【数学】2012新题分类汇编：不等式(高考真题+模拟新题)

不等式(高考真题+模拟新题)大纲理数3.E1[2011·全国卷] 下面四个条件中，使a >b 成立的充分而不必要的条件是( ) A ．a >b ＋1 B ．a >b －1 C ．a 2>b 2 D ．a 3>b 3 大纲理数3.E1[2011·全国卷] A 【解析】 对A 项，若a >b ＋1，则a －b >1，则a >b ；若a >b ，不能得到a >b ＋1.对B 项，若a >b －1，不能得到a >b ；对C 项，若a 2>b 2，可得(a ＋b )(a －b )>0，不能得到a >b ；对D 项，若a 3>b 3，则a >b ，反之，若a >b ，则a 3>b 3，a 3>b 3是a >b 成立的充分必要条件，故选A.大纲文数5.E1[2011·全国卷] 下面四个条件中，使a >b 成立的充分而不必要的条件是( ) A ．a >b ＋1 B ．a >b －1 C ．a 2>b 2 D ．a 3>b 3 大纲文数5.E1[2011·全国卷] A 【解析】 对A 项，若a >b ＋1，则a －b >1，则a >b ；若a >b ，不能得到a >b ＋1.对B 项，若a >b －1，不能得到a >b ；对C 项，若a 2>b 2，可得(a ＋b )(a －b )>0，不能得到a >b ；对D 项，若a 3>b 3，则a >b ，反之，若a >b ，则a 3>b 3，a 3>b 3是a >b 成立的充分必要条件，故选A.课标文数6.E1[2011·浙江卷] 若a ，b 为实数，则“0<ab <1”是“b <1a”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件课标文数6.E1[2011·浙江卷] D 【解析】 当0<ab <1，a <0，b <0时，有b >1a ；反过来b <1a，当a <0时，则有ab >1，∴“0<ab <1”是“b <1a”的既不充分也不必要条件．课标理数9.E2[2011·广东卷] 不等式|x ＋1|－|x －3|≥0的解集是________． 课标理数9.E2[2011·广东卷] {x |x ≥1} 【解析】 由|x ＋1|≥|x －3|两边平方得x 2＋2x ＋1≥x 2－6x ＋9，即8x ≥8，解得x ≥1.课标理数4.E2[2011·山东卷] 不等式|x －5|＋|x ＋3|≥10的解集是( ) A ．[－5,7] B ．[－4,6]C ．(－∞，－5]∪[7，＋∞)D ．(－∞，－4]∪[6，＋∞) 课标理数4.E2[2011·山东卷] D 【解析】 当|x －5|＋|x ＋3|＝10时，求出x 1＝6，x 2＝－4，画出数轴，显然当x ≥6或x ≤－4时，满足|x －5|＋|x ＋3|≥10.课标理数1.A1，E3[2011·北京卷] 已知集合P ＝{x |x 2≤1}，M ＝{a }．若P ∪M ＝P ，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]B ．[1，＋∞)C ．[－1,1]D ．(－∞，－1]∪[1，＋∞) 课标理数1.A1，E3[2011·北京卷] C 【解析】 由P ∪M ＝P ，可知M ⊆P ，而集合P ＝{x |－1≤x ≤1}，所以－1≤a ≤1，故选C.课标文数1.A1，E3[2011·北京卷] 已知全集U ＝R ，集合P ＝{x |x 2≤1}，那么∁U P ＝( ) A ．(－∞，－1) B ．(1，＋∞) C ．(－1,1)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 课标文数1.A1，E3[2011·北京卷] D 【解析】 因为集合P ＝{x |－1≤x ≤1}，所以∁U P ＝{x |x <－1或x >1}，故选D.课标文数6.E3[2011·福建卷] 若关于x 的方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是( )A ．(－1,1)B ．(－2,2)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 课标文数6.E3[2011·福建卷] C 【解析】 由方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不相等的实数根，得Δ＝m 2－4>0，解得m <－2或m >2，故选C.课标文数5.E3[2011·广东卷] 不等式2x 2－x －1＞0的解集是( )A.⎝⎛⎭⎫－12，1 B ．(1，＋∞)C ．(－∞，1)∪(2，＋∞)D.⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪(1，＋∞) 课标文数5.E3[2011·广东卷] D 【解析】 不等式2x 2－x －1>0化为(x －1)(2x ＋1)>0，解得x <－12或x >1，故选D.课标文数1.E3[2011·山东卷] 设集合M ＝{x |(x ＋3)(x －2)<0}，N ＝{x |1≤x ≤3}，则M ∩N ＝( )A ．[1,2)B ．[1,2]C ．(2,3]D ．[2,3] 课标文数1.E3[2011·山东卷] A 【解析】 由解不等式知识知M ＝{x |－3＜x ＜2}，又N ＝{x |1≤x ≤3}，所以M ∩N ＝{x |1≤x ＜2}．课标文数6.E5[2011·安徽卷] 设变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1，x －y ≤1，x ≥0，则x ＋2y 的最大值和最小值分别为( )A ．1，－1B ．2，－2C ．1，－2D ．2，－1 课标文数6.E5[2011·安徽卷] B 【解析】 画出可行域(如图所示阴影部分)．可知当直线u ＝x ＋2y 经过A (0,1)，C (0，－1)时分别对应u 的最大值和最小值．故u max ＝2，u min ＝－2.大纲文数4.E5[2011·全国卷] 若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤6，x －3y ≤－2，x ≥1，则z ＝2x ＋3y 的最小值为( )A ．17B ．14C ．5D ．3 大纲文数4.E5[2011·全国卷] C 【解析】 通过约束条件画出可行域，可知z 的最小值为5，故选C.课标理数8.E5，F3[2011·福建卷] 已知O 是坐标原点，点A (－1,1)，若点M (x ，y )为平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥2，x ≤1，y ≤2上的一个动点，则OA →·OM →的取值范围是( )A ．[－1,0]B ．[0,1]C ．[0,2]D ．[－1,2] 课标理数8.E5，F3[2011·福建卷] C 【解析】 画出不等式组表示的平面区域(如图1－2)， 又OA →·OM →＝－x ＋y ，取目标函数z ＝－x ＋y ，即y ＝x ＋z ，作斜率为1的一组平行线，图1－2当它经过点C (1,1)时，z 有最小值，即z min ＝－1＋1＝0； 当它经过点B (0,2)时，z 有最大值，即z max ＝－0＋2＝2.∴ z 的取值范围是[0,2]，即OA →·OM →的取值范围是[0,2]，故选C.课标文数21.E5，C9[2011·福建卷] 设函数f (θ)＝3sin θ＋cos θ，其中，角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，终边经过点P (x ，y )，且0≤θ≤π.(1)若点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫12，32，求f (θ)的值；(2)若点P (x ，y )为平面区域Ω：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x ≤1，y ≤1上的一个动点，试确定角θ的取值范围，并求函数f (θ)的最小值和最大值．课标文数21.E5，C9[2011·福建卷] 【解答】 (1)由点P 的坐标和三角函数的定义可得⎩⎨⎧sin θ＝32，cos θ＝12.于是f (θ)＝3sin θ＋cos θ＝3×32＋12＝2. (2)作出平面区域Ω(即三角形区域ABC )如图1－7所示，其中A (1,0)，B (1,1)，C (0,1)．图1－7于是0≤θ≤π2.又f (θ)＝3sin θ＋cos θ＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π6， 且π6≤θ＋π6≤2π3， 故当θ＋π6＝π2，即θ＝π3时，f (θ)取得最大值，且最大值等于2；当θ＋π6＝π6，即θ＝0时，f (θ)取得最小值，且最小值等于1.课标理数 5.E5[2011·广东卷] 已知平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组⎩⎨⎧0≤x ≤2，y ≤2，x ≤2y给定．若M (x ，y )为D 上的动点，点A 的坐标为(2，1)，则z ＝OM →·OA →的最大值为( )A ．4 2B ．3 2C ．4D ．3 课标理数5.E5图1－1[2011·广东卷] C 【解析】 z ＝OM →·OA →＝(x ，y )·(2，1)＝2x ＋y ，画出不等式组表示的区域(如图1－1)，显然当z ＝2x ＋y 经过B (2，2)时，z 取最大值，即z max ＝2＋2＝4.课标文数 6.E5[2011·广东卷] 已知平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组⎩⎨⎧0≤x ≤2，y ≤2，x ≤2y给定．若M (x ，y )为D 上的动点，点A 的坐标为(2，1)，则z ＝OM →·OA →的最大值为( )A ．3B ．4C ．3 2D ．4 2 课标文数6.E5图1－1[2011·广东卷] B 【解析】 z ＝OM →·OA →＝(x ，y )·(2，1)＝2x ＋y ，画出不等式组表示的区域(如图1－1)，显然当z ＝2x ＋y 经过B (2，2)时，z 取最大值，即z max ＝2＋2＝4.课标理数8.E5[2011·湖北卷] 已知向量a ＝(x ＋z,3)，b ＝(2，y －z )，且a ⊥b .若x ，y 满足不等式|x |＋|y |≤1，则z 的取值范围为( )A ．[－2,2]B ．[－2,3]C ．[－3,2]D ．[－3,3] 课标理数8.E5[2011·湖北卷] D 【解析】 因为a ＝()x ＋z ，3，b ＝()2，y －z ，且a ⊥b ，所以a·b ＝2()x ＋z ＋3()y －z ＝0，即2x ＋3y －z ＝0.又||x ＋||y ≤1表示的可行域如图中阴影部分所示(包含边界)．图1－1所以当2x ＋3y －z ＝0过点B ()0，－1时，z min ＝－3；当2x ＋3y －z ＝0过点A ()0，1时，z max＝3.所以z ∈[]－3，3.课标文数8.E5[2011·湖北卷] 直线2x ＋y －10＝0与不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x －y ≥－2，4x ＋3y ≤20表示的平面区域的公共点有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个课标文数8.E5[2011·湖北卷] B 【解析】 画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x －y ≥－2，4x ＋3y ≤20 表示的可行域，如图阴影部分所示(含边界)．图1－1因为直线2x ＋y －10＝0过点A ()5，0，且其斜率为－2，小于直线4x ＋3y ＝20的斜率－43，故只有一个公共点()5，0.课标理数7.E5[2011·湖南卷] 设m >1，在约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，y ≤mx ，x ＋y ≤1下，目标函数z ＝x ＋my 的最大值小于2，则m 的取值范围为( )A ．(1,1＋2)B ．(1＋2，＋∞)C ．(1,3)D ．(3，＋∞)课标理数7.E5[2011·湖南卷] A 【解析】 先画出约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，y ≤mx ，x ＋y ≤1.表示的可行域，如图1－1.图1－1 直线x ＋y ＝1与y ＝mx 的交点为⎝⎛⎭⎫1m ＋1，m m ＋1.由图可知，当x ＝1m ＋1，y ＝mm ＋1时，目标函数z ＝x ＋my 有最大值小于2，则有1m ＋1＋m ×mm ＋1<2，得1－2<m <1＋ 2.又因为m >1，故m 的取值范围为1<m <1＋2，故选A.课标文数14.E5[2011·湖南卷] 设m >1，在约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，y ≤mx ，x ＋y ≤1下，目标函数z ＝x ＋5y 的最大值为4，则m 的值为________．课标文数14.E5[2011·湖南卷] 3 【解析】 先画出约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，y ≤mx ，x ＋y ≤1表示的可行域：如右图1－3：图1－3 直线x ＋y ＝1与y ＝mx 的交点为⎝⎛⎭⎫1m ＋1，m m ＋1，得到当x ＝1m ＋1，y ＝mm ＋1时目标函数z＝x ＋5y 有最大值4，则有1m ＋1＋5×mm ＋1＝4，得m ＝3.课标理数13.E5[2011·课标全国卷] 若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3≤2x ＋y ≤9，6≤x －y ≤9，则z ＝x ＋2y 的最小值为________．课标理数13.E5[2011·课标全国卷] －6 【解析】 作出可行域如图阴影部分所示， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ＋3，y ＝x －9 解得A (4，－5)． 当直线z ＝x ＋2y 过A 点时z 取最小值，将A (4，－5)代入， 得z ＝4＋2×(－5)＝－6.图1－6课标文数14.E5[2011·课标全国卷] 若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3≤2x ＋y ≤9，6≤x －y ≤9，则z ＝x ＋2y 的最小值为_________________________________________________________________．课标文数14.E5[2011·课标全国卷] －6 【解析】 作出可行域如图阴影部分所示，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ＋3，y ＝x －9解得A (4，－5)． 当直线z ＝x ＋2y 过A 点时z 取最小值，将A (4，－5)代入， 得z ＝4＋2×(－5)＝－6.图1－6课标文数7.E5[2011·山东卷] 设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5≤0，x －y －2≤0，x ≥0，则目标函数z＝2x ＋3y ＋1的最大值为( )A ．11B ．10C ．9D ．8.5图1－1图1－6课标文数12.E5[2011·陕西卷] 如图1－6所示，点(x ，y )在四边形ABCD 内部和边界上运动，那么2x －y 的最小值为________．课标文数12.E5[2011·陕西卷] 1 【解析】 由图象知函数在点A (1,1)时，2x －y ＝1；在点B (3，2)时，2x －y ＝23－2>1；在点C (5，1)时，2x －y ＝25－1＞1；在点D (1,0)时，2x －y ＝2－0＝2>1，故最小值为1.大纲文数10.E5[2011·四川卷] 某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车．某天需送往A 地至少72吨的货物，派用的每辆车需满载且只运送一次，派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元，派用的每辆乙型卡车需配1名工人，运送一次可得利润350元，该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润z ＝( )A ．4650元B ．4700元C ．4900元D ．5000元 大纲文数10.E5[2011·四川卷] C 【解析】 设该公司合理计划当天派用甲、乙卡车的车辆数分别为x ，y ，则根据条件得x ，y 满足的约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤12，2x ＋y ≤19，10x ＋6y ≥72，x ≤8，y ≤7，x ∈N *，y ∈N *，目标函数z ＝450x＋350y －z .作出约束条件所表示的平面区域，然后平移目标函数对应的直线450x ＋350y －z ＝0知，当直线经过直线x ＋y ＝12与2x ＋y ＝19的交点(7,5)时，目标函数取得最大值，即z ＝450×7＋350×5＝4900.大纲理数9.E5[2011·四川卷] 某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车．某天需送往A 地至少72吨的货物，派用的每辆车需满载且只运送一次，派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元，派用的每辆乙型卡车需配1名工人，运送一次可得利润350元．该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润z ＝( )A ．4650元B ．4700元C ．4900元D ．5000元大纲理数9.E5[2011·四川卷] C 【解析】 设该公司合理计划当天派用甲、乙卡车的车辆数分别为x ，y ，则根据条件得x ，y 满足的约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤12，2x ＋y ≤19，10x ＋6y ≥72，x ≤8，y ≤7，x ∈N *，y ∈N *，目标函数z ＝450x＋350y .作出约束条件所表示的平面区域，然后平移目标函数对应的直线450x ＋350y －z ＝0知，当直线经过直线x ＋y ＝12与2x ＋y ＝19的交点(7,5)时，目标函数取得最大值，即z ＝450×7＋350×5＝4900.课标文数2.E5[2011·天津卷] 设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y －4≤0，x －3y ＋4≤0，则目标函数z＝3x －y 的最大值为( )A ．－4B ．0 C.43D ．4课标文数 2.E5[2011·天津卷] D 【解析】 作出可行域，如图1－1所示．联立⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －4＝0，x －3y ＋4＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2. 当目标函数z ＝3x －y 移至(2,2)时，z ＝3x －y 有最大值4.图1－1课标理数5.E 5[2011·浙江卷] 设实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5>0，2x ＋y －7>0，x ≥0，y ≥0，若x ，y 为整数，则3x ＋4y 的最小值是( )A ．14B ．16C ．17D ．19 课标理数5.E5[2011·浙江卷] B 【解析】 可行域如图所示：图1－3联立⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y －5＝0，2x ＋y －7＝0，解之得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1.又∵边界线为虚线，且目标函数线的斜率为－34，∴当z ＝3x ＋4y 过点(4,1)时，有最小值16.课标文数3.E5[2011·浙江卷] 若实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5≥0，2x ＋y －7≥0，x ≥0，y ≥0，则3x ＋4y 的最小值是( )A ．13B ．15C ．20D ．28 课标文数3.E5[2011·浙江卷] A 【解析】 可行域如图阴影部分所示．联立⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y －5＝0，2x ＋y －7＝0，解之得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1.∴当z ＝3x ＋4y 过点(3,1)时，有最小值13.课标文数7.B10，E6[2011·北京卷] 某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元，若每批生产x 件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元，为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( )A ．60件B ．80件C ．100件D ．120件 课标文数7.B10，E6[2011·北京卷] B 【解析】 记平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和为f (x )，则f (x )＝800＋x8×x ×1x ＝800x ＋x 8≥2800x ×x 8＝20，当且仅当800x ＝x8，即x＝80件(x >0)时，取最小值，故选B.课标文数10.B12，E6[2011·福建卷] 若a >0，b >0，且函数f (x )＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，则ab 的最大值等于( )A ．2B ．3C ．6D ．9 课标文数10.B12，E6[2011·福建卷] D 【解析】 f ′(x )＝12x 2－2ax －2b ， ∵f (x )在x ＝1处有极值，∴f ′(1)＝0，即12－2a －2b ＝0，化简得 a ＋b ＝6， ∵a >0，b >0，∴ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＝9，当且仅当a ＝b ＝3时，ab 有最大值，最大值为9，故选D.课标理数10.N4，E6[2011·湖南卷] 设x ，y ∈R ，且xy ≠0，则⎝⎛⎭⎫x 2＋1y 2⎝⎛⎭⎫1x 2＋4y 2的最小值为________．课标理数10.N4，E6[2011·湖南卷] 9 【解析】 方法一：⎝⎛⎭⎫x 2＋1y 2⎝⎛⎭⎫1x 2＋4y 2＝1＋4x 2y 2＋1x 2y 2＋4≥5＋24x 2y 2×1x 2y 2＝9，当且仅当4x 2y 2＝1x 2y2时，“＝”成立．方法二：利用柯西不等式：⎝⎛⎭⎫x 2＋1y 2⎝⎛⎭⎫1x 2＋4y 2≥⎝⎛⎭⎫x ×1x ＋1y ×2y 2＝9，当且仅当4x 2y 2＝1x 2y2时，等号成立．课标文数3.E6[2011·陕西卷] 设0<a <b ，则下列不等式中正确的是( )A ．a ＜b ＜ab ＜a ＋b 2B ．a ＜ab ＜a ＋b2＜bC ．a ＜ab ＜b ＜a ＋b 2 D.ab ＜a ＜a ＋b2＜b课标文数3.E6[2011·陕西卷] B 【解析】 因为0<a <b ，由基本不等式得ab <a ＋b2，a <b ，故a ＋b 2<b ＋b 2＝b ，a ＝aa <ab ，故答案为B.课标理数16.E6[2011·浙江卷] 设x ，y 为实数，若4x 2＋y 2＋xy ＝1，则2x ＋y 的最大值是________．课标理数16.E6[2011·浙江卷] 2105【解析】 ∵4x 2＋y 2＋xy ＝1，∴(2x ＋y )2－3xy ＝1，即(2x ＋y )2－32·2xy ＝1，∴(2x ＋y )2－32·⎝⎛⎭⎫2x ＋y 22≤1，解之得(2x ＋y )2≤85，即2x ＋y ≤2105.课标文数16.E6[2011·浙江卷] 若实数x ，y 满足x 2＋y 2＋xy ＝1，则x ＋y 的最大值是________．课标文数16.E6[2011·浙江卷] 233【解析】 ∵x 2＋y 2＋xy ＝1，∴(x ＋y )2－xy ＝1，即(x ＋y )2－⎝⎛⎭⎫x ＋y 22≤1，∴(x ＋y )2≤43，x ＋y ≤233.大纲理数7.E6[2011·重庆卷] 已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b 的最小值是( ) A.72B ．4 C.92D ．5大纲理数7.E6[2011·重庆卷] C 【解析】 1a ＋4b ＝12(a ＋b )1a ＋4b ＝125＋b a ＋4a b ≥125＋2b a ·4ab＝92. 当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝4a b ，a ＋b ＝2即a ＝23，b ＝43时取到等号．∴y min ＝92.大纲文数7.E6[2011·重庆卷] 若函数f (x )＝x ＋1x －2(x >2)在x ＝a 处取最小值，则a ＝( )A ．1＋ 2B ．1＋ 3C ．3D ．4大纲文数7.E6[2011·重庆卷] C 【解析】 ∵x ＞2，∴f (x )＝x ＋1x －2＝(x －2)＋1x －2＋2≥2(x －2)·1x －2＋2＝4，当且仅当x －2＝1x －2，即x ＝3时取等号．大纲文数15.E6[2011·重庆卷] 若实数a ，b ，c 满足2a ＋2b ＝2a ＋b,2a ＋2b ＋2c ＝2a ＋b ＋c ，则c的最大值是_____________________________________________________________________．大纲文数15.E6[2011·重庆卷] 2－log 23 【解析】 2a ＋b ＝2a ＋2b ≥22a ＋b ，当且仅当a ＝b 时，2a ＋b ≥4取“＝”．由2a ＋2b ＋2c ＝2a ＋b ＋c 得2a ＋b ＋2c ＝2a ＋b ·2c ，∴2c＝2a ＋b 2a b －1＝1＋12a b －1≤1＋14－1＝43，故c ≤log 243＝2－log 23.课标文数20.D5，E7[2011·广东卷]设b ＞0，数列{a n }满足a 1＝b ，a n ＝nba n －1a n －1＋n －1(n ≥2)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)证明：对于一切正整数n,2a n ≤b n ＋1＋1.课标文数20.D5，E7[2011·广东卷] 【解答】 (1)由a 1＝b >0，知a n ＝nba n －1a n －1＋n －1>0，n a n ＝1b ＋1b ·n －1a n －1. 令A n ＝n a n ，A 1＝1b，当n ≥2时，A n ＝1b ＋1bA n －1＝1b ＋...＋1b n －1＋1b n －1A 1 ＝1b ＋ (1)n －1＋1b n . ①当b ≠1时，A n ＝1b ⎝⎛⎭⎫1－1b n 1－1b＝b n －1b n (b －1)，②当b ＝1时，A n ＝n .∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧nb n(b －1)b n －1，b ≠1，1， b ＝1.(2)证明：当b ≠1时，欲证2a n ＝2nb n (b －1)b n －1≤b n ＋1＋1，只需证2nb n ≤(b n ＋1＋1)b n －1b －1.∵(b n ＋1＋1)b n －1b －1＝b 2n ＋b 2n －1＋…＋b n ＋1＋b n －1＋b n －2＋…＋1＝b n ⎝⎛⎭⎫b n ＋1b n ＋b n －1＋1b n 1＋…＋b ＋1b>b n(2＋2＋…＋2) ＝2nb n ，∴2a n ＝2nb n (b －1)b n－1<1＋b n ＋1. 当b ＝1时，2a n ＝2＝b n ＋1＋1.综上所述2a n ≤b n ＋1＋1.大纲理数22.B12，E8[2011·全国卷] (1)设函数f (x )＝ln(1＋x )－2xx ＋2，证明：当x >0时，f (x )>0；(2)从编号1到100的100张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取20次，设抽得的20个号码互不相同的概率为p .证明：p <⎝⎛⎭⎫91019<1e 2.大纲理数22.B12，E8[2011·全国卷] 【解答】 (1)f ′(x )＝x 2(x ＋1)(x ＋2)2.当x >0时，f ′(x )>0，所以f (x )为增函数，又f (0)＝0.因此当x >0时，f (x )>0.(2)p ＝100×99×98×…×8110020.又99×81<902,98×82<902，…，91×89<902，所以p <⎝⎛⎭⎫91019.由(1)知：当x >0时，ln(1＋x )>2xx ＋2.因此，⎝⎛⎭⎫1＋2x ln(1＋x )>2. 在上式中，令x ＝19，则19ln 109>2，即⎝⎛⎭⎫10919>e 2. 所以p <⎝⎛⎭⎫91019<1e 2.课标文数22.B12，E8[2011·湖南卷] 设函数f (x )＝x －1x－a ln x (a ∈R )．(1)讨论f (x )的单调性；(2)若f (x )有两个极值点x 1和x 2，记过点A (x 1，f (x 1))，B (x 2，f (x 2))的直线的斜率为k .问：是否存在a ，使得k ＝2－a ？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由．课标文数22.B12，E8[2011·湖南卷] 【解答】 (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)．f ′(x )＝1＋1x 2－a x ＝x 2－ax ＋1x 2.令g (x )＝x 2－ax ＋1，其判别式Δ＝a 2－4.①当|a |≤2时，Δ≤0，f ′(x )≥0.故f (x )在(0，＋∞)上单调递增． ②当a <－2时，Δ>0，g (x )＝0的两根都小于0. 在(0，＋∞)上，f ′(x )>0.故f (x )在(0，＋∞)上单调递增．③当a >2时，Δ>0，g (x )＝0的两根为x 1＝a －a 2－42，x 2＝a ＋a 2－42.当0<x <x 1时，f ′(x )>0；当x 1<x <x 2时，f ′(x )<0；当x >x 2时，f ′(x )>0. 故f (x )分别在(0，x 1)，(x 2，＋∞)上单调递增，在(x 1，x 2)上单调递减． (2)由(1)知，a >2.因为f (x 1)－f (x 2)＝(x 1－x 2)＋x 1－x 2x 1x 2－a (ln x 1－ln x 2)，所以，k ＝f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＝1＋1x 1x 2－a ·ln x 1－ln x 2x 1－x 2.又由(1)知，x 1x 2＝1，于是k ＝2－a ·ln x 1－ln x 2x 1－x 2.若存在a ，使得k ＝2－a ，则ln x 1－ln x 2x 1－x 2＝1.即ln x 1－ln x 2＝x 1－x 2.亦即x 2－1x 2－2ln x 2＝0(x 2>1)．(*)再由(1)知，函数h (t )＝t －1t －2ln t 在(0，＋∞)上单调递增，而x 2>1，所以x 2－1x 2－2ln x 2>1－11－2ln1＝0.这与(*)式矛盾．故不存在a ，使得k ＝2－a .课标文数21.B12，E8[2011·陕西卷] 设f (x )＝ln x ，g (x )＝f (x )＋f ′(x )． (1)求g (x )的单调区间和最小值；(2)讨论g (x )与g ⎝⎛⎭⎫1x 的大小关系；(3)求a 的取值范围，使得g (a )－g (x )＜1a对任意x ＞0成立．课标文数21.B12，E8[2011·陕西卷] 【解答】 (1)由题设知f (x )＝ln x ，g (x )＝ln x ＋1x.∴g ′(x )＝x －1x2.令g ′(x )＝0得x ＝1，当x ∈(0,1)时，g ′(x )＜0，故(0,1)是g (x )的单调减区间．当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )＞0，故(1，＋∞)是g (x )的单调增区间， 因此，x ＝1是g (x )的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点． 所以g (x )的最小值为g (1)＝1.(2)g ⎝⎛⎭⎫1x ＝－ln x ＋x .设h (x )＝g (x )－g ⎝⎛⎭⎫1x ＝2ln x －x ＋1x， 则h ′(x )＝－(x －1)2x 2.当x ＝1时，h (1)＝0，即g (x )＝g ⎝⎛⎭⎫1x ，当x ∈(0,1)∪(1，＋∞)时，h ′(x )＜0，h ′(1)＝0. 因此，h (x )在(0，＋∞)内单调递减， 当0＜x ＜1时，h (x )＞h (1)＝0.即g (x )＞g ⎝⎛⎭⎫1x .当x >1时，h (x )<h (1)＝0，即g (x )<g ⎝⎛⎭⎫1x .(3)由(1)知g (x )的最小值为1，所以，g (a )－g (x )<1a ，对任意x >0成立⇔g (a )－1<1a，即ln a ＜1，从而得0＜a ＜e. 课标理数19.E9[2011·安徽卷](1)设x ≥1，y ≥1，证明x ＋y ＋1xy ≤1x ＋1y＋xy .(2)1<a ≤b ≤c ，证明log a b ＋log b c ＋log c a ≤log b a ＋log c b ＋log a c . 课标理数19.E9[2011·安徽卷] 【解析】 本题考查不等式的基本性质，对数函数的性质和对数换底公式等基本知识，考查代数式的恒等变形能力和推理论证能力．【解答】 (1)由于x ≥1，y ≥1，所以x ＋y ＋1xy ≤1x ＋1y＋xy⇔xy (x ＋y )＋1≤y ＋x ＋(xy )2. 将上式中的右式减左式，得 [y ＋x ＋(xy )2]－[xy (x ＋y )＋1] ＝[(xy )2－1]－[xy (x ＋y )－(x ＋y )] ＝(xy ＋1)(xy －1)－(x ＋y )(xy －1) ＝(xy －1)(xy －x －y ＋1) ＝(xy －1)(x －1)(y －1)．既然x ≥1，y ≥1，所以(xy －1)(x －1)(y －1)≥0，从而所要证明的不等式成立．(2)设log a b ＝x ，log b c ＝y ，由对数的换底公式得log c a ＝1xy ，log b a ＝1x ，log c b ＝1y，log a c ＝xy .于是，所要证明的不等式即为x ＋y ＋1xy ≤1x ＋1y＋xy .其中x ＝log a b ≥1，y ＝log b c ≥1.故由(1)立知所要证明的不等式成立．课标理数21.B12，E9[2011·湖北卷](1)已知函数f (x )＝ln x －x ＋1，x ∈(0，＋∞)，求函数f (x )的最大值； (2)设a k ，b k (k ＝1,2，…，n )均为正数，证明：①若a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ≤b 1＋b 2＋…＋b n ，则ab 11ab 22…ab nn ≤1；②若b 1＋b 2＋…＋b n ＝1，则1n ≤bb 11bb 22…bb nn ≤b 21＋b 22＋…＋b 2n . 课标理数21.B12，E9[2011·湖北卷] 【解答】(1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，令f ′(x )＝1x－1＝0，解得x ＝1，当0<x <1时，f ′(x )>0，f (x )在(0,1)内是增函数； 当x >1时，f ′(x )<0，f (x )在(1，＋∞)内是减函数． 故函数f (x )在x ＝1处取得最大值f (1)＝0.(2)证明：①由(1)知，当x ∈(0，＋∞)时，有f (x )≤f (1)＝0，即ln x ≤x －1. ∵a k ，b k >0，从而有ln a k ≤a k －1，得b k ln a k ≤a k b k －b k (k ＝1,2，…，n )， 求和得∑k ＝1nln ab kk ≤∑k ＝1na kb k －∑k ＝1nb k ，∵∑k ＝1n a k b k ≤∑k ＝1n b k ，∴∑k ＝1nln ab kk ≤0，即ln(ab 11ab 22…ab nn )≤0，∴ab 11ab 22…ab nn ≤1.②(i)先证bb 11bb 22…bb nn ≥1n ，设a k ＝1nb k(k ＝1,2，…，n )，则∑k ＝1n a k b k ＝∑k ＝1n 1n ＝1＝∑k ＝1n b k ，于是由①得⎝⎛⎭⎫1nb 1b 1⎝⎛⎭⎫1nb 2b 2…⎝⎛⎭⎫1nb n b n ≤1，即1bb 11bb 22…bb nn≤nb 1＋b 2＋…＋b n ＝n ，∴bb 11bb 22…bb nn ≥1n.(ii)再证bb 11bb 22…bb nn ≤b 21＋b 22＋…＋b 2n ， 记S ＝∑k ＝1nb 2k ，设a k ＝b k S (k ＝1,2，…，n )，则∑k ＝1n a k b k ＝1S ∑k ＝1nb 2k＝1＝∑k ＝1n b k ， 于是由①得⎝⎛⎭⎫b 1S b 1⎝⎛⎭⎫b 2S b 2…⎝⎛⎭⎫b n S b n ≤1， 即bb 11bb 22…bb nn ≤Sb 1＋b 2＋…＋b n ＝S ，∴bb 11bb 22…bb nn ≤b 21＋b 22＋…＋b 2n . 综合(i)(ii)，②得证．课标文数20.B12，E9[2011·湖北卷] 设函数f (x )＝x 3＋2ax 2＋bx ＋a ，g (x )＝x 2－3x ＋2，其中x ∈R ，a 、b 为常数，已知曲线y ＝f (x )与y ＝g (x )在点(2,0)处有相同的切线l .(1)求a 、b 的值，并写出切线l 的方程；(2)若方程f (x )＋g (x )＝mx 有三个互不相同的实根0、x 1、x 2，其中x 1<x 2，且对任意的x ∈[x 1，x 2]，f (x )＋g (x )<m (x －1)恒成立，求实数m 的取值范围．课标文数20.B12，E9[2011·湖北卷] 【解答】 (1)f ′(x )＝3x 2＋4ax ＋b ，g ′(x )＝2x －3. 由于曲线y ＝f (x )与y ＝g (x )在点(2,0)处有相同的切线， 故有f (2)＝g (2)＝0，f ′(2)＝g ′(2)＝1.由此得⎩⎪⎨⎪⎧ 8＋8a ＋2b ＋a ＝0，12＋8a ＋b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝5.所以a ＝－2，b ＝5，切线l 的方程为x －y －2＝0. (2)由(1)得f (x )＝x 3－4x 2＋5x －2， 所以f (x )＋g (x )＝x 3－3x 2＋2x .依题意，方程x (x 2－3x ＋2－m )＝0有三个互不相同的实根0、x 1、x 2， 故x 1、x 2是方程x 2－3x ＋2－m ＝0的两相异的实根．所以Δ＝9－4(2－m )>0，即m >－14.又对任意的x ∈[x 1，x 2]，f (x )＋g (x )<m (x －1)恒成立．特别地，取x ＝x 1时，f (x 1)＋g (x 1)－mx 1<－m 成立，得m <0. 由韦达定理，可得x 1＋x 2＝3>0，x 1x 2＝2－m >0， 故0<x 1<x 2.对任意的x ∈[x 1，x 2]，有x －x 2≤0，x －x 1≥0，x >0， 则f (x )＋g (x )－mx ＝x (x －x 1)(x －x 2)≤0， 又f (x 1)＋g (x 1)－mx 1＝0，所以函数f (x )＋g (x )－mx 在x ∈[x 1，x 2]的最大值为0.于是当－14<m <0时，对任意的x ∈[x 1，x 2]，f (x )＋g (x )<m (x －1)恒成立．综上，m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－14，0. 大纲理数10.E9[2011·重庆卷] 设m ，k 为整数，方程mx 2－kx ＋2＝0在区间(0,1)内有两个不同的根，则m ＋k 的最小值为( )A ．－8B ．8C ．12D ．13 大纲理数10.E9[2011·重庆卷] D 【解析】 设f (x )＝mx 2－kx ＋2，由f (0)＝2，知f (x )的图象恒过定点(0,2)．因此要使已知方程在区间(0,1)内有两个不同的根，即f (x )的图象在区间(0,1)内有两个不同的交点，必有⎩⎪⎨⎪⎧m >0，f (1)＝m －k ＋2>0，0<k2m <1，Δ＝k 2－8m >0，即⎩⎪⎨⎪⎧m >0，k >0，m －k ＋2>0，2m －k >0，k 2－8m >0，在直角坐标系mOk 中作出满足不等式平面区域，如图1－4所示，设z ＝m ＋k ，则直线m＋k －z ＝0经过图中的阴影中的整点(6,7)时，z ＝m ＋k 取得最小值，即z min ＝13.图1－4[2011·金堂月考] 设a，b∈R，若a－|b|＞0，则下列不等式中正确的是()A．b－a＞0 B．a3＋b3＜0C．b＋a＞0 D．a2－b2＜0[2011·黄冈质检] 已知x>y>z，且x＋y＋z＝0，下列不等式中成立的是()A．xy>yzB．xz>yzC．xy>xzD．x|y|>z|y|[2011·新都一中月考] 下列四个不等式：①a<0<b；②b<a<0；③b<0<a；④0<b<a，其中能使1a＜1b成立的充分条件有__________．[2011·浠水模拟] 不等式x2－x－6x－1>0的解集为()A．{x|x<－2或x>3}B．{x|x<－2或1<x<3}C．{x|－2<x<1或x>3}D．{x|－2<x<1或1<x<3}[2011·湖南师大附中月考] 不等式4x－3·2x＋2＜0的解集是__________．[2011·四川金堂中学月考] 下列不等式的证明过程正确的是 ( )A ．若a 、b ∈R ，则b a ＋a b ≥2b a ·ab ＝2B ．若a ∈R －，则a ＋4a ≥－2a ·4a＝－4C ．若a 、b ∈R ＋，则lg a ＋lg b ≥2lg a lg bD ．若a ∈R ，则2a ＋2－a ≥22a ·2－a ＝2[2011·重庆模拟] 设x ，y ∈R ，a ＞1，b ＞1，若a x ＝b y ＝2,2a ＋b ＝8，则1x ＋1y的最大值为__________．[2011·北京`西城一模] 已知平面区域Ω＝⎩⎪⎨⎪⎧⎪⎪⎪(x ，y )⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ≤x ＋1，y ≥0，x ≤1， M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎪⎪⎪(x ，y )⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ≤－|x |＋1，y ≥0，向区域Ω内随机投一点P ，点P 落在区域M 内的概率为( )A.14B.13 C.12 D.23。