弹簧振子模型
弹簧振子周期公式推导过程
弹簧振子周期公式推导过程弹簧振子周期公式推导过程弹簧振子是物理学中最经典的动力学系统之一，它在物理课程中被广泛使用，它也是物理实验中最常用的实验系统之一。
在弹簧振子系统中，一个物体被弹簧连接，并在其自身重力场中进行振荡，从而形成一个特定的振荡周期，称为弹簧振子周期。
在本文中，我们将推导出弹簧振子周期的公式，并讨论其中的物理原理。
一、弹簧振子物理模型弹簧振子的物理模型可以用一个物体和一个弹簧来描述，物体受到重力的作用而进行振荡，弹簧受力而发生压缩和拉伸。
弹簧振子的动力学模型可以用欧拉法来描述：物体受到重力和弹簧的力作用，以及摩擦力的作用，用欧拉法进行求解。
二、欧拉方程弹簧振子的动力学模型可以用欧拉方程来描述：$$\frac{d^2 x}{dt^2} = - \frac{kx}{m} - \frac{b}{m}\frac{dx}{dt} - g$$其中，x为物体的位置，k为弹簧的弹性系数，m为物体的质量，b为摩擦系数，g 为重力加速度。
三、特殊解析解在没有摩擦力的情况下，即摩擦系数b=0时，欧拉方程可以简化为：$$\frac{d^2 x}{dt^2} = - \frac{kx}{m} - g$$此时，可以对欧拉方程求特殊解析解：$$x=A \cos \omega t + B \sin \omega t$$其中，A和B是任意常数，$\omega$是振子的角频率，可以由以下公式计算：$$\omega = \sqrt{\frac{k}{m} + g}$$四、弹簧振子周期由特殊解析解可知，弹簧振子的振荡周期为：$$T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{\sqrt{\frac{k}{m} + g}}$$上式即为弹簧振子周期的公式，表明弹簧振子周期与弹簧的弹性系数、物体的质量以及重力加速度有关。
五、物理原理从物理角度来看，弹簧振子的振荡周期是由物体的质量和弹簧的弹性系数以及重力加速度决定的，即质量越大，弹簧的弹性系数越大，重力加速度越大，则弹簧振子的振荡周期越短。
弹簧振子模型
动量二弹簧振子模型★如图所示轻弹簧的一端固定，另一端与滑块B相连，B静止在水平直导轨上，弹簧处在原长状态。
另一质量与B相同的滑块A,从导轨上的P点以某一初速度向B滑行。
当A滑过距离l i时，与B相碰，碰撞时间极短，碰后A、B紧贴在一起运动，但互不粘连。
已知最后A恰好返回到出发点P并停止。
滑块A和B与导轨的动摩擦因数都为，运动过程中弹簧最大形变量为l2,重力加速度为g。
求A从P点出发时的初速度电。
「★如图8所示，木块B和木块C的质量分别为3/4M和M固定在长为L,劲度系数为k的弹簧的两端，静止于光滑的水平面上。
一质量为1/4M的木块A以速度v水平向右与木块B对心碰撞并粘在一起运动，求弹簧达到最大压缩量时的弹性势能。
★如图所示，为水平气垫导轨，滑块A、B用轻弹簧相连，今将弹簧压紧后用轻绳系在A、B上，然后以恒定的速度V0向右运动，已知A、B质量分别为m i、m2 ,且m i< m2,滑动中轻绳突然断开，当弹簧第一次恢复到自然长度时，滑块A的速度刚好为零。
求：(1)绳断开到第一次恢复到自然长度过程中弹簧释放的弹性势能E P； (2) 在以后运动过程中，滑块B是否会有速度等于零的时刻？试通过定量分析、讨论，来证明你的结论。
(E p=m i (m i+m2)v o2/2 m2 ; 不可能) A B v0★如图所示，质量为m2和m3的两物体静止在光滑的水平面上，它们之间有压缩的弹簧，一质量为m i的物体以速度v o向右冲来，为防止冲撞，弹簧将m2、m3向右、左弹开,m3与m i碰后即粘合在一起。
问m3的速度至少应多大，才能使以后m3和m2不发生碰撞？m1 m2m3 (m i m2 m3)★图6所示，在光滑的水平面上，物体A跟物体B用一根不计质量的弹簧相连，另物体C跟物体B靠在一起，但不与B相连，它们的质量分别为m A=0. 2 kg , m B=m c=0. 1 kg .现用力将C、B和A压在一起，使弹簧缩短，在这过程中，外力对弹簧做功7. 2 J.然后，由静止释放三物体.求：(1)弹簧伸长最大时，弹簧的弹性势能.(2)弹簧从伸长最大回复到原长时，A、B的速度.(设弹簧在弹性限度内)解析：(1)在水平方向上因不受外力，故动能守恒.从静止释放到恢复原长时，物体B、C具有相同的速度V BC,物体A的速度为VA,则有:m A V A+(m B+m c) V BC=0由机械能守恒得:E 弹=—m A VA2+— (m B+ m C)v BC22 2解得：V A=6(m/s),V BC=-6 m/s(取水平向右为正).此后物体C将与B分开而向左做匀速直线运动. 物体A、B在弹簧的弹力作用下做减速运动，弹簧被拉长，由于A的动量大，故在相同的冲量作用下，B先减速至零然后向右加速, 此时A的速度向右且大于B的速度，弹簧继续拉伸，直至A、B速度相等，弹簧伸长最大, 设此时A、B的速度为V.由水平方向动量守恒可列式:m A V A+ m B V BC=(m A+m B)v由机械能守恒可列式：1m A VA2+— m B V BC2=— (m A+m B)v2 +E 弹，2 2 2食军得:V=2 m/s, E 弹'=4. 8 J(2)设弹簧从伸长最大回到原长时A的速度为VI, B的速度为V2,由动量守恒可列式:(m A+ m B )V= m A V1+m B V2由机械能守恒又可列式：— (m A+m B)v2 + E 弹，=— m A v" + — m B V222 2 2解得：V I=-2 m/s(v1 =6 m/s 舍去)；V2=10 m/s(V2 =-6 m/s 舍去)此时A向左运动，速度大小为 2 m/s； B向右运动，速度大小为10 m/s.答案：(1) 4. 8 J (2) V A=2 m/s,V B=10 m/s★质量为m 的钢板与直立轻弹簧的上端连接，弹簧下端固定在地上。
简谐运动课件
名师精讲
1.对弹簧振子的理解
(1)弹簧振子是一个理想化模型,与我们学习的质点、点电荷等一样,是
为研究问题而抓住物体的主要因素、忽略次要因素的一种科学的处理方法。
(2)平衡位置
①振子静止时的位置,在平衡位置时,小球受到的合力为零。
②在平衡位置时,弹簧不一定处于原长。
2.对简谐运动的理解
(1)简谐运动的位移
建立的坐标轴上,速度的正负号表示振子运动方向与坐标轴的正方向相同
或相反。
②特点:如图所示为一简谐运动的模型,振子在 O 点速度最大,在 A、B
两点速度为零。
(3)简谐运动的加速度
①计算方法:a=- ,式中 m 表示振子的质量,k 表示比例系数,x 表示振子
距平衡位置的位移。
②特点:加速度大小呈线性变化,方向只在平衡位置发生改变。
2
运动,选项 B 错误;t1~ 时间内位移为正值,且逐渐减小,振子由 N 向 O 运动,
2
选项 C 错误;O~ 时间内振子先沿正方向运动到最大位移之后,再沿负方向
2
运动到位移为零处, ~T 时间内先沿负方向运动到负的最大位移处,再沿正
方向运动到位移为零处,选项 D 错误。
答案:A
反思
质点做简谐运动的情况要和振动图象结合起来,利用简谐运动的图象
答案:AD
探究一对弹簧振子和简谐运动的理解
问题导引
如图所示,把一个有孔的小球装在弹簧的一端,弹簧的另一端固定,小球
穿在杆上,把小球拉向右方,然后放开,它就左右运动起来。则此装置满足什
么条件才可以看作弹簧振子?
提示:杆光滑,小球可以在杆上自由滑动;弹簧为轻弹簧,质量可以忽略;
15-8双振子模型
专题15—8 弹簧双振子模型结论例：在光滑水平长直轨道上，放着一个静止的弹簧振子，它由一轻弹簧两端各联结一个小球构成，两小球质量相等，现突然给左端小球一个向右的速度V ，试分析从开始运动到弹簧第一次恢复原长这一过程中两球的运动情况并求弹簧第一次恢复到自然长度时，每个小球的速度？ [析与解]：刚开始，A 向右运动，B 静止，A 、B 间距离减小，弹簧被压缩，对两球产生斥力，相当于一般意义上的碰撞，此时A 动量减小，B 动量增加。
当两者速度相等时，两球间距离最小，弹簧形变量最大。
接着，A 、B 不会一直做匀速直线运动，弹簧要恢复原长，对两球产生斥力，A 动量继续减小，B 动量继续增加。
所以，到弹簧第一次恢复原长时，A 球动量最小，B 球动量最大。
在整个过程中，系统动量守恒，从开始到第一次恢复原长时，弹簧的弹性势能均为零，即系统的动能守恒。
A B mv mv mv =+222111222A B mv mv mv =+ 解得： A v v =0B v = （这组解即为刚开始两个物体的速度） 或 0A v =B v v = （此组解为弹簧第一次恢复原长时两个物体的速度）例1．图6所示，在光滑的水平面上，物体A 跟物体B 用一根不计质量的弹簧相连，另一物体C 跟物体B 靠在一起，但不与B 相连，它们的质量分别为m A =0．2 kg ，m B =m C =0．1 kg ．现用力将C 、B 和A 压在一起，使弹簧缩短，在这过程中，外力对弹簧做功7．2 J ．然后，由静止释放三物体．求：(1)弹簧伸长最大时，弹簧的弹性势能．(2)弹簧从伸长最大回复到原长时，A 、B 的速度．(设弹簧在弹性限度内)2．木块a 和b 用一根轻弹簧连接起来，放在光滑水平面上，a 的质量1kg 紧靠在墙壁上，在质量为2kg 的b 上施加向左的水平力使弹簧压缩，储存36J 的势能，如图1所示，当撤去外力后，al 离开墙壁后弹簧的最大势能是多少？图6AB C v例3．如图8所示，木块B 和木块C 的质量分别为3/4M 和M ，固定在长为L ，劲度系数为k 的弹簧的两端，静止于光滑的水平面上。
高中物理关于弹簧的8种模型
高中物理关于弹簧的8种模型:
1.简单弹簧模型：最基本的模型，将弹簧看作一个线性弹性体，满足胡克定律，即弹
簧力与变形量成正比。
2.质点弹簧模型：在简单弹簧模型的基础上，考虑到弹簧两端连接的物体的质量，将
其视为质点，分析弹簧振动、调和运动等问题。
3.弹簧振子模型：将弹簧与一定质量的物体（如小球）组合起来，形成一个简谐振动
系统，研究其振动频率、周期等特性。
4.弹簧串联模型：多个弹簧按照串联方式连接，研究整个系统的弹性特性和变形量的
分布情况。
5.弹簧并联模型：多个弹簧按照并联方式连接，研究整个系统的弹性特性和总的弹簧
常数。
6.弹簧平衡模型：将弹簧与其他物体相连接，使其处于平衡状态，通过分析受力平衡
条件，求解物体的位移和力的大小。
7.弹簧阻尼模型：考虑弹簧振动过程中存在的阻尼现象，引入阻尼系数，分析阻尼对
振动特性的影响。
8.非线性弹簧模型：考虑到弹簧在较大变形下不再满足胡克定律，采用非线性弹簧模
型进行分析，如非线性胡克定律、比例限制等。
简谐振动方程弹簧振子的振动理性化模型
1
常见的振动现象
合成
分解
复杂振动
若有两个同方向、同频率的简谐振动
x1 A t 1 ) 1 cos( x2 A2 cos(t 2 )
两个振动的合位移
x A cos(t )
合振动的振幅
A A A 2 A1 A2 cos( 2 1 )
2 1 2 2
x A cos(t )
2
x, v
简谐运动能量图
o
能量
x t
T
0 t x Acost v t v A sin t
1 E kA2 2 1 2 2 Ep kA cos t 2
o
T
T
3T
4
2
4
T
1 t Ek m 2 A2 sin 2 t 2
二、两个友 诉说了内心的忧虑.正在说话时，寺 院里的钟声响了，说来奇怪，磬也发 出了嗡嗡的响声.
共振的现象
和尚的朋友明白了原由，悄悄 用钢锉在磬上锉了几处. 从此之后， 磬再也不会无故发声了. 和尚以为 妖怪已被赶走，心事顿消，病也不 治而愈.
共振的原因
磬为什么会不敲自鸣呢？这是共振 引起的一种现象. 当一物体的振动频率 与另一物体的固有频率一致时，前者的 振动能引发后者的振动. 磬的频率偶然 地和钟的频率一样，因此每当钟响时, 磬也因共振而发出嗡嗡之声.
显然，和尚的朋友深通物理知识， 他不仅知道这是一种共振现象，而且知 道如何消除这种现象.他巧妙地在磬上锉 了几下，这就改变了磬的固有频率，使 磬与钟的频率不再一样，也就引 不起共鸣了.
解答题弹簧振子的周期公式
解答题弹簧振子的周期公式弹簧振子是物理学中经典的力学现象之一，具有重要的理论和实际应用价值。
在本文中，我们将解答弹簧振子的周期公式以及相关的物理概念。
一、弹簧振子的定义和物理模型弹簧振子指的是通过拉伸或压缩弹簧产生的振动现象。
其基本物理模型可以简化为一个质点（称为振子）沿直线轴线运动，该振子通过一个弹性强度为 k 的弹簧连接到一个固定点上。
二、弹簧振子的周期与频率弹簧振子的周期指的是振子完成一次完整振动所需的时间，用 T 表示；频率指的是单位时间内振动次数，用 f 表示。
周期和频率之间存在如下关系：T = 1/f其中，周期 T 的单位是秒，频率 f 的单位是赫兹（Hz）。
根据上述公式，周期和频率是互为倒数的量。
三、弹簧振子的周期公式推导弹簧振子的周期公式可以通过对其运动方程进行分析和求解来得到。
设振子在时间 t 时刻的位移为 x，通过对振子的运动方程进行推导和积分，可以得到如下结果：x = A * cos(ωt + φ)其中，A 表示振子的最大位移（振幅），ω 表示角频率，φ 表示初始相位。
对上述方程两边求二阶导数，可得到振子的加速度表达式：a = -A * ω^2 * cos(ωt + φ)根据胡克定律和牛顿第二定律，可以得到振子的运动方程为：m * a = -k * x其中，m 表示振子的质量，k 表示弹性系数。
将上述运动方程代入振子的加速度表达式中，可以得到：m * -A * ω^2 * cos(ωt + φ) = -k * A * cos(ωt + φ)简化上述方程，得到角频率与弹性系数和质量之间的关系：ω = sqrt(k/m)根据角频率的定义与周期的关系，可以得到周期公式：T = 2π/ω = 2π * sqrt(m/k)由此可见，弹簧振子的周期与其质量和弹性系数有关。
当质量或弹性系数增加时，周期增大；反之，周期缩短。
四、弹簧振子周期公式应用举例以一个具体的例子来说明弹簧振子周期公式的应用。
弹簧振子模型解题赏析
OAD h m 弹簧振子模型解题赏析弹簧振子问题中涉及力和位移、力和运动、功和能等关系问题，能很好的考查学生对相关知识点的掌握及分析问题的能力以及迁移能力。
基本知识点：（1）平衡位置处合力为零，加速度为零，速度达到最大。
（2）正负最大位移处合力最大，加速度最大且方向相反，速度为零。
（3）振动过程具有对称性 1.如图，在一直立的光滑管内放置一劲度系数为k 的轻质弹簧，管口上方O 点与弹簧上端初位置A 的距离为h ，一质量为m 的小球从O 点由静止下落，压缩弹簧至最低点D ，弹簧始终处于弹性限度内，不计空气阻力。
小球自O 点下落到最低点D 的过程中，下列说法中正确的是A ．小球最大速度的位置随h 的变化而变化B ．小球的最大速度与h 无关C ．小球的最大加速度大于重力加速度D ．弹簧的最大压缩量与h 成正比答案：C 【解析】：小球从O 到A 做自由落体运动，刚接触弹簧时加速度为g 且有一定的速度，此后弹力逐渐增大合力逐渐减小，小球做加速度减小的加速运动，直至弹力与重力相等时速度达到最大故最大速度的位置为平衡位置与初始高度h 无关故A 错误。
因系统的机械能守恒故初始高度h 越大其最大速度越大故B 错误。
若小球从A 处由静止下落则初速度为零加速度为g 由对称性可知其最低点比D 点要高，此时加速度最大为g 方向向上；而此问题小球下落到A 时已有一定的速度故运动到最低点D 时其最大加速度要比重力加速度大，故C 正确。
最大压缩量与h 有关但不成正比故D 错误。
2．如图2所示，小球从高处下落到竖直放置的轻弹簧上，从接触弹簧开始到将弹簧压缩到最短的过程中，下列叙述中正确的是( )A ．小球的速度一直减小B ．小球的加速度先减小后增大C ．小球加速度的最大值一定大于重力加速度D ．在该过程的位移中点上小球的速度最大 图2答案：BC 【解析】：小球接触弹簧后，所受弹力逐渐增大，弹力大于重力时，小球加速度向下，仍加速．当弹力大于重力，合力向上，小球向下减速运动，加速度变大，速度变小，直到速度为零，可知BC 正确．3．如图所示，轻质弹簧上端悬挂于天花板，下端系有质量为M 的圆板，处于平衡状态．开始一质量为m 的圆环套在弹簧外，与圆板距离为h ，让环自由下落撞击圆板，碰撞时间极短，碰后圆环与圆板共同向下运动，使弹簧伸长。
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5、简谐运动的表达式（简谐运动的位移-时间关系
根据一个简谐运动的振幅A、周期T、初相位φ0， 可以知道做简谐运动的物体在任意时刻t的位移x是
x
A sin( 2
T
t
0 )
x Asin(t 0 )
振动图象：正弦曲线
① A叫简谐运动的振幅.表示简谐运动的强弱. ② 叫圆频率.表示简谐运动的快慢.
x Asin(t )
质点再需经多少时间第三次经过M点？
例题7： 写出振动方程.
s
s
y=10sin(2π t) cm
x 10sin(2t )cm
2
或x 10cos 2t(cm)
一、描述简谐运动的物理量——振幅、 周期、频率和相位 振幅：描述振动强弱； 周期和频率：描述振动快慢; 相位：描述振动步调. 二、简谐运动的表达式：
2、周期T和频率f
做一做：测量小球振动的周期
如图 2.2-3，弹簧上端固定，下 端悬挂钢球。把钢球从平衡位置 向下拉一段距离 A，放手让其运 动，A 就是振动的振幅。用停表 测出钢球完成 n 个全振动所用的 时间 t， t /n就是振动的周期。n 的值取大一些可以减小测量误差。 再把振幅减小为原来的一半，用 同样的方法测量振动的周期。
第二节、简谐运动的描述 一、描述简谐运动的物理量 x Asin(t )
1、振幅A： 因为∣sin（ωt＋φ）∣≤1，所以∣x∣≤A，这说 明A是物体离开平衡位置的最大距离。
①定义:振动物体离开平衡位置的最大距离.(标量） ②意义:描述振动的强弱.
第二节、简谐运动的描述 一、描述简谐运动的物理量 x Asin(t )
过程中，函数值循环变化一次。这一变化过程 所需要的时间便是简谐运动的周期T。
弹簧振子模型
弹簧振子模型弹簧振子是一个常见的物理学模型，也是振动学的基础。
它是由质点和弹簧组成的系统，当质点或弹簧受到扰动时，整个系统会发生振动。
弹簧振子模型的研究不仅有助于我们理解振动现象的规律，还可以应用于多个领域，如机械工程、物理学及生物学等。
首先，让我们来了解一下弹簧振子的基本结构。
弹簧振子由一个质点和一个弹簧组成。
质点可以视作一个质量为m的小球，可以假设质点只能在一个维度上运动。
弹簧则被固定在一个支撑物上，它的一端与质点相连。
当质点偏离平衡位置时，弹簧会受到拉伸或压缩的作用力。
在弹簧振子中，存在着几个重要的物理量。
首先是质点的位移x，它表示质点相对于平衡位置的偏移量。
位移可以是正的（表示偏离平衡位置的方向），也可以是负的（表示朝向平衡位置的方向）。
其次是质点的速度v，它表示质点单位时间内通过的位移。
最后是质点的加速度a，它表示质点单位时间内速度的变化率。
在弹簧振子模型中，最关键的是描述质点的运动方程。
根据牛顿第二定律，质点的加速度等于它所受到的合力除以质量，即a=F/m。
在弹簧振子中，质点所受到的合力可以分为两部分：恢复力和阻尼力。
恢复力的大小与质点的位移成正比，方向与位移相反。
这个恢复力可以由弹簧的胡克定律来描述：F=-kx，其中k为弹簧的劲度系数。
阻尼力的大小与质点的速度成正比，方向与速度相反。
阻尼力可以由阻力系数b乘以质点的速度来描述：F=-bv。
将这些力代入到质点的运动方程中，可以得到弹簧振子的动力学方程：m*d²x/dt²=-kx-bv。
解决这个动力学方程可以得到弹簧振子的运动方程。
常见的解法包括分析法和数值模拟法。
在分析法中，我们可以通过假设解的形式，将动力学方程转化为微分方程，然后求解微分方程得到质点的位移关于时间的函数。
在数值模拟法中，我们可以使用数值计算的方法，例如欧拉方法或龙格-库塔方法，来逼近弹簧振子的运动方程的解。
这些方法能够在计算机上进行模拟，并给出近似解。
医用物理学03章机械振动和机械波
下面图形分别是脉搏的时序图和相应的傅里叶频 谱图.人类的脉搏是一种准周期振动,用傅里叶分 解技术可以将它分解,不同人的脉搏其分解得到 的成分也不相同,它比图形有更多的数字信息.
x 1 A 1 co 1 t ) s A 1 ( c2 o π 1 t s)(xx1x2 x 2 A 2 co 2 t ) s A 2 ( c2 o π 2 t s )(
讨论 A1 A2 ,2-1 12的情况
x x 1 x 2 A 1 c 2 π o 1 t A s 2 c 2 π o 2 t s
(二) 不同频率垂直振动合成
如果两个简谐振动的频率相差比较大,但有简 单的整数比时,那么合振动又具有稳定的封闭 轨迹.
图示的是频率比分别为2:1和3:1时合成振动的 轨迹.这种频率成简单整数比时所得的稳定的 轨迹图形叫做李萨如图形(Lissajous’ figures).
两
相
互 垂 直 同 频 率 不 同 相
§3-1 弹簧振子和简谐振动
❖弹簧振子 弹簧振子由一个轻弹簧、一个质量 为m的物体块组成理想模型.弹簧的一端被固定 不动,另一端与物体相连.假设弹簧的质量很小, 物体块与地面的摩擦力忽略不计.当弹簧偏离平 衡位置时,弹簧的恢复力与物体的位移成反比.
Fm
O
x
简谐振动(simple harmonic motion)
总能量为两者之和,即
EE pE k
1 2k2A co 2(st0)1 2k2A s i2(n t0)1 2k2A
§3-3 简单的非理想振动
真实物理世界的振动并非都接近理想情况.在 自然状态下,振子在振动时一般会受到摩擦阻 力的作用而使运动能量减小.在人为状态下,为 了维持振动可以施加筹划力.
非理想情况的振动可归类为：阻尼振动和受 迫振动.
高二物理(人教版)精品讲义—简谐运动
高二物理（人教版）精品讲义—简谐运动课程标准课标解读1.通过对弹簧振子的研究，体会理想模型的建立方法。
2.通过利用数码相机、频闪仪和计算机等现代化工具，探究弹簧振子的位移随时间的变化规律。
3.通过对简谐运动图像的绘制，体会并总结简谐运动的规律。
1.知道什么是弹簧振子，理解弹簧振子是一种理想化的物理模型.2.借助弹簧振子理解一次全振动、平衡位置及简谐运动的位移等概念.3.知道什么是简谐运动，知道简谐运动的振动图像为正弦曲线(或余弦曲线)，知道描述简谐运动的常用物理量及意义.知识点01弹簧振子模型1.如图所示，如果小球与杆之间的摩擦可以不计，且弹簧的质量与小球的质量相比也可以忽略，则该装置为弹簧振子．2.弹簧振子的位移—时间图像以纵坐标表示振子的位移，横坐标表示时间，描绘出简谐运动的振子的位移随时间变化的图像，称为简谐运动的图像，简谐运动的图像是一条正弦(或余弦)曲线．【即学即练1】(多选)下列运动属于机械振动的是()A ．说话时声带的运动B ．弹簧振子在竖直方向的上下运动C ．体育课上同学进行25米折返跑D ．竖直向上抛出的物体的运动【答案】AB【解析】机械振动的特点是物体在平衡位置附近做往复运动．知识点02简谐运动1.定义：如果做机械振动的质点，其位移与时间的关系遵从正弦(或余弦)函数规律，这样的振动叫做简谐运动．2.特点：简谐运动是最简单、最基本的振动．弹簧振子的运动就是简谐运动．【即学即练2】关于简谐运动，下列说法正确的是()A．简谐运动一定是水平方向的运动B．所有的振动都可以看作是简谐运动C．物体做简谐运动时的轨迹线一定是正弦曲线D．只要振动图象是正弦曲线，物体一定做简谐运动【答案】D【解析】物体的简谐运动并不一定只在水平方向发生，各个方向都有可能发生，A错；简谐运动是最简单的振动，B错；物体做简谐运动时的轨迹线并不一定是正弦曲线，C错；若物体振动的图象是正弦曲线，则其一定做简谐运动，D对．考法01简谐运动的图像1．弹簧振子(1)组成：如图所示，它是由弹簧和小球(振子)组成的，是一个理想模型．(2)理想化要求：小球在杆上能够自由滑动，球与杆间的摩擦可以不计，弹簧的质量与小球的质量相比也可以忽略．(3)平衡位置：小球原来静止时的位置．(4)机械振动：小球在平衡位置附近所做的周期性的往复运动，简称振动．(5)全振动：振动物体往返一次(以后完全重复原来的运动)的运动叫做一次全振动．如图4所示，对于水平方向运动的弹簧振子：A→O→B→O→A，即为一次全振动．(6)位移—时间图像①坐标系的建立：为了研究振子的运动规律，以小球的平衡位置为坐标原点，用横坐标表示振子振动的时间，用纵坐标表示振子相对平衡位置的位移，建立坐标系，如图所示，这就是弹簧振子运动时的位移—时间图像．②物理意义：振动图像表示振子相对平衡位置的位移随振动时间的变化规律．③振动图像：理论和实验表明，弹簧振子振动时，其位移—时间图像是正弦曲线(或余弦曲线)．2．简谐运动如果质点的位移与时间的关系遵从正弦(或余弦)函数的规律，即它的振动图像(x －t图像)是一条正弦(或余弦)曲线，这样的振动叫做简谐运动．简谐运动是最简单、最基本的振动．弹簧振子的振动就是简谐运动．【典例1】(多选)如图甲所示，一弹簧振子在A、B间振动，取向右为正方向，振子经过O点时开始计时，其振动的x－t图象如图乙所示．则下列说法中正确的是()A．t2时刻振子在A点B．t2时刻振子在B点C．在t1～t2时间内，振子的位移在增大D．在t3～t4时间内，振子的位移在减小【答案】AC【解析】振子在A点和B点时的位移最大，由于取向右为正方向，所以振子运动到A点有正向最大位移，在B点有负向最大位移，则t2时刻，振子在A点，t4时刻，振子在B点，故选项A正确，B错误；振子的位移是以平衡位置为参考点的，所以在t1～t2和t3～t4时间内振子的位移都在增大，故选项C正确，D错误．【典例2】(多选)如图所示是表示某弹簧振子运动的x－t图象，下列说法正确的是()A．t1时刻振子正通过平衡位置向正方向运动B．t2时刻振子的位移最大C．t3时刻振子正通过平衡位置向正方向运动D．该图象是从振子在平衡位置时开始计时画出的【答案】BC【解析】从题图可以看出，t＝0时刻，振子在正的最大位移处，因此是从正的最大位移处开始计时画出的图象，D选项错误；t1时刻以后振子的位移为负，因此t1时刻振子正通过平衡位置向负方向运动，A选项错误；t2时刻振子在负的最大位移处，因此可以说是振子的位移最大，B选项正确；t3时刻以后，振子的位移为正，所以该时刻振子正通过平衡位置向正方向运动，C选项正确．题组A基础过关练一、单选题1．在弹簧振子做简谐运动的过程中，当振子从最大位移处向平衡位置运动时，下列说法中正确的是（）A．加速度逐渐减小，速度也逐渐减小B．是匀加速运动C．加速度与速度的方向都与位移的方向相反D．回复力逐渐增加，速度也逐渐增加【答案】C【解析】做简谐运动的物体，在由最大位移处向平衡位置运动过程中，位移减小，回复力F=-kx也减小（负号表示方向与位移方向相反），故加速度kxam=-也减小（负号表示方向与位移方向相反），速度增大．振子做加速度减小的加速运动．故C正确，ABD错误.2．下列振动中可以看作一个简谐运动的是（）.A．讲话时声带的振动B．音叉的振动C．心脏的跳动D．秋风中树叶的振动【答案】B【解析】当某物体进行简谐运动时，物体所受的力跟位移成正比，并且总是指向平衡位置，它是一种由自身系统性质决定的周期性运动。
机械简谐运动的两种典型模型
机械简谐运动的两种典型模型弹簧振子模型弹簧振子是机械简谐运动的经典模型之一，它是理解力学振动现象的基础。
弹簧振子的原理弹簧振子由一个质点和一个弹簧组成。
当质点不受外力作用时，由于弹簧的弹性力，质点会沿着与弹簧平行的轴线上做周期性的振动。
弹簧振子的运动方程对于一个弹簧振子，其运动方程可以表示为：m * a + k * x = 0其中，m是质点的质量，a是质点的加速度，k是弹簧的弹性系数，x是质点与平衡位置的位移。
弹簧振子的解析解弹簧振子的运动方程是一个二阶线性常微分方程，可以通过求解得到其解析解。
假设质点的初始位置为x0，初始速度为v0，则弹簧振子的解析解为：x(t) = A * cos(ωt + φ)其中，A是振幅（即位移的最大值），ω是角频率，φ是相位常数。
根据初始条件，可以得到：A = sqrt(x0^2 + (v0/ω)^2)φ = -arctan(v0/(ω*x0))弹簧振子的周期和频率弹簧振子的周期和频率与弹簧的弹性系数和质点的质量有关。
周期可以表示为：T = (2π) / ω频率可以表示为：f = 1 / T = ω / (2π)弹簧振子的应用弹簧振子的简单结构和运动规律使其在实际应用中具有广泛的用途。
例如：•音叉是一种利用弹簧振子的原理制造的乐器，用于产生特定频率的声音。
•汽车悬挂系统中常使用弹簧振子来减震，提高行车的平稳性。
•建筑工程中，利用弹簧振子的原理可以设计出隔震系统，有效减少地震对建筑物的影响。
单摆模型单摆是另一个常用的机械简谐运动模型，通过在重力场中运动，可以产生具有固定周期的振动。
单摆的原理单摆由一个质点和一个细长不可伸缩的线组成。
当质点在重力下，沿着线的垂直方向进行摆动时，可以产生简谐振动。
单摆的运动方程对于一个单摆，其运动方程可以表示为：m * g * sin(θ) = -m * l * θ''其中，m是质点的质量，g是重力加速度，l是单摆的长度，θ是质点与竖直方向的夹角，θ''是质点的角加速度。
《弹簧振子》模型
“弹簧振子”模型太原市第十二中学 姚维明模型建构：【模型】常见弹簧振子及其类型问题在简谐运动中，我们对弹簧振子（如图1，简称模型甲）比较熟悉。
在学习过程中，我们经常会遇到与此相类似的一个模型（如图2，简称模型乙）。
认真比较两种模型的区别和联系，对于培养我们的思维品质，提高我们的解题能力有一定的意义。
【特点】①弹簧振子做简谐运动时，回复力F=-kx ，“回复力”为振子运动方向上的合力。
加速度为mkx a -= ②简谐运动具有对称性，即以平衡位置（a=0）为圆心，两侧对称点回复力、加速度、位移都是对称的。
这是解题的关键。
模型典案：【典案1】把一个小球挂在一个竖直的弹簧上，如图2。
当它平衡后再用力向下拉伸一小段距离后轻轻放手，使小球上下振动。
试证明小球的振动是简谐振动。
〖证明〗设弹簧劲度系数为k ，不受拉力时的长度为l 0，小球质量为m ，当挂上小球平衡时，弹簧的伸长量为x 0。
由题意得mg=kx 0容易判断，由重力和弹力的合力作为振动的回复力假设在振动过程中的某一瞬间，小球在平衡位置下方，离开平衡位置O 的距离为x,取向下的方向为正方向则回复力F=mg+[-k(x 0+x)]=mg-kx 0-kx= -kx根据简谐运动定义，得证比较：（1）两种模型中，弹簧振子都是作简谐运动。
这是它们的相同之处。
(2）模型甲中，由弹簧的弹力提供回复力。
因此，位移(x)，回复力(F)，速度(v)，加速度(a)，各量大小是关于平衡位置O 点对称的。
(3)模型乙中，由弹簧的弹力和重力两者的合力提供回复力。
弹簧的弹力大小关于平衡位置是不对称．．．的，这点要特别注意。
但是，回复力（加速度）大小关于平衡位置是对称．．的。
在解题时我们经常用到这点。
【典案2】如图3所示，质量为m 的物块放在弹簧上，弹簧在竖直方向上做简谐运动，当振幅为A 时，物体对弹簧的最大压力是物重的1.8倍，则物体对弹簧的最小压力是物重的多少倍？欲使物体在弹簧振动中不离开弹簧，其振幅最大为多少？〖解析〗1)选物体为研究对象，画出其振动过程的几个特殊点，如图4所示，O 为平衡位置，P 为最高点，Q 为最低点。
简谐振动原理与弹簧振子模型的深度剖析
简谐振动原理与弹簧振子模型的深度剖析简谐振动是物体围绕平衡位置作周期性来回振动的现象。
在自然界和工程领域中，简谐振动是一种常见且重要的现象，而弹簧振子则是简谐振动的经典模型之一。
本文将深度剖析简谐振动的基本原理以及弹簧振子模型的相关内容。
简谐振动原理简谐振动有着许多重要的特点和原理，其中最基本的包括以下几点：1.平衡位置：简谐振动的平衡位置是物体在没有外力作用时停留的位置，也称为零位移位置。
2.恢复力：当物体离开平衡位置时，会有一个恢复力作用于物体，使其向平衡位置回归。
这个恢复力与物体偏离平衡位置的距离成正比。
3.振动频率：简谐振动的频率只与所受的恢复力和振动体的质量有关，与振动的起始位移大小无关。
4.振动幅度：振动的振幅是指物体从平衡位置最大位移的大小。
5.相位：相位表示振动的状态，通过相位可以描述振动的变化规律。
弹簧振子模型弹簧振子是简谐振动的一个典型模型，它由一个质点和一个弹簧组成。
在弹簧振子模型中，质点在弹簧的作用下作周期性的振动。
弹簧的劲度系数弹簧的劲度系数是描述弹簧硬度的物理量，表示单位长度或单位变形下的弹性力大小。
通常用符号k表示。
振动方程对于弹簧振子模型，其振动满足简谐振动的基本特点，可以根据牛顿第二定律得到其运动方程：$$ m\\frac{d^2x}{dt^2} + kx = 0 $$其中，m为质点的质量，x为质点的位移，t为时间。
振动频率和周期根据弹簧振子的振动方程，可以推导出弹簧振子的振动频率和周期：$$ f = \\frac{1}{2\\pi}\\sqrt{\\frac{k}{m}} $$$$ T = \\frac{1}{f} $$其中，f为振动频率，T为振动周期。
振动能量弹簧振子在振动过程中会周期性地转化弹性势能和动能。
其总能量可以表示为：$$ E = \\frac{1}{2}kA^2 = \\frac{1}{2}m\\omega^2A^2 $$其中，A为振幅，$\\omega$为角频率。
弹簧振子模型教案
弹簧振子模型教案引言：弹簧振子是物理学中一种经典的振动系统，对于理解振动和波动现象具有重要的作用。
弹簧振子模型教案旨在帮助学生理解弹簧振子的基本原理、公式推导以及振动的性质和特点。
本文档将介绍一个针对中学生的弹簧振子模型教案，旨在帮助教师有效教授该内容，并激发学生的学习兴趣。
教案概述：本教案的目标是让学生了解并熟悉弹簧振子的基本概念、公式、图像和性质。
通过理论讲解、实例分析和实践操作，学生将能够掌握测量弹簧振子的周期、频率和振幅的方法，并理解弹簧振子的物理原理和数学表达式。
通过实验，学生将验证弹簧振子的周期与弹簧劲度系数和振子质量的关系，进一步巩固对该模型的理解。
教案步骤：1. 引入：通过简短的视频或图像展示介绍弹簧振子的概念，并引导学生思考振动的定义以及常见的振动现象。
2. 理论讲解：介绍弹簧振子的结构和运动过程，解释振幅、周期和频率的定义，并推导出弹簧振子的运动方程。
3. 案例分析：通过几个实际案例的分析，帮助学生理解弹簧振子的运动规律和数学表达式。
例如，一个质点在弹簧的拉力下进行简谐振动的示例。
4. 实践操作：将学生分成小组，使用给定的弹簧振子装置测量不同弹簧的周期、频率和振幅，并记录结果。
引导学生分析数据，总结弹簧劲度系数和振子质量对周期的影响。
5. 实验验证：进行一个简单的实验，验证弹簧振子的周期与弹簧劲度系数和振子质量的关系。
学生将根据实验结果，进一步了解弹簧振子的特点和性质。
6. 总结：通过小组或全班讨论，总结学生对弹簧振子的理解和学习成果。
重点强调弹簧振子的数学模型和物理原理，并与实际应用进行联系。
教学资源：1. 弹簧振子模型装置2. 实验记录表格3. 计时器或振动频率测量仪器4. 弹簧、挂钩和质点等实验用具评估与反馈：1. 实验数据记录和分析2. 小组或个人练习题3. 教师针对学生的讨论和提问4. 学生对弹簧振子模型的应用理解和展示扩展活动：1. 与弹簧振子相关的实际应用探究，如钟摆、天秤等。
高中物理必考18个模型总结
高中物理必考18个模型总结高中物理必考18个模型总结1. 牛顿第一定律：物体的运动状态不会改变，除非外力的作用。
2. 牛顿第二定律：物体受到的外力与物体的加速度成正比。
3. 牛顿第三定律：相互作用的两个物体之间的力大小相等，方向相反。
4. 弹簧振子模型：弹性力与重力之间的竞争作用形成振动。
5. 牛顿万有引力定律：两个物体之间的万有引力与它们的质量成正比，与它们之间距离的平方成反比。
6. 热力学模型：物体的温度与其内部粒子的平均动能有关。
7. 熵的增加模型：在孤立系统中，系统中的熵一定会增加，直到达到最大值。
8. 热传导模型：高温物体中的热量会流向低温物体，直到两者达到热平衡。
9. 安培环路定理模型：电路中的各个元件形成一个回路，所通过回路的电流总和等于零。
10. 电容器模型：电容器存储电荷，它的电容量与板之间的距离和电介质的介电常数有关。
11. 磁场模型：一个带电的粒子在磁场中会受到一个垂直于磁场方向的力。
12. 波动模型：波动是沿着传播方向传递的能量或信息。
13. 等离子体模型：由气体中的离子和自由电子组成的四态物质。
14. 半导体模型：半导体的电流与掺杂类型和施主、受主杂质的浓度有关。
15. 能带模型：固体的电导率与其能带结构有关，能带上的电子以电荷载流子的形式参与电导。
16. 布拉格衍射模型：X射线穿过晶体时遇到空间周期性结构，会产生衍射。
17. 激光模型：激光的产生是通过激发原子的外部电子，使它们释放急速衰减的光子。
18. 星际物质模型：由物质和不同类型的辐射组成，对宇宙学和天文学研究非常重要。
以上就是高中物理必考的18个模型总结，希望能够帮助大家更好地学习和理解物理知识。
机械简谐运动的两种典型模型
● 基础知识落实 ●1、弹簧振子： 2.单摆（1）.在一条不可伸长、不计质量的细线下端系一质点所形成的装置.单摆是实际摆的理想化物理模型. （2）.单摆做简谐运动的回复力单摆做简谐运动的回复力是由重力mg 沿圆弧切线的分力 F ＝mgsin θ 提供(不是摆球所受的合外力)，θ为细线与竖直方向的夹角，叫偏角.当θ很小时，圆弧可以近似地看成直线，分力F 可以近似地看做沿这条直线作用，这时可以证明F ＝－tmgx ＝－kx .可见θ很小时，单摆的振动是 简谐运动 . （3）.单摆的周期公式专题二 简谐运动的两种典型模型①单摆的等时性：在振幅很小时，单摆的周期与单摆的 振幅 无关，单摆的这种性质叫单摆的等时性，是 伽利略 首先发现的.②单摆的周期公式 π2 g l T =，由此式可知T ∝g1，T 与 振幅 及 摆球质量 无关. （4）.单摆的应用①计时器：利用单摆的等时性制成计时仪器，如摆钟等，由单摆的周期公式知道调节单摆摆长即可调节钟表快慢.②测定重力加速度：由gl T π2=变形得g ＝22π4T l ，只要测出单摆的摆长和振动周期，就可以求出当地的重力加速度.③秒摆的周期 秒 摆长大约 米 （5）.单摆的能量摆长为l ，摆球质量为m ，最大偏角为θ，选最低点为重力势能零点，则摆动过程中的总机械能为:E ＝ mgl (1－cos θ) ，在最低点的速度为v ＝ ) cos 1(2 θ-gl .知识点一、弹簧振子：1、定义：一根轻质弹簧一端固定，另一端系一质量为m 的小球就构成一弹簧振子。
2、回复力：水平方向振动的弹簧振子，其回复力由弹簧弹力提供；竖直方向振动的弹簧振子，其回复力由重力和弹簧弹力的合力提供。
3、弹簧振子的周期：km T π2= ① 除受迫振动外，振动周期由振动系统本身的性质决定。
②弹簧振子的周期和频率只取决于弹簧的劲度系数和振子的质量，与其放置的环境和放置的方式无任何关系。
如某一弹簧振子做简谐运动时的周期为T，不管把它放在地球上、月球上还是卫星中；是水平放置、倾斜放置还是竖直放置；振幅是大还是小，只要还是该振子，那它的周期就还是T。
弹簧振子模型的拓展应用
弹簧振子模型的拓展应用姜树青（浙江省平湖中学，浙江 平湖 314200）弹簧振子模型是中学物理里重要的模型之一，扩展应用该模型解题，能使学生对所学知识融会贯通，对提高学生解题能力大有帮助。
本文拟以弹簧振子在滑动摩擦阻尼下的振动为例，介绍笔者在竞赛辅导教学中是如何拓展应用弹簧振子模型的.题目：质量为10.0kg 的物块（可视为质点），静放在粗糙的水平面上，物块与水平面间的动摩擦因数为0.24，劲度系数为103N /m 的水平、轻质、原长足够长的弹簧，左端固定在墙壁上，右端与物块相连.开始物体位于O 点，此时弹簧处于原长状态，如图1所示.现把物块向右拉离平衡位置30.0厘米，然后释手．问从释手到物块最终静止：（1）物块共发生多少次运动方向的转折？（2）物块运动经历的总时间为多少？（3）物块运动经历的总路程为多少？（4）物块最终静止在平衡位置O 的哪一侧？距平衡位置O 的距离为多少？（g 取10米/秒2）笔者首先领着学生对本题稍作分析：由于题给水平面粗糙，物块振动时受摩擦阻尼，虽然摩擦力的大小恒定，但方向随振动而改变，加之弹簧的力是变力，所以物块受合力大小、方向均不恒定，无法应用牛顿定律；再者，不知物块最终静止在何处（未必就在弹簧原长位置O ，也未必在摩擦力和弹簧力相平衡处！），即无法确定系统的末状态，使得问题从功能角度考虑也很麻烦，乍看起来，解决此题似乎只有中学数学知识是不够的.其实，本问题可由弹簧振子模型拓展等效来解决. 一、问题如何由弹簧振子模型拓展等效？笔者请同学们考虑前面早已学过、大家熟知的如下图2、3所示的两种模型——一弹簧振子装置分别竖直悬吊和竖直固定地面两种情形．两种情况下小球的振动仍是简谐的，而且周期都等于装置水平放置的周期2πk m .两种情况下的平衡位置均已不在弹簧的原长位置O 处，而在重力和弹力相平衡处，图2中的平衡位置在弹簧伸长量0x =mg/k 的/1O 处；图3中的平衡位置在弹簧压缩量0x =mg/k 的/2O 处，这是中学物理常见的题目.接下来，笔者问：设想把图2的小球从其平衡位置/1O 下拉至某一位置然后释手，小球上升，此上升段的小球受力如何？然后和同学们一起分析：小球除受弹簧简谐弹力外，还受到一个阻碍小球向上运动的恒力——重力，这一物理图景和图1中物块释手后从最右端向左运动时的物理图景相同——这时阻碍物块相左运动且大小恒定的滑动摩擦力，相当于图2中小球受的重力，而且图2中的平衡位置/1O 相当于图1中物块向左运动时，受向右的滑动摩擦力和弹力相平衡的位置（合力为零），于图1中原弹簧位置O 的右侧f / k 处，可见，图1物块向左运动时可以由图2中小球向上振动的模型等效替代！再问：若设想把图3的小球从其平衡位置/2O 下压至某一位置然后释手，小球上升，此上升段小球受力如何？进一步让学生分析：小球受两个力，一是弹簧的简谐弹力，一是阻碍小球小球向上运动的恒力——小球的重力．这一物理图景又和图1中物块从最左端转折向右运动时的图景相同——这时阻碍物块向右运动、大小恒定的滑动摩擦力，则相当于图3中小球受的重力．这里，图3中的平衡位置/2O 相当于图1中物块向右运动时，受向左的滑动摩擦力和弹力向平衡的位置（此位置合力亦为零），在图1中弹簧原长位置O 的左侧f/k 处，所以图1物块向右运动时，可以由图3中小球向上振动的模型等效替代！课进至此，时机已经成熟．笔者问：哪位同学能把这一阻尼振动中，物块左右运动的脉络粗略地勾勒一下？话音刚落，同学们都争着回答，一个个胳膊如旗杆般举了起来．我作最后总结，并明确：我们可以把图1中物块做阻尼振动的往复运动看作图2和图3中两个小球上升运动模型的等效组合． 二、对上述问题作进一步讨论然后，我和学生一起对问题进一步深入剖析． 设想图1中物块向左、右振动时，摩擦力和弹簧弹力相等的位置分别是/1O 和/2O ，并设想它们距O 均为0x ,则0x =mg μ/k,若开始时物块拉离平衡位置的距离不大于0x ,物块将静止不动，为形象、方便起见，以下讨论中我们称这一闭区间为死区，把/1O /2O `之间的距离20x 叫死区宽度，物块最终停下来时必然落在死区内；若物块振动中对平衡位置O 的距离大于0x ，由于弹力大于摩擦力，物块便不能静止，自然地把死区以外的左右两侧区域称为左活区和右活区，物块振动中速度方向的转折点必然落在活区内，如下图4所示由图2、3的等效模型，可得以下两个结论： （1）物块向左运动时，必关于/1O 对称，所以不妨把/1O 叫右侧等效平衡位置；同理，物块向右运动时，必关于/2O 对称，把/2O 叫左侧等效平衡位置．比如：假设下图5中死区宽度/1O /2O =80cm ，物块开始拉离平衡位置O 的距离O 0A =285cm ，则接下来的振动情况是第一次到达左侧转折点1B ,有 1B 1b =0A a 0=285-O /1O =245(cm)第二次到达右侧转折点1A ,有 1A 1a =1B 1b －/1O /2O =245－80=165(cm)第二次到达左侧转折点2B ,有 2B 2b =1A 1a －/1O /2O =165－80=85(cm) 由于2B 点距左侧的等效平衡位置/2O 的距离为85－80=5(cm),所以当物块从2B 点折回向右运动时，“闯入”死区，便静止在与2B 点关于位置/2O 对称的C 点处，2a C = 5cm.(2)尽管物块的振幅逐渐衰减，直至静止在死区，但静止前相邻两次速度方向转折所间隔的时间相同，均等于对应的无阻尼情况下的半周期T /2.为使讨论结果具有普遍性，设弹簧的劲度系数为k,物块质量m ,物块和水平面间的动摩擦因数为μ，把物块向右拉至距离平衡位置O 为L (L >mg μ/k )的0A 位置后释手，/1O 和/2O 分别是当物块向左、右运动时，弹簧力和滑动摩擦力相平衡的位置，死区宽度/1O /2O =20x =2mg μ/k. 物块在右活区的转折点依次用1A 、2A 、3A ……表示；在左活区的转折点依次用1B 、2B 、3B ……表示。
简谐振动方程弹簧振子的振动理性化模型
T
A
v vt 图
t
v A sin(t ) A
O
Tt
A cos(t π ) A
2
a a t图
a A 2 cos(t ) A 2
O
Tt
A 2 cos(t π ) A 2
2 振幅 周期和频率 相位
x xt图
“ t+” 叫简谐运动的相位.表示 简谐运动所处的状态. 叫初相位简称初相，即t=0时 的相位.
振幅A和初相 都由初始条件 决定
3 简谐振动的能量
x 以A 弹co簧s(振t子为例)
v A sin(t )
Ek
1 2
mv2
1 2
m 2 A2
sin2 (t
)
Ep
1 2
k
x2
1 2
kA2
c
os2
(t
)
2 k /m
E线性E恢k 复 E力p是保12守kA力2 ，做A简2 谐运动的系统机械能守恒
以弹簧振子为例
F kx x Acos(t )
v A sin(t )
Ek
1 2
mv2
1 2
m 2 A2
磬无故而鸣，使和尚大为惊奇， 渐渐由惊而疑，由疑而怯，一听到 磬发出声音，就坐卧不安，心惊肉 跳，以为是妖孽作怪，结果忧虑成 疾，病倒在床.
共振的现象
一天，和尚向前来探望他的朋友 诉说了内心的忧虑.正在说话时，寺 院里的钟声响了，说来奇怪，磬也发 出了嗡嗡的响声.
共振的现象
和尚的朋友明白了原由，悄悄 用钢锉在磬上锉了几处. 从此之后， 磬再也不会无故发声了. 和尚以为 妖怪已被赶走，心事顿消，病也不 治而愈.
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“弹簧振子”模型太原市第十二中学 姚维明模型建构：【模型】常见弹簧振子及其类型问题在简谐运动中，我们对弹簧振子（如图1，简称模型甲）比较熟悉。
在学习过程中，我们经常会遇到与此相类似的一个模型（如图2，简称模型乙）。
认真比较两种模型的区别和联系，对于培养我们的思维品质，提高我们的解题能力有一定的意义。
【特点】①弹簧振子做简谐运动时，回复力F=-kx ，“回复力”为振子运动方向上的合力。
加速度为m kx a -= ②简谐运动具有对称性，即以平衡位置（a=0）为圆心，两侧对称点回复力、加速度、位移都是对称的。
这是解题的关键。
模型典案：【典案1】把一个小球挂在一个竖直的弹簧上，如图2。
当它平衡后再用力向下拉伸一小段距离后轻轻放手，使小球上下振动。
试证明小球的振动是简谐振动。
〖证明〗设弹簧劲度系数为k ，不受拉力时的长度为l0，小球质量为m ，当挂上小球平衡时，弹簧的伸长量为x0。
由题意得mg=kx0容易判断，由重力和弹力的合力作为振动的回复力假设在振动过程中的某一瞬间，小球在平衡位置下方，离开平衡位置O 的距离为x,取向下的方向为正方向则回复力F=mg+[-k(x0+x)]=mg-kx0-kx= -kx根据简谐运动定义，得证比较：（1）两种模型中，弹簧振子都是作简谐运动。
这是它们的相同之处。
(2）模型甲中，由弹簧的弹力提供回复力。
因此，位移(x)，回复力(F)，速度(v)，加速度(a)，各量大小是关于平衡位置O 点对称的。
(3)模型乙中，由弹簧的弹力和重力两者的合力提供回复力。
弹簧的弹力大小关于平衡位置是不对称的，这点要特别注意。
但是，回复力（加速度）大小关于平衡位置是对称的。
在解题时我们经常用到这点。
【典案2】如图3所示，质量为m 的物块放在弹簧上，弹簧在竖直方向上做简谐运动，当振幅为A 时，物体对弹簧的最大压力是物重的1.8倍，则物体对弹簧的最小压力是物重的多少倍？欲使物体在弹簧振动中不离开弹簧，其振幅最大为多少？ 〖解析〗1)选物体为研究对象，画出其振动过程的几个特殊点，如图4所示，O 为平衡位置，P 为最高点，Q 为最低点。
经判断,可知物体对弹簧的最大压力在Q 处,Fmax=1.8mg.图2 m 图3F min a P mg P 点 图1m a Q =(Fmax-mg)/m=(1.8mg-mg)/m=0.8g 物体对弹簧的最小压力时，在P 处,根据对称性知aP=aQ ·a Q =(mg- F min)/mF min/mg=0.2(2)欲使物体在振动过程不离开弹簧，只需在最高点（P 点）满足N≠0即可。
其离开弹簧的临界条件为N=0。
此时，ap′=g 。
设振幅最大值为A′，劲度系数为k ，则有kA=map kA′=map′联列两式得 A′=1.25A模型体验：【体验1】如图5所示，一升降机在箱底装有若干个弹簧，设在某次事故中，升降机吊索在空中断裂，忽略摩擦力，则升降机在下端接触地后直到最低点的一段运动过程（ ）A.升降机的速度不断减小B.升降机的加速度不断变大C.先是弹力做的负功小于重力做的正功,然后是弹力做的负功大于重力做的正功D.到最低点时,升降机加速度的值一定大于重力加速度的值.〖解析〗本题实质上是模型乙的变形。
升降机吊索断裂后先做自由落体运动，当弹簧与地面接触后,容易判断,v 先增大后减小,a 先减小后增大，则AB 错。
根据动能定理容易判断C 正确。
难度较大的是D 选项。
我们可以把升降机简化为如图6所示的弹簧振子,弹簧刚触地时升降机位置在A 处，升降机向下运动到最低点位置为B 处,速度最大位置为O 处（即简谐运动的平衡位置），则B 为位移等于振幅位置。
由振子的对称关系,不难判断点A 并非位移等于振幅位置, 与A 点关于O 点对称的点应在B 点上方。
在A 点a=g 方向向下，所以在B 处a 一定大于g ，方向向上。
【体验2】如图7所示，两木块质量分别为m ﹑M ，用劲度系数为k 的轻弹簧连在一起，放在水平地面上，将木块m 压下一段距离后释放，它就上下作简谐运动。
在运动过程中木块M 刚好始终不离开地面（即它对地面最小压力为零）。
（1）则木块m 的最大加速度大小是多少？（2）木块M 对地面最大压力是多少？〖解析〗（1）在m 运动过程中，弹簧对m ﹑M 施加的弹力的方向可以向上也可以向下。
选M 为研究对象，刚好始终不离开地面即FNmin=0由平衡条件F +FN=Mg,可知F max=Mg此时，弹簧处于伸长状态，m 具有向下的加速度（失重）要使木块m 的加速度最大，应该使弹力F 最大am=(F max+mg)/m=(M+m)g/m（2）要使木块M 对地面的压力最大，此时弹簧对M 的弹力方向应向下。
(此时，弹簧处于压缩状态)选M 为研究对象，对其受力分析FN′= F′+ Mg A AB O 图5 图6 a A =g a B ﹥g a O =0要使FN′最大，则F′最大这里要注意，'m ax F ≠F Nmax = Mg根据木块m 做简谐运动的特点，（1）（2）两种情况，加速度大小相等。
对m, 有 'm ax F － mg = mam'm ax F =mg+mam （3） am= (M+m)g/m联列三式，得F/Nmax =Mg+F′=2(M+m)g根据牛顿第三定律FN ﹡=-F/Nmax = 2(M+m)g【体验3】如图9所示，质量为3m 的框架，放在一水平台秤上，一轻质弹簧上端固定在框架上，下端拴一质量为m 的金属小球，小球上下振动，当小球振动到最低点时，台秤的示数为5mg ，求小球运动到最高点时，台秤的示数为_____________，小球的瞬时加速度的大小为_____________。
〖解析〗当小球运动到最低点时，台秤示数为5mg ，即框架和小球这一整体对台秤压力的大小为5mg由牛顿第三定律知，台秤对这一整体的支持力也为5mg由牛顿第二定律可知小球在该时刻有向上的加速度，设该时刻小球加速度大小为a ，此时框架的加速度大小为0则对框架与小球这一整体应用牛顿第二定律得()034⨯+⨯=-=+-m a m mg F g m M F N N解得：a g =由弹簧振子的典型特征1知识，小球运动到最高点，即最低点的对称点时，小球加速度的大小也为g ，方向竖直向下，所以该时弹簧处于原长，台秤的示数为框架的质量3mg 。
*【体验4】如图10所示，在光滑的水平面上，有滑块A 和B ，A 和B 的质量均为10g ，现有一轻质弹簧固定在两滑块右方的墙壁上，弹簧的劲度系数为k N m =2/。
开始时两滑块均静止，现给A 滑块一冲量，使其以10m/s 的速度向右滑行，并与B 相碰后，与B 粘在一起，碰撞时间很短。
求弹簧与墙有作用力的时间。
【解析】滑块A 向右与滑块B 相碰粘合一起，由动量守恒知，两者以5m/s 的速度向右运动，A 、B 两滑块整体做简谐运动 弹簧作用时间即弹簧与墙存在作用力的时间两滑块整体与弹簧相互作用时，两者组成了一个弹簧振子，两滑块整体与弹簧的作用时间t 为弹簧振子周期T 的一半，即t T =2 T m k=2π，已知m m m kg k N m A B =+==0022./， 代入周期公式得：T s =≈020628..π图9 图10所以弹簧与墙存在作用力的时间：t T s ==20314. 【体验5】如图11,一水平弹簧振子在光滑绝缘水平面上振动,其振动小球带正电,在没有外加电场时,振子的平衡位置在O 点,当它振动到最左边时突然加一个向左的匀强电场,振子继续振动时,以下说法正确的是: A.平衡位置在O 点的左方,振子的振幅增大: B.平衡位置在O 点的右方,振子的振幅减小: C.平衡位置在O 点的左方,振子的振幅减小:D.平衡位置在O 点的右方,振子的振幅增大〖答案〗C【体验6】已劲度系数为k ，绝缘材料制成的轻弹簧，一端固定，另一端与质量为m 、带电量为q 的小球相连，静止在光滑绝缘水平面上。
当加入如图所示的场强为E 的匀强电场后，小球开始运动，下列说法正确的是（ ）A.球的速度为零时，弹簧伸长量为qE ／kB.球做简谐运动，振幅为qE ／kC.运动过程中，小球的机械能守恒D.运动过程中，是电势能、动能和弹性势能的相互转化〖答案〗BD【体验7】如图12所示，在光滑的水平面上有一弹簧振子，弹簧的劲度系数为k ，开始时，振子被拉到平衡位置O 的右侧某处，此时拉力为F ，然后轻轻释放振子，振子从初速度为零的状态开始向左运动，经过时间t 后到达平衡位置O 处，此时振子的速度为v ，则在这过程中，振子的平均速度为( )A. v/2B. F/（2kt ）C. vD. F/（kt ）〖答案〗D 【体验8】在光滑水平面上有一弹簧振子，弹簧的劲度系数为k ，振子质量为M ，振动的最大速度为v0．如图所示，当振子在最大位移为A 的时刻把质量为m 的物体轻放在其上，则(1)要保持物体和振子一起振动，二者间动摩擦因数至少多大？(2)一起振动时，二者经过平衡位置的速度多大?二者的振幅又是多大？(已知弹簧弹形势能EP=kx2 ,x 为弹簧相对原长伸长量)【体验9】在一种叫做“蹦极”的运动中，质量为m 的游戏者身系一根长为L 、弹性优良的橡皮绳，从高处由静止开始下落，下落到1.5L 时到达最低点，若在下落过程中不计空气阻力，则以下说法中正确的是（ ）A ．速度先增大后减小B ．在下落位移为L 时速度达到最大值C ．加速度先减小后增大D ．在下落位移为1.5L 时加速度达到最大值〖解析〗游戏者从高处由静止开始下落，下落到1.5L 时到达最低点的过程，我们可把它分成两段来分析，在下落L 的过程中自由落体运动，加速度不变，速度一直增大；从L 到1.5L 的过程可看成简谐振动，等效成弹簧振子模型，因此，人的运动可看成是先向平衡位置再离开平衡位置运动，所以加速度先减小后增大，而速度是先增大后减小，平衡位置速度最大，在最低点是最大位移处加速度最大。
所以答案选A 和D 。
【体验10】一升降机在箱底装有若干个弹簧，如图所示，设在某次事故中，升降机吊索在图12 图11 · OE 图13空中断裂，忽略摩擦力，则升降机在从弹簧下端触地后直到最低点的一段过程中( )A. 升降机的速度不断减小B. 升降机的加速度不断变大C. 先是弹力做的负功小于重力做的正功，然后是弹力做的负功大于重力做的正功D. 到最低点时，升降机加速度的值一定大于重力加速度的值〖解析〗升降机在从弹簧下端触地后直到最低点的一段过程可等效成弹簧振子模型。
升降机先向平衡位置后向最大位移处（最低点）运动，所以速度先增大后减小，加速度先减小后增大，因此选项A 和B 不对。
同时可知弹力先小于重力后大于重力，所以先弹力做的负功小于重力做的正功，然后是弹力做的负功大于重力做的正功，选项C 正确。