计算的极限(一)所有机器的机器,与无法计算的问题

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极限的运算法则

极限的运算法则

2.型 有 理 式 及 无 理 式
1
方法:分子分母同时除以x 的最高次方幂
2
约最高次幂法
2x2 3
lim
x
3x2
1
.
(

)
[分析 ]当x时,分子 ,分母都趋于, 无穷大
先x用 2去 0 1 除分,转 子化 分为 母 ,再 无0求 2穷 .极 小限
2x2 3
lim
x
3x解2
1
lim
x
2 3
lim x1
x3 1
(x1)(x2) lx i1m (x1)(x2x1)
0 0
x2
lx im 1 x2
1 x1
求ln i m (n12n22 nn2) .
n时,是无穷小之和.
01 先变形再求极限.
02
说明:无穷多个无穷小 量之和不一定是无穷小
03
解l n i(n 1 m 2 n 2 2 n n 2 0)4 l n i 例1 m 2 n 2 n
3 x2 1 x2
例1
lim(2
x
3 x2 )
1
lim(3
x
x2 )
20 2 30 3
lim x 1 . ( 型 ) x x2 x 1
lim
x
1 x 1例 21
x
1
x2
1 x2
lim ( 1 x x
1 x2
)
0
lim (1
x
1 x
1 x2
)
例3
3x2 x2 lx im 4x3 2x3.(

)
lim
x
3 x
1
x2 2
2

求极限的12种方法总结及例题

求极限的12种方法总结及例题

求极限的12种方法总结及例题求极限的12种方法总结及例题1. 引言在数学学习中,求极限是一个重要的概念,也是许多数学题解的基础。

在学习求极限的过程中,有许多不同的方法可以帮助我们理解和解决问题。

本文将总结12种方法,帮助我们更全面地理解求极限的概念,并提供相应的例题进行演示。

2. 利用极限的定义我们可以利用极限的定义来求解问题。

根据定义,当x趋向于a时,函数f(x)的极限为L,即对于任意的正数ε,总存在正数δ,使得当0<|x-a|<δ时,有|f(x)-L|<ε。

利用这个定义,可以求得一些简单的极限,如lim(x→0) sinx/x=1。

3. 利用夹逼准则夹逼准则是求极限常用的方法之一。

当我们无法直接求出某个函数的极限时,可以利用夹逼准则来找到该函数的极限值。

要求lim(x→0) xsin(1/x)的极限,可以通过夹逼准则来解决。

4. 利用极限的四则运算极限的四则运算法则是求解复杂函数极限的基本方法之一。

利用这个法则,我们可以将复杂的函数分解成简单的部分,再进行求解。

要求lim(x→0) (3x^2+2x-1)/(x+1),可以利用极限的四则运算法则来求解。

5. 利用洛必达法则当我们遇到不定型的极限时,可以利用洛必达法则来求解。

洛必达法则可以帮助我们求出不定型极限的值,例如0/0、∞/∞、0*∞等形式。

通过洛必达法则,我们可以将求解不定型极限的过程转化为求解导数的问题,从而得到极限的值。

6. 利用泰勒展开泰勒展开是求解复杂函数极限的有效方法之一。

当我们遇到无法直接求解的函数极限时,可以利用泰勒展开将其转化为无穷级数的形式,然后再进行求解。

通过泰勒展开,我们可以将复杂函数近似为一个多项式,从而求得函数的极限值。

7. 利用换元法换元法是求解复杂函数极限的常用方法之一。

通过适当的变量替换,可以将复杂的函数转化为简单的形式,然后再进行求解。

对于lim(x→∞) (1+1/x)^x,可以通过换元法将其转化为e的极限形式来求解。

极限的运算法则及计算方法

极限的运算法则及计算方法

极限的运算法则及计算方法极限是微积分中的一个重要概念,用于研究函数在接近其中一点时的趋势。

在许多情况下,计算极限可以通过应用一些运算法则来简化。

本文将介绍极限的运算法则以及一些常用的计算方法。

一、极限的四则运算法则1. 乘法法则:如果函数f(x)的极限存在,g(x)的极限存在,则(f(x) * g(x))的极限等于f(x)的极限乘以g(x)的极限,即lim(x→a) [f(x) * g(x)] = lim(x→a) f(x) * lim(x→a) g(x)。

2. 除法法则:如果函数f(x)的极限存在,g(x)的极限存在且g(x)不等于0,则(f(x) / g(x))的极限等于f(x)的极限除以g(x)的极限,即lim(x→a) [f(x) / g(x)] = lim(x→a) f(x) / lim(x→a) g(x)。

3. 加法法则:如果函数f(x)的极限存在,g(x)的极限存在,则(f(x) + g(x))的极限等于f(x)的极限加上g(x)的极限,即lim(x→a) [f(x) + g(x)] = lim(x→a) f(x) + lim(x→a) g(x)。

4. 减法法则:如果函数f(x)的极限存在,g(x)的极限存在,则(f(x) - g(x))的极限等于f(x)的极限减去g(x)的极限,即lim(x→a) [f(x) - g(x)] = lim(x→a) f(x) - lim(x→a) g(x)。

二、极限的乘方法则1. 幂函数法则:对于任意正整数n,如果函数f(x)的极限存在,则(f(x)^n)的极限等于f(x)的极限的n次方,即lim(x→a) [f(x)^n] = [lim(x→a) f(x)]^n。

2. 平方根法则:如果函数f(x)的极限存在且大于等于0,则√[f(x)]的极限等于f(x)的极限的平方根,即lim(x→a) √[f(x)] =√[lim(x→a) f(x)]。

三、特殊函数的极限计算法则1. 三角函数:常见的三角函数包括正弦函数sin(x)、余弦函数cos(x)和正切函数tan(x)等。

高考数学技巧如何快速计算复杂的极限与连续性问题

高考数学技巧如何快速计算复杂的极限与连续性问题

高考数学技巧如何快速计算复杂的极限与连续性问题高考数学中,复杂的极限与连续性问题常常让学生感到头疼。

在解题过程中,掌握一些快速计算的技巧可以帮助学生更高效地解决这些难题。

本文将介绍几种常用的数学技巧,帮助学生在高考中迅速解答复杂的极限与连续性问题。

1. 利用极限的性质进行计算在计算复杂的极限问题时,可以利用极限的性质进行简化。

例如,对于形如lim(x→a) [f(x) + g(x)]的极限,可以将其分解为lim(x→a) f(x) + lim(x→a) g(x),然后分别计算这两个极限。

同样地,对于形如lim(x→a) [f(x) - g(x)]、lim(x→a) [f(x) * g(x)]、lim(x→a) [f(x) / g(x)]等复杂的极限,也可以借助极限的性质进行简化计算。

2. 使用洛必达法则洛必达法则是解决复杂极限问题的重要工具之一。

当极限形式为0/0或∞/∞时,可以使用洛必达法则来快速计算。

具体操作是对极限中的分子和分母分别求导,然后重新计算得到一个新的极限,重复这个过程直到得到一个确定的值或无穷大。

需要注意的是,在使用洛必达法则时,必须保证导数存在。

3. 利用连续性的特性简化计算连续性是复杂极限问题的另一个关键点。

在计算极限时,可以利用函数的连续性来简化问题。

例如,对于形如lim(x→a) f(g(x))的极限,如果函数f在g(x)的极限点处连续,那么可以通过直接将g(x)的极限代入f(x)中进行计算。

类似地,如果在极限点a附近,函数f与g(x)等值(或等价),则可以用f(x)来代替g(x),简化极限的计算步骤。

4. 利用数学公式和恒等式简化问题在解决复杂的极限问题时,可以运用数学公式和恒等式来简化计算过程。

例如,对于形如lim(x→∞) [f(x)]^n的极限,可以应用函数的幂函数极限公式lim(x→∞) x^n = ∞或lim(x→∞) a^n = a^n(其中a为常数),从而简化问题。

求极限的若干方法

求极限的若干方法

求极限的若干方法求极限是微积分中的重要内容之一,它在数学和物理等学科中都有着广泛的应用。

在数学中,求极限是一种重要的技巧,有很多种方法可以用来计算极限。

在本文中,我们将介绍一些常用的求极限的方法,希望能够帮助读者更好地理解和掌握这一内容。

一、极限的定义在介绍求极限的方法之前,我们先来了解一下极限的定义。

在数学中,极限是一个数列或者函数趋向于某个确定的数值或无穷远时的性质。

通常来说,我们用“ lim”符号来表示极限,比如lim x→a f(x)=L。

这个式子的意思是当自变量 x 趋向于 a 时,函数f(x) 的值会趋向于 L。

二、求极限的方法1. 代入法代入法是求极限时最为简单直接的方法之一。

当自变量 x 趋向于某个确定的数值时,我们直接将这个数值代入到函数中,并计算函数的值。

这种方法特别适用于一些简单的函数,比如多项式函数或者初等函数,可以直接通过代入计算得到极限值。

举个例子,当我们要求lim x→2(x²+3x-2)时,我们可以直接把 x=2 代入到函数中得到结果,即lim x→2(x²+3x-2)=2²+3×2-2=8。

2. 因子分解法因子分解法是一种常用的求极限的方法,它适用于一些复杂的函数或者分式函数。

当我们遇到一个函数或者分式函数的极限求解问题时,如果无法通过直接代入的方法求解,可以尝试将函数进行因式分解,然后再计算极限值。

举个例子,当我们要求lim x→1(x²-1)/(x-1)时,我们可以利用因式分解法将分子进行因式分解,得到(x-1)(x+1)/(x-1)。

这样,我们就可以约去分子和分母中相同的项(x-1),得到lim x→1(x²-1)/(x-1)= lim x→1(x+1)=2。

3. 夹逼定理夹逼定理是求极限时常用的一种方法,它适用于一些复杂的无法直接计算的函数极限。

夹逼定理的核心思想是通过两个已知的函数夹住待求函数,从而确定待求函数的极限值。

16种求极限方法及一般题型解题思路分享

16种求极限方法及一般题型解题思路分享

首先说下我的感觉,假如高等数学是棵树木得话,那么极限就是他的根,函数就是他的皮。

树没有跟,活不下去,没有皮,只能枯萎,可见这一章的重要性。

为什么第一章如此重要?各个章节本质上都是极限,是以函数的形式表现出来的,所以也具有函数的性质。

函数的性质表现在各个方面:首先对极限的总结如下:极限的保号性很重要,就是说在一定区间内函数的正负与极限一致。

极限分为一般极限,还有个数列极限,(区别在于数列极限是发散的,是一般极限的一种)。

解决极限的方法如下:(我能列出来的全部列出来了!你还能有补充么?)1、等价无穷小的转化,(只能在乘除时候使用,但是不是说一定在加减时候不能用,前提是必须证明拆分后极限依然存在,e的X次方-1或者(1+x)的a次方-1等价于Ax等等。

全部熟记(x趋近无穷的时候还原成无穷小)。

2、洛必达法则(大题目有时候会有暗示要你使用这个方法)。

首先他的使用有严格的使用前提!必须是X趋近而不是N趋近!(所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限,当然n趋近是x趋近的一种情况而已,是必要条件(还有一点数列极限的n当然是趋近于正无穷的,不可能是负无穷!)必须是函数的导数要存在!(假如告诉你g(x),没告诉你是否可导,直接用,无疑于找死!!)必须是0比0无穷大比无穷大!当然还要注意分母不能为0。

洛必达法则分为3种情况:0比0无穷比无穷时候直接用;0乘以无穷,无穷减去无穷(应为无穷大于无穷小成倒数的关系)所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。

通项之后这样就能变成第一种的形式了;0的0次方,1的无穷次方,无穷的0次方。

对于(指数幂数)方程方法主要是取指数还取对数的方法,这样就能把幂上的函数移下来了,就是写成0与无穷的形式了,(这就是为什么只有3种形式的原因,LNx两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0,当他的幂移下来趋近于无穷的时候,LNX趋近于0)。

3、泰勒公式(含有e的x次方的时候,尤其是含有正余弦的加减的时候要特变注意!)E 的x展开sina,展开cosa,展开ln1+x,对题目简化有很好帮助。

极限的算法技巧

极限的算法技巧

极限的算法技巧极限是数学中重要的概念,被广泛应用于微积分、数列和级数等领域。

在计算极限时,一些算法技巧可以帮助我们更好地理解和计算极限。

下面将介绍一些常用的极限算法技巧,以及它们的应用场景。

1. 极限的基本性质:极限有许多基本性质,包括四则运算法则、幂函数法则、三角函数法则等。

这些基本性质可以帮助我们计算复杂的极限。

例如,利用四则运算法则,可以将一个复杂的极限表达式分解为几个简单的部分,从而简化计算过程。

2. 夹逼定理:夹逼定理是计算极限的重要工具。

它可以帮助我们确定极限的上下界,从而求得极限的具体值。

夹逼定理的基本思想是将一个待求的极限表达式夹在两个已知的极限表达式之间。

3. 极限的展开:当计算复杂的极限时,可以利用泰勒级数或幂级数等展开式来逼近极限的值。

这种方法一般适用于在某点附近的极限计算,即使用级数展开确定一个函数在某点附近的值。

4. 极限的换元:通过对变量进行适当的换元,可以简化极限的计算。

例如,当计算一个复杂的无穷对数极限时,可以将极限表达式中的自变量用一个新的变量替换,然后计算新变量对应的极限。

5. 极限的递推关系:一些数列和级数问题中,可以利用递推关系来计算极限。

递推关系一般通过递推式来表示,通过对递推式的变形和化简,可以得到极限的表达式。

6. 极限的积分:有时,计算一个极限可以通过对其进行积分来求解。

利用积分定义和定理,可以将极限转化为积分形式,然后利用积分算法来计算。

7. 极限的逼近法:当确定一个函数在某点的极限较为困难时,可以使用逼近法进行估算。

逼近法包括切线逼近法、线性逼近法、二分法等,通过逐步逼近函数在某点的极限值,从而得到极限的近似值。

以上是一些常用的极限算法技巧,它们广泛应用于数学和工程领域。

在实际问题中,我们可以根据具体的极限表达式选择合适的算法技巧,从而更精确地计算和理解极限。

同时,需要注意的是,在使用这些算法技巧时,要注意问题的合理性和极限的存在性,并合理使用数值计算和近似方法来求解极限。

极限与连续练习题及解析

极限与连续练习题及解析

极限与连续练习题及解析在数学课上,我们经常会遇到一些有关于极限与连续的练习题。

这些题目不仅能够帮助我们巩固对极限与连续的理解,还能提高我们解决问题的能力。

在本文中,我将为大家分享一些关于极限与连续的练习题及解析。

题目一:计算极限求解以下极限:1. $$\lim_{x\to 2}\frac{x^2-4}{x-2}$$解析:将被除数进行因式分解得:$$\lim_{x\to 2}\frac{(x+2) \cdot (x-2)}{x-2}$$最后得到:$$\lim_{x\to 2}(x+2)$$代入极限的定义,得到结果为:$$4$$题目二:证明函数连续证明下列函数在指定区间上连续:1. 函数$f(x)=\sqrt{x}$在区间$[0, +\infty)$上连续。

首先,我们需要证明$f(x)=\sqrt{x}$在$[0, +\infty)$上存在。

由于$x \geq 0$,所以$\sqrt{x}$是有定义的。

接下来,我们需要证明对于任意给定的$\varepsilon > 0$,存在一个$\delta > 0$,使得当$0 < |x-a| <\delta$时,$|\sqrt{x}-\sqrt{a}|<\varepsilon$。

根据不等式$|\sqrt{x}-\sqrt{a}|<|\sqrt{x}+\sqrt{a}|$,可以得到$$|\sqrt{x}-\sqrt{a}|<|\sqrt{x}-\sqrt{a}|\cdot\frac{|\sqrt{x}+\sqrt{a}|}{|\sqrt{x}-\sqrt{a}|}$$进一步化简得:$$|\sqrt{x}-\sqrt{a}|<\frac{|\sqrt{x}^2-\sqrt{a}^2|}{|\sqrt{x}-\sqrt{a}|}$$继续化简得:$$|\sqrt{x}-\sqrt{a}|<\frac{|x-a|}{|\sqrt{x}+\sqrt{a}|}$$由于$\sqrt{x}+\sqrt{a}$在$x$趋于$a$时不等于0,所以存在一个正数$M$,使得$|\sqrt{x}-\sqrt{a}|<M|x-a|$。

趣味数学素材:计算机不能解决的问题

趣味数学素材:计算机不能解决的问题

计算机不能解决的问题计算机虽然很有用,然而在一些问题上,却还是受限制的.一、停机问题它是艾伦·马西森·图灵于1936年提出的.图灵想到了计算机程序是否迟早会提供结果和停机的问题.停机问题已不仅是纸上谈兵的理论家所关心的问题,而且是很容易在实践中出现的问题.美国麻省理工学院计算机科学理论学家迈克尔·锡普塞说道:“你可以想象,当你把程序编入卡片,然后提交给计算机中心,等待结果.比方说,你有一笔100美元的钱存在机内.有时,计算机程序会有一个无限的循环,而且会耗掉许多钱.由于它会陷入无限的循环,因此你从程序上得不到任何东西.不论是你帐上的钱都已耗费完,还是计算机以何种方式注意到机器运行了很长时间,计算机自己停了机.”“那么,你一定会想,为什么事先不检验程序,如果其中有无限循环,就不应该用它运算”.然而令人惊奇的是,这种自然的概念不能够实现,因为图灵证明了,没有一种检验方法能够适用于所有程序.二、下棋问题棋盘不是普通的8×8,而是n×n(这里n表示任意大的数目),而且还有不限数量的棋子(但每方只能有一个王棋).我们想有一种计算机程序,不论棋下到哪一步,不管我们是哪一方,比如说白子,它都可以用来确定是否能够赢.某种程序只在理论上可行而在实际中行不通,它需要考虑所有白方可能走的棋步,随后考虑所有黑方可能回应的棋步,还要考虑所有白方可能反回应的棋步,以此类推,考虑所有可能继续的棋步,直到结束时为止.这种穷举搜索程序的缺点是速度太慢:有那么多可能继续的棋步,甚至理想的计算机也不可能在200亿年的时间内把所有棋步都考虑进去.1981年,美国耶鲁大学的戴维·利希滕斯坦和以色列的数学家艾维兹里·弗伦克尔证明了对于足够大的棋盘也没有更快的程序.换句话说,耗时的穷举搜索程序没有简捷的方法.这种下棋问题,即使我们知道已有解法,也总是会使计算机的分析落空.。

高等数学-极限的运算法则

高等数学-极限的运算法则

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例. 设有分式函数
多项式 , 若 试证( x )
证:
x x0
lim R( x)
lim Q ( x )
说明: 若 例4.
不能直接用商的运算法则 .
lim ( x 3)( x 1) 3)( x 3)
x 3 ( x
( 如P47 例5 )

( 如P47 例6 ) ( 如P47 例7 )
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三、 复合函数的极限运算法则( 分步求极限!) 定理7. 设
( x) a , 又
x x0
且 x 满足 则有
lim f [ ( x) ]
时,
说明: 若定理中 lim ( x) , 则类似可得
推论 1 . 常数与无穷小的乘积是无穷小 . 推论 2 . 有限个无穷小的乘积是无穷小 .
机动
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二、 极限的四则运算法则 定理 3 . 若 lim f ( x) A , lim g ( x) B , 则有
定理4 . 若 lim f ( x) A , lim g ( x) B , 则有
0 lim
3 1
3
1 t
3

a t
lim
t0
3
t 1 a t
3
lim
t0
3
t 1 a 0
故 因此
1 a 0 a 1
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作业
P48 1 (5),(7),(9),(12)

(完整版)极限四则运算.doc

(完整版)极限四则运算.doc

§1.5极限的运算法则极限定义为我们提供了一种求极限的方法 , 但这种方法使用起来很不方便 , 并且在大多数情形下也是不可行的 . 这一节我们将给出极限的若干运算法则 , 应用这些法则将帮助我们比较方便的进行有关极限的证明和计算.一无穷小的运算定理设 , , 是 x x0 时的无穷小,即 lim ( x) 0, lim ( x) 0, lim ( x) 0, 下面x x0 x x0 x x0来叙述有关无穷小的运算定理。

定理 1 1 )有限个无穷小的和也是无穷小;2)有界函数与无穷小的乘积是无穷小。

推论: 1)常数与无穷小的乘积是无穷小;2)有限个无穷小的乘积也是无穷小。

二极限的四则运算法则利用极限与无穷小的关系及无穷小的运算性质,下面叙述极限的极限的四则运算法则。

定理 2 如果 lim f x A , lim g x B 则 f ( x) g(x), f ( x) g(x), f ( x)B 0 ,x x0 x x0 g( x) 的极限都存在,且( 1)lim f x g x lim f x lim g x A B;x x0 x x0 x x0( 2)lim f x g x lim f x lim g x AB;x x0 x x0 x x0f x lim f xA( 3)lim x x0 ( B 0).g x lim g x Bx x0x x0证 1 因为 lim f x A, lim g x B ,所以,当 x x0时,0, 1 0 ,x x0 x x0当 0 x x0 1 时,有 f (x) A ,对此, 2 0 ,当0 x x0 2 时,2有 g (x) B2,取min{ 1 , 2 } ,当0 x x0 时,有( f (x) g( x)) ( A B) ( f ( x) A) ( g( x) B) f ( x) A g( x) B2 2所以 lim ( f (x) g( x)) A B 。

极限与配合习题及答案

极限与配合习题及答案

极限与配合习题及答案极限与配合习题及答案极限是高等数学中的重要概念,它在数学和物理等领域中具有广泛的应用。

理解和掌握极限的概念和性质对于学习数学和解决实际问题都至关重要。

为了帮助读者更好地理解和应用极限,本文将介绍一些常见的极限与配合习题及其答案。

1. 习题一:计算极限求解极限是极限理论的基本问题之一。

下面是一个例子:lim(x→0) (sinx/x)解答:根据极限的定义,当x趋近于0时,sinx/x的极限可以通过不断逼近来求解。

将x取一系列接近0的值,计算相应的sinx/x的值,可以得到如下结果:x sinx/x0.1 0.998330.01 0.9999830.001 0.99999983...从上述结果可以看出,当x趋近于0时,sinx/x的值趋近于1。

因此,根据极限的定义,可以得到lim(x→0) (sinx/x) = 1。

2. 习题二:极限的性质极限具有一些重要的性质,这些性质可以帮助我们更好地理解和计算极限。

下面是一个关于极限性质的习题:lim(x→a) [f(x) + g(x)] = ?解答:根据极限的性质,当两个函数的极限存在时,它们的和的极限等于各自的极限之和。

因此,可以得到lim(x→a) [f(x) + g(x)] = lim(x→a) f(x) + lim(x→a) g(x)。

3. 习题三:极限的计算方法有时候,直接计算极限可能比较困难,需要借助一些特定的计算方法。

下面是一个例子:lim(x→∞) (1 + 1/x)^x解答:对于这个极限,可以采用自然对数的方法来计算。

将(1 + 1/x)^x取对数,得到ln[(1 + 1/x)^x] = x ln(1 + 1/x)。

然后,利用极限的性质和对数函数的性质,可以得到lim(x→∞) x ln(1 + 1/x) = lim(x→∞) ln[(1 + 1/x)^x] = ln(e) = 1。

4. 习题四:利用极限解决实际问题极限在实际问题中的应用非常广泛。

求极限的方法总结

求极限的方法总结

求极限的方法总结在数学中,求极限是一种非常重要的数学方法,它在微积分、数学分析等领域有着广泛的应用。

求极限的方法有很多种,每一种方法都有其适用的范围和特点。

下面将对常用的几种求极限的方法进行总结,希望能够对大家有所帮助。

首先,我们来谈谈利用代数运算法求极限的方法。

这种方法通常适用于一些简单的极限问题,通过一些代数运算,如分式的有理化、分子有理函数的分解等,可以将原极限转化为一些基本的极限形式,从而方便求解。

这种方法简单易行,适用范围广泛,是我们在求极限时常用的一种方法。

其次,我们要提到利用夹逼定理求极限的方法。

夹逼定理是一种非常重要的极限求解方法,它通常适用于一些复杂的极限问题,通过构造两个函数夹住待求极限的函数,利用夹逼定理可以求出原极限的值。

这种方法在求解一些特殊的无穷小极限和无穷大极限问题时非常有用,能够帮助我们解决一些看似复杂的极限计算问题。

另外,我们还需要了解一下利用洛必达法则求极限的方法。

洛必达法则是求解极限的一种常用技巧,它适用于求解一些不定型极限,通过对函数求导,将原极限转化为一个比较容易处理的形式,从而求出原极限的值。

这种方法在求解一些涉及无穷大与无穷小的极限问题时非常有用,能够帮助我们简化极限计算的过程。

最后,我们要介绍一下利用级数展开法求极限的方法。

级数展开法是一种非常重要的极限求解技巧,它通常适用于求解一些特殊的级数极限问题,通过将待求极限的函数展开成一个级数形式,然后利用级数的性质求解原极限。

这种方法在求解一些复杂的级数极限问题时非常有用,能够帮助我们简化极限计算的过程。

综上所述,求极限的方法有很多种,每一种方法都有其适用的范围和特点。

在实际应用中,我们需要根据具体的问题选择合适的求极限方法,通过灵活运用各种方法,我们可以更加高效地求解各种极限计算问题。

希望本文所总结的求极限方法能够对大家有所帮助,让大家能够更加轻松地应对各种极限计算问题。

1.图灵机与计算问题(1节课)

1.图灵机与计算问题(1节课)
– 小虫所处的世界是一个无限长的纸带,这个纸带上 被分成了若干小的方格,而每个方格都仅仅只有黑 和白两种颜色。
– 小虫仅能够感受到它所处的方格的颜色---输 入信息。 – 小虫的输出动作就是往纸带上前爬一个方格 或者后退一个方格。
输入 黑色 白色 输出
• 程序: NaiveBug
前移 后移
小虫读到这个片断会怎样行动呢?
图灵机的今生来世
目录
• • • • 1、问题的起源 2、图灵的贡献 3、图灵机 4、图灵机的计算极限与计算复杂性
目录
• • • • 1、问题的起源 2、图灵的贡献 3、图灵机 4、图灵机的计算极限与计算复杂性
1、问题起源:费马大定理
• 17世纪,费马在阅读丢番图(Diophatus)《算术》拉 丁文译本时,曾在第11卷第8命题旁写道:“将一个立 方数分成两个立方数之和,或一个四次幂分成两个四 次幂之和,或者一般地将一个高于二次的幂分成两个 同次幂之和,这是不可能的。关于此,我确信已发现 了一种美妙的证法 ,可惜这里空白的地方太小,写不 下。” • 当整数n >2时,关于x, y, z的方程 xn + yn = zn 没有正整 数解 • 1995年被英国数学家安德鲁·怀尔斯证明
3、图灵机
一个图灵机是形如下面的一个装置 :
图灵机的组成
• 装置组成:
– 一个无限长的纸带(符号集合) – 一个读写头(读、改写、左移、右移) – 内部状态(有限状态机) – 还有一个程序对这个盒子进行控制。这个装 置就是根据程序的命令以及它的内部状态进 行磁带的读写、移动。
图灵机的工作过程
• 工作过程:
小虫会怎样行动呢?
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极限的计算例题及答案极限计算方法及例题

极限的计算例题及答案极限计算方法及例题

极限的计算例题及答案极限计算方法及例题极限计算方法总结《高等数学》是理工科院校最重要的基础课之一,极限是《高等数学》的重要组成部分。

求极限方法众多,非常灵活,给函授学员的学习带来较大困难,而极限学的好坏直接关系到《高等数学》后面内容的学习。

下面先对极限概念和一些结果进行总结,然后通过例题给出求极限的各种方法,以便学员更好地掌握这部分知识。

一、极限定义、运算法则和一些结果1.定义:(各种类型的极限的严格定义参见《高等数学》函授教材,这里不一一叙述)。

说明:(1)一些最简单的数列或函数的极限(极限值可以观察得到)都可以用上面的b0(a,b为常数且a 0);极限严格定义证明,例如:limn 当 an0,|q| 1时 nlim(3x 1) 5;limq ;等等n x 2不存在,当|q| 1时(2)在后面求极限时,(1)中提到的简单极限作为已知结果直接运用,而不需再用极限严格定义证明。

2.极限运算法则定理1 已知limf(x),limg(x)都存在,极限值分别为A,B,则下面极限都存在,且有(1)lim[f(x) g(x)] A B (2)limf(x) g(x) A Bf(x)g(x)AB(3)lim,(此时需B 0成立)说明:极限号下面的极限过程是一致的;同时注意法则成立的条件,当条件不满足时,不能用。

3.两个重要极限(1)limsinxxx 0111xxlim(1 ) e lim(1 x) e(2);xx x 0说明:不仅要能够运用这两个重要极限本身,还应能够熟练运用它们的变形形式,作者简介:靳一东,男,(1964—),副教授。

1例如:limsin3x3xx 01,lim(1 2x)x 02xe,lim(1x3)3 e;等等。

xx4.等价无穷小定理2 无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小(即极限是0)。

定理3 当x 0时,下列函数都是无穷小(即极限是0),且相互等价,即有:x~tanx~arcsinx~arctanx~ln(1 x)~ex 1。

大一高数极限计算例题

大一高数极限计算例题

大一高数极限计算例题极限计算是高等数学研究中一个重要的方面,它将求解连续变化中表达式的不断变化,以及求解方程、不等式等。

极限计算能够穷尽数量无穷之中的所有可能性。

极限计算以其复杂的计算方式大大增加了高等数学的学习难度,尤其是大一的学生,更是困惑不已。

但是,正确的极限计算技术可以帮助学生找到正确的答案,使学习更加容易。

本文将介绍极限计算的基本概念,并给出几个例题,以帮助大一的学生更好地理解和掌握极限计算的技术。

一、极限的概念在极限计算中,极限表示一种无穷关系,即当一个数字趋近无穷大或无穷小时,它仍然保持其稳定性或特定性。

比如,当一个数字趋近于无穷大时,它的平方会趋近于无穷大,而它的立方则会趋近于无穷大的平方。

换句话说,极限用于描述在某种范围内表达式的趋势,且在这个范围内,表达式值趋近于一个定值。

二、极限的计算极限的计算有多种不同的方法,以下为一些常见的极限计算方法:(1)常数法:通过将变量替换为常数来求解极限问题。

(2)变换法:通过简单变换,将极限问题转换为其他问题,以求解极限值。

(3)函数展开法:通过展开函数式,将极限转换为分母为零的除法形式,求解极限问题。

(4)反向法:通过分析极限的反向表示形式,可以帮助学生有效地求解极限问题。

三、例题计算(一)求以下极限的值:lim(3x-2)/(x-2)解答:可以用常数法求解:当x=2时,两项都等于0,此时无法计算极限值,可以将x=2替换为x=3,则极限可求为:lim(3x-2)/(x-2)=lim(9-2)/(3-2)=7(二)求以下极限的值lim(x^2-4)/(x-2)解答:可以用变换法求解:将x^2-4变换为(x-2)(x+2)即可,此时极限可求为:lim(x^2-4)/(x-2)=lim(x-2)(x+2)/(x-2)=lim(x+2)=2+2=4(三)求以下极限的值lim(x^2+x+1)/(x^2-4x+4)解答:可以用函数展开法求解:当x=2时,两项都等于0,可以将x=2替换为x=3,则可以将函数展开为:(x^2+x+1)/(x^2-4x+4)=(x+3)/(x-2),此时极限可求为:lim(x+3)/(x-2)=lim(3+3)/(3-2)=6/1=6(四)求以下极限的值lim(x^2+10x+25)/(x+5)解答:可以用反向法求解:将(x^2+10x+25)/(x+5)变换为(x+5)/(x^2+10x+25),此时极限可求为:lim(x+5)/(x^2+10x+25)=lim (5+5)/(25+50+25)=10/100=1/10四、总结总之,极限计算是高等数学中一个重要的概念,它可以用来求解某些方程、不等式等问题,并用于描述表达式在某范围内的不断变化。

高数极限难题大全

高数极限难题大全

高数极限难题大全高数是大多数理工科学生的噩梦,尤其是极限难题更是让人头疼。

在高数学习中,极限是一个非常重要的概念,也是基础知识。

掌握了极限的概念与计算方法,才能更好地理解和应用高数中的其他知识点。

本文将介绍一些常见的高数极限难题,希望对读者有所帮助。

1. 无穷小量与无穷大量的比例在高数中,我们经常会遇到无穷小量与无穷大量的比例。

这类问题通常需要用到极限的定义和性质。

例如,计算极限lim(x→∞) x / sinx时,可以利用极限的性质将分子和分母都除以x,然后利用夹逼定理得到结果为1。

这类问题虽然看起来复杂,但只要掌握了基本的极限定义和性质,就能够轻松解决。

2. 无穷级数求和无穷级数是高数中的重要概念,求和问题是其中的难点。

例如,求和lim(n→∞) 1/n的结果是ln2,这是一个经典的问题。

解决这类问题通常需要用到数列极限的概念和性质,以及一些特殊函数的性质。

在实际应用中,无穷级数求和是一种常见的数学建模方法,掌握了求和的技巧,可以更好地应用于实际问题的解决。

3. 函数极限函数极限是高数中的一个重要概念,也是比较常见的问题类型。

例如,计算lim(x→0) (sinx)/x,需要用到函数极限的定义和性质,以及三角函数的性质。

在实际应用中,函数极限可以帮助我们求解一些复杂的函数关系,从而更好地理解和应用高数中的其他知识。

4. 极限存在与收敛性有些极限问题需要我们确定极限是否存在,以及是否收敛。

例如,计算lim(x→∞) (1+1/x)^x时,需要证明极限存在并收敛到某个值。

这类问题通常需要用到数列极限和函数极限的定义和性质,以及一些收敛性定理。

在实际应用中,确定极限是否存在和收敛具有重要的意义,为后续计算和推导提供了基础。

总结起来,高数中的极限难题是理工科学生不可回避的挑战,但只要掌握了基本的概念、定义和性质,以及一些常见的计算方法和技巧,就能够轻松解决各种极限难题。

同时,极限问题也是实际应用中的常见数学建模方法,掌握了极限的求解技巧,可以更好地应用于实际问题的解决。

理论计算机科学中的极限问题研究

理论计算机科学中的极限问题研究

理论计算机科学中的极限问题研究一、引言理论计算机科学是计算机科学的一个分支,研究的是计算机的基本性质和特性,其中极限问题是其中一个重要的研究方向。

极限问题通常涉及到计算机在某些情况下能够完成的最大化或最小化任务。

二、NP完全问题NP完全问题是计算机科学中的一个重要概念,指一类问题,如果能够找到其中一个问题的多项式时间解法,那么所有NP问题都可以得到多项式时间解法。

NP完全问题在理论计算机科学中具有特别重要的地位,因为它们涉及到许多实用问题的求解,例如旅行商问题和背包问题等。

三、极限问题的定义极限问题是指当某些条件接近某个限制时,计算机求解某个问题的能力会受到影响。

这些条件可以是数据规模、硬件限制或者算法复杂度等。

极限问题主要涉及到计算机的可扩展性,即计算机在处理不断增长的数据量时,能够提供的速度和效率。

四、极限问题的应用极限问题在计算机科学中有着广泛的应用。

例如,在数据挖掘和机器学习中,算法的运行时间和内存需求是一个非常重要的问题。

极限问题的研究可以帮助我们更好地了解这些算法的运行时间和性能特征。

另外,极限问题也可以应用于计算机网络和分布式系统的设计中。

在这些领域中,计算机的处理能力和通信带宽是有限的,因此在设计系统时需要考虑这些限制。

极限问题的研究可以帮助我们更好地评估和优化这些系统的表现。

五、极限问题的挑战极限问题的研究面临着许多挑战。

首先,不同类型的极限问题可能需要使用不同的算法和分析技术。

其次,极限问题的研究需要考虑许多不同的因素,例如数据规模、硬件限制和算法复杂度等。

这些因素的影响可能在不同的极限问题中有所不同,因此需要针对性地进行研究。

另外,极限问题的研究也需要考虑实际应用中的复杂性。

例如,在数据挖掘中,实际数据的分布和特征往往与理论研究中的假设不同。

因此,极限问题的研究需要结合实际应用中的特征,以获得更准确的结果。

六、结论在理论计算机科学中,极限问题是一个重要的研究方向。

极限问题的研究可以帮助我们更好地了解计算机算法的表现,并优化计算机系统的设计和应用。

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计算的极限(一)所有机器的机器,与无法计算的
问题
作者:佚名
在图灵诞辰100周年之际,献给这位伟大的开拓者。

计算无处不在。

走进一个机房,在服务器排成的一道道墙之间,听着风扇的鼓噪,似乎能嗅出0和1在CPU和内存之间不间断的流动。

从算筹算盘,到今天的计算机,我们用作计算的工具终于开始量到质的飞跃。

计算机能做的事情越来越多,甚至超越了它们的制造者。

上个世纪末,深蓝凭借前所未有的搜索和判断棋局的能力,成为第一台战胜人类国际象棋世界冠军的计算机,但它的胜利仍然仰仗于人类大师赋予的丰富国际象棋知识;而仅仅十余年后,Watson却已经能凭借自己的算法,先“理解”问题,然后有的放矢地在海量的数据库中寻找关联的答案。

长此以往,工具将必在更多的方面超越它的制造者。

而这一切,都来源于越来越精巧的计算。

计算似乎无所不能,宛如新的上帝。

但即使是这位“上帝”,也逃不脱逻辑设定的界限。

第一位发现这一点的,便是图灵。

所有机器的机器
图灵机非常简单,只要明白了它的运作过程,任何一个受过足够训练的计算机系本科生都可以写出一个模拟图灵机运
行的程序。

只消输入状态转移表和纸带的输入内容,程序就可以一步一步模拟相应的图灵机在纸带上爬来爬去的过程。

对于一些熟悉图形编程的程序员来说,做个模拟动画也问题不大。

即使不用计算机,靠人手一步步操作,也是一件小孩子也能完成的事。

图灵机就是这么简单的一种机器。

虽然看上去简单,但实际上图灵机能做的事情远远超出一般的想象。

只要有足够长的纸带和足够好的耐心,今天的电脑能做的计算,一台精心设计的图灵机也能完成。

诀窍在于,电脑中的电路是有限的,电路的状态也是有限的,我们可以用图灵机去模拟电脑中的电路状态。

只要有足够长的纸带,那就可以模拟出足够大的寄存器、内存和硬盘;而CPU中的电路,虽然所有可能的状态极其多,但终究是有限的,可以用图灵机模拟,虽然这台图灵机的状态转移表将会有着令人头痛的大小,以及令人偏头痛的复杂程度。

但是,从原则上来说,用图灵机模拟一台电脑是完全可能的,虽然每次“读写内存”时,读写头都需要花长得令人咋舌的时间在纸带上来回奔波。

也就是说,从原则上来说,只要配备适当的输入和输出设备,以及极其好的耐心,我们完全可以用图灵机上网、玩游戏甚至执行自己写的程序。

特别地,存在一台特定的编写程序专用的图灵机T,我们可以在纸带上写程序,将它输入到T,然后T就能执行这个程序。

那么,如果我们将方才本科生写
的那个可以模拟任意图灵机运行的程序(暂且把它称为程序P),写在纸带上输入到T中,让T去执行的话,原本的机器T就摇身一变,变成了一台可以根据输入的状态转移表来模拟任何一台图灵机的图灵机。

【乐高玩具版图灵机】
更精确地说,因为程序P的长度是有限的,我们可以将它直接写进原来机器的状态转移表,得到一台新的机器UTM。

UTM 会在纸带上读取两样东西:一台图灵机M的状态转移表的二进制编码,以及作为M的初始输入的纸带数据。

然后,UTM 会根据M的状态转移表和初始输入数据,在纸带上模拟M的运作过程。

换言之,UTM是一台可以模拟任何图灵机的图灵机。

它是所有机器的机器,所谓的通用图灵机(UniversalTuringMachine)。

当然,通用图灵机并不是唯一的,只要一台图灵机能完成根据状态转移表模拟任意图灵机的任务,它就是通用图灵机。

【一台通用图灵机】
通用图灵机的想法,在如今这个计算机泛滥的时代,似乎并不新鲜。

但在图灵的1935年,电子计算机甚至仍未问世,机械计算机还只能执行内设的一套指令。

即使是CharlesBabbage和AdaLovelace的超越时代的设想,其中执行外部程序的概念也相当含混不清。

在这种历史背景下,要归纳出通用图灵机这个概念,本身就需要极为丰富的想象
力,而且这种图灵机是否存在,这是个远非显然的问题。

而图灵不仅设想到了这个概念,而且正确地判断出它的存在性,这需要何等非凡的直觉!
但单纯的直觉终究不能令人信服,数学家讲究的是逻辑和证明。

而要证明通用图灵机的存在,最直接的方法莫过于直接给出一个通用图灵机的实例。

这并不简单,如果读者想尝试一下的话,我建议先尝试构造一个能做二进制加法的图灵机。

为了降低难度,可以假设纸带上有第三种符号,表示空白,但即使如此,要构造一个能做加法的图灵机,远比想象中的困难。

可想而知,通用图灵机的构造肯定更为复杂繁琐。

即使是图灵,他在一开始给出的构造也是有问题的,而这些问题甚至在后来的勘误中也没有成功修正。

比构造更麻烦的是证明给出的图灵机的确是一台通用图灵机,在图灵解决希尔伯特可判定性问题的论文中,有关通用图灵机的构造和证明占了相当大的篇幅。

这部分非常繁复琐碎,而且其中还有错误,如果细细研读的话,绝对有诱发剧烈偏头痛的危险。

幸运的是,无论细节多么复杂,图灵的想法还是被逻辑学家们接受了。

一旦领会到图灵机的能力,接受了通用图灵机的构想,再检查几个能完成基本任务的图灵机之后,大部分数学家都会认为通用图灵机的确存在,尽管他们并不一定会细看图灵的详细构造。

而现代电子计算机的发展,更是验证了通用图灵机的存在:每一台电脑都相当于一台通用图灵机。

通用图灵机的存在,从侧面说明了图灵机这个计算模型的强大之处:图灵机作为一类机器,其中一个特例就可以模拟整个类别中的任意一台机器,宛如能折射大千世界的一滴水珠。

但在这种强大的背后,隐隐也暗藏着不安定的因素。

哥德尔不完备性定理告诉我们,有时候越强大的数学理论,因为能表达的概念太多,甚至连理论的命题和证明都能表达,反而会导致不能被证明的真命题的存在。

如果一个系统足以描述它自己,那魔法般的自指将是不可避免的。

图灵机如此强大,它的其中一台就可以模拟所有图灵机,会不会导致不能用计算来回答的问题存在呢?
很不凑巧,答案是会。

无法计算的问题
在哥德尔不完备性定理的证明中,哥德尔构造了一个描述了本身不可证明性的自指命题,通过这个命题完成了他的证明。

要想照葫芦画瓢的话,那些关于图灵机本身的问题,将会是很好的候补。

关于图灵机,最简单的问题是什么呢?回想一下图灵机的运作过程,一台图灵机从初始状态开始,根据纸带上的内容,一边不断变换状态,一边更改纸带的内容,如此往复永无休止,除非它遇上了表示停机的那个状态,才能从这机械的计算过程中跳出,获得静息的安乐。

一个自然的问题是:一台图灵机什么时候会停机呢?
更严格地说,会不会停机并不是图灵机本身的属性,它跟纸带的初始输入也有关系。

对于同一台图灵机,不同的纸带输入也可能导致不同的结果和行为。

比如说,我可以设计一台图灵机,它的任务只有一个:一步一步向右移动,寻找输入中的第一个1。

如果输入纸带上全是0的话,那么,这台图灵机自然不会停止;但只要纸带上有一个1,那么它就会停止。

所以,真正严谨的问题是:给定一台图灵机M以及一个输入I,如果我们将I输入M,然后让M开始运行,这时M 是会不停运转下去,还是会在一段时间后停止?我们将这个问题称为停机问题。

初看起来,停机问题并不难。

既然我们有通用图灵机这一强大的武器,那么只需要用它一步步模拟M在输入I上的计算过程就可以了。

如果模拟过程在一段时间后停止了,我们当然可以得出“M在输入I上会停止”这个结论。

问题是,在模拟过程停止之前,我们不可能知道整个计算过程到底是不会停止,它可能会在3分钟后停止,可能要等上十年八载,更有可能永远都不会停止。

换句话说,用模拟的方法,我们只能知道某个程序在某个输入上会停止,但永远不能确定那些不停止的状况。

所以说,单纯的模拟是不能解决停机问题的。

实际上,停机问题比我们想象中要复杂得多。

举个例子,我们可以编写一个程序GC,它遍历所有大于等于
6的偶数,尝试将这样的偶数分成两个素数的和。

如果它遇到一个不能被分解为两个素数之和的偶数,它就停机并输出这个偶数;否则,它就一直运行下去。

用现代的工具编写GC 这样的程序,对于计算机系的学生最多只能算一次大作业;用图灵机实现的话,也不是什么极端困难的事。

然而,GC是否会停止可是牵涉到了哥德巴赫猜想。

如果哥德巴赫猜想是正确的,每个大于等于6的偶数都能分解为两个素数之和的话,那么GC自然会一直运行下去,不会停机;如果哥德巴赫猜想是错误的话,必定存在一个最小的反例,它不能分解为两个素数之和,而GC在遇到这个反例时就会停机。

也就是说,GC是否永远运行下去,等价于哥德巴赫猜想是否成立。

如果我们能判定GC是否会停止,那我们就解决了哥德巴赫猜想。

数学中的很多猜想,比如说3x+1猜想、黎曼猜想等,都可以用类似的方法转化为判断一个程序是否会停止的问题。

如果存在一个程序,能判断所有可能的图灵机在所有可能的输入上是否会停止的话,那么只要利用这个程序,我们就能证明一大堆重要的数学猜想。

我们可以说,停机问题比所有这些猜想更难更复杂,因为这些困难的数学猜想都不过是一般的停机问题的一个特例。

如果停机问题可以被完全解决,我们能写出一个程序来判断任意图灵机是否会停机的话,那么相当多的数学家都要丢饭碗了。

停机问题如此复杂,机械的计算看起来没有足够的力量来完全解决它。

停机问题似乎是不可计算的。

但要想严格证明这个结论,似乎仍要求助于深藏在图灵机之中,那魔法般的自指。

(。

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