导数专题训练word版

导数专题训练

知能目标:

1. 了解导数的概念, 掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义.

2. 熟记基本导数公式, 掌握两个函数的四则运算的求导法则和复合函数的求导法则, 会求某些简单函数的导数.

3. 会用导数求多项式函数的单调区间, 极值及闭区间上的最值. 会利用导数求最值的方法解决一些实际问题.

综合脉络

1. 知识网络

（1）定义:当△x →0时,函数的增量△y 与自变量的增量△x 的比

x

y

∆∆的极限,,即 ()()()x

x f x x f Lim x y Lim

x f x x ∆-∆+=∆∆=→∆→∆00' （2）函数()x f y =在点0x 处的导数的几何意义,就是曲线()x f y =在点P （0x ,f （0x ））处的切线的斜率.

（3）质点作直线运动的位移S 是时间t 的函数,则()0'

t S 即为质点在t=t 0的瞬时速度.

（4）几个重要函数的导数

①0'=C ,（C 为常数） ②()()Q n nx x n n

∈=-1

'

③()x x cos sin '= ④()x x sin cos '

-=

⑤()x Inx 1'

= ⑥()e Iog x

x Iog a

a 1

'

= ⑦()x

x e e ='

⑧()Ina a a x

x ='

（1） 导数的四运算法则

①()'

'

'

υμυμ±=± ②()'

'

'

μυυμμυ+= ③()0)(2

'

''±-=υυ

μυυμυμ （5）复合函数求导法则

'''x

x y y μμ=, 其中'

x y 是y 对x 求导,'μy 是y 对μ求导,'x μ是μ对x 求导. （2） 导数的应用

① 可导函数．．．．求单调区间或判断单调性的方法:使()x f '

>0的区间为增区间,使()x f '<0的区间为减区间.

② 可导函数．．．．()x f 求极值的步骤:

ⅰ.求导数()x f '

ⅱ.求方程()x f '

=0的根n x x x ,,,21

ⅲ.检验()x f

'

在方程的根的附近左右值的符号,若左正右负,则在这个根处取极大值,若左负右正,则在这个根处取

极小值.

③ 连续函数在闭区间上一定有最大值和最小值,

④ ()x f 在闭区间[a,b]上连续,在（a,b ）内可导,则求()x f 最大值、最小值的步骤与格式为 ⅰ. 求导数()x f '

ⅱ.求方程()x f

'

=0的根n x x x ,,,21

ⅲ.结合在[a,b]上的根及闭区间[a,b]的端点数值,列出表格若(b x x x a n <<<<< 21)

x

a ()1,x a

1x

()21,x x

2x

… n x

()b x n ,

b 'y

正负号 0 正负号 0 0 正负号 y

值

单调性

值

单调性

值

值

单调性

值

ⅳ.根据上述表格的单调性及的大小,确定最大值与最小值.

2. 考点综述

(1) 导数为新教材必修的内容, 该内容的重点是掌握根据导数定义求简单函数的导数的方法. 一方面, 根据导数定义求导可进一步理解导数的概念; 另一方面, 许多法则都是由导数定义导出的. 掌握利用导数判别可导函数极值的方法, 是该章的又一重点. 主要涉及的是可导函数的单调性, 极值和最大 (小) 值的判定.

(2) 导数概念比较抽象, 定义方法学生不太熟悉, 因此对导数概念的理解是学习中的一个难点; 求一些实际问题的最大值与最小值是另一个难点. 这里的关键是能根据实际问题, 建立适当的函数关系.

(3) 用导数方法研究一些函数的性质及解决实际问题是导数的热点问题. 近几年来的新高考试题可以看出导数内容有以下变化趋势:

① 导数是必考内容并且试题分数比重在逐年增加, 选择题, 填空题, 解答题都有可能出现, 分值介于12分—18分之间;

②选择题, 填空题主要考查第导数的基本公式和基本方法的应用, 如求函数的导数, 切线的斜率, 函数的单调区间, 极值, 最值;

③ 解答题一般为导数的应用, 主要考查利用导数判断函数的单调性, 在应用题中用导数求函数的最大值和最小值.

导数(一)

(一) 典型例题讲解:

例1. (1) 函数)x (f y =的图象过原点且它的导函数)x (f y '=的图象

是如图所示的一条直线, 则)x (f y =的图象的顶点在 ( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

(2) 如果函数bx x )x (f 3

+-=(b 为常数) 在区间)1,0( 内单调递增, 并且0)x (f =的根都在区间]2,2[ -内, 那么b 的范围是 .

例2. 已知函数ax x 2)x (f 3

+=与c bx )x (g 2

+=的图象都过点P )0,2( 且在点P 处有相同的切线.

(1) 求实数c ,b ,a 的值;

(2) 设函数)x (g )x (f )x (F +=, 求)x (F 的单调区间, 并指出)x (F 在该区间上的单调性.

例3．设a 为实数,函数.a x x x )x (f 2

3+--=

(1) 求)x (f 的极值.

(2) 当a 在什么范围内取值时, 曲线x )x (f y 与=轴仅有一个交点.

(二) 专题测试与练习:

1. 函数1x 3x )x (f 2

3

+-=是减函数的区间为( )

A. (2,)+∞

B. (,2)-∞

C. (,0)-∞

D. (0,2) 2. 函数9x 3ax x )x (f 2

3

-++=, 已知)x (f 在3x -=时取得极值, 则=a ( )

A. 2

B. 3

C. 4

D. 5 3. 在函数x 8x y 3-=的图象上, 其切线的倾斜角小于4

π

的点中, 坐标为整数的点的个数是 ( ) A. 3 B. 2

C. 1

D. 0

4. 函数1ax y 2+=的图象与直线x y =相切, 则a 的值为( )

A.

18 B. 41 C. 2

1

D. 1 5. 已知: a (a x 6x 2)x (f 2

3+-=为常数)在]2,2[-上有最大值是3, 那么]2,2[-在上的最小值是( )A. 5- B. 11- C. 29- D. 37-

6. 曲线3

x y =在点)1,1(处的切线与x 轴、直线2x =所围成的三角形的面积为 .

7. 曲线1x x y 3

++=在点)3,1(处的切线方程是 .