数列的基本问题．
例2 以数列{an}的任意相邻两项为横、纵坐标的 点 Pn(an，an＋1)(n∈N*)均在一次函数 y＝2x＋k 的图象 上，数列 bn＝an＋1－an(n∈N*，b1≠0)． (1)求证：数列{bn}是等比数列； (2)设数列{an}，{bn}的前 n 项和分别为 Sn，Tn，若 S6 ＝T4，S5＝－9，求 k 的值．
解：(1)由题知 2a3＝a1＋a2，即 2a1q2＝a1＋a1q.
∵a1≠0，∴2q2－q－1＝0，∴q＝1 或 q＝－12.
(2)①若 q＝1，则 Sn＝2n＋nn2－1×1＝n2＋2 3n.
当
n≥2
时，
Sn－bn＝Sn－1＝
n－1 2
n＋2
＞0，
故 Sn＞bn.
②若 q＝－12，则 Sn＝2n＋nn2－1·(－12)＝－n24＋9n.
【点评】 此问题的本质还是等比数列的判定与 求和问题，只要抓住了本质，问题便可迎刃而 解．
变式训练
2．已知{an}是公比为 q 的等比数列，且 a1、a3、 a2 成等差数列． (1)求 q 的值； (2)设{bn}是以 2 为首项，q 为公差的等差数列， 其前 n 项和为 Sn，当 n≥2 时，比较 Sn 与 bn 的 大小，并说明理由．
由SS62＝＝97， 1，
a11＋q＝7， 得a111－－qq6＝91，
∴a11＋q1－1－qq1＋q2＋q4＝91， ∴q4＋q2－12＝0，∴q2＝3， ∴S4＝a111－－qq4＝a1(1＋q)(1＋q2) ＝7×(1＋3)＝28.
法二：设数列{an}的公比为 q， ∵S2＝7，S6＝91，
题型二 有关等比数列前n项和的综合问题
• 对于此类问题，在解答时要注意去伪存真，找到其
实质，从而转化为等比数列的基本问题．
例2 以数列{an}的任意相邻两项为横、纵坐标的 点 Pn(an，an＋1)(n∈N*)均在一次函数 y＝2x＋k 的图象 上，数列 bn＝an＋1－an(n∈N*，b1≠0)． (1)求证：数列{bn}是等比数列； (2)设数列{an}，{bn}的前 n 项和分别为 Sn，Tn，若 S6 ＝T4，S5＝－9，求 k 的值．
解：(1)由题知 2a3＝a1＋a2，即 2a1q2＝a1＋a1q.
∵a1≠0，∴2q2－q－1＝0，∴q＝1 或 q＝－12.
(2)①若 q＝1，则 Sn＝2n＋nn2－1×1＝n2＋2 3n.
当
n≥2
时，
Sn－bn＝Sn－1＝
n－1 2
n＋2
＞0，
故 Sn＞bn.
②若 q＝－12，则 Sn＝2n＋nn2－1·(－12)＝－n24＋9n.
高中数学人教A版 选择性必修第二册 等比数列的前n项和公式 课件
由题意，得 an＋1＝45an.
因此，数列{an}是首项 a1＝25，公比 q＝45的等比数列．
热气球在前 n 分钟内上升的总高度为 Sn＝a1＋a2＋…＋an＝
4
a111－－qqn＝25×1－1－4
5
n
＝125×
1－
4 5
n
<125.
5
故这个热气球上升的高度不可能超过 125 m.
例题解析
1
1
例 8．已知在等比数列{an}中，a2＝9，a3a4＝2 187.
例题解析
解析：当 n≥2 时， an＝Sn－Sn－1＝(a－1)an－1； 当 n＝1 时，a1＝a－1，满足上式． ∴an＝(a－1)an－1，n∈N* ∴an＋1＝a，
an ∴数列{an}是等比数列． 答案：B
例题解析
S6
S9
例 6.设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，若S3＝4，则S6＝( A )
因为等比数列{an}共有 2n＋1 项，所以等比数列中偶数项有 n 项，奇数项有 n＋1 项．由题意得 q≠±1，所
a1q（1－q2n）
q2－q2n＋2
a1（1－q2n＋2）
1－q2n＋2
以偶数项和为 1－q2
＝84，∴ 1－q2 ＝42q，奇数项和为
1－q2
＝170，∴ 1－q2 ＝85，
2×2（1－4n）
例题解析
(2)由于 an＝13n，所以 bn＝nan＝n·13n，所以 Tn＝1×13＋2×132＋…＋n·13n，① 13Tn＝1×132＋2×133＋…＋(n－1)·13nn·13n＋1，② ①－②得，23Tn＝13＋132＋…＋13n－1＋13n－n·13n＋1＝1311－－1331n－n·13n＋1，解得 Tn＝34－34＋n2·13 n.
等比数列前n项和公式ppt课件
－
Sn qSn a1 a1qn
(1 q)Sn a1(1 qn )
公比q能否为1
Sn
a1(1 qn ) 1 q
乘公比错位相减法
新知讲解
当q 1时，Sn na1
等比数列的前n项和公式
na1
q=1
Sn
a1
(1
q
n
)
1 q
q≠1
典型例题-例1
已知an 是等比数列，若
a1
1 2
,
q
1 2
, 求S8
S8
a1(1 qn ) 1 q
1 2
(1
1 2
8
）
1（ -
1
）8
1-
1- 1
2
1 256
1 255
2
S8
1 255
典型例题-例2
已知an43
,q
0, 求S8
a1
27, a9
1 ,27 q8 243
1 243
q8 (1)8 3
q 0,q 1 3
新知探究
问题1：请问如何表示西萨到底要求的麦粒数？
1 2 22 23 263
问题2：仔细观察，1,2,22 ,23,24...... 263是什么数列
等比数列
问题3：1 2 22 23 263可以归结为什么数学问 题？
等比数列的前n项和求和问题
新知探究
S64 1 2 22 23 24...... 263
S8
27 [1 ( 1)8 ] 3
1（- 1）
1640 81
3
典型例题-例3
例3已知等比数列 {an }的首项为
-1，前
n项和为
S
2.5 等比数列的前n项和(精品课件)
an amq
n m
an+am =ap+aq(n+m=p+q) am an a p aq m n p q
2 a , b , c 成等比数列 b ac a, b, c成等差数列 2b a c
前n项和 公式
S
n( a1 an ) n 2 na1 1 n(n 1)d 2 (倒序相加)
等比数列的力量
等 比 数 列 an q (是常数 ) an 1
an= a1+(n-1)d an=am+(n-m) amqnm
an+am =ap+aq(n+m=p+q) a a a a m n p q m n p q
2 a, b, c成等差数列 2b a c a, b, c成等比数列 b ac
综合练习
任我采撷
等差(比)数列前n项和的 性质
若an 为等差(比)数列, 则 Sk ,S2 k Sk , S3k S2 k , S4 k S3k , S5k S4 k , 也成等差(比)数列.
等差（比）数列前n项 和的性质及应用
(1)已知等差数列{an}中，前 10 项和 S10＝10，前 20 项和 S20＝30，求 S30. (2)一个等比数列的首项是 1，项数是偶数，其奇数项的和 为 85，偶数项的和为 170，求此数列的公比和项数．
第一天返还1分， 第二天返还2分， 第三天返还4分…… 后一天返还数为前一天 的 2倍 ．
知识探究 等比数列的前n项和
在等比数列 {an }中,公比为 q ,它的前 n 项和:
a1 (1 q ) a1 an q Sn 1 q 1 q
第四章4.3.1第2课时 等比数列的应用及性质PPT课件(人教版)
又a1，a3，a5均不为0， ∴a1，a3，a5成等比数列.
(2)已知数列{an}是首项为
2，公差为－1
的等差数列，令
bn＝
1 2
an
，
求证数列{bn}是等比数列，并求其通项公式.
解 依题意an＝2＋(n－1)×(－1)＝3－n，
于是 bn＝123－n. 12－n
而bbn＋n 1＝213－n＝12－1＝2. 2
证明 由已知，有2a2＝a1＋a3，
①
a23＝a2·a4，
②
a24＝a13＋a15.
③
由③得a24＝aa3＋3·aa55，
∴a4＝a23a＋3·aa55.
④
由①得 a2＝a2 a3·a23a＋3·aa55.
∴a3＝aa1＋3＋aa35a5， 即a3(a3＋a5)＝a5(a1＋a3). 化简，得 a23＝a1·a5.
1
所以a8＝103
3
同理 a4a5a6＝a35＝ a52
3
2=
a2a8
3 1 1 2
1
2 53 103 =502 =5
2
三、等比数列的判定与证明
例3 已知Sn是数列{an}的前n项和，且Sn＝2an＋n－4. (1)求a1的值；
解 因为Sn＝2an＋n－4， 所以当n＝1时，S1＝2a1＋1－4， 解得a1＝3.
abnn也都是等比数列，公比分别为 pq 和 q .
预习小测 自我检验
YU XI XIAO CE ZI WO JIAN YAN
1.某细菌培养过程中，每15分钟分裂1次，经过2小时，这种细菌由1个
繁育成
A.64
√ B.128
C.256
D.255
解析 某细菌培养过程中，每15分钟分裂1次，经过2小时，共分裂8次， 所以经过2小时，这种细菌由1个繁育成28＝256.
(2)已知数列{an}是首项为
2，公差为－1
的等差数列，令
bn＝
1 2
an
，
求证数列{bn}是等比数列，并求其通项公式.
解 依题意an＝2＋(n－1)×(－1)＝3－n，
于是 bn＝123－n. 12－n
而bbn＋n 1＝213－n＝12－1＝2. 2
证明 由已知，有2a2＝a1＋a3，
①
a23＝a2·a4，
②
a24＝a13＋a15.
③
由③得a24＝aa3＋3·aa55，
∴a4＝a23a＋3·aa55.
④
由①得 a2＝a2 a3·a23a＋3·aa55.
∴a3＝aa1＋3＋aa35a5， 即a3(a3＋a5)＝a5(a1＋a3). 化简，得 a23＝a1·a5.
1
所以a8＝103
3
同理 a4a5a6＝a35＝ a52
3
2=
a2a8
3 1 1 2
1
2 53 103 =502 =5
2
三、等比数列的判定与证明
例3 已知Sn是数列{an}的前n项和，且Sn＝2an＋n－4. (1)求a1的值；
解 因为Sn＝2an＋n－4， 所以当n＝1时，S1＝2a1＋1－4， 解得a1＝3.
abnn也都是等比数列，公比分别为 pq 和 q .
预习小测 自我检验
YU XI XIAO CE ZI WO JIAN YAN
1.某细菌培养过程中，每15分钟分裂1次，经过2小时，这种细菌由1个
繁育成
A.64
√ B.128
C.256
D.255
解析 某细菌培养过程中，每15分钟分裂1次，经过2小时，共分裂8次， 所以经过2小时，这种细菌由1个繁育成28＝256.
2.5.2 等比数列的前n项和(第2课时)性质及应用(课件)-下学期高一数学(人教A版必修5)
[提示] S2＝20，S4－S2＝40，∴S6－S4＝80，∴S6＝S4＋80＝S2＋40＋80 ＝140.
1．思考辨析
[基础自测]
(1)等比数列{an}共 2n 项，其中奇数项的和为 240，偶数项的和为 120， 则该等比数列的公比 q＝2.( )
(2)已知等比数列{an}的前 n 项和 Sn＝a·3n－1－1，则 a＝1.( ) (3)若数列{an}为等比数列，则 a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6 也成等比数列．( ) (4)若 Sn 为等比数列的前 n 项和，则 S3，S6，S9 成等比数列．( )
等比数列前 n 项和公式的函数特征应用 例 1、已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝an－1(a 是不为零且不等于 1 的常数)， 则数列{an}( ) A．一定是等差数列 B．一定是等比数列 C．是等差数列或等比数列 D．既非等差数列，也非等比数列
B [当 n≥2 时， an＝Sn－Sn－1＝(a－1)·an－1； 当 n＝1 时，a1＝a－1，满足上式． ∴an＝(a－1)·an－1，n∈N*. ∴aan＋n 1＝a， ∴数列{an}是等比数列．]
[解] 设 S2n＝x，S4n＝y，则 2，x－2,14－x，y－14 成等比数列，所以 x－22＝214－x， 14－x2＝x－2y－14， 所以xy＝ ＝63， 0 或xy＝ ＝－ －44，0 (舍去)，所以 S4n＝30.
2．(变条件变结论)将例题(2)中的条件“q＝3，S80＝32”变为“项数为偶 数的等比数列，它的偶数项之和是奇数项之和的12，又它的首项为12，且中间 两项的和为1238”求此等比数列的项数．
[当 堂 达 标·固 双 基]
1． （2019 年金华模拟）设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 S10∶S5＝1∶2，
1．思考辨析
[基础自测]
(1)等比数列{an}共 2n 项，其中奇数项的和为 240，偶数项的和为 120， 则该等比数列的公比 q＝2.( )
(2)已知等比数列{an}的前 n 项和 Sn＝a·3n－1－1，则 a＝1.( ) (3)若数列{an}为等比数列，则 a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6 也成等比数列．( ) (4)若 Sn 为等比数列的前 n 项和，则 S3，S6，S9 成等比数列．( )
等比数列前 n 项和公式的函数特征应用 例 1、已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝an－1(a 是不为零且不等于 1 的常数)， 则数列{an}( ) A．一定是等差数列 B．一定是等比数列 C．是等差数列或等比数列 D．既非等差数列，也非等比数列
B [当 n≥2 时， an＝Sn－Sn－1＝(a－1)·an－1； 当 n＝1 时，a1＝a－1，满足上式． ∴an＝(a－1)·an－1，n∈N*. ∴aan＋n 1＝a， ∴数列{an}是等比数列．]
[解] 设 S2n＝x，S4n＝y，则 2，x－2,14－x，y－14 成等比数列，所以 x－22＝214－x， 14－x2＝x－2y－14， 所以xy＝ ＝63， 0 或xy＝ ＝－ －44，0 (舍去)，所以 S4n＝30.
2．(变条件变结论)将例题(2)中的条件“q＝3，S80＝32”变为“项数为偶 数的等比数列，它的偶数项之和是奇数项之和的12，又它的首项为12，且中间 两项的和为1238”求此等比数列的项数．
[当 堂 达 标·固 双 基]
1． （2019 年金华模拟）设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 S10∶S5＝1∶2，
等比数列的前n项和-优秀PPT课件
1
Sn
a1 anq 1 q
,q
1
na1, q 1
na1, q 1
练习1.判断是非
（ 2）n
①1 2 4 8 16 (2)n1 1 (1 2n) 1 (2)
n+1
② 1 2 22 23 2n 1 (1 2nn ) 12
③
c2
c4
c6
c2n
c2[1 (c2 )n ] 1 c2
, 14
,
1 8
,116
,
求前2n项中所有偶数项的和.
练习4
思考
资料表明，2000年我国工业废弃垃圾达 7.4×108t，每吨占地1m2，环保部门每回收或 处理1t废旧物资，相当于消灭4t工业废弃垃 圾．如果环保部门2002年共回收处理了100t 废旧物资，且以后每年的回收量递增20%． (1)2010年能回收多少吨废旧物资？ (2)从2002年到2010年底，可节约土地多少m2?
小结：
乘公比 错位相减
等比数列的 前n项和公式
q≠1,q=1 分类讨论
数学
源于生活
Sn
a1
(1 q 1q
n
)
q1
na1
q 1
知三求二
a1 anq
Sn
1q
na1
数学 用于生活
q1
q1
分组求和
方
转
程
化
思
思
想
想
课后作业：
必做：P61 A组 1、4、6题 选做：
思考题(1): 求和 x + 2 x2 + 3 x3 + + nxn .
等比数列的前n项和
选自人教A版必修5第二章第五节
高中数学第二章数列第5节等比数列的前n项和第2课时数列求和(习题课)课件新人教A版3必修5
(2)cn＝(3n－2)·2n－1， Tn＝1·20＋4·21＋…＋(3n－2)·2n－1， 2Tn＝1·21＋4·22＋…＋(3n－2)·2n， ∴－Tn＝1＋3×(21＋22＋…＋2n－1)－(3n－2)·2n ＝1＋6(2n－1－1)－(3n－2)·2n ＝(5－3n)·2n－5， Tn＝(3n－5)·2n＋5.
4n，
（x（）x（2－x21n）＋2＋1）＋2n. （x≠±1）
当一个数列本身既不是等差数列也不是等比数 列，但如果它的通项公式可以拆分为几项的和，而这 些项又构成等差数列或等比数列，那么就可以用分组 求和法，即原数列的前 n 项和等于拆分成的每个数列 前 n 项和的和．
讲一讲 3．等差数列an的前 n 项和为 Sn，已知 a1＝10，a2 为整 数，且 Sn≤S4. (1)求an的通项公式； (2)设 bn＝ana1n＋1，求数列bn的前 n 项和 Tn.
[尝试解答] (1)由 a1＝10，a2 为整数知：等差数列an 的公差 d 为整数．又 Sn≤S4，故 a4≥0，a5≤0；
和．形如 an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．
2．本节课的难点和易错点是“错位相减法”和 “奇偶并项求和法”．如讲 2 和讲 4.
第 2 课时 数列求和（习题课）
[思考]
若数列 c 是公差为 n
d
的等差数列，数列bn
是公比为 q(q≠1)的等比数列，且 an＝cn＋bn，如何求数
列 a 的前 n 项和？ n
名师指津：数列 a 的前 n 项和等于数列 c 和 b n
n
n
的前 n 项和的和．
＝
1 3
＋3×31211－－313n1－1
－
(3n
4.3.4 等比数列前n项和公式应用(课件)高二数学课件(人教A版2019选择性必修第二册)
2n－1
1 3 5
所以 Tn＝2＋22＋23＋…＋ 2n ，
2n－3 2n－1
1
1 3
2Tn＝22＋23＋…＋ 2n ＋ 2n＋1 ，
两式相减，得
2 2n－1
1
1 2 2
＋ ＋…＋2n－ n＋1
2Tn＝2＋22 23
2
2n－1 3 2n＋3
3
1
＝2－ n－1－ n＋1 ＝2－ n＋1 ，
(2) 如果这个作图过程可以一直继续下去，那么所有这些正方形的
面积之和将趋近于多少？
分析：可以利用数列表示各正方形的面积，
根据条件可知，这是一个等比数列。
(2)当无限增大时，无限趋近于所有正方形的面积和
随着的无限增大，
1
将趋近于0， 将趋近于50.
2
所以，所有这些正方形的面积之和将趋近于50.
(1)求数列{an}的通项公式；
b1 b 2
1
bn
(2)若数列{bn}满足a ＋a ＋…＋a ＝1－2n，n∈N*，求{bn}的前 n 项和 Tn.
n
1
2
[点拨]
(1)能否把条件转化为等差数列的两个基本量 a1 和 d 的方程？怎
么求出 an 的表达式？
bn
(2)如何先求出 a 进而确定{bn}的通项公式？数列{bn}的通项公式有什么
1
bn
(2)由已知a ＋a ＋…＋a ＝1－2n，n∈N*，
n
1
2
b1 1
当 n＝1 时，a ＝2；
1
1 1
1
bn
当 n≥2 时，a ＝1－2n－1－2n－1＝2n.
n
当 n＝1 时，也符合上式，
1 3 5
所以 Tn＝2＋22＋23＋…＋ 2n ，
2n－3 2n－1
1
1 3
2Tn＝22＋23＋…＋ 2n ＋ 2n＋1 ，
两式相减，得
2 2n－1
1
1 2 2
＋ ＋…＋2n－ n＋1
2Tn＝2＋22 23
2
2n－1 3 2n＋3
3
1
＝2－ n－1－ n＋1 ＝2－ n＋1 ，
(2) 如果这个作图过程可以一直继续下去，那么所有这些正方形的
面积之和将趋近于多少？
分析：可以利用数列表示各正方形的面积，
根据条件可知，这是一个等比数列。
(2)当无限增大时，无限趋近于所有正方形的面积和
随着的无限增大，
1
将趋近于0， 将趋近于50.
2
所以，所有这些正方形的面积之和将趋近于50.
(1)求数列{an}的通项公式；
b1 b 2
1
bn
(2)若数列{bn}满足a ＋a ＋…＋a ＝1－2n，n∈N*，求{bn}的前 n 项和 Tn.
n
1
2
[点拨]
(1)能否把条件转化为等差数列的两个基本量 a1 和 d 的方程？怎
么求出 an 的表达式？
bn
(2)如何先求出 a 进而确定{bn}的通项公式？数列{bn}的通项公式有什么
1
bn
(2)由已知a ＋a ＋…＋a ＝1－2n，n∈N*，
n
1
2
b1 1
当 n＝1 时，a ＝2；
1
1 1
1
bn
当 n≥2 时，a ＝1－2n－1－2n－1＝2n.
n
当 n＝1 时，也符合上式，
等比数列的前n项和公式(第二课时)课件-高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册)
[解析] 由 ，得 ，当 时， ,令 ,得 ,所以 ， ， ， ， ,所以 是等比数列.
(1)若等比数列{an}的项数有2n项，则
(2)若等比数列{an}的项数有2n＋1项，则
S奇＝a1＋a3＋… ＋ a2n-1 ＋a2n+1
＝a1＋(a3＋… a2n-1 ＋a2n+1)
＝a1＋q(a2＋a4＋…＋a2n)
课本P40
新知探究一：等比数列的前n项和公式的实际应用
例11 去年某地产生的生活垃圾为20万吨，其中14万吨垃圾以填埋方式处理，6万吨垃圾以环保方式处理，预计每年生活垃圾的总量递增5%，同时，通过环保方式处理的垃圾量每年增加1.5万吨. 为了确定处理生活垃圾的预算，请写出从今年起n年内通过填埋方式处理的垃圾总量的计算公式，并计算从今年起5年内通过填埋方式处理的垃圾总量 (精确到0.1万吨).
新知探究一：等比数列的前n项和公式的实际应用
12
课本P40
新知探究二：等比数列的前n项和公式的性质
➱பைடு நூலகம்
➱
当q≠1时，
即Sn是n的指数型函数.
当q＝1时，Sn＝na1，即Sn是n的正比例函数.
结构特点：qn的系数与常数项互为相反数.
【例】 数列{an}的前n项和Sn＝3n－2.求{an}的通项公式, 并判断{an}是否是等比数列.
2、等比数列前n项和公式的推导：错位相减法；
20
新知探究一：等比数列的前n项和公式的实际应用
= 20 ( 1.05+1.052+…+1.05n ) -( 7.5+9+…+6+1.5n )
常用数列求和方法之分组求和法(1)求形如cn＝an±bn的前n项和公式，其中{an}与{bn}是等差数列或等比数列；(2) 将等差数列和等比数列分开： Tn＝ c1 + c2 +… + cn ＝ (a1 + a2 +… + an )± (b1 + b2 +… + bn )(3) 利用等差数列和等比数列前n项和公式来计算Tn.
(1)若等比数列{an}的项数有2n项，则
(2)若等比数列{an}的项数有2n＋1项，则
S奇＝a1＋a3＋… ＋ a2n-1 ＋a2n+1
＝a1＋(a3＋… a2n-1 ＋a2n+1)
＝a1＋q(a2＋a4＋…＋a2n)
课本P40
新知探究一：等比数列的前n项和公式的实际应用
例11 去年某地产生的生活垃圾为20万吨，其中14万吨垃圾以填埋方式处理，6万吨垃圾以环保方式处理，预计每年生活垃圾的总量递增5%，同时，通过环保方式处理的垃圾量每年增加1.5万吨. 为了确定处理生活垃圾的预算，请写出从今年起n年内通过填埋方式处理的垃圾总量的计算公式，并计算从今年起5年内通过填埋方式处理的垃圾总量 (精确到0.1万吨).
新知探究一：等比数列的前n项和公式的实际应用
12
课本P40
新知探究二：等比数列的前n项和公式的性质
➱பைடு நூலகம்
➱
当q≠1时，
即Sn是n的指数型函数.
当q＝1时，Sn＝na1，即Sn是n的正比例函数.
结构特点：qn的系数与常数项互为相反数.
【例】 数列{an}的前n项和Sn＝3n－2.求{an}的通项公式, 并判断{an}是否是等比数列.
2、等比数列前n项和公式的推导：错位相减法；
20
新知探究一：等比数列的前n项和公式的实际应用
= 20 ( 1.05+1.052+…+1.05n ) -( 7.5+9+…+6+1.5n )
常用数列求和方法之分组求和法(1)求形如cn＝an±bn的前n项和公式，其中{an}与{bn}是等差数列或等比数列；(2) 将等差数列和等比数列分开： Tn＝ c1 + c2 +… + cn ＝ (a1 + a2 +… + an )± (b1 + b2 +… + bn )(3) 利用等差数列和等比数列前n项和公式来计算Tn.
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所以，从今年起，每年的销售量组成一个等比数列 a n
其中 a 1 5 0 0 0 ,q 1 1 0 ％ 1 .1 ,S n 3 0 0 0 0
于是得到 500011.1n 30000 整理得：1.1n 1.6
11.1
两边取对数，得
nlg1.1lg1.6 即
n
lg 1 .6 lg 1 .1
练：已知一个等比数列前6项的和与前3项的和的比等
于3，求前6项的和与前12项的和的比. 1 : 5
（3）当 a1且a0时，原式
a1an
nn1
1a
2
综上，当 a 1 时，原式 n12Ln nn 1
当 a
1 时，原式
a1an
nn1
2
1a
2
公式的实际应用
例3.某商场今年销售计算机5000台.如果平 均每年的销售量比上一年的销售量增加10 ％，那么从今年起，大约几年可使总销售 量达到30000台（结果保留到个位）？
当 q 1 时，S 5 5 a 1 1 0 5 a 1 a 1 2 此时，S1010a12050
故 q1 ∴
S5
a1
1q5 1q
10
S10
a1
1q10 1q
50
两式相除得：1 q 1 0
1 q5
5
1q5 5
q5 4
∴ a1 10
1 q 3
∴
S15a11 1 q q15
10143 3
当
q
1
时，Sna1a2Lan
a1
1 qn 1 q
S 2 n S n a n 1 a n 2 L a 2 n an11
1 q
q
n
S 3 n S 2 n a 2 n 1 a 2 n 2 L a 3 n a2n111q qn
∵
a2 n1
a1a2n1
∴ Sn,S2nSn,S3nS2n是等比数列
1q
1)
如图，画一个边长为2cm的正方形，再将这个正方形各边的中点相连 得到第二个正方形，依此类推，这样一共画了10个正方形.求： （1）第5个正方形的边长； （2）第10个正方形的面积； （3）这10个正方形的面积之和.
解：（1）设这10个正方形的边长构成数列 a n ，
则数列 a n 是等比数列， 且a1
210
用整体思 想求解
问题6：在等差数列 a n 中， S n 为其前n项和，则
Sn,S2nSn,S3nS2n,L具有怎样的性质？
Sn,S2nSn,S3nS2n,L也成等差数列
问题7：你能类比在等比数列中，也有类似的性质吗？
并用该性质重新解答例题4
当 q 1 时，S n S 2 n S n S 3 n S 2 n L n a 1显然是等比数列；
a1,q,an,n,Sn
由计算器算得 n 0 .2 0 2 5（年）
0 .0 4 1
答：大约5年可使总销售量达到30000台
知三求二
类比推理，归纳性质
例4.如果一个等比数列前5项的和等于10，前10项的和 等于50，求它的前15项的和.
解：设该等比数列的首项为 a 1 ，公比为 q ，前n项和为 S n
∴第五个正方形的边长
2
2, q
a5
2 a1q4
2
4
2 2
1 2
（2）设这10个正方形的面积构成数列 b n ，且 bn an2
则数列
∴b n 第 是1等0个比正数方列形，的且面b积1a12b104,qb1q9q2 412129
1 128
（3）这10个正方形的面积之和即数列 b n 的前10项之和
问题1：第一个正方形的边长和第二个正方形的边长有 什么关系？你能发现规律吗？
设这10个正方形的边长构成数列 a n ，则数列 a n 是等比数列
问题2：第一个正方形的面积和第二个正方形的面积有 什么关系？你能发现规律吗？
设这10个正方形的面积构成数列 b n ，则数列 b n 是等比数列
问题3：怎样求这10个正方形的面积之和？
例2.求和：a 1 a 2 2 L a n n
解： a 1 a 2 2 L a n n a a 2 L a n 1 2 L n
（1）当a 0 时，原式 12Ln n n 1 分组求和
2
（2）当 a 1 时，原式 n12Ln nn 1
2
S10
b1
1q10 1q
4
1
1 2
10
1 1
8
1
1 2
10
1023 128
2
公式再应用
例2.求和：a 1 a 2 2 L a n n
问题4：能看成等比数列的前n项和吗？ 等比数列中不能有“0”这样的项； 等比数列的前n项和公式需要对公比q是否等于1进行
分类讨论.
这10个正方形的面积之和就是数列 b n 的前10项的和.
复习回顾
• 等比数列的定义
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与 它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列
叫做等比数列.
• 等比数列的通项公式 ana1qn1amqnm
•
等比数列的前n项和公式
Sn
naa1(111qqn)
,(q1) a1 anq,(q
∴ Sn,S2nSn,S3nS2n,L是等比数列
例4.如果一个等比数列前5项的和等于10，前10项的和 等于50，求它的前15项的和.
另解：∵ S5,S10S5,S15S10也成等比数列
而 S 5 1 0 ,S 1 0 S 5 5 0 1 0 4 0
∴
S15
S10
402 10
160
∴ S 1 5 S 5 S 1 0 S 5 S 1 5 S 1 0 1 0 4 0 1 6 0 2 1 0
普通高中课程标准实验教科书·数学·必修5
2.5 等比数列的前n项和 2.5 等（比第数二列课的时前n）项和
（第二课时）
一、实例探究
例1. 如图，画一个边长为2cm的正方形，再 将这个正方形各边的中点相连得到第二个正 方形，依此类推，这样一共画了10个正方形. 求： （1）第5个正方形的边长； （2）第10个正方形的面积； （3）这10个正方形的面积之和.
问题5：怎样理解“平均每年的销售量比上一年的销售量 增加10％”？
如果把每年的销售量看成一个数列，则这个数列
是一个等比数列.
例3.某商场今年销售计算机5000台.如果平均每年的销售量比上 一年的销售量增加10％，那么从今年起，大约几年可使总销售
量达到30000台（结果保留到个位）？
解：根据题意，每年销售量比上一年增加的百分率相同.