第3章整数规划模型
运筹学-第3章整数规划
2018/8/17
9
生产计划问题
某机器制造厂可生产四种产品，对于三种主要资源（钢， 人力，能源）的单位消耗及单位利润见表。问如何安排 生产，可使总利润最大？
消耗 产品1
1
产品2 产品3
10 6 0 7 3 4 2 8
产品4
0 1 5 4
资源量
5000 3000 3000
资源A（钢）
资源B（人力） 2 资源C（能源） 2 单位利润 1
这里取M=5000
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15
（2）批量生产
在前例中的基础上, 增加假设：产品4要求批量生 产，批量为不少于500件。 试建立最佳生产计划模型。
定义0-1变量y4
1 , x 4 500 y 4= 0 , x 4=0
500y4 x4 My4 y4 {0,1}
增加约束
2018/8/17 4
附加条件
项目1和项目3至少采纳一个; y1+y2 ≥1 项目2和项目5不能同时采纳; y2+y5 ≤1 项目1仅在项目2采纳后才可考虑是否采纳; y1≤ y2 项目1仅在项目2和3同时采纳后才可考虑是否采纳; 项目1，2，3不能同时采纳; y1+y2+y3 ≤2 或者选择项目1和2，或者选择项目3; y1= y2, y1+y3 =1; 或者 0.5(y1+y2) +y3 =1.
i 1 j 1 5 4
1, 采用Ai建厂 yi , i 3,4,5 0 ，不采用
s.t. x11 x12 x13 x14 400 x x x x 600 23 24 21 22 x31 x32 x33 x34 200y3 x41 x42 x43 x44 200y4 x x x x 200y 5 51 52 53 54 y3 y 4 y5 1 x11 x21 x31 x41 x51 300 x12 x22 x32 x42 x52 350 x13 x23 x33 x43 x53 400 x x x x x 150 24 34 44 54 14 xij 0, i 1,2,3,4,5, j 1,2,3,4 y3 , y4 , y5 {0,1}
(完整word版)整数规划的数学模型及解的特点
整数规划的数学模型及解的特点整数规划IP (integer programming)：在许多规划问题中，如果要求一部分或全部决策变量必须取整数。
例如，所求的解是机器的台数、人数、车辆船只数等，这样的规划问题称为整数规划，简记IP 。
松弛问题(slack problem)：不考虑整数条件，由余下的目标函数和约束条件构成的规划问题称为该整数规划问题的松弛问题。
若松弛问题是一个线性规化问题，则该整数规划为整数线性规划(integer linear programming)。
一、整数线性规划数学模型的一般形式∑==nj jj x c Z 1min)max(或中部分或全部取整数n j nj i jij x x x mj ni x b xa ts ,...,,...2,1,...,2,10),(.211==≥=≥≤∑=整数线性规划问题可以分为以下几种类型1、纯整数线性规划(pure integer linear programming)：指全部决策变量都必须取整数值的整数线性规划。
有时，也称为全整数规划。
2、混合整数线性规划(mixed integer liner programming)：指决策变量中有一部分必须取整数值，另一部分可以不取整数值的整数线性规划。
3、0—1型整数线性规划(zero —one integer liner programming)：指决策变量只能取值0或1的整数线性规划。
1 解整数规划问题0—1型整数规划0—1型整数规划是整数规划中的特殊情形，它的变量仅可取值0或1，这时的⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≤+≥+≤-+=且为整数0,5210453233max 2121212121x x x x x x x x x x z变量xi 称为0—1变量，或称为二进制变量。
0—1型整数规划中0—1变量作为逻辑变量(logical variable)，常被用来表示系统是否处于某一特定状态，或者决策时是否取某个方案。
整数规划-模型资料
问题的目标函
数为总利润求
nm
z
rij xij
i1 j1
的最大值．
nm
max z
rij xij ,
i1 j 1
n
xij X j ( j 1, 2,L
, m),
s.t.
i 1 m
ajX
j
M,
j 1
xij
0且为整数(i
1, 2,L
, n),
X j 0且为整数( j 1, 2,L , m).
x1, x2 0且x1, x2取整数13其lFra bibliotekngo语句如下：
MODEL: sets: row/1..2/:b; arrange/1..2/:c,x; link(row,arrange):a; endsets data: b=6,20;c=1,1;a=2,1,4,5; enddata [OBJ]max=@sum(arrange(j):c(j)*x(j)); @for(row(i):@sum(arrange(j):a(i,j)*x(j))<=b(i);); @for(arrange(j):x(j)>=0;); @for(arrange(j):@gin(x(j));); END
源的单位价格为 a j ( j 1, 2,L , m) ，该企业现有资金 M 元.
试问该企业应购买多少第 j 种资源(总量为 X j ），又 如何分配给所属的 n 个生产车间，使得总利润最大？
2
解 设决策变量为 xij (i 1, 2,L , n; j 1, 2,L , m) 表示分
配给第 i 个生产车间的第 j 种资源的资源量，均为非负整 数，第 j 种资源的需求总量 X j ( j 1, 2,L , m) 也都为整数．
第3章 整数规划
第3章 整数规划3.1 整数规划的数学模型一个规划问题中要求部分或全部决策变量是整数，则这个规划称为整数规划。
当要求全部变量取整数值的，称为纯整数规划(Pure Integer Programming ，IP )，要求一部分变量取整数值的，称为混合整数规划(Mixed Integer Programming ，MIP )，决策变量全部取0或1的规划称为0－1整数规划(Binary Integer Programming ，BIP )，如果模型是线性的，称为整数线性规划（Integer Linear Programming, ILP ）。
本章只讨论整数线性规划。
求解整数规划问题时，如果先不能考虑对变量的整数约束，作为一般线性规划问题来求解，当解为非整数时再用舍入凑整方法寻求最优解，这样得到的解有可能不是整数规划的可行解或是可行解而不是最优解。
【例3.1】某人有一背包可以装10公斤重、0.025m 3的物品。
他准备用来装甲、乙两种物品，每件物品的重量、体积和价值如表3－1所示。
问两种物品各装多少件，所装物品的总价值最大。
表3－1【解】设甲、乙两种物品各装x 1、x 2件，则数学模型为⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤++=且均取整数,0,255.22108.02.134max 21212121x x x x x x x x Z (3.1)如果不考虑x 1、x 2取整数的约束（称为式（3.1）的松弛问题），线性规划的可行域如图3-1中的阴影部分所示。
图3-1用图解法求得点B 为最优解：X ＝(3.57，7.14)，Z ＝35.7。
由于x 1，x 2必须取整数值，整数规划问题的可行解集只是图中可行域内的那些整数点。
用凑整法求解时需要比较四种组合，但（4，7）、（4，8）（3，8）都不是可行解，（3，7）虽属可行解，代入目标函数得Z =33,并非最优。
实际上问题的最优解是（5，5），Z =35。
即两种物品各装5件，总价值35元。
整数规划模型
王秋萍：整数规划模型
为(非负)整数
仅一部分变 量为整数
4
有些问题用线性规划数学模型无法描述，可以 通过设置逻辑变量建立整数规划的数学模型。
王秋萍：整数规划模型
5
逻辑变量在建立数学模型中的作用
m个约束条件中只有k个起作用
设m个约束条件可表为
∑a x
ij j =1
n
j
≤ bi
i = 1, 2, " , m
定义 又M为任意大的正数，则
n ⎧ ⎪ ∑ aij x j ≤ bi + Myi j =1 ⎨ ⎪ y + y +" + y = m − k 2 m ⎩ 1
王秋萍：整数规划模型
6
逻辑变量在建立数学模型中的作用
约束条件的右端项可能是r个值 ( b1 , b2 ," , br ) 中的一个，即 n
( i = 1," , m; j = 1," , m ) 则分配问题的数学模型为 min z = ∑∑ a x
m m i =1 j =1 ij
ij
⎧ m xij = 1 ( i = 1,", m ) ⎪ ∑ j =1 ⎪ m ⎪ ( j = 1,", m ) ⎨ ∑ xij = 1 ⎪ i =1 ⎪ xij = 0或1 ( i = 1," , m; j = 1," , m ) ⎪ ⎩
j = 1, 2, 3 ⎧ x j − My j ≤ 0 ⎪ x + x + x ≥ 4000 ⎪ 1 2 3 ⎨ ⎪ x1 ≤ 1500, x2 ≤ 2000 ⎪ ⎩ x j ≥ 0, y j = 1或0, j = 1, 2, 3
运筹学 第三章 整数规划
3.1整数规划的求解
例3.1 某厂拟用集装箱托运甲、乙两种货物，每箱的体积、重 量、可获利润以及托运所受限制如表3.1所示。问两种货物各托 运多少箱，可使获得利润为最大？
值，故，原问题的最优值必大于340，尽管（LP12）的解仍然不满 足整数条件，（LP12）已无必要继续分解。
对（LP2）， 不满足整数条件，必有 x2 2或x2 1 ，将这两个约
束条件分别加到（LP2）中，得到（LP21）和（LP22），求解得
到：（LP21）的最优解为 x1 5.44, x2 1, z 308，（LP22）无可行
如选用 Ai 点，设备投资预计为 bi 元，每年可获利润预计 为 ci 元，由于公司的投资能力及投资策略限制，要求投资总额
不能超过 B元。问应如何选择可使年利润为最大？
解：设 xi(i 1,2,L ,7) 表示是否在位置i建立门市部，有
xi 0， 1，当当AAi点i点没被被选选用用 i 1, 2,L , 7
（LP1）
9x1 7x2 56
和
s.t
7
x1
20
x2
70
（LP2）
x1 5
x1, x2 0
问题（LP1）和（LP2）的可行域中包含了原整数规划问题
的所有整数可行解，而在4 x1 5中不可能存在整数可行解的
区域已被切除。分别求解这两个线性规划问题，得到的解
表 3.1
货物 体积（米 3/箱） 重量（百公斤/箱） 利润（百元/箱）
整数规划
Aj 各点的设备投资及每年可获利润由于地点不同都是不一样的，预测 情况见表所示 (单位：万元)。但投资总额不能超过720万元，问应选择哪 几个销售点，可使年利润为最大?
解：设：0--1变量 xi = 1 (Ai 点被选用） 或 0 (Ai 点没被选用）。 这样我们可建立如下的数学模型： Max z =36x1+40x2+50x3+22x4+20x5+30x6+25x7+48x8+58x9+61x10 s.t. 100x1+120x2+150x3+80x4+70x5+90x6+80x7+140x8+160x9+180x10 ≤ 720 x1 + x2 + x3 ≤ 2 x4 + x5 ≥ 1 x6 + x7 ≥ 1 x8 + x9 + x10 ≥ 2 xi ≥ 0 且xi 为0--1变量，i = 1,2,3,……,10
第三步：作最少的直线覆盖所有0元素。 (1)对没有◎的行打√号； (2)对已打√号的行中所有含Ø元素的列打√号； (3)再对打有√号的列中含◎ 元素的行打√号；
(4)重复(2)，(3)直到得不出新的打√号的行、列为止； (5)对没有打√号的行画横线，有打√号的列画纵线， 这就得到覆盖所有0元素的最少直线数 l 。l 应等于m， 若不相等，说明试指派过程有误，回到第二步(4)，另 行试指派；若 l＝m < n，须再变换当前的系数矩阵， 以找到n个独立的0元素，为此转第四步。 第四步：变换矩阵(bij)以增加0元素。 在没有被直线覆盖的所有元素中找出最小元素，然后 打√各行都减去这最小元素；打√各列都加上这最小元 素（以保证系数矩阵中不出现负元素）。新系数矩阵 的最优解和原问题仍相同。转回第二步。
整数规划模型
第三章 整数规划模型一． 提出问题：工厂选址某企业欲建工厂，可选厂址有A 1、A 2、A 3、A 4四处，每个地址至多可建一个工厂，在各地址建立工厂的生产能力、在各地址经营工厂单位时间的固定成本、产品运往各需求点的单位运费如下表：问应如何选择厂址和安排运输计划，才能得到经济上花费最少的方案 二． 分析问题 1． A 1、A 2、A 3、A 4各处都有可能建厂，用变量y[i]来表示是否建厂y[i]=⎩⎨⎧地址不建厂在地址建厂在i i 01i=1,2,3,4;2． 设从i 地址运到j 需求点的运输量可设为x[i][j]为整数 3．运到各点的量应不小于需求(x[1][j]+x[2][j]+x[3][j]+x[4][j]>=b[j])； 4．各厂的生产总量不超过生产能力（x[i][1]+x[i][2]+x[i][3]+x[i][4]<=d[i]*y[i] i=1,2,3,4）；5． 运到各需求点的量如何计算b1[j]=x[1][j]+x[2][j]+x[3][j]+x[4][j]j=1,2,3,4; 6． 各厂的生产总量a1[i]= x[i][1]+x[i][2]+x[i][3]+x[i][4]; 7． 目标函数：总费用z=建厂费用+ 运输费用8．运输费用=单位运输费用*运输量（从i 地址运到j 需求点单位运输费用c[i][j]已知，从i 地址运到j 需求点的运输量可设为x[i][j]） 三． 模型建立根据分析建立整数规划模型： 设1(1,2,,4)0i i y i ⎧==⎨⎩ 在处建厂否则，ij x i j 表示从点运到点的货物数量(i,j=1,2,,4)，建立如下整数规划模型：4441114141..(1,2,,4)(1,2,,4)0,0ii ijiji i j iji i j ijj i ij i m in z ay cx s t xd y i xb j x y =====⎧=+⎪⎪⎪≤=⎪⎨⎪⎪≥=⎪⎪≥=⎩∑∑∑∑∑ 或1其中(,1,2,,4)ijc i j i j = 表示从点到点的单位运费，i i a A 为点处建厂经营的单位固定成本(i=1,2,,4)， j b j 表示需求点B 处的需求量(j=1,2,,4)，(1,2,,4)i i d A i = 表示处的生产能力。
整数规划模型
整数规划模型整数规划模型是一种数学模型，用于解决优化问题。
在整数规划中，决策变量必须是整数。
这种模型广泛应用于工程、科学、运筹学和管理等领域。
整数规划模型的一般形式如下：\[\text{maximize} \quad c^Tx\]\[\text{subject to} \quad Ax \leq b\]\[x_j \text{整数} , j = 1,2,...,n\]其中，c是一个n维向量，表示目标函数的系数；x是n维向量，表示决策变量；A是m×n维矩阵，表示约束条件的系数矩阵；b是一个m维向量，表示约束条件的上界。
整数规划模型的目标是找到一个满足约束条件的决策变量向量x，使得目标函数值最大或最小。
由于决策变量必须是整数，所以整数规划模型要比普通的线性规划模型更复杂。
整数规划模型可以应用于许多实际问题。
例如，一个公司要决定生产哪种产品以最大化利润，但每种产品有一定的生产限制，需要整数规划模型来确定生产量；一个配送中心要决定如何分配物流资源以最小化成本，但每个分配决策都必须是整数，需要整数规划模型来求解。
求解整数规划模型可以使用多种算法。
例如，分支定界算法通过将问题分解为一个个子问题，并通过剪枝策略来减少搜索空间，最终找到最优解；约简与延迟约束算法通过线性松弛将整数规划转化为一个松弛线性规划问题，并通过迭代加入约束条件来逼近整数解。
整数规划模型的求解过程需要注意一些问题。
首先，由于整数规划是一个NP难问题，没有通用的多项式时间算法可以解决所有情况。
其次，整数规划模型可能有多个最优解，求解算法可能只能找到其中一个最优解。
最后，整数规划模型的求解过程可能需要大量的计算资源和时间。
总之，整数规划模型是一种重要的数学模型，可以用于解决各种实际优化问题。
但由于其复杂性和求解困难，需要合理选择算法和求解策略来获得满意的结果。
运筹学 第三章 0-1规划
例2 求解0-1规划
编号
max z 3 x1 2 x2 5 x3
s.t. x1 2 x2 x3 2
①
x1 4 x2 x3 2 x1 2 x2 3
② ③
4x2 x3 6
④
xi 0 or 1, i 1,2,3
算法过程：1. 先找出一个可行解，比如（1，0，0）.相应
cnn
称为指派问题 的效益矩阵。
？
定理：将指派问题的效益矩阵的行(列)分别减去该行(列) 的最小元素，得到的新指派问题和原问题的最优解相同. 意义：根据定理,对指派问题可以化简,使 最优值呢? 得其效益矩阵中每一行至少有一个0元素.
这种简化对于求解有何帮助？
任务 A
B
C
D
人员
甲
2
15
13
4
乙
10
在海淀区，由A6,A7中至少选一个. 假设选用Ai点，设备投资估计为bi元，每年获利估计ci元， 但是总投资额不超过B元。问应该选择哪几个点可以使年 利润最大？
➢分析问题
如图，如何确定选择哪些点？有多少种可能？
试一试
枚举 法
A7
A6
海淀区
共有多少情形？
A5 A4
西城区 专门的解法研究 ——隐枚举法.
安排n个人完成n项工作，使总效率最高的问题称为指 派问题或者分派问题(Assignment problem).
例 甲、乙、丙、丁四人去完成A、B、C、D四项工作. 要求每个人只能完成一项工作，每个工作只能一人完成，
他们所需费用如下表，应如何安排工作，使所需总费用最
少？
任务 A
B
C
D
人员
甲
2
10
第三章整数线性规划
割平面法
IP LP xl*
Yes xI* = xl*
判别是否整数解
No 加入割平面条件 用对偶单纯型方法继续求解
§3.3 分枝定界方法
分枝定界方法的基本思想 分枝定界方法的实现——例题
1 分枝定界方法的基本思想
如果松弛问题(P0)无解，则(P)无解；
如果(P0)的解为整数向量，则也是(P)的解；
min -(x1 x2 ) s.t.-4x1 2 x2 1 (P1 ) 4x1 2 x2 11 x1 1 x1 , x2 0, Integer
P2
约束 x1 1, x1 2 (它们将x1=3/2排除在外)，得到两个子问题：
min -(x1 x2 ) s.t.-4x1 2 x2 1 (P2 ) 4x1 2 x2 11 x1 2 x1 , x2 0, Integer
运筹 帷幄之中
决胜 千里之外
运 筹 学
主讲教师
赵玉英
62338357(O) yuyingzhao@
北京林业大学理学院
第3章 整数线性规划
整数线性规划问题 Gomory割平面方法(1958) 分枝定界方法(Land doig and Dakin 1960’s) 0-1规划
3
(3/2,10/3)
3
x1
3 整数线性规划问题的求解
思路2：由于纯整数线性规划的可行集合就是一些离散 的格点，可否用穷举的方法寻找最优解？ 当格点个数较少时，这种方法可以； 对一般的ILP问题，穷举方法无能为力。
3 整数线性规划问题的求解
目前，常用的求解整数规划的方法有： 割平面法和分枝定界法； 对于特别的0－1规划问题采用隐枚举法和匈牙利法。
第三章数学规划模型
第三章数学规划模型第三章数学规划模型数学规划论起始20世纪30年代末，50年代与60年代发展成为⼀个完整的分⽀并受到数学界和社会各界的重视。
七⼋⼗年代是数学规划飞速发展时期，⽆论是从理论上还是算法⽅⾯都得到了进⼀步完善。
时⾄今⽇数学规划仍然是运筹学领域中热点研究问题。
从国内外的数学建模竞赛的试题中看，有近1/4的问题可⽤数学规划进⾏求解。
数学规划模型的⼀般表达式：),,(..),,(min(max)≤βαβαx g t s x ff 为⽬标函数，g 为约束函数，x 为可控变量，α为已知参数，β为随机参数。
本章主要介绍线性规划、整数规划、⾮线性规划的基本概念与基本原理、⽆约束问题的最优化⽅法、约束问题的最优化⽅法、动态规划。
3.1线性规划线性规划模型是运筹学的重要分⽀，是20世纪三四⼗年代初兴起的⼀门学科。
1947年美国数学家丹齐格G.B.Dantzig 及其同事提出的求解线性规划的单纯形法及有关理论具有划时代的意义。
他们的⼯作为线性规划这⼀学科的建⽴奠定了理论基础。
随着1979年前苏联数学家哈奇扬的椭球算法和1984年美籍印度数学家卡玛卡尔H.Karmarkar 算法的相继问世，线性规划的理论更加完备成熟，实⽤领域更加宽⼴。
线性规划研究的实际问题多种多样，如⽣产计划问题、物资运输问题、合理下料问题、库存问题、劳动⼒问题、最优设计问题等。
就模型⽽⾔，线形规划模型类似于⾼等数学中的条件极值问题，只是其⽬标函数和约束条件都限定为线性函数。
线性规划模型的求解⽅法⽬前仍以单纯形法为主要⽅法。
本节介绍的主要内容有：线性规划模型的建⽴以及求解，线性规划的matlab 解法，线性规划问题的建模实例。
3.1.1 线性规划模型的建⽴以及求解⼀、线性规划模型的建⽴例1、某机床⼚⽣产甲、⼄两种机床，每台销售后的利润分别为4000元与3000元。
⽣产甲机床需⽤B A 、机器加⼯，加⼯时间分别为每台2⼩时和1⼩时；⽣产⼄机床需⽤C B A 、、三种机器加⼯，加⼯时间为每台各⼀⼩时。
整数规划模型
模式 1 2 3 4 5 6 7
西南交通大学峨眉校区基础课部数学教研组
4米根数 米根数 4 3 2 1 1 0 0
6米根数 米根数 0 1 0 2 1 3 0
2006年 制作
一、 如何建立整数规划模型举例
例题1 例题1：钢管下料问题
Mathematical Modeling Mathematical Modeling Mathematical Modeling Mathematical Modeling Mathematical Modeling Mathematical Modeling Mathematical Modeling Mathematical Modeling
Mathematical Modeling Mathematical Modeling Mathematical Modeling Mathematical Modeling Mathematical Modeling Mathematical Modeling Mathematical Modeling Mathematical Modeling
例题1 例题1：钢管下料问题
Mathematical Modeling Mathematical Modeling Mathematical Modeling Mathematical Modeling Mathematical Modeling Mathematical Modeling Mathematical Modeling Mathematical Modeling
问题分析———切割模式，例如： 问题分析———切割模式，例如： ———切割模式
4米1根 米 根 6米1根 米 根 8米1根 米 根 余料1 余料1米
整数规划IntegerProgramming
j1
j1
j1
m
xij
1
i1
(j 1.2 n)
xij 0 或1 (i 1.2 m,j 1.2 n)
a
7
（二）、整数规划的数学模型
一般形式
n
max Z(或min Z) cjxj j1
n
aij xj
bi
j1
(i 1.2 m)
xj 0 (j 1.2 n) 且部分或全部为整数
依照决策变量取整要求的不同，整数规划可分为纯整 数规划、全整数规划、混合整数规划、0－1整数规划。
设： 1 分配第i台机床加工第j种零件；
xij＝ 0
（i=1.2…m,j=1.2…n）
相反。
于是，第i台机床加工各种零件的总时间为： n ajxij (i 1.2m)
j1
又由于一个零件只能在一台机床上加工，所以有
m
xij 1 (j 1.2 n)
i1
a
6
因此，求xij ，使得
n
n
n
minZ max( ajx1j, ajx2j, , ajxmj )
n
xij ai yi
(i 1.2
m)
j1
m
xij b j
(j 1.2
n)
i1
x
i
j
0, yi
0
或
1
(i
1.2
m、 j 1.2
n)
a
5
例三、机床分配问题 设有m台同类机床，要加工n种零件。已知各种零件 的的加总工加时 工间 任分 务别 相为 等，a1,或a2,者…a说n ，尽问可如能何平分衡配。，使各机床
a
3
单 销地 厂址 价
整数规划模型的构建及求解方法
整数规划模型的构建及求解方法整数规划是一种数学优化问题，其目标是在给定的约束条件下，寻找能够使目标函数最大或最小的整数解。
在实际应用中，整数规划模型常被用于决策问题的求解，如生产计划、物流调度、资源分配等。
本文将介绍整数规划模型的构建方法以及常用的求解方法。
一、整数规划模型的构建方法1.确定决策变量：首先需要确定问题中的决策变量，即可用整数来表示的变量。
这些变量一般代表决策问题中的选择或分配方案。
例如，在生产计划问题中，决策变量可以是不同产品的生产数量。
2.定义目标函数：目标函数是整数规划问题中要最大化或最小化的指标。
根据问题的具体要求，可将目标函数设定为各个决策变量的线性组合或非线性函数。
例如，生产计划问题中，目标函数可以是利润的最大化或成本的最小化。
3.确定约束条件：约束条件用于限制决策变量的取值范围，以满足问题的实际限制。
约束条件可以是等式或不等式。
例如，在物流调度问题中，约束条件可以包括产品的需求量、供应量以及运输容量等。
4.完善模型：为了更准确地描述问题，还需要考虑一些特殊约束条件和问题的具体要求。
例如，某些决策变量可能需要满足某种关系或限制条件，或者需要指定某些变量的取值范围。
二、整数规划模型的求解方法1.穷举法：穷举法是最简单直接的求解方法，即将所有可能的整数解都列举出来，并计算对应的目标函数值，最后选取最优解。
然而，穷举法由于计算复杂度高，只适用于问题规模较小的情况。
2.分支定界法：分支定界法是一种逐步缩小解空间的方法。
通过将整数规划问题分解成若干个子问题，并为每个子问题设定上下界，不断迭代求解，最终找到最优解。
这种方法可以高效地搜索整数解空间，但对于规模较大的问题，计算时间可能会很长。
3.割平面法：割平面法是一种逐步划分解空间的方法。
它通过添加割平面来修正原始线性规划松弛的解，使其成为整数解。
这种方法能够快速收敛到最优解，并且具有较好的计算效率。
4.分枝定界法：分枝定界法是将分支定界法和割平面法相结合的方法。
第三章_整数规划
分枝定界法对可行域恰当地进行系统搜索，基 本上是一种“分而治之”的策略。
通常，它把可行域反复地划分为越来越小的一系 列子域，称之为分枝；子域的一个边界为整数，在 子域上解线性规划，对于最大值问题，线性规划解 的目标函数值是整数规划的上界，整数规划任意可 行点的目标函数值是其下界，这称为定界。在子域 分解的过程中，上界非增，下界非减，经有限多次 分解即可得到整数规划的最优解。
求解思路
1）舍入取整法 即先不考虑整数性约束，而去求解其相应的LP问题， 然后将得到的非整数最优解用“舍入取整”的方法。 解相应的LP问题，得：X1=4.8，X2=0 不是可行解，舍入取整得X1=4，X2=0 是否最优？ 优点：可节省求解的人力、物力和财力
2）完全枚举法 此法仅在决策变量很少的情况下才实际有效。
值的上界 z = 87。令最优值的下界 z = 0，则有 z = 0 < z* 87 = z 。我们将这些结果记录在树形图图 3.3.3 中。
2. 因为此时两个变量都不是整数，我们从中选择一个变量
进行分枝。假定选择 x1，在 (P0) 的约束之外，增加两个互相排 斥的约束条件：x1 2 与 x1 3，形成两个子模型 (P1) 和 (P2)： (P1)：max Z = 15x1 20x2 (P2)：max Z = 15x1 20x2
第三章 整数规划
§3.1 整数规划模型 §3.2 0-1型整数规划 §3.3 指派问题 §3.4 软件解法
§3.1 引言
在工程设计和企业管理中，常会遇到要求决策变量取 离散的非负整数值的线性规划问题。例如，最优调度的车 辆数，设置的销售网点数，指派工作的人数等。这类问题 在形式上与线性规划类似，只是比线性规划增加了某些约 束条件，来限制全部或部分决策变量必须取离散的非负整 数值。我们称之为整数线性规划问题，也经常简称为整数 规划问题。
3整数规划模型
决策变量：用表示按第种模式切割的原料钢管的根 数，显然它们应当是非负整数。
目标函数：以切割后剩余的总余料量最少为目标， 则由表3.1可得
z1=3x1+x2+3x3+3x4+x5+x6+3x7 以切割原料钢管的总根数最少为目标，则有
z2=x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7
下面分别在这两种目标下求解。
用Lindo软件求解
例3.2 合理下料问题
某钢管零售商从钢管厂家进货，将钢管按照顾客的要求 切割后售出，从钢管厂进货时得到的原料钢管都是19m.
1）现有一客户需要50根4m、20根6m和15根8m的钢 管，应如何下料最节省？
1）问题的分析。
首先，应当确定哪些切割模式是可行的。所谓一个 切割模式，是指按照客户需要在原料上安排切割的一 种组合。例如：我们可以将19m的钢管切割成3根4m的 钢管，余料为7m；或者将19m的钢管切割成4m、6m 和8m的钢管各1根，余料为1m。显然，可行的切割模 式是很多的。
解 设购买远程、中程、短程客机的数量分别为x1、x2 和x3架，问题的数学模型为 max z 420x1 300x2 230x3, s.t. 6300x1 5000x2 3500x3 75000,
x1 x2 x3 30, 54 3 x1 3 x2 x3 40, x1, x2 , x3 0, x1, x2 , x3均为整数。
3 整数规划模型
在一个数学规划模型中，如果它的某些决策变量或 全部变量要求取整数时，就称这个数学规划模型为整 数规划模型。整数规划模型可分为整数线性规划模型 与整数非线性规划模型。整数规划又分为整数规划、 混合整数规划及0-1规划。
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§3.4 生产组织与计划问题
例 某工厂用 m 台机床： A1, A2,L Am ，加工 n 种零件： B1, B2,L Bn .在一个生产周期内，已知第 i 台机床 Ai 只能 工作 ai 个机时，i 1, 2,L m .工厂必须完成加工零件 B j 的数量为 b j 个，j 1, 2,L n .机床 Ai 加工零件 B j 一个所 需的机时和成本分别为 tij （机时/个）和 cij（元/个）. 问：在这个生产周期，应如何安排各机床的生产任务， 才能既完成加工任务，又使总的加工成本最小。
模型建立
设xi
1, 对第i个项目投资，
0，
否则， i 1, 2,L
n
Z 为总利税收入（亿元）
则模型为：
max z m ci xi
i 1
n
s.t. bi xi b
i 1
xi 0或1
§3.2 背包问题
例 设有一个容积为b ,有n 个体积分 别为 bi (i 1,2,L n) ，使用价值分别为 ci (i 1,2,L n) 的物品可以装入背包，问 应选择哪几件物品装入背包，才 能得到最大的使用价值？试建立 数学模型.
4x1 3x2 2x3 x4 x5 50 x2 2x4 x5 3x6 20
x3 x5 2x7 15
xi 为整数
最优解：x2=15, x5=5, x7=5, 其余为0；
最优值：25。
按模式2切割15根， 与目标1的结果“共切割
按模式5切割5根， 27根，余料27米” 相比
按模式7切割5根， 共25根，余料35米
目标1（总余量） Min Z1 3x1 x2 3x3 3x4 x5 x6 3x7
模 4米 6米 8米 余 式 根数 根数 根数 料
14
0
03
约束 满足需求
4x1 3x2 2x3 x4 x5 50
23
1
0 1 x2 2x4 x5 3x6 20
32
0
1 3 x3 x5 2x7 15
xi 0且xi I={0,1,2,L }，i 1, 2,3
练习:
现有长度为500cm的钢管， 要截98cm,78cm的两种 钢管，各要1000根，2000 根。问：怎样截，用原料最 少？
方案
规 格
每根 下料 数
B1
B2
B3
B4
B5
B6
需求量
A1 5
4
3
2
1
0
1000根
A2 0
1
2
3
5
6
2000根
模型建立
• 设 x为j 采用方案 下Bj 料所用钢板的 数量， y为所用钢板总数
n
min y xj
j 1
n
s.t. aij x j bi ,i 1, 2,L m
j 1
x
j
0,且x j I ,
j
1, 2,L
n, I
{0,1, 2,L }
客户需求
例3 钢管下料 原料钢管:每根19米
合理切割模式 6米钢管根数 8米钢管根数
1
4
0
0
2
3
1
0
3
2
0
1
4
1
2
6
0
3
0
7
0
0
2
余料(米) 3 1 3 3 1 1 3
为满足客户需要，按照哪些种合理模式，每种模式
切割多少根原料钢管，最为节省？
两种 标准
1. 原料钢管剩余总余量最小 2. 所用原料钢管总根数最少
决策变量
xi ~按第i 种模式切割的原料钢管根数(i=1,2,…7)
4米50根
6米20根
8米15根
问题: 如何下料最节省 ? 节省的标准是什么？
钢管下料
切割模式
按照客户需要在一根原料钢管上安排切割的一种组合。
4米1根 6米1根
8米1根
余料1米
4米1根 6米1根
6米1根
余料3米
8米1根
8米1根
余料3米
合理切割模式的余料应小于客户需要钢管的最小尺寸
钢管下料问题
模式
1 4米钢管根数
41 51
2 1
0 1
3 1
整数约束： xi 为整数
60
3
0 1 最优解：x2=12, x5=15,
70
需 50 求
0 20
23 15
其余为0； 最优值：27
按模式2切割12根,按模式5切割15根，余料27米
目标2（总根数） Min Z2 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7
约束条 件不变
方案
规 每根原料下 B1
B2
格 管根数
B3 需求量
3米长
3个 2个 0个
5根
4米长 余料量
0个 1个 1米 0米
2个
5根
所用钢 2米 筋数最
少
模型建立
• 设 x1, x2为, x3采用方案 为所用y钢筋总数
B1所, B2用, B钢3 筋数，
min y x1 x2 x3
s.t.3x1 2x2 5 x2 2x3 5
虽余料增加8米，但减少了2根
1.当余料没有用处时，通常以总根数最少为目标
2.在需求的规格数量不多的情况下，可采用“列 举 法”，确定可行的、合理的切割模式。当规格数量 >=4时，列举工作量就很大了。
3.下料问题建模，由两部分构成
确定下料可行、合理的模式--无通用的方法
构造优化模型—选择合适的目标
4.对于一维（钢管、钢筋等）下料问题，当所需要的 规格数量不多时，可采用枚举法求解。
模型建立
•令
1, 装第i件物品，
xi 0,
否则 i 1, 2,L , n
• 设装入物品的总价值为z，则上述背包问
题的数学模型为
n
max z ci xi ,
i 1
n
s.t. bi xi b,
i 1
xi
0或1，i 1, 2,L
n
§3.3 合理下料问题
例 1 某工厂有 10 米长的钢管若干 根，要截取 3 米、4 米长的钢管各 5 根，问：如何截取，使所用钢筋数 最少？
第3章 整数规划模型
§3.1 投资决策问题
例 某市有 b 亿元资金用于 n 个项目投 资，对第 i 个项目投资需要 bi 亿元，可 获 得 利 税 收 入 ci 亿 元 . 试 确 定 投 资 方 案，使得该市的利税收入最多.
问题分析
• 目标：利税收入； • 决策量：由于每个项目投资数额已定，
只是投与不投，我们选择0-1变量； • 约束：总资金b亿元.
模型的建立
解：设 xi 为采用第 i 种方案所用原料数， y 为
原料总数
6
min y xi
s.t.x1
4x2
3x3
i 1
2x4
x5
1000;
x2
2x3
3x4
5x5
6x6
2000;
xi 0,且xi为整数(i=1,2,L 6)
例 2 假设要用某类钢板下 m 种零件 A1, A2,L Am 的毛料. 根据既省料又容易操作的原则，人们在一块钢板 上，已经设计出 n 种不同的下料方案，设在第 j 种 下料方案中，可下得第 i 种零件 Ai 的个数为 aij ，第 i 种零件的需要量为 bi ,i 1, 2,L m .问应如何下料， 才能既满足需要，又使所用的钢板总数最少？