苏教版数学高二苏教版必修5学案 等差数列的概念

2．2.1 等差数列的概念

明目标、知重点 1.理解等差数列的定义，会用定义判断一个数列是否为等差数列.2.能利用

等差数列的定义求等差数列中的某一项.3.理解等差中项的概念，并能利用等差中项的概念判断一个数列是否为等差数列．

1．等差数列的概念

如果一个数列从第二项起，每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示． 2．等差中项的概念

如果a ，A ，b 这三个数成等差数列，那么A ＝a ＋b 2.我们把A ＝a ＋b

2

叫做a 与b 的等差中项．在

等差数列{a n }中，a n ＝a n ＋1＋a n －12(n ≥2，n ∈N *)；反之，对于任意一个数列{a n }，若a n ＝

a n ＋1＋a n －1

2(n ≥2，n ∈N *)，则这个数列{a n }一定是等差数列． 3．等差数列的单调性

等差数列{a n }中，若公差d >0，则数列{a n }为递增数列；若公差d <0，则数列{a n }为递减数列．

[情境导学]

第一届现代奥运会于1896年在希腊雅典举行，此后每4年举行一次，奥运会如因故不能举行，届数照算．这样举行奥运会的年份数构成一个数列，这个数列有什么特征呢？这个数列叫什么数列呢？本节我们就来一起研究这个问题． 探究点一 等差数列的概念

思考1 下面我们来看这样的一些数列： (1)0,5,10,15,20，…. (2)48,53,58,63. (3)18,15.5,13,10.5,8,5.5.

(4)10 072,10 144,10 216,10 288,10 360.

以上四个数列有什么共同的特征？请同学们互相讨论．

答共同特点：从第2项起，每项与它的前一项的差是同一个常数．

思考2具有思考1中这些数列特点的数列，我们把它叫做等差数列，那么，如何给等差数列下个定义？

答如果一个数列从第二项起，每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示．

思考3如何用数学语言来描述等差数列的定义？

答数学语言：a n－a n－1＝d(n≥2)或a n＋1－a n＝d(n≥1)．

思考4思考1中的四个等差数列的公差分别是什么？

答公差分别是5,5，－2.5,72.

小结对于一个数列，当a n－a n－1＝d(n≥2)中的d为常数时，该数列为等差数列，否则不是等差数列．

当d>0时，a n>a n－1，该数列为递增数列；当d＝0时，a n＝a n－1，该数列为常数列；当d<0时，a n

例1判断下列数列是否为等差数列：

(1)1,1,1,1,1；

(2)4,7,10,13,16；

(3)－3，－2，－1,1,2,3.

解(1)所给数列是首项为1，公差为0的等差数列．

(2)所给数列是首项为4，公差为3的等差数列．

(3)因为(－1)－(－2)≠1－(－1)，所以这个数列不是等差数列．

反思与感悟判断一个数列是不是等差数列，就是判断a n＋1－a n(n≥1)是不是一个与n无关的常数．

跟踪训练1判断下列数列是不是等差数列：

(1)9,7,5,3，…，－2n＋11，…；

(2)－1,11,23,35，…，12n－13，…；

(3)1,2,1,2，…；

(4)1,2,4,6,8,10，…；

(5)a，a，a，a，…，a，….

解由等差数列的定义，得(1)，(2)，(5)是等差数列，(3)，(4)不是等差数列．

例2求出下列等差数列中的未知项：

(1)3，a,5；

(2)3，b，c，－9.

解(1)根据题意，得a－3＝5－a，

解得a ＝4.

(2)根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧

b －3＝

c －b ，

c －b ＝－9－c ，

解得⎩

⎪⎨⎪⎧

b ＝－1，

c ＝－5.

反思与感悟 应用方程的思想能求等差数列中未知的项，列方程的依据是等差数列的定义． 跟踪训练2 已知下列数列是等差数列，试在括号内填上适当的数： (1)( )，5,10； (2)1，2，( )； (3)31，( )，( )，10.

解 (1)设所填的数为a ，由等差数列的定义， 得5－a ＝10－5，所以a ＝0.

(2)设所填的数为b ，由等差数列的定义， 得2－1＝b －2，所以b ＝22－1. (3)设所填的数为x ，y ，由等差数列的定义，

得⎩⎪⎨⎪⎧ x －31＝y －x ，y －x ＝10－y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝24，y ＝17.

探究点二 等差中项的应用

思考1 观察如下的两个数之间，插入一个什么数后三个数就会成为一个等差数列： (1)2,4；(2)－1,5；(3)0,0. 答 插入的数分别为3,2,0.

思考2 如果a ，A ，b 这三个数成等差数列，如何用a ，b 表示A?

答 由a ，A ，b 组成等差数列，所以A －a ＝b －A ，∴2A ＝a ＋b ，∴A ＝a ＋b 2.

小结 如果a ，A ，b 这三个数成等差数列，那么A ＝a ＋b 2.我们把A ＝a ＋b

2

叫做a 与b 的等差中项．

例3 (1)在等差数列{a n }中，是否有a n ＝a n －1＋a n ＋1

2

(n ≥2)?

(2)在数列{a n }中，如果对于任意的正整数n (n ≥2)，都有a n ＝a n －1＋a n ＋1

2，那么数列{a n }一定

是等差数列吗？

解 (1)因为{a n }是等差数列，所以a n ＋1－a n ＝a n －a n －1(n ≥2)，所以a n ＝a n －1＋a n ＋1

2.

(2)在数列{a n }中，如果对于任意的正整数n (n ≥2)都有a n ＝a n －1＋a n ＋1

2，那么a n ＋1－a n ＝a n －

a n －1(n ≥2)．

这表明，这个数列从第2项起，后一项减去前一项所得的差始终相等，所以数列{a n }是等差