利用完全平方公式因式分解 课件
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湘教版七年级数学下册教学课件(XJ) 第3章 因式分解 第2课时 利用完全平方公式进行因式分解
首2 ±2×首 +尾2 ×尾
=(a ± b)² (首±尾)2
两个数的平方和加上(或减去) 这两个数的积的2倍，等于这 两个数的和(或差)的平方.
对照 a²±2ab+b²=(a±b)²，填空： 1. x²+4x+4= ( )²+2x·( )·( )+x( )²=2( 2 )² x + 2 2.m²-6m+9=( )²-m2·( ) ·( m)+( )²=3( 3)² m - 3 3.a²+4ab+4b²=( )²+2a·( ) ·( )a+( 2)b²=( 2b)² a + 2b
分析：(1)中有公因式3a,应先提出公因式，再进一步分解因式；
(2)中将a+b看成一个整体，设a+b=m,则原式化为m2-12m+36.
解: (1)原式=3a（x2+2xy+y2） =3a（x+y）2；
(2)原式=(a+b)2-2·(a+b) ·6+62 =(a+b-6)2.
利用公式把某些具有特殊形式（如平方差式，完全平方式 等）的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法.
当堂练习
1.下列四个多项式中，能因式分解的是( )
B
A．a2＋1
B．a2－6a＋9
C．x2＋5y D．x2－5y
2.把多项式4x2y－4xy2－x3分解因式的结果是( )
B
A．4xy(x－y)－x3 B．－x(x－2y)2
C．x(4xy－4y2－x2) D．－x(－4xy＋4y2＋x2)
3.若m＝2n＋1，则m2－4mn＋4n2的值是________． 1 4.若关于x的多项式x2－8x＋m2是完全平方式，则m的值为___________ ．
=(a ± b)² (首±尾)2
两个数的平方和加上(或减去) 这两个数的积的2倍，等于这 两个数的和(或差)的平方.
对照 a²±2ab+b²=(a±b)²，填空： 1. x²+4x+4= ( )²+2x·( )·( )+x( )²=2( 2 )² x + 2 2.m²-6m+9=( )²-m2·( ) ·( m)+( )²=3( 3)² m - 3 3.a²+4ab+4b²=( )²+2a·( ) ·( )a+( 2)b²=( 2b)² a + 2b
分析：(1)中有公因式3a,应先提出公因式，再进一步分解因式；
(2)中将a+b看成一个整体，设a+b=m,则原式化为m2-12m+36.
解: (1)原式=3a（x2+2xy+y2） =3a（x+y）2；
(2)原式=(a+b)2-2·(a+b) ·6+62 =(a+b-6)2.
利用公式把某些具有特殊形式（如平方差式，完全平方式 等）的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法.
当堂练习
1.下列四个多项式中，能因式分解的是( )
B
A．a2＋1
B．a2－6a＋9
C．x2＋5y D．x2－5y
2.把多项式4x2y－4xy2－x3分解因式的结果是( )
B
A．4xy(x－y)－x3 B．－x(x－2y)2
C．x(4xy－4y2－x2) D．－x(－4xy＋4y2＋x2)
3.若m＝2n＋1，则m2－4mn＋4n2的值是________． 1 4.若关于x的多项式x2－8x＋m2是完全平方式，则m的值为___________ ．
因式分解(完全平方公式)精选教学PPT课件
ab2 a2 2ab b2
现在我们把这个公式反过来
a2 2abb2 ab2
a2 2abb2 ab2
很显然，我们可以运用以上这个公式 来分解因式了，我们把它称为“完全 平方公式”
a2 2abb2 a2 2abb2
我们把以上两个式子叫做完全平方式
我开始虚伪，听着谎言却装做一无所知；我学会窥探，四处打听如蛇之祟行，而十分看轻自己； 我的故事越编越好，好莱坞金牌编剧也没这般丰富多采，只为让他多留一分钟。
最后，我打他一巴掌。干脆痛快，出手的瞬间，像那位绝望的母亲，远远掷出她的高跟鞋。掷中没有？并不重要。 有多爱，就有多不舍；有多温柔，就有多暴烈，爱得唇边有血，眼中有泪，胸口有纠缠的爱与恨，爱到如连体婴般骨肉相连。割爱，就一定不可能如拈去一片花叶般轻松微笑。 明知留不住，收不下，却不能自控我颠倒狂乱的脚步。那一遭，我是夜深街上，追逐汽车的女子。而我无声的哭泣，他没有听见。快乐是人类社会众望所归的最高境界。所谓君子之交谈如水。一个把名缰利锁看得太重的人。注定是不快乐的。快乐就是看淡尘世的物欲、烦恼，不慕荣利。假如你喜欢武侠小说，你没有必要愧对红楼梦； 假如你喜欢的人突然销声匿迹，你没有必要寻死觅活地断言他一定洒脱地离去；假如你的朋友不幸，你没有必要怨天尤人；假如你认为张曼玉艳美绝俗，你没有必要眼馋肚饱虐待老婆；假如你已经身心交病，那就去教堂忏悔，没有必要仇视别人的平庸；坦然面对心融神会，快乐就在你心里。我怜悯一个有点荣誉的人，就旁若无人而因此失 去快乐的人。能把名利得失置之度外，而凡事都能以诚相待的人一生将是快乐的。我们应从平谈的生活中去提炼体会，如：赤城待人的那种快乐。低待遇下一如既往工作的快乐，助人为乐一介不取的快乐，一片至诚去感化恶人的快乐，热心被人误解依然如故的快乐，信实可靠的服务态度为目的的快乐，尽责任吃苦耐劳的快乐，因为这些 “快乐”能保持住人内心的快乐，使人的容貌永远那么牵挂，一句亲切的问候。甚至一个关切的眼神，快乐无处不有，唯有胸襟开阔的人，才能体会到。形单影只的人仍然可以享受着闲情逸致的快乐。乐山乐水各不相同。爱静的人可以看书、听音乐、上网、写作、画画、搜集各种收藏品。爱动的人则不妨练习舞蹈、慢跑、爬山、游泳。看 电影、上健身房。做编织、陶艺。练瑜枷、潜心发明、闭门创作，摄影、观鸟，我们仍然兴复不浅，乐不可支。人生苦短，岁月如流，乐天知命，为什么不乐乐陶陶的。为什么要疾首蹙额，为眼前一时的顿挫心胆俱碎？为什么要对那些你看不惯的人和事心烦率乱？岂不知我们都是尘世间相映成趣的战友。人世一切冤天屈地，无妄之灾，荣 华富贵，香娇玉嫩……都将随身亡命殒。而人生长着百年，短则数十寒暑，又有何值得耀武扬威的，不过是烟云过眼矣？人生如月，月满则亏，凡事岂能尽人意，但求于心无愧。无愧我心，则恩同再造，那些得失又算不了甚么。世界上没有完美无缺得事物。奉劝多愁善感的朋友。饮醇自醉，快乐起来吧！芸芸众生，绿水青山，名胜古迹，
现在我们把这个公式反过来
a2 2abb2 ab2
a2 2abb2 ab2
很显然，我们可以运用以上这个公式 来分解因式了，我们把它称为“完全 平方公式”
a2 2abb2 a2 2abb2
我们把以上两个式子叫做完全平方式
我开始虚伪，听着谎言却装做一无所知；我学会窥探，四处打听如蛇之祟行，而十分看轻自己； 我的故事越编越好，好莱坞金牌编剧也没这般丰富多采，只为让他多留一分钟。
最后，我打他一巴掌。干脆痛快，出手的瞬间，像那位绝望的母亲，远远掷出她的高跟鞋。掷中没有？并不重要。 有多爱，就有多不舍；有多温柔，就有多暴烈，爱得唇边有血，眼中有泪，胸口有纠缠的爱与恨，爱到如连体婴般骨肉相连。割爱，就一定不可能如拈去一片花叶般轻松微笑。 明知留不住，收不下，却不能自控我颠倒狂乱的脚步。那一遭，我是夜深街上，追逐汽车的女子。而我无声的哭泣，他没有听见。快乐是人类社会众望所归的最高境界。所谓君子之交谈如水。一个把名缰利锁看得太重的人。注定是不快乐的。快乐就是看淡尘世的物欲、烦恼，不慕荣利。假如你喜欢武侠小说，你没有必要愧对红楼梦； 假如你喜欢的人突然销声匿迹，你没有必要寻死觅活地断言他一定洒脱地离去；假如你的朋友不幸，你没有必要怨天尤人；假如你认为张曼玉艳美绝俗，你没有必要眼馋肚饱虐待老婆；假如你已经身心交病，那就去教堂忏悔，没有必要仇视别人的平庸；坦然面对心融神会，快乐就在你心里。我怜悯一个有点荣誉的人，就旁若无人而因此失 去快乐的人。能把名利得失置之度外，而凡事都能以诚相待的人一生将是快乐的。我们应从平谈的生活中去提炼体会，如：赤城待人的那种快乐。低待遇下一如既往工作的快乐，助人为乐一介不取的快乐，一片至诚去感化恶人的快乐，热心被人误解依然如故的快乐，信实可靠的服务态度为目的的快乐，尽责任吃苦耐劳的快乐，因为这些 “快乐”能保持住人内心的快乐，使人的容貌永远那么牵挂，一句亲切的问候。甚至一个关切的眼神，快乐无处不有，唯有胸襟开阔的人，才能体会到。形单影只的人仍然可以享受着闲情逸致的快乐。乐山乐水各不相同。爱静的人可以看书、听音乐、上网、写作、画画、搜集各种收藏品。爱动的人则不妨练习舞蹈、慢跑、爬山、游泳。看 电影、上健身房。做编织、陶艺。练瑜枷、潜心发明、闭门创作，摄影、观鸟，我们仍然兴复不浅，乐不可支。人生苦短，岁月如流，乐天知命，为什么不乐乐陶陶的。为什么要疾首蹙额，为眼前一时的顿挫心胆俱碎？为什么要对那些你看不惯的人和事心烦率乱？岂不知我们都是尘世间相映成趣的战友。人世一切冤天屈地，无妄之灾，荣 华富贵，香娇玉嫩……都将随身亡命殒。而人生长着百年，短则数十寒暑，又有何值得耀武扬威的，不过是烟云过眼矣？人生如月，月满则亏，凡事岂能尽人意，但求于心无愧。无愧我心，则恩同再造，那些得失又算不了甚么。世界上没有完美无缺得事物。奉劝多愁善感的朋友。饮醇自醉，快乐起来吧！芸芸众生，绿水青山，名胜古迹，
教学课件：七下湘教公式法第2课时 利用完全平方公式进行因式分解
(a+b)2=a2+2ab+b2，(a-b)2= a2-2ab+b2 .
将完全平方公式从右到左地使用，就可以把形
如这样的多项式进行因式分解.
例如， x2+4x+4 = x2+2·x·2+22 = (x+2)2 .
a2+2·a·b+b2 = (a+b)2
知识讲授
因式分解的完全平方公式
a 2 2ab b 2 a b
2
a 2ab b a b
2
2
2
注意：公式中
的, 既可以
是单项式，也
可以是多项式.
语言叙述：两个数的平方和加上（或减去）这两个
数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方.
知识讲授
我们把a²+2ab+b²和a²-2ab+b²这样的式子叫做完全平方式.
能用完全平方公式分解因式的多项式的特点
(x2-1)2
[(x+1)(x-1)]2
(x+1)2(x-1)2.
知识讲授
例5 因式分解：
(1)3ax2+6axy+3ay2 ；
(2)( + )－（ + ） + .
解：(1)原式=3a（x2+2xy+y2）
有公因式，先
提公因式
=3a（x+y）2.
(2)原式 = （ + ）－ × （ + ） × +
法公式，我们得到了因式分解的两种方法：提取公因
式法、平方差公式法.现在，大家自然会想，还有哪些
乘法公式可以用来分解因式呢？
完全平方公式
将完全平方公式从右到左地使用，就可以把形
如这样的多项式进行因式分解.
例如， x2+4x+4 = x2+2·x·2+22 = (x+2)2 .
a2+2·a·b+b2 = (a+b)2
知识讲授
因式分解的完全平方公式
a 2 2ab b 2 a b
2
a 2ab b a b
2
2
2
注意：公式中
的, 既可以
是单项式，也
可以是多项式.
语言叙述：两个数的平方和加上（或减去）这两个
数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方.
知识讲授
我们把a²+2ab+b²和a²-2ab+b²这样的式子叫做完全平方式.
能用完全平方公式分解因式的多项式的特点
(x2-1)2
[(x+1)(x-1)]2
(x+1)2(x-1)2.
知识讲授
例5 因式分解：
(1)3ax2+6axy+3ay2 ；
(2)( + )－（ + ） + .
解：(1)原式=3a（x2+2xy+y2）
有公因式，先
提公因式
=3a（x+y）2.
(2)原式 = （ + ）－ × （ + ） × +
法公式，我们得到了因式分解的两种方法：提取公因
式法、平方差公式法.现在，大家自然会想，还有哪些
乘法公式可以用来分解因式呢？
完全平方公式
初中数学《完全平方公式》优秀课件北师大版2
a2 2• a •bb2
(1)、解：16x2 24x 9
方法：当一个式子满足完全
(4x)2 2 4x 3 32
平方式的所有特征时，可直 接分解因式。结果为这两平
4x 32
方项底数和或差的平方，是
和是差看中间项的符号
分析：- x2 4xy 4 y2 - x2 2 • x • 2 y 2 y2
• 学习重点：
运用完全平方公式分解因式．
学习难点：综合运用提公因式和公式法分解
因式
复习引入
问题一：大家还记得什么是因式分解吗?
因式分解就是将一个多项式化成几个整式的 积的形式
即： 和
积
问题二：我们已经学习了分解因式的哪
些方法？
1、提公因式法 2、公式法
平方差公式 a2 b2 a ba b
即：两个数的平方差等于 这两个数的和与差的积
方法：若式子有整体满足完全平方 式可直接进行因式分解，需注意中 间项的符号
练习2 将下列多项式分解因式：
1 25a3 ax2 10a2x
2 12x3 12x2 2 y 1- 3x2y -12
答案：
1 a5a x2
a b2 b a2
2 - 3x2 y 1 2x2
或 - 32x 2 y 12
你对因式分解的方法有什么新的发现？请尝试概括 你的发现.
把整式的乘法公式——完全平方公式 倒过来 就得到因式分解的完全平 方公式：
a2 2ab+b2 =（a b）2
首2 2 首 尾 尾2 首 尾2
即两个数的平方和加上（或减去）这两个 数的积的2倍，等于这两个数的和（或差） 的平方
1、在下面括号ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ填空
14.3.2.2 利用完全平方公式因式分解
14.3.2 第2课时 运用完全平方公式因式分解
∵(x－2)2≥0，(y－5)2≥0， ∴x－2＝0，y－5＝0， ∴x＝2，y＝5，
几个非负数的和为 0，则这几个非负 数1)2
＝112＝121.
好好学习，天天向上，加油！
19
方法总结：此类问题一般情况是通过配方将原 式转化为非负数的和的形式，然后利用非负数 性质解答问题．
好好学习，天天向上，加油！
20
例6 已知a，b，c分别是△ABC三边的长，且a2＋2b2＋ c2－2b(a＋c)＝0，请判断△ABC的形状，并说明理由．
解：由a2＋2b2＋c2－2b(a＋c)＝0，得 a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＝0， 即(a－b)2＋(b－c)2＝0，
∴a－b＝0，b－c＝0，∴a＝b＝c， ∴△ABC是等边三角形．
好好学习，天天向上，加油！
13
解： (1)16x2+ 24x +9 = (4x)2 + 2·4x·3 + (3)2 = (4x + 3)2；
(2)-x2+ 4xy-4y2 =-(x2-4xy+4y2) =-(x-2y)2.
好好学习，天天向上，加油！
14
例3 把下列各式分解因式： (1)3ax2+6axy+3ay2 ；(2)(a+b)2-12(a+b)+36.
ab a ab a b² b
b
b
b
同学们拼出图形为：
好好学习，天天向上，加油！
4
b ab b²
a a² ab
a
b
这个大正方形的面积可以怎么求？
（a+b）2
= a2+2ab+b2
将上面的等式倒过来看，能得到：
14.3.2公式法-完全平方公式法 课件人教版数学八年级上册
5.如果x2+mxy+9y2是一个完全平方式，那么m的值为（ B ） A.6 B.±6 C.3 D.±3
6.已知a、b、c是三角形的三边,请你判断a2-b2-c2-2bc的值的正负.
7.说明无论a、b为何值，代数（a+b)²+2(a+b)+5 的值均为正值.
8.若a+b=1,a+c=2,b+c=3,利用因式分解求值： a2+b2+c2+ab+ac+bc.
自 学 检 查
1.下列各式是不是完全平方式？
（1）a2-ab+b2 × （2）a2-4a+4 =a2 -4a +22 √ （3）x2+4xy+4y2=x2+4xy + (2y)2√ （4）x2-6x-9 =x2-6x-32 ×
2.按照完全平方公式填空：
（1）a2-10a+( 25 )=( a-5 )2
(4)原式=(2x +y-3) 2
总结:①因式分解的一般思路: 一提（提公因式法） 二套（套用公式法）
②整体思想，例如：把 2x＋y 看做一个整体。
巩固练习
1.(1)若x2＋2kx＋9是一个完全平方式，则k＝ ___±___3__ (2)若x2＋8x＋k2是一个完全平方式，则k＝ __±___4___．
（ （23））1(a2-y2()+r2s)a+yr+21s2==((
ay+1)2
½ - rs)2
4
自 3.把下列各式因式分解 1 x2 12x 36 2 2xy x2 y2
学 (3) 3ax2﹢6axy﹢3ay2
检 查
【专题课件】北师大版八年级下册第四章《因式分解》4.3 公式法：完全平方公式
解： (1)16x2+ 24x +9 = (4x)2 + 2·4x·3 + (3)2 = (4x + 3)2；
(2)-x2+ 4xy-4y2 =-(x2-4xy+4y2) =-(x-2y)2.
例3 把下列各式分解因式： (1)3ax2+6axy+3ay2 ；(2)(a+b)2-12(a+b)+36.
分析：(1)中有公因式3a,应先提出公因式，再进 一步分解因式； (2)中将a+b看成一个整体，设a+b=m,则原式化为 m2-12m+36.
解: (1)原式=3a（x2+2xy+y2）
=3a（x+y）2； (2)原式=(a+b)2-2·(a+b) ·6+62
=(a+b-6)2.
概念学习
利用公式把某些具有特殊形式（如平方差式， 完全平方式等）的多项式分解因式，这种分解因式 的方法叫做公式法.
A . 11
B. 9 C. -11 D. -9
解析：根据完全平方式的特征，中间项-6x=2x×(-3), 故可知N=(-3)2=9.
变式训练 如果x2-mx+16是一个完全平方式,那么m的值 为___±__8___.
解析：∵16=(±4)2，故-m=2×(±4)，m=±8.
方法总结：本题要熟练掌握完全平方公式的结构特 征， 根据参数所在位置，结合公式，找出参数与已 知项之间的数量关系，从而求出参数的值.计算过程 中，要注意积的2倍的符号，避免漏解．
a2+2ab+b2
a2－2ab+b2
（1）每个多项式有几项？ 三项 （2）每个多项式的第一项和第三项有什么特征？ 这两项都是数或式的平方，并且符号相同 （3）中间项和第一项，第三项有什么关系？ 是第一项和第三项底数的积的±2倍
运用完全平方公式进行因式分解一市公开课获奖课件省名师示范课获奖课件
（6） 16x4-8x2＋1 解： 原式 (4x2 )2 2 (4x2 ) 112 (4x2 1)2
(2x)2 12 2
(2x 1)(2x 1)2
(2x 1)2 (2x 1)2
判断因式分解正误。
(1） -x2-2xy-y2= -(x-y)2
错。应为： -x2-2xy-y2
(x y)2
=(x+2)2+(y-1)2=0得
x+2=0,y-1=0
∴x=-2,y=1
∴x-y=(-2)-1= 1 2
分解因式：
1. x2 8x 16 =-(x+4)2
2. 4x2 x y2 4x x y =(3x+y)2
3. ax2 2a2 x a3 =a(x+a)2
把下列各式因式分解
平方式
各表达 2或（a－b）
是
a表什达么x， b表达1/2
(2x 1 )2 2
9a2b2 3ab 1
否
1 m2 3mn 9n2 4
是
a表达1
2
m
，
(
1
m
3n)
2
b表达3n 2
x6 10x3 25
否
填空：
（1）a2+ 2ab +b2=(a+b)2 （2）a2-2ab+ b2 =(a-b) 2 （3）m2+2m+ 1 =( m+1 ) 2
（4）n2-2n+ 1 =( n-1) 2
（5）x2-x+0.25=( x-0.5 ) 2 （6）4x2+4xy+( y ) 2=( 2x+y ) 2
（2）a2-2ab+ b2 = (a-b) 2
(2x)2 12 2
(2x 1)(2x 1)2
(2x 1)2 (2x 1)2
判断因式分解正误。
(1） -x2-2xy-y2= -(x-y)2
错。应为： -x2-2xy-y2
(x y)2
=(x+2)2+(y-1)2=0得
x+2=0,y-1=0
∴x=-2,y=1
∴x-y=(-2)-1= 1 2
分解因式：
1. x2 8x 16 =-(x+4)2
2. 4x2 x y2 4x x y =(3x+y)2
3. ax2 2a2 x a3 =a(x+a)2
把下列各式因式分解
平方式
各表达 2或（a－b）
是
a表什达么x， b表达1/2
(2x 1 )2 2
9a2b2 3ab 1
否
1 m2 3mn 9n2 4
是
a表达1
2
m
，
(
1
m
3n)
2
b表达3n 2
x6 10x3 25
否
填空：
（1）a2+ 2ab +b2=(a+b)2 （2）a2-2ab+ b2 =(a-b) 2 （3）m2+2m+ 1 =( m+1 ) 2
（4）n2-2n+ 1 =( n-1) 2
（5）x2-x+0.25=( x-0.5 ) 2 （6）4x2+4xy+( y ) 2=( 2x+y ) 2
（2）a2-2ab+ b2 = (a-b) 2
《公式法》因式分解PPT课件(第2课时)
B. + −
C. − +
D. − + +
D
）
课堂检测
基础巩固题
3.如果x2-6x+N是一个完全平方式,那么N是(
A . 11
B. 9
C. -11
)
B
D. -9
4.如果x2-mx+16是一个完全平方式,那么m的值为________.
±8
课堂检测
∴＋＋＝(＋) ＝112＝121.
连接中考
（2020•眉山）已知 + = − − ，则 −
. 4
的值为
解析：由 +
得
+
= − − ，
− + + = ，
即 − + + + + = ，
∵ − = , = ，
∴原式=2.
巩固练习
变式训练
已知－＋－＋＝，求＋＋的值．
解：∵x2－4x＋y2－10y＋29＝0，
∴(－)＋(－)＝.
∵(－) ≥ ，(－) ≥ ，
∴－＝，－＝，∴＝，＝，
是.
巩固练习
变式训练
将前面例题的（2）（3）（4）变为完全平方式？
（2） + ²;
+ ² + ；
（3） + − ；
+ + ；
（4） + + .
+ + .
探究新知
知识点 2
用完全平方公式因式分解
6.3(2)运用完全平方公式因式分解[下学期]
![6.3(2)运用完全平方公式因式分解[下学期]](https://img.taocdn.com/s3/m/6eb0435f3b3567ec102d8afb.png)
1．分解因式： 分解因式：
1) 9a 2 − 6ab + b 2 ) − a 2 − 10a − 25 ( (2 3 ) 49b 2 + a 2 + 14ab ) 4x 3y + 4x 2y 2 + xy 3 ( (4
( 5 ) x 4 − 18x 2 + 81
2 2
2.下面因式分解对吗？为什么？ 2.下面因式分解对吗？为什么？ 下面因式分解对吗
两个数的平方和，加上（或减去）这两个数的 两个数的平方和， 平方和 或减去） 积的两倍，等于这两数和 或者差）的平方． 积的两倍，等于这两数和（或者差）的平方．
a 2 + 2 ab + b 2 = (a + b)2 a
2
− 2ab + b
2
= (a − b )
2
两个数的平方和，加上（或减去） 两个数的平方和，加上（或减去）这两个数 平方和 积的两倍，等于这两数和 或者差）的平方． 的积的两倍，等于这两数和（或者差）的平方．
1．判别下列各式是不是完全平方式． ．判别下列各式是不是完全平方式．
(1) x + y ； 不是
2 2
(2) x + 2 xy + y ； 是
2 2
(3) x − 2 xy + y ； 是
2 2
(4) x + 2 xy − y ； 不是
2 2
(5) − x + 2 xy − y ． 是
2 2
你能总结出完全平方式的特点吗？ 你能总结出完全平方式的特点吗？
± 2 × 首 × 尾+ 首 尾
2
2
a 2 + 2ab + b 2 = (a + b) 2 ; a 2 − 2ab + b 2 = (a − b) 2 判别下列各式是不是完全平方式， 判别下列各式是不是完全平方式，若是说出
14.2.2 完全平方公式课件
你发现了什么？
a
(a+b)2=a2+2ab+b2
a
b
问题1：计算下列多项式的积，你能发现什么规律？ (1) (p+1)2=(p+1)(p+1)= p2+2p+1 . (2) (m+2)2=(m+2)(m+2)= m2+4m+4 . (3) (p–1)2=(p–1)(p–1)= p2–2p+1 . (4) (m–2)2=(m–2)(m–2)= m2–4m+4 .
简记为： “首平方，尾平方，积的2倍放中央”
你能根据下面图形的面积说明完全平方公式吗?
证明 设大正方形ABCD的面积为S.
S1
S2
S3
S4
S= (a+b)2 =S1+S2+S3+S4= a2+b2+2ab .
几何解释
b
a
=
+
+
+
a
b
a2
ab
ab
b2
和的完全平方公式：
(a+b)2= a2+2ab+b2 .
4.由完全平方公式可知：32＋2×3×5＋52＝(3＋5)2＝64， 运用这一方法计算：4.3212＋8.642×0.679＋0.6792＝ ____2_5___．归纳新知源自法则完全平 注 意 方公式
常用 结论
(a±b)2= a2±2ab+b2
1.项数、符号、字母及其指数
2.不能直接应用公式进行计算的式子，可能需要先添 括号变形成符合公式的要求才行 3.弄清完全平方公式和平方差公式不同(从公式结构 特点及结果两方面)
利用完全平方公式因式分解
利用完全平方公式因式分解当我们遇到一个多项式无法因式分解的时候，可以考虑使用完全平方公式来进行因式分解。
完全平方公式是一种通过加减法将一个二次多项式转化为一个平方的方法。
完全平方公式如下：(a+a)^2=a^2+2aa+a^2(a−a)^2=a^2−2aa+a^2我们以一个具体例子来说明这个方法。
假设我们要因式分解a^2+6a+9这个二次多项式。
我们可以将这个多项式写成一个完全平方的形式。
根据完全平方公式，(a+a)^2=a^2+2aa+a^2，我们可以将a^2+6a+9写成(a+3)^2的形式。
因此，a^2+6a+9=(a+3)^2接下来我们来看一个更复杂的例子。
假设我们要因式分解a^2+8a+12这个二次多项式。
我们可以尝试将这个多项式写成两个完全平方的和的形式。
首先，我们需要找到两个数，它们的乘积等于12，而它们的和等于8、通过试错的方法，我们可以得出这两个数是2和6然后，我们可以使用这两个数将a^2+8a+12进行因式分解。
a^2+8a+12=(a+2)(a+6)通过这种方法，我们成功将a^2+8a+12因式分解为两个一次多项式的乘积。
(a+2)(a+6)即为该多项式的因式分解形式。
除了上述的二次多项式，我们还可以使用完全平方公式来因式分解更复杂的多项式。
例如，a^4+10a^2+25这个四次多项式。
我们可以将a^4+10a^2+25写成一个完全平方的形式。
根据完全平方公式，(a+a)^2=a^2+2aa+a^2，我们可以尝试将a^4+10a^2+25写成(a^2+5)^2的形式。
通过这种方法，我们成功将a^4+10a^2+25因式分解为一个完全平方的平方。
(a^2+5)^2即为该多项式的因式分解形式。
总结一下，完全平方公式是一种因式分解多项式的方法。
通过将一个二次多项式转化为一个平方的形式，我们可以更容易地因式分解一个多项式。
通过试错的方法或其他的求解技巧，我们可以找到适合使用完全平方公式的例子来进行因式分解。
2019年春七年级数学下册第4章因式分解4.3第2课时用完全平方公式分解因式课件浙教版
4.3 用乘法公式分解因式
勤反思
小结
完 全 平 方 公 式
特征
运用完全平方公式分解因式
运用完全平方公式简化运算
4.3 用乘法公式分解因式
反思
判断下面分解因式的过程是否正确，若不正确，请改正．
a3b－2a2b＋ab＝ab(a2－2a＋1)．
解：不正确．改正：a3b－2a2b＋ab＝ab(a2－2a＋1)＝ab(a－1)2.
4.3 用乘法公式分解因式
筑方法
类型一 用完全平方公式分解因式
例1 教材例3变式题用完全平方公式进行因式分解：
(1)9m2＋24mn＋16n2；(2)(x2－4x＋4)－4(x－2)＋4.
解： (1)9m2＋24mn＋16n2＝(3m＋4n)2.
(2)(x2－4x＋4)－4(x－2)＋4＝(x－2)2－4(x－2)＋4＝(x－2－2)2＝(x－4)2.
解：(1)x3－2x2＋x＝x(x2－2x＋1)＝x(x－1)2. (2)16a4－8a2＋1＝(4a2)2－2×4a2×1＋12＝(4a2－1)2＝(2a＋1)2(2a－1)2.
4.3 用乘法公式分解因式
【归纳总结】因式分解的一般步骤 (1)观察多项式是否存在公因式； (2)若提取公因式后的式子是两项或三项，则考虑是否符合平 方差公式或完全平方公式的特点； (3)检查每个因式是否分解彻底．
第4章
4.3
分解因式
用乘法公式分解因式
第4章 因式分解
第2课时
用完全平方公式 分解因式
学知识 筑方法
勤反思
4.3 用乘法公式分解因式
学知识
知识2ab＋b2＝(a＋b)2，a2－2ab＋b2＝(a－b)2.
平方和 ，加上(或者减去)这两数的积的2倍，等于这两数 即两数的________
用完全平方公式进行因式分解
我们可以通过以上公式把 “完全平方式”分解因式
我们称之为：运用完全平 方公式分解因式
例题：把下列式子分解因式
4x2+12xy+9y2
2x2 22x3y 3y2 2x 3y2
首2 2首尾 尾2 =(首±尾)2
5、把 1 x2 3xy 9 y分2 解因式得
4
（ B）
A、
1 4
x
3y
2
a2 2abb2 a2 2abb2
我们把以上两个式子叫做完全平 方式
“头” 平方, “尾” 平方, “头” “尾” 两倍中间放.
判别下列各式是不是完全平方式
1x2 2xy y2 是 2A2 2AB B2 是 3甲2 2甲乙 乙2 是 42 2 2 是
a2 2ab b2 a2 2ab b2
完全平方式的特点：
1、必须是三项式 2、有两个平方的“项” 3、有这两平方“项”底数的2倍或-2倍
首2 2首尾尾2
下并列分各解式因是式不是完全平方式
1 a2 b2 2ab 是
22xy x2 y 2 是 3 x2 4xy4 y 2 是 4a2 6abb2 否
5x2 x 1
是
4
6 a2 2ab 4b2 否
运用公式法
把乘法公式反过来用,可以把符合公式 特点的多项式因式分解,这种方法叫公式法.
完全平方公式：a2+2ab+b2=(a+b)2 a2-2ab+b2=(a-b)2
现在我们把这个公式反过来
a2 2abb2 ab2
a2 2abb2 ab2
很显然，我们可以运用以上这
x
3
y
2
6、把
4 9
x2
y2
我们称之为：运用完全平 方公式分解因式
例题：把下列式子分解因式
4x2+12xy+9y2
2x2 22x3y 3y2 2x 3y2
首2 2首尾 尾2 =(首±尾)2
5、把 1 x2 3xy 9 y分2 解因式得
4
（ B）
A、
1 4
x
3y
2
a2 2abb2 a2 2abb2
我们把以上两个式子叫做完全平 方式
“头” 平方, “尾” 平方, “头” “尾” 两倍中间放.
判别下列各式是不是完全平方式
1x2 2xy y2 是 2A2 2AB B2 是 3甲2 2甲乙 乙2 是 42 2 2 是
a2 2ab b2 a2 2ab b2
完全平方式的特点：
1、必须是三项式 2、有两个平方的“项” 3、有这两平方“项”底数的2倍或-2倍
首2 2首尾尾2
下并列分各解式因是式不是完全平方式
1 a2 b2 2ab 是
22xy x2 y 2 是 3 x2 4xy4 y 2 是 4a2 6abb2 否
5x2 x 1
是
4
6 a2 2ab 4b2 否
运用公式法
把乘法公式反过来用,可以把符合公式 特点的多项式因式分解,这种方法叫公式法.
完全平方公式：a2+2ab+b2=(a+b)2 a2-2ab+b2=(a-b)2
现在我们把这个公式反过来
a2 2abb2 ab2
a2 2abb2 ab2
很显然，我们可以运用以上这
x
3
y
2
6、把
4 9
x2
y2
1.3因式分解-完全平方公式 课件(八年级湘教版下册)
2
2
2
(2) (a b) 2m(a b) m (b a)
你当小法官 下列因式分解的过程哪些是正确的，哪 些是错误的？请分别说明理由。
(1)
x 5x 4 ( x 2)
2
2
(2) a 2ab b (a b)
2 2
2
(3) x 2x y xy x( x 2xy y )
2
2
趁热打铁
判断下列各式能否用完全平方公式进行 因式分解:
(5) 4 x 4 xy y
2
2
(6) 6x 12xy 4 y
2
2
2
2
(7) 4x 12xy 9 y
2
(8) ( x y) 2( x y) 1
例题讲解
例1：分解因式：
x 12x 36
解：原式＝x2＋2· x· 6＋ 6 2 ＝（x＋6）2
2
2
(1)
(a b) a 2ab b
2 2
2
(2)
在昨天的课上,我们将(1)反过来,可以 应用它来进行因式分解.
那么对于(2)是否也可以呢?
a 2ab b (a b)
2 2
2
这是不是因式分解?
小组讨论:请同学们仔细观察这个公式 的左边具有什么特点 ? 运用完全平方公因式分解的条件：
2 2
2 2 2 2
2
2
(4) ( x y ) 4x y
4 x ( x 1)
2 2 2
(1) (2a b) 2(2a b) 1
2
(2) (a b) 10(a b) 25
2
2
2
(2) (a b) 2m(a b) m (b a)
你当小法官 下列因式分解的过程哪些是正确的，哪 些是错误的？请分别说明理由。
(1)
x 5x 4 ( x 2)
2
2
(2) a 2ab b (a b)
2 2
2
(3) x 2x y xy x( x 2xy y )
2
2
趁热打铁
判断下列各式能否用完全平方公式进行 因式分解:
(5) 4 x 4 xy y
2
2
(6) 6x 12xy 4 y
2
2
2
2
(7) 4x 12xy 9 y
2
(8) ( x y) 2( x y) 1
例题讲解
例1：分解因式：
x 12x 36
解：原式＝x2＋2· x· 6＋ 6 2 ＝（x＋6）2
2
2
(1)
(a b) a 2ab b
2 2
2
(2)
在昨天的课上,我们将(1)反过来,可以 应用它来进行因式分解.
那么对于(2)是否也可以呢?
a 2ab b (a b)
2 2
2
这是不是因式分解?
小组讨论:请同学们仔细观察这个公式 的左边具有什么特点 ? 运用完全平方公因式分解的条件：
2 2
2 2 2 2
2
2
(4) ( x y ) 4x y
4 x ( x 1)
2 2 2
(1) (2a b) 2(2a b) 1
2
(2) (a b) 10(a b) 25
2
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a2 2abb2 a2 2abb2
完全平方式的特点：
1、必须是三项式
2、有两个平方的“项”
3、有这两平方“项”底数的2倍或-2
倍首2 2首尾尾2
请同学们根据完全平 方式的特点再写出几
个完全平方式
下列各式是不是完全平方式
1 a2 b2 2ab 是
22xy x2 y 2 是 3 x2 4xy4 y 2 是 4a2 6abb2 否 5x2 x 1 是
a2 2abb2 ab2
很显然，我们可以运用以上这 个公式来分解因式了，我们把 它称为“完全平方公式”
a2 2abb2 a2 2abb2
我们把以上两个式子 叫做完全平方式
两个“项”的平方和加 上（或减去）这两“项” 的积的两倍
判别下列各式是不是 完全平方式
1x2 2xy y2 是 2A2 2AB B2 是 3甲2 2甲乙 乙2 是 42 2 2 是
我们前面学习了利用平方差公式来分
解因式即：a2-b2=(a+b)(a-b)
例如：
4a2-9b2= (2a+3b)(2a-3b)
回忆完全平方公式
ab 2 a2 2abb2
ab 2 a2 2abb2
现在我们把这个公式反过来
a2 2abb2 ab2
5、把 1 x2 3xy 9 y分2 解因式得
4
（ B）
A、
1 4
x
3y
2
B、
1 2
x
3y
2
6、把
4 9
x2
y2
4 3
xy（分解因式得）
A
A、
2 3
x
y
2
B、
4 3
x
y
2
7、如果100x2+kxy+y2可以分解为
3、下列各式中，能用完全平方公式
分解的是（ D ）
A、x2+2xy-y2 B、x2-xy+y2
C、1 x2 -2xy+y2 D、 1 x2 -xy+y2
4
4
4、下列各式中，不能用完全平方公
式分解的是（ D ）
A、x4+6x2y2+9y4 B、x2n-2xnyn+y2n
C、x6-4x3y3+4y6 D、x4+x2y2+y4
4
6 a2 2ab 4b2 否
请补上一项，使下列多项
式成为完全平方式
1 x2 __2_x__y__ y2
2 4a2 9b2 ___1_2_a_b_
3 x2 _4__x_y__ 4 y2
4 a2 __a_b____ 1 b2
4
5 x4 2x2 y2 ____y_4_
a2 2abb2 ab2
a2 2abb2 ab2
我们可以通过以上公式把 “完全平方式”分解因式
我们称之为：运用完全平 方公式分解因式
例题：把下列式子分解因式
4x2+12xy+9y2
2x2 22x3y 3y2 2x 3y2
首2 2首尾 尾2 =(首±尾)2
（10x-y)2,那么k的值是（ B ）
A、20 B、-20
C、10 D、-10
8、如果x2+mxy+9y2是一个完全平方式，
那么m的值为（
B）
A、6 B、±6
C、3 D、±3
9、把 a b2 4a b 4 分解因式得
（C ）
A、a b 12 B、a b 12 C、a b 22 D、a b 22
请运用完全平方公式把下
列各式分解因式： 1 x2 4x 4 原式 x 22
2 a2 6a 9 原式 x 32
3 4a2 4a 1 原式 2a 12
4 9m2 6mn n2 原式 3m n2
5 x2 1 x
10、计算1002 210099 992 的
结果是（ A ）
A、 1
B、-1
C、 2
D、-2
思考题:
1、多项式:
(x+y)2-2(x2-y2)+(x-y)2能
用完全平方公式分解吗?
2、在括号内补上一项，使多项 式成为完全平方式：
X4+4x2+(
)
小结：
完全平方式具有：
1、是一个二次三项式 2、有两个“项”平方,而且有这
两“项”的积的两倍或负两倍 3、我们可以利用完全平方公
式来进行因式分解
作业
P69 习题7.2 4、5、6
4
原式
x
1 2
2
6 4a2 12ab 9b2 原式 2a 3b2
请同学们再自己写出
一个完全平方式,然后
分解因式
练习题：
1、下列各式中，能用完全平方公式 分解的是（ D ） A、a2+b2+ab B、a2+2ab-b2 C、a2-ab+2b2 D、-2ab+a2+b2 2、下列各式中，不能用完全平方公 式分解的是（ C 2 C、a2-ab+b2 D、-2ab+a2+b2