玻色分布和费米分布
波色统计和费米统计
A为常数，著名的斯特藩-玻尔兹曼定律
b
11
物理意义： 单位体积的辐射能只与温度有关， 与温度的四次方成正比。
b
12
适用量子分布的理想气体称之为简并气体。
1.费米分布 （适用自旋为1/2的电子系统）
FFD
1 e( )/kT
1
常记为 f ,称为费米能级
b
2
费米分布的性质
别：
b
3
费米能级的具体表示：
其中：n N 表示单位体积的自由电子数 V
b
4
f
f
0
1
2
8
Tc
2 2
mk
(N 2.612V
)2/3
玻色子的质量和粒子数密度决定。
b
7
物理意义：
超导体的正常态转化到超导态可用玻色凝聚解释
b
8
光子气体
平衡系统特点： 高频光子和低频光子总在不停地转换，因而光子数 量也在不断变化，系统中光子数不守恒。
b
9
上式称之为普朗克辐射公式。
b
10
上式为著名的维恩位移定律。 该定律可以用于确定很多星体表面的温度。
第十一章 玻色统计和费米统计
单
粒 子
经典分布 玻尔兹曼分布
态
上
的
三
费米分布
种 分 布
量子分布 玻色分布
经典分布考虑了微观粒子的测不准关系和能量量
子化的影响。但是却没有考虑粒子的全同性以及
泡利不相容原理。
b
1
粒子全同性的微观解释： 微观粒子具有波动性，它们在运动时无轨道可言， 因而无法用编号的方法追踪它们的运动，它们是 不可分辨的。 或者说，粒子的互换不产生新的微观态。
玻色分布和费米分布
玻色分布和费米分布现对费米分布推导如下 ： 对 ()∏-=Ωl l l l l D F a a !!!..ωω 取对数得：()[]∑---=Ωl l l l l D F a !ln !ln !ln ln ..εωω N>>1，若假设a l >>1 ， ωl >>1可得到：()()[]∑----=Ωll l l l l l l l D F a a a a ωωωωln ln ln ln ..约束条件：∑=llN a；∑=lll E a ε为求在此约束条件下的最大值，使用拉格朗日乘数法，取未定因子为α和β则拉格朗日函数为：l l l l l lD F a a aE N δβεαωβδαδδ∑⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++--=--Ωln ln .. 若令上式为零，则有：0ln=++-l l l l a a βεαω ， 即上式给出了费米系统粒子的最概然分布，称为费米——狄拉克分布。
玻色分布的推导作为练习，请同学们课后自己推导. 6．8 三种分布的关系 1 、由∑=llN a∑=lll E aε确定拉氏乘子a 和β的值.在许多实际问题中,也往往将β看作由实验确定的已知参量而由∑=l ll aεE 确定系统的内能.或将a 和β都当作由实验确定的已知参量,而由∑=llN a∑=lll E aε确定系统的平均总粒子数和内能.2 、能级的εl 有ωl 个量子态处在其中任何一个量子态上的平均粒子数应该是相同的,因此处在能量为εS 的量子态S 上的平均粒子数为: sss a f ω=即: sss a f ω=定域系统 ：seβεα--费米系统：11++se βεα 玻色系统：11++seβεα总粒子数和能量可分别表示为: N =∑ssf定域系统 =∑--sSe βεα“+”费米系统 “-”玻色系统 =∑±+sSe 11βεαE =∑sss f ε定域系统 =∑--ss Se βεαε“+”费米系统 “-”玻色系统 =∑±+ssSe 1βεαε(式中εs 为粒子的所有量子状态求和 )3 、若α满足 1>>αe ， 则 有: ss e e a lll βεαβεαωω++≈±=1这时玻色分布和费米分布都过渡到玻耳兹曼分布,由上式可知:11<<=+le a llβεαω（对所有l ）这时任一量子态上的平均粒子数都远小于1,这个式子就是前边提到的所谓的非简并性条件,当非简并条件满足时,费米分布和玻色分布都过渡到玻耳兹曼分布. 4 、在推导最概然分布时,应用了l >>1 ， ωl >>1, al -ωl >>1等条件,这些条件实际上是不满足的,这是推导过程的一个严重的缺点,我们将在后边的学习中用巨正则系统求平均分布的方法严格地导出这些分布.5 、定域系统和满足经典极限条件的玻色(费米)系统虽然遵从同样的分布,但它们的微观状态数是不同的.前者为ΩM.B.,后者为ΩM.B ./N!因此对那些直接由分布函数导出的热力学量,两者具有相同的统计表达式.然而,对于例如熵和自由能等与微观状态有关的热力学量,两者的统计表达式有差异.6最可几分布的推导也可以推广到含有多个组元的情况。
玻色分布和费米分布
相应的宏观条件可表为:
l
l
e l
1
N
l
l l
e l 1
E
(8.1.2)
其中 表示对粒子的所有能级求和，式中的正号 l
对应于费米分布，负号对应于玻色分布。
2020年8月11日星期二
第八章 玻色统计和费米统计
由式(8.1.1)可以看出，如果满足条件
e 1
(8.1.3)
则玻色分布和费米分布都过渡到玻耳兹曼分布
al
el l
式(8.1.3)满足时，显然有
al 1（对所有l）
l
(8.1.4) (8.1.5)
2020年8月11日星期二
第八章 玻色统计和费米统计
由此可见，式(8.1.3)和(8.1.5)都是非简并性条件的表达式。
当非简并性条件满足时，玻色分布和费米分布都过渡 到玻耳兹曼分布。
二、玻色和费米分布的巨配分函数及热力学公式
2020年8月11日星期二
第八章 玻色统计和费米统计
Eric A. Cornell 埃里克·康奈尔
Wolfgang Ketterle 沃尔夫冈·克特勒
2001年诺贝尔物理学奖
Carl E. Wieman 卡尔·维曼
以表彰他们根据玻色－爱因斯 坦理论发现了一种新的物质状态— —“碱金属原子稀薄气体的玻色－ 爱因斯坦凝聚（BEC）”。
2020年8月11日星期二
第八章 玻色统计和费米统计
§8.3 玻色－爱因斯坦凝聚
诺贝尔奖自1901年颁发以来，一直是世人所公认
的最高荣誉奖项。 在它的六个奖项中，物理学、化学 和医学（或生理学）奖尤为引人注 目。下面我们谈谈 物理学奖的概况。2001年是诺贝尔 奖颁发百年纪念， 因此这次物理学奖的颁发被人们认为有着特殊的意 义， Nature、Science以及各种媒体都先后聚焦于10月9日。 美国麻省理 工学院（MIT）的Wolfgang Ketterle（沃 尔夫冈·克特勒）和科罗拉多大学JILA（实验天文物理 学联合学院）研究所的Carl Wieman（卡尔·维曼）， Eric Cornell（埃里克·康奈尔）因实验上实现玻色－爱 因斯坦凝聚（简称BEC） 现象而分享了本年度诺贝尔 物理学奖。
玻尔兹曼系统、玻色子系统、费米子系统的区别及统计规律
玻尔兹曼系统、玻色子系统、费米子系统的区别及统计规律当描述粒子行为时，玻尔兹曼系统、玻色子系统和费米子系统有着不同的特点和统计规律。
下面对它们进行详细说明：玻尔兹曼系统：描述：玻尔兹曼系统适用于经典粒子，如分子和原子等。
这些粒子之间可以相互交换位置和能量，且粒子可以具有任意能量。
玻尔兹曼系统假设粒子之间是无差别可区分的。
统计规律：玻尔兹曼系统中的粒子遵循玻尔兹曼分布。
玻尔兹曼分布描述了粒子在可分辨的能级上的分布情况，其表达式为：P(E) ∝exp(-E/kT)，其中P(E)表示具有能量E的粒子的概率，k是玻尔兹曼常数，T是系统的温度。
玻色子系统：描述：玻色子是具有整数自旋的粒子，如光子和声子等。
玻色子系统中的粒子可以占据相同的量子态，即多个粒子可以处于同一个量子态。
这种行为被称为玻色统计。
统计规律：玻色子系统中的粒子遵循玻色-爱因斯坦统计。
根据玻色-爱因斯坦分布，粒子的分布可以是任意整数，不受限制。
这意味着在低温条件下，大量玻色子可以集中在系统的最低能级，形成所谓的玻色-爱因斯坦凝聚。
费米子系统：描述：费米子是具有半整数自旋的粒子，如电子和中子等。
费米子系统中的粒子由于遵循泡利不相容原理，每个量子态只能被一个粒子占据。
这意味着费米子之间无法处于同一个量子态，也无法彼此交换位置。
统计规律：费米子系统中的粒子遵循费米-狄拉克统计。
根据费米-狄拉克分布，每个量子态最多只能被一个粒子占据。
在多粒子费米子系统中，由于每个量子态只能占据一个粒子，系统的能级填充依次递增，满足所谓的泡利不相容原理。
总结：玻尔兹曼系统适用于经典粒子，粒子之间无限制；玻色子系统适用于具有整数自旋的粒子，允许多个粒子占据同一个量子态；费米子系统适用于具有半整数自旋的粒子，每个量子态最多只能有一个粒子占据。
玻尔兹曼系统服从玻尔兹曼分布，玻色子系统服从玻色-爱因斯坦统计，费米子系统服从费米-狄拉克统计。
这些统计规律决定了粒子在不同系统中的分布特征和行为方式。
凝聚态物理学中的玻色子与费米子
凝聚态物理学中的玻色子与费米子凝聚态物理学是研究物质在宏观尺度上的性质和行为的领域。
在这个领域中，玻色子和费米子是两个重要的概念。
本文将探讨这两种粒子在凝聚态物理学中的重要性和应用。
玻色子和费米子是基本粒子的分类方式之一。
前者是具有整数自旋的粒子，如光子、声子、玻色-爱因斯坦凝聚（Bose-Einstein Condensate）中的粒子等；后者则是具有半整数自旋的粒子，如电子、质子和中子等。
这两种粒子的行为和性质有着显著的差异。
首先，玻色子和费米子的最显著区别之一是它们服从的统计分布。
根据玻色-爱因斯坦统计，多个玻色子可以占据同一个量子态，这就导致了Bose-Einstein凝聚的产生，其中所有粒子都处于同一个量子态，表现出量子相干性。
而根据费米-狄拉克统计，费米子不允许多个粒子处于同一个态，这也是为什么我们不能在同一时刻在同一个位置找到两个电子的原因。
这两种统计分布的不同给玻色子和费米子带来了截然不同的行为。
在凝聚态物理学中，玻色子和费米子有着不同的物理性质和相互作用。
作为最重要的实例之一，玻色-爱因斯坦凝聚是玻色子行为的一个突出例证。
在极低温度下，玻色子可以凝聚成一个巨大的波函数，而不再是彼此独立的实体。
这种凝聚体现了量子力学的特性，如相干性和波动性，是研究玻色子集体行为的有力工具。
与此相反，由于费米-狄拉克统计的限制，费米子之间的相互作用具有独特的属性。
著名的是，费米子统计下的电子导致了电子波函数的空间分布，进而导致了周期性的晶体结构。
这就是凝聚态物理学中晶体的形成原理之一。
费米子之间的排斥效应也导致了材料的稳定性，使得粒子之间不能靠得太近，从而形成凝聚态物质的基本结构。
除了上述的基本性质之外，玻色子和费米子在凝聚态物理学中还有广泛的应用。
玻色子激发态在超导体中扮演着重要的角色，通过与声子相互作用来传导电子。
费米子的行为则解释了诸如半导体和绝缘体等材料的电子结构，为材料的性质和行为提供了重要的基础。
第八章_玻色分布和费米分布 ppt课件
弱简并情形下我们可以近似地用积分来处理 问题。为书写简便起见，我们将两种气体同时讨 论，在有关公式中，上面的符号适用于费米气体， 下面的符号适用于玻色气体。
2020/9/10
第八章 玻色统计和费米统计
10
考虑三维自由粒子的情形，为简单起见，不考虑粒 子的内部结构，因此只有平动自由度，粒子的能量为：
8
⑷ 熵:
Sk(lnΞ lnΞ lnΞ )(8.1.14)
⑸ 巨热力势:
JkTlnΞ
(8.1.15)
只要计算出系统的巨配分函数，就可以利用上面 的热力学公式得到相应的热力学量。
2020/9/10
第八章 玻色统计和费米统计
9
§8.2 弱简并理想玻色气体和费米气体
一般气体满足非简并性条件eα>>1 可用玻 耳兹曼分布来处理。
3
Ug
2V
h3
(2m)3/2
0
2d
e 1
引入变量x=βε, 上面两个式子可改写为：
Ng2h3V(2mkT)3/2 0ex1/x2dx1
3
Ug2h3V(2mkT)3/2 0 ex2xdx1
2020/9/10
第八章 玻色统计和费米统计
13
将被ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ函数的分母展开：
e1x 1ex(11ex)
在e 小的情形下，e x是一个小量，可利用下面的公式展开：
15
考虑到e-α很小，近似用玻耳兹曼分布的结果
e
ZNl VN2hm2kT3/2
1 g
代入前面的公式中，得：
U3 2NkT121 3/2g 1V N2hm 2kT3/2
费米统计和玻色统计
1. 费米统计 量子统计给出，费米子系统在温度 T 的平衡 态下，能量为 E 的量子态上的平均粒子数：
N (E) = 1 e
( E − μ ) / kT
+1
— 费米 — 狄拉克统计
N(E) 1 0.5 0 EF
μ = μ (T) — 粒子化学势
EF = μ (0) — 费米能量 T 不太高时，μ (T) ≈ EF
±1
≈e
− ( E − μ ) / kT
=e
μ / kT
⋅e
− E / kT
= A(T )e − E / kT
— 麦克斯韦 — 玻耳兹曼统计 所以高能态时，量子统计就过渡到经典的 麦克斯韦 — 玻耳兹曼统计。
Hale Waihona Puke 2. 玻色统计 量子统计给出，玻色子系统在温度 T 的平衡 态下，能量为 E 的量子态上的平均粒子数：
N (E) = 1 e ( E − μ ) / kT − 1
— 玻色 — 爱因斯坦统计 对所有温度 T ，N(E) 应满足 0 ≤ N(E) < ∞ ， 由此可引出玻色 — 爱因斯坦凝聚的概念。
设最低能级（基态）为能量零点：E0 = 0， 1 N 0 = N ( E 0 ) = − μ / kT e −1 T → 0K 时，要求 0 ≤ N0 < ∞ ， 则有 μ < 0 。
原子速度分布逐渐达到BEC的三维示意图 1995年实现了超冷原子的BEC，达到了宏观数量的 原子处于同一量子态（2001 Nobel）。 BEC实现了 原子相干，可做成原子干涉仪和量子频标等。
3. 量子统计到经典统计的过渡 当 E 很高时，(E−μ) >> kT
N (E) = 1 e
热学-统计物理12 第 1 2章 玻色统计和费米统计
取对数
(l al 1)! l al!(l 1)!
ln [ln(l al 1)! ln(l 1)! ln al!]
l
al 1,l 1
ln [ln(l al )! ln l! ln al!]
l
由斯特令公式，得：
k
所以
dU Ydy d N 1 d[k(ln ln ln )]
k
而对于经典热力学中的简单系统，
dU TdS pdV dN
（ u 是单个粒子的化学势, PdV Ydy )
即 dU Ydy d N TdS
3
U
l
ll
l
ll
e l 1
g
2V
h3
3
(2m) 2
2d
0 e 1
引入变量 x βε ，并将上两式改写为
1
N
g
2V
h3
3
(2mkT) 2
x 2dx 0 e x 1
3
U
g
2V
h3
3
(2mkT) 2 kT
0
时，需要采取玻色统计或费米统计的方法来处理。微观粒 子全同原理决定了二者与玻耳兹曼系统不同的宏观性质。
12.1.2 玻色系统
1.系统的平均总粒子数
如果把α,β 和 y 看作由实验确定的参量，系统的平均
总量子数可由下式给出：
N
l
al
l
ωl eα βεl 1
引入巨配分函数
l [1 e ] l l
玻尔兹曼分布,玻色分布,和费米分布的关系
玻尔兹曼分布,玻色分布,和费米分布的关系
玻尔兹曼分布、玻色分布和费米分布是统计物理中描述粒子分布的三种基本分布。
玻尔兹曼分布是描述经典粒子在能量状态间的分布情况的分布函数。
根据玻尔兹曼分布，粒子在不同能级上的分布概率与能级的能量成反比。
玻色分布是描述玻色子（具有整数自旋）的分布情况的分布函数。
根据玻色分布，玻色子能够在同一能级上具有任意多个粒子，并且各个粒子之间没有排斥作用。
费米分布是描述费米子（具有半整数自旋）的分布情况的分布函数。
根据费米分布，费米子不能在同一个能级上具有多个粒子，并且各个粒子之间存在排斥作用。
三种分布函数在经典极限情况下可以相互转化。
当粒子间的相互作用很弱或忽略不计时，玻色分布和费米分布在高温极限下会趋向于玻尔兹曼分布。
而在低温极限下，玻尔兹曼分布则趋向于费米分布（保守统计中的玻尔兹曼-玻色平衡）。
综上所述，玻尔兹曼分布、玻色分布和费米分布是三种不同情况下的统计分布，它们在特定条件下可以相互转化或者趋于相似的分布模式。
玻色湮灭和费米子分布的区别
玻色湮灭和费米子分布的区别在量子物理学中，存在两种不同类型的粒子：玻色子和费米子。
这两种粒子之间最大的区别在于它们的统计行为。
玻色子具有玻色-爱因斯坦统计，而费米子具有费米-狄拉克统计。
这种统计行为导致了在相同的能级下，玻色子和费米子的分布方式有所不同。
本文将简要介绍玻色湮灭和费米子分布的区别。
一、统计方法不同玻色-爱因斯坦统计和费米-狄拉克统计是两种不同的统计方法。
在玻色-爱因斯坦统计中，多个粒子可以占据相同的量子态，而在费米-狄拉克统计中，每个粒子只能占据唯一的量子态。
二、玻色子和费米子基态能级不同在相同的温度和体积下，玻色子和费米子的基态能级不同。
玻色子可以聚集在相同的基态能级中，形成所谓的玻色-爱因斯坦凝聚态，而费米子必须占据不同的基态能级。
这种分布方式导致，玻色子可以形成大规模的凝聚态，而费米子只能在很小的尺度上形成凝聚态。
三、处理方式不同在处理玻色子和费米子的问题时，需要采用不同的数学处理方法。
对于玻色子，可以采用玻色算子来描述其行为。
而对于费米子，则需要采用费米算子。
这种数学处理方式进一步反映出玻色子和费米子的统计行为的差异。
四、体系行为不同玻色子和费米子的统计行为直接影响了它们所处体系的行为。
对于玻色子，由于它们可以聚集在相同的基态能级中，所以是一种自发对称破缺体系，其表现出了宏观量子现象，如超流和玻色-爱因斯坦凝聚态等。
而费米子则表现出了泡利不相容原理，即两个具有相同自旋的费米子不能在同一个量子态中。
综上所述，玻色湮灭和费米子分布的区别主要在于它们的统计行为不同，基态能级不同，数学处理方式不同以及体系行为不同。
这些区别不仅在理论物理学中有着重要的应用，在其他领域中，例如量子信息处理中，也有着重要的意义。
第八章 波色统计和费米统计
必有可观数目粒子出现在零能
级。 ——玻色—爱因斯坦凝聚。
热统
22
Tc
2
(2.612)2/ 3
2 mk
n2/ 3
因此，为了容易实现玻色－爱因斯坦 凝聚，需要提高临界温度。 为此，要提高气体密度，减小气体粒 子质量。
二、热力学量 T<T c时
n
2
h3
(2m)3/ 2
0
1/ 2d
e kT 1
热统
25
§8.4 光子气体
一、光子气体特性
光子——辐射场能量的量子化，自旋 1－玻色子。 平衡辐射场中，光子数不守恒。
空窖壁不断吸收和发射光子，保持能量守恒，但光子能量 有高有低，发射光子平均能量高发射光子数目少，被吸收的 光子平均能量低，被吸收的光子数目就多，因此不要求光子 数守恒。
光子气体服从玻色分布
l
l
l
S k(ln U N )
？ k ln F.D k( l lnl al lnal (l al ) ln(l al ))
l
l
l
热统
11
al
l
e l
1
e l l al
al
l
ln l al
al
1 e l l l al
ln l ln(1 e l )
l
l
ln
0
N
g(
2m kT
h2
)3
/
2Ve
(1
1 23/ 2
e )
热统
14
内能
U D( )a( ) d 0
3 2
g
(
2mk
h2
T
)3
/
三种统计的微观状态数同一个分布对于玻耳兹曼系统
设系统由两个粒子组成，粒子的个体量子态有
3个， 如果这两个粒子分属玻耳兹曼系统、玻色 系统、费米系统时，试分别讨论系统各有那些可 能的微观状态？
对于玻耳兹曼系统可有9种不同的微观状态
量子态1 量子态2 量子态 3
若假设N>>1，al>>1 ， ωl>>1,可得到：
ln N ln N 1 al ln al 1 al ln l
l
l
N ln N al ln al al ln l
l
l
两边关于 al 求变分，
al
ln ln al al al al ln l
l
l
l
l
量子态，相当于从l 个量子态中挑出 al 个来为粒 子所占据，有种可能的方式
l !/ al !l al !
将各能级的结果相乘，就得到费米系统与分 布相应的微观状态数为：
l !/ al !l al !
l
l !
a!l al !
F.D.
l
l !
a!l al !
经典极限条件
如果在玻色系统和费米系统中，任一能级上的 粒子数均远小于该能级的量子态数，即
表示经典系统的一个微观状态在 空间所占的体
积，称为经典相格。这里 h0 由测量精度决定，最小 值为普朗克常量。
现将 空间划分为许多体积元 l，以 l 表示运
动状态处在 l 内的粒子所具有的能量，l 内粒子的
运动状态数为:
l h0r
这样，N 个粒子处在各 l 的分布可表示为 {al }
体 积 元: 能级： 简并度： 粒子数：
热力学与统计物理学第八章__玻色统计和费米统计
§8.1 热力学的统计表达式 §8.2 弱简并玻色气体和费米气体 §8.3 玻色—爱因斯坦凝聚 §8.4 光子气体 §8.5 金属中的自由电子气体
1
§8.1 热力学的统计表达式
经典极限条件
e 1
e
Z1 N
V N
2m h2
3
2
1
V
1 3
h
1
1 2
N
2mkT
n3 1
又 d ln ln d ln d ln dy
y
dU
Ydy
dN
d
ln
ln y
dy
d
ln
d
ln
d
ln
ln
d
d
ln
ln
d
d
ln
ln
ln
6
dS
kd
ln
ln
ln
积分
S
k
ln
ln
ln
S kln N U k ln
S k ln
ln
ln
如果求得巨配分 函数，据此可以 求得系统内能、 物态方程和熵。 从而确定系统的 全部平衡性质。
巨配分函数是以 , , y 为自然变量的特性函数。
对简单系统就是 T ,V ,
热力学中巨热力学势是以 T ,V , 为自然变量的
特性函数：
J U TS N kT ln 9
§8.2 弱简并理想玻色气体和费米气体
存在 n 个能量为 的光子
31
玻色分布给出在温度为 T 的平衡状态下 n
的平均值： n 1 e kT 1
从粒子观点看， n 是平均光子数；
17-11玻色费米统计
（2）在低频范围， /kT << 1，这时 /kT
e
1 kT
普朗克公式为 U ( , T )d
与瑞利-金斯公式一致。 对应的 m满足
V c
2 3
kT d
2
辐射场的能量随频率的分布存在一个极大值，
m 2.822 kT 即，角频率极大值m与温度T的关系，这就是我
5
上式与§14-1中的普朗克公式是一致的，下面 证明之。
2π hc 1 普朗克公式 M λ 0 T hc KT 5 λ 1 e 辐射场能量密度按波长的分布 (T )与其单色
2
辐出度M (T )存在下面关系
c M (T ) (T ) 4 利用 = 2，可以得到
M 0 (T )
2 hc
2
5
(
1 e
hc / kT
1
)
这正是§14-1中的普朗克公式。
7
两种极限情况
（1）在高频范围， /kT >>1，这时
e
/ kT
1 e
V c
3
/ kT
普朗克公式为
U ( , T )d
2 3
e
/ kT
d
与维恩公式一致。 可见， U ( , T )随的增大而迅速趋于零，说 明在温度为T 的平衡辐射中，空腔内几乎不存在 /kT >>1的高频光子，也就几乎不可能发射这 样的高频光子。
1自由电子气体 金属中的自由电子。这是对金属 中的共有电子复杂运动的一种简化模型。
16
1. T0 K温度时电子的分布
电子自旋为1/2，遵从费米分布。在温度T时处于 能量 的一个量子态的平均电子数为
波色统计和费米
费米能级的具体表示：
n N V
其中：
表示单位体积的 自由电子数
f
f
0
1
2
8
( kT
f0
)2
2 / 3
玻色分布特点：
玻色子：自旋为零或整 数的粒子。主要用于处 理
光子气体、声子气体和 低温玻色凝聚。
选取单粒子基态能量为 零
即：
FBE (0)
1 e /kT
1
e/kT 1, 0
1.玻色凝聚
踪它们的运动，它们是
不可分辨的。
或者说，粒子的互换不产
生新的微观态。
单击此处添加小标题
适用量子分布 的理想气体称 之为简并气体。
1
F FD
单击此处添加小标题
e 费米分布 （适
( )/ kT
用自旋为1/2
的电子系统）
常记为 f ,称为费
费米分布的性质
费米分布和麦 克斯韦分布的 区别：
见课本230页 图示
第十一章 玻色统计和费米统计
单
粒 子
经典分布 玻尔兹曼分布
态
上
的
三
费米分布
种 分 布
量子分布 玻色分布
经典分布考虑了微观粒子的测不准关系和能量量 子化的影响。但是却没有考虑粒子的全同性以及 泡利不相容原理。
单击此处添加小标题
粒子全同性的微观解释：
微观粒子具有波动性，它
们在运动时无轨道可言，
因而无法用编号的方法追
Tc
2 2 mk
(N 2.612V
Байду номын сангаас)2/3
质量不为零，粒子数守恒的玻色子组成的理想气体。 当T趋于绝对零度时，几乎所有的玻色子都会凝聚 到能量、动量为零的基态。 玻色子的质量和粒子数密度决定。
玻色统计和费米统计_热力学统计物理
ln F.D l lnl al lnal (l al ) ln(l al )
l
l
l
S k ln F.D k( l lnl al lnal (l al ) ln(l al ))
ห้องสมุดไป่ตู้
l
l
l
S k(ln U N )
？ k ln F.D k( l lnl al lnal (l al ) ln(l al ))
l
l
e l (1) 1 e l
l
y
l
l l
e l 1 y
l
al
l
y
Y
Y 1 ln
y
对比玻耳兹曼分布 Y N 1 ln Z1 y
压强
p 1 ln
V
p N ln Z1
V
5
4 其它热力学函数：熵
由开系的热力学公式 dU Ydy dN TdS
S k(ln U N )
能否推导出 k ln B.E k( (l al ) ln(l al ) l lnl al lnal )
l
l
l
8
S k(ln U N )
al
l
e l
1
e l l al
al
l
ln l al
al
1 e l l l al
ln l ln(1 el ) (8.1.3)
l
ln
l ln(1 e l )
l
l
l
e l ( l )
1 e l
l
l l
e l 1
U
对比玻耳兹曼分布
U ln
U N ln Z1
4
3 广义力
Y
l
写出[玻色分布][费米分布]表达式,并简写出每个符号的物理意义。
![写出[玻色分布][费米分布]表达式,并简写出每个符号的物理意义。](https://img.taocdn.com/s3/m/638ce7f5970590c69ec3d5bbfd0a79563c1ed4b8.png)
写出[玻色分布][费米分布]表达式,并简写出每个符号的
物理意义。
玻色分布和费米分布是量子统计力学的两个重要概念，用于描述粒子在量子态中的分布情况。
1. 玻色分布：
表达式：\(f_{B}(E) = \frac{1}{e^{\beta E} - 1}\)
符号解释：
+ \(f_{B}(E)\)：玻色分布函数。
+ \(E\)：粒子能量。
+ \(\beta\)：热力学温度的倒数，即 \(\beta = \frac{1}{k_{B}T}\) ，其中\(k_{B}\) 是玻尔兹曼常数，\(T\) 是绝对温度。
+ \(e\)：自然对数的底。
物理意义：描述在热平衡状态下，处于某一量子态的粒子数目的相对概率。
2. 费米分布：
表达式：\(f_{F}(E) = \frac{1}{e^{\beta (E - \mu)} + 1}\)
符号解释：
+ \(f_{F}(E)\)：费米分布函数。
+ \(E\)：粒子能量。
+ \(\mu\)：化学势。
+ \(\beta\)：热力学温度的倒数，即 \(\beta = \frac{1}{k_{B}T}\) ，其中\(k_{B}\) 是玻尔兹曼常数，\(T\) 是绝对温度。
+ \(e\)：自然对数的底。
物理意义：描述在热平衡状态下，处于某一量子态的粒子数目的相对概率。
对于非相对论性费米气体，费米分布给出了占据量子态的粒子数目的准确表达，特别是在低温和高密度条件下。
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但遗憾的是，众多的实验物理 学家将自旋极化的氢原子气体降温， 并未观察到BEC现象。于是 Wieman和Cornell开始将兴趣转向 碱金属原 子气体，1995年，他们 将铷原子限制在磁阱中进行激光冷 却首次成功 的观察到原子气的 BEC现象。同年，MIT的Ketterle 也在钠原子气中实 现了BEC。 BEC的实现不仅在基础研究方面具 有重大意义，还可能在 “原子芯 片”和量子计算机等方面有广泛的 应用前景。因此2001年的诺 贝尔 物理学奖授予Wieman、Cornell和 Ketterle以表彰他们在BEC实验 方 面的开创性工作。
第八章 玻色统计和费米统计
在第六章，我们用最概然方法导出了这两种系统的 统计分布规律，本章将进一步介绍这两种分布在辐射场 和金属电子气体中的应用。
§8.1 热力学量的统计表达式
一、玻色分布和费米分布
玻色分布和费米分布可写为
2020年6月11日星期四
第八章 玻色统计和费米统计
al
l
e l
1
（8.1.1)
1 g
N V
h2
2 mkT
3/
2
2020年6月11日星期四
第八章 玻色统计和费米统计
Hale Waihona Puke U3 2NkT
1
1 23/ 2
1 g
N V
h2
2 mkT
3/ 2
讨论：
➢上式第一项是根据玻耳兹曼分布得到的内能； 第二项是由量子统计关联导致的附加能量，与微 观粒子的全同性原理有关。
➢费米气体的附加能量为正，费米子间表现出排 斥作用；玻色气体的附加能量为负，玻色子间表 现出吸引作用；
2020年6月11日星期四
第八章 玻色统计和费米统计
§8.3 玻色－爱因斯坦凝聚
诺贝尔奖自1901年颁发以来，一直是世人所公认
的最高荣誉奖项。 在它的六个奖项中，物理学、化学 和医学（或生理学）奖尤为引人注 目。下面我们谈谈 物理学奖的概况。2001年是诺贝尔 奖颁发百年纪念， 因此这次物理学奖的颁发被人们认为有着特殊的意 义， Nature、Science以及各种媒体都先后聚焦于10月9日。 美国麻省理 工学院（MIT）的Wolfgang Ketterle（沃 尔夫冈·克特勒）和科罗拉多大学JILA（实验天文物理 学联合学院）研究所的Carl Wieman（卡尔·维曼）， Eric Cornell（埃里克·康奈尔）因实验上实现玻色－爱 因斯坦凝聚（简称BEC） 现象而分享了本年度诺贝尔 物理学奖。
将被积函数的分母展开：
1 e x
1
1 e x (1
e x )
在e小的情形下，e x是一个小量，可利用下面的公式展开：
1 1 ey
1 ey
e2 y
L
只取头两项，可得：
e
1
x
1
e
x
1me x
利用附录C的积分公式可得：
N
g
2 mkT
h2
3/ 2
Ve
1
m1 23/
2
e
U
3 2
g
2 mkT
2020年6月11日星期四
第八章 玻色统计和费米统计
Eric A. Cornell 埃里克·康奈尔
Wolfgang Ketterle 沃尔夫冈·克特勒
2001年诺贝尔物理学奖
Carl E. Wieman 卡尔·维曼
以表彰他们根据玻色－爱因斯 坦理论发现了一种新的物质状态— —“碱金属原子稀薄气体的玻色－ 爱因斯坦凝聚（BEC）”。
h2
3/
2
VkTe
1 m215 / 2
e
将上面两式相除，得：
U
3 2
NkT
1
1 23/ 2
e
2020年6月11日星期四
第八章 玻色统计和费米统计
考虑到e-α很小，近似用玻耳兹曼分布的结果
e
N Zl
N h2
V
2 mkT
3/ 2
1 g
代入前面的公式中，得：
U
3 2
NkT
1
1 23/ 2
从实现BEC的历程来看，有以下两个 必备的客观条件：首先是理 论准备（玻色 和爱因斯坦的工作），其次是实验手段的进 步（朱棣文 等人的工作）。剩下的就是个 人的素质了，要有眼光，走对路（Wieman、 Cornell和Ketterle选择碱金属原子气体作为 冷却的对象）。这样看来， 诺贝尔物理学 奖似乎不是什么神秘的东西。因此有人就会 问为什么中国内地就没有出现诺贝尔奖呢？ 我们在这里谈几点：
爱因斯坦的预测引起了实验物理学家的广泛兴 趣。然而实现BEC 的条件极为苛刻和“矛盾”： 一方面希望达到极低的温度，另一方面 还要求原 子体系处于气态。实现低温的传统手段是蒸发制冷； 而斯坦福大学华裔物理学家朱棣 文、法国巴黎高 等师范学校的Cohen-Tannoudj和美国国家标准局 的Phillips发展的激光冷却和磁阱技术是另一种有 效 的制冷方法，他们三人因此分享了1997年度诺 贝尔物理学奖。1976年， Nosanow和Stwalley证明 在任意低温下处于自旋极化的氢原子始终能保 持 气态，则为实现第二个要求提供了希望。
有
N
g
2V
h3
(2m)3/ 2
0
1/2d
e 1
3
U
g
2V
h3
(2m)3/ 2
0
2d
e 1
引入变量x=βε, 上面两个式子可改写为：
N
g
2V
h3
(2mkT )3/2
0
x1/ 2dx e x 1
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3
U
g
2V
h3
(2mkT )3/2
0
x 2 dx e x 1
第八章 玻色统计和费米统计
相应的宏观条件可表为:
l
l
e l
1
N
l
l l
e l 1
E
(8.1.2)
其中 表示对粒子的所有能级求和，式中的正号 l
对应于费米分布，负号对应于玻色分布。
2020年6月11日星期四
第八章 玻色统计和费米统计
由式(8.1.1)可以看出，如果满足条件
e 1
(8.1.3)
则玻色分布和费米分布都过渡到玻耳兹曼分布
考虑三维自由粒子的情形，为简单起见，不考虑粒 子的内部结构，因此只有平动自由度，粒子的能量为：
1 2m
( px2
p
2 y
pz2 )
在体积V内，能量在ε-ε+dε内的粒子的可能微观状 态数为
D( )d g 2V (2m)3/2 1/2d
h3
其中，g是由于粒子可能具有自旋而引入的简并度， D(ε)是态密度。例如，对于电子，考虑有两个相反的自旋 投影，g=2; 对于光子，由于有两个偏振方向，g=2。
热情奔放而又执著追求科学的年轻人。据 中科院2001年科学发展 报告统计，诺贝尔物理 学奖得主作出代表性工作的平均年龄为36岁， 他们从很小就开始对物理学感兴趣并一直钟爱 着物理学。他们能如此 执著，一方面是经济条 件还不错，更重要的是他们从小所受的教育是 以充分发挥自己的个性为主。而内地的教育更 乐意将学生培养成标准 的螺丝钉，学生本人则 很少有太多的想法和目标，在经济大潮的影响 下立刻便沉到“海”里去了。
⑴ 平均粒子数:
N ln Ξ
(8.1.10)
2020年6月11日星期四
第八章 玻色统计和费米统计
⑵ 内能:
U ln Ξ
⑶ 广义力:
Y 1 ln Ξ
y
上式的一个重要特例是压强:
p 1 ln Ξ
V
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第八章 玻色统计和费米统计
(8.1.11) (8.1.12) (8.1.13)
⑷ 熵:
S k(ln Ξ ln Ξ ln Ξ ) (8.1.14)
⑸ 巨热力势:
J kT ln Ξ
(8.1.15)
只要计算出系统的巨配分函数，就可以利用上面 的热力学公式得到相应的热力学量。
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第八章 玻色统计和费米统计
§8.2 弱简并理想玻色气体和费米气体
一般气体满足非简并性条件eα>>1 可用玻耳 兹曼分布来处理。
1924年，年轻的印度物理学家玻色寄给爱因斯坦一 篇论文，提出 了一种新的统计理论，它与传统的统计理论 仅在一条基本假定上不同。 传统统计理论假定一个体系中 所有的原子（或分子）都是可以辨别的， 我们可以给一个 原子取名张三，另一个取名李四……，并且不会将张 三认 成李四，也不会将李四认成张三。基于这一假定的传统理 论圆满 地解释了理想气体定律，可以说取得了非凡的成功。 然而玻色却挑战 了上面的假定，认为在原子尺度上我们根 本不可能区分两个同类原子 （如两个氧原子）有什么不同。 接着，玻色讨论了如下一个问题（这 个问题所有高中生都 做过）：将N个相同的小球放进M个标号为1、2、…、M 的箱子中，假定箱子的容积足够大，有多少种不同的放法？ 在此问 题的基础上，采用传统统计相似的作法，玻色便得 到了一套新的统计 理论。
2020年6月11日星期四
第八章 玻色统计和费米统计
系统的总粒子数和总能量为:
l
l
e l
1
N
l
ll
e l
1
U
近似用积分来处理，作对应：
l D( )d
l
0
代入自由粒子气体的D(ε)dε的表达式
D( )d
g
2V
h3
(2m)3/ 2 1/ 2d
2020年6月11日星期四
第八章 玻色统计和费米统计
思想开放，不迷信权威。创新就是要打 破某些已有的定论，因循 守旧，盲从权威是 不可能有所创新的。中国的知识分子经历了 太多的 苦难以及封建思想的残余，以至于思 想里保守成分多，权威意识过强， 传统教育 中以循规蹈矩为优等等都不利于创新。