最全最新初中数学竞赛——待定系数法

合集下载

初中数学常考的知识点待定系数法

初中数学常考的知识点待定系数法待定系数法是初中数学中常考的一种解题方法，它的思想是通过设定合适的未知数来构建方程，然后解方程求解问题。

待定系数法的应用广泛，包括代数问题、几何问题、概率问题等等。

下面我将详细介绍待定系数法在初中数学中的常见应用。

一、代数问题1.求一元一次方程的解待定系数法可以用来解决一元一次方程的解的问题。

例如，求方程7x-21=10的解。

我们设方程的解为x=a，那么方程可以表示为7a-21=10。

然后解方程，得到a=5、所以方程的解是x=52.求一元二次方程的解待定系数法可以用来求解一元二次方程的解。

例如，求方程x^2+5x+6=0的解。

我们设方程的解为x=a，那么方程可以表示为a^2+5a+6=0。

然后解方程，得到a=-3或a=-2、所以方程的解是x=-3或x=-23.求一元二次方程的系数待定系数法还可以用来求解一元二次方程的系数。

例如，已知方程的根为2和3，且方程的首项系数为1，我们要求方程的系数。

设方程为ax^2+bx+c=0，代入已知根得到两个方程：a(2)^2+b(2)+c=0和a(3)^2+b(3)+c=0。

解这两个方程，得到a=1，b=-5，c=6、所以方程为x^2-5x+6=0。

二、几何问题待定系数法可以用来解决几何问题的角度问题、边长问题等等。

例如：1.角度问题已知一条边和一个角的大小，求另一条边的长度。

设另一条边的长度为x，那么根据三角函数的定义，可以得到一个方程。

解方程，得到x的值。

2.边长问题已知两条边和一个角的大小，求第三条边的长度。

设第三条边的长度为x，根据三角不等式可以得到一个方程。

解方程，得到x的值。

三、概率问题待定系数法可以用来解决概率问题中的计数问题、排列问题等。

例如：1.计数问题已知有n个人，其中有m个男生和n-m个女生。

从中选出x个人，其中至少有y个男生，求选人的方法数。

设选出的x个人中有y个男生的方法数为C，那么根据组合的性质可以得到一个方程。

初中数学竞赛——换元法和待定系数法

第3讲换元法和待定系数法典型例题一.换元法【例1】分解因式：63-+x x2827【例2】分解因式：44222-+++-()()()a b a b a b【例3】分解因式：4444(4)++-a a【例4】分解因式：44+++-y y(1)(3)272+++-+y y y(1)(3)4(35)【例5】分解因式：33【例6】分解因式：2222(48)3(48)2x x x x x x ++++++【例7】证明：四个连续整数的的乘积加1是整数的平方.【例8】分解因式：(1)(1)(3)(5)9x x x x -+++-【例9】分解因式：22(76)(6)56x x x x -+--+.【例10】分解因式：42199819991998x x x -+-【例11】分解因式：24(5)(6)(10)(12)3x x x x x ++++-【例12】分解因式：()()()()()()()b c a c a b a b c a a b c a b c b a b c b c a +-+-+-+-++-++-+-+()()c b c a a b c +--+.【例13】分解因式：2(3)(1)(5)20x x x +-+-.【例14】分解因式：4322212()x x x x x +++++.【例15】分解因式：22222(21)(44)(21)x y x y xy x y x +-+----+.【例16】分解因式：2(1)(2)(2)xy x y x y xy -++-+-.【例17】证明：对任意自然数n ，都存在一个自然数m ，使得1mn +是一个合数.【例18】化简：2323234 (1)1x x x xx x x x+++-++++.【例19】将199551-分解成三个整数之积，且每一个因数都大于1005.二.待定系数法【例20】分解因式：43223x x x x++-+【例21】分解因式：432x x--【例22】分解因式：432266x x x x -+-+【例23】分解因式：432615x x x x -+-+.【例24】 421x x -+能否分解因式？【例25】分解因式：2422(1)1a a a a ++-+.【例26】若226541122x xy y x y m ---++可分解为两个一次式的积，求m 的值并将多项式分解因式.【例27】已知4326134x x x kx -+++是一个完全平方式，求常数k 的值.【例28】已知32x bx cx d +++的系数均为整数，若bd cd +为奇数.求证：此多项式不能分解为两个整系数的多项式之积.【例29】已知关于x ，y 的二次六项式226372x axy y x y +----能分解为一次式2x by c ++与2dx ey +-的积，求a b c d e ++++的值.【例30】已知关于y 的五次三项式554y my n -+有二次因式2()y a -（其中a ，n 均不为零）.求证：（1）n a m =；（2）54m n =.【例31】将分式251126x x x -+-分解成部分分式.思维飞跃【例32】设3434a b -≤-≤，5917a b ≤+≤，求7a b +的最小值和最大值。

初中数学常考的知识点待定系数法

初中数学常考的知识点待定系数法待定系数法：先设出函数解析式，在根据条件确定解析式中的未知的系数，从而写出这个式子的方法，叫待定系数法。

用待定系数法确定解析式的步骤：①设函数表达式为：y=kx 或 y=kx+b②将已知点的坐标代入函数表达式，得到方程(组)③解方程或组，求出待定的系数的值。

④把的值代回所设表达式，从而写出需要的解析式。

注意; 正比例函数y=kx只要有一个条件就可以。

而一次函数y=kx+b 需要有两个条件。

初中数学知识点解析：构造方程构造方程是初中数学的基本方法之一在解题过程中要善于观察、善于发现、认真分析，根据问题的结构特征、及其问题中的数量关系，挖掘潜在已知和未知之间的因素，从而构造出方程，使问题解答巧妙、简洁、合理。

1、一些题目根据条件、仔细观察其特点，构造一个"一元一次方程"求解，从而获得问题解决。

例1：如果关于x的方程ax+b=2(2x+7)+1有无数多个解，那么a、b 的值分别是多少?解：原方程整理得(a-4)∵此方程有无数多解，∴a-4=0且分别解得a=42、有些问题，直接求解比较困难，但如果根据问题的特征，通过转化，构造"一元二次方程"，再用根与系数的关系求解，使问题得到解决。

此方法简明、功能独特，应用比较广泛，特别在数学竞赛中的应用。

3、有时可根据题目的条件和结论的特征，构造出方程组，从而可找到解题途径。

例3：已知3，5，2x，3y的平均数是4、20，18，5x，-6y的平均数是1、求的值。

分析：这道题考查了平均数概念，根据题目的特征构造二元一次方程组，从而解出x、y的值，再求出的值。

平面直角坐标系平面直角坐标系：在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系。

水平的数轴称为x轴或横轴，竖直的数轴称为y轴或纵轴，两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。

平面直角坐标系的要素：①在同一平面②两条数轴③互相垂直④原点重合三个规定：①正方向的规定横轴取向右为正方向，纵轴取向上为正方向②单位长度的规定；一般情况，横轴、纵轴单位长度相同；实际有时也可不同，但同一数轴上必须相同。

专题45 待定系数法(解析版)

专题45 待定系数法1.待定系数法的含义一种求未知数的方法。

将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新的形式，这样就得到一个恒等式。

然后根据恒等式的性质得出系数应满足的方程或方程组，其后通过解方程或方程组便可求出待定的系数，或找出某些系数所满足的关系式，这种解决问题的方法叫做待定系数法。

2. 待定系数法的应用（1）分解因式待定系数法是初中数学的一个重要方法。

用待定系数法分解因式，就是先按已知条件把原式假设成若干个因式的连乘积，这些因式中的系数可先用字母表示，它们的值是待定的，由于这些因式的连乘积与原式恒等，然后根据恒等原理，建立待定系数的方程组，最后解方程组即可求出待定系数的值。

在初中竞赛中经常出现。

a.确定所求问题含待定系数的解析式。

b.根据恒等条件，列出一组含待定系数的方程。

c.解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决。

（2）求函数解析式初中阶段主要有正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数这几类函数，前面三种分别可设y=kx，y=k/x，y=kx+b的形式(其中k、b为待定系数，且k≠0)．而二次函数可以根据题目所给条件的不同，设成y=ax2+bx+c(a、b、c为待定系数)，y=a (x－h) 2+k(a、k、h为待定系数)，y=a (x－x1)(x－x2)( a、x1、x2为待定系数)三类形式．根据题意(可以是语句形式，也可以是图象形式)，确定出h、k、a、c、b、x1、x2等待定系数．一般步骤如下：a.写出函数解析式的一般式，其中包括未知的系数；b.把自变量与函数的对应值代入函数解析式中，得到关于待定系数的方程或方程组。

c.解方程（组）求出待定系数的值，从而写出函数解析式。

（3）解方程例如：已知一元二次方程的两根为x1、x2，求二次项系数为1的一元二次方程时，可设该方程为x2+mx+n=0，则有(x－x1)(x－x2)=0，即x2－(x1+x2)x+x1x2=0，对应相同项的系数得m=－(x1+x2)，n=x1x2，所以所求方程为：x2－(x1+x2)x+x1x2=0．（4）分式展开首先用未知数表示化为部分分式和的形式，展开后，根据分子、分母的多项式分别相等可列出含有未知数的方程组，解方程组，带入所设的部分和可得结果。

初中数学因式分解(含答案)竞赛题精选2

初中数学因式分解(二)1．双十字相乘法分解二次三项式时，咱们经常使用十字相乘法．某些二元二次六项式(ax2+bxy+cy2+dx+ey+f)，能够用十字相乘法分解因式．例如，分解因式2x2-7xy-22y2-5x+35y-3．咱们将上式按x降幂排列，并把y看成常数，于是上式可变形为2x2-(5+7y)x-(22y2-35y+3)，能够看做是关于x的二次三项式．关于常数项而言，它是关于y的二次三项式，也能够用十字相乘法，分解为即：-22y2+35y-3=(2y-3)(-11y+1)．再利用十字相乘法对关于x的二次三项式分解因此，原式=［x+(2y-3)］［2x+(-11y+1)］=(x+2y-3)(2x-11y+1)．上述因式分解的进程，实施了两次十字相乘法．若是把这两个步骤中的十字相乘图归并在一路，可取得以下图：它表示的是下面三个关系式：(x+2y)(2x-11y)=2x2-7xy-22y2；(x-3)(2x+1)=2x2-5x-3；(2y-3)(-11y+1)=-22y2+35y-3．双十字相乘法因式分解的步骤是：(1)用十字相乘法分解ax2+bxy+cy2，取得一个十字相乘图(有两列)；(2)把常数项f分解成两个因式填在第三列上，要求第二、第三列组成的十字交叉之积的和等于原式中的ey，第一、第三列组成的十字交叉之积的和等于原式中的dx．例1 分解因式：(1)x2-3xy-10y2+x+9y-2； (2)x2-y2+5x+3y+4；(3)xy+y2+x-y-2；2．求根法形如a n x n+a n-1x n-1+…+a1x+a0(n为非负整数)的代数式称为关于x的一元多项式，并用f(x)，g(x)，…等记号表示，如f(x)=x2-3x+2，g(x)=x5+x2+6，…，当x=a时，多项式f(x)的值用f(a)表示．如对上面的多项式f(x)f(1)=12-3×1+2=0；f(-2)=(-2)2-3×(-2)+2=12．若f(a)=0，那么称a为多项式f(x)的一个根．定理1(因式定理) 若a是一元多项式f(x)的根，即f(a)=0成立，那么多项式f(x)有一个因式x-a．依照因式定理，找出一元多项式f(x)的一次因式的关键是求多项式f(x)的根．关于任意多项式f(x)，要求出它的根是没有一样方式的，但是当多项式f(x)的系数都是整数时，即整系数多项式时，常经常使用下面的定理来判定它是不是有有理根．定理2的根，那么必有p是a0的约数，q是a n的约数．专门地，当a0=1时，整系数多项式f(x)的整数根均为a n的约数．咱们依照上述定理，用求多项式的根来确信多项式的一次因式，从而对多项式进行因式分解．例2 分解因式：x3-4x2+6x-4．例3 分解因式：9x4-3x3+7x2-3x-2．3．待定系数法在因式分解时，一些多项式通过度析，能够判定它能分解成某几个因式，但这几个因式中的某些系数尚未确信，这时能够用一些字母来表示待定的系数．由于该多项式等于这几个因式的乘积，依照多项式恒等的性质，两边对应项系数应该相等，或取多项式中原有字母的几个特殊值，列出关于待定系数的方程(或方程组)，解出待定字母系数的值，这种因式分解的方式叫作待定系数法．例4 分解因式：x2+3xy+2y2+4x+5y+3．例5 分解因式：x4-2x3-27x2-44x+7．练习二1．用双十字相乘法分解因式：(1)x2-8xy+15y2+2x-4y-3； (2)x2-xy+2x+y-3；(3)3x2-11xy+6y2-xz-4yz-2z2．2．用求根法分解因式：(1)x3+x2-10x-6； (2)x4+3x3-3x2-12x-4；(3)4x4+4x3-9x2-x+2．3．用待定系数法分解因式：(1)2x2+3xy-9y2+14x-3y+20； (2)x4+5x3+15x-9．初中数学因式分解(二)1．双十字相乘法分解二次三项式时，咱们经常使用十字相乘法．关于某些二元二次六项式(ax2+bxy+cy2+dx+ey+f)，咱们也能够用十字相乘法分解因式．例如，分解因式2x2-7xy-22y2-5x+35y-3．咱们将上式按x降幂排列，并把y看成常数，于是上式可变形为2x2-(5+7y)x-(22y2-35y+3)，能够看做是关于x的二次三项式．关于常数项而言，它是关于y的二次三项式，也能够用十字相乘法，分解为即：-22y2+35y-3=(2y-3)(-11y+1)．再利用十字相乘法对关于x的二次三项式分解因此，原式=［x+(2y-3)］［2x+(-11y+1)］=(x+2y-3)(2x-11y+1)．上述因式分解的进程，实施了两次十字相乘法．若是把这两个步骤中的十字相乘图归并在一路，可取得以下图：它表示的是下面三个关系式：(x+2y)(2x-11y)=2x2-7xy-22y2；(x-3)(2x+1)=2x2-5x-3；(2y-3)(-11y+1)=-22y2+35y-3．这确实是所谓的双十字相乘法．用双十字相乘法对多项式ax2+bxy+cy2+dx+ey+f进行因式分解的步骤是：(1)用十字相乘法分解ax2+bxy+cy2，取得一个十字相乘图(有两列)；(2)把常数项f分解成两个因式填在第三列上，要求第二、第三列组成的十字交叉之积的和等于原式中的ey，第一、第三列组成的十字交叉之积的和等于原式中的dx．例1 分解因式：22(3)xy+y2+x-y-2；解 (1)原式=(x-5y+2)(x+2y-1)．(2)原式=(x+y+1)(x-y+4)．(3)原式中缺x2项，可把这一项的系数看成0来分解．原式=(2x-3y+z)(3x+y-2z)．2．求根法咱们把形如a n x n+a n-1x n-1+…+a1x+a0(n为非负整数)的代数式称为关于x的一元多项式，并用f(x)，g(x)，…等记号表示，如f(x)=x2-3x+2，g(x)=x5+x2+6，…，当x=a时，多项式f(x)的值用f(a)表示．如对上面的多项式f(x)f(1)=12-3×1+2=0；f(-2)=(-2)2-3×(-2)+2=12．依照因式定理，找出一元多项式f(x)的一次因式的关键是求多项式f(x)的根．关于任意多项式f(x)，要求出它的根是没有一样方式的，但是当多项式f(x)的系数都是整数时，即整系数多项式时，常经常使用下面的定理来判定它是不是有有理根．定理2的根，那么必有p是a0的约数，q是a n的约数．专门地，当a0=1时，整系数多项式f(x)的整数根均为a n的约数．咱们依照上述定理，用求多项式的根来确信多项式的一次因式，从而对多项式进行因式分解．例2 分解因式：x3-4x2+6x-4．分析这是一个整系数一元多项式，原式假设有整数根，必是-4的约数，逐个查验-4的约数：±1，±2，±4，只有f(2)=23-4×22+6×2-4=0，即x=2是原式的一个根，因此依照定理1，原式必有因式x-2．解法1 用分组分解法，使每组都有因式(x-2)．原式=(x3-2x2)-(2x2-4x)+(2x-4)=x2(x-2)-2x(x-2)+2(x-2)=(x-2)(x2-2x+2)．解法2 用多项式除法，将原式除以(x-2)，因此原式=(x-2)(x2-2x+2)．说明在上述解法中，专门要注意的是多项式的有理根必然是-4的约数，反之不成立，即-4的约数不必然是多项式的根．因此，必需对-4的约数逐个代入多项式进行验证．例3 分解因式：9x4-3x3+7x2-3x-2．分析因为9的约数有±1，±3，±9；-2的约数有±1，±为：解 9x4-3x3+7x2-3x-2=9x4-3x3-2x2+9x2-3x-2=x2(9x3-3x-2)+9x2-3x-2=(9x2-3x-2)(x2+1)=(3x+1)(3x-2)(x2+1)说明假设整系数多项式有分数根，可将所得出的含有分数的因式化为整系数因式，如上题中的因式能够化为9x2-3x-2，如此能够简化分解进程．总之，对一元高次多项式f(x)，若是能找到一个一次因式(x-a)，那么f(x)就能够够分解为(x-a)g(x)，而g(x)是比f(x)低一次的一元多项式，如此，咱们就能够够继续对g(x)进行分解了．3．待定系数法待定系数法是数学中的一种重要的解题方式，应用很普遍，那个地址介绍它在因式分解中的应用．在因式分解时，一些多项式通过度析，能够判定它能分解成某几个因式，但这几个因式中的某些系数尚未确信，这时能够用一些字母来表示待定的系数．由于该多项式等于这几个因式的乘积，依照多项式恒等的性质，两边对应项系数应该相等，或取多项式中原有字母的几个特殊值，列出关于待定系数的方程(或方程组)，解出待定字母系数的值，这种因式分解的方式叫作待定系数法．例4 分解因式：x2+3xy+2y2+4x+5y+3．分析由于(x2+3xy+2y2)=(x+2y)(x+y)，假设原式能够分解因式，那么它的两个一次项必然是x+2y+m和x＋y＋n的形式，应用待定系数法即可求出m 和n，使问题取得解决．解设x2+3xy+2y2+4x+5y+3=(x+2y+m)(x+y+n)=x2+3xy+2y2+(m+n)x+(m+2n)y+mn，比较两边对应项的系数，那么有解之得m=3，n=1．因此原式=(x+2y+3)(x+y+1)．说明此题也可用双十字相乘法，请同窗们自己解一下．例5 分解因式：x4-2x3-27x2-44x+7．分析此题所给的是一元整系数多项式，依照前面讲过的求根法，假设原式有有理根，那么只可能是±1，±7(7的约数)，经查验，它们都不是原式的根，因此，在有理数集内，原式没有一次因式．若是原式能分解，只解设原式=(x2+ax+b)(x2+cx+d)=x4+(a+c)x3+(b+d+ac)x2+(ad+bc)x+bd，因此有由bd=7，先考虑b=1，d=7有因此原式=(x2-7x+1)(x2+5x+7)．说明由于因式分解的唯一性，因此对b=-1，d=-7等能够不加以考虑．此题若是b=1，d=7代入方程组后，无法确信a，c的值，就必需将bd=7的其他解代入方程组，直到求出待定系数为止．此题没有一次因式，因此无法运用求根法分解因式．但利用待定系数法，使咱们找到了二次因式．由此可见，待定系数法在因式分解中也有效武之地．练习二1．用双十字相乘法分解因式：(1)x2-8xy+15y2+2x-4y-3； (2)x2-xy+2x+y-3；(3)3x2-11xy+6y2-xz-4yz-2z2．2．用求根法分解因式：(1)x3+x2-10x-6； (2)x4+3x3-3x2-12x-4；(3)4x4+4x3-9x2-x+2．3．用待定系数法分解因式：(1)2x2+3xy-9y2+14x-3y+20； (2)x4+5x3+15x-9．。

初中数学知识点总结——待定系数法

初中数学知识点总结——待定系数法待定系数法是初中数学非常重要的一种解题思想和方法，它的重要性不仅体现在某一类型题中，而是贯穿于整个初中阶段，各年级各题型的“杀手锏”，让原本复杂繁琐的难题巧妙进行巧妙地简化。

理解一种方法的运用，要远比做几十道题来得事半功倍。

下面我们就一起来探讨各年级中关于待定系数法的题目类型和特点。

1. 设K法六年级：设K法是六年级开始的一个重要工具，它可以将多个未知但相互有联系的未知量用一个和K有关的式子表示出来。

变相地说，它起到了一个数学特别重要的“降维”作用，以一替多。

那什么时候该用设K法呢？沈老师曾总结过：两类条件，肯定是暗示你去用设k法的——第一类是常常能判断出来的，便是条件中含有比例类型的题，让我们来看一个例题：分析：AB看似是两个未知数，但若通过比例式设k，即能把两个未知数都用一个关于k的式子表示出来，当你在对一个未知数进行求解时，代入条件往往是比较容易得出的，这就是所谓的利用设K法“降维”。

如果说比例式用设k法还算比较明显的话，那么连等式的技巧就没那么容易想到。

而越难想到的点就越能成为杀手锏：分析：根据沈老师的经验，初中阶段，凡是遇到连等式，90%都可以用设k法快速求解。

有没有发现设k法在解决这类题时近乎可以说是“秒算”？除了六年级，七年级在实数板块，也会出现类似的“难题”！七年级：分析：该题乍看之下并没有什么思路，而一旦陷入繁琐的计算，那么心情也会跟着一同浮躁。

而若你谨记了两类典型条件，你便能发现有连等式，至少可以用设k法去尝试。

此题已属于中高难度题，但核心思想依然是通过连等式进行未知数的“降维”，有了好的开始便是成功的一半，后续的解答也就能顺利进行了！2. 方程、代数式、函数的系数确定待定系数法其实起源于这类系数的求解上，当你对大致的式子形式有个框架，想得到每一个精确系数的值，于是先假设一个参数，利用条件将参数解出即可。

该类型也从六年级就有，灵活地掌握和运用能够将复杂题型做极大的化简。

初中数学自招专题12 拆项、添项、配方、待定系数法(详解版)

专题12拆项、添项、配方、待定系数法考点点拨添项拆项法：有的多项式由于“缺项”，或“并项”因此不能直接分解．通过进行适当的添项或拆项后利用分组而分解的方法称为添项、拆项法．一般来说，添项拆项后要能运用提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法分解．如果添项拆项后，不能运用四种基本方法分解，添项拆项也是无用的．待定系数法：有些多项式不能直接分解因式，我们可以先假设它已分解成几个含有待定系数因式的乘积形式．然后再把积乘出来．用等号两边同次项次系数相等的方法把这些待定系数求出来，进而得出因式分解结果，这种分解因式的方法叫做待定系数法分解因式．换元法：所谓换元，即对结构比较复杂的代数式，把其中某些部分看成一个整体，用新的字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化、明朗化，象这种利用换元来解决复杂问题的方法，就叫．换元法在减少代数式的项数、降低多项式结构复杂程度等方面都有着独到的作用．（1）使用换元法时，一定要有整体意识，即把某些相同或相似的部分看成一个整体．（2）换元法的种类有：单个换元、多个换元、局部换元、整体换元、特殊值换元和几何换元．（3）利用换元法解决问题时，最后要让原有的数或式“回归”．典例精选1．（西湖区校级月考）已知a﹣b＝4，ab+c2+4＝0，则a+b＝（）A．4B．0C．2D．﹣2【点拨】先将字母b表示字母a，代入ab+c2+4＝0，转化为非负数和的形式，根据非负数的性质求出a、b、c的值，从而得到a+b的值．【解析】解：∵a﹣b＝4，∴a＝b+4，代入ab+c2+4＝0，可得（b+4）b+c2+4＝0，（b +2）2+c 2＝0，∴b ＝﹣2，c ＝0，∴a ＝b +4＝2．∴a +b ＝0．故选：B ．【点睛】本题既考查了对因式分解方法的掌握，又考查了非负数的性质以及代数式求值的方法．解题关键是将代数式转化为非负数和的形式．2．计算√99⋯9︸n 个×99⋯9︸n 个+199⋯9︸n 个n （n ≥2的整数）的值等于 100 ．【点拨】分别将n ＝2、n ＝3、n ＝4分别代入被开方数总结出规律，根据总结的该规律，列出完全平方式，然后开n 次方即可．【解析】解：当n ＝2时，99×99+199＝992+2×99+1＝（99+1）2＝（102）2；当n ＝3时，999×999+1999＝9992+2×999+1＝（999+1）2＝（103）2＝（102）3；当n ＝4时，9999×9999+19999＝99992+2×9999+1＝（9999+1）2＝（104）2＝（102）4．…当n ＝n （n ≥2的整数）时，99…9×99…9+199…9＝99…92+2×99…9+1＝（99…9+1）2＝（10n ）2＝（102）n ．所以，√99⋯9︸n 个×99⋯9︸n 个+199⋯9︸n 个n =102＝100；故答案是：100．【点睛】本题考查了拆项、添项、配方、待定系数法．此题是一道规律探索题，以完全平方公式为依托，展现了探索发现的过程：由特殊问题找到一般规律，再利用规律解题．3．已知a +2b +3c ＝6，则a 2+2b 2+3c 2的取值范围是大于等于6 ．【点拨】根据代入法将a ＝6﹣2b ﹣3c 代入a 2+2b 2+3c 2，即可求出b ，c 的式子，再利用配方法得出完全平方公式，即可得出答案．【解析】解：∵a +2b +3c ＝6，∴a ＝6﹣2b ﹣3c ，∴（6﹣2b ﹣3c ）2+2b 2+3c 2＝36+4b 2+9c 2﹣24b ﹣36c +12bc +2b 2+3c 2＝6（b 2+2c 2﹣4b ﹣6c +2bc +6）＝6[（b 2+2bc +c 2﹣4b ﹣4c +4）+（c 2﹣2c +1）+1]＝6[（b +c ﹣2）2+（c ﹣1）2+1]＝6（b +c ﹣2）2+6（c ﹣1）2+6≥6，∴a 2+2b 2+3c 2的取值范围是：大于等于6．故答案为：大于等于6．【点睛】此题主要考查了拆项、添项、配方法的综合应用，根据已知得出关于b ，c 的完全平方公式是解题关键．4．设实数a ，b ，c 满足2a +b +c +14＝2(√2a +2√b +1+3√c −1)，那么a −b c 的值为 45 ．【点拨】将右边去括号、移项，然后将2a 看作（√2a ）2，将（b +1）看作（√b +1）2，将（c ﹣1）看作（√c −1）2进行配方，从而利用完全平方的非负性可得出a 、b 、c 的值，进而代入可求出答案．【解析】解：整理2a +b +c +14＝2(√2a +2√b +1+3√c −1)可得：2a ﹣2√2a +b ﹣4√b +1+c ﹣6√c −1+14＝0，配方可得：[(√2a)2−2√2a +1]+[(√b +1)2−4√b +1+4]+[(√c −1)2−6√c −1+9＝0，即(√2a −1)2+(√b +1−2)2+(√c −1−3)2=0，从而有：√2a =1，√b +1=2，√c −1=3，解得：a =12，b ＝3，c ＝10，∴a −b c =810=45．故答案为：45．【点睛】此题考查了拆项、添项、配方的知识，难度较大，关键是移项后将2a 看作（√2a ）2，将（b +1）看作（√b +1）2，将（c ﹣1）看作（√c −1）2进行配方，要求我们能熟练运用完全平方的非负性解题．5．（1）分解因式：x 7+x 5+1（2）对任何正数t ，证明：t 4﹣t +12＞0．【点拨】（1）首先把因式添项x 6再减去x 6，然后因式分解，再提取公因式即可，（2）根据题干t 4﹣t +12=（t 4﹣t 2+14）+（t 2﹣t +14）可知，两个完全平方式不可能小于0，结论可证．【解析】解：（1）x 7+x 5+1＝x 7+x 6+x 5﹣x 6+1＝x 5（x 2+x +1）﹣（x 3+1）（x 3﹣1）＝（x 2+x +1）[x 5﹣（x ﹣1）（x 3+1）]＝（x 2+x +1）（x 5﹣x 4+x 3﹣x +1），（2）t 4﹣t +12=（t 4﹣t 2+14）+（t 2﹣t +14）＝（t 2−12）2+（t −12）2≥0因为（t 2−12）2与（t −12）2不可能同时为0，故等于不成立，因此有：t 4﹣t +12＞0．【点睛】本题主要考查拆项、添项、配方、待定系数法和完全平方式的知识点，解答本题的关键是熟练运用拆项和添项解决问题的方法，此题难度较大．6．将5x 3﹣6x 2+10表示成a （x ﹣1）3+b （x ﹣1）2+c （x ﹣1）+d ．【点拨】根据立方差公式以及完全平方公式即可得出关于a ，b ，c ，d 的关系式求出即可．【解析】解：原式＝a （x 3﹣3x 2+3x ﹣1）+b （x 2﹣2x +1）+c （x ﹣1）+d ，＝ax 3﹣（3a ﹣b ）x 2+（3a ﹣2b +c ）x ﹣（a ﹣b +c ﹣d ），则{a =53a −b =63a −2b +c =0a −b +c −d =−10，解得{a =5b =9c =3d =9， ∴5x 3﹣6x 2+10＝5（x ﹣1）3+9（x ﹣1）2﹣3（x ﹣1）+9．【点睛】此题主要考查了立方差公式以及完全平方公式的应用，根据已知得出a ，b ，c ，d 的值是解决问题的关键．精准预测1．设a ＞0，b ＞0，c ＞0，且b a +c b +a c =3，则以下说法正确的是（）A ．a ，b ，c 可能相等，也可能不等B ．a ，b ，c 相等C ．a ，b ，c 不相等D ．以上说法都不对【点拨】设b a =x 3，c b =y 3，a c =z 3，则x 3y 3z 3=b a •c b •a c=1，即xyz ＝1，再根据a ＞0，b ＞0，c ＞0得出x ＞0，y ＞0，z ＞0，故可得出x 、y 、z 的关系，进而得出b a=c b =a c ，由此可得出结论．【解析】解：设b =x 3，c =y 3，a =z 3，则x 3y 3z 3=b a •c •a =1，即xyz ＝1，由已知可得：x3+y3+z3﹣3xyz＝0，即（x+y+z）（x2+y2+z2﹣xy﹣xz﹣yz）＝0∵a＞0，b＞0，c＞0，∴x＞0，y＞0，z＞0，∴x+y+z＞0∴x2+y2+z2﹣xy﹣xz﹣yz＝0，即：x＝y＝z∴ba =cb=ac，即a2＝bc，b2＝ac，c2＝ab，由a2＝bc，b2＝ac，得a＝b由b2＝ac，c2＝ab得b＝c∴a＝b＝c故选：B．【点睛】本题考查的是拆项、添项、配方及待定系数法，此题中先根据题意得出x、y、z的关系是解答此题的关键．2．若点P的坐标（a，b）满足a2b2+a2+b2+10ab+16＝0，则点P的坐标为（2，﹣2）或（﹣2，2）．【点拨】首先把10ab变为8ab+2ab，接着利用完全平方公式分解因式，最后利用非负数的性质即可求解．【解析】解：∵a2b2+a2+b2+10ab+16＝0，∴a2b2+8ab+16+a2+b2+2ab＝0，∴（ab+4）2+（a+b）2＝0，∴ab＝﹣4，a+b＝0，∴a＝2，b＝﹣2或a﹣2，b＝2，∴点P的坐标为（2，﹣2）或（﹣2，2）．故答案为：（2，﹣2）或（﹣2，2）．【点睛】此题主要考查了完全平方公式和非负数的性质，解题时首先通过分解因式变为两个非负数的和的形式，然后利用非负数的性质即可解决问题．3．If polynomial（多项式）5x3﹣34x2+94x﹣81can beexpressedas（表示成）a（x﹣2）3+b（x﹣2）2+c（x﹣2）+d，thennumericalvalue（数值）of ad+bc is﹣17．【点拨】根据5x3﹣34x2+94x﹣81能拆成a（x﹣2）3+b（x﹣2）2+c（x﹣2）+d，即可得出关于a，b，c，d的方程组求出即可．【解析】解：原式＝a（x3﹣6x2+12x﹣8）+b（x2﹣4x+4）+c（x﹣2）+d，＝ax3+（b﹣6a）x2+（12a﹣4b+c）x+（﹣8a+4b﹣2c+d），∴{a=5b−6a=−3412a−4b+c=94−8a+4b−2c+d=−81，解得：a＝5，b＝﹣4，c＝18，d＝11，∴ad+bc＝5×11﹣4×18＝﹣17．故答案为：﹣17．【点睛】此题主要考查了多项式的拆项以及完全平方公式以及立方差公式的应用，根据已知得出关于a，b，c，d的方程组是解决问题的关键．4．如果√x−3+√y+1=12（x+y），那么x+y＝4．【点拨】设√x−3=a，√=b，然后再两边平方后将原式变形成为两个完全平方式，根据非负数和为0的定理求出a、b的值，从而求出x、y的值而得出结论．【解析】解：设√x−3=a，√y+1=b∴a2＝x﹣3，b2＝y+1∴x＝a2+3，y＝b2﹣1∴x +y ＝a 2+b 2+2∴12（x +y ）=12(a 2+b 2+2) ∴原式变形为：a +b =12(a 2+b 2+2)2a +2b ＝a 2+b 2+2∴a 2+b 2+2﹣2a ﹣2b ＝0∴（a ﹣1）2+（b ﹣1）2＝0∴a ＝1，b ＝1∴√x −3=1，√y +1=1∴x ＝4，y ＝0∴x +y ＝4．故答案为：4．【点睛】本题是一道实数的运用题，考查了数学的换元思想、拆项、添项、配方、待定系数法以及非负数和为0的定理的运用．5．计算：2002×20032003﹣2003×20022002．【点拨】首先把20032003拆成2003×10001，再将20022002分解为2002×10001，然后计算可得到答案．【解析】解：原式＝2002×2003×10001﹣2003×2002×10001＝0．【点睛】此题主要考查了拆项和提公因式法进行计算，解题的关键是把20032003、20022002拆项．。

初中数学重点梳理：待定系数法

待定系数法知识定位待定系数法是一种求未知数的方法。

将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新的形式，这样就得到一个恒等式。

对于某些数学问题，如果已知所求结果具有某种确定的形式，则可引进一些尚待确定的系数来表示这种结果，通过已知条件建立起给定的算式和结果之间的恒等式，得到以待定系数为元的方程或方程组，解之即得待定的系数。

广泛应用于多项式的因式分解，求函数的解析式和曲线的方程等。

知识梳理知识梳理1：待定系数法在多项式除法中的应用多项式除多项式时，其结果的形式我们往往是可以判断出的，在这种情况下，我们可以先假设出最后的结果（当然也是含未知数的），转化为等式再进行计算。

知识梳理2：待定系数法在因式分解中的应用在因式分解时，一些多项式经过分析，可以断定它能分解成某几个因式，但这几个因式中的某些系数尚未确定，这时可以用一些字母来表示待定的系数．由于该多项式等于这几个因式的乘积，根据多项式恒等的性质，两边对应项系数应该相等，或取多项式中原有字母的几个特殊值，列出关于待定系数的方程(或方程组)，解出待定字母系数的值，这种因式分解的方法叫作待定系数法．知识梳理3：待定系数法在解方程中的应用在解一些复杂方程时，如果能够判断出方程的部分根，或者有方程根的一些限制条件；在这种情况下，采用待定系数的方法去解方程，往往可以有意想不到的效果。

知识梳理3：待定系数法在代数式恒等变形中的应用知识梳理4：待定系数法在求函数解析式中的应用例题精讲【试题来源】【题目】已知多项式56423+-+x x x ，除式为12+x ，求它们相除所得到的商式和余式。

【答案】【解析】【知识点】待定系数法【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】已知r qx px x x ++++464234能被39323+++x x x 整除，求p,q,r 之值.【答案】【解析】【知识点】待定系数法【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】把多项式x 3－x 2+2x+2表示为关于x －1的降幂排列形式. 【答案】x 3－x 2+2x+2=(x －1)3+2(x －1)2+3(x －1)+4. 【解析】用待定系数法：设x 3－x 2+2x+2=a(x －1)3+b(x －1)2+c(x －1)+d 把右边展开，合并同类项（把同类项对齐），得 x 3－x 2+2x+2=ax 3－3ax 2+3ax －a +bx 2－2bx+b +cx －c +d 用恒等式的性质，比较同类项系数，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-+-=+--=+-=2223131d c b a c b a b a a 解这个方程组，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====4321d c b a∴x 3－x 2+2x+2=(x －1)3+2(x －1)2+3(x －1)+4. 本题也可用换元法：设x －1=y, 那么x=y+1.把左边关于x 的多项式化为关于y 的多项式，最后再把y 换成x －1.【知识点】待定系数法【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】已知：4310252323-+-++-x x x cbx x ax 的值是恒为常数求：a, b, c 的值.【答案】a = 1 b = 1.5 c = -2 【解析】【知识点】待定系数法【适用场合】当堂练习题【难度系数】3【试题来源】【题目】分解因式：.310434422-+---y x y xy x【答案】【解析】【知识点】待定系数法【适用场合】当堂练习题【难度系数】3【试题来源】【题目】m为何值时，6522-++-ymxyx能够分解因式，并分解之.【答案】【解析】【知识点】待定系数法【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】已知：4x 4+ax 3+13x 2+bx+1是完全平方式.求： a 和b 的值.【答案】解得⎪⎩⎪⎨⎧==⎪⎩⎪⎨⎧-==⎩⎨⎧-=-=⎩⎨⎧==172174 172174612612b a b a b a b a －或或或.【解析】设4x 4+ax 3+13x 2+bx+1＝（2x 2+mx±1）2（设待定的系数，要尽可能少.）右边展开，合并同类项，得4x 4+ax 3+13x 2+bx+1＝4x 4+4mx 3+(m 2±4)x 2±2mx+1. 比较左右两边同类项系数，得方程组⎪⎩⎪⎨⎧==+=m b m m a 213442；或⎪⎩⎪⎨⎧-==-=m b m ma 213442.解得⎪⎩⎪⎨⎧==⎪⎩⎪⎨⎧-==⎩⎨⎧-=-=⎩⎨⎧==172174 172174612612b a b a b a b a －或或或.【知识点】待定系数法【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】推导一元三次方程根与系数的关系. 【答案】见解析【解析】设方程ax 3+bx 2+cx+d=0(a≠0)的三个根分别为x 1, x 2, x 3.原方程化为x 3+02=++adx a c x a b . ∵x 1, x 2, x 3是方程的三个根. ∴x 3+=++adx a c x a b 2(x －x 1) (x －x 2) (x －x 3). 把右边展开，合并同类项，得 x 3+=++adx a c x a b 2=x 3－( x 1+x 2+x 3)x 2+(x 1x 2+x 1x 3+x 2x 3)x －x 1x 2x 3. 比较左右同类项的系数，得一元三次方程根与系数的关系是： x 1+x 2+x 3=－a b ， x 1x 2+x 1x 3+x 2x 3＝a c ， x 1x 2x 3＝－ad.【知识点】待定系数法【适用场合】课后两周练习【难度系数】3【试题来源】【题目】已知：x 3+px+q 能被（x －a ）2整除.求证：4p 3+27q 2=0. 【答案】见解析【解析】证明：设x 3+px+q ＝（x －a ）2（x+b ）. x 3+px+q=x 3+(b －2a)x 2+(a 2－2ab)x+a 2b.⎪⎩⎪⎨⎧==-=-③②①q b a p ab a a b 22202 由①得b=2a ，代入②和③得 ⎪⎩⎪⎨⎧=-=3223aq ap∴4p 3+27q 2＝4（－3a 2）3+27(2a 3)2=4×（－27a 6）+27×（4a 6）=0. （证毕）.【知识点】待定系数法【适用场合】课后一个月练习【难度系数】3【试题来源】【题目】已知：f (x)=x 2+bx+c 是g (x)=x 4 +6x 2＋25的因式，也是q (x)=3x 4+4x 2+28x+5的因式.求：f (1)的值. 【答案】f (1)=4【解析】∵g (x),q (x)都能被f (x)整除,它们的和、差、倍也能被f (x)整除.为了消去四次项，设3g (x)－q (x)＝kf (x), (k 为正整数). 即14x 2－28x+70＝k (x 2+bx+c) 14（x 2－2x+5）＝k (x 2+bx+c) ∴k=14, b=－2, c=5. 即f (x)=x 2－2x+5. ∴f (1)=4 . 【知识点】待定系数法【适用场合】阶段测验【难度系数】4【试题来源】【题目】已知：23)2)(3(22++-+=+-+-x Cx B x A x x x x x ，求：A ，B ，C 的值.【答案】A ＝－31. B ＝158. C ＝54. 【解析】去分母，得x 2－x+2=A(x －3)(x+2)+Bx(x+2)+Cx(x －3).根据恒等式定义（选择x 的适当值，可直接求出A ，B ，C 的值），当x=0时， 2＝－6A. ∴A ＝－31. 当x=3时， 8＝15B. ∴B ＝158.当x=－2时， 8＝10C. ∴C ＝54.【知识点】待定系数法【适用场合】随堂课后练习【难度系数】3【试题来源】【题目】分解因式：x 2+3xy+2y 2+4x+5y+3．【答案】原式=(x+2y+3)(x+y+1)．【解析】由于(x 2+3xy+2y 2)=(x+2y)(x+y)，若原式可以分解因式，那么它的两个一次项一定是x+2y+m 和x ＋y ＋n 的形式，应用待定系数法即可求出m 和n ，使问题得到解决．设x 2+3xy+2y 2+4x+5y+3 =(x+2y+m)(x+y+n)=x 2+3xy+2y 2+(m+n)x+(m+2n)y+mn ，比较两边对应项的系数，则有解之得m=3，n=1．所以原式=(x+2y+3)(x+y+1)．【知识点】待定系数法【适用场合】当堂练习题【难度系数】3【试题来源】【题目】分解因式：x4-2x3-27x2-44x+7．【答案】原式=(x2-7x+1)(x2+5x+7)【解析】分析本题所给的是一元整系数多项式，根据前面讲过的求根法，若原式有有理根，则只可能是±1，±7(7的约数)，经检验，它们都不是原式的根，所以，在有理数集内，原式没有一次因式．如果原式能分解，只能分解为(x2+ax+b)(x2+cx+d)的形式．解设原式=(x2+ax+b)(x2+cx+d)=x4+(a+c)x3+(b+d+ac)x2+(ad+bc)x+bd，所以有由bd=7，先考虑b=1，d=7有所以原式=(x2-7x+1)(x2+5x+7)．说明由于因式分解的唯一性，所以对b=-1，d=-7等可以不加以考虑．本题如果b=1，d=7代入方程组后，无法确定a，c的值，就必须将bd=7的其他解代入方程组，直到求出待定系数为止．本题没有一次因式，因而无法运用求根法分解因式．但利用待定系数法，使我们找到了二次因式．由此可见，待定系数法在因式分解中也有用武之地．【知识点】待定系数法【适用场合】随堂课后练习【难度系数】4【试题来源】【题目】已知方程0412924=-+-x x x 有两根为1和2，解这个方程【答案】x 1 = 1 x 2 = 2【解析】【知识点】待定系数法【适用场合】当堂练习题【难度系数】3【试题来源】【题目】已知方程012823=+--x x x 有两个根相等，解这个方程. 【答案】【解析】【知识点】待定系数法【适用场合】当堂练习题【难度系数】3【试题来源】【题目】要使多项式))(2(2q x px x -++不含关于x 的二次项，则p 与q 的关系是（）A 相等B 互为相反数C 互为倒数D 乘积等于1【答案】A【解析】【知识点】待定系数法【适用场合】随堂课后练习【难度系数】3【试题来源】【题目】已知多项式43261312x x x x m -+-+是一个完全平方式，试求常数m 的值。

初一年级奥数知识点：待定系数法

【导语】奥林匹克数学竞赛或数学奥林匹克竞赛，简称奥数。

奥数体现了数学与奥林匹克体育运动精神的共通性：更快、更⾼、更强。

国际数学奥林匹克作为⼀项国际性赛事，由国际数学教育专家命题，出题范围超出了所有国家的义务教育⽔平，难度⼤⼤超过⼤学⼊学考试。

奥数对青少年的脑⼒锻炼有着⼀定的作⽤，可以通过奥数对思维和逻辑进⾏锻炼，对学⽣起到的并不仅仅是数学⽅⾯的作⽤，通常⽐普通数学要深奥⼀些。

国际数学奥林匹克作为⼀项国际性赛事，由国际数学教育专家命题，出题范围超出了所有国家的义务教育⽔平，难度⼤⼤超过⼤学⼊学考试。

下⾯是为⼤家带来的初⼀年级奥数知识点：待定系数法，欢迎⼤家阅读。

待定系数法
在解数学问题时，若先判断所求的结果具有某种确定的形式，其中含有某些待定的系数，⽽后根据题设条件列出关于待定系数的等式，最后解出这些待定系数的值或找到这些待定系数间的某种关系，从⽽解答数学问题，这种解题⽅法称为待定系数法。

它是中学数学中常⽤的⽅法之⼀。

初中数学常考的知识点待定系数法

初中数学常考的知识点待定系数法待定系数法在初中数学中是一个非常重要的解题方法。

它通常用于解决一元一次方程组、二次方程、代数式的展开和因式分解等问题。

接下来，我将详细介绍待定系数法的基本概念、解题步骤以及一些常见的例题。

一、待定系数法的基本概念待定系数法是通过假设未知量的值为一些系数，然后通过数学运算得到方程组的解。

在待定系数法中，我们可以假设未知量是一个常数、一个变量，甚至是一个代数式。

二、待定系数法的解题步骤1.了解问题并设定未知量：首先，我们要仔细阅读题目，理解问题的要求，并确定需要求解的未知量。

2.假设未知量：根据题目的要求，我们根据经验和数学常识假设未知量的值。

3.建立方程：根据已知条件和假设的未知量，我们可以建立方程组或方程。

4.求解方程：将方程组或方程进行化简和整理，找到未知量的值。

5.验证解：将求得的未知量的值代入原方程中验证是否满足题目要求。

6.提出结论：根据求得的解和验证的结果，给出问题的最终解答。

三、待定系数法的常见例题1.一元一次方程组例题1：已知二次方程的两个根为4和-3，求该二次方程。

解析：根据二次方程的性质，已知根x1和x2，可以得到二次方程为(x-x1)(x-x2)=0，即(x-4)(x+3)=0。

将括号中的每个因式展开，得到x^2-x(4+3)+12=0，即x^2-7x+12=0。

2.二次方程例题2：求满足方程x^2+6x=8的x的值。

解析：我们可以假设x的值为a，即x=a，代入方程中得到a^2+6a=8、将方程化简为a^2+6a-8=0。

对于这个二次方程，我们需要用待定系数法求解，设定未知量为a，设定的a是一个常数。

然后，我们将这个方程因式分解为(a-1)(a+8)=0，即a-1=0或a+8=0。

解得a=1或a=-8，即x=1或x=-83.代数式的展开和因式分解例题3：将代数式(x-2)(x+3)展开。

解析：根据分配律，我们可以得到(x-2)(x+3)=x(x+3)-2(x+3)。

初中数学竞赛指导：待定系数法在初中数学竞赛中的应用

待定系数法在初中数学竞赛中的应用对于某些数学问题，如果已知所求结果具有某种确定的形式，则可引进一些尚待确定的系数来表示这种结果，通过已知条件建立起给定的算式和结果之间的关系式，得到以待定系数为元的方程或方程组，解得待定系数，从而使问题得以解决，这一方法叫待定系数法，此法在初中竞赛题中有着广泛的应用，下面举例予以说明．一、用于解不定方程例1 使得5×2m＋1是完全平方数的整数m的个数为_______．解由题意，可设5×2m＋1＝(2k＋1)2（k为正整数），则5×2m＝4k（k＋1），即5×2m－2＝k（k＋1）．由于k（k＋1）是连续的两个正整数的积，故可知5×2m－2＝5 x4，∴m＝4．即使得5×2m＋1是完全平方数的整数m的个数只有1个．例2 已知直角三角形的边长均为整数，周长为60，求它的外接圆的面积．解设直角三角形的三边长分别为a，b，c(a≤b<c)，则a＋b＋c＝60．显然，直角三角形的外接圆的直径即为斜边长c，下面先求c的值．由a≤b<c及a＋b＋c＝60，得60＝a＋b＋c<3c，∴c>20．由a＋b>c及a＋b＋c＝60，得60＝a＋b＋c>2c，∴c<30．又∵c为整数，∴21≤c≤29．根据勾股定理，可得a2＋b2＝c2．把c＝60－a－b代入并化简，得ab－60(a＋b)＋1800＝0，∴(60－a)(60－b)＝1800＝23×32×52．因为a ，b 均为整数，且a ≤b ，所以只有3260256035a b ⎧-=⨯⎪⎨-=⨯⎪⎩或22260256023a b ⎧-=⨯⎪⎨-=⨯⎪⎩ 解得2015a b =⎧⎨=⎩或1024a b =⎧⎨=⎩．当a ＝20，b ＝15时，c ＝25，三角形的外接圆的面积为6254π；当a ＝10，b ＝24时，c ＝26，三角形的外接圆的面积为169π．二、用于确定不等式的取等条件例3 已知锐角△ABC 的三个内角满足A>B>C ，用α表示A －B ，B －C ，以及90°－A 中的最小值，则α的最大值是_______．解设x>0，y>0，z>0，则x α≤x(A －B)，y α≤y(B －C)，z α≤z(90°－A)，即（x ＋y ＋z ）α≤(x －z)A ＋(y －x)B －yC ＋z ·90°，令x －z ＝y －x ＝－y ，则x ＝2y ，z ＝3y ．取y ＝16，则 α≤－16A －16B －16C ＋12·90° ＝ 45°－(A ＋B ＋C)＝15°．故当A ＝ 75°，B ＝60°，C ＝45°时，α＝15°．三、用于拆分分式例4 已知：()()223232x x A B C x x x x x x -+=++-+-+，求A ，B ，C 的值．解去分母，得x2－x＋2＝A(x－3)(x＋2)＋Bx(x＋2)＋Cx(x－3)．根据恒等式定义，选择x的适当值，可直接求出A，B，C的值，所以，当x＝0时，有2＝－6A，得A＝13；当x＝3时，有8＝15B，得B＝8 15；当x＝－2时，有8＝10C，得C＝45．注意本题也可以把等号右边的代数式，整理成为关于x的二次三项式，然后用恒等式的性质：“左右两边同类项的系数相等”，列出方程组来解．例5 已知抛物线y＝－16x2＋bx＋c的顶点为P，与x轴的正半轴交于A（x1，0）、B（x2，0）（x1<x2）两点，与y轴交于点C，PA是△ABC的外接圆的切线．将抛物线向左平移241）个单位，得到的新抛物线与原抛物线交于点Q，且∠QBO＝∠OBC．求抛物线的解析式．解抛物线的解析式变形为y＝－16(x－3b)2＋232b＋c，所以，点P（3b，32b2＋c），点C(0，c)．设△ABC的外接圆的圆心为D，则点P和点D都在线段AB的垂直平分线上，设点D的坐标为(3b，m)．显然，x1，x2是一元二次方程－16x2＋bx＋c＝0的两根，所以，x1＝3bx2＝3b又AB的中点E的坐标为(3b，0)，所以，AE因为PA为⊙D的切线，所以PA⊥AD．又AE ⊥PD ，所以由射影定理，可得AE 2＝PE ·DE ，即2232b c ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭·m ，易知m<0，所以可得m ＝－6．又由DA ＝DC ，得DA 2＝DC 2，即2＋m 2＝(3b －0)2＋(m －c)2．把m ＝－6代入后，可解得c ＝－6（c ＝0舍去）．将抛物线y ＝－16(x －3b)2＋232b －6向左平移241）个单位后，得到的新抛物线为y ＝－16(x －3b ＋24)2232b －6．易求得两抛物线的交点为Q(3b ＋12－232b ＋102) 由∠QBO ＝∠OBC ，可得tan ∠QBO ＝tan ∠OBC ．作QN ⊥AB ，垂足为N ，则解得b ＝4(b ＝435) <0，舍去）．因此，抛物线的解析式为y ＝－16x 2＋4x －6．。

初中数学方法篇二：待定系数法 (1)

数学方法篇二：待定系数法对于某些数学问题，若得知所求结果具有某种确定的形式，则可研究和引入一些尚待确定的系数(或参数)来表示这样的结果．通过变形与比较．建立起含有待定字母系数(或参数)的方程(组)，并求出相应字母系数(或参数)的值，进而使问题获解．这种方法称为待定系数法．【范例讲析】：一. 待定系数法在代数式变型中的应用：在应用待定系数法解有关代数式变型的问题中，根据右式与左式多项式中对应项的系数相等的原理列出方程（组），解出方程（组）即可求得答案。

例1.若2x6x k++是完全平方式，则k=【】A．9 B．－9 C．±9 D．±3二. 待定系数法在分式求值中的应用：在一类分式求值问题中，已知一比例式求另一分式的值，可设定待定参数，把相关变量用它表示，代入所求分式，从而使问题获解。

例2.已知b5a13=，则aba b-+的值是【】A．32B．23C．94D．49三. 待定系数法在因式分解中的应用：目前这类考题很少，但不失为一种有效的解题方法。

例3.分解因式：2x x2+-＝。

四. 待定系数法在求函数解析式中的应用：例4.无论a取什么实数，点P(a－1，2a－3)都在直线l上，Q(m，n)是直线l上的点，则(2m－n＋3)2的值等于．例5.如图，直线AB与x轴交于点A（1，0），与y轴交于点B（0，﹣2）．（1）求直线AB的解析式；（2）若直线AB上的点C在第一象限，且S△BOC=2，求点C的坐标．例 6.游泳池常需进行换水清洗，图中的折线表示的是游泳池换水清洗过程“排水﹣﹣清洗﹣﹣灌水”中水量y（m3）与时间t（min）之间的函数关系式．（1）根据图中提供信息，求整个换水清洗过程水量y（m3）与时间t（min）的函数解析式；（2）问：排水、清洗、灌水各花多少时间？例7.如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点O为坐标原点，点D为抛物线的顶点，点E在抛物线上，点F在x轴上，四边形OCEF为矩形，且OF＝2，EF＝3，(1)求抛物线所对应的函数解析式；(2)求△ABD的面积；(3)将△AOC绕点C逆时针旋转90°，点A对应点为点G，问点G是否在该抛物线上？请说明理由．例8.如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于A（﹣1，0），B（2，0），交y轴于C（0，﹣2），过A，C画直线．（1）求二次函数的解析式；（2）点P在x轴正半轴上，且PA=PC，求OP的长；（3）点M在二次函数图象上，以M为圆心的圆与直线AC相切，切点为H．①若M在y轴右侧，且△CHM∽△AOC（点C与点A对应），求点M的坐标；②若⊙M的半径为455，求点M的坐标．五. 待定系数法在求解规律性问题中的应用：例9.2008年北京成功举办了一届举世瞩目的奥运会，今年的奥运会将在英国伦敦举行，奥运会的年份与届数如下表所示：年份1896 1900 1904 (2012)届数 1 2 3 …n表中n的值等于．例10.如图，是由形状相同的正六边形和正三角形镶嵌而成的一组有规律的图案，则第n个图案中阴影小三角形的个数是．例11.我们把按照一定顺序排列的一列数称为数列，如1，3，9，19，33，…就是一个数列，如果一个数列从第二个数起，每一个数与它前一个数的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做这个等差数列的公差．如2，4，6，8，10就是一个等差数列，它的公差为2．如果一个数列的后一个数与前一个数的差组成的新数列是等差数列，则称这个数列为二阶等差数列．例如数列1，3，9，19，33，…，它的后一个数与前一个数的差组成的新数列是2，6，10，14，…，这是一个公差为4的等差数列，所以，数列1，3，9，19，33，…是一个二阶等差数列．那么，请问二阶等差数列1，3，7，13，…的第五个数应是．六. 待定系数法在几何问题中的应用：在几何问题中，常有一些比例问题（如相似三角形对应边成比例，平行线截线段成比例，锐角三角函数等），对于这类问题应用消除待定系数法，通过设定待定参数，把相关变量用它表示，代入所求，从而使问题获解。

初中数学竞赛专题选讲待定系数法(含答案)

学习必备欢迎下载初中数学竞赛专题选讲（初三.7）待定系数法一、内容提要1. 多项式恒等的定义：设 f(x) 和 g(x) 是含相同变量 x 的两个多项式， f(x) ≡ g(x) 表示这两个多项式恒等 .就是说 x 在取值范围内，不论用什么实数值代入左右的两边，等式总是成立的 .符号“≡”读作“恒等于”，也可以用等号表示恒等式.例如：222－ 1)(x － 1),（ x+3）=x +6x+9,5x － 6x+1=(5xx3－ 39x－ 70=(x+2)(x+5)(x － 7).都是恒等式 .根据恒等式定义，可求恒等式中的待定系数的值.例如：已知：恒等式ax2 +bx+c=2(x+1)(x － 2).求：① a+b+c ；②a－ b+c.解：①以 x=1，代入等式的左右两边，得a+b+c＝－ 4.②以 x= －1，代入等式的左右两边，得a－ b+c＝0.2.恒等式的性质：如果两个多项式恒等，则左右两边同类项的系数相等.即如果n n－1n n－1a0x +a1x +⋯⋯ +a n－1x+a n=b0x +b 1x+⋯⋯ +b n－1x+b n那么 a0=b0， a1=b1，⋯⋯，a n－1=b n－1，a n=b n.22－ 2x－ 4.上例中又解：∵ ax +bx+c=2x∴ a=2,b= －2,c=－4.∴ a+b+c＝－ 4，a－b+c＝ 0.3.待定系数法：就是先假设结论为一个含有待定系数的代数式，然后根据恒等式定义和性质，确定待定系数的值.二、例题例 1.已知：x2x 2A B C x(x 3)( x 2)x x 3 x 2求：A，B，C的值 .解：去分母，得x2－ x+2=A(x － 3)(x+2)+Bx(x+2)+Cx(x－3).根据恒等式定义（选择x 的适当值，可直接求出A， B， C 的值），学习必备欢迎下载当 x=0 时， 2＝－ 6A.∴A ＝－1. 当x=3时，8＝ 15B.∴B ＝ 38.当 x=－ 2 时，8＝ 10C.15 4 ∴ C ＝.5本题也可以把等号右边的代数式，整理成为关于 x 的二次三项式，然后用恒等式性质：“左右两边同类项的系数相等”，列出方程组来解 .（见下例） .例 2. 把多项式 x 3－ x 2+2x+2 表示为关于 x － 1 的降幂排列形式 .解：用待定系数法：设 x 3－ x 2+2x+2=a(x － 1)3+b(x － 1)2+c(x － 1)+d把右边展开，合并同类项（把同类项对齐），得3232－ax － x +2x+2=ax － 3ax +3ax+bx 2－ 2bx+b+cx － c+d用恒等式的性质，比较同类项系数，a 1a 1 3ab 1 b 2得2b c 2 解这个方程组，得33ac ab cd 2d4∴ x 3－ x 2+2x+2=(x － 1)3+2(x － 1)2+3(x － 1)+4.本题也可用换元法：设 x －1=y, 那么 x=y+1.把左边关于 x 的多项式化为关于y 的多项式，最后再把 y 换成 x － 1.例 3. 已知： 4x 4+ax 3+13x 2+bx+1 是完全平方式 .求： a 和 b 的值 .解：设 4x 4+ax 3+13x 2+bx+1 ＝（ 2x 2+mx ± 1）2 （设待定的系数，要尽可能少 .）右边展开，合并同类项，得 4x 4+ax 3+13x 2+bx+1 ＝ 4x 4+4mx 3+(m 2± 4)x 2 ±2mx+1.比较左右两边同类项系数，得a 4ma4m 方程组m 2 4 13；或 m 24 13 .b 2mb2m解得a12或 a 12或 a 4 17 或 a － 4 17 .b 6b6b2 17 b 2 17例 4. 推导一元三次方程根与系数的关系.解：设方程32x 1, x 2, x 3.ax +bx +cx+d=0(a ≠ 0)的三个根分别为原方程化为 x 3+ bx 2c xd 0 .aa a∵ x 1, x 2, x 3 是方程的三个根 .∴ x 3+ bx 2c xd (x － x 1) (x － x 2) (x － x 3).aa a把右边展开，合并同类项，得x 3+ bx2c xd =x 3－ ( x 1+x 2+x 3)x 2 +(x 1x 2+x 1x 3+x 2x 3)x － x 1x 2x 3. aa a比较左右同类项的系数，得一元三次方程根与系数的关系是：x 1+x 2+x 3=－b，x 1x 2+x 1x 3+x 2x 3＝c ，x 1 x 2x 3＝－d.aa a例 5. 已知： x 3+px+q 能被（ x － a ）2 整除 .求证： 4p 3+27q 2=0.证明：设 32（x+b ） .x +px+q ＝（ x － a ）x 3+px+q=x 3 +(b － 2a)x 2+(a 2－ 2ab)x+a 2b.b 2a 0①a 2②2ab pa 2b ③q由①得 b=2a ，代入②和③得p 3a 2q2a3∴ 4p 322 33 2×（－ 66（证毕） .+27q ＝ 4（－ 3a ） +27(2a ) =4 27a ） +27 ×（ 4a ） =0. 例 6. 已知： f (x)=x 2 +bx+c 是 g (x)=x 4 +6x 2＋ 25 的因式，也是 q (x)=3x 4+4x 2+28x+5 的因式 .求： f (1) 的值 .解：∵ g (x),q (x) 都能被 f (x) 整除 ,它们的和、差、倍也能被 f (x) 整除 .为了消去四次项，设g (x) － q (x) ＝kf (x),(k 为正整数 ).即 14x2－ 28x+70 ＝ k (x 2+bx+c)14（x2－ 2x+5 ）＝ k (x 2+bx+c)∴ k=14,b=－2,c=5.即 f (x)=x 2－ 2x+5.∴f (1)=4 .例 7. 用待定系数法，求（x+y）5的展开式解：∵展开式是五次齐次对称式，∴可设（ x+y ）5＝ a(x5+y5)+b(x 4y+xy 4)+c(x 3y2+x 2y3) (a,b, c 是待定系数 .)当x=1,y=0 时，得 a=1；当x=1,y=1 时，得 2a+2b+2c=32 ，即 a+b+c=16当x=－ 1,y=2 时，得 31a－ 14b+4c=1.a1得方程组 a b c1631a14b4c1a 1解方程组，得b5c 10∴（ x+y）5＝ x5+5x 4y+10x 3y2+10x 2y3+5xy 4+y 5.三、练习511.已知2x3a bb 的值 .26x8x 2x.求a,x42.已知：4x 23x5A B C( x 1)2 ( x 2)x 1 (x 1) 2. 求：A，B，C 的值.x 23.已知：x4—6x3+13x2－ 12x+4 是完全平方式 .求：这个代数式的算术平方根 .4.已知： ax3+bx 2+cx+d能被 x2 +p 整除 .求证： ad=bc.3 25.已知： x － 9x +25x+13=a(x+1)(x － 2)(x － 3)=b(x － 1)(x － 2)(x － 3) =c(x － 1)(x+1)(x －3) =d(x － 1)(x+1)(x －2).求： a+b+c+d 的值 .6.试用待定系数法，证明一元二次方程根与系数的关系（即韦达定理）.7.用 x－ 2 的各次幂表示 3x3－10x2+13.8.k 取什么值时， kx 2－ 2xy － y2+3x － 5y+2 能分解为两个一次因式 ..9.分解因式：① x2+3xy+2y 24x+5y+3 ；②x4+1987x 2+1986x+1987.10.求下列展开式：① (x+y) 6；② (a+b+c) 3.11. 多项式 x2y－ y2z+z2x－ x2z+y2x+z 2y－ 2xyz 因式分解的结果是 ()(A) (x+y)(y－ z)(x － z) .(B) (x+y)(y+z)(x－ z).(C) (x －y)(y － z)(x+z).(D) (x － y)(y+z)(x+z).4432432－ 3.12. 已知 ( a+1) =a +4a +6a+4a+1,若 S=(x－ 1) +4(x－1) +6(x －1) +4x则S等于()4(B)44. (D)4(A) (x－ 2) .(x－1) .(C) x(x+1) .13．已知：ax 35x 2bx c的值是恒为常数求：a,b, c 的值 .2x310x 23x4参考答案7111.a=－ ,b= －2 22.A=1,B=2,C=33.± (x2－ 3x+2)4.由 (x 2+p)(ax+ d )⋯p5. 13－ 2)2－2)－37. 3(x －2) +8(x－ 4(x8. 先整理为关于x 的二次三项式，并把常数项分解因式，再用待定系数法。

待定系数法在初中数学解题中的思路与方法

２０２３年５月下半月㊀解法探究㊀㊀㊀㊀待定系数法在初中数学解题中的思路与方法◉福建省晋江市安海中学㊀黄华志㊀㊀摘要:待定系数法是初中数学中一种应用十分广泛且行之有效的解题方法．待定系数法的实质就是方程思想,它把待定的未知数与已知数等同看待来建立等式,即得方程(组)．本文中结合典型例题,探讨了如何在各类题型中灵活运用待定系数法解题的思路与方法．关键词:多项式除法;因式分解;解方程;恒等变形;求函数解析式㊀㊀在初中数学中,待定系数法是一种十分重要㊁应用范围广且非常实用的求未知数的解题思想和方法[１]．待定系数法运用的是执果索因的思维方法,其基本思路是先判断所求的结果的结构具有某种确定的形式,其中含有某些待定的系数,然后根据题设条件列出关于待定系数的等式,最后解出这些待定系数的值或者找到这些待定系数间的某种关系．待定系数法可广泛应用于多项式除法㊁因式分解㊁解方程(组)㊁恒等式的变形与证明㊁研究二次函数的性质等各类数学问题的解法之中,现将其常见的解题思路与方法技巧归类解析如下．１在多项式除法中的运用待定系数法在多项式的整除㊁求商式㊁余式等问题中运用广泛．例１㊀求(３x３－２x２＋１)ː(３x２－３x＋１)的商式和余式．解:设商式为x＋a,余式为p x＋q,则３x３－２x２＋１＝(x＋a)(３x２－３x＋１)＋p x＋q．令x＝０,则a＋q＝１．令x＝１,则(a＋１)＋p＋q＝２．令x＝－１,则７(a－１)－p＋q＝－４．可得方程组a＋q＝１,a＋p＋q＝１,７a－p＋q＝３．ìîíïïï解得a＝１３,p＝０,q＝２３．ìîíïïïïïï所以商式为x＋１３,余式为２３．思路与方法:本题被除式的最高项为３x３,除式的最高项为３x２,则商式的最高次数为１且系数也为１．故可设商式为x＋a,余式为p x＋q,可得关于x的恒等式３x３－２x２＋１＝(x＋a)(３x２－３x＋１)＋p x＋q,即对一切实数x均成立,因此对x取０,１,－１当然也应成立,从而得到关于a,p,q的方程组,这是特殊值法的运用．例２㊀已知x４＋４x３＋６p x２＋４９x＋r能被x３＋３x２＋９x＋３整除,求p,q,r的值．解:设商式为x＋m,则x４＋４x３＋６p x２＋４q x＋r＝(x＋m)(x３＋３x２＋９x＋３)＝x４＋(３＋m)x３＋(９＋３m)x２＋(３＋９m)x＋３m．比较对应项系数,得３＋m＝４,９＋３m＝６p,３＋９m＝４q,３m＝r．ìîíïïïï解方程组,得m＝１,p＝２,q＝３,r＝３．ìîíïïïï思路与方法:本题的解题思路是先要假定商式,因为x４ːx３＝x,所以可假定商式为x＋m,这里p, q,r,m都是待定系数,然后根据被除式恒等于商式乘除式的关系,就可以确定p,q,r,m的值．这种通过比较对应项系数而得到关于待定系数间的关系式的解题技巧十分重要．２在因式分解中的运用在对较复杂的二元二次多项式进行因式分解时,有时只需要将其部分因式分解成两个一次因式的乘积形式,就能够使我们在分解中确定因式的过程变得简捷明了．例３㊀已知２x２＋x y－y２－k x＋８y－１５能分解成两个一次因式之积,试求这个有理系数多项式．解法１:由十字相乘法,得２x２＋x y－y２＝(２x－y)(x＋y)．设２x２＋x y－y２－k x＋８y－１５＝(２x－y＋m) (x＋y＋n)＝２x２＋x y－y２＋(２n＋m)x＋(m－n) y＋m n．比较对应项系数,得２n＋m＝－k,m－n＝８,m n＝－１５．ìîíïïï解得m＝３,n＝－５,k＝７,ìîíïïï或m＝５,n＝－３,k＝１．ìîíïïï９７Copyright©博看网. All Rights Reserved.解法探究２０２３年５月下半月㊀㊀㊀故所求的有理系数多项式为２x ２＋x y －y ２－x ＋８y －１５,或２x ２＋x y －y ２－７x ＋８y －１５．解法２:由－y ２＋８y －１５＝(－y ＋３)(y －５),故设２x ２＋x y －y ２－k x ＋８y －１５＝(a x －y ＋３)(b x ＋y －５)＝a b x ２＋(a －b )x y －y ２＋(３b －５a )x ＋８y －１５．比较对应项系数,得a b ＝２,a －b ＝１,３b －５a ＝－k ．ìîíïïï解得a ＝２,b ＝１,k ＝７,ìîíïïï或a ＝－１,b ＝－２,k ＝１．ìîíïïï故所求的有理系数多项式为２x ２＋x y －y ２－x ＋８y －１５,或２x ２＋x y －y ２－７x ＋８y －１５．思路与方法:解法１把前三项分解成两个一次因式相乘的形式(２x －y )(x ＋y ),再把原式变形为(２x －y ＋m )(x ＋y ＋n ),即可运用比较对应项系数的方法顺利获解;解法２也是采用待定系数法,把－y ２＋８y －１５分解成两个一次因式之积的形式(－y ＋３)(y －５),再通过变形㊁对比对应项系数的方法求解．例４㊀满足等式p ２＋q ２＝７p q 的正实数p ,q ,能使关于x ,y 的多项式x y ＋p x ＋q y ＋１分解成两个一次因式的积,求p ,q 的值．解:由p ２＋q ２＝７p q (p ＞０,q ＞０),可得㊀㊀㊀㊀㊀㊀p ＋q ＝３p q ①因为多项式x y ＋p x ＋q y ＋１能分解成两个一次因式的积,所以可设x y ＋p x ＋q y ＋１＝(a x ＋b ) (c y ＋d )＝a c x y ＋a d x ＋b c y ＋b d ．比较对应项系数,得a c ＝１,b d ＝１,a d ＝p ,b c ＝q ．所以㊀㊀㊀㊀㊀㊀p q ＝a b c d ＝１．②由①②式,可得p ＝３２＋５２,q ＝３２－５２;或p ＝３２－５２,q ＝３２＋５２．思路与方法:由条件p ２＋q ２＝７p q (p ＞０,q ＞０),运用配方法可得出p ＋q 与p q 的关系;又由x y ＋p x ＋q y ＋１能分解成两个一次因式的积,利用待定系数法求出p q 的值,从而巧妙地求出p ＋q 的值,进而可得出p ,q 的值．３在解方程中的运用在初中阶段学生还没有学过高次方程的解法,但如果发现某些一元高次方程的根存在某种关系,也可以运用待定系数法解这类方程．另外,有些特殊的高次方程也能够尝试用待定系数法求解[２]．例５㊀已知方程２x ４－５x ３－２４x ２＋５３x －２０＝０有两个根的积等于２,试解这个方程．解:设２x ４－５x ３－２４x ２＋５３x －２０＝(x ２＋a x ＋２)(２x ２＋b x －１０)＝２x ４＋(２a ＋b )x ３＋(a b －６)x ２＋(－１０a ＋２b )x －２０,比较对应项系数,得２a ＋b ＝－５,a b －６＝－２４,－１０a ＋２b ＝５３．ìîíïïï解得a ＝－９２,b ＝４．{所以原方程可化为(x ２－９２x ＋２)(２x ２＋４x －１０)＝０．解方程,得x １＝１２,x ２＝４,x ３＝－１＋６,x ４＝－１－６．思路与方法:由根与系数的关系可知,两根之积为２的一元二次方程,如果二次项的系数是１,则常数项是２,由此我们可以作出假设来求解．例６㊀解方程:x ４＋(x －４)４＝６２６．解法１:由于６２６＝６２５＋１＝５４＋１４,可以看出５与－１是方程的两根,因此可令x ４＋(x －４)４－６２６＝２(x ＋１)(x －５)(x ２＋p x ＋q )．在上式中,取x ＝０,得q ＝３７;取x ＝４,得p ＝－４．于是原方程可变为２(x ＋１)(x －５)(x ２－４x ＋３７)＝０．因为方程x ２－４x ＋３７＝０无实数根,所以原方程的根为x １＝－１,x ２＝５．解法２:因为６２６＝５４＋１４,所以原方程可化为x ４＋(x －４)４＝５４＋１４,即(x ４－５４)＋[(x －４)４－１４]＝０⇔(x ２＋２５)(x ２－２５)＋[(x －４)２＋１] [(x －４)２－１]＝０⇔(x ２＋２５)(x ＋５)(x －５)＋(x －３)(x －５)(x ２－８x ＋１７)＝０⇔(x －５)(x ３－３x ２＋３３x ＋３７)＝０⇔(x －５)[(x ３＋１)－３(x ２－１１x －１２)]＝０⇔(x －５)(x ＋１)(x ２－４x ＋３７)＝０．解得x １＝５,x ２＝－１,这就是原方程的根．思路与方法:解法１运用了待定系数法,根据６２６＝６２５＋１＝５４＋１４,推知方程有两个实根－１与５,用待定系数法将x ４＋(x －４)４－６２６分解因式;解法２主要运用了因式分解法,充分利用了关系式x ４＋(x －４)４＝５４＋１４,即(x ４－５４)＋[(x －４)４－１４]＝０,再将左边分解因式．４在代数式恒等变形中的运用用待定系数法可对某些代数式按照某种要求进行恒等变形,具体方法是先假定一个符合条件的含有待定系数的恒等式,然后根据恒等式的性质,求出待定系数的值,或消去待定系数,使问题获得解决．例７㊀证明x y (３x ＋２)(５y ＋２)可化为具有整数系数的两个多项式的平方差．证明:设x y (３x ＋２)(５y ＋２)＝A ２－B ２(A ,B 代０８Copyright ©博看网. All Rights Reserved.２０２３年５月下半月㊀解法探究㊀㊀㊀㊀表整式),则(３x y ＋２y )(５x y ＋２x )＝(A ＋B )(A －B )．令A ＋B ＝３x y ＋２y ,A －B ＝５x y ＋２x ．{解得A ＝４x y ＋x ＋y ,B ＝－x y ＋y －x ．所以x y (３x ＋２)(５y ＋２)＝(４x y ＋x ＋y )２－(－x y ＋y －x )２．思路与方法:题目要求将x y (３x ＋２)(５y ＋２)转变成两个整式的平方差的形式,但这两个整式我们并不知道,也不能盲目拼凑,所以不妨设这两个整式分别为A ,B ,尝试用待定系数法求解．例８㊀求证:多项式x ４－６x ３＋１３x ２－１２x ＋４是一个完全平方式．证明:设原式＝(x ２＋p x ＋q )２＝x ４＋２p x ３＋(p ２＋２q )x ２＋２p q x ＋q２．比较对应项系数,得２p ＝－６,p ２＋２q ＝１３,２p q ＝－１２,q ２＝４．ìîíïïïï解得p ＝－３,q ＝２．{所以x ４－６x ３＋１３x ２－１２x ＋４＝(x ２－３x ＋２)２．思路与方法:本题是一个四次多项式,所以它应是一个二次三项式的平方,于是我们可以假定所给的多项式恒等于(x ２＋p x ＋q )２,式中的p 和q 是待定系数．５在二次函数中的运用求二次函数的解析式类问题,一般可用待定系数法求解．这类题型中通常都含有三个待定系数,需找到题中三个独立的条件,再求出相应的待定系数．解题过程中要善于发现和挖掘隐含条件．例９㊀已知抛物线过点C (－１,－１),它的对称轴是直线x ＝－２,且在x 轴上截取长度为２２的线段,求该抛物线的解析式．解法１:由对称轴直线x ＝－２,可设抛物线解析式为y ＝a (x ＋２)２＋k ．由抛物线的特征可知,其对称轴垂直平分其在x 轴上截取的线段,因此可知该抛物线过点A (－２＋２,０),B (－２－２,０)．又抛物线过点C (－１,－１),将点A ,C 的坐标代入解析式,可得a (－１＋２)２＋k ＝－１,a (－２＋２＋２)２＋k ＝０,{即a ＋k ＝－１,２a ＋k ＝０,{解得a ＝１,k ＝－２．{所以y ＝(x ＋２)２－２．故该抛物线的解析式为y ＝x ２＋４x ＋２．解法２:设抛物线解析式为y ＝a x ２＋b x ＋c ．由解法１中分析可知抛物线过(－２＋２,０),(－２－２,０)以及(－１,－１)三点,代入可得a －b ＋c ＝－１,(－２＋２)２a ＋(－２＋２)b ＋c ＝０,(－２－２)２a ＋(－２－２)b ＋c ＝０．ìîíïïïï解得a ＝１,b ＝４,c ＝２．ìîíïïï所以,该抛物线的解析式为y ＝x ２＋４x ＋２．解法３:由解法１中分析可知抛物线与x 轴的两交点坐标为(－２＋２,０),(－２－２,０),因此可设解析式为y ＝a (x ＋２－２)(x ＋２＋２),又过点(－１,－１),代入可求得a ＝１．所以解析式为y ＝(x ＋２－２)(x ＋２＋２),即y ＝x ２＋４x ＋２．思路与方法:解法１利用二次函数的顶点式y ＝a (x ＋２)２＋k 来求解;解法２利用二次函数的一般式y ＝a x ２＋b x ＋c 来求解;解法３利用二次函数的交点式y ＝a (x －x １)(x －x ２)来求解．这三种方法都用到了待定系数法,其中最关键的是对条件在x 轴上截取长度为２２的线段的技巧转化．例１０㊀已知二次函数有最小值－２,且图象与x 轴两交点的距离是６,对称轴是直线x ＝－１,求其解析式．解:由题意可知,抛物线与x 轴的两个交点坐标分别为(２,０)和(－４,０),故设二次函数解析式为y ＝a (x －２)(x ＋４)．把抛物线顶点的坐标(－１,－２)代入,求得a ＝２９．所以二次函数的解析式为y ＝２９(x －２)(x ＋４),即y ＝２９x ２＋４９x －１６９．思路与方法:根据题设条件中对称轴是直线x ＝－１,图象与x 轴两交点的距离是６,可求出两交点坐标为(２,０)(－４,０),再用两点式求出解析式．通过对上述典型例题思路与方法的探究,我们充分感受到了运用待定系数法解题的广泛性㊁实用性㊁灵活性与巨大的优越性．学生平时需要多加强这方面的训练,进一步熟悉和掌握答题的方法与技巧,熟能生巧,运用自如,不断提高综合解题能力．参考文献:[１]祝朝富．待定系数法及其应用[J ]．中等数学,２００１(２):２Ｇ７．[２]于莹．用待定系数法解题[J ]．数理化学习(初中版),２００２(１２):２３Ｇ２５．Z１８Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。

初中数学十大思想方法-待定系数法

初中数学思想方法——待定系数法在数学问题中，若得知所求结果具有某种确定的形式，则可设定一些尚待确定的系数(或参数)来表示这样的结果，这些待确定的系数(或参数)，称作待定系数。

然后根据已知条件，选用恰当的方法，来确定这些系数，这种解决问题的方法叫待定系数法。

待定系数法是数学中的基本方法之一。

它渗透于初中数学教材的各个部分，在全国各地中考中有着广泛应用。

应用待定系数法解题以多项式的恒等知识为理论基础，通常有三种方法：比较系数法；代入特殊值法；消除待定系数法。

比较系数法通过比较等式两端项的系数而得到方程（组），从而使问题获解。

例如：“已知x2-3=（1-A）·x2＋Bx＋C，求A，B，C的值”，解答此题，并不困难，只需将右式与左式的多项式中对应项的系数加以比较后，就可得到A，B，C的值。

这里的A，B，C就是有待于确定的系数。

代入特殊值法通过代入特殊值而得到方程（组），从而使问题获解。

例如：“点（2，﹣3）在正比例函数图象上，求此正比例函数”，解答此题，只需设定正比例函数为y=kx，将（2，﹣3）代入即可得到k的值，从而求得正比例函数解析式。

这里的k就是有待于确定的系数。

消除待定系数法通过设定待定参数，把相关变量用它表示，代入所求，从而使问题获解。

例如：“已知b2a3=，求a ba b-+的值”，解答此题，只需设定b2=ka3=，则a=3k b=2k，，代入a ba b-+即可求解。

这里的k就是消除的待定参数。

应用待定系数法解题的一般步骤是：（1）确定所求问题的待定系数，建立条件与结果含有待定的系数的恒等式；（2）根据恒等式列出含有待定的系数的方程（组）；（3）解方程（组）或消去待定系数，从而使问题得到解决。

在初中阶段和中考中应用待定系数法解题常常使用在代数式变型、分式求值、因式分解、求函数解析式、求解规律性问题、几何问题等方面。

下面通过2011年和2012年全国各地中考的实例探讨其应用。

一.待定系数法在代数式变型中的应用：在应用待定系数法解有关代数式变型的问题中，根据右式与左式多项式中对应项的系数相等的原理列出方程（组），解出方程（组）即可求得答案。

待定系数法

一般用法是，设某一多项式的全部或部分系数为未知数，利用两个多项式恒等式同类项系数相等的原理或其他已知条件确定这些系数，从而得到待求的值。

例如，将已知多项式分解因式，可以设某些因式的系数为未知数，利用恒等的条件，求出这些未知数。

求经过某些点的圆锥曲线方程也可以用待定系数法。

从更广泛的意义上说，待定系数法是将某个解析式的一些常数看作未知数，利用已知条件确定这些未知数，使问题得到解决的方法。

求函数的表达式，把一个有理分式分解成几个简单分式的和，求微分方程的级数形式的解等，都可用这种方法。

【又】一种常用的数学方法。

广泛应用于多项式的因式分解，求函数的解析式和曲线的方程等。

编辑本段待定系数法分解因式待定系数法是初中数学的一个重要方法。

在初中竞赛中经常出现。

例、分解因式x ﹣x ﹣5x ﹣6x﹣4分析：已知这个多项式没有二次因式，因而只能分解为两个一次因式。

解：设x ﹣x ﹣5x ﹣6x﹣4=(x ﹢ax﹢b)(x ﹢cx﹢d) = x² ﹢(a﹢c)x ﹢(ac﹢b﹢d)x ﹢(ad﹢bc)x﹢bd所以解得则x -x -5x -6x-4 =(x +x+1)(x -2x-4)=（2x+1）（-x-4)编辑本段待定系数法解题步骤使用待定系数法解题的一般步骤是：（1）确定所求问题含待定系数的解析式；（2）根据恒等条件，列出一组含待定系数的方程；. （3）解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决。

初中待定系数法公式

初中待定系数法公式待定系数法是解代数方程组的一种常用方法，适用于多个未知数的情况。

以下是待定系数法的基本步骤和公式。

步骤一：设方程的未知数个数为n，根据方程的条件构建n个方程。

步骤二：设未知数的系数为a₁，a₂，...，aₙ，构建n个方程表示与未知数相关的条件。

步骤三：根据未知数的系数和方程的条件列方程组。

步骤四：解方程组，求出未知数的值。

待定系数法常用的公式如下：1.线性方程组的待定系数法对于形如ax + by = c的线性方程组，可以使用待定系数法进行求解。

设x的系数为a₁，y的系数为b₁，等号右边的常数项为c₁，代表第一个等式。

设x的系数为a₂，y的系数为b₂，等号右边的常数项为c₂，代表第二个等式。

构建如下方程组：a₁x+b₁y=c₁a₂x+b₂y=c₂接下来，使用解方程组的方法求解该方程组，得到x和y的值。

2.二次方程的待定系数法对于形如ax² + bx + c = 0的二次方程，可以使用待定系数法进行求解。

设二次项系数为a₁，一次项系数为b₁，常数项为c₁，代表第一个等式。

设二次项系数为a₂，一次项系数为b₂，常数项为c₂，代表第二个等式。

设x的系数为x₁，y的系数为y₁，代表第三个等式。

构建如下方程组：a₁x²+b₁x+c₁=0a₂x²+b₂x+c₂=0x₁+y₁=0接下来，使用解方程组的方法求解该方程组，得到x和y的值。

3.三元一次方程组的待定系数法对于形如ax + by + cz = d的三元一次方程组，可以使用待定系数法进行求解。

设x的系数为a₁，y的系数为b₁，z的系数为c₁，等号右边的常数项为d₁，代表第一个等式。

设x的系数为a₂，y的系数为b₂，z的系数为c₂，等号右边的常数项为d₂，代表第二个等式。

设x的系数为a₃，y的系数为b₃，z的系数为c₃，等号右边的常数项为d₃，代表第三个等式。

构建如下方程组：a₁x+b₁y+c₁z=d₁a₂x+b₂y+c₂z=d₂a₃x+b₃y+c₃z=d₃接下来，使用解方程组的方法求解该方程组，得到x、y和z的值。

中考数学十大解题思路之待定系数法可修改全文

可编辑修改精选全文完整版中考数学十大解题思路之待定系数法中考数学十大解题思路之待定系数法知识梳理对于某些数学问题，若得知所求结果具有某种确定的形式，则可研究和引入一些尚待确定的系数(或参数)来表示这样的结果．通过变形与比较．建立起含有待定字母系数(或参数)的方程(组)，并求出相应字母系数(或参数)的值，进而使问题获解．这种方法称之为待定系数法．使用待定系数法解题的一般步骤是：(1)确定所求问题含待定系数的解析式；(2)根据恒等条件，列出一组含待定系数的方程；(3)解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决．初中数学中，待定系数法主要用途如下：典型例题一、在求函数解析式中的运用这是待定系数法的一个主要用途，学生也是在这种运用过程中开始较深入的接触待定系数法．初中阶段主要有正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数这几类函数，前面三种分别可设y=kx ，k y x=，y=kx+b 的形式(其中k 、b 为待定系数，且k ≠0)．而二次函数可以根据题目所给条件的不同，设成y=a x 2+bx+c(a 、b 、c 为待定系数)，y=a (x －h) 2+k(a 、k 、h 为待定系数)，y=a (x －x 1)(x －x 2)( a 、x 1、x 2为待定系数)三类形式．根据题意(可以是语句形式，也可以是图象形式)，确定出h 、k 、a 、c 、b 、x 1、x 2等待定系数．【例1】(05上海)点A(2，4)在正比例函数的图象上，求这个正比例函数的解析式．【解】设这个正比例函数的解析式为y=kx(k ≠0)，把A(2，4)代入得4=2k ，∴k=2，∴y=2x ．【例2】已知y 与x+1成反比例，且x=2时，y=4，求函数的解析式．【分析】 y 与x+1成反比例，把x+1看作一个整体，即可设为：1k y x =+ (k ≠0)，然后把x=2，y=4代入，求出k 的值即得函数的解析式．【解】 y 与x+1成反比例，∴可设1k y x =+(k ≠0) 将x=2，y=4代入1k y x =+(k ≠0)，得421k =+，解得k=12 ∴所求的函数的解析式为121y x =+．【解题反思】本题中y 与x+1成反比例关系，但y 与x 不是反比例关系，所以当自变量为x 时，121y x =+不是反比例函数．【例3】二次函数的图象经过A(1，0)、B(3，0)、C(2，－1)三点．(1)求这个函数的解析式．(2)求函数与直线y=－x+1的交点坐标．【解】 (1)设这个函数的解析式为y=a x 2+bx+c ．依题意得：0093142a b c a b c a b c =++??=++??-=++?解这个方程组得143a b c =??=-??=?∴这个函数的解析式是：y=x 2－4x+3 (2)2431y x x y x ?=-+?=-+? 解这个方程组得：1110x y =??=?，2221x y =??=-? ∴函数与直线的交点坐标是：(1，0)、(2，－1)【解题反思】运用待定系数法，由已知建立方程(组)，可求其系数的值，在把a 、b 、c 的值代入解析式时要注意符号．二、在确定方程或解方程时，某些时候使用待定系数法也可使问题得到简化．例如：已知一元二次方程的两根为x 1、x 2，求二次项系数为1的一元二次方程时，可设该方程为x 2+mx+n=0，则有(x －x 1)(x －x2)=0，即x 2－(x 1+x 2)x+x 1x 2=0，对应相同项的系数得m=－(x 1+x 2)，n=x 1x 2，所以所求方程为：x 2－(x 1+x 2)x+x 1x 2=0．【例4】已知三次方程x 3－6x 2+11x －6=0，有一根是另一根的2倍，解该方程．【解】设方程的三根分别为a 、2a 、b ，则有x 3－6x 2+11x －6=(x －a )(x －2a )(x －b)，左右分别展开，并把相同项的系数作比较，可得：－3a －b=－6，2a 2+3a b=11，－2a 2b=－6．解得a =1，b=3，所以该方程的根分别为：x 1=1，x 2=2，x 3=3．三、待定系数法在分式展开化为部分分式中的应用．分式化为部分分式时，如果用待定系数法也会产生很好的效果．【例5】把分式21172x x x-+-化为部分分式．【解】设2117221x A B x x x x -+=+--，然后将右边进行通分，化成一个分式，由于左右两边分母相同，则只要分子相同，即：－11x+7=(A －B)x －B ．由各项系数相同得：－11x=A －B ，7=－B ，解得A=3，B=－7．所以211737221x x x x x-+-=+-- 四、待定系数法在因式分解中的应用【例6】分解因式：2x 2－xy －y 2+13x+8y －7【解】因为2x 2－xy －y 2=(2x+y)(x －y)，所以可设2x 2－xy －y 213x+8y －7=(2x+y+8)(x －y+b)，展开比较相同项系数，可得：a =－1，b=7，所以2x 2－xy －y 2+13x+8y －7=(2x+y －1)(x －y+7)．五、待定系数法在多项式除法中的应用【例7】当a 、b 为何值时，2x 3－a x 2+bx+1能被2x －1整除?【解】设2x 2－a x 2+bx+l=(2x －1)(x 2+mx －1)，右边展开由x 的相同项的系数相同可得a 、b ，m 的方程组，解得：a =3，b=－3．m=－11．已知：一次函数的图象经过(－4，15)、(6，－5)两点，求此一次函数的解析式．2．(08镇江)二次函数的图象经过点A(0，－3)，B(2，－3)，C(－1，0)．(1)求此二次函数的关系式；(2)求此二次函数图象的顶点坐标；(3)填空：把二次函数的图象沿坐标轴方向最少平移________个单位，使得该图象的顶点在原点．3．如图所示，已知抛物线的对称轴是直线x=3，它与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点A、C的坐标分别是(8，0)、(0，4)，求这个抛物线的解析式．4．(07枣庄)在平面直角坐标系中，△AOB的位置如图所示，已知∠AOB=90°，AO=BO，点A的坐标为(－3，1)(1)求点B的坐标．(2)求过A，O，B三点的抛物线的解析式；(3)设点B关于抛物线的对称轴的对称点为B1，求△AB1B的面积．1．y=－2x+7 2．(1)设y=a x 2+bx －3，把点(2，－3)，(－1，0)代入得4233300a b a b +-=-??--=?，解方程组得12a b =??=-?．∴y=x 2－2x －3．(也可设y=a (x －1)2+k)． (2)y=x 2－2x －3=(x －1) 2－4，∴函数的顶点坐标为(1，－4)． (3)53．解：观察图象可知，A 、C 两点的坐标分别是(8，0)、(0，4)，对称轴是直线x=3．因为对称轴是直线x=3，所以B 点坐标为(－2，0)．设所求二次函数为y=a (x －x 1)(x －x 2)，由已知，这个图象经过点(8，0)、(－2，0)，可以得到y=a (x －8)(x+2)．又由于其图象过(0，4)点，将点代入，得所求二次函数的关系式是213442y x x =-++． 4．解：(1)作AC ⊥x 轴，BD ⊥x 轴，垂足分别为C ，D ，则∠ACO=∠ODB=90°．∴∠AOC+∠OAC=90°．又∠AOB=90°，∴∠AOC+∠BOD=90°．∴∠OAC=∠BOD ．又AO=BO ，∴△ACO ≌△ODB ．∴OD=AC=1，DB=OC=3．∴点B 的坐标为(1，3)．(2)抛物线过原点，可设所求抛物线的解析式为y=a x 2+bx ．将A(－3，1)，B(1，3)代入，解得56a =，136b =．故所求抛物线的解析式为251366y x x =+． (3)抛物线的对称轴的方程是1310x =-．点B 关于抛物线的对称轴的对称点为11835B ??-，．在△AB 1B 中，底边B 1B=4．6，高为2．1 4.6S AB B ∴=。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

初中数学竞赛专题讲解待定系数法
1.根据恒等式定义，可求恒等式中的待定系数的值.例如：
已知：恒等式ax 2+bx+c=2(x+1)(x －2).
求：①a+b+c ； ②a －b+c.
解：①以x=1，代入等式的左右两边，得a+b+c ＝－4.
②以x=－1，代入等式的左右两边，得a －b+c ＝0.
2.恒等式的性质：如果两个多项式恒等，则左右两边同类项的系数相等.
即如果 a 0x n +a 1x n －1+……+a n －1x+a n =b 0x n +b 1x n －1+……+b n －1x+b n
那么 a 0=b 0 ， a 1=b 1， …… ， a n －1=b n －1 ， a n =b n .
上例中又解： ∵ax 2+bx+c=2x 2－2x －4.
∴a=2, b=－2, c=－4.
∴a+b+c ＝－4， a －b+c ＝0.
3.待定系数法：就是先假设结论为一个含有待定系数的代数式，然后根据恒等式定义和性质，确定待定系数的值.
一、基础过关
1.已知
求：,,A B C 的值.
2.因式分解：22
35294x xy y x y +-++-
3.k 为何值时，多项式253222+-++-y x ky xy x 能分解成两个一次因式的积？
23)2)(3(22++-+=+-+-x C x B x A x x x x x
4.若328x ax bx +++有两个因式1x +和2x +，则a b +的值为多少？
5.分母有理化
6.设a 为常数，多项式321x ax ++除以21x -所得的余式为3x +，则a 的值为多少？
7.当,a b 为何值时，3221x ax bx -++能被21x -整除?
二、例题讲解
例1.已知222321(1)(2)12
x x A Bx C x x x x +++=+++++，其中A ，B ，C 为常数，求B 的值
练习1：已知34222610111
x x Ax B Cx D x x x x x x +++=+++++-+，其中A ，B ，C ，D 为常数，求A B C D +++的值
练习2：解方程：
222211114325671221
x x x x x x x x +++=+++++++
例2：分解因式：43223x x x x ++-+
练习1：分解因式
（1）432x x -- （2）432266x x x x -+-+
（3）432615x x x x -+-+ （4）()()()123678x x x +++-⨯⨯
练习2：因式分解42199619951996x x x +++
例3：若226541122x xy y x y m ---++可分解为两个一次式的积，
求m 的值并将多项式分解因式.
练习1：确定k 的值，使下列各式分解成关于x 、y 的两个一次式的积.
（1）2256x y kx y -++-.
（2）22754324x xy ky x y ++-+-.
练习2：多项式2256x axy by x y ++-++的一个因式是2x y +-，试确定a b +的值
练习3：如果()(4)1x a x ---能够分解成两个二项式x b +,x c +的乘积（,b c 为整数）
，则a 应是多少？
例4.已知,,a b c 为实数，且多项式32x ax bx c +++能够被2
34x x +-整除．
（1）求4a c +的值．
（2）求22a b c --的值．
（3）若,,a b c 为整数，且1c a ≥>，试确定,,a b c 的大小
练习1：当,,a b c 为何值时，多项式329ax x bx c -++满足下列条件：被22x +整除，且被21x +和2x -除时所得的余数相等？
:练习2：当,p m 为何值时，多项式32x px +-能被21x mx +-整除？
练习3：已知多项式32ax bx cx d +++能被2x p +整除，求证：ad bc =。

例5：设)(x f 为x 的多项式，当1+=a x 时，)(x f 的值是 152)1(2+-=+a a a f ，试求出多项式)(x f
练习1:设3434a b -≤-≤，5917a b ≤+≤，求7a b +的最小值和最大值
练习2：已知：()2f x x b x c =++是()42625g x x x =++的因式，也是
()4234285q x x x x =+++的因式.
求：()1f 的值.
练习3：已知37 3.15
410 4.2x y z x y z ++=⎧⎨++=⎩
，求x y z ++的值
例6：已知：4324131x ax x bx ++++是完全平方式.
求：a 和b 的值.
练习1：已知,,a b c 是实数，
关于x 的多项式()()()()()()x b x c x c x a x a x b ++++++++为完全平方式，
求证:a b c ==。

练习2：已知关于x 的多项式32x bx cx d +++为一完全立方式，
求证:32227,27b d c d ==
例7
练习1：化简:
练习2：若12
x =
，则4221x x x ++-的值为多少？
三、巩固提高
1.把多项式3222x x x -++表示为关于1x -的降幂排列形式.
2.推导一元三次方程根与系数的关系.
已知123,,x x x 是关于x 的一元三次方程320ax bx cx d +++=的三个根求证：123b x x x a ++=-，123d x x x a ∙∙=-，122313c x x x x x x a
∙+∙+∙=
3.分解因式：22(68)(1448)12x x x x +++++
4.若321311x mx x n +++能被21365x x -+整除，求整数m ，n 的值.
5.已知整数
c b a 、、使等式)11()10())((-=-+++x x c b x a x )1(+x ，对任意的x 均成立，求c 的值
6.多项式1612+-x x 除以12-x 的余式是（）
(A)1; (B)-1; (C)1-x ; (D)1+x ;
7.已知x
B x A x x x +-=--1322，其中A 、B 为常数，那么A ＋B 的值为（）（A ）－2 （B ）2 （
C ）－4 （
D ） 4 8.已知()443214641a a a a a +=++++, 若()()()4321416143s x x x x =-+-+-+-
则s 等于( )
(A)()42x -. (B)()41x - (C)()4
1x + . (D)4x . 9.已知三次方程3261160x x x -+-=，有一根是另一根的2倍，解该方程．。