勾股数的探索
探究：关于勾股定理的那点事(勾股的历史、证明,勾股数探究等)
探究：关于勾股定理的证明的那点事在我国，把直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方这一特性叫做勾股定理或勾股弦定理，这个定理在中国又称为“商高定理”，在外国称为“毕达哥拉斯定理”（Pythagoras Theorem）。
数学公式中常写作a2+b2=c2勾股定理（又称商高定理，毕达哥拉斯定理）是一个基本的几何定理，早在中国商代就由商高发现。
据说毕达哥拉斯发现了这个定理后，即斩了百头牛作庆祝，因此又称“百牛定理”。
勾股定理指出：直角三角形两直角边（即“勾”“股”）边长平方和等于斜边（即“弦”）边长的平方。
也就是说，设直角三角形两直角边为a和b，斜边为c，那么a^2+b^2=c^2 (为了编辑省时，以下“a2”用“a^2”代替)勾股定理现发现约有500种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。
勾股定理其实是余弦定理的一种特殊形式。
我国古代著名数学家商高说：“若勾三，股四，则弦五。
”它被记录在了《九章算术》中。
勾股数组满足勾股定理方程a^2+b^2=c^2的正整数组(a,b,c)。
例如(3,4,5)就是一组勾股数组。
由于方程中含有3个未知数，故勾股数组有无数多组。
勾股数组的通式：a=m^2-n^2b=2mnc=m^2+n^2(m>n,m,n为正整数）推广1、如果将直角三角形的斜边看作二维平面上的向量，将两直角边看作在平面直角坐标系坐标轴上的投影，则可以从另一个角度考察勾股定理的意义。
即，向量长度的平方等于它在其所在空间一组正交基上投影长度的平方之和。
2、勾股定理是余弦定理的特殊情况。
勾股定理定理如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a^2+b^ 2=c^2;；即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
古埃及人利用打结作Rt如果三角形的三条边a，b，c满足a^2+b^2=c^2;，还有变形公式：A B=根号（AC^2+BC^2），如：一条直角边是3，另一条直角边是4，斜边就是3×3+4×4=x×x，x=5。
八年级数学上册《探寻勾股数》教案、教学设计
b.对于基础较好的学生，引导他们深入探索勾股定理的证明过程，提高他们的思维能力和解决问题的能力。
4.精讲多练，巩固知识：在教学过程中，教师应注重讲解与练习的相结合，让学生在解答过程中巩固所学知识，提高解题能力。
5.拓展延伸，培养创新：在学生对勾股定理有了基本掌握后，引导他们探索勾股定理在其他领域中的应用，如物理、工程等，培养学生的创新思维和跨学科素养。
2.提倡学生独立思考，遇到问题可以与同学讨论，但不得直接抄袭他人答案。
3.家长要关注学生的学习情况，协助学生完成实践题和思考题，培养学生的自主学习能力。
4.教师在批改作业时，要关注学生的解题思路和方法，及时给予反馈和指导，帮助学生提高。
2.提高题：尝试完成课本第17页提高题6、7。这两道题目涉及勾股定理的逆向应用，有助于培养学生的逆向思维和解决问题的能力。
3.实践题：结合生活实际，设计一道与勾股定理相关的实际问题，并运用勾股定理解决问题。例如，测量学校旗杆的高度、计算三角形土地的面积等。要求学生将问题、解题过程和答案写成一篇小论文，提高学生的应用能力和写作能力。
在本章节的教学中，要充分考虑到学生的认知水平和心理特点，注重激发学生的兴趣，引导他们通过自主探究、合作交流的方式去发现勾股定理。此外，针对学生在解决问题时可能遇到的困难，教师应适时给予指导，帮助学生克服困难，提高解决问题的能力。
同时，要关注学生的个体差异，对于基础较弱的学生，教师应给予更多的关注和鼓励，帮助他们建立信心；对于基础较好的学生，则可以适当提高要求，引导他们深入挖掘勾股定理的内涵和外延，培养他们的创新思维和解决问题的能力。通过本章节的学习，使学生在掌握勾股定理的基础上，进一步提高数学素养，培养良好的学习习惯和团队合作精神。
探索勾股数规律
小试牛刀
探究点二：勾股数的倍数问题
2倍
3，4，5 5，12，13 8，15，17 7，24，25 6，8，10 10，24，26
3倍
9，12，15 15，36，39
4倍
12，16，20 20，48，52 32，60，68
28，96，100
10倍
30，40，50
50，120，130 80，150，170
5353 ， 6868
，7676
探索勾股数的规律
学习目标：
1、掌握勾股数概念，记住常见勾股数；
2、探索基本勾股数的常见规律，理解其探索 过程； 3、享受探索的乐趣，培养学习数学的过程中 不畏难题，自觉主动探索新知的精神；
预习反馈
1、凡是可以构成一个直角三角形三边的一 组 正整数 ，我们称之为勾股数。
16，30，34
14，48，50
24，45，51
21，72，75
70，240，250
任意倍呢？
小试牛刀
探究点二：勾股数的倍数问题
总结：勾股数的整数倍仍然是 勾股数 。 因此，当有一组数有公因数时，我们可约去 公因数，再来判断这组数是否是勾股数。
提升能力
探究点三：最小边为奇数时，勾股数的一般形式
当n≧1且为正整数时，2n必然为偶数，因此我 们可将最小边表示为2n+1，即a边为2n+1， 2 那么b边则为 2n +2n （用化简后的形式）， c边为 2n2+2n+1 。
总结：当最小边为奇数时，一组勾股数的一般 形式为：2n+1， 2n2+2n ， 2n2+2n+1 。
提升能力
探究点四：最小边为偶数时，勾股数的一般形式
勾股数规律的探究
勾股数规律的探究在直角三角形中，斜边长为c ，两条直角边长分别为a 、b ，那么a 2+b 2=c 2，这个结论通常叫做勾股定理，因为在中国古代，称直角三角形较短的一条直角边为勾，较长的一条直角边为股，斜边为弦．使a 2+b 2=c 2成立的任何三个自然数便组成勾股数，我们知道3，4，5；6，8，10；5，12，13都是勾股数，勾股数有没有规律可循呢？下面我们作一探究．如下表，其中所给的每行的三个数a 、b 、c ，有a ＜b ＜c ，试根据表中已有的数的规律，把b 、c 用a 的代数式表示出来，并写出①当a =2n （n 为大于等于1的整数）时，b 、c 的值；②当n =20时，b 、c观察得出表中已有数的规律为⎩⎨⎧+==+2222b c c b a 由①得（b +c ）（c -b ）=a 2 ③把②代入③得b =42a -1，c =42a +1 当a =2n 时，b =442n -1=n 2-1 c =442n +1=n 2+1 当a =20时，b =102-1=99，c =102+1=101规律：当a 是偶数2n （n 为大于等于1整数）时，b 为n 2-1，c 为n 2+1，不难看出c =b +2，即2n ，n 2-1，n 2+1为勾股数．下面我们再来探究为a 奇数2n +1（n 为大于1的整数）时，勾股数的规律．我们知道3，4，5；5，12，13；7，24，25…都是第一个数为奇数的勾股数，观察得出已有数的规律为⎩⎨⎧+==+1222b c c b a 把②代入①得b =212-a ③ ① ②① ②把③代入②得c=212-a+1=212+a=21 )12(2++n当a=2n+1时，b=21 )12(2-+n，c=21 )12(2++n规律：当a为奇数2n+1（n≥1的整数）时，b为21 )12(2-+n，c为21 )12(2++n，不难看出c=b+1，即2n+1，21 )12(2-+n，21 )12(2++n为勾股数，如25，312，313为勾股数．例给出下列几组数：①6，7，8；②9，40，41；③11，264，266；④14，194，200，其中能组成直角三角形的三条边长的有．解：对于①∵6为偶数，8-7=1不等于2，所以①不能，对于②，因为9为奇数，181-180=1且40=21)18(2-+，所以②能，对于③因为11为奇数，266-264=2不等于1，所以③不能，对于④因为14为偶数，200-194≠2，所以不能．故应填②．点评：由以上例题解答可以看出，利用勾股数的规律解答三边能否构成直角三角形问题比用a2+b2=c2简洁的多，望同学们掌握之．。
探究勾股定理蕴含的秘密
探究勾股定理蕴含的秘密勾股定理是数学中的重要定理之一，被广泛应用于几何学和物理学等领域。
然而，除了其实用性以外，这个定理蕴含了一些深层的秘密。
本文将探究勾股定理所蕴含的三个秘密，以期更深入地了解这一经典定理。
一、几何之美：勾股定理的视觉享受通过勾股定理，我们可以推导出各种美妙的几何关系和性质。
首先，让我们先来感受一下勾股定理的几何之美。
1. 直角三角形的推演勾股定理表达了直角三角形中三条边之间的关系。
假设三角形的两条直角边分别为 a 和 b，斜边为 c。
则根据勾股定理，有：c^2 = a^2 + b^2直角三角形的几何之美在于它的斜边恰好可以表达为两个直角边的平方和的开平方。
这种简洁而优美的表达方式让人赞叹几何学的奇妙。
2. 勾股数的兴趣勾股定理不仅仅局限于直角三角形，还与整数集合之间的关系产生了有趣的联系。
我们将满足勾股定理的三个正整数称为勾股数。
例如，3、4、5就是最小的一组勾股数。
通过勾股定理，我们可以得到无穷多组勾股数。
例如，5、12、13也是一组勾股数。
这种数学的奇迹使得勾股定理蕴含了数学中的宝藏，供我们去探索。
二、数学之美：勾股定理的数学奥秘勾股定理所蕴含的秘密不仅仅是几何学上的，还深藏于数学的奥秘之中。
在这一部分，我们将进一步探究勾股定理的数学之美。
1. 勾股定理的代数证明勾股定理可以通过代数方法进行证明。
例如，我们可以利用平方差公式，将直角三角形的两条直角边的平方和与斜边的平方进行对比，从而证明勾股定理的成立。
这种代数证明方法揭示了勾股定理背后的数学结构和规律，让我们以另一种方式欣赏到数学之美。
2. 勾股定理的数论特性勾股定理还涉及到数论领域的研究。
例如，根据勾股定理，我们可以得知一个奇数的平方必定是奇数，偶数的平方必定是偶数。
这个特性在数论中具有重要影响。
勾股定理的数论特性表明了数学中隐藏的神秘性，引发了人们对数学规律和性质的好奇。
三、哲学之美：勾股定理的深层意义最后，勾股定理所蕴藏的秘密也折射出了哲学上的深层意义。
勾股数规律的探究
勾股数的规律能够组成一个直角三角形的三边长的正整数，叫做勾股数。
如“勾三股四弦为五”（3，4，5）再如常见的（6，8，10）（5，12，13）、（7，24，25），熟记一些勾股数利于我们更快、更准的解决于直角三角形有关的实际问题。
下面就勾股数的三个正整数之间的规律进行探究：规律一：在勾股数（3，4，5）、（5，12，13）、（7，24，25）（9，40，41）中，我们发现由（3，4，5）有： 32=9=4+5由（5，12，13）有： 52=25=12+13由（7，24，25）有： 72=49=24+25由（9，40，41）有： 92=81=40+41.即在一组勾股数中，当最小边为奇数时，它的平方刚好等于另外两个连续的正整数之和。
其论证如下：数a为大于1的正数，则2a+1为奇数数，则有∵（2a+1）2=4a2+4a+1=（2a2+2a）+（2a2+2a+1）∴（2a +1）2+（2a 2+2a）2=（2a2+2a+1）2因此，我们把它推广到一般，从而可得出勾股数公式一：（2a+1，2a2+2a，2a2+2a+1）（a为正整数）或整理为：对于一个大于1的整奇数m,构成的勾股数为（m,,）规律二：在勾股数（6，8，10）、（8，15，17）、（10，24，26）中，我们发现由（6，8，10）有： 62=36=2×（8+10）由（8，15，17）有： 82=64=2×（15+17）由（10，24，26）有： 102=100=2×（24+26）即在一组勾股数中，当最小边为偶数时，它的平方刚好等于两个连续且相差为2的整数之和的二倍。
其论证如下：数a为大于1的正数，则2a为偶数，则有∵（2a）2=4a2=2[（a2-1）+（a2+1）]∴（2a）2+（a2-1）2=（a2+1）2（a≥2且a为正整数）因此，我们把它推广到一般，从而可得出勾股数公式二：（2a，a2-1，a2+1）（a≥2且a为正整数）或整理为：对于一个大于1的整偶数m,构成的勾股数为（m,,）。
勾股数的相关探究
对勾股数的相关探究摘要本篇论文是对勾股数及定理的相关探究，在探究的过程中我主要围绕以下这五个问题：1.谁发现了勾股定理？2.勾股定理的证明有多少？3.如何寻找勾股数？4.勾股数有哪些特征？5.勾股世界妙处何在？在整篇文章中其网络资源非常丰富，而且对这五个问题的解决起到非常重要的作用，接下来我就这五个问题做出详细的解答。
关键词：勾股数、勾股定理、特征1、看历史，谁发现了勾股定理？根据考古发现及其他史籍记载，周代的天文测量历算达到《周髀》所描述的水平完全可能。
《周札》卷十《地官。
大司徒》有如下记载：“正日景（同”影“）以求地中，日南则景短，多暑；日北则景长，多寒”，“日至之景尺有五寸，谓之地中”。
而《周髀》说：“立竿测影……法曰：周髀长八尺，勾之损益，寸千里。
”两者何其相似。
曹魏著名数学家刘徽在《九章算术注》的序中指出，周代设有“大司徒”职，任务之一就是在夏至日立表观测日地距。
至今河南登封县还有周代观景台遗址。
《周髀》中周公称商高为“善数”的“大夫”，说明商高完全可能是主管天文测量和历算的官员。
《周髀》中荣方对陈子说：“今者窃闻夫子之道，知日之高大。
光之所照，一日所行，远近之数，人所望见，四极之穷，列星之宿，天地之广袤。
夫子之道，皆能知之。
”可见陈子也是精通天文历算的学者。
顺便指出，大约也在公元前6世纪，被西方誉为“测量之租”的塔利斯曾利用日影测量金字塔高，埃及王惊叹不已。
其实金字塔在地面，既可走近，又能攀登，与陈子测2、再思考，勾股定理的证明有多少？勾股定理的证明勾股定理是几何学中的明珠，所以它充满魅力，千百年来，人们对它的证明趋之若骛，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，有普通的老百姓，也有尊贵的政要权贵，甚至有国家总统。
也许是因为勾股定理既重要又简单，更容易吸引人，才使它成百次地反复被人炒作，反复被人论证。
1940年出版过一本名为《毕达哥拉斯命题》的勾股定理的证明专辑，其中收集了367种不同的证明方法。
苏科版八年级上册数学 3.4数学活动 探寻勾股数 教案
教学内容探寻“勾股数”教学目标知识与能力1．理解勾股数定义，了解其中规律，会判断和构造勾股数过程与方法2．经历探索分析的过程，从特殊到一般发现部分勾股数的内在规律情感与态度3．感受数学规律的内在奥秘，激发探索数学的兴趣教学重点勾股数的特征教学难点利用勾股数特征构造勾股数教具学具多媒体课件白板教学过程教师活动学生活动设计意图一、数学史，引入新课一、勾股定理史中国古代勾股定理在初中课本中就学习过，其内容如下：“在直角三角形中，斜边（弦）的平方等于两直角边（短者叫勾，长者叫股）平方的和．”约在公元前100年成书的我国现存最古的一部数学典籍《周髀算经》中记载，在公元前1100多年我国数学家商高与周公谈话中就明确提出了“勾广三，股修四，弦隅五”，且在同一书中记载的荣方与陈子的问答中，更谈到由勾股求弦的一般方法是“勾股各自乘，并而开方除之”，可见已给出了普遍的勾股定理．正因为商高首先提出了勾股定理，不少人把该定理称之为商高定理．国外在商高定理的研究方面作出贡献的除中国古代数学家外，还有许多别的国家和民族的数学家，特别是古希腊、埃及、印度的数学家．公元前六世纪，古希腊数学家毕达哥拉斯（公元前582年——前497年）是西方第一个证明勾股定理的人，国外常称其为毕达哥拉斯定理。
阅读PPT，感受勾股定理。
生活中蕴藏着很多有趣的知识，从中外数学史引入，鼓励学生善于观察，激发探索学习的乐趣。
二、数学活动探索1.活动引入满足关系的3个正整数，问题：1.勾股数有多少？2.请尽可能多地写出来。
3.勾股数有规律吗？齐答勾股数概念学生随机作答，并展出，问题3进行探索。
回顾勾股数概念三个问题，逐层递进，引出本节课的研究内容勾股数特征。
二. 师生互动探索研究2.活动1设是一组勾股数将学生所写的勾股数随机选取，放在屏幕上。
为了便于研究勾股数，相同整数倍的勾股数，研究时只选择最小的那一组，下面来选取合适的勾股数。
提问：请观察勾股数组，有何发现？活动2设是一组勾股数，填表表1表2规律一表1，a为奇数，正整数b,c之间的关系：b=c-1a,b,c之间的关系：a2＝b＋c规律二学生组内分析，提出探索方法。
数序活动探寻“勾股数”-苏科版八年级数学上册教案
数序活动探寻“勾股数”-苏科版八年级数学上册教案一、教材分析本教案根据苏科版八年级数学上册的教学内容编写而成，教学内容顺序为：数列基本概念 -> 数列的通项公式 -> 数列求和 -> 勾股数。
其中，勾股数是数学中一个重要的概念，也是初中数学中的经典问题之一。
勾股数是指一个直角三角形的两条直角边的长度都是整数，斜边的长度也是整数。
例如，3、4、5就是一组勾股数，因为32+42=52。
二、教学目标1.了解数列基本概念。
2.掌握数列的通项公式和求和公式。
3.了解勾股数的概念和特点。
4.能够寻找勾股数并进行验证。
5.通过探究勾股数的性质，初步了解数学证明的方法。
三、教学内容和方法1. 数列基本概念学生通过对数列的定义和数列的表示方法的学习，掌握数列的基本概念。
通过课堂上的讨论，帮助学生理解数列的概念。
方法：课堂讨论。
2. 数列的通项公式和求和公式学生通过重点讲解数列的通项公式和求和公式的推导和运用，深入理解数列的数字规律及其推导方法。
方法：通过讲解和分组实践。
3. 勾股数的探索学生在学习勾股数前，先探究一下最小的勾股数构成的三角形是什么样子的，以此引导学生理解勾股数的基本概念。
方法：小组讨论，展示自己构造的勾股数三角形并进行验证。
4. 勾股数的性质学生通过探究勾股数的性质，初步了解数学证明的方法，并能发现勾股数之间的一些关系。
方法：教师提出问题，学生通过小组合作解决，然后在课堂上进行讨论。
四、教学流程1. 数列基本概念•通过例题引出数列的概念。
•介绍等差数列、等比数列等常见数列。
•提出数列的表示方式。
2. 数列的通项公式和求和公式•以等差数列为例，引出通项公式、求和公式的定义和公式表达。
•通过推导过程介绍通项公式、求和公式的使用方法。
•分组实践中让学生自己尝试推导一些简单的数列通项公式和求和公式。
3. 勾股数的探索•提出勾股数的概念，并引出最小的勾股数。
•学生通过小组讨论，构造出最小勾股数组成的三角形。
勾股定理-探索勾股定理
勾股定理-探索勾股定理要点一、勾股定理直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．如果直角三角形的两直角边长分别为a b ，，斜边长为c ，那么222a b c +=．要点诠释：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系．（2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的．（3）理解勾股定理的一些变式： 222a c b =-，222b c a =-， ()222c a b ab =+-．补充：平方数例1、在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ．（1）若a ＝5，b ＝12，求c ；（2）若c ＝26，b ＝24，求a ．例2．若直角三角形的三边长分别为2，4，x ，则x 的值可能有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个举一反三：1.在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ．（1）已知b ＝6，c ＝10，求a ；（2）已知:3:5a c =，b ＝32，求a 、c ．2．Rt △ABC 中，斜边BC ＝2，则222AB AC BC ++的值为( )A ．8B ．4C ．6D ．无法计算 3.在Rt △ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别是c b a ,,，若3=a ，4=b ，则 2c =要点二、勾股数满足222c b a =+的三个正整数，称为一组勾股数常见的勾股数有：3,4,5；5,12,13；6,8,10；7,24,25；8,15,17等注：勾股数的任意正数倍仍然满足勾股定理例1: 在下列数组①3，4，5；②4，5，6；③5，12，13；④6，8，10；⑤7，40，41；⑥8，15，17；⑦10，24，26 中，勾股数组有：______________要点三、勾股定理的证明方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形．图（1）中，所以．方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形．图（2）中，所以．方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形．，所以．例1、阅读下面的材料勾股定理神秘而美妙，它的证法多种多样，下面是教材中介绍的一种拼图证明勾股定理的方法．先做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边分别为a，b，斜边为c，然后按图1的方法将它们摆成正方形．由图1可以得到（a+b）2=4×，整理，得a2+2ab+b2=2ab+c2．所以a2+b2=c2．如果把图1中的四个全等的直角三角形摆成图2所示的正方形，请你参照上述证明勾股定理的方法，完成下面的填空：由图2可以得到，整理，得，所以．要点四、勾股定理的作用1.已知直角三角形的任意两条边长，求第三边例1．如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，AC=20，CD=12，BD=9．求AB与BC的长．例2．如图，△ABC中，AB=AC,AD是∠BAC的平分线.已知AB=5，AD=3，则BC的长为（）A．5 B．6C．8D．10举一反三：1．如图，已知在△ABC中，CD⊥AB于D，AC=8，BC=5，DB=3．（1）求DC的长；（2）求AB的长．2.如图，∠B=∠ACD=90°，BC=3，AD=13，CD=12，求AB的长2.与勾股定理有关的面积计算例1．我们已经知道，以直角三角形a，b，c为边，向外分别作正方形，那么S1+S2=S3．如图，如果以直角三角形三条边为直径向外作半圆，是否也存在S1+S2=S3？如果以三条边向外作等边三角形呢？例2．求出下列各图中阴影部分的面积（单位：cm2）．例3．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，求正方形A，B，C，D的面积的和．变式练习：1．如图，分别以直角三角形的三边作三个半圆，且S1=30，S2=40，则S3等于（）2.如图中字母A所代表的正方形的面积为（）A．4 B．8 C．16 D．643.如图，带阴影的长方形面积是（）A．9cm2B．24cm2 C．45cm2 D．51cm24．如图所示，三个正方形中两个的面积分别为S1=100，S=64，则中间的正方形的面积S3为（）2A.36B.60C.24D.485.如图，所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形，已知S1=4，S2=9，S =8，S4=10，则S=（）3A.25B.31C.32D.403.勾股定理在实际生活中的应用．例1.如图所示，一棵大树在一次强烈台风中于离地面9米处折断倒下，树顶落在离树根1 2米处．大树在折断之前高多少？例2.台风过后，一希望小学的旗杆在离地某处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部8米处，已知旗杆原长16米，求旗杆在什么位置断裂的？例3．如图，有两棵树，一棵高8m，另一棵高2m，两树相距8m，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少要飞______m．举一反三：1.如图，有一只小鸟从小树顶飞到大树顶上，请问它飞行的最短路程是多少米（先画出示意图，然后再求解）．2.如图，两根直立的竹竿相距6m，高分别为4m和7m．求两竹竿顶端间的距离AD．3.一木杆在离地面3m处折断，木杆顶端落在离木杆底端4m处，木杆折断以前有多少米？。
《探索勾股定理》教案设计从勾股定理到勾股数的进阶
一、教案设计概述1.1 教学目标（1）理解勾股定理的概念及含义；（2）掌握勾股定理的证明方法；（3）探索勾股数的性质及应用；（4）培养学生的逻辑思维能力、创新能力和团队协作能力。
1.2 教学内容（1）勾股定理的定义及历史背景；（2）勾股定理的证明方法；（3）勾股数的定义及性质；（4）勾股数在实际问题中的应用。
1.3 教学策略采用问题驱动的教学方法，引导学生通过自主学习、合作探讨的方式，深入理解勾股定理及其应用。
利用数学软件和互联网资源，丰富教学手段，提高学生的学习兴趣。
二、教学过程2.1 导入新课（1）利用数学软件展示勾股定理的动画效果，引导学生关注勾股定理；（2）提问：什么是勾股定理？它有什么含义？2.2 自主学习（1）让学生自主探究勾股定理的证明方法，鼓励学生发挥创意，尝试不同的证明思路；（2）学生展示证明成果，教师点评并总结。
2.3 合作探讨（1）引导学生探讨勾股数的定义及性质；（2）举例说明勾股数在实际问题中的应用；（3）学生分组讨论，分享讨论成果。
2.4 练习巩固（1）设计相关练习题，让学生巩固所学知识；（2）教师批改练习题，及时反馈错误，引导学生纠正。
三、教学评价3.1 过程性评价（1）观察学生在自主学习和合作探讨过程中的表现，评价其学习态度、创新能力和团队协作能力；（2）评价学生在练习巩固中的表现，关注其知识掌握程度。
3.2 总结性评价（1）期末考试中关于勾股定理的试题；四、教学资源4.1 教材《数学与应用》、《数学分析》等教材。
4.2 网络资源（1）数学课件、动画、视频等教学素材；（2）相关学术文章、研究报告。
五、教学进度安排5.1 第一课时（1）导入新课；（2）自主学习：探究勾股定理的证明方法；（3）合作探讨：探讨勾股数的定义及性质。
5.2 第二课时（1）合作探讨：举例说明勾股数在实际问题中的应用；（2）练习巩固：设计相关练习题，让学生巩固所学知识。
5.3 第三课时（1）总结本章内容；（2）布置课后作业；（3）开展课后辅导，解答学生疑问。
勾股数顺口溜及常用的套路
勾股数顺口溜及常用的套路
当然，以下是一个常见的勾股数顺口溜：
勾股数真高兴，算出来更神奇。
三边长相乘积，有斜边平方的定理。
这个顺口溜简明地描述了勾股定理，即直角三角形的两个直角边长的平方和等于斜边长的平方。
关于常用的套路，以下是一些常见的方法和技巧来寻找勾股数：
1. 3-4-5套路：直角三角形的边长可以是3、4和5的整数倍，例如3-4-5、6-8-10、9-12-15等。
2. 辗转相除法：通过辗转相除法可以找到较小的整数勾股数。
将两个整数a 和b的平方和c的平方加起来，然后找到a和b的最大公约数，将a和b同时除以最大公约数，得到a'和b'，则a'^2 + b'^2 = (a^2 + b^2) / (最大公约数)^2。
3. 通过勾股数的倍数：如果已经知道一个勾股数，可以通过将其乘以任意整数来获得更大的勾股数。
例如，如果已知3-4-5是一个勾股数组合，那么可以通过将每个数字乘以2得到6-8-10，乘以3得到9-12-15等。
4. 利用平方数：可以利用平方数的性质来求勾股数。
例如，如果遇到一个数字是平方数并且存在勾股数的可能，可以尝试将其分解成两个平方数的和。
这些是一些常用的套路和方法！。
探索勾股数的规律
探索勾股数的规律初中数学讲到直角三角形就离不开它的三边关系的一个重要定理：勾股定理;如果直角三角形的三边a 、b 、ca ﹤b ﹤c,由勾股定理可知：222a b c +=,其中a 为勾,b 为股,c 为弦;若它们都为整数时,则它们称为一组数;如何求得一组勾股数呢勾股数有多少组呢为此我们可以在以下四个方面来研究这些问题;一、当勾为奇数时,探求勾股数的规律2、归纳规律：1每组中a 都是奇数；22a b c =+,212a b -=；3c = b+1,212a c +=.由此可得第n 组当a=2n+1时2221(21)12222a nb n n -+-===+ 于是有第n 组勾股数为2n+1、2n 2+2n 、2n 2+2n+1n 为正整数; 3、证明：∵22222(21)(22)a b n n n +=+++ ∴222a b c +=∴2n+1、222n n +、2221n n ++n 为正整数是一组勾股数; 4、此种形式勾股数的另一种规律表现形式：化简后即为：a 、b 、c 分别为2n+1、222n n +、2221n n ++;3证明过程：同前面的证明;二、当勾为偶数是,探求勾股数的规律2、 归纳规律：1、每组中a 勾是偶数第一组较特殊：勾比股大；2、2214,22a abc b -=+=⨯3、2c b =+242a +=由此可得第n 组中的2(1)a n =+时,则：或22c=b+2=(n 2n)+2=n 2n+2++,于是有第n 组勾股数为2(1)n +、22n n +、222n n ++n 为正整数;3、 证明： ∵22222[2(1)](2)a b n n n +=+++ ∴222a b c +=∴2n+1、22n n +、n 2+2n+2n 为正整数是一组勾股数;三、运用配方法探求勾股数的规律1、a 勾、b 股、c 弦用含有m 、n 两个不同的正整数且m ＞n 的代数式表示： 此时,它们也是一组勾股数;2、证明：∵222222()(2)a b m n mn +=-+∴222a b c +=∴22m n -、2mn 、22m n +m 、n 表示两个不同的正整数且m ＞n 是一组勾股数;四、运用已知勾股数探求勾股数的规律1、如果a 、b 、c 是一组勾股数,那么na 、nb 、ncn 为正整数也是一组勾股数;例如一组勾股数是3、4、5,当n=2时那么得到另一组勾股数为6、8、10;2、证明：∵222a b c +=∴222222()()na nb n a n b +=+∴如果a 、b 、c 是一组勾股数,那么na 、nb 、ncn 为正整数也是一组勾股数;说明：在等腰直角三角形中因为a=b,因此22222a b a c +==得c =,所以a 、b 、c不可能都为整数;即等腰直角三角形三边长组成的不是一组勾股数;综上所述得以下勾股数的四种表现形式：★ 2n+1、222n n +、2221n n ++n 为正整数是一组勾股数; ★ 2n+1、n 2+2n 、n 2+2n+2n 为正整数是一组勾股数;★ 22m n -、2mn 、22m n +m 、n 表示两个不同的正整数且m ＞n 是一组勾股数; ★ 如果a 、b 、c 是一组勾股数,那么na 、nb 、ncn 为正整数也是一组勾股数;我们从中任取一种形式来,给出其中字母所示符合条件的值时即可求得一组勾股数; 每种形式也可求出无数组勾股数,所以勾股数的组数也就是无数个了;。
《探索勾股定理》教案设计从勾股定理到勾股数的进阶
《探索勾股定理》教案设计从勾股定理到勾股数的进阶一、教学目标知识与技能：1. 理解勾股定理的含义，掌握勾股定理的证明方法。
2. 学会运用勾股定理解决实际问题，如直角三角形的边长计算。
3. 了解勾股数的概念，能找出常见的勾股数。
过程与方法：1. 通过观察、操作、思考、探究等活动，培养学生的空间观念和几何思维能力。
2. 学会用列表、画图等方法寻找勾股数，提高学生的问题解决能力。
情感态度价值观：1. 培养学生对数学的兴趣和好奇心，激发学生学习数学的积极性。
2. 培养学生勇于探究、合作交流的精神，提高学生的团队协作能力。
二、教学内容1. 勾股定理的定义与证明2. 勾股定理的应用3. 勾股数的定义及寻找方法4. 勾股数在实际问题中的应用5. 拓展练习与思考三、教学重点与难点重点：1. 勾股定理的理解和应用。
2. 勾股数的寻找和判断。
难点：1. 勾股定理的证明方法。
2. 勾股数的规律及其应用。
四、教学方法1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生主动探究、发现和解决问题。
2. 利用多媒体课件、实物模型等教学资源，帮助学生直观地理解勾股定理。
3. 组织小组讨论，鼓励学生发表自己的观点和想法，培养学生的团队协作能力。
4. 采用循序渐进的教学原则，由浅入深地引导学生掌握勾股定理及其应用。
五、教学过程1. 导入新课：通过一个有趣的数学故事引入勾股定理，激发学生的学习兴趣。
2. 讲解勾股定理：讲解勾股定理的定义、证明方法及其应用，让学生理解和掌握勾股定理。
3. 探索勾股数：引导学生通过列表、画图等方法寻找勾股数，并讲解勾股数的判断方法。
4. 实践应用：让学生尝试解决一些与勾股定理和勾股数有关的实际问题，巩固所学知识。
5. 拓展练习与思考：布置一些有关勾股定理和勾股数的练习题，引导学生深入思考，提高问题解决能力。
6. 总结与反思：对本节课所学内容进行总结，强调勾股定理和勾股数的重要性，激发学生继续学习数学的兴趣。
7. 作业布置：布置一些有关勾股定理和勾股数的作业，巩固所学知识。
勾股数的3条规律总结
勾股数的3条规律总结1、第一组勾股数3，4，55，12，137，24，259，40，4111，60，6113，84，8515，112，113首先发现其最小值为奇数，而另外两数是连续正整数。
我们用乘方进行尝试。
先给暂时没看出关系的最小值进行乘方。
3²=9，5²=25，7²=49大家有没有发现，在第一列数据中，每组数的较大两数之和正好等于这组数最小值的平方。
即：3²=9=4+5，5²=25=12+13，7²=49=24+25我们再试几组进行验证。
9²=81=40+41，11²=121=60+61目前看来这个规律是正确的。
我们再次注意到开始时发现的规律：第一列中每组数较大两数差为一。
那么总结这两点就可初步发现以下规律：一个正奇数(除1外)与两个和等于此正奇数平方的连续正整数是一组勾股数。
设n为一正奇数(n≠1)，那么以n为最小值的一组勾股数可以是:n，(n²-1)/2，(n²+1)/2。
2、第二组勾股数6，8，108，15，1710，24，2612，35，3714，48，5016，63，6518，80，82我们如法炮制，首先发现第二组数据均以偶数为最小数，而另外两数是差为2的正整数。
似乎也只能看出这么多，那我们继续用最小数乘方对比另外两数之和进行尝试。
6²=36，10+8=188²=64，15+17=3210²=100，24+26=50这次好像是后两数之和的二倍等于最小数平方？我们进行更多尝试。
12²=144=2(35+37)，14²=196=2(48+50)初步看来规律正确，那我们还是用代数式验证一下普遍性吧：设m为一正偶数(m≠0,m≠2,m≠4)，那么以m为最小值的一组勾股数可以是：m，(m²/4)-1，(m²/4)+1验证：[(m²/4)+1]²-[(m²/4)-1]²=[(m²/4)²+m²/2+1]-[(m²/4)²-m²/2+1]=(m²/4)²+m²/2+1-(m²/4)²+m²/2-1=m²验证成功，可总结为以下规律：当一个正偶数为最小值时，它(除0,2和4)与两个和之二倍等于此正偶数平方的差为一的正整数是一组勾股数。
探索勾股数规律
勾股定理也是数学史上的一个里程碑，标志着人类对于数与形之间关系的 深入理解。
勾股数与人类文明的关系
勾股定理在建筑、工程、天文等领域中都有着广泛的应用，是人类文明发展的重要 支撑。
勾股定理也是数学教育中的重要内容，对于培养学生的逻辑思维和数学素养具有重 要意义。
勾股数在物理学中的应用
力学中的应用
在物理学中，勾股定理可以用于解决与力矩、力臂、杠杆平衡等 相关的力学问题。
光学中的应用
在光学中，勾股定理可以用于计算光的折射角、反射角等，以及解 决与光学仪器相关的几何问题。
电磁学中的应用
在电磁学中，勾股定理可以用于计算电场强度、磁场强度等物理量 ，以及解决与电磁波传播相关的几何问题。
勾股数迭代法
总结词
计算机编程，适用于大量数值
详细描述
通过计算机编程实现迭代计算，不断寻找满足勾股定理的勾和股的数值。这种方法适用 于大量数值的计算，能够快速得到大量的勾股数。但需要一定的编程基础和算法设计能
力。
03
CATALOGUE
勾股数的规律探索
勾股数与奇偶性的关系
总结词
勾股数与奇偶性之间存在一定的规律， 即勾股数中的勾和股都是奇数，而弦是 偶数。
勾股数在计算机科学中的应用
计算机图形学中的应用
在计算机图形学中，勾股定理可以用于计算 二维或三维图形中的角度、距离等几何量， 以及进行图形变换和动画制作。
计算机算法中的应用
在计算机算法中，勾股定理可以用于优化计 算过程和提高算法效率，例如在计算两点之 间的距离时可以使用勾股定理进行简化计算
。
05
探索勾股数规律
《探索勾股定理》教案设计从勾股定理到勾股数的进阶
《探索勾股定理》教案设计从勾股定理到勾股数的进阶教案章节：一、引言【教学目标】1. 了解勾股定理的背景和意义。
2. 掌握勾股定理的表述和证明。
【教学内容】1. 介绍勾股定理的历史背景。
2. 讲解勾股定理的表述和证明方法。
【教学方法】1. 采用讲授法讲解勾股定理的背景和证明方法。
2. 引导学生通过小组讨论，探索勾股定理的应用。
教案章节：二、勾股定理的证明【教学目标】1. 掌握勾股定理的证明方法。
2. 能够运用勾股定理解决实际问题。
【教学内容】1. 讲解勾股定理的几种证明方法。
2. 运用勾股定理解决实际问题。
【教学方法】1. 采用演示法和实验法讲解勾股定理的证明方法。
2. 运用案例教学法，引导学生运用勾股定理解决实际问题。
教案章节：三、勾股数的定义和性质【教学目标】1. 了解勾股数的定义和性质。
2. 能够判断一个数是否为勾股数。
【教学内容】1. 介绍勾股数的定义和性质。
2. 讲解如何判断一个数是否为勾股数。
【教学方法】1. 采用讲授法讲解勾股数的定义和性质。
2. 运用小组讨论法，引导学生探究勾股数的判断方法。
教案章节：四、探索勾股数【教学目标】1. 能够发现勾股数的规律。
2. 能够运用勾股数解决实际问题。
【教学内容】1. 引导学生探索勾股数的规律。
2. 运用勾股数解决实际问题。
【教学方法】1. 采用探究法和案例教学法引导学生探索勾股数的规律。
2. 运用案例教学法，引导学生运用勾股数解决实际问题。
【教学目标】2. 能够运用勾股定理和勾股数解决更复杂的问题。
【教学内容】2. 讲解如何运用勾股定理和勾股数解决更复杂的问题。
【教学方法】2. 采用案例教学法，引导学生运用勾股定理和勾股数解决更复杂的问题。
教案章节：六、应用勾股定理解决实际问题【教学目标】1. 能够将勾股定理应用于解决实际问题。
2. 提高运用数学知识解决实际问题的能力。
【教学内容】1. 介绍勾股定理在实际问题中的应用。
2. 分析并解决具体的实际问题。
几类特殊勾股数的探索
几类特殊勾股数的探索勾股数是指满足222c b a =+的三个正整数．．．a 、b 、c,但不一定满足222c b a =+的数a 、b 、c 都是勾股数.利用好勾股数可以迅速判别直角三角形，从而利用直角三角形的性质解题.下面例举几类特殊的勾股数可供同学们一起探索.一、勾股数为三个连续正整数的探索在我国古书《周脾算经》中记载着“勾三股四弦五”的说法，事实上，3，4，5就是一组三个连续正整数的勾股数.除此之外还有其他满足条件的数组吗？经过验证，勾股数为三个连续正整数只有3，4，5.二、勾股数为三个连续偶数的探究同学们都知道6，8，10是一组三个连续偶数的勾股数，除此之外还有其它满足条件的数组吗？经过验证，勾股数为三个连续偶数的只有6,8,10.说明：关于上述的两个结论同学们只需要了解就是了，因为验证过程涉及到同学们还没学过的知识，所以此处从略.）三、勾股数的正整数倍数仍然是勾股数的探究从一、二的探究中可以发现：一组勾股数3，4，5的2倍6，8，10仍然是一组勾股数.那么任意一组勾股数的正整数倍是否还是一组勾股数呢？下面我们可以进行一下验证： 设三个正整数a 、b 、c 满足222c b a =+，三边的正整数倍数分别为ka 、kb 、kc （k ＞0）， 所以222)()()(kc kb ka =+=222222)()(kc c k b a k ==+.所以任意一组勾股数的正整数倍还是一组勾股数. 四、勾股数的探究例 若m 为奇数（m ≥3）,则a=m, b=)1(212-m 和c=)1(212+m 是一组勾股数. （1）说明以a 、b 、c 为三边的三角形是直角三角形；（2）请按规律填写下表；(3) 能说说其中规律吗？解：（1）说明略，请同学们自己完成.（2）上表中m 为奇数,且m ≥3,而表中已将m=3，5，11填如，显然，按规律，表 中第一行应填7，9；第二行应填24，40；第三行应填25，41.（3）可以发现：“勾”均为奇数，“股、弦”是两个相邻的整数，且勾的平方=股+弦.练习：1.下面几组数是勾股数的有（ ）①0.6，0.8，1 ②34,1, 35 ③30，40，50 ④7，8，9 A.4组 B.3组 C.2组 D.1组2.给出一组式子：222543=+,2221068=+,,17815222=+222261024=+,…. 根据上述式子中的规律，第五个式子是 .答案提示：1.D2. 222371235=+.。
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勾股数的探索
活动准备：计算器1只、火柴盒1只
活动内容：能够构成直角三角形三条边的边长的3个正整数，称为勾股数，我国古老的数学和天文著作《周髀算经》中，记载的“勾三股四弦五”中的（3，4，5）就是一组最简单的勾股数，显然，这组数的整数倍，如（6，8，10）（9，12，15），（12，16，20）等都是勾股数
当然，勾股数远远不止这些，如（5，12，13）、（8，15，17）等也都是勾股数。
怎样探索勾股数呢？即怎样的一组正整数（a,b,c）才能满足关系式a2+b2=c2?
活动1：
设（a,b,c）为一组勾股数
1.填表：
表1 表2
2.在表1中,a为奇数,正整数b和c之间的数量关系是
c=b+1 ,b、c与a2之间的关系式是
根据以上规律,当a=13时,b=84,c=85
一般地,当a为奇数时,用a分别表示b、c，则b= , c= .
3.表2中,a为大于4的偶数,正整数b、c之间的数量关系是 c =b+2 ，b、c与a2之间的数量关系是a2+b2=c2
根据以上规律，当a=14时，b=48，c=50
一般地，当a为大于4的偶数时，用a分别表示b、c,则b=____________,c=_____________
4.正整数9、12、15是一组勾股数吗？这组数据满足上述规律吗？这说明了什么问题？
活动2；计算与验证
a=m2-n2
1．已知数据b=2mn ①
c=m2+n2
其中m>n,，m、n为正整数.a、b、c为勾股数吗？为什么？
如果a、b、c是一组勾股数，写出你的证明；如果不是勾股数，请说明理由
2.公元前580年～公元前500年。
古希腊人毕达哥拉斯给出勾股数的计算公式: 你能证明吗?
a=2n+1
b=2n2+2n （n为正整数）②
c=2n2+2n+1
3.公元前427年～公元前347年.古希腊哲学家柏拉图又给出了勾股数计算公式:
a=n2-1
b=2n (n>1的正整数) ③
c= n2+1
请你给出证明
利用以上3个勾股数的计算公式,我们可以求出无数组勾股数.但这里需要强调的是,用它们求出的勾股数不是所有的勾股数.如公式①不能求出勾股数(9,12,15),公式②不能求出勾股数(8,15,17),公式③不能求出(5,12,13).
活动创新活动3:联想与拓展.
1.如图1,已知四边形ABCD是长方形,AC为对角线,则有AB2+BC2=AC2,即AB、BC、AC满足勾股定理.
D
A
1
图1 图2
如图2,ABCD-A1B1C1D1是长方体.图1中的线段AB、BC、AC分别对应图2中的面ABB1A1、面BCC1B1、面ACC1A1.若长方体的面ABB1A1、面BCC1B1、面ACC1A1的面积分别用γ
β
α、
、表示,则是否有2
2
2γ
β
α=
+仍然成立?请说明理由.
2.如图3,已知四边形ABCD为长方形,直线l分别截AB、CB于点E、F,则有BE2+BF2=EF2.
D
A
1
图3 图4
如图4, ABCD-A1B1C1D1为长方体,一个平面分别截长方体的棱AB、BC、BB1于点M、
N 、G .
图3 中的直线l 对应图4的平面MNG ,图3中直线截长方形的两边所得线段对应图4中平面MNG 截长方体所得三个面BMN 、面BMG 、面BNG .若面MNG 、面BMG 、面BNG 的面积分别用γβαδ、、、表示，请猜一猜2
2
2
2
δγ
β
α
=++是否成立？（不需要说明
理由）
3．是否存在这样的3个整数a 、b 、c ，使它们满足a 3+b 3=c 3
呢？你能进行一番探索吗？试一试。
活动收获 在本次活动中，我们对勾股数进行了深入的探索，由简单的勾股数发现其内在的规律，进而对股数计算公式给出证明，并利用类比思想将平面上的问题引入到空间立体图形上，初步感受到科学思维的价值，对今后的教学学习具有十分重要的指导意义
此外，我还有以下收获：
①学生参与的热情（项目的确定）
②组织学生这次活动有哪些成功之处，关注学生过程中的一些情况（学生的表现 作品）
③教材需改进的方面，组织活动时应注意哪些方面 ④资料建设
A ：活动计划（简案）
B ：课件
C ：活动过程中，后的活动工具及学生的作品
D ：活动小结
（文件材料：电子文档 小结：周一祁）。