(横版)二次函数的几何变换和解析式的确定教案

教学过程

一、复习预习

我们逐步地学习了二次函数的特殊形式和一般形式的解析式以及图像和性质：

1.二次函数基本形式：y =ax2 （b、c 为 0 时）的性质：

2.y =ax2 +c 的性质：上加下减。

3.y=a(x-h)2 的性质：左加右减。

4.y=a(x-h)2 +k的性质：

二次函数y =ax2 +bx +c

今天学习二次函数图像的变换以及解析式的确定

二、知识讲解

考点1 二次函数图象的平移变换

（1）具体步骤：

先利用配方法把二次函数化成y =a(x -h)2 +k 的形式，确定其顶点(h, k ) ，然后做出二次函数y =ax2 的图像，将抛物线y =ax2 平移，使其顶点平移到(h, k ) .具体平移方法如图所示：

（2）平移规律：在原有函数的基础上“左加右减”；“上加下减”。

2 考点 2 二次函数图象的对称变换

二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达

1. 关于 x 轴对称

y = ax 2 + bx + c 关于 x 轴对称后，得到的解析式是 y = -ax 2 - bx - c ；

y = a (x - h )2 + k 关于 x 轴对称后，得到的解析式是 y = -a (x - h )2

- k ； 2. 关于 y 轴对称

y = ax 2 + bx + c 关于 y 轴对称后，得到的解析式是 y = ax 2 - bx + c ；

y = a (x - h )2 + k 关于 y 轴对称后，得到的解析式是 y = a (x + h )2

+ k ； 3. 关于原点对称

y = ax 2 + bx + c 关于原点对称后，得到的解析式是 y = -ax 2 + bx - c ；

y = a (x - h )2 + k 关于原点对称后，得到的解析式是 y = -a (x + h )2

- k ； 4. 关于顶点对称

= 2 + + 关于顶点对称后，得到的解析式是 = -

2 - + - b ；

y ax bx c

y ax bx c 2a y = a (x - h )2 + k 关于顶点对称后，得到的解析式是 y = -a (x - h )2 + k ．

5. 关于点(m ，n )对称

y = a (x - h )2 + k 关于点(m ，n )对称后，得到的解析式是 y = -a (x + h - 2m )2

+ 2n - k

根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．

考点3 二次函数解析式的确定：

根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：

1.已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；

2.已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；

3.已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；

4.已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．

三、例题精析

【例题1】

【题干】抛物线 y=﹣2x2 经过平移到 y=﹣2x2﹣4x﹣5，平移方法是（）A．向左平移 1 个单位，再向上平移 3 各单位

B．向左平移 1 个单位，再向下平移 3 个单位

C．向右平移 1 个单位，再向上平移 3 个单位

D．向右平移 1 个单位，再向下平移 3 个单位

【答案】B

【解析】试题分析：把 y=﹣2x2﹣4x﹣5 转化为顶点式形式并写出顶点坐标，然后根据顶点的变化确定出平移方法是解题的关键．

∵y=﹣2x2﹣4x﹣5=﹣2（x+1）2﹣3，

∴y=﹣2x2﹣4x﹣5 的顶点坐标为（﹣1，﹣3），

∴抛物线 y=﹣2x2 向左平移 1 个单位，再向下平移 3 个单位得到 y=﹣2x2﹣4x﹣

5．故选 B．

考点: 二次函数图象与几何变换.

【例题2】

【题干】如图，在平面直角坐标系中，抛物经过平移得到抛物，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为（）

A．2 B．4 C．8 D．16

【答案】B

【解析】试题分析：如图，过点 C 作CA⊥y，

∵抛物线x2−2x=（x2-4x）=（x2-4x+4）-2=（x-2）2-2，∴顶点坐标为 C（2，-2），

对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为：2×2=4，

考点：二次函数图象与几何变换．

【例题3】

【题干】如图，二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与 x 轴交于 A、B 两点，其中 A 点坐标为（－1，0），点 C （0，5），点 D（1，8）在抛物线上，M 为抛物线的顶点．求

（1）抛物线的解析式；

（2）求△MCB 的面积．

【答案】（1）y=-x2+4x+5．（2）15．

【解析】试题分析：（1）由 A、C、D 三点在抛物线上，根据待定系数可求出抛物线解析式；（2）把 BC 边上的高和边长求出来，就可以得出面积．

（1）∵A（-1，0），C（0，5），D（1，8）三点在抛物线 y=ax2+bx+c 上，

则有 0=a-b+c 5=c 8=a+b+c

解方程得 a=-1，b=4，c=5 所以抛物线解析式为 y=-x2+4x+5．

（2）∵y=-x2+4x+5

=-（x-5）（x+1）

=-（x-2）2+9

∴M（2，9），B（5，0）

即．