其他类型的二次型及矩阵

其他类型的二次型及矩阵
定理7-12
设A是一个n阶实对称矩阵，则下列命题是等价的： （1) A是负定的. （2)二次型XTAX是负定的. （3) A合同于-E，即A -E. （4)存在可逆矩阵P，使得A=－PTP. （5) A的特征值λ1,λ2,…,λn全小于0. （6) A的奇数阶顺序主子式均小于0，偶数阶顺序主 子式均大于0.
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（3）如果对于任意一个非零实向量 α=(a1,a2,…,an) T，均有αTAα≤0，但至少存在某一个 α0，使得αT0Aα0=0，则称f(x1,x2,…,xn)是一个半负定 二次型，此时相应的实对称矩阵A称为半负定矩阵.
将正定、半正定、负定和半负定二次型（或矩 阵）称为有定二次型（或有定矩阵），否则，称为不 定二次型（或不定矩阵）.
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显然，如果f(x1,x2,…,xn)=XTAX是一个正定二次型 （或A是一个正定矩阵）当且仅当－f(x1,x2,…,xn)=XT(A)X是一个负定二次型（或-A是一个负定矩阵）；如果 f(x1,x2,…,xn)=XTAX是一个半正定二次型（或A是一个半 正定矩阵）当且仅当－f(x1,x2,…,xn)=XT(-A)X是一个半负 定二次型（或-A是一个半负定矩阵）.
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思考正定矩阵A=(aij)的主对角元素 aii（i=1,2,…,n）是否必须全大于零？
谢谢聆听
其他类型的二次型及 矩阵
其他类型的二次型及矩阵
与正定二次型和正定矩阵 相对应，有下面的定义.
其他类型的二次型及矩阵
定义7-10
设f(x1,x2,…,xn)=XTAX是一个实二次型. （1）如果对于任意一个非零实向量α=(a1,a2,…,an)T， 均有αTAα≥0，但至少存在某一个α0，使得αT0Aα 0=0， 则称f(x1,x2,…,xn)是一个半正c定二次型，此时相应的实对称 矩阵A称为半正定矩阵. （2）如果对于任意一个非零实向量α=(a1,a2,…,an)T， 均有αTAα<0，则称f(x1,x2,…,xn)是一个负定二次型，此时 相应的实对称矩阵A称为负定矩阵.
并且，一个标准形式的实二次型 f(x1,x2,…,xn)=d1x21+d2x22+…Biblioteka Baidudnx2n
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或者说一个对角矩阵
（1)半正定的，当且仅当di≥0,i=1,2,…,n，但至少存在某 一个dj=0.
（2)负定的，当且仅当di<0,i=1,2,…,n. （3)半负定的，当且仅当di≤0,i=1,2,…,n，但至少存在某 一个dj=0. 于是，类似于正定情形的证明，可以不加证明地给出其 他类型二次型和矩阵的判别方法.
其他类型的二次型及矩阵
定理7-13
设A是一个n阶实对称矩阵，则下列命题是等价的： （1) A是半正定的. （2)二次型XTAX是半正定的. （3) A合同于diag{1,…,1,0,…,0}，其中总共r=R(A)个1. （4)存在不可逆矩阵C，使得A=CTC. （5) A的特征值λ1,λ2,…,λn全大于等于0，但至少有一个为0. （6) A的所有主子式均大于等于0，但至少有一个为0.