导数及其应用复习题及答案 (1)

第 1 页 共 1 页 导数及其应用复习题及答案

(一题多解)试证明：e x －ln x >2.

证明 法一 设f (x )＝e x －ln x (x >0)，

则f ′(x )＝e x －1x ，令φ(x )＝e x －1x ，

则φ′(x )＝e x ＋1x 2>0在(0，＋∞)恒成立，

所以φ(x )在(0，＋∞)单调递增，

即f ′(x )＝e x －1x 在(0，＋∞)上是增函数，

又f ′(1)＝e －1>0，f ′⎝ ⎛⎭

⎪⎫12＝e －2<0， ∴f ′(x )＝e x －1x 在⎝ ⎛⎭

⎪⎫12，1内有唯一的零点. 不妨设f ′(x 0)＝0，则e x 0＝1x 0，从而x 0＝ln 1x 0

＝－ln x 0， 所以当x >x 0时，f ′(x )>0；当0

∴f (x )min ＝f (x 0)＝e x 0－ln x 0＝1x 0

＋x 0>2，x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1. 故e x －ln x >2.

法二 注意到e x ≥1＋x (当且仅当x ＝0时取等号)， x －1≥ln x (当且仅当x ＝1时取等号)， ∴e x ＋x －1>1＋x ＋ln x ，故e x －ln x >2.