高等数学下:7-1 多元函数的概念

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高等数学中的多元函数的基础概念详解

高等数学中的多元函数的基础概念详解

高等数学中的多元函数的基础概念详解在高等数学中,多元函数是一种非常重要的概念。

它是研究多变量之间关系的数学工具,广泛应用于自然科学、工程技术和经济管理等领域。

本文将从多元函数的定义、连续性、导数、微分、偏导数和泰勒展开等方面进行详细的讲解。

一、多元函数的定义多元函数是指在数学上,将多个自变量与一个或多个因变量联系起来的一种函数。

通常表示为$f(x_1,x_2,\dots,x_n)=y$,表示存在一种从输入向输出的映射关系。

例如,$f(x,y)=x^2+y^2$就是一个简单的多元函数,它将平面上的点$(x,y)$映射到一个实数值$z=x^2+y^2$上。

多元函数的定义域和值域分别是自变量的取值范围和因变量的取值范围。

二、多元函数的连续性多元函数的连续性是指当自变量发生微小变化时,函数值的变化也应该非常微小。

具体来说,如果在多元函数$f(x_1,x_2,\dots,x_n)$的某一点$(a_1,a_2,\dots,a_n)$附近,对于任意的$\epsilon>0$,都存在一个$\delta>0$,使得当$(x_1,x_2,\dots,x_n)$满足$|x_i-a_i|<\delta$时,有$|f(x_1,x_2,\dots,x_n)-f(a_1,a_2,\dots,a_n)|<\epsilon$,那么就称$f(x_1,x_2,\dots,x_n)$在点$(a_1,a_2,\dots,a_n)$处连续。

这与一元函数的连续性概念是类似的。

三、多元函数的导数多元函数的导数在概念上和一元函数的导数是类似的,它描述的是函数在某一点上的变化率。

但是多元函数的导数有一些特殊的性质,如方向导数、梯度等。

在二元函数的情况下,如果函数$f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$处可导,则有:$$\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h,y_0)-f(x_0,y_0)}{h}$$$$\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(x_0,y_0+h)-f(x_0,y_0)}{h}$$这两个导数称为函数$f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$处的偏导数。

高等数学第七版教材下册目录

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高等数学第七版教材下册目录一、导言1.1 数学的起源和发展1.2 高等数学的地位和作用1.3 数学的基本概念二、极限与连续2.1 数列的极限2.1.1 数列极限的定义2.1.2 数列极限的性质2.2 函数的极限2.2.1 函数极限的定义2.2.2 函数极限的运算法则2.3 极限存在定理2.3.1 夹逼定理2.3.2 单调有界定理2.4 无穷大与无穷小2.4.1 无穷大的定义与性质2.4.2 无穷小的定义与性质2.5 连续与间断2.5.1 连续的定义与性质2.5.2 间断点的分类与性质三、导数与微分3.1 导数的定义与性质3.1.1 导数的定义3.1.2 导数的基本性质3.2 基本初等函数的导数3.2.1 幂函数的导数3.2.2 指数函数与对数函数的导数 3.2.3 三角函数与反三角函数的导数 3.3 高阶导数与高阶微分3.4 隐函数与参数方程的导数3.5 微分中值定理3.5.1 罗尔中值定理3.5.2 拉格朗日中值定理3.5.3 柯西中值定理四、微分中值定理与舍误4.1 函数的单调性与极值 4.1.1 单调性的判定4.1.2 极值的判定4.2 函数图形的描绘4.2.1 函数的对称性4.2.2 渐近线与拐点4.3 泰勒公式与泰勒展开4.4 函数的舍误与渐近展开五、定积分5.1 定积分的概念与性质 5.1.1 定积分的定义5.1.2 定积分的基本性质 5.2 定积分的计算方法5.2.1 可积函数的性质 5.2.2 定积分的计算公式5.3 定积分的应用5.3.1 几何应用5.3.2 物理应用六、不定积分6.1 基本积分表6.1.1 基本积分公式6.1.2 常用积分公式6.2 分部积分法与换元积分法 6.3 有理函数的积分6.4 函数的不定积分6.5 定积分与不定积分的关系七、常微分方程7.1 微分方程的基本概念7.1.1 微分方程的定义7.1.2 微分方程的解与通解 7.2 一阶线性微分方程7.2.1 可分离变量的方程7.2.2 齐次方程7.2.3 一阶线性非齐次方程7.3 高阶线性微分方程7.3.1 含有常系数的方程7.3.2 欧拉方程7.4 常系数线性齐次微分方程的解法7.5 常系数线性非齐次微分方程的解法八、多元函数微分学8.1 多元函数的概念与性质8.1.1 多元函数的定义8.1.2 多元函数的极限与连续8.2 偏导数与全微分8.2.1 偏导数的定义与性质8.2.2 全微分的概念与计算8.3 多元复合函数的导数8.3.1 多元复合函数的链式法则8.3.2 隐函数的偏导数8.4 多元函数的极值8.4.1 多元函数的极值点与极值8.4.2 条件极值与拉格朗日乘子法九、多元函数积分学9.1 二重积分的概念与性质9.1.1 二重积分的定义9.1.2 二重积分的性质9.2 二重积分的计算方法9.2.1 二重积分的累次积分法9.2.2 二重积分的极坐标法9.3 三重积分的概念与性质9.3.1 三重积分的定义9.3.2 三重积分的性质9.4 三重积分的计算方法9.4.1 三重积分的累次积分法9.4.2 三重积分的柱面坐标法十、无穷级数10.1 数项级数的概念与性质10.1.1 数项级数的定义10.1.2 数项级数的审敛法10.2 收敛级数的运算10.2.1 收敛级数的四则运算10.2.2 收敛级数的基本性质10.3 幂级数与函数展开10.3.1 幂级数的收敛域10.3.2 幂级数展开与泰勒级数总结以上是高等数学第七版教材下册的目录,涵盖了多个重要的数学概念和学习内容。

高等数学(下)第一章课件

高等数学(下)第一章课件
{ } 边界点:(x, y) x2 + y2 = 1或x2 + y2 = 4
3.开集及区域
定义1.3 若点集 E 的每一点都是内点,则称 E 为开集;
{ } 例如 E2 = (x, y) x2 + y2 < r 2
E3 = {(x, y) a < x < b, c < y < d} 都是开集.
{ } 但是E1 = (x, y)1 ≤ x2 + y2 < 4 不是开集.
{ } E5 = (x, y) x2 + y2 < 1或x2 + y2 > 4 都是开集,其中
E4是连通的,是区域.
{ } 相应的闭区域为 E4 = E4 ∪ ∂E = (x, y)1 ≤ x2 + y2 ≤ 4
而E5不是连通的,不是区域.
y
点集 {(x, y) x > 1} 是开集,
但非区域 .
−1o 1 x
边界,记为 ∂E.
显然, E 的内点必属于 E , E 的外点必不属于 E , E 的
边界点可能属于 E, 也可能不属于 E .
例如 E1 = {(x, y) 1 ≤ x2 + y2 < 4 }是一个圆环.
{ } 内点:(x, y)1 < x2 + y2 < 4 { } 外点:(x, y) x2 + y2 < 1或x2 + y2 > 4
x2 y x4 + y2
证明:当(x,y)趋于 (0, 0) 时,
函数 f ( x , y ) 的极限不存在.
证明: 设 P(x , y) 沿x轴和y轴 趋于点 (0, 0) 时,有
x2y lim (x,0)→(0,0) x4 + y 2

高等数学第九章第一节 多元函数的基本概念

高等数学第九章第一节 多元函数的基本概念
28
多元初等函数:由多元多项式及基本初等函数 经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可 用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数 一切多元初等函数在其定义区域内是连续的. 定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域.
29
一般地,求 lim f (P) 时,如果 f (P) 是初等函 P P0
数,且 P0 是 f (P ) 的定义域的内点,则 f (P ) 在
第一节 多元函数的基本概念
一、平面点集 二、多元函数的概念 三、多元函数的极限 四、多元函数的连续性
1
一、平面点集
1. 平面点集
平面上的点P与有序二元实数组 ( x, y) 之间
是一一对应的。
R2 R R (x, y) | x, y R 表示坐标平面。
平面上具有性质P的点集,称为平面点集,记作
边界上的点都是聚点也都属于集合.
9
二、多元函数概念
设 D是平面上的一个点集,如果对于每个点
P( x, y) D,变量z按照一定的法则总有确定的值 和它对应,则称 z 是变量 x, y 的二元函数,记为 z f ( x, y)(或记为z f (P)).
类似地可定义三元及三元以上函数.
当n 2时,n 元函数统称为多元函数.
点 P0
处连续,于是 lim P P0
f (P)
f (P0 ).
例7 求 lim xy 1 1.
x0
xy
y0
30
四、小结
多元函数的定义 多元函数极限的概念
(注意趋近方式的任意性)
多元函数连续的概念 闭区域上连续函数的性质
31
思考题
若点( x, y)沿着无数多条平面曲线趋向于 点( x0 , y0 )时,函数 f ( x, y)都趋向于 A,能否 断定 lim f ( x, y) A?

高等数学 知识点总结

高等数学 知识点总结

高等数学知识点总结一、导数与微分1.导数的概念在数学中,导数是用来描述函数在某一点的变化率。

如果一个函数f(x)在点x处可导,那么f(x)在该点的导数记作f'(x),它表示函数f在x处的变化率。

2.导数的计算导数的计算可以通过极限的方法来求解。

例如,要计算函数f(x)在点x处的导数,可以计算f(x)在x+h处与x处函数值的差值与h的比值,当h趋向于0时的极限值即为f(x)在x 处的导数。

3.导数的性质导数具有一些重要的性质,如导数的线性性质、导数与函数的关系等。

4.微分的概念微分是导数的一个重要应用,在函数f(x)的某一点x处,函数值的微小增量与自变量的微小增量的比值称为函数f(x)在点x处的微分。

5.微分的计算微分可以通过导数来计算,函数f(x)在点x处的微分可以表示为dy=f'(x)dx。

这样,微分与导数的关系变得更加紧密。

6.微分的性质微分具有一些重要的性质,如微分的线性性质、微分的复合性质等。

二、多元函数的偏导数与全微分1.多元函数的概念多元函数是指具有多个自变量的函数,例如f(x,y)。

在多元函数中,每个自变量都是独立的,并且可以对每个自变量进行求导。

2.偏导数的概念多元函数对其中的某个自变量进行求导得到的导数称为偏导数,记作∂f/∂x,表示函数f对自变量x的偏导数。

3.偏导数的计算偏导数的计算可以通过极限的方法来求解,类似于一元函数的导数计算。

例如,对于函数f(x,y),其对x的偏导数可以表示为lim[(f(x+h,y)-f(x,y))/h],当h趋向于0时的极限值。

4.偏导数的性质偏导数具有一些重要的性质,如偏导数的线性性质、偏导数的交换性等。

5.全微分的概念在多元函数中,全微分是描述函数在某一点的微小增量与自变量的微小增量的比值。

6.全微分的计算全微分可以通过偏导数来计算,函数f(x,y)在点(x,y)处的全微分可以表示为df=∂f/∂xdx+∂f/∂ydy。

7.全微分的性质全微分具有一些重要的性质,如全微分的线性性质、全微分的复合性质等。

高等数学中的多元函数与多元微分

高等数学中的多元函数与多元微分

高等数学中的多元函数与多元微分导言:高等数学是大学数学的重要组成部分,它包括微积分、线性代数、概率论等多个分支。

其中,多元函数与多元微分是微积分的重要内容之一。

本文将围绕这一主题展开,探讨多元函数的概念、性质以及多元微分的应用。

一、多元函数的概念与性质1.1 多元函数的定义在高等数学中,多元函数是指自变量有两个或两个以上的函数。

一般地,我们可以将一个多元函数表示为f(x1, x2, ..., xn),其中x1, x2, ..., xn是自变量,f是因变量。

多元函数可以用来描述现实生活中的复杂问题,如经济学中的供求关系、物理学中的力学问题等。

1.2 多元函数的性质多元函数与一元函数相比,具有更加丰富的性质。

其中,连续性、可导性和偏导数是多元函数的重要性质之一。

连续性:多元函数在定义域内的每一个点都满足连续性要求。

也就是说,在自变量的取值变化过程中,函数值变化连续,没有突变的情况。

可导性:多元函数在某一点处可导,意味着该点处的切线存在,并且切线的斜率可以通过求偏导数得到。

可导性是多元函数的重要特征,它与函数的平滑性和变化趋势密切相关。

偏导数:多元函数的偏导数是指在其他自变量保持不变的情况下,对某一个自变量求导的结果。

偏导数可以用来描述多元函数在不同方向上的变化率,它在物理学、工程学等领域具有广泛的应用。

二、多元微分的应用2.1 多元微分的定义多元微分是指对多元函数进行微分的过程。

在一元函数的微分中,我们通过求导数来描述函数在某一点的变化率。

而在多元函数的微分中,我们需要使用偏导数来描述函数在不同自变量方向上的变化率。

2.2 多元微分的应用多元微分在实际问题中有着广泛的应用。

以下是一些常见的应用场景:最优化问题:在经济学、管理学等领域中,我们经常需要求解最优化问题,即在一定的约束条件下,找到使得目标函数取得最大或最小值的自变量取值。

多元微分可以帮助我们求解这类问题,通过求偏导数和约束条件,得到最优解的自变量取值。

多元函数

多元函数

( x, y )
{( x, y, z) | z f ( x, y), ( x, y) D}
这个点集称为二元函数的图形. 注意:二元函数的图形通常是一张曲面.
医用高等数学
z
M ( x, y, z)
y
o
x
p
y
D
x
医用高等数学
三、二元函数的极限与连续
1.二元函数的极限 定义4-2 设函数 z f ( x, y)在点P 0 ( x0 , y 0 )的某一邻域内 有定义(点 P 0 ( x0 , y 0 ) 可以除外).如果当 P( x, y ) 沿任何路径 趋近于 P 0 ( x0 , y 0 )时,函数 f ( x, y )无限趋近于一个常数 A ,则 称 f ( x, y )当 P( x, y) P0 ( x0 , y 0 ) 时 ,以 A 为极限,记作
证明 当 p( x, y)沿曲线 y kx 趋于(0, 0)时
xy kx 2 k lim 2 lim 2 2 2 2 2 x 0 x 0 x k x x y 1 k y kx 0
当k取不同的值时,所得的值不同
xy 所以 lim 不存在. x 0 x 2 y 2 y 0

P
o
在直角 M 1 NM 2 Q 及 直 角 M PN 1 N 中,使用勾股定 y 理知
2 2
x
d M 1 P PN NM 2
2
2
医用高等数学
M1 P x2 x1 , PN y2 y1 ,
NM 2 z2 z1 ,
d
M 1 P PN NM 2
医用高等数学
自变量 ( x , y ) 的取值范围称为函数的定义域.

高等数学教材下册目录

高等数学教材下册目录

高等数学教材下册目录第一章:极限与连续1.1 极限的概念与性质1.1.1 数列极限的定义1.1.2 常用的数列极限1.1.3 函数极限的定义1.1.4 常用的函数极限1.2 极限运算法则1.2.1 有界函数的极限1.2.2 极限的四则运算法则1.2.3 极限的复合运算法则1.3 连续与间断1.3.1 连续函数的定义1.3.2 间断点与间断类型1.3.3 切线与连续函数的性质第二章:导数与微分2.1 导数的概念与性质2.1.1 导数的定义2.1.2 微分中值定理2.1.3 罗尔中值定理2.2 常用函数的导数与微分2.2.1 幂函数与指数函数的导数2.2.2 对数函数与反三角函数的导数 2.2.3 反函数与隐函数的导数2.3 高阶导数与高阶微分2.3.1 高阶导数的定义2.3.2 微分法的应用2.4 凹凸性与曲线的形状2.4.1 凹凸性的判定条件2.4.2 拐点与曲率第三章:定积分与不定积分3.1 定积分的概念与性质3.1.1 定积分的定义3.1.2 定积分的性质与运算3.1.3 定积分的几何应用3.2 不定积分与原函数3.2.1 不定积分的定义与性质3.2.2 基本积分公式与换元法3.2.3 分部积分法与定积分求值3.3 牛顿—莱布尼兹公式与定积分的应用 3.3.1 牛顿—莱布尼兹公式的表述3.3.2 定积分的物理应用3.4 定积分的近似计算3.4.1 零散数据的近似积分计算3.4.2 定积分上和下的近似计算第四章:微分方程4.1 微分方程的基本概念4.1.1 微分方程的定义与解4.1.2 初等函数与初等微分方程4.1.3 常见的一阶微分方程4.2 可分离变量与线性微分方程4.2.1 可分离变量的微分方程4.2.2 线性微分方程的解法4.2.3 齐次和非齐次线性微分方程4.3 高阶线性微分方程4.3.1 高阶线性微分方程的解法4.3.2 常系数与非齐次线性微分方程 4.4 变量可分离与齐次微分方程4.4.1 变量可分离的微分方程4.4.2 齐次微分方程的解法4.5 常见微分方程的物理与几何应用 4.5.1 指数增长模型与对数增长模型 4.5.2 简谐振动与受阻振动4.5.3 驻点与稳定性分析第五章:向量与空间解析几何5.1 空间直角坐标系与向量的基本概念 5.1.1 空间直角坐标系的建立5.1.2 空间向量的定义与运算5.1.3 向量的数量积与数量积的几何应用 5.2 空间中的直线和平面5.2.1 空间中直线的方程及性质5.2.2 空间中平面的方程及性质5.3 空间曲面与二次曲线5.3.1 空间曲面的分类与方程5.3.2 二次曲线的分类与方程5.3.3 曲面与曲线的几何应用5.4 空间解析几何的应用5.4.1 空间几何的物理与工程应用5.4.2 空间几何的计算机图形学应用第六章:多元函数与偏导数6.1 多元函数的概念与性质6.1.1 多元函数的定义与取值空间6.1.2 多元函数的极限与连续6.1.3 多元函数的偏导数6.2 多元函数的方向导数与梯度6.2.1 多元函数的方向导数6.2.2 多元函数的梯度与最速上升方向 6.3 多元复合函数与隐函数6.3.1 多元复合函数的求导法则6.3.2 多元隐函数的求导法则6.3.3 多元隐函数的微分与线性近似 6.4 多元函数的极值与条件极值6.4.1 多元函数的极值与极值判定条件 6.4.2 多元函数的条件极值与约束条件 6.5 多元函数的泰勒公式与误差估计6.5.1 多元函数的二阶泰勒公式6.5.2 误差估计与局部线性化第七章:重积分7.1 重积分的概念与性质7.1.1 二重积分的定义与性质7.1.2 二重积分的计算与重要定理7.2 二重积分与坐标变换7.2.1 极坐标系下的二重积分 7.2.2 广义换元公式与坐标变换 7.3 三重积分的概念与计算7.3.1 三重积分的定义与性质 7.3.2 直角坐标系下的三重积分 7.4 三重积分与坐标变换7.4.1 柱面坐标系下的三重积分 7.4.2 球面坐标系下的三重积分 7.5 重积分的应用7.5.1 重心、质心与形心7.5.2 质量、质心与转动惯量 7.5.3 重积分的物理与几何应用第八章:曲线积分与曲面积分8.1 曲线积分的概念与性质8.1.1 曲线积分的定义与性质 8.1.2 第一类曲线积分的计算 8.1.3 第二类曲线积分的计算8.2 曲线积分的应用8.2.1 质量、质心与转动惯量8.2.2 流量与环量8.3 曲面积分的概念与性质8.3.1 曲面积分的定义与性质8.3.2 曲面积分的计算与重要定理 8.4 曲面积分的应用8.4.1 曲面的质量与曲面的质心8.4.2 流量与散度定理8.4.3 曲面积分的物理与几何应用第九章:无穷级数与傅里叶级数9.1 无穷级数的概念与性质9.1.1 数项级数的收敛性判定9.1.2 幂级数的收敛域与求和9.1.3 函数展开成级数9.2 函数项级数的点态与一致收敛性 9.2.1 函数项级数的定义与性质9.2.2 函数项级数的收敛定理9.3 傅里叶级数与傅里叶级数展开9.3.1 傅里叶级数的定义与性质9.3.2 傅里叶级数的收敛定理9.4 傅里叶级数的应用9.4.1 周期信号与频谱分析9.4.2 偏微分方程的分离变量法此为《高等数学教材下册》目录,供参考学习之用。

高等数学多元函数的概念

高等数学多元函数的概念
去心邻域内有定义,如果当点 P x, y 无限趋于
点 P0 x0 , y0 时,函数 f (x, y) 无限趋于一个常数
A,则称A为函数 f (x, y) 当 P P0 时的极限.
记为 lim f (x, y) A或 lim f (x, y) A
( x, y)( x0 , y0 )
如果点集E中的每一点都是内点,且E中任何两点
可用全在E内的折线连结起来,则称E为开区域(简
称区域).
y
例如,{(x, y) | 1 x2 y2 4}.
o
x
开区域连同它的边界一起称为闭区域.
例如,{(x, y) | 1 x2 y2 4}.
y
若区域E包含在某个圆内,则称E为有 界区域;否则,称为无界区域.
7、函数z arcsin y 的定义域是_______________. x
8、函数z

y2 y2
2x 的间断点是________________. 2x
二、求下列各极限:
1、lim 2 xy 4 ;
x0
xy
y0
2பைடு நூலகம்lim sin xy ; x0 x
y0
3、lim x0
例 {( x, y) | 0 x2 y2 1}
(0,0)既是边界点也是聚点. 点集E的聚点可以属于E,也可以不属于E .
例如, {( x, y) | 0 x2 y2 1}
(0,0) 是聚点但不属于集合.
例如, {( x, y) | x2 y2 1}
边界上的点都是聚点也都属于集合.
的二元函数,记为
z f x ,y
例 1 设圆柱体的底面半径为 r , 高为 h ,则圆柱体体

清华大学高等数学讲义

清华大学高等数学讲义

2019/11/10
8
3.Rn中 的 收 敛 点 列
定 义 :(收 敛 点 列)
设{Xm }(m 1,2,)是Rn中的点列,X0是Rn中 一个确定的点。
如果距离d( Xm , X0 ) 0(m ),则称点列
{ Xm }收敛于点X0.
称{
X
m
}是R
n中




列, 称X

0


{
X
m
使 当m N时, 有d ( X m , X 0 ) .
则 称 点 列{ X m }收 敛 于 点X 0 .
设X m Rn , m 1,2,, 若 存 在 正 数M , 使 得
X m M成 立 , 则 称{ X m }是Rn中 的 有 界 点 列 。
2019/11/10
10
4.Rn 中 的 开 集 与 闭 集
P, Q都 能 用 完 全 在D中 的 连 续 曲 线 连 接 起 来,则 称D是 连 通 集.
D
E
连通集
非连通集
[例3] (1) R1中 的 任 意 非 空 区 间 是 连通 集. (2) 全平面R“2 挖去”原点: R2 \ {0}是连通集. (3) 全平面R“2 剪一条缝”
R2 \ {(x, y) R2 , y 0}不是连通集.
d( X ,Y )
X Y
n
(
( xi

yi
)
2
)
1 2
i1
性质:
(1) X ,Y , 有 d( X ,Y ) 0,
且 d(X,Y ) 0 X Y
(2) d( X ,Y ) d(Y , X )

高等数学第9章多元函数微分学及其应用(全)

高等数学第9章多元函数微分学及其应用(全)

f ( x, y ) A 或 f x, y A( x x0,y y0 ).
31
二、二元函数的极限
定义 9.3
设二元函数z f ( P) f ( x, y ) 的定义域为D ,P0 ( x0 , y0 )
是D 的一个聚点,A 为常数.若对任给的正数 ,总存在 0 ,当
0 当 P( x, y) D 且 0 P0 P ( x x0 )2 ( y y0 ) 2 总有
f ( P) A , 则称A为 P P0 时的(二重)极限.
4
01
极限与连续
注意 只有当 P 以任何方式趋近于 P0 相应的 f ( P )
都趋近于同一常数A时才称A为 f ( P ) P P0 时的极限
P为E 的内点,如图9.2所示.
②边界点:如果在点P的任何邻域内,既有属于E 的点,也有不
属于E的点,则称点P 为E 的边界点.E 的边界点的集合称为E 的边
界,如图9.3所示.
P
E
图 9.2
P
E
图 9.3
16
一、多元函数的概念
③开集:如果点集E 的每一点都是E 的内点,则称E 为开集.
④连通集:设E 是平面点集,如果对于E 中的任何两点,都可用
高等数学(下册)(慕课版)
第九章 多元函数微分学及其应用
导学
主讲教师 | 张天德 教授
第九章
多元函数微分学及其应用
在自然科学、工程技术和社会生活中很多实际问题的解决需要引进多元
函数. 本章将在一元函数微分学的基础上讨论多元函数微分学及其应用.
本章主要内容包括:
多元函数的基本概念
偏导数与全微分
多元复合函数和隐函数求偏导

大一高数多元函数知识点总结

大一高数多元函数知识点总结

大一高数多元函数知识点总结大一的高等数学是大学学习的一门基础课程,其中多元函数是其中比较重要的一部分。

在学习多元函数时,我们需要了解一些基本的概念、性质和计算方法。

本文将对大一高数多元函数的知识点进行总结,希望对同学们的学习有所帮助。

一、多元函数的概念和性质1.1 多元函数的定义多元函数是指含有两个或两个以上自变量的函数,在平面上表示为f(x,y),在空间中表示为f(x,y,z)。

而自变量的取值范围可以是实数集合或者某个区间,函数的值可以是实数或者向量。

1.2 驻点和极值对于多元函数,我们可以通过求偏导数的方法找到其驻点和极值。

具体来说,对于一个二元函数f(x,y),求偏导数f’x(x,y)和f’’y(x,y),令其等于零,可以得到驻点的坐标。

然后,通过计算二阶偏导数f’’xx(x,y)、f’’xy(x,y)和f’’yy(x,y)的值,可以判断驻点是否是极值点。

1.3 偏导数与全微分对于多元函数,我们可以通过对其中某一个自变量求偏导数的方法来求得偏导数,而偏导数可以理解为函数对于某一自变量的变化率。

而全微分则是对多元函数进行全面的微分,表示其在各个自变量方向上的变化率之和。

1.4 隐函数和参数方程在一些情况下,多元函数的表达式并不明显,而是通过一些隐含的条件进行表示。

这时要借助隐函数的概念,将多元函数用隐函数的形式表示出来。

而参数方程则是将多元函数在某个平面上表示为参数的函数形式。

二、多元函数的计算方法2.1 多元函数的线性逼近对于一个二元函数f(x,y),我们可以通过求得其一阶偏导数和二阶偏导数,来进行函数的线性逼近。

而通过线性逼近,我们可以计算函数在某一点的近似值,以及该点处的切线和法线。

2.2 多元函数的积分多元函数的积分与一元函数的积分类似,只是需要在计算过程中考虑到多个自变量。

可以通过对其中一个自变量进行积分,将多元函数转化为一元函数的形式,然后再进行计算。

2.3 向量场的散度和旋度对于一个二维向量场和三维向量场,我们可以通过计算其散度和旋度来了解向量场的性质。

《高等数学教学课件》高数-第八章-多元函数微分学

《高等数学教学课件》高数-第八章-多元函数微分学
邻域U(P, ), 使U(P, ) E为空集,则
称点P为E的 外点。
边界点的定义:
若点P的任意的邻域内,既有属于E的点
也 有 不 属 于E的 点, 则 称 点P是E的 边 界 点 。
边界的定义:
E的边界点的全体称为E的 边 界 。
3、聚点、孤立点
设E是一个平面点集
聚点的定义:
若点P的任意邻域都含有E的无穷多个点,
为P0的 邻域。
0
U(P0 , ) {( x, y) 0 ( x x0 )2 ( y y0 )2 2 }
为P0的 去心邻域。
2、内点、外点、边界点
设E是一个平面点集.
内点的定义:
若点P E,并且存在P点的一个
邻域U(P, ), 使U(P, ) E,则称点P
为E的内点。
外点的定义: 若点P E,并且存在P点的一个
一切多元初等函数在其定义区域内是连续的。
例6、讨论下列函数的连续性
(1)、f
(
x,
y)
x
3 xy 2 2
y
2
x2 y2 0
解 0
x2 y2 0
当x 2 y 2 0时, f ( x, y) 3xy 是初等函数, x2 2y2
且 有 定 义, 连 续.
3kx 2
lim f ( x, y) lim
lim
x0
x2 2y4
02 2(1)4
. 2
y1
在有界闭区域上连续的多元函数的重要性质如下:
定理1、(最大最小值定理)
在有界闭区域D上连续的多元函数f , 在D上必有
最大值和最小值,亦即在D上有点P1和P2 , 使对D上任意
点P,恒有 f P1 f P f P2 , P D

同济版《高等数学》 多元函数泰勒展开

同济版《高等数学》 多元函数泰勒展开

同济大学的《高等数学》教材是一部经典的数学教材,其中关于多元函数的泰勒展开是数学学习者所必须掌握的重要内容。

本文将从多元函数泰勒展开的基本概念、公式推导和具体实例分析三个方面来详细介绍该内容。

一、多元函数泰勒展开的基本概念1.1 多元函数的概念多元函数是指自变量不止一个的函数,通常表示为$f(x_1, x_2,\cdots, x_n)$,其中$x_1, x_2, \cdots, x_n$为自变量,$f$为因变量。

在实际问题中,常常遇到多个自变量同时改变而导致因变量发生变化的情况,所以研究多元函数的泰勒展开对于理解函数的性质和应用具有重要意义。

1.2 泰勒展开的定义若函数$f(x)$在某点$x=a$处有各阶导数,那么$f(x)$在点$x=a$处可以展开为以$a$为中心的幂级数,即泰勒展开式:$$f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{f''(a)(x-a)^2}{2!}+\cdots+\frac{f^{(n)}(a)(x-a)^n}{n!}+R_n(x)$$其中$R_n(x)$为泰勒余项。

1.3 多元函数的泰勒展开对于多元函数$f(x_1, x_2, \cdots, x_n)$,若其各阶偏导数在点$(a_1, a_2, \cdots, a_n)$处存在,那么可以利用多元函数的偏导数来推广泰勒展开式,得到多元函数的泰勒展开式:$$f(x_1, x_2, \cdots, x_n)=f(a_1, a_2, \cdots,a_n)+\sum_{i=1}^n\frac{\partial f}{\partial x_i}(a_1, a_2, \cdots, a_n)(x_i-a_i)$$$$+\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\frac{\partial^2 f}{\partialx_i\partial x_j}(a_1, a_2, \cdots, a_n)(x_i-a_i)(x_j-a_j)+\cdots+R_n(x)$$其中$R_n(x)$为多元函数的泰勒余项。

高数大一知识点总结下册

高数大一知识点总结下册

高数大一知识点总结下册在大一的高等数学课程中,我们学习了许多重要的数学知识和概念。

下面是下册的知识点总结,希望对同学们复习和回顾有所帮助。

1. 函数与极限1.1 函数的定义和性质:函数的定义域、值域、奇偶性、周期性等。

1.2 极限的概念:数列的极限、函数的极限。

极限的运算法则和性质。

1.3 无穷大与无穷小:无穷大与无穷小的定义、性质以及极限运算。

1.4 函数的连续性:连续函数的定义、间断点的分类和判定。

2. 导数与微分2.1 导数的定义:导数的几何意义、导数的运算法则。

2.2 高阶导数:高阶导数的定义以及求法。

2.3 求导公式:常见函数的导数公式以及使用。

2.4 微分的概念:微分的定义、微分计算及近似计算。

2.5 泰勒公式:泰勒公式的表述与运用。

3. 积分与应用3.1 积分的概念:不定积分与定积分的定义、性质以及运算法则。

3.2 定积分的计算方法:几何意义、定积分的计算公式。

3.3 牛顿-莱布尼茨公式:该公式的表述、运用以及证明。

3.4 曲线的长度与曲面的面积:弧长的计算、平面曲线的面积计算。

3.5 应用问题:面积、体积、平均值等实际问题的求解。

4. 常微分方程4.1 常微分方程的概念:常微分方程的分类及常见类型。

4.2 一阶常微分方程:可分离变量方程、一阶线性方程、齐次方程等。

4.3 高阶常微分方程:二阶常系数线性齐次方程与非齐次方程。

4.4 常微分方程的应用:生物、经济、物理等领域的实际应用。

5. 多元函数与偏导数5.1 多元函数的概念:多元函数的定义域、取值域以及图像。

5.2 偏导数的定义:偏导数的计算、偏导数的几何意义。

5.3 高阶偏导数:二阶偏导数的计算与应用。

5.4 隐函数与参数方程:隐函数的求导、参数方程的曲线求导。

6. 重积分与曲线积分6.1 二重积分的概念:二重积分的计算、二重积分的性质与应用。

6.2 三重积分:三重积分的计算、三重积分的应用。

6.3 曲线积分的概念:第一类曲线积分和第二类曲线积分的计算。

高等数学中的多元函数

高等数学中的多元函数

高等数学中的多元函数在高等数学中,多元函数是指拥有多个自变量的函数。

与一元函数不同,多元函数的自变量可以是两个或更多个。

1. 多元函数的定义多元函数可以理解为一个函数,它的输入可以是多个变量,输出为一个变量。

如f(x, y) = x² + y²,其中x和y都是自变量,而f(x, y)则是因变量。

多元函数的定义域是自变量的取值范围,其值域是函数的所有可能输出。

2. 多元函数的图像和一元函数一样,多元函数也可以通过绘制图像来直观地展示。

对于二元函数f(x, y),可以在三维坐标系中绘制出其图像。

图像上的每一个点(x, y, z)代表了函数在对应自变量取值下的输出值。

通过观察图像的形状和特征,我们可以对多元函数的性质有更深入的理解。

3. 多元函数的极限多元函数也存在极限的概念。

对于二元函数f(x, y),当自变量(x, y)趋近于某一点(x₀, y₀)时,函数值f(x, y)可能趋近于一个有限的值L,我们称L为函数f(x, y)当(x, y)趋近于(x₀, y₀)时的极限。

多元函数的极限性质和一元函数类似,我们可以通过定义和极限的性质来推导多元函数的极限。

4. 多元函数的偏导数多元函数的偏导数是指函数在某一点处对某个自变量的导数。

对于二元函数f(x, y),其偏导数可以分别求关于x和y的导数。

偏导数可以帮助我们研究多元函数在某一点的变化率和方向。

通过求解偏导数为零的点,我们可以找到多元函数的极值点。

5. 多元函数的泰勒展开多元函数的泰勒展开公式是将一个多元函数在某一点附近用多项式来逼近的方法。

泰勒展开可以帮助我们更好地理解多元函数的性质和行为。

通过泰勒展开,我们可以将复杂的多元函数近似为简单的多项式,从而简化问题的求解过程。

6. 多元函数的积分多元函数的积分是对多元函数在某个区域上的求和操作。

与一元函数积分类似,多元函数的积分可以分为定积分和不定积分。

通过对多元函数的积分,我们可以求解多元函数在某个区域上的总量、平均值等问题。

多元函数的基本概念

多元函数的基本概念

fx
, cos
fy

1
f
2 x

f
2 y

1
f
2 x

f
2 y
cos r
1
1
f
2 x

f
2 y
有 cos2 cos2 cos2 r 1
注意:根号前要取“+”号都取“+”号,表示法线的一个方向。
根号前要取“-? 号都取“-? 号,表示法线的另一个方向。
6. 求多元函数极值
(x-tx00)
y(ty0)0
z z0
( t0)
法平面方程:( t0 )(x-x0)+(t0 )(y-y0 ) (z z0 ) 0
若曲线为
F (x, y, z) 0 G(x, y, z) 0
曲线的切向量为
T

Fy

Gy
Fz , Fz Gz M Gz
Fx , Fx Gx M Gx
Fy
Gy
M

高等数学(XAUAT)
切线:
x x0 Fy Fz
y y0 Fz Fx
z z0 Fx Fy
Gy Gz M Gz Gx M Gx Gy M
法平面:Fy Gy
Fz Gz
M
x

x0


Fz Gz
Fx Gx
M

y

y0


Fx Gx
高等数学(XAUAT)
c.
如果方程组
F(x,y,u,v)=0 G(x,y,u,v)=0
满足隐函数存
在定理条件则方程组可确定u, v是x, y的函数,这时,
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( x, y) | ( x x0 )2 ( y y0 )2 .
• P0
3
2 区域 (1) 内点 设 E 是平面上的一个点集,P 是 平面上的一个点.如果存在点P 的某一邻域 U(P) E ,则称 P 为 E 的内点. E 的内点属于 E . (2) 外点 如果存在点 P 的某一邻域U (P), 使得U (P ) E ,则称 P 为 E 的外点.
第7 章
元函数的微分学及其应用
• 多元函数的概念 • 偏导数与全微分 • 多元复合函数求导法 • 隐函数求导法
•方向导数与梯度 •多元复合函数的
极值及其求法
•多元函数微分学的
几何应用
1
7.1 多元函数的概念
7.1.1 平面点集的有关概念 7.1.2 多元函数的概念 7.1.3 多元函数的极限 7.1.4 多元函数的连续性
当n=1,2,3时, 为数轴、平面、空间两点间的距离. (3)n维空间中邻域、区域等概念
邻域: U (P0 , ) P | PP0 | , P Rn
内点、边界点、区域、聚点等概念也可类似定义.
10
7.1.2 多元函数的概念 1 二元函数的定义
定义 7.1.1设D是平面上的一个点集,则称映射 f:DR为定义在D上的二元函数,
记为z f ( x, y), ( x, y) D, 或z f (P), P D
如: z 1 x2 y2
类似地可定义三元及三元以上函数.
当n 2时,n 元函数ຫໍສະໝຸດ 称为多元函数.多元函数中同样有定义域、值域、自变量、 因变量等概念.
11
例1 求f ( x, y) arcsin(3 x 2 y 2 )的定义域 x y2
E 的边界点的全体称为E 的边界.
{(x, y) |1 x2 y2 4}的边界点是?
•P
(5) 连通集 设 D 是开集.如果对于
D 内 任 何 两 点 , 都 可 用 折线 连 结 起 来 , E
且 该 折 线 上 的 点 都 属 于D , 则 称 开 集
D 是连通的.
• •
5
(6) 区域 连通的开集称为开区域. y
与累次极限lim lim f ( x, y)及 lim lim f ( x, y)不同.
x x0 y y0
y y0 x x0
(3)二元函数的极限运算法则与一元函数类似.
(4) 二元以上函数的极限可类似地定义.
15
2
7.1 多元函数的概念
7.1.1 平面点集的有关概念
1. 邻域
设 P0 ( x0 , y0 )是 xoy平面上的一个点, 是某 一正数,与点 P0 ( x0 , y0 )距离小于 的点 P( x, y) 的全体,称为点 P0的 邻域,记为U(P0 , ),
U (P0 , ) P | PP0 |
注:(1) n维空间的记号为 Rn;
(2) n维空间中两点间距离公式
设两点为 P( x1 , x2 ,, xn ), Q( y1 , y2 ,, yn ),
| PQ | ( y1 x1 )2 ( y2 x2 )2 ( yn xn )2 .
9
设两点为 P( x1 , x2 ,, xn ), Q( y1 , y2 ,, yn ), | PQ | ( y1 x1 )2 ( y2 x2 )2 ( yn xn )2 .
例如{,( x, y) | 1 x2 y2 4}.
o
x
开区域连同它的边界一起称为闭区域.
y
例如,{( x, y) | 1 x 2 y 2 4}.
o
x
6
3 有界集 对于点集E 如果存在正数r , 使E U(O, r)则称 E 为有界点集,否则 称为无界点集.
例如,{( x, y) | 1 x 2 y 2 4} 有界闭区域;
(或 f ( x, y) A ( 0)这里 | PP0 |).
14
lim f (P) A 0, 0,
P P0
当 0 PP0 时,有 f (P) A 成立.
注:(1)定义中 PP0 的方式是任意的;
(2)二元函数的极限也叫二重极限 lim f ( x, y); x x0 y y0

3 x 2 y 2 1
x y 2 0
2 x2 y2 4
x
y2
所求定义域为
D {( x, y) | 2 x 2 y 2 4, x y 2 }.
12
2 二元函数z=f(x,y) 的图形
二元函数的图形通常是一张曲面. 13
7.1.3 多元函数的极限
定义7.1.2 设 函 数 z f ( x, y) 的 定 义 域 为 D, P0 ( x0 , y0 )是其聚点,如果对于任意给定的正
单位圆上的点是边界点也是聚点.
(2, 0)是边界点,但不是聚点
(3) 点集E的聚点可以属于E,也可以不属于E.
8
5 n维空间
设n为取定的一个自然数,我们称 n元数组 ( x1 , x2 ,, xn )的全体为 n维空间,而每个 n 元数组( x1 , x2 ,, xn )称为 n维空间中的一个 点,数 xi称为该点的第i 个坐标.
y {(x, y) | x y 0}
o
x 无界开区域.
7
4 聚点 设 E 是平面上的一个点集,P 是平面上的一个 点,如果点 P 的任何一个去心邻域内总有点属于点 集 E,则称 P 为 E 的聚点. 注:(1) 内点一定是聚点;
(2) 边界点可能是聚点;
例如 E {( x, y) | x2 y2 1} {(2, 0)}
(3) 开集 如果点集 E 的点都是内点,
则称 E 为开集.
• P1
• P2
例如,E1 {(x, y)1 x 2 y2 4}
即为开集.
E
4
(4) 边界点 如果点 P 的任一个邻域内既有属 于 E的点,也有不属于E 的点(点P 本身可以属 于 E ,也可以不属于E),则称P 为 E 的边界点.
数 ,总存在正数 ,使得对于适合不等式 0 | PP0 | ( x x0 )2 ( y y0 )2 的 一 切 点,都有| f ( x, y) A | 成立,则称 A 为函数
z f ( x, y)当 x x0, y y0时的极限, 记为 lim f ( x, y) A
x x0 y y0
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