第3章整数规划模型

方案
规 每根原料下 B1
B2
格 管根数
B3 需求量
3米长
3个 2个 0个
5根
4米长 余料量
0个 1个 1米 0米
2个
5根
所用钢 2米 筋数最
少
模型建立
• 设 x1, x2为, x3采用方案 为所用y钢筋总数
B1所, B2用, B钢3 筋数，
min y x1 x2 x3
s.t.3x1 2x2 5 x2 2x3 5
模型建立
•令
1, 装第i件物品，
xi 0,
否则 i 1, 2,L , n
• 设装入物品的总价值为z，则上述背包问
题的数学模型为
n
max z ci xi ,
i 1
n
s.t. bi xi b,
i 1
xi
0或1，i 1, 2,L
n
§3.3 合理下料问题
例 1 某工厂有 10 米长的钢管若干 根，要截取 3 米、4 米长的钢管各 5 根，问：如何截取，使所用钢筋数 最少？
§3.4 生产组织与计划问题
例 某工厂用 m 台机床： A1, A2,L Am ，加工 n 种零件： B1, B2,L Bn .在一个生产周期内，已知第 i 台机床 Ai 只能 工作 ai 个机时，i 1, 2,L m .工厂必须完成加工零件 B j 的数量为 b j 个，j 1, 2,L n .机床 Ai 加工零件 B j 一个所 需的机时和成本分别为 tij （机时/个）和 cij（元/个）. 问：在这个生产周期，应如何安排各机床的生产任务， 才能既完成加工任务，又使总的加工成本最小。
合理切割模式 6米钢管根数 8米钢管根数
1
4
0
0
2
3
1
0
3
2
0
1
4
1
Fra Baidu bibliotek
2
0
5
1
1
1
6
0
3
0
7
0
0
2
余料(米) 3 1 3 3 1 1 3
为满足客户需要，按照哪些种合理模式，每种模式
切割多少根原料钢管，最为节省？
两种 标准
1. 原料钢管剩余总余量最小 2. 所用原料钢管总根数最少
决策变量
xi ~按第i 种模式切割的原料钢管根数(i=1,2,…7)
模型的建立
解：设 xi 为采用第 i 种方案所用原料数， y 为
原料总数
6
min y xi
s.t.x1
4x2
3x3
i 1
2x4
x5
1000;
x2
2x3
3x4
5x5
6x6
2000;
xi 0,且xi为整数(i=1,2,L 6)
例 2 假设要用某类钢板下 m 种零件 A1, A2,L Am 的毛料. 根据既省料又容易操作的原则，人们在一块钢板 上，已经设计出 n 种不同的下料方案，设在第 j 种 下料方案中，可下得第 i 种零件 Ai 的个数为 aij ，第 i 种零件的需要量为 bi ,i 1, 2,L m .问应如何下料， 才能既满足需要，又使所用的钢板总数最少？
目标1（总余量） Min Z1 3x1 x2 3x3 3x4 x5 x6 3x7
模 4米 6米 8米 余 式 根数 根数 根数 料
14
0
03
约束 满足需求
4x1 3x2 2x3 x4 x5 50
23
1
0 1 x2 2x4 x5 3x6 20
32
0
1 3 x3 x5 2x7 15
模型建立
设xi
1, 对第i个项目投资，
0，
否则， i 1, 2,L
n
Z 为总利税收入（亿元）
则模型为：
max z m ci xi
i 1
n
s.t. bi xi b
i 1
xi 0或1
§3.2 背包问题
例 设有一个容积为b ,有n 个体积分 别为 bi (i 1,2,L n) ，使用价值分别为 ci (i 1,2,L n) 的物品可以装入背包，问 应选择哪几件物品装入背包，才 能得到最大的使用价值？试建立 数学模型.
虽余料增加8米，但减少了2根
1.当余料没有用处时，通常以总根数最少为目标
2.在需求的规格数量不多的情况下，可采用“列 举 法”，确定可行的、合理的切割模式。当规格数量 >=4时，列举工作量就很大了。
3.下料问题建模，由两部分构成
确定下料可行、合理的模式--无通用的方法
构造优化模型—选择合适的目标
4.对于一维（钢管、钢筋等）下料问题，当所需要的 规格数量不多时，可采用枚举法求解。
4米50根
6米20根
8米15根
问题: 如何下料最节省 ? 节省的标准是什么？
钢管下料
切割模式
按照客户需要在一根原料钢管上安排切割的一种组合。
4米1根 6米1根
8米1根
余料1米
4米1根 6米1根
6米1根
余料3米
8米1根
8米1根
余料3米
合理切割模式的余料应小于客户需要钢管的最小尺寸
钢管下料问题
模式
1 4米钢管根数
41 51
2 1
0 1
3 1
整数约束： xi 为整数
60
3
0 1 最优解：x2=12, x5=15,
70
需 50 求
0 20
23 15
其余为0； 最优值：27
按模式2切割12根,按模式5切割15根，余料27米
目标2（总根数） Min Z2 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7
约束条 件不变
模型建立
• 设 x为j 采用方案 下Bj 料所用钢板的 数量， y为所用钢板总数
n
min y xj
j 1
n
s.t. aij x j bi ,i 1, 2,L m
j 1
x
j
0,且x j I ,
j
1, 2,L
n, I
{0,1, 2,L }
客户需求
例3 钢管下料 原料钢管:每根19米
4x1 3x2 2x3 x4 x5 50 x2 2x4 x5 3x6 20
x3 x5 2x7 15
xi 为整数
最优解：x2=15, x5=5, x7=5, 其余为0；
最优值：25。
按模式2切割15根， 与目标1的结果“共切割
按模式5切割5根， 27根，余料27米” 相比
按模式7切割5根， 共25根，余料35米
xi 0且xi I={0,1,2,L }，i 1, 2,3
练习:
现有长度为500cm的钢管， 要截98cm,78cm的两种 钢管，各要1000根，2000 根。问：怎样截，用原料最 少？
方案
规 格
每根 下料 数
B1
B2
B3
B4
B5
B6
需求量
A1 5
4
3
2
1
0
1000根
A2 0
1
2
3
5
6
2000根
第3章 整数规划模型
§3.1 投资决策问题
例 某市有 b 亿元资金用于 n 个项目投 资，对第 i 个项目投资需要 bi 亿元，可 获 得 利 税 收 入 ci 亿 元 . 试 确 定 投 资 方 案，使得该市的利税收入最多.
问题分析
• 目标：利税收入； • 决策量：由于每个项目投资数额已定，
只是投与不投，我们选择0-1变量； • 约束：总资金b亿元.