高中数学专题讲义-三角函数基本概念
专题17 三角函数概念与诱导公式 (教师版)高中数学53个题型归纳与方法技巧总结篇
【考点预测】知识点一：三角函数基本概念1．角的概念(1)任意角：①高中数学53个题型归纳与方法技巧总结篇专题17三角函数概念与诱导公式定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形；②分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角．(2)所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是{}Z k k S ∈+︒⋅==，αββ360．(3)象限角：使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．(4)象限角的集合表示方法：2．弧度制(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad 表示，读作弧度．正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0．(2)角度制和弧度制的互化：rad 180π=︒,rad 1801π=︒,π︒=180rad 1．(3)扇形的弧长公式：r l ⋅=α，扇形的面积公式：22121r lr S ⋅==α．3．任意角的三角函数(1)定义：任意角α的终边与单位圆交于点)(y x P ，时，则y =αsin ，x =αcos ，)0(tan ≠=x xyα．(2)推广：三角函数坐标法定义中，若取点P )(y x P ，是角α终边上异于顶点的任一点，设点P 到原点O 的距离为r ，则r y =αsin ，r x =αcos ，)0(tan ≠=x xyα三角函数的性质如下表：三角函数定义域第一象限符号第二象限符号第三象限符号第四象限符号αsin R ＋＋－－αcos R＋－－＋αtan }2|{Z k k ∈+≠，ππαα＋－＋－记忆口诀:三角函数值在各象限的符号规律:一全正、二正弦、三正切、四余弦．4．三角函数线如下图，设角α的终边与单位圆交于点P ，过P 作PM ⊥x 轴，垂足为M ，过A(1,0)作单位圆的切线与α的终边或终边的反向延长线相交于点T ．三角函数线有向线段MP 为正弦线；有向线段OM 为余弦线；有向线段AT 为正切线知识点二：同角三角函数基本关系1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：1cos sin 22=+αα．(2)商数关系：)2(tan cos sin ππααααk +≠=；知识点三：三角函数诱导公式公式一二三四五六角)(2Z k k ∈+απαπ+α-απ-απ-2απ+2正弦αsin αsin -αsin -αsin αcos αcos 余弦αcos αcos -αcos αcos -αsin αsin -正切αtan αtan αtan -αtan -口诀函数名不变，符号看象限函数名改变，符号看象限【记忆口诀】奇变偶不变，符号看象限，说明：（1）先将诱导三角函数式中的角统一写作2n πα⋅±；（2）无论有多大，一律视为锐角，判断2n πα⋅±所处的象限，并判断题设三角函数在该象限的正负；（3）当n 为奇数是，“奇变”，正变余，余变正；当n 为偶数时，“偶不变”函数名保持不变即可．【方法技巧与总结】1．利用1cos sin 22=+αα可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用αααtan cos sin =可以实现角α的弦切互化．2．“ααααααcos sin cos sin cos sin -+，，”方程思想知一求二．222(sin cos )sin cos 2sin cos 1sin 2ααααααα+=++=+222(sin cos )sin cos 2sin cos 1sin 2ααααααα-=+-=-22(sin cos )(sin cos )2αααα++-=【题型归纳目录】题型一：终边相同的角的集合的表示与区别题型二：等分角的象限问题题型三：弧长与扇形面积公式的计算题型四：三角函数定义题题型五：象限符号与坐标轴角的三角函数值题型六：同角求值—条件中出现的角和结论中出现的角是相同的题型七：诱导求值与变形【典例例题】题型一：终边相同的角的集合的表示与区别例1．（2022·全国·高三专题练习）与角94π的终边相同的角的表达式中，正确的是（）A ．245k π+ ，k Z ∈B ．93604k π⋅+，k Z ∈C ．360315k ⋅- ，k Z ∈D ．54k ππ+，k Z ∈【答案】C 【解析】【分析】要写出与94π的终边相同的角，只要在该角上加2π的整数倍即可．【详解】首先角度制与弧度制不能混用，所以选项AB 错误；又与94π的终边相同的角可以写成92()4k k Z ππ+∈，所以C 正确．故选：C ．例2．（2022·全国·高三专题练习）若角α的终边在直线y x =-上，则角α的取值集合为（）A ．2,4k k πααπ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭Z B ．32,4k k πααπ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z C ．3,4k k πααπ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭Z D ．,4k k πααπ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭Z 【答案】D 【解析】【分析】根据若,αβ终边相同，则2,k k Z βπα=+∈求解.【详解】解：，由图知，角α的取值集合为:()32,2,4421,2,44,4k k Z k k Z k k Z k k Z k k Z ππααπααπππααπααππααπ⎧⎫⎧⎫=+∈⋃=-∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎧⎫⎧⎫==+-∈⋃=-∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎧⎫==-∈⎨⎬⎩⎭故选：D.【点睛】本题主要考查终边相同的角，还考查了集合的运算能力，属于基础题.例3．（2022·上海市嘉定区第二中学高一阶段练习）设集合{}{}|45180,|135180,A k k Z k k Z αααα==︒+⋅︒∈⋃=︒+⋅︒∈，集合{}|4590,B k k Z ββ==︒+⋅︒∈，则（）A ．AB =∅ B ．A BC ．B AD ．A B=【答案】D 【解析】【分析】考虑A 中角的终边的位置，再考虑B 中角的终边的位置，从而可得两个集合的关系.【详解】.45180,k k Z α=︒+⋅︒∈表示终边在直线y x =上的角，135180,k k Z α=︒+⋅︒∈表示终边在直线y x =-上的角，而4590,k k Z β=︒+⋅︒∈表示终边在四条射线上的角，四条射线分别是射线,0;,0;,0;,0y x x y x x y x x y x x =≥=-≤=≤=-≥，它们构成直线y x =、直线y x =-，故A B =.故选：D.【点睛】本题考查终边相同的角，注意180k α⋅︒+的终边与α的终边的关系是重合或互为反向延长线，而90k α⋅︒+的终边与α的终边的关系是重合或互为反向延长线或相互垂直，本题属于中档题.（多选题）例4．（2022·全国·高三专题练习）如果角α与角45γ+︒的终边相同，角β与45γ-︒的终边相同，那么αβ-的可能值为（）A ．90︒B ．360︒C ．450︒D ．2330︒【答案】AC 【解析】根据终边相同可得角与角之间的关系，从而可得αβ-的代数形式，故可得正确的选项.【详解】因为角α与角45γ+︒的终边相同，故45360k γα ，其中k Z ∈，同理145360k βγ=-︒+⋅︒，其中1k Z ∈，故90360n αβ-=︒+⋅︒，其中n Z ∈，当0n =或1n =时，90αβ-=︒或450αβ-=︒，故AC 正确，令36090360n ︒=︒+⋅︒，此方程无整数解n ；令903060233n =︒+⋅︒︒即569n =，此方程无整数解n ；故BD 错误.故选：AC.（多选题）例5．（2022·全国·高三专题练习）下列条件中，能使α和β的终边关于y 轴对称的是（）A ．90αβ+=︒B ．180αβ+=︒C ．()36090k k αβ+=⋅︒+︒∈ZD ．()()21180k k αβ+=+⋅︒∈Z 【答案】BD 【解析】【分析】根据α和β的终边关于y 轴对称时()180360k k αβ+=︒+︒∈Z ，逐一判断正误即可.【详解】根据α和β的终边关于y 轴对称时()180360k k αβ+=︒+︒∈Z 可知，选项B 中，180αβ+=︒符合题意；选项D 中，()()21180k k αβ+=+⋅︒∈Z 符合题意；选项AC 中，可取0,90αβ=︒=︒时显然可见α和β的终边不关于y 轴对称.故选：BD.例6．（2022·全国·高三专题练习）写出两个与113π-终边相同的角___________．【答案】3π，53π-(其他正确答案也可)【解析】【分析】利用终边相同的角的定义求解.【详解】设α是与113π-终边相同的角，则112,3k k Z παπ=-∈，令1k =，得53πα=-，令2k =，得3πα=，故答案为：3π，53π-(其他正确答案也可)【方法技巧与总结】（1）终边相同的角的集合的表示与识别可用列举归纳法和双向等差数列的方法解决．（2）注意正角、第一象限角和锐角的联系与区别，正角可以是任一象限角，也可以是坐标轴角；锐角是正角，也是第一象限角，第一象限角不包含坐标轴角．题型二：等分角的象限问题例7．（2022·浙江·高三专题练习）若18045,k k Z α=⋅+∈ ，则α的终边在（）A ．第一、三象限B ．第一、二象限C ．第二、四象限D ．第三、四象限【答案】A 【解析】【分析】分21,k n n Z =+∈和2,k n n =∈Z 讨论可得角的终边所在的象限.【详解】解：因为18045,k k Z α=⋅+∈ ，所以当21,k n n Z =+∈时，218018045360225,n n n Z α=⋅++=⋅+∈ ，其终边在第三象限；当2,k n n =∈Z 时，21804536045,n n n Z α=⋅+=⋅+∈ ，其终边在第一象限.综上，α的终边在第一、三象限.故选：A.例8．（2022·全国·高三专题练习（理））角α的终边属于第一象限，那么3α的终边不可能属于的象限是（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D 【解析】【分析】由题意知，222k k ππαπ<<+，k Z ∈，即可得3α的范围，讨论3k n =、31k n =+、32k n =+()n Z ∈对应3α的终边位置即可.【详解】∵角α的终边在第一象限，∴222k k ππαπ<<+，k Z ∈，则223363k k παππ<<+，k Z ∈，当3()k n n Z =∈时，此时3α的终边落在第一象限，当31()k n n Z =+∈时，此时3α的终边落在第二象限，当32()k n n Z =+∈时，此时3α的终边落在第三象限，综上，角α的终边不可能落在第四象限，故选：D.例9．（2022·全国·高三专题练习）θ是第二象限角，则下列选项中一定为负值的是（）A ．sin2θB ．cos2θC ．sin 2θD ．cos 2θ【答案】C 【解析】表示出第二象限角的范围，求出2θ和2θ所在象限，确定函数值的符号．【详解】因为θ是第二象限角，所以22,2k k k Z ππθππ+<<+∈，则4242,k k k Z ππθππ+<<+∈，所以2θ为第三或第四象限角或终边在y 轴负半轴上，，所以sin 2θ<0.而,422k k k Z πθπππ+<<+∈，2θ是第一象限或第三象限角，正弦余弦值不一定是负数．故选：C ．例10．（2022·全国·高三专题练习）已知角α第二象限角，且cos cos22αα=-，则角2α是（）A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角【答案】C 【解析】【分析】由α是第二象限角，知2α在第一象限或在第三象限，再由coscos22αα=-，知cos02α≤，由此能判断出2α所在象限．【详解】因为角α第二象限角,所以()90360180360Z k k k α+⋅<<+⋅∈，所以()4518090180Z 2k k k α+⋅<<+⋅∈，当k 是偶数时，设()2Z k n n =∈，则()4536090360Z 2n n n α+⋅<<+⋅∈，此时2α为第一象限角；当k 是奇数时，设()21Z k n n =+∈，则()225360270360Z 2n n n α+⋅<<+⋅∈，此时2α为第三象限角.；综上所述：2α为第一象限角或第三象限角，因为coscos22αα=-，所以cos02α≤，所以2α为第三象限角．故选：C ．【方法技巧与总结】先从α的范围出发，利用不等式性质，具体有：（1）双向等差数列法；（2）nα的象限分布图示．题型三：弧长与扇形面积公式的计算例11．（2022·浙江·镇海中学模拟预测）《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》章给出了弧田面积的计算公式．如图所示，弧田是由圆弧AB 及其所对弦AB 围成的图形．若弧田的弦AB 长是2，弧所在圆心角的弧度数也是2，则弧田的弧AB 长为_______，弧田的面积为_________．【答案】2sin1;211sin 1tan1-.【解析】【分析】（1）利用弧长公式解决，那么需要算出半径和圆心角；（2）用扇形的面积减去三角形的面积即可.【详解】由题意可知：111,,sin1sin1tan1tan1======AC BC BC AC AO OC ，所以弧AB 长122sin1sin1=⨯=，弧田的面积22111111222sin12tan1sin 1tan1⎛⎫=-=⨯⨯-⨯⨯=- ⎪⎝⎭扇形AOB AOB S S ，故答案为：2sin1；211sin 1tan1-.例12．（2022·全国·高考真题（理））沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图， AB 是以O 为圆心，OA 为半径的圆弧，C 是AB 的中点，D 在 AB 上，CD AB ⊥．“会圆术”给出 AB 的弧长的近似值s 的计算公式：2CDs AB OA=+．当2,60OA AOB =∠=︒时，s =（）A B C D 【答案】B 【解析】【分析】连接OC ，分别求出,,AB OC CD ，再根据题中公式即可得出答案.【详解】解：如图，连接OC ，因为C 是AB 的中点，所以OC AB ⊥，又CD AB ⊥，所以,,O C D 三点共线，即2OD OA OB ===，又60AOB ∠=︒，所以2AB OA OB ===，则OC =2CD =所以()22222CD s AB OA =+=+=故选：B.例13．（2022·全国·高三专题练习）中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴.按如下方法剪裁，扇面形状较为美观.从半径为r 的圆面中剪下扇形OAB ，使剪下扇形OAB，再从扇形OAB 中剪下扇环形ABDC 制作扇面，使扇环形ABDC 的面积与扇形OAB.则一个按上述方法制作的扇环形装饰品（如图）的面积与圆面积的比值为（）ABCD2-【答案】D 【解析】【分析】记扇形OAB 的圆心角为α，扇形OAB 的面积为1S ，扇环形ABDC 的面积为2S ，圆的面积为S ，根据扇形面积公式，弧长公式，以及题中条件，即可计算出结果.【详解】记扇形OAB 的圆心角为α，扇形OAB 的面积为1S ，扇环形ABDC 的面积为2S ，圆的面积为S ，由题意可得，2112S r α=，21S S =2S r π=，所以()122124S Srαππ==，因为剪下扇形OAB ，所以22r r r παπ-=(3απ=，所以()()()2113244S S απππ====.故选：D.例14．（2022·浙江·赫威斯育才高中模拟预测）“圆材埋壁”是我国古代的数学著作《九章算术》中的一个问题，现有一个“圆材埋壁”的模型，其截面如图所示，若圆柱形材料的底面半径为1，截面圆圆心为O ，墙壁截面ABCD 为矩形，且1AD =，则扇形OAD 的面积是__________.【答案】6π##16π【解析】【分析】计算AOD ∠，再利用扇形的面积公式求解.【详解】由题意可知，圆O 的半径为1，即1OA OD ==，又1AD =，所以OAD △为正三角形，∴3AOD π∠=，所以扇形OAD 的面积是221112236S r AOD ππ=⨯⨯∠=⨯⨯=.故答案为：6π例15．（2022·全国·模拟预测）炎炎夏日，在古代人们乘凉时习惯用的纸叠扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形加工制作而成.如图，扇形纸叠扇完全展开后，扇形ABC 的面积S 为22225cm π，若2BD DA =，则当该纸叠扇的周长C 最小时，BD 的长度为___________cm .【答案】10π【解析】【分析】设扇形ABC 的半径为r cm ，弧长为l cm ，根据扇形ABC 的面积S 为22225cm π，由212252rl π=得到rl ，然后由纸叠扇的周长2C r l =+，利用基本不等式求解.【详解】解：设扇形ABC 的半径为r cm ，弧长为l cm ，则扇形面积12S rl =.由题意得212252rl π=，所以2450rl π=.所以纸叠扇的周长260C r l π=+≥==，当且仅当22,450,r l rl π=⎧⎨=⎩即15r π=，30l π=时，等号成立，所以()15BD DA cm π+=.又2BD DA =，所以()1152BD BD cm π+=，所以()3152BD cm π=，故()10BD cm π=.故答案为：10π例16．（2022·全国·高三专题练习）已知扇形的周长为4cm ，当它的半径为________cm 和圆心角为________弧度时，扇形面积最大，这个最大面积是________cm 2.【答案】121【解析】【详解】24l r +=，则()21142222S lr r r r r ==-=-+，则1,2r l ==时，面积最大为1，此时圆心角2lrα ，所以答案为1；2；1.【方法技巧与总结】（1）熟记弧长公式：l ＝|α|r ，扇形面积公式：S 扇形＝12lr ＝12|α|r 2（弧度制(0,2]απ∈）（2）掌握简单三角形，特别是直角三角形的解法题型四：三角函数定义题例17．（2022·广东·深圳市光明区高级中学模拟预测）已知角θ的终边过点()1,1A -，则sin()6πθ-=（）ABCD【答案】D 【解析】【分析】由任意三角形的定义求出sin ,cos θθ，由两角差的正弦公式代入即可求出sin()6πθ-.【详解】因为角θ的终边过点()1,1A -，由任意三角形的定义知：sin θθ==sin()sin cos cos sin 666πππθθθ-=-=故选：D.例18．（2022·河北衡水·高三阶段练习）已知角α的终边经过点(-，则()tan sin 232πααπ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭（）A ．32B ．34-C．D【答案】D 【解析】【分析】利用三角函数的定义、诱导公式、二倍角公式以及弦化切可求得所求代数式的值.【详解】依题意，由三角函数的定义可知tan α=()22sin cos 2sin cos 2tan sin 23sin 22sin sin cos cos 2παπαααααπαπαααα⎛⎫+ ⎪⎛⎫⎝⎭++-=-=-- ⎪+⎛⎫⎝⎭+ ⎪⎝⎭22212sin cos 2tan tan sin cos tan 1ααααααα=--===++故选：D.例19．（2022·湖北武汉·模拟预测）已知角α的始边与x 轴非负半轴重合，终边上一点()sin 3,cos3P ，若02απ≤≤，则α=（）A ．3B ．32π-C ．532π-D ．32π-【答案】C【分析】根据三角函数的定义求出tan α，结合诱导公式即可得解，注意角所在的象限.【详解】解：因为角α的终边上一点()sin 3,cos3P ，所以cos31tan 0sin 3tan 3α==<，又cos 30,sin 30<>，所以α为第四象限角，所以23,Z 2k k παπ=+-∈，又因02απ≤≤，所以532πα=-.故选：C.例20．（2022·北京·二模）已知角α的终边经过点34,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则sin 2α=（）A ．2425-B ．725-C ．725D ．2425【答案】A 【解析】【分析】根据终边上的点确定角的正余弦值，再由二倍角正弦公式求sin 2α.【详解】由题设43sin ,cos 55αα==-，而4324sin 22sin cos 2()5525ααα==⨯⨯-=-.故选：A【方法技巧与总结】（1）任意角的正弦、余弦、正切的定义；题型五：象限符号与坐标轴角的三角函数值例21．（2022·全国·高三专题练习）如果cos 0θ<，且tan 0θ<，则sin cos cos θθθ-+的化简为_____.【答案】sin θ【解析】【分析】由cos 0θ<，且tan 0θ<，得到θ是第二象限角，由此能化简sin cos cos θθθ-+．解：∵cos 0θ<，且tan 0θ<，∴θ是第二象限角，∴sin cos cos sin cos cos sin θθθθθθθ-+=-+=．故答案为：sin θ．例22．（2022·河北·石家庄二中模拟预测）若角α满足sin cos 0αα⋅<，cos sin 0αα-<，则α在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B 【解析】【分析】根据sin cos 0αα⋅<可知α是第二或第四象限角；根据第二或第四象限角正余弦的符号可确定结果.【详解】sin cos 0αα⋅< ，α 是第二或第四象限角；当α是第二象限角时，cos 0α<，sin 0α>，满足cos sin 0αα-<；当α是第四象限角时，cos 0α>，sin 0α<，则cos sin 0αα->，不合题意；综上所述：α是第二象限角.故选：B.例23．（2022·浙江·模拟预测）已知R θ∈，则“cos 0θ>”是“角θ为第一或第四象限角”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要【答案】B 【解析】【分析】利用定义法进行判断.【详解】充分性：当cos 0θ>时，不妨取cos 1,0θθ==时轴线角不成立.故充分性不满足；必要性：角θ为第一或第四象限角，则cos 0θ>，显然成立.故选：B.例24．（2022·重庆·高三开学考试）若tan 0θ>，则下列三角函数值为正值的是（）A ．sin θB ．cos θC ．sin 2θD ．cos 2θ【答案】C 【解析】【分析】结合诱导公式、二倍角公式判断出正确选项.【详解】sin tan 0sin cos 0sin 22sin cos 0cos θθθθθθθθ=>⇒⋅>⇒=>，所以C 选项正确.当5π4θ=时，5ππtan 0,sin 0,cos 0,cos 2coscos 022θθθθ><<===，所以ABD 选项错误.故选：C例25．（2022·全国·高三专题练习（理））我们知道，在直角坐标系中，角的终边在第几象限，这个角就是第几象限角．已知点()cos ,tan P αα在第三象限，则角α的终边在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B 【解析】【分析】本题首先可以根据题意得出cos 0α<、tan 0α<，然后得出sin 0α>，即可得出结果.【详解】因为点()cos ,tan P αα在第三象限，所以cos 0α<，tan 0α<，则sin 0α>，角α的终边在第二象限，故选：B.例26．（2022·全国·高三专题练习（理））已知sin 0,cos 0αα><，则（）A ．sin 20α>B ．cos20α<C ．tan02α>D ．sin2α<【答案】C 【解析】【分析】由条件得到角α所在的象限，从而得到2α所在的象限，这样就可以得到答案.【详解】由sin 0,cos 0αα><知，α为第二象限角，所以2α为第一或第三象限角，所以tan02α>．故选：C.例27．（2022·江西南昌·三模（文））若角α的终边不在坐标轴上，且sin 2cos 2αα+=，则tan α=()A ．43B ．34C ．23D ．32【答案】A 【解析】【分析】结合易知条件和同角三角函数的平方关系即可求出cos α，从而求出sin α，根据sin tan cos ααα=即可求得结果．【详解】22sin cos 13cos 5sin 2cos 2ααααα⎧+=⇒=⎨+=⎩或cos 1α=，∵α的终边不在坐标轴上，∴3cos 5α=，∴34sin 2255α=-⨯=，∴sin 4tan cos 3ααα==．故选：A ．例28．（2022·全国·高三专题练习（理））若α是第二象限角，则下列不等式正确的是（）A ．()cos 0α->B ．tan02α>C ．sin 20α>D ．()sin 0α->【答案】B 【解析】【分析】根据α是第二象限角，分别求出四个选项中角所在的象限，再判断三角函数的符号，即可求解.【详解】对于A ：因为()π2ππ2πZ 2k k k α+<<+∈，所以()ππ2π2πZ 2k k k α--<-<--∈，所以α-是第三象限角，所以()cos 0α-<，故选项A 不正确；对于B ：因为()π2ππ2πZ 2k k k α+<<+∈，所以()ππππZ 422k k k α+<<+∈，当()2Z k n n =∈时，()ππ2π2πZ 422n n n α+<<+∈，此时2α是第一象限角，当()21Z k n n =+∈时，()5π3π2π2πZ 422n n n α+<<+∈，此时2α是第三象限角，所以2α是第一或第三象限角，所以tan02α>，故选项B 正确；对于C ：因为()π2ππ2πZ 2k k k α+<<+∈，所以()π4π22π4πZ k k k α+<<+∈，所以2α是第三或第四象限角或终边落在y 轴非正半轴，所以sin 20α<，故选项C 不正确；对于D ：因为()π2ππ2πZ 2k k k α+<<+∈，所以()ππ2π2πZ 2k k k α--<-<--∈，所以α-是第三象限角，所以()sin 0α-<，故选项D 不正确；故选：B.【方法技巧与总结】正弦函数值在第一、二象限为正，第三、四象限为负；．余弦函数值在第一、四象限为正，第二、三象限为负；．正切函数值在第一、三象限为正，第二、四象限为负．题型六：同角求值—条件中出现的角和结论中出现的角是相同的例29．（2022·安徽·合肥市第八中学模拟预测（文））若tan 2θ=-，则2sin 2cos 1θθ+的值为___________.【答案】23-【解析】【分析】利用二倍角公式和同角三角函数平方关系可构造正余弦齐次式，分子分母同除2cos θ，代入tan θ即可得到结果.【详解】2222sin 22sin cos 2tan 42cos 12cos sin 2tan 243θθθθθθθθ===-=-++++.故答案为：23-.例30．（2022·河北·沧县中学模拟预测）已知tan 3α=，则22sin 22sin cos2cos -=-αααα___________．【答案】43【解析】【分析】根据二倍角公式，结合同角三角函数齐次式关系求解即可.【详解】解：22222222sin 22sin 2sin cos 2sin 2tan 2tan 23234cos2cos sin tan 33---⨯-⨯====----ααααααααααα．故答案为：43例31．（2022·广东惠州·一模）已知tan 2α=，32παπ<<，则cos sin αα-=（）A B ．C D ．【答案】A 【解析】【分析】由sin tan 2cos ααα==及22sin cos 1αα+=解出sin α与cos α即可求解.【详解】因为sin tan 2cos ααα==，且22sin cos 1αα+=，32παπ<<，所以sin α=cos α=，所以cos sin αα⎛-== ⎝⎭.故选：A.例32．（2022·全国·模拟预测）已知0πA <<，1sin cos 5A A +=，则1sin 21cos 2AA-=+（）A ．132B ．118C ．4918D ．4932【答案】C 【解析】【分析】结合同角的平方关系以及二倍角公式即可求出结果.【详解】由1sin cos 5A A +=及22sin cos 1A A +=，解得4sin 5A =，3cos 5A =-或4cos 5A =，3sin 5A =-.因为sin 0A >，所以4sin 5A =，3cos 5A =-，所以24sin 22sin cos 25A A A ==-，227cos 2cos sin 25A A A =-=-，所以2411sin 2492571cos 218125A A +-==+-，故选：C.例33．（2022·海南·模拟预测）已知角α为第二象限角，tan 3α=-，则cos α=（）A．BC．D【答案】A 【解析】【分析】由角所在的象限及同角三角函数的平方关系、商数关系求cos α即可.【详解】因为α是第二象限角，所以sin 0α>，cos 0α<，由sin tan 3cos ααα==-，22sin cos 1αα+=，可得：cos α=故选：A.例34．（2022·全国·高三专题练习）已知(,22ππα∈-，且212sin 5cos 9αα-=，则cos 2=α（）A ．13B ．79-C ．34-D ．18【答案】B 【解析】【分析】利用同角公式化正弦为余弦，求出cos α的值，再利用二倍角的余弦公式求解即得.【详解】依题意，原等式化为：212(1cos )5cos 9αα--=，整理得：(4cos 3)(3cos 1)0αα+-=，因(,)22ππα∈-，则cos 0α>，解得：1cos 3α=，所以2217cos 22cos 12139αα⎛⎫=-=⨯-=- ⎪⎝⎭.故选：B例35．（2022·全国·高三阶段练习（理））若sin cos 2sin cos θθθθ+=-，则sin (1sin 2)sin cos θθθθ+=+（）A ．65-B ．25-C ．65D ．25【答案】C 【解析】【分析】由已知得sin 3cos θθ=，从而sin ,cos θθ同号，即sin cos 0>θθ，然后由平方关系求得22cos ,sin θθ，进而求得sin cos θθ，求值式应用二倍角公式和平方关系变形后可得结论．【详解】因为sin cos 2sin cos θθθθ+=-，所以sin 3cos θθ=，所以sin ,cos θθ同号，即sin cos 0>θθ，22222sin cos 9cos cos 10cos 1θθθθθ+=+==，21cos 10θ=，从而29sin 10θ=，229sin cos 100θθ=，所以3sin cos 10θθ=，22sin (1sin 2)sin (sin cos 2sin cos )sin (sin cos )sin cos sin cos θθθθθθθθθθθθθθ+++==+++2936sin sin cos 10105θθθ=+=+=．故选：C ．例36．（2022·广东广州·三模）已知sin cos x x +=()0,πx ∈，则cos2x 的值为（）A ．12B C ．12-D ．【答案】D 【解析】【分析】将sin cos x x +=2sin x cos x =-12<0,结合sin cos x x +=求出x 的范围，再利用22cos 2sin 21x x +=求解即可.【详解】解：将sin cos x x +=2sin x cos x =-12<0,所以π(,π)2x ∈，又因为sin cos x x +=０，所以π3π(,24x ∈，2x 3π(π,)2∈,又因为sin2x =-12,所以cos2x 故选：D.例37．（2022·湖北武汉·模拟预测）已知1sin cos 5θθ+=-，(0,)θπ∈，则sin cos θθ-=（）A ．15B ．15-C ．75D ．75-【答案】C 【解析】【分析】利用平方关系，结合同角三角函数关系式，即可求解.【详解】()21sin cos 12sin cos 25θθθθ+=+=，242sin cos 025θθ=-<，()0,θπ∈ ，,2πθπ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，sin cos θθ>，()249sin cos 12sin cos 25θθθθ-=-=，所以7sin cos 5θθ-=.故选：C例38．（2022·山西晋中·模拟预测（理））若tan 1θ=-，则()cos 1sin 2sin cos θθθθ--等于（）A ．12B ．2C ．1-D ．13-【答案】C 【解析】【分析】化简原式为2tan 1tan 1θθ-+即得解.【详解】解：原式()222cos sin 2sin cos cos cos (sin cos )=sin cos sin cos θθθθθθθθθθθθ-⋅+-=--22cos (sin cos )sin cos θθθθθ-=+2tan 12=1tan 12θθ--==-+.故选：C例39．（2022·湖北·模拟预测）已知()cos 3cos 02πααπ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭，则3sin sin sin 2ααπα-=⎛⎫+ ⎪⎝⎭（）A ．35B ．35C ．310D ．310-【答案】D 【解析】【分析】根据题意求出tan α，再将原式化简为：32sin sin tan tan 1sin 2αααπαα-=+⎛⎫+ ⎪⎝⎭，求解即可.【详解】因为()cos 3cos 02πααπ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭，所以sin 3cos 0αα--=，所以tan 3α=-()232sin 1sin sin sin tan 3sin cos cos tan 110sin 2αααααααπααα--====-+⎛⎫+ ⎪⎝⎭.故选：D.【方法技巧与总结】（1）若已知角的象限条件，先确定所求三角函数的符号，再利用三角形三角函数定义求未知三角函数值．（2）若无象限条件，一般“弦化切”．题型七：诱导求值与变形例40．（2022·贵州·贵阳一中高三阶段练习（理））若π1sin 63α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则2πcos 23α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．13B ．13-C ．79D ．79-【答案】D 【解析】【分析】由三角函数的二倍角的余弦公式，结合诱导公式，即可求得答案.【详解】由题意得：2222πππππ27cos 22cos 12cos 12sin 113326699αααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=---=--=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故选：D ．例41．（2022·贵州·贵阳一中模拟预测（文））若1sin ,63a π⎛⎫+= ⎪⎝⎭则2cos 3a π⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．13B ．13-C ．79D ．79-【答案】B 【解析】【分析】利用诱导公式计算可得；【详解】解：因为1sin 63a π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以21cos cos sin 32663ππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故选：B.例42．（2022·青海·海东市教育研究室一模（理））()tan 165-︒=（）A ．2-B ．2-+C ．2D ．2【答案】C 【解析】【分析】先利用诱导公式可得()tan 165tan15-︒=︒，在运用正切两角差公式()tan15tan 4530︒=︒-︒计算．【详解】()()()tan 165tan 18015tan15tan 4530-︒=-︒+︒=︒=︒-︒1tan 45tan 3021tan 45tan 30︒-︒===+︒︒故选：C ．例43．（2022·安徽·合肥市第八中学模拟预测（文））已知2cos sin 022a ππα⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()tan -=πα（）A ．2B ．—2C ．12D ．12-【答案】C 【解析】【分析】根据诱导公式五、六可得2sin cos 0αα+=，由同角三角函数的关系可得1tan 2α=-，结合诱导公式二计算即可.【详解】由已知得2sin cos 0αα+=，12sin cos tan 2ααα∴=-∴=-，，∴1tan()tan 2παα-=-=.故选：C【方法技巧与总结】（1）诱导公式用于角的变换，凡遇到与2π整数倍角的和差问题可用诱导公式，用诱导公式可以把任意角的三角函数化成锐角三角函数．（2）通过2,,2πππ±±±等诱导变形把所给三角函数化成所需三角函数．（3）2,,2παβππ±=±±±等可利用诱导公式把,αβ的三角函数化【过关测试】一、单选题1．（2022·宁夏·银川一中模拟预测（理））中国古代数学的瑰宝《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体是上､下底面均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）现有一个如图所示的曲池，1AA 垂直于底面，13AA =，底面扇环所对的圆心角为2π，弧AD 长度是弧BC 长度的3倍，2CD =，则该曲池的体积为（）A ．92πB ．5πC ．112πD ．6π【答案】D 【解析】【分析】利用柱体体积公式求体积.【详解】不妨设弧AD 所在圆的半径为R ，弧BC 所在圆的半径为r ，由弧AD 长度为弧BC 长度的3倍可知3R r =，22CD R r r =-==，所以1r =，3R =.故该曲池的体积22()364V R r ππ=⨯-⨯=.故选：D.2．（2022·海南中学高三阶段练习）二十四节气是中华民族上古农耕文明的产物，是中国农历中表示李节变迁的24个特定节令．如图，每个节气对应地球在黄道上运动15︒所到达的一个位置．根据描述，从立冬到立春对应地球在黄道上运动所对圆心角的弧度数为（）A ．π3-B ．π2C ．5π12D ．π3【答案】B【解析】【分析】根据条件得到运行度数为6×15°，化为弧度即可得解.【详解】根据题意，立春是立冬后的第六个节气，故从立冬到立春相应于地球在黄道上逆时针运行了61590︒⨯=︒，所以从立冬到立春对应地球在黄道上运动所对圆心角的弧度数为π2.故选：B3．（2022·河北·模拟预测）已知圆锥的母线长为2，其侧面展开图是圆心角等于23π的扇形，则该圆锥的体积为（）A B ．1627πC D ．1681π【答案】C 【解析】【分析】设圆锥的底面半径为r ，高为h ，则由题意可得2223r ππ=⨯，从而可求出半径r ，再求出h ，进而可求出其体积【详解】设圆锥的底面半径为r ，高为h ，则由题意可得2223r ππ=⨯，解得23r =，所以h ===所以圆锥的体积为22112333V r h ππ⎛⎫==⨯=⎪⎝⎭故选：C4．（2022·福建省福州格致中学模拟预测）已知角θ的大小如图所示，则1sin 2cos 2θθ+=（）A ．5-B ．5C ．15-D ．15【答案】A 【解析】【分析】由图中的信息可知tan 54πθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，化简1sin 2cos 2θθ+即可.【详解】由图可知，tan 54πθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，()()()22222cos sin 1sin 2sin cos 2sin cos cos sin cos 2cos sin cos sin cos sin cos sin θθθθθθθθθθθθθθθθθθ+++++===--+-tantan 1tan 4tan 51tan 41tan tan 4πθθπθπθθ++⎛⎫===+=- ⎪-⎝⎭-；故选：A.5．（2022·江西·临川一中模拟预测（文））tan195︒=（）A．2-B．2-+C ．2D ．2【答案】C 【解析】【分析】利用诱导公式及两角差的正切公式计算可得；【详解】解：()()tan195tan 18015tan15tan 4530︒=︒+︒=︒=︒-︒tan 45tan 301tan 45tan 30︒-︒=+︒︒12==故选：C6．（2022·江苏·南京市天印高级中学模拟预测）若21sin2512sin αα+=-，则tan α=（）A ．23-B ．32-C ．23D ．32【答案】C 【解析】【分析】通过“1”的替换，齐次化，然后得到关于tan α的方程，解方程即可【详解】22221sin 2(cos sin )cos sin 1tan 512sin cos sin cos sin 1tan αααααααααααα++++====----,解得2tan 3α=故选：C7．（2022·四川成都·模拟预测（文））已知向量(3cos 2,sin )a αα= ，(2,cos 5sin )b αα=+ ，π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，若a b ⊥ ，则tan α=（）A ．2B ．-2C ．3D ．34【答案】C 【解析】【分析】由a b ⊥可得向量的数量积等于0，化简可得6cos 2sin (cos 5sin )0αααα++=，结合二倍角公式以及同角的三角函数关系式化为226tan tan n 10ta ααα-++=，可求得答案.【详解】由题意a b ⊥可得0a b ⋅= ，即6cos 2sin (cos 5sin )0αααα++=，即2226(cos sin )sin cos 5sin 0ααααα-++=，故22226cos sin sin c sin os 0cos αααααα-++=，即226tan tan n 10ta ααα-++=，由于π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故tan 3,tan 2αα==-（舍去），故选：C8．（2022·黑龙江·哈九中模拟预测（文））数学家华罗庚倡导的“0.618优选法”在各领域都应用广泛，0.618就是黄金分割比m =2sin18︒）．A ．4B 1+C ．2D 1【答案】A 【解析】【分析】根据2sin18m ︒=，结合三角函数的基本关系式，诱导公式和倍角公式，即可求解.【详解】根据题意，可得2sin182cos72m =︒=︒，4sin144cos54︒==︒()4sin 90544cos544cos54cos54︒+︒︒===︒︒.故选：A ．二、多选题9．（2022·全国·高三专题练习）下列说法正确的有（）A ．经过30分钟，钟表的分针转过π弧度B ．1801radπ︒=C ．若sin 0θ>，cos 0θ<，则θ为第二象限角D ．若θ为第二象限角，则2θ为第一或第三象限角【答案】CD 【解析】【分析】对于A ，利用正负角的定义判断；对于B ，利用角度与弧度的互化公式判断；对于C ，由sin 0θ>求出θ的范围，由cos 0θ<求出θ的范围，然后求交集即可；对于D ，由θ是第二象限角，可得222k k ππθππ+<<+，k Z ∈，然后求2θ的范围可得答案【详解】对于A ，经过30分钟，钟表的分针转过π-弧度，不是π弧度，所以A 错；对于B ，1︒化成弧度是rad 180π，所以B 错误；对于C ，由sin 0θ>，可得θ为第一、第二及y 轴正半轴上的角；由cos 0θ<，可得θ为第二、第三及x 轴负半轴上的角.取交集可得θ是第二象限角，故C 正确；对于D ：若θ是第二象限角，所以222k k ππθππ+<<+，则()422k k k Z πθπππ+<<+∈，当2()k n n Z 时，则22()422n n n Z πθπππ+<<+∈，所以2θ为第一象限的角，当21()k n n Z =+∈时，5322()422n n n Z πθπππ+<<+∈，所以2θ为第三象限的角，综上，2θ为第一或第三象限角，故选项D 正确.故选：CD.10．（2022·全国·高三专题练习）中国传统折扇文化有着极其深厚的底蕴，一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形（如图）的面积为1S ，圆心角为1α，圆面中剩余部分的面积为2S ，圆心角为2α，当1S 与2S0.618≈（黄金分割比）时，折扇看上去较为美观，那么（）A ．1127.5α=︒B ．1137.5α=︒C．21)απ=D．12αα=【答案】BCD 【解析】【分析】利用扇形的面积公式以及角度制与弧度制的互化即可求解.【详解】设扇形的半径为R，由211122221212R S S R αααα===，故D 正确；由122ααπ+=，。
高一数学三角函数讲义
三角函数讲义知识要点:一、角的概念与推广:任意角的概念;象限角（轴线角）、终边相同的角;二、弧度制：把长度等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度；弧长公式：r l α=扇形面积：S=α22121r r l =⋅三角函数线:如右图,有向线段A Ｔ与M Ｐ O Ｍ 分别叫做α 的的正切线、正弦线、余弦线。
三、三角函数的求值、化简、证明问题常用的方法技巧有:1、 常数代换法：如：αααααα2222tan sec cot tan cos sin 1-=⋅=+=2、 配角方法：ββαα-+=)(()βαβαα-++=)(222βαβαβ--+=3、 降次与升次:22cos 1sin 2αα-= 22cos 1cos 22αα+= 以及这些公式的变式应用。
4、 ()θααα++=+sin cos sin 22b a b a （其中ab=θtan ）的应用，注意θ的符号与象限。
5、 常见三角不等式:（1）、若x x x x tan sin .2,0<<⎪⎭⎫⎝⎛∈则π (２)、若2cos sin 1.2,0≤+<⎪⎭⎫⎝⎛∈x x x 则π（３）、1cos sin ≥+x x 6、 常用的三角形面积公式：（1）、c b a ch bh ah S 212121===(2)、B ac A bcC ab S sin 21sin 21sin 21===（3）、S =四、三角函图象和性质:正弦函数图象的变换：()()αωαωω+=−−−→−+=−−−→−=−−−→−=x A y x y x y x y sin sin sin sin 振幅变换平移变换横伸缩变换万能公式:2tan 12tan2tan ,2tan 12tan 1cos ,2tan 12tan2sin 2222α-α=αα+α-=αα+α=α 证：2tan 12tan22cos 2sin 2cos 2sin 21sin sin 222α+α=α+ααα=α=α2tan 12tan 12cos 2sin 2sin 2cos 1cos cos 222222α+α-=α+αα-α=α=α2tan 12tan22sin 2cos 2cos 2sin 2cos sin tan 222α-α=α-ααα=αα=α例1 已知5cos 3sin cos sin 2-=θ-θθ+θ,求3c ｏｓ 2θ + 4ｓｉn 2θ 的值。
高中数学课件三角函数ppt课件完整版
归纳法等方法推导出诱导公式。
03
诱导公式的应用
在解三角函数的方程、求三角函数的值、证明三角恒等式等方面有广泛
应用。例如，利用诱导公式可以简化计算过程，提高解题效率。
恒等式及其证明方法
恒等式的基本形式
两个解析式之间的一种等价关系，即对于某个变量或一组变量的取值范围内，无论这些变量 取何值，等式都成立。
拓展延伸：反三角函数简介
01
02
03
04
反三角函数的定义
反正弦、反余弦、反正切等反 三角函数的定义及性质。
反三角函数的图像
反正弦、反余弦、反正切函数 的图像及其与对应三角函数的
关系。
反三角函数的应用
在几何、物理等领域中的应用， 如角度计算、长度测量等。
反三角函数的计算
利用计算器或数学软件进行计 算，求解三角方程等问题。
高中数学课件三角函 数ppt课件完整版
REPORTING
目录
• 三角函数基本概念与性质 • 三角函数诱导公式与恒等式 • 三角函数的加减乘除运算 • 三角函数在解三角形中的应用 • 三角函数在数列和概率统计中的应用 • 总结回顾与拓展延伸
PART 01
三角函数基本概念与性质
REPORTING
三角函数的定义及性质
PART 05
三角函数在数列和概率统 计中的应用
REPORTING
三角函数在数列求和中的应用
利用三角函数的周期 性，将数列求和转化 为定积分计算
结合三角函数的图像 和性质，分析数列的 收敛性和求和结果
通过三角函数的和差 化积公式，简化数列 求和过程
三角函数在概率统计中的应用
利用三角函数表示周期性随机 变量的概率密度函数
高中数学三角函数的基本概念与常见性质
高中数学三角函数的基本概念与常见性质数学中的三角函数是一类十分重要的函数，它们可以帮助我们研究角度与边长之间的关系。
在高中阶段，学习三角函数是数学教育的重要内容之一。
本文将介绍三角函数的基本概念与常见性质，以帮助读者更好地理解和应用这一领域的知识。
一、基本概念1. 正弦函数在一个直角三角形中，正弦函数表示一个锐角的对边与斜边之比。
用符号sin表示。
例如，对于一个锐角为θ的直角三角形，其正弦函数可以表示为：sin(θ) = 对边/斜边。
2. 余弦函数与正弦函数类似，余弦函数表示一个锐角的临边与斜边之比。
用符号cos表示。
对于一个锐角为θ的直角三角形，其余弦函数可以表示为：cos(θ) = 临边/斜边。
3. 正切函数正切函数表示一个锐角的对边与临边之比。
用符号tan表示。
对于一个锐角为θ的直角三角形，其正切函数可以表示为：tan(θ) = 对边/临边。
二、常见性质1. 周期性三角函数具有周期性的特点，即在每个周期内，函数的值会重复出现。
对于正弦函数和余弦函数而言，它们的最小正周期是2π；而正切函数的最小正周期是π。
2. 定义域与值域正弦函数和余弦函数的定义域是全体实数，值域是[-1,1]；而正切函数的定义域是全体实数，但其值域是全体实数的一个开区间。
3. 奇偶性正弦函数是奇函数，即sin(-θ) = -sin(θ)；余弦函数是偶函数，即cos(-θ) = cos(θ)；正切函数是奇函数，即tan(-θ) = -tan(θ)。
4. 值的关系在一个锐角三角形中，正弦函数、余弦函数和正切函数的值之间存在一定的关系。
例如，tan(θ) = sin(θ)/cos(θ)，cos^2(θ) + sin^2(θ) = 1等。
三、应用领域三角函数在各个学科领域都有广泛的应用。
在物理学中，三角函数可以帮助求解运动学问题、波动问题等；在工程学中，三角函数可以用来计算建筑物的高度、角度等；在计算机图形学中，三角函数可以用来绘制各种各样的图形；在统计学中，三角函数可以用来对数据进行分析等。
三角函数高三知识点
三角函数高三知识点三角函数是数学中的重要概念，在高三数学学习中也是一个关键的知识点。
本文将全面介绍三角函数的相关知识，包括定义、性质和应用。
希望通过本文的介绍，能够帮助读者更好地理解和掌握三角函数的内容。
一、三角函数的定义三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数，它们的定义如下：1. 正弦函数（sine function）：正弦函数是一个周期函数，用sin表示，定义为在直角三角形中，对于给定角的正弦值等于对边的长度与斜边的长度之比。
2. 余弦函数（cosine function）：余弦函数也是一个周期函数，用cos表示，定义为在直角三角形中，对于给定角的余弦值等于邻边的长度与斜边的长度之比。
3. 正切函数（tangent function）：正切函数是一个无穷函数，用tan表示，定义为对于给定角的正切值等于对边的长度与邻边的长度之比。
二、三角函数的性质三角函数有许多重要的性质，下面介绍几个常用的性质：1. 周期性：正弦函数和余弦函数的周期都是2π，而正切函数的周期是π。
2. 奇偶性：正弦函数是奇函数，即sin(-x)=-sin(x)；余弦函数是偶函数，即cos(-x)=cos(x)；正切函数是奇函数，即tan(-x)=-tan(x)。
3. 反函数关系：正弦函数和余弦函数是一对反函数，tan(x)=sin(x)/cos(x)。
三、三角函数的应用三角函数在数学中有广泛的应用，以下是三个常见的应用场景：1. 几何学：三角函数在几何学中被广泛应用，例如求解三角形的边长和角度、计算图形的面积和体积等。
2. 物理学：三角函数在物理学中的应用也很重要，例如描述物体振动的运动规律、计算力学问题中的作用力和分力等。
3. 工程学：在工程学中，三角函数可以用于测量和计算建筑、机械等方面的问题，例如测量高楼的高度和角度、设计机械传动系统等。
总结：三角函数是高三数学中的重要知识点，它们的定义、性质和应用都非常关键。
通过学习三角函数，我们可以更好地理解和解决各种数学、物理和工程学中的问题。
三角函数相关知识点
三角函数相关知识点三角函数知识点学习资料一、基本概念1. 角的概念推广正角、负角和零角：按逆时针方向旋转形成的角为正角，按顺时针方向旋转形成的角为负角，不作任何旋转形成的角为零角。
象限角：使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，角的终边落在第几象限，就说这个角是第几象限角。
终边在坐标轴上的角不属于任何象限。
终边相同的角：所有与角α终边相同的角（连同α在内），可构成一个集合S ={β|β=α + k·360^∘,k∈ Z}。
2. 弧度制定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示。
弧度与角度的换算：180^∘=π rad，所以1^∘=(π)/(180) rad，1 rad = ((180)/(π))^∘。
弧长公式：l =|α|r（其中l为弧长，α为圆心角弧度数，r为半径）。
扇形面积公式：S=(1)/(2)lr=(1)/(2)|α|r^2。
二、三角函数定义设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x,y)，那么sinα=y，cosα = x，tanα=(y)/(x)(x≠0)。
对于角α终边上任意一点P(x,y)（r=√(x^2)+y^{2}），则sinα=(y)/(r)，cosα=(x)/(r)，tanα=(y)/(x)(x≠0)。
2. 三角函数值在各象限的符号正弦函数y = sin x：一、二象限为正，三、四象限为负。
余弦函数y=cos x：一、四象限为正，二、三象限为负。
正切函数y = tan x：一、三象限为正，二、四象限为负。
三、同角三角函数的基本关系1. 平方关系sin^2α+cos^2α = 1。
2. 商数关系tanα=(sinα)/(cosα)(cosα≠0)。
四、诱导公式1. α + 2kπ(k∈ Z)与α的三角函数关系sin(α + 2kπ)=sinα，cos(α+2kπ)=cosα，tan(α + 2kπ)=tanα。
sin(-α)=-sinα，cos(-α)=cosα，tan(-α)=-tanα。
三角函数的概念高一数学精讲课件
则 PM y , P0M 0 y0 ，OM x ,OM 0 x0 ,
OMP OM0P0.
所以得到 P0M0 PM ,
1r
即 y0
y.
r
因为
y与
y0 同号，所以
y0
y r
，即sin
y.
r
同理可证：cos x ，tan y .
r
x
PART 2 三角函数值的正负
根据三角函数的定义，请将三角函数值的符号填入下图：
所以tan 672 0；
（3）因为3 2，所以3角的终边位于 x轴的非正半轴上， 所以tan3 0.
练习.已知半径为120mm的圆上，有一条弧的长是 144mm，求该弧所对的圆心角(正角)的弧度数
3
2 1 0 1 2 3 -1
2 22
222
tana 0
3 3
1
3
/
3
-1 3 0
3
例题探究
例3. 确定下列三角函数的符号 （1）sin250° （2）tan(-672°) （3）tan3π
解：（1）因为250 是第三象限角，所以sin 250 0； （2）因为672 48 360 2，所以672 角的终边与48
() ( )
y
() ( )
O
x
() ( )
O
x
() ( )
O
x
() ( )
PART 3 特殊角的三角函数值
角α 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180°
弧度 0
6
sina 0 1 2
432
2 31
22
2 3 5
3 46
3 21 0 2 22
三角函数讲义(适用于高三第一轮复习)
三角函数1．同角三角函数的基本关系式：1cos sin 22=+αα αααtan cos sin = 2．诱导公式 （奇变偶不变，符号看象限）ααπsin )sin(-=+ ααπcos )cos(-=+ ααπtan )tan(=+ ααπsin )sin(=- ααπcos )cos(-=- ααπtan )tan(-=-ααπcos )2sin(=+ ααπsin )2cos(-=+ ααπcos )2sin(=-ααπsin )2cos(=- ααsin )sin(-=- ααcos )cos(=- 3．两角和与差的公式βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+ βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=- βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+ βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(-+=+ βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(+-=-4．倍角公式 αααcos sin 22sin = 1cos 2sin 21sin cos 2cos 2222-=-=-=αααααααα2tan 1tan 22tan -=5．降幂公式 22cos 1sin 2αα-= 22cos 1cos 2αα+= ααα2sin 21cos sin =6．幅角公式 x b x a ωωcos sin +)sin(22ϕω++=x b a ，其中ab=ϕtan8．补充公式 ααααα2sin 1cos sin 21)cos (sin 2±=±=±， 2cos2sinsin 1ααα±=±知识点睛一．三角函数的图象与性质图象]1,1[-]1,1[-最值 当且仅当22ππ+=k x 时取到最大值1；当且仅当22ππ-=k x 时取到最小值1-当且仅当πk x 2=时取到最大值1；当且仅当ππ-=k x 2时取到最小值1-周期 最小正周期为π2最小正周期为π2奇偶性 奇函数偶函数单调性在]22,22[ππππ+-k k 上单调增； 在]232,22[ππππ++k k 上单调减在]2,2[πππk k -上单调增； 在]2,2[πππ+k k 上单调减 对称轴2ππ+=k x ；对称中心)0,(πk对称轴πk x =；对称中心)0,2(ππ+k说明：表格中的k 都是属于Z ，在选择“代表”的区间或点时，先尽量选择离坐标原点近的，再尽量选择正的。
(完整版)高中三角函数知识点总结
(完整版)高中三角函数知识点总结高中三角函数知识点总结1. 基本三角函数概念- 三角函数是以单位圆为基础的函数，包括正弦函数、余弦函数和正切函数。
- 正弦函数（sin）：在直角三角形中，对于一个锐角，其对边与斜边的比值称为正弦值。
即：sinA = 对边/斜边。
- 余弦函数（cos）：在直角三角形中，对于一个锐角，其邻边与斜边的比值称为余弦值。
即：cosA = 邻边/斜边。
- 正切函数（tan）：在直角三角形中，对于一个锐角，其对边与邻边的比值称为正切值。
即：tanA = 对边/邻边。
2. 基本三角函数性质和公式- 三角函数的周期性：正弦函数和余弦函数的周期都是2π；正切函数的周期是π.- 三角函数的奇偶性：正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数，正切函数是奇函数。
- 三角函数的同角关系：sinA/cosA = tanA。
- 三角函数的和差化积公式和积化和差公式：具体公式可根据需要进行查阅。
3. 三角函数图像和性质- 正弦函数图像：在0到2π的区间内，正弦函数的图像为一条周期性的波浪线，最高点为1，最低点为-1，对应于最大值和最小值，0点对应于零值。
- 余弦函数图像：在0到2π的区间内，余弦函数的图像为一条周期性的波浪线，最高点为1，最低点为-1，对应于最大值和最小值，0点对应于最大值。
- 正切函数图像：在0到π的区间内，正切函数的图像无法在x=π/2和3π/2时定义，其他点对应的图像为一条连续的射线。
4. 三角函数的应用- 三角函数广泛应用于科学和工程领域中的周期性现象的描述和计算，例如电流的正弦波，声波的波动等。
- 在几何学中，三角函数也应用于测量角度和距离等问题的解决。
以上为高中三角函数的基本知识点总结，更详细的内容和公式可以参考相关教材或资料。
高中数学三角函数知识点概述
高中数学三角函数知识点概述1. 三角函数基本概念三角函数是研究角和其它相关量之间关系的数学函数。
在高中数学中，我们常常涉及到三个最基本的三角函数：正弦函数、余弦函数和正切函数。
它们分别用符号sin、cos和tan表示。
2. 基本三角函数的定义和性质- 正弦函数sin：在直角三角形中，正弦函数是指对于一个角度A的三角形，其对边与斜边之比。
- 余弦函数cos：在直角三角形中，余弦函数是指对于一个角度A的三角形，其邻边与斜边之比。
- 正切函数tan：在直角三角形中，正切函数是指对于一个角度A的三角形，其对边与邻边之比。
3. 三角函数的周期性和性质三角函数具有周期性，即它们的值在某一范围内重复出现。
其中，正弦函数和余弦函数的周期是2π，而正切函数的周期是π。
此外，三角函数还有很多重要的性质，包括：- 正弦函数和余弦函数在直角三角形中表示的角度相同，只是方向相反。
- 正弦函数和余弦函数都具有对称性，即sin(-A)=-sin(A)和cos(-A)=cos(A)。
- 正切函数是正弦函数与余弦函数的商。
4. 三角函数的应用三角函数在物理学、工程学、计算机图形学等领域有着广泛的应用。
它们可以用来描述振动、波动、周期性运动等现象，也可以用于解决与角度和距离相关的问题。
一些常见的应用包括：- 声波和光波的频率和振幅的计算。
- 弦乐器或管乐器的音高和音色的控制。
- 在计算机图形学中，利用正弦函数和余弦函数可以实现旋转、平移和缩放等图形变换。
综上所述，三角函数是高中数学中重要的知识点，掌握了三角函数的定义、性质和应用，我们能够更好地理解和解决与角度相关的问题。
三角函数基本概念与图形意义
三角函数基本概念与图形意义一、三角函数的定义与基本概念1.三角函数的定义：三角函数是描述直角三角形各边长度与角度之间关系的函数。
2.基本三角函数：主要包括正弦函数（sin）、余弦函数（cos）、正切函数（tan）、余切函数（cot）、正割函数（sec）和余割函数（csc）。
3.角度制与弧度制：角度制是度、分、秒的单位，弧度制是以圆的半径为1，以弧长等于半径的圆心角所对应的弧度值为1。
4.象限与坐标系：平面直角坐标系分为四个象限，第一象限（x>0,y>0）、第二象限（x<0, y>0）、第三象限（x<0, y<0）、第四象限（x>0,y<0）。
5.周期性：三角函数具有周期性，周期是指函数值重复出现的最小正数。
正弦函数、余弦函数的周期为2π，正切函数的周期为π。
6.奇偶性：根据函数的定义，可以判断三角函数的奇偶性。
正弦函数、余弦函数为偶函数，正切函数、余切函数为奇函数。
二、三角函数的图形意义1.正弦函数的图形意义：正弦函数表示单位圆上某一点的纵坐标值，随着角度的增大，正弦函数的值在-1与1之间波动。
2.余弦函数的图形意义：余弦函数表示单位圆上某一点的横坐标值，随着角度的增大，余弦函数的值在-1与1之间波动。
3.正切函数的图形意义：正切函数表示直角三角形中，对边与邻边的比值，随着角度的增大，正切函数的值在-∞与∞之间波动。
4.余切函数的图形意义：余切函数表示直角三角形中，邻边与对边的比值，随着角度的增大，余切函数的值在-∞与∞之间波动。
5.正割函数的图形意义：正割函数表示直角三角形中，斜边与对边的比值，随着角度的增大，正割函数的值在1与∞之间波动。
6.余割函数的图形意义：余割函数表示直角三角形中，斜边与邻边的比值，随着角度的增大，余割函数的值在1与∞之间波动。
三、三角函数的性质与变化规律1.奇偶性：正弦函数、余弦函数为偶函数，正切函数、余切函数为奇函数。
专题五+5.1三角函数的概念与同角关系课件——2023届高三数学一轮复习
cos θ ,则 θ 的终边所在的象限是 ( )
22
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案 C
2.(2023届江苏南京、镇江学情调查,2)已知点P
cos
2 3
,1是角α终边上一
点,则cos α= ( )
A. 5
5
B.- 5
5
答案 B
C. 2 5
5
D.- 3
2
3.(2022石家庄一模,2)已知角α的终边上一点P的坐标为(-2,1),则cos α的值 为( )
22
半径) 4.三角函数的定义 1)任意角三角函数的定义 ①借助单位圆:设α是一个任意角,α∈R,它的终边OP与单位圆交于点
P(x,y),那么sin α=y;cos α=x;tan α= y (x≠0).
x
②借助终边上点的坐标:设角α终边上任意一点P(原点除外)的坐标为
(x,y),它与原点的距离为r,则sin α= y ,cos α= x ,tan α= y (x≠0).
θ
=( )
A. 2 B.- 2 C. 1 D.- 1
3
3
3
3
答案 A
2.(2022福建龙岩一中月考,3)已知sin(π-α)+sin
6.(多选)(2023届山东潍坊临朐实验中学月考,9)下列结论正确的是 ( )
A.- 7 是第三象限角
6
B.若tan α=2,则 sin α cos α =3
sin α cos α
C.若圆心角为 的扇形的弧长为π,则该扇形的面积为 3
3
2
D.终边经过点(m,m)(m>0)的角的集合是α
|
α
4
A.- 1 B. 1
高中常考的数学知识点三角函数的定义
高中常考的数学知识点三角函数的定义一、三角函数三角函数的定义域是研究其他一切性质的前提，求三角函数的定义域实际上就是解最简单的'三角不等式，通常可用三角函数的图像或三角函数线来求解，注意数形结合思想的应用,如何运用三角函数的图像解决问题能够帮助对数形结合思想的掌握。
二、三角函数诱导公式1.公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等运用同角三角函数的基本关系式求值2.公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin(π+α)=—sinαcos(π+α)=-cosαtan(π+α)=tanαcot(π+α)=cotα公式三：任意角α与-α的三角函数值之间的关系：sin(-α)=-sinα三、锐角三角函数在△ABC中，∠C为直角，∠A和∠B是锐角三角函数专题题型全归纳第一节：三角函数概念及同角三角函数关系题型一：概念辨析题型二：象限角及终边相同的角题型三：扇形的弧长及面积公式题型四：三角函数的定义及应用题型五：同角三角函数直接应用题型六：同角三角函数之弦的齐次式第二节：诱导公式及恒等变换题型一：诱导公式的运用题型二：恒等变换题型三：角的拼凑第三节：三角函数的图像及性质题型一：三角函数的周期题型二：三角函数的定义域题型三：三角函数的单调性题型四：三角函数的对称性题型五：三角函数的奇偶性题型六：三角函数的值域第四节：三角函数的图像变换及综合题型一：图像变换题型二：已知图像求解解析式题型三：三角函数性质综合（多选题专练）题型四：三角函数解答题题型五：三角函数实际应用第五节：解三角形题型一：正余弦定理选择题型二：边角互换题型三：与三角形面积有关题型四：三角形形状判断题型五：三角形的个数判断题型六：最值与取值范围题型七：解三角形在平面图形中的运用题型八：解三角形的实际应用题型九：解三角形解答题专练。
高中数学竞赛辅导讲义 第六章 三角函数【讲义】
÷ö 0 ø
=
2.
若α+β< p ，则 x<0，由 0<α< p -β< p 得 cosα>cos( p -β)=sinβ>0,
2
2
2
2
所以 cosa >1。又 0<sinα<sin( p -β)=cosβ，所以 cos b >1，
sin b
2
sin a
所以
ççèæ
cosa sin b
÷÷øö x
+
,
0）均为其对称
中心，值域为[-1，1]。这里 k∈Z.
定理 4 余弦函数的性质，根据图象可得 y=cosx(x∈R)的性质。单调
区间：在区间[2kπ, 2kπ+π]上单调递减，在区间[2kπ-π, 2kπ]上单调递增。
最小正周期为 2π。奇偶性：偶函数。对称性：直线 x=kπ 均为其对称
轴，点 çæ kp
2
çæ è
a 2
÷ö ø
tana =
2
tançæ è
a 2
÷ö ø
.
1
-
tan
2
çæ è
a 2
÷ö ø
定理 11 辅助角公式：如果 a, b 是实数且 a2+b2 ¹ 0，则取始边在 x 轴 正半轴，终边经过点(a, b)的一个角为β，则 sinβ= b ,cosβ
a2 + b2
= a ，对任意的角α.
第六章 三角函数
一、基础知识
定义 1 角，一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。若旋转 方向为逆时针方向，则角为正角，若旋转方向为顺时针方向，则角为 负角，若不旋转则为零角。角的大小是任意的。
高中数学专题系列 三角函数讲义
§1.1.1、任意角1、 正角、负角、零角、象限角的概念.2、 与角α终边相同的角的集合：{}Z k k ∈+=,2παββ.§1.1.2、弧度制1、 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.2、 rl =α. 3、弧长公式：R R n l απ==180. 4、扇形面积公式：lR R n S 213602==π. §1.2.1、任意角的三角函数1、 设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点()y x P ,，那么：xyx y ===αααtan ,cos ,sin 2、 设点(),A x y为角α终边上任意一点，那么：（设r =sin y r α=，cos x r α=，tan yxα=，cot x y α=3、 αsin ，αcos ，αtan 在四个象限的符号和三角函数线的画法.正弦线：MP; 余弦线：OM; 正切线：AT5、 特殊角0°，30°45°，60°，90°，180°，270等的三角函数值.§1.2.21、 平方关系：1cos sin 22=+αα 2、 商数关系：αααcos sin tan =. 3、 倒数关系：tan cot 1αα=§1.3、三角函数的诱导公式（概括为Z k ∈）§1.4.1、正弦、余弦函数的图象和性质1、记住正弦、余弦函数图象：2、能够对照图象讲出正弦、余弦函数的相关性质：定义域、值域、最大最小值、对称轴、对称中心、奇偶性、单调性、周期性.3、会用五点法作图.sin y x =在[0,2]x π∈上的五个关键点为： 30010-12022ππππ（，）（，，）（，，）（，，）（，，）.y=tanx3π2ππ2-3π2-π-π2oyxy=cotx 3π2ππ22π-π-π2o yx图表归纳：正弦、余弦、正切函数的图像及其性质x y sin =x y cos =x y tan =图象定义域 RR},2|{Z k k x x ∈+≠ππ值域[-1,1][-1,1]R最值max min 2,122,12x k k Z y x k k Z y ππππ=+∈==-∈=-时，时，max min 2,12,1x k k Z y x k k Z y πππ=∈==+∈=-时，时，无周期性 π2=T π2=Tπ=T奇偶性 奇偶奇单调性Z k ∈ 在[2,2]22k k ππππ-+上单调递增在3[2,2]22k k ππππ++上单调递减 在[2,2]k k πππ-上单调递增在[2,2]k k πππ+上单调递减在(,)22k k ππππ-+上单调递增 对称性 Z k ∈对称轴方程：2x k ππ=+对称中心(,0)k π对称轴方程：x k π= 对称中心(,0)2k ππ+无对称轴 对称中心,0)(2k π§1.4.3、正切函数的图象与性质1、记住正切函数的图象2、记住余切函数的图象：3、能够对照图象讲出正切函数的相关性质：定义域、值域、对称中心、奇偶性、单调性、周期性.§1.5、函数()ϕω+=x A y sin 的图象 1、对于函数：()()sin 0,0y A x B A ωφω=++>>有：振幅A ，周期2T πω=，初相ϕ，相位ϕω+x ，频率πω21==Tf .2、能够讲出函数x y sin =的图象与()sin y A x B ωϕ=++的图象之间的平移伸缩变换关系.3、三角函数的周期，对称轴和对称中心函数sin()y x ωϕ=+，x ∈R 及函数cos()y x ωϕ=+，x ∈R(A,ω,ϕ为常数，且A ≠0)的周期2||T πω=；函数tan()y x ωϕ=+，,2x k k Z ππ≠+∈(A,ω,ϕ为常数，且A ≠0)的周期||T πω=. 对于sin()y A x ωϕ=+和cos()y A x ωϕ=+来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系. 求函数sin()y A x ωϕ=+图像的对称轴与对称中心，只需令()2x k k Z πωϕπ+=+∈与()x k k Z ωϕπ+=∈解出x 即可.余弦函数可与正弦函数类比可得.4、由图像确定三角函数的解析式 利用图像特征：max min 2A =，max min2y y B +=. ω要根据周期来求,ϕ要用图像的关键点来求.§1.6、三角函数模型的简单应用 （要求熟悉课本例题.）§3.1.1、两角差的余弦公式§3.1.2、两角和与差的正弦、余弦、正切公式 1、()βαβαβαsin cos cos sin sin +=+ 2、()βαβαβαsin cos cos sin sin -=- 3、()βαβαβαsin sin cos cos cos -=+ 4、()βαβαβαsin sin cos cos cos +=- 5、()tan tan 1tan tan tan αβαβαβ+-+=.6、()tan tan 1tan tan tan αβαβαβ-+-=.§3.1.3、二倍角的正弦、余弦、正切公式1、αααcos sin 22sin =，2、ααα22sin cos 2cos -=变形： 12sin cos sin 2ααα=. 1cos 22-=α α2sin 21-=.升幂公式：221cos 22cos 1cos 22sin αααα⎧+=⎪⎨-=⎪⎩ 降幂公式：221cos (1cos 2)21sin (1cos 2)2αααα=+=-⎧⎪⎨⎪⎩3、ααα2tan 1tan 22tan -=. 4、sin 21cos 2tan 1cos 2sin 2ααααα-==+ §3.2、简单的三角恒等变换1、 注意正切化弦、平方降次.2、辅助角公式)sin(cos sin 22ϕ++=+=x b a x b x a y （其中辅助角ϕ所在象限由点(,)a b 的象限决定,tan b aϕ=).解三角形1、正弦定理：R CcB A 2sin sin sin ===. （其中R 为ABC ∆外接圆的半径） 2sin ,2sin ,2sin ;a R A b R B c R C ⇔===sin ,sin ,sin ;222a b c A B C R R R⇔=== ::sin :sin :sin .a b c A B C ⇔=用途：⑴已知三角形两角和任一边，求其它元素；⑵已知三角形两边和其中一边的对角，求其它元素。
高中三角函数知识点总结
高中三角函数知识点总结一、三角函数的定义在平面直角坐标系中，设角α的顶点在坐标原点，始边与 x 轴正半轴重合，终边上任取一点 P（x，y），它与原点的距离为 r（r ＝√（x²＋ y²)，r ＞ 0），则角α的正弦、余弦、正切分别定义为：正弦：sinα ＝ y ／ r余弦：cosα ＝ x ／ r正切：tanα ＝ y ／ x （x ≠ 0）二、特殊角的三角函数值要熟练记住以下特殊角的三角函数值：｜角度｜ 0°｜ 30°｜ 45°｜ 60°｜ 90°｜｜｜｜｜｜｜｜｜ sin ｜ 0 ｜ 1/2 ｜√2/2 ｜√3/2 ｜ 1 ｜｜ cos ｜ 1 ｜√3/2 ｜√2/2 ｜ 1/2 ｜ 0 ｜｜ tan ｜ 0 ｜√3/3 ｜ 1 ｜√3 ｜不存在｜三、同角三角函数的基本关系1、平方关系：sin²α ＋cos²α ＝ 12、商数关系：tanα ＝sinα ／cosα （cosα ≠ 0）四、诱导公式诱导公式可以将任意角的三角函数转化为锐角三角函数。
1、sin(α) ＝sinα，cos(α) ＝cosα，tan(α) ＝tanα2、sin(π ＋α) ＝sinα，cos(π ＋α) ＝cosα，tan(π ＋α) ＝tanα3、sin(π α) ＝sinα，cos(π α) ＝cosα，tan(π α) ＝tanα4、sin(2π α) ＝sinα，cos(2π α) ＝cosα，tan(2π α) ＝tanα5、sin(π/2 ＋α) ＝cosα，cos(π/2 ＋α) ＝sinα6、sin(π/2 α) ＝cosα，cos(π/2 α) ＝sinα五、两角和与差的正弦、余弦、正切公式1、两角和的正弦：sin(α ＋β) ＝sinαcosβ ＋cosαsinβ2、两角差的正弦：sin(α β) ＝sinαcosβ cosαsinβ3、两角和的余弦：cos(α ＋β) ＝cosαcosβ sinαsinβ4、两角差的余弦：cos(α β) ＝cosαcosβ ＋sinαsinβ5、两角和的正切：tan(α ＋β) ＝（tanα ＋tanβ) ／（1 tanαtanβ)6、两角差的正切：tan(α β) ＝（tanα tanβ) ／（1 ＋tanαtanβ)六、二倍角的正弦、余弦、正切公式1、二倍角的正弦：sin2α ＝2sinαcosα2、二倍角的余弦：cos2α ＝cos²α sin²α ＝2cos²α 1 ＝1 2sin²α3、二倍角的正切：tan2α ＝2tanα ／（1 tan²α)七、三角函数的图像和性质1、正弦函数 y ＝ sinx定义域：R值域：－1, 1周期性：T ＝2π奇偶性：奇函数单调性：在π/2 ＋2kπ, π/2 ＋2kπ （k∈Z）上单调递增，在π/2 ＋2kπ, 3π/2 ＋2kπ （k∈Z）上单调递减2、余弦函数 y ＝ cosx定义域：R值域：－1, 1周期性：T ＝2π奇偶性：偶函数单调性：在π ＋2kπ, 2kπ （k∈Z）上单调递增，在2kπ, π ＋2kπ （k∈Z）上单调递减3、正切函数 y ＝ tanx定义域：｛ x ｜x ≠ π/2 ＋kπ, k∈Z ｝值域：R周期性：T ＝π奇偶性：奇函数单调性：在( π/2 ＋kπ, π/2 ＋kπ ）（k∈Z）上单调递增八、函数 y ＝Asin(ωx ＋φ) 的图像和性质1、 A 叫做振幅，决定了函数的值域为A, A2、ω 叫做角频率，决定了函数的周期 T ＝2π/ω3、φ 叫做初相，决定了函数图像的左右平移函数 y ＝Asin(ωx ＋φ) 的图像可以通过“五点法”作图得到，也可以由 y ＝ sinx 的图像经过平移、伸缩变换得到。
三角函数的概念高一数学精品课件
由 r＝|OP|＝ 12＋22＝ 5，得 sin α＝ 2 ＝2 5，cos α＝ 1 ＝ 5，tan α＝2＝2.
55
55
1
当角α的终边在第三象限时，在角α的终边上取点 Q(－1，－2)，
由 r＝|OQ|＝ －12＋－22＝ 5，
得
sin
α＝－52＝－2 5 5，cos
α＝－1＝－ 5
55，tan
此三角形为钝角三角形． 答案：B
2．设 α 是第三象限角，且cosα2＝－cosα2，则α2所在象限是
A．第一象限
B．第二象限
()
C．第三象限
D．第四象限
解析：∵α是第三象限角，∴2kπ＋π<α<2kπ＋3π，k∈Z， 2
∴kπ＋π2<α2<kπ＋34π，k∈Z，∴α2在第二、四象限．
| | 又∵
10
10
(2)直线 3x＋y＝0，即 y＝－ 3x 经过第二、四象限．
在第二象限取直线上的点(－1， 3)，则 r＝ －12＋ 32＝2，
所以 sin α＝ 3，cos α＝－1，tan α＝－ 3；
2
2
在第四象限取直线上的点(1，－ 3)，则 r＝ 12＋－ 32＝2，
所以 sin α＝－ 3，cos α＝1，tan α＝－ 3.
() () ()
2．若 sin α<0，tan α>0，则 α 在
()
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限ຫໍສະໝຸດ 解析：由 sin α<0 可知 α 在第三或第四象限，由 tan α>0 可知 α 在第
一或第三象限，综上，α 在第三象限．答案：C
3．已知角 α 的终边与单位圆的交点 P 55，－255，则 sin α＋cos α＝ ()
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题型一：任意角与弧度制【例1】 下列各对角中终边相同的角是（ ）。
A2π和2()2Z k k ππ-+∈ B 3π-和223 C 79π-和119π D 203π和1229π【例2】 若角α、β的终边相同，则αβ-的终边在.A.x 轴的非负半轴上B.y 轴的非负半轴上C.x 轴的非正半轴上D.y 轴的非正半轴上【例3】 当角α与β的终边互为反向延长线，则αβ-的终边在 .A.x 轴的非负半轴上B.y 轴的非负半轴上C.x 轴的非正半轴上D.y 轴的非正半轴上【例4】 时钟经过一小时，时针转过了（ ）。
A 6rad πB 6rad π-C12rad πD 12rad π-【例5】 两个圆心角相同的扇形的面积之比为1:2，则两个扇形周长的比为（ ）A 1:2B 1:4C 1:2D 1:8典例分析板块一.三角函数的基本概念【例6】 下列命题中正确的命题是（ ）A 若两扇形面积的比是1:4，则两扇形弧长的比是1:2B 若扇形的弧长一定，则面积存在最大值C 若扇形的面积一定，则弧长存在最小D 任意角的集合可以与实数集R 之间建立一种一一对应关系【例7】 一个半径为R 的扇形，它的周长是4R ，则这个扇形所含弓形的面积是（ ）A. 21(2sin1cos1)2R -⋅ B21sin1cos12R ⋅ C212RD 2(1sin1cos1)R -⋅【例8】 下列说法正确的有几个（ ）（1）锐角是第一象限的角；（2）第一象限的角都是锐角； （3）小于90的角是锐角；（4）090的角是锐角。
A 1个B 2个C 3个D 4个【例9】 已知角的顶点与坐标系原点重合，始边落在x 轴的正半轴上，则角855是第（ ）象限角。
A 第一象限角B 第二象限角C 第三象限角D 第四象限角【例10】 下面四个命题中正确的是（ ）A.第一象限的角必是锐角B.锐角必是第一象限的角C.终边相同的角必相等D.第二象限的角必大于第一象限的角【例11】 已知角α的终边经过点(3P -，则与α终边相同的角的集合是.A.2π2π3x x k k ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z ， B.5π2π6x x k k ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z ，C.5ππ6x x k k ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z ，D.2π2π3x x k k ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭Z ，【例12】 若α是第四象限角，则180α-是（ ）A 第一象限角B 第二象限角C 第三象限角D 第四象限角【例13】 若α与β的终边互为反向延长线，则有（ ）A 180αβ=+B 180αβ=-C αβ=-D (21)180,k k Z αβ=++⋅∈【例14】 与1840终边相同的最小正角为________，与1840-终边相同的最小正角是________。
【例15】 终边在坐标轴上的角的集合＿＿.【例16】 若α和β的终边关于y 轴对称，则α和β的关系是＿＿.【例17】 ⑴若角α和β的终边关于y 轴对称，则角α和β之间的关系为. ⑵若角α与β的终边关于x 轴对称，则角α和β之间的关系为.【例18】 在0360，找出与下列各角终边相同的角，并判断它是哪个象限：（1）120-；（2）'95012。
【例19】 写出终边在x 轴上的角的集合（用0到360的角表示）。
【例20】 若216α=-，7l π=，则r =_________（其中扇形的圆心角为α，弧长为l ，半径为r ）。
【例21】 钟表经过4小时，时针与分针各转了____________（填度）。
【例22】 如果角α与角45θ+具有同一条终边，角β与角45θ-具有同一条终边，那么α与β的关系是什么？【例23】 已知角α是第二象限角，求3α所在的象限。
【例24】 已知集合ππ,24k M x x k ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭Z ，ππ,42k P x x k ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭Z ，则.A.M P =B.M PC.M PD.M P =∅【例25】 若{|360,}A k k Z αα==⋅∈；{|180,}B k k Z αα==⋅∈；{|90,}C k k Z αα==⋅∈，则下列关系中正确的是（ ） A A B C == B A B C = C A B C = D ABC【例26】 圆弧长度等于截其圆的内接正三角形边长，则其圆心角的弧度数为_________。
【例27】 用弧度制表示：①终边在x 轴上的角的集合②终边在y 轴上的角的集合③终边在坐标轴上的角的集合。
【例28】 已知扇形周长为10cm ，面积为26cm ，求扇形中心角的弧度数。
【例29】 视力正常的人，能读远处文字的视角不小于'5，试求：（1）距人10m 远处所能阅读文字的大小如何？（2）要看清长，宽均为5m 的大字标语，人距离标语的最远距离是多少米？【例30】 已知扇形的面积为S ，当扇形的圆心角为多少弧度时，扇形的周长最小？并求出此最小值。
【例31】 （1）把'11230化成弧度制； （2）把512π-化成角度制。
【例32】 求值：（1）sintantancostancos336642ππππππ+- （2）sincostan 034a b c ππ++。
【例33】 已知扇形AOB 的面积是21cm ，它的周长是4cm ，则弦AB 的长等于多少cm ？【例34】 将下列各角表示为()360,0360k k Z αα+⋅∈≤<的形式，并判断角在第几象限。
（1）'56024； （2）'56024-。
【例35】 写出与下列各角终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式720720β-≤<的元素β写出来。
（1）210- （2）'134251。
【例36】 写出角的终边在图中阴影区域内的角的集合（不包括边界）。
图（1） 图（2）【例37】 ⑴在0︒与360︒范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限角：①120-︒；②640︒；③95012'-︒.⑵分别写出与下列各角终边相同的角的集合S ， 写出S 中满足不等式360720β-︒︒≤≤的元素β：①80︒；②51-︒；③36734'︒.【例38】 ⑴把6730'︒化成弧度；⑵把3π5rad 化成度.【例39】 ⑴把15730'︒化成弧度；⑵把9π5rad 化成度.【例40】 将下列各角化为2π(02π,)k k αα+<∈Z ≤的形式，并判断其所在象限.(1)19π3； (2)-315°；(3)-1485°.【例41】 把下列各角写成360(0360)k αα⋅︒+<︒≤的形式，并指出它们所在的象限或终边位置.⑴135-︒；⑵1110︒；⑶540-︒.【例42】 写出终边在y 轴上的角的集合.【例43】 将第一象限角，第二象限角，第三象限角，第四象限角分别用弧度制的形式表示.【例44】 有人喜欢把表播快5分钟，那么在拨快5分钟的过程中，分针和时针分别转过的弧度数是多少？【例45】 已知α是第二象限的角，若同时满足条件24α+≤，求α的取值区间.【例46】 若α是第二象限角，则：⑴2α是第几象限角？ ⑵3α不在第几象限？【例47】 ⑴已知扇形的周长为10cm ，面积为24cm ，求扇形的圆心角和弧度数.⑵已知扇形的周长为40cm ，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？【例48】 若1段圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数是多少？题型二：任意角的三角函数【例49】 已知角α的终边经过点(2,3)P -，求角α的正弦、余弦和正切值。
【例50】 （1）已知角73πα=-，求2sin cos αα+的值； （2）已知角α的终边经过点(4,3)(0)P a a a -≠，求2sin cos αα+的值。
【例51】 求函数sin cos tan |sin ||cos ||tan |x x xy x x x =++的值域。
【例52】 已知8cos 17α=-，求sin α和tan α的值。
【例53】 已知sin 2cos αα=，求sin 4cos 5sin 2cos αααα-+及2sin 2sin cos ααα+的值。
【例54】 已知方程221)0x x m -+=的两根分别是sin ,cos θθ，求sin cos 11tan 1tan θθθθ+--的值。
【例55】 设角α是第一象限角，且|sin|sin22αα=-，则2α（ ）。
A 第一象限角 B 第二象限角 C 第三象限角D 第四象限角【例56】 若三角形的两内角,αβ满足sin cos 0αβ<，则此三角形必为（ ）。
A 锐角三角形B 钝角三角形C 直角三角形D 以上三种情况都可能【例57】 若α是第二象限角，(P x为其终边上一点，且cos α=，则sin α的值为（ ） ABCD【例58】 若α是第三象限角，则下列各式中不成立的是（ ）A sin cos 0αα+<B tan sin 0αα-<C cos tan 0αα-<D tan sin 0αα<【例59】 设()tan 24n f n ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则(1)(2)(3)(2005)f f f f ++++的值为（ ）A ０B 1-C １D ２【例60】 已知角α的终边经过(23,4)a a --，且cos 0α≤，sin 0α>，则α的取值范围是___________。
【例61】 sin390= _________；cos(315)-=_________；8tan3π=_________。
【例62】 确定下列各式的符号。
（1）sin100cos240； （2）sin5tan5+。
【例63】 已知角θ的终边上一点P 的坐标是(,2)(0)x x -≠，且cos 3xθ=，求sin θ和tan θ的值。
【例64】 已知sin 2112θ⎛⎫< ⎪⎝⎭，则θ为第几象限角？【例65】 已知3cos 5α=-，α是第二象限角，那么tan α的值等于（ ）。
A 43B 43-C 34D 34-【例66】 已知sin cos αα+=，且0απ<<，则tan α的值为（ ）。
A B C D【例67】 已知tan 2α=，求sin cos 2sin 3cos αααα+-的值（ ）A 2B 3C 1D 3-【例68】 已知θ是三角形的内角，1sin cos 5θθ+=，则sin cos θθ-的值为（ ）A 15-B 75-C 75D 15【例69】 已知α【例70】 已知α ） A 2tan α- B 2tan α C tan α D tan α-【例71】 化440=___________；66441sin cos 1sin cos x xx x--=-- ___________。