高等数学 隐函数求导

--------对数求导法 适用范围:
对数求导法，可用来求幂指函数和多个因子连乘积
函数、开方及其它适用于对数化简的函数的求导
例4. 求
解: 两边取对数 , 化为隐式
的导数 .
两边对 x 求导
1 y
y
cos
x
ln
x
sin x
x
y xsin x(cos x ln x sin x ) x
求
解:
x f (t) y t f (t)
f (t) , 且
f (t) 0,求
d2 dx
y
2
.
解: d y t f (t) t , d x f (t)
d2 y d x2
1
f (t)
练习:
求 dy , d2y . dx dx2
解:
dy dx
1; t
d2 y d x2
1
t 2t
1 t3
内容小结
1. 隐函数求导法则
0
y
x2
y
3 2
3
9 x 16 y
x2
y
3 2
3
3 4
故切线方程为
y 3 3 3 (x 2)
2
4
即
练习：求由方程
确定的隐函数
的一阶导数
二阶导数
解: 方程两边对 x 求导， 得
dy 2 dx 2 cos y
பைடு நூலகம்
d( 2 ) dx 2 cos y
2sin y y (2 cos y)2
3、曲线
x y
t t
cos t sin t
在t
p
2
处的法线方程________.
4、已知
x
et
cos
t
,则 dy
=______；dy
=______.
y e t sin t dx
dx tp
3
5、设 xy e x y,则dy =________. dx
二、求下列方程所确定的隐函数y 的二阶导数d 2 y ：
,求
解：方程组两边同时对 t 求导, 得
dy d x t0
一、填空题：
练习题
1、设 x 3 2x 2 y 5 xy 2 5 y 1 0确定了 y 是 x 的函
数，则dy =________. dx (1,1)
2、曲线 x 3 y 3 xy 7在点（1，2）处的切线方程 是___________.
(含导数 y的方程)
例1. 求由方程
在 x = 0 处的导数 解: 方程两边对 x 求导
确定的隐函数
得
5y4 d y 2 d y 1 21x6 0
dx dx
dy dx
1 21x6 5y4 2
因x=0时y=0, 故
例2. 求椭圆
在点
处的切线方程.
解: 椭圆方程两边对 x 求导
x 8
2 9
y
y
2 sin (2 cos
y y)2
2 2 cos
y
4sin y (2 cos y)3
隐函数求高阶导数
法1: 由隐函数直接求出一阶导数,用一阶导 数的显式继续求导.
法2: 反复用隐函数的表达式直接求n阶导数.
例3 解
练习 设
由方程
确定 , 求
解: 方程两边对 x 求导, 得
ey y y x y 0
直接对方程两边求导
2. 对数求导法 :
适用于幂指函数及某些用连乘, 连除表示的函数
3. 参数方程求导法 求高阶导数时,从低到高每次都用参数方程求导公式
思考与练习
1. 设
且 存在，求
由方程
确定,
解: 方程两边对x 求导, 得
f (x3 y3)(3x2 3y2 dy ) 3cos 3x 6 dy 0
dx
dx
cos 3x f (x3 y3) x2 f (x3 y3) y2 2
解 解得
作业 P82 1(2)(3) ; 2 ; 4 (2) (4) ;
5 (1) (2); 6 (2) ; 8
第五节
思考题
1. 设 解: 方法1
求其反函数的导数 .
方法2 等式两边同时对 求y导
2. 设
dx 2
1、
；
2、
；
3、x y y x ( x > 0，y > 0).
三、用对数求导法则求下列函数的导数： 1、y x x2；
2、y
x 2(3 x)4 ； ( x 1)5
3、 y x sin x 1 e x .
四、求下列参数方程所确定的函数的二阶导数d 2 y ： dx 2
1、
x y
x (t)
dy (t) ,可得 dx (t)
d2 y d x2
d (dy) dx dx
d dt
(
d d
y x
)
ddtx ddxt
(t)(t) (t)(t)
2 (t)
(t )
(t
)
(t) (t 3 (t )
)
(t
)
例5 解
例6 解
所求切线方程为
注意 : 已知
对谁求导?
?
x
例7. 设
①
再求导, 得
e y y2 (e y x) y 2 y 0
②
当 x 0 时, y 1, 故由 ① 得
再代入 ② 得
y(0) 1
e
y(0)
1 e2
对数求导法
观察函数 y (x 1)(x 2) , y xsinx. (x 3)(x 4)
方法:
先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的求导方法求出 导数.
第四节
第二章
隐函数和参数方程求导
一、隐函数的导数 二、由参数方程确定的函数的导数
一、隐函数的导数
若由方程
可确定 y 是 x 的函数 ,
函数为隐函数 . （隐函数的显化）
由
表示的函数 , 称为显函数 .
则称此
例如,
可确定显函数
可确定 y 是 x 的函数 ,
隐函数求导方法:
但此隐函数不能显化 .
两边对 x 求导( 注意 y = y(x) )
dy dx
dy dt d t dx
dy dt
1 dx
(t) (t )
(t) 0时, 有
dt
dx dx d t dy dt dy
dx dt
1 dy
(t) (t)
(此时看成 x 是 y 的函数 ) d t
若上述参数方程中
则由它确定的函数
二阶可导, 且
可求二阶导数 .
利用新的参数方程
的导数 .
(cos x ln x sin x) x
y xsin x(cos x ln x sin x ) x
又如,
两边取对数 对 x 求导
二、由参数方程所确定的函数的导数
例如
消去参数
问题: 消参困难或无法消参如何求导?
若参数方程
可确定一个 y 与 x 之间的函数
关系,
可导, 且
则
(t) 0 时, 有
a cos t b sin t
；
2、
x y
f tf
(t ) (t )
f (t)
设 f (t)存在且不为零 .
五、求由参数方程 x ln(1 t 2 ) 所确定的函数的 y t arctan t
二阶导数 d 2 y . dx 2
六、设 f ( x)满足 f ( x) 2 f ( 1 ) 3 ，求 f ( x) . xx