实变函数与泛函分析课程教学大纲

实变函数与泛函分析课程教学大纲

《实变函数与泛函分析》课程教学大纲

一、课程基本信息

课程代码：110047

课程名称：实变函数与泛函分析

英文名称：Real variable analysis And Functional analysis

课程类别：专业基础课

学时：50

学分：3

适用对象：信息与计算科学专业本科

考核方式：考试，平时成绩30％，期末成绩70％

先修课程：数学分析和高等代数

二、课程简介

中文简介：实变函数起源于对连续而不可微函数以及Riemann可积函数等的透彻研究，在点集论的基础上讨论分析数学中一些最基本的概念和性质，其主要内容是引入Lebesgue积分并克服了Riemann积分的不足。它是数学分析的继续、深化和推广，是一门培养学生数学素质的重要课程，也是现代数学的基础。泛函分析起源于经典的数学物理边值问题和变分问题，同时概括了经典分析的许多重要概念，是现代数学中一个重要的分支，它综合运用了分析、代数与几何的观点和方法研究、分析数学和工程问题，其理论与方法具有高度概括性和广泛应用性的特点。

英文简介：Real variable analysis And Functional analysis is a theoretical course of mathematics which can be used in variable fields such as engineering and technology, physics, chemical, biology, economic and other fields. The educational aim in this course is to develop the abilities of students in analyzing and solving practical problem by the special ways of Real variable analysis And Functional analysis’ thinking and reasoning.

三、课程性质与教学目的

本课程是在实变函数与泛函分析基本理论的基础上，着重泛函分析的应用，教学的目的是丰富学生的知识和培养学生解决实际问题的能力。本课程就其实质来说是方法性的，但对于应用学科的学生来说，作为授课的目的，则是知识性的，故在教学方法和内容的选择上来说，只能让学生了解那些体现实变函数与泛函分析基本特征的思想内容，冗难的证明过程应尽量避免。本课程要求如下：

1. 理解和掌握集合间的关系和集与映射间的关系，了解度量空间的相关概念和Lebesgue可测集的有关内容和性质。

2. 了解可测函数的概念，构造，以及函数列的收敛性质。

3. 了解Lebesgue积分的概念，掌握收敛定理。

4. 理解赋范线性空间和内积空间的相关知识点。

5. 理解线性算子理论和有界线性泛函理论，了解三个基本定理。

四、教学内容及要求

第一章集合与测度

（一）目的与要求

1．使学生认识集族的交并关系，映射及其性质，集的对等，可数集合，度量空间的概念和度量空间中的点集，直线上的测度和可测集，

Lebesgue测度及相关理论；

2．本章要求学生了解集族的交并关系，了解度量空间的概念和测度及可测集的概念。

（二）教学内容

第一节集合与映射

1．主要内容

集族的交并关系，映射及其性质，集的对等。

2．基本概念和知识点

集族的交并关系，映射，集的对等，可数集合。

3．问题与应用（能力要求）

了解集族的交并关系，理解映射，集的对等，可数集合。

第二节度量空间

1．主要内容

度量空间的概念，度量空间中的点集。

2．基本概念和知识点

度量空间，收敛性，度量空间的拓扑。

3．问题与应用（能力要求）

理解度量空间的概念，理解度量空间的拓扑（包括了有关概念）。

第三节 Lebesgue可测集

1．主要内容

直线上点集的构造，Cantor三分集，Lebesgue可测集及测度的相关性质。

2．基本概念和知识点

构造区间，Cantor三分集，Lebesgue可测集，G

δ型集和F

σ

型集。

3．问题与应用（能力要求）

了解直线上点集的构造区间，熟悉Cantor三分集，了解Lebesgue可

测集，G

δ型集和F

σ

型集。

（三）课后练习作业和思考题：

第一节课后练习P19之1，2，3，6，8。

第二节课后练习P20之9，11，13，14，16，17；抄题18—28。

第三节课后练习P20之29:32，36，37；抄题36，37。

（四）教学方法与手段

本章教学主要采用课堂讲授的方法。

第二章可测函数

（一）目的与要求

要让学生理解简单函数和可测函数，了解可测函数的性质和

构造，了解可测函数列的极限。

（二）教学内容

第一节简单函数与可测函数

1．主要内容

简单函数，简单函数的表示和运算，可测函数，可测函数的判定。

2．基本概念和知识点

简单函数，可测函数。

3．问题与应用（能力要求）

了解简单函数及其表示和运算，理解可测函数的概念。

第二节可测函数的性质

1．主要内容

可测函数的运算，可测函数的构造，Lusin定理。

2．基本概念和知识点

可测函数的运算，可测函数的构造，Lusin定理。

3．问题与应用（能力要求）

了解可测函数的运算，了解可测函数的构造，理解Lusin定理。

第三节可测函数列的收敛性

1．主要内容

Egoroff定理，依测度收敛概念，Lebesgue定理，Riesz定理。

2．基本概念和知识点

Egoroff定理，依测度收敛概念，Lebesgue定理，Riesz定理。

3．问题与应用（能力要求）

了解三个定理和依测度收敛的概念。

（三）课后练习作业和思考题：

第一节课后练习P38之2，3，6；抄题