最全最新初中数学竞赛——待定系数法

初中数学竞赛专题讲解待定系数法

1.根据恒等式定义，可求恒等式中的待定系数的值.例如：

已知：恒等式ax 2+bx+c=2(x+1)(x －2).

求：①a+b+c ； ②a －b+c.

解：①以x=1，代入等式的左右两边，得a+b+c ＝－4.

②以x=－1，代入等式的左右两边，得a －b+c ＝0.

2.恒等式的性质：如果两个多项式恒等，则左右两边同类项的系数相等.

即 如果 a 0x n +a 1x n －1+……+a n －1x+a n =b 0x n +b 1x n －1+……+b n －1x+b n

那么 a 0=b 0 ， a 1=b 1， …… ， a n －1=b n －1 ， a n =b n .

上例中又解： ∵ax 2+bx+c=2x 2－2x －4.

∴a=2, b=－2, c=－4.

∴a+b+c ＝－4， a －b+c ＝0.

3.待定系数法：就是先假设结论为一个含有待定系数的代数式，然后根据恒等式定义和性质，确定待定系数的值.

一、基础过关

1.已知

求：,,A B C 的值.

2.因式分解：22

35294x xy y x y +-++-

3.k 为何值时，多项式253222+-++-y x ky xy x 能分解成两个一次因式的积？

23)2)(3(22++-+=+-+-x C x B x A x x x x x

4.若328x ax bx +++有两个因式1x +和2x +，则a b +的值为多少？

5.分母有理化

6.设a 为常数，多项式321x ax ++除以21x -所得的余式为3x +，则a 的值为多少？

7.当,a b 为何值时，3221x ax bx -++能被21x -整除?

二、例题讲解

例1.已知222321(1)(2)12

x x A Bx C x x x x +++=+++++，其中A ，B ，C 为常数，求B 的值

练习1：已知34222610111

x x Ax B Cx D x x x x x x +++=+++++-+，其中A ，B ，C ，D 为常数， 求A B C D +++的值

练习2：解方程：

222211114325671221

x x x x x x x x +++=+++++++

例2：分解因式：43223x x x x ++-+

练习1：分解因式

（1）432x x -- （2）432266x x x x -+-+

（3）432615x x x x -+-+ （4）()()()123678x x x +++-⨯⨯

练习2：因式分解42199619951996x x x +++

例3：若226541122x xy y x y m ---++可分解为两个一次式的积，

求m 的值并将多项式分解因式.

练习1：确定k 的值，使下列各式分解成关于x 、y 的两个一次式的积.

（1）2256x y kx y -++-.

（2）22754324x xy ky x y ++-+-.

练习2：多项式2256x axy by x y ++-++的一个因式是2x y +-，试确定a b +的值

练习3：如果()(4)1x a x ---能够分解成两个二项式x b +,x c +的乘积（,b c 为整数）

，则a 应是多少？

例4.已知,,a b c 为实数，且多项式32x ax bx c +++能够被2

34x x +-整除．

（1）求4a c +的值．

（2）求22a b c --的值．

（3）若,,a b c 为整数，且1c a ≥>，试确定,,a b c 的大小

练习1：当,,a b c 为何值时，多项式329ax x bx c -++满足下列条件：被22x +整除，且被21x +和2x -除时所得的余数相等？

:练习2：当,p m 为何值时，多项式32x px +-能被21x mx +-整除？

练习3：已知多项式32ax bx cx d +++能被2x p +整除，求证：ad bc =。

例5：设)(x f 为x 的多项式，当1+=a x 时，)(x f 的值是 152)1(2+-=+a a a f ，试求出多项式)(x f

练习1:设3434a b -≤-≤，5917a b ≤+≤，求7a b +的最小值和最大值

练习2：已知：()2f x x b x c =++是()42625g x x x =++的因式，也是

()4234285q x x x x =+++的因式.

求：()1f 的值.

练习3：已知37 3.15

410 4.2x y z x y z ++=⎧⎨++=⎩

，求x y z ++的值

例6：已知：4324131x ax x bx ++++是完全平方式.

求：a 和b 的值.

练习1：已知,,a b c 是实数，

关于x 的多项式()()()()()()x b x c x c x a x a x b ++++++++为完全平方式，

求证:a b c ==。

练习2：已知关于x 的多项式32x bx cx d +++为一完全立方式，

求证:32227,27b d c d ==

例7

练习1：化简:

练习2：若12

x =

，则4221x x x ++-的值为多少？