勾股数的探索

勾股数的探索

活动准备：计算器1只、火柴盒1只

活动内容：能够构成直角三角形三条边的边长的3个正整数，称为勾股数，我国古老的数学和天文著作《周髀算经》中，记载的“勾三股四弦五”中的（3，4，5）就是一组最简单的勾股数，显然，这组数的整数倍，如（6，8，10）（9，12，15），（12，16，20）等都是勾股数

当然，勾股数远远不止这些，如（5，12，13）、（8，15，17）等也都是勾股数。

怎样探索勾股数呢？即怎样的一组正整数（a,b,c）才能满足关系式a2+b2=c2?

活动1：

设（a,b,c）为一组勾股数

1.填表：

表1 表2

2.在表1中,a为奇数,正整数b和c之间的数量关系是

c=b+1 ,b、c与a2之间的关系式是

根据以上规律,当a=13时,b=84,c=85

一般地,当a为奇数时,用a分别表示b、c，则b= , c= .

3.表2中,a为大于4的偶数,正整数b、c之间的数量关系是 c =b+2 ，b、c与a2之间的数量关系是a2+b2=c2

根据以上规律，当a=14时，b=48，c=50

一般地，当a为大于4的偶数时，用a分别表示b、c,则b=____________,c=_____________

4.正整数9、12、15是一组勾股数吗？这组数据满足上述规律吗？这说明了什么问题？

活动2；计算与验证

a=m2-n2

1．已知数据b=2mn ①

c=m2+n2

其中m>n,，m、n为正整数.a、b、c为勾股数吗？为什么？

如果a、b、c是一组勾股数，写出你的证明；如果不是勾股数，请说明理由

2.公元前580年～公元前500年。古希腊人毕达哥拉斯给出勾股数的计算公式: 你能证明吗?

a=2n+1

b=2n2+2n （n为正整数）②

c=2n2+2n+1

3.公元前427年～公元前347年.古希腊哲学家柏拉图又给出了勾股数计算公式:

a=n2-1

b=2n (n>1的正整数) ③

c= n2+1

请你给出证明

利用以上3个勾股数的计算公式,我们可以求出无数组勾股数.但这里需要强调的是,用它们求出的勾股数不是所有的勾股数.如公式①不能求出勾股数(9,12,15),公式②不能求出勾股数(8,15,17),公式③不能求出(5,12,13).

活动创新活动3:联想与拓展.

1.如图1,已知四边形ABCD是长方形,AC为对角线,则有AB2+BC2=AC2,即AB、BC、AC满足勾股定理.

D

A

1

图1 图2

如图2,ABCD-A1B1C1D1是长方体.图1中的线段AB、BC、AC分别对应图2中的面ABB1A1、面BCC1B1、面ACC1A1.若长方体的面ABB1A1、面BCC1B1、面ACC1A1的面积分别用γ

β

α、

、表示,则是否有2

2

2γ

β

α=

+仍然成立?请说明理由.

2.如图3,已知四边形ABCD为长方形,直线l分别截AB、CB于点E、F,则有BE2+BF2=EF2.

D

A

1

图3 图4

如图4, ABCD-A1B1C1D1为长方体,一个平面分别截长方体的棱AB、BC、BB1于点M、

N 、G .

图3 中的直线l 对应图4的平面MNG ,图3中直线截长方形的两边所得线段对应图4中平面MNG 截长方体所得三个面BMN 、面BMG 、面BNG .若面MNG 、面BMG 、面BNG 的面积分别用γβαδ、、、表示，请猜一猜2

2

2

2

δγ

β

α

=++是否成立？（不需要说明

理由）

3．是否存在这样的3个整数a 、b 、c ，使它们满足a 3+b 3=c 3

呢？你能进行一番探索吗？试一试。

活动收获 在本次活动中，我们对勾股数进行了深入的探索，由简单的勾股数发现其内在的规律，进而对股数计算公式给出证明，并利用类比思想将平面上的问题引入到空间立体图形上，初步感受到科学思维的价值，对今后的教学学习具有十分重要的指导意义

此外，我还有以下收获：

①学生参与的热情（项目的确定）

②组织学生这次活动有哪些成功之处，关注学生过程中的一些情况（学生的表现 作品）

③教材需改进的方面，组织活动时应注意哪些方面 ④资料建设

A ：活动计划（简案）

B ：课件

C ：活动过程中，后的活动工具及学生的作品

D ：活动小结

（文件材料：电子文档 小结：周一祁）