一元一次方程的解的情况与整数解

一元一次方程的解的情况与整数解

二、方法剖析与提炼

例1．（2020娄底）已知关于x 的方程2x +a ﹣5=0的解是x =2，求a 的值．

【解答】∵x =2是方程2x +a ﹣5=0的解

2×2+a ﹣5=0

∴a =1 【解析】（1）把方程的解x =2代入方程。（2）解关于a 的方程2×2+a ﹣5=0得4+a ﹣5=0，解出a 的值.

【解法】一元一次方程的解，解一元一次方程。

【解释】本题主要考查学生对方程的解的理解。关于x 的方程2x +a ﹣5=0中未知数是x ，把a 看做待定的常数，根据一元一次方程的解的定义，把x =2代入方程后，求出关于a 的一元一次方程。

例2．解关于x 的方程（mx -n ）(m +n )=0

【解答】（1）把方程化为最简形式：m ²x +mnx -mn -n ²=0

整理，得m (m +n )x =n (m +n )

（2）讨论：①当m +n 0，且m 0时，方程有唯一解 x =m

n ； ②当m +n 0，且m =0时，方程无解；

③当m +n 0时，方程有无数多个解。

【解析】（1）这个方程中未知数是x , 而m 、n 是可以取不同实数的常数。因此需要讨论m 、n 不同值时方程解的情况。

（2）对含有字母系数的方程，一定要注意字母的取值范围。解这类方程时，需要从方程有唯一解、无解、无数多个解三种情况进行讨论。 用方程解的定义寻

求关于a 的等式

（3）对于不是最简形式的方程，通常情况下要先化为最简方程。

【解法】通过化简，转化为最简方程ax=b 的形式，然后分三种情况进行讨论。

【解释】对于含有字母系数的方程，学生一般不太理解，不是简单形式的方程，通常情况下要化简为最简方程，在解题过程中通过去括号，化繁为简转化为最简方程m (m +n )x =n (m +n )的形式时，有的学生往往会两边同除以m +n ，得到mx =n 的形式，这样就会漏掉m +n 0的情况。 例3. 已知关于x 的方程 a (x -3)=b (x +1)-3a 无解，问a 和b 应满足什么关系？

【解答】（1）将方程化简：ax -3 a =bx +b -3a ，

ax - bx =3 a +b -3a ，

ax - bx = b ， （a - b ）x = b 。

（2）∵方程无解，∴a - b =0，且b 0。

即a=b 0时，方程无解。

【解析】(1)对于较复杂的方程一般先把方程化为最简形式。

（2）对于方程ax=b ，若a =0且b 0时，方程无解。反之，若方程无解，则a =0且b 0。

【解法】化为最简形式后，根据方程无解，得出a=b 0。

【解释】学生应熟知对于最简方程ax=b ，当a =0且b 0时，方程无解；反之，当方程ax=b 无解时，则有a =0且b 0成立，当方程ax=b 有唯一解x=a

b 时，则a ≠0；当方程ax=b 有无数多个解时，则a =0， b =0。 若a =0，b 0，方程ax=b 变为0x=b ,则方程无解。

例4. a 取什么整数值时，关于x 的方程a (x +1)=a -2(x -2)的解是整数？正整数？正数？

【解答】(1)将方程化简，得：ax +a =a -2x +4

ax +2x =a +4- a

（a+2）x =4

(2)当a +20时，方程有唯一解， x =24 a ； (3)当（a +2）能整除4时，方程有整数解.

∴当a =-6,-4,-3,-1,0,2时，方程有整数解。

(4)当a +2=1,2,4，即当a =-1,0,2时，方程有正整数解。

(5)当a +2>0时，即a >-2时，方程有正数解。

【解析】(1)化为一般形式ax=b 时，要分情况讨论方程的解。

(2)当a 能整除b 时，方程有整数解。

(3)当a 能整除b 时，且a 、b 同号时，方程有正整数解。

(4)整除时要进行分类讨论，且满足a 0。

【解法】化为最简方程，对a 的不同取值范围进行分类讨论。

【解释】将关于x 的方程a (x +1)=a -2(x -2)化简后，要讨论x 的解何时为整数、正整数、正数，首先要确定方程是否有解。对于方程（a+2）x =4，在a +20时，才有唯一解。对于最简方程ax=b ，要根据a 是否整除b ，以及a 、b 是否同号，来判断方程ax=b 的解的情况。

例5. 解关于x 的方程（a +x -b ）（a -b -x ）=（a ²-x ）（b ²+x ）-a ²b ²

【解答】（1）将方程整理，得：

（a -b ）2-x 2= a ²b ²+ a ²x - b ²x - x 2-a ²b ²

根据a 能否整除b ，以及a 、

b 是否同号，来判断方程ax=b 的解的情况

对于含字母系数的方程ax=b ，要对系数进行分类讨论

化简，得：（a ²x - b ²）x =（a -b ）2

（2） ①当a ²-b ²0时，即a ±b 时，方程有唯一解x = ；

②当()⎪⎩⎪⎨⎧≠-=-0

0222b a b a 时，即a =-b 时，方程 ； ③当a-b =0时，即a=b ,方程 .

【解析】将方程化为最简形式，去括号后产生x ²项，但整理后，可以消去x ²项，也就是说，原方程实际上仍是一个一元一次方程。 【解法】将方程整理化简后，对于含a 、b 字母的系数要进行三种情况的分类讨论。

【解释】此题方程中字母多，方程看上去较烦琐，在对含字母的系数要进行分类讨论时，当方程ax=b 无解，必须同时满足a =0，b 0两个条件。在解题过程中，学生往往只记住a =0，而忽视b 0这个条件

三、能力训练与拓展

1.已知关于x 的方程 m (2x -1)=3x -2无解，求m 的值。

2.关于x 的一元一次方程mx +3=7-x （m ≠-1且为整数）的解是正整数，求该方程的正整数解，并求出相应的m 的值。