数值分析期末试题
数值分析期末考试题

数值分析期末考试题一、选择题1. 在数值分析中,用于求解线性方程组的雅可比方法属于以下哪种迭代法?A. 直接迭代法B. 间接迭代法C. 外推法D. 松弛法2. 插值法中,拉格朗日插值多项式的主要特点是?A. 适用于多项式插值B. 适用于函数值已知的情况C. 只适用于单点插值D. 适用于分段插值3. 在数值积分中,辛普森法则是一种?A. 单区间求积公式B. 双区间求积公式C. 三区间求积公式D. 多区间求积公式4. 误差分析中,截断误差通常与以下哪个概念相关?A. 舍入误差B. 舍入误差的补偿C. 条件数D. 病态条件5. 非线性方程求解中,牛顿法的收敛速度通常?A. 较慢B. 较快C. 与初始值有关D. 与方程的性质有关二、填空题1. 在求解三对角线性方程组时,托马斯算法是一种________方法。
2. 多项式插值中,牛顿插值多项式可以通过________法来构建。
3. 数值积分中,高斯求积法是一种________方法。
4. 误差传递的估计通常通过________公式来进行。
5. 非线性方程的求解中,二分法是一种________方法。
三、简答题1. 请简述数值分析中的条件数概念及其在解方程中的应用。
2. 描述线性方程组迭代法中的收敛性判断方法,并给出收敛域的计算公式。
3. 解释插值和拟合的区别,并举例说明各自的应用场景。
4. 阐述数值积分中梯形法则的原理及其误差估计方法。
5. 讨论非线性方程求解中不动点理论和收敛性的关系。
四、计算题1. 给定线性方程组如下,请使用高斯消元法求解未知数x、y、z的值: \[\begin{cases}2x + y + z = 6 \\x + 3y + 2z = 11 \\3x + y + 4z = 17\end{cases}\]2. 假设有一个函数f(x) = sin(x),给定插值节点如下,请使用拉格朗日插值法构造一个三次插值多项式,并计算在x=π/4处的插值误差。
数值分析期末试题及答案

数值分析期末试题及答案试题一:1. 简答题(共10分)a) 什么是数值分析?它的主要应用领域是什么?b) 请简要解释迭代法和直接法在数值计算中的区别。
2. 填空题(共10分)a) 欧拉方法是一种______型的数值解法。
b) 二分法是一种______法则。
c) 梯形法则是一种______型的数值积分方法。
3. 计算题(共80分)将以下函数进行数值求解:a) 通过使用二分法求解方程 f(x) = x^3 - 4x - 9 = 0 的近似解。
b) 利用欧拉方法求解微分方程 dy/dx = x^2 + 2x + 1, y(0) = 1 在 x = 1 处的解。
c) 使用梯形法则计算积分∫[0, π/4] sin(x) dx 的近似值。
试题二:1. 简答题(共10分)a) 请解释什么是舍入误差,并描述它在数值计算中的影响。
b) 请解释牛顿插值多项式的概念及其应用。
2. 填空题(共10分)a) 数值稳定性通过______号检查。
b) 龙格-库塔法是一种______计算方法。
c) 零点的迭代法在本质上是将方程______转化为______方程。
3. 计算题(共80分)使用牛顿插值多项式进行以下计算:a) 已知插值节点 (-2, 1), (-1, 1), (0, 2), (1, 4),求在 x = 0.5 处的插值多项式值。
b) 已知插值节点 (0, 1), (1, 2), (3, 7),求插值多项式,并计算在 x = 2 处的值。
c) 使用 4 阶龙格-库塔法求解微分方程 dy/dx = x^2 + 1, y(0) = 1。
答案:试题一:1. a) 数值分析是研究使用数值方法解决数学问题的一门学科。
它的主要应用领域包括数值微积分、数值代数、插值和逼近、求解非线性方程、数值积分和数值解微分方程等。
b) 迭代法和直接法是数值计算中常用的两种方法。
迭代法通过反复迭代逼近解,直到满足所需精度为止;而直接法则通过一系列代数运算直接得到解。
数值分析期末试题及答案

数值分析期末试题及答案一、选择题(每题5分,共20分)1. 在数值分析中,下列哪个算法不是用于求解线性方程组的?A. 高斯消元法B. 牛顿法C. 雅可比法D. 追赶法答案:B2. 插值法中,拉格朗日插值法属于:A. 多项式插值B. 样条插值C. 线性插值D. 非线性插值答案:A3. 以下哪个选项不是数值分析中的误差来源?A. 截断误差B. 舍入误差C. 计算误差D. 测量误差答案:C4. 在数值积分中,梯形法则的误差项是:A. O(h^2)B. O(h^3)C. O(h)D. O(1)答案:A二、填空题(每题5分,共20分)1. 牛顿插值法中,插值多项式的一般形式为:______。
答案:f(x) = a_0 + a_1(x-x_0) + a_2(x-x_0)(x-x_1) + ...2. 牛顿迭代法求解方程的根时,迭代公式为:x_{n+1} = x_n -f(x_n) / __________。
答案:f'(x_n)3. 在数值分析中,______ 用于衡量函数在区间上的近似积分值与真实积分值之间的差异。
答案:误差4. 线性方程组的解法中,______ 法是利用矩阵的LU分解来求解。
答案:克兰特三、解答题(每题10分,共60分)1. 给定函数f(x) = e^(-x),使用拉格朗日插值法,求x = 0.5时的插值值。
解答:首先选取插值节点x_0 = 0, x_1 = 0.5, x_2 = 1,对应的函数值分别为f(0) = 1, f(0.5) = e^(-0.5), f(1) = e^(-1)。
拉格朗日插值多项式为:L(x) = f(0) * (x-0.5)(x-1) / (0-0.5)(0-1) + f(0.5) * (x-0)(x-1) / (0.5-0)(0.5-1) + f(1) * (x-0)(x-0.5) / (1-0)(1-0.5)将x = 0.5代入得:L(0.5) = 1 * (0.5-0.5)(0.5-1) / (0-0.5)(0-1) + e^(-0.5) * (0.5-0)(0.5-1) / (0.5-0)(0.5-1) + e^(-1) * (0.5-0)(0.5-0.5) / (1-0)(1-0.5)计算得L(0.5) = e^(-0.5)。
数值分析期末实验试题及答案

A =
1 0 0 2
0 1 0 4
0 0 1 3
Jacobi输出结果:
N x1 x2 x3 err
2, 1.656250, 3.875000, 3.175000, 1.250000
3, 1.925000, 3.850000, 2.887500, 0.287500
4, 1.990625, 3.948437, 3.000000, 0.112500
Gauss-Seidel迭代法:
N x1 x2 x3 err
2, 1.875000, 3.937500, 2.962500, 0.437500
3, 1.993750, 3.992188, 2.999063, 0.118750
4, 1.998281, 3.999023, 2.999508, 0.006836
SOR迭代法
N x1 x2 x3 err
2, 1.721568, 3.608925, 2.679907, 0.233925
3, 1.824455, 3.629131, 2.727301, 0.102888
4, 1.812174, 3.627893, 2.720033, 0.012281
5, 1.814371, 3.628155, 2.721265, 0.002197
end
function[y,n]=sor(A,b,x0,ep,w)
D=diag(diag(A));
L=-tril(A,-1);
U=-triu(A,1);
B=(D-w*L)\((1-w)*D+w*U);
f=w*(D-w*L)\b;
y=B*x0+f;
n=1;
whileabs(norm(y-x0,inf))>=ep
数值分析试卷及答案

数值分析试卷及答案数值分析试卷一、选择题(共10题,每题2分,共计20分)1. 数值分析的研究内容主要包括以下哪几个方面?A. 数值计算方法B. 数值误差C. 数值软件D. 数学分析答:A、B、C2. 下列哪种方法不属于数值积分的基本方法?A. 插值法B. 微积分基本公式C. 数值微积分D. 数值积分公式答:A3. 数值积分的目的是求解什么?A. 函数的导数B. 函数的原函数C. 函数的极值D. 函数的积分答:D4. 数值微分的目的是求解什么?A. 函数的导数B. 函数的原函数C. 函数的极值D. 函数的积分答:A5. 数值微分的基本方法有哪几种?A. 前向差分B. 后向差分C. 中心差分D. 插值法答:A、B、C6. 用数值方法求解方程的基本方法有哪几种?A. 迭代法B. 曲线拟合法C. 插值法D. 数值积分法答:A、B、C7. 用迭代法求方程的根时,当迭代结果满足何条件时可停止迭代?A. 当迭代结果开始发散B. 当迭代结果接近真实解C. 当迭代次数超过一定阈值D. 当迭代结果在一定范围内波动答:B8. 下列哪种插值方法能够确保经过所有给定数据点?A. 拉格朗日插值B. 牛顿插值C. 三次样条插值D. 二次插值答:A、B、C9. 数值解线性方程组的基本方法有哪几种?A. 直接法B. 迭代法C. 插值法D. 拟合法答:A、B10. 下列哪种方程求解方法适用于非线性方程?A. 直接法B. 迭代法C. 插值法D. 曲线拟合法答:B二、填空题(共5题,每题4分,共计20分)1. 数值积分的基本公式是_________。
答:牛顿-科特斯公式2. 数值微分的基本公式是_________。
答:中心差分公式3. 数值积分的误差分为_________误差和_________误差。
答:截断、舍入4. 用插值法求解函数值时,通常采用_________插值。
答:拉格朗日5. 数值解线性方程组的常用迭代法有_________方法和_________方法。
数值分析期末复习题答案
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数值分析期末复习题答案一、选择题1. 以下哪个算法是用于求解线性方程组的直接方法?A. 牛顿法B. 高斯消元法C. 共轭梯度法D. 辛普森积分法答案:B2. 插值法中,拉格朗日插值法和牛顿插值法的主要区别是什么?A. 插值点的选取不同B. 插值多项式的构造方式不同C. 计算复杂度不同D. 适用的函数类型不同答案:B3. 在数值积分中,梯形法则和辛普森法则的主要区别是什么?A. 精度不同B. 适用的积分区间不同C. 计算方法不同D. 稳定性不同答案:A二、简答题1. 解释什么是数值稳定性,并举例说明。
答案:数值稳定性指的是数值方法在计算过程中对于舍入误差的敏感程度。
例如,在求解线性方程组时,如果系数矩阵的条件数很大,则该方程组的数值解对舍入误差非常敏感,即数值稳定性差。
2. 说明数值微分与数值积分的区别。
答案:数值微分是估计函数在某一点的导数,而数值积分是估计函数在某个区间上的积分。
数值微分通常用于求解函数的局部变化率,而数值积分用于求解函数在一定区间内的累积效果。
三、计算题1. 给定一组数据点:(1, 2), (2, 3), (3, 5), (4, 6),请使用拉格朗日插值法构造一个三次插值多项式。
答案:首先写出拉格朗日插值基函数,然后根据数据点构造插值多项式。
具体计算过程略。
2. 给定函数 f(x) = x^2,使用牛顿-科特斯公式中的辛普森积分法在区间 [0, 1] 上估计积分值。
答案:首先确定区间划分,然后应用辛普森积分公式进行计算。
具体计算过程略。
四、论述题1. 论述数值分析中误差的来源及其控制方法。
答案:误差主要来源于舍入误差和截断误差。
舍入误差是由于计算机在进行浮点数运算时的精度限制造成的,而截断误差是由于数值方法的近似性质导致的。
控制误差的方法包括使用高精度的数据类型、选择合适的数值方法、增加计算步骤等。
五、综合应用题1. 给定一个线性方程组 Ax = b,其中 A 是一个 3x3 的矩阵,b 是一个列向量。
《数值分析》期末复习题(1)
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《数值分析》期末复习题一、单项选择题1. 数值x *的近似值x =0.32502×10-1,若x 有5位有效数字,则≤-*x x ( ).(A)21×10-3 (B) 21×10-4 (C) 21×10-5 (D) 21×10-6 2. 设矩阵A =10212104135⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦,那么以A 为系数矩阵的线性方程组A X =b 的雅可比迭代矩阵为( )(A)00.20.10.200.40.20.60--⎡⎤⎢⎥--⎢⎥--⎣⎦(B)10.20.10.210.40.20.61⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦(C) 00.20.10.200.40.20.60⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦ (D)021204130⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦3. 已知(1)1,(2)4,(3)9f f f ===,用拉格朗日2次插值,则(2.5)f =( )(A) 6.15 (B) 6.25 (C) 6.20 (D) 6.10 4. 抛物形求积公式的代数精度是( )A. 1,B. 2 ,C. 3,D. 45. 改进欧拉格式的 局部截断误差是( ). (),A O h 2. (),B O h 3. (),C O h 4. ().D O h二、填空题1、以722作为π的近似值,它有( )位有效数字; 2、经过)1,2( ),2,1( ),1,0(C B A 三个节点的插值多项式为( ); 3、用高斯-赛德尔迭代法解方程组⎩⎨⎧-=+-=+,10,232121x bx bx x 其中b 为实数,则方法收敛的充分条件是b 满足条件( );4、取步长为1.0=h ,用欧拉法计算初值问题22',(0)0,y x y y ⎧=+⎨=⎩的解函数)(x y ,它在3.0=x 的近似值为( );5、已知方程0sin 1=--x x 在)1,0(有一个根,使用二分法求误差不大于41021-⨯的近似解至少需要经过( )次迭代。
数值分析期末考试题及答案

数值分析期末考试题及答案一、选择题(每题2分,共20分)1. 在数值分析中,下列哪个算法用于求解线性方程组?A. 牛顿法B. 高斯消元法C. 插值法D. 傅里叶变换答案:B2. 以下哪个选项不是数值分析中的误差类型?A. 舍入误差B. 截断误差C. 测量误差D. 累积误差答案:C3. 多项式插值中,拉格朗日插值法的特点是:A. 插值点必须等距分布B. 插值多项式的次数与插值点的个数相同C. 插值多项式是唯一的D. 插值多项式在插值点处的值都为1答案:B4. 在数值分析中,下列哪个方法用于求解非线性方程?A. 辛普森法则B. 牛顿迭代法C. 欧拉法D. 龙格-库塔法答案:B5. 以下哪个是数值稳定性的指标?A. 收敛性B. 收敛速度C. 条件数D. 误差传播答案:C二、简答题(每题10分,共20分)1. 简述高斯消元法求解线性方程组的基本原理。
答案:高斯消元法是一种直接解法,通过行变换将增广矩阵转换为上三角形式,然后通过回代求解线性方程组。
它包括三个基本操作:行交换、行乘以非零常数、行相加。
2. 解释什么是数值稳定性,并举例说明。
答案:数值稳定性是指数值解对输入数据小的扰动不敏感的性质。
例如,某些数值方法在计算过程中可能会放大舍入误差,导致结果不可靠,这样的方法就被认为是数值不稳定的。
三、计算题(每题15分,共30分)1. 给定线性方程组:\[\begin{align*}x + 2y - z &= 4 \\3x - y + 2z &= 1 \\-x + y + z &= 2\end{align*}\]使用高斯消元法求解该方程组,并给出解。
答案:首先将增广矩阵转换为上三角形式,然后回代求解,得到\( x = 1, y = 2, z = 1 \)。
2. 给定函数 \( f(x) = x^2 - 3x + 2 \),使用拉格朗日插值法在\( x = 0, 1, 2 \) 处插值,并求出插值多项式。
数值分析期末考卷
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数值分析期末考卷一、选择题(每题4分,共40分)A. 插值法B. 拟合法C. 微分法D. 积分法A. 高斯消元法B. 高斯赛德尔迭代法C. 共轭梯度法D.SOR方法3. 下列哪个算法不是求解非线性方程的方法?A. 二分法B. 牛顿法C. 割线法D. 高斯消元法A. 梯形法B. 辛普森法C. 高斯积分法D. 复化求积法A. 欧拉法B. 龙格库塔法C.亚当斯法D. 高斯消元法A. 幂法B. 反幂法C. 逆迭代法D. QR算法A. 梯度下降法B. 牛顿法C. 共轭梯度法D. 高斯消元法A. 拉格朗日插值法B. 牛顿插值法C. 埃尔米特插值法D. 分段插值法A. 前向差分法B. 后向差分法C. 中心差分法D. 拉格朗日插值法A. 牛顿法B. 割线法C. 雅可比迭代法D. 高斯消元法二、填空题(每题4分,共40分)1. 数值分析的主要任务包括数值逼近、数值微积分、数值线性代数和______。
2. 在求解线性方程组时,迭代法的收敛速度与______密切相关。
3. 牛顿法的迭代公式为:x_{k+1} = x_k f(x_k)/______。
4. 在数值积分中,复化梯形公式的误差为______。
5. 求解常微分方程初值问题,龙格库塔法的阶数取决于______。
6. 矩阵特征值的雅可比方法是一种______方法。
7. 梯度下降法在求解无约束优化问题时,每次迭代的方向为______。
8. 拉格朗日插值多项式的基函数为______。
9. 数值微分中的中心差分公式具有______阶精度。
10. 在求解非线性方程组时,牛顿法的迭代公式为:x_{k+1} =x_k J(x_k)^{1}______。
三、计算题(每题10分,共60分)1. 给定数据点(1,2),(2,3),(3,5),(4,7),求经过这四个数据点的拉格朗日插值多项式。
2. 用牛顿迭代法求解方程x^3 2x 5 = 0,初始近似值为x0 = 2,计算前三次迭代结果。
数值分析试题及答案
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数值分析试题一、 填空题(2 0×2′)1.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=32,1223X A 设x =0.231是精确值x *=0.229的近似值,则x 有 2 位有效数字。
2. 若f (x )=x 7-x 3+1,则f [20,21,22,23,24,25,26,27]= 1 ,f [20,21,22,23,24,25,26,27,28]= 0 。
3. 设,‖A ‖∞=___5 ____,‖X ‖∞=__ 3_____,‖AX ‖∞≤_15_ __。
4. 非线性方程f (x )=0的迭代函数x =?(x )在有解区间满足 |?’(x )| <1 ,则使用该迭代函数的迭代解法一定是局部收敛的。
5. 区间[a ,b ]上的三次样条插值函数S (x )在[a ,b ]上具有直到 2 阶的连续导数。
6. 当插值节点为等距分布时,若所求节点靠近首节点,应该选用等距节点下牛顿差商公式的 前插公式 ,若所求节点靠近尾节点,应该选用等距节点下牛顿差商公式的 后插公式 ;如果要估计结果的舍入误差,应该选用插值公式中的 拉格朗日插值公式 。
7. 拉格朗日插值公式中f (x i )的系数a i (x )的特点是:=∑=ni i x a 0)( 1 ;所以当系数a i (x )满足 a i (x )>1 ,计算时不会放大f (x i )的误差。
8. 要使20的近似值的相对误差小于0.1%,至少要取 4 位有效数字。
9. 对任意初始向量X (0)及任意向量g ,线性方程组的迭代公式x (k +1)=Bx (k )+g (k =0,1,…)收敛于方程组的精确解x *的充分必要条件是 ?(B)<1 。
10. 由下列数据所确定的插值多项式的次数最高是 5 。
11.牛顿下山法的下山条件为|f(xn+1)|<|f(xn)| 。
12.线性方程组的松弛迭代法是通过逐渐减少残差r i (i=0,1,…,n)来实现的,其中的残差r i=(b i-a i1x1-a i2x2-…-a in x n)/a ii,(i=0,1,…,n)。
数值分析期末考试题之经典例题

题型一:有效数字1,确定113的首位数字x 1,要使113的近似值x *的相对误差不超过0.5×10-5,至少要保留几位有效数字.(2010-2011)1*1151211||10100.5102226n n r x n e x n ---=≤⨯=⨯≤⨯⨯≥=解答:设至少要保留位有效数字,则有解得, n 5.7取位有效数字.2,要使112的相对误差不超过0.5×10-4,至少要保留几位有效数字?(2009-2010) 3,已知21.787654为有效数,确定其绝对误差界与相对误差界.(2007-2008)*6*118711||102111||1010102224n r e e x ----=⨯=⨯=⨯=⨯⨯解答:4,已知30.49876为有效数,确定其绝对误差界.(2006-2007B)5,设有效数x=12.4567,确定x 的绝对误差界.(2004-2005)题型二:插值多项式1,已知f(x)的函数值:f(0)=-2, f(1)=1, f(2)=5, 用反插值法求f(x)=0在[0,2]内的近似根x *.(2010-2011)11111202012012010210122021()()()()()()()()()()()()()()()()()(2)(5)(2)(1)012(12)(15)(52)(51)2991422884y y y y y y y y y y y y y L y f y f y f y y y y y y y y y y y y y y y y y y ----------=⋅+⋅+⋅------+-+-=+⨯+⨯+-+-=+-解答:对y=f(x)的反函数x=f 进行二次插值2*229(0)42y x L ≈=故,2,已知f(x)的如下函数值及导数值:f(-1)=1, f(0)=2, f ’(0)=3, f(1)=7; (1),建立不超过3次的埃尔米特插值多项式H 3(x);(2),x ∈[-1,1], 确定用H 3(x)代替f(x)的误差界(已知|f (4)(x)|≤M 4,x ∈[-1,1]).(2010-2011)32001001201232233)),(0,1,2)()()[,]()[,,]()()1(1)2(1)(0)232()()(1)(0)(1)232()'(i i H x f x i N x f x f x x x x f x x x x x x x x x x x x H x N x k x x x x x k x x H ===+-+--=++++-=++=++--=+++-解答:(1),满足插值条件((的二次插值多项式为:也可用拉格朗日插值法满足题设插值条件的插值多项式为:2323(4)23443)43(31)'(0)'(0)3()232()(2),(1)(0)(1),(1,1)4!1||=4!496x x k x H f H x x x f R x x x M M R ζζ=++-===+++--∈-≤⨯由得:k=0故:误差(x)=则误差界(x)3,已知f(x)的函数值:f(0)=2, f(1)=4, f(2)=9, 写出二次拉格朗日插值多项式及余项.(2009-2010) 4,已知f(x)的如下函数值及导数值:f(1)=1, f(2)=2, f ’(1)=3, f(3)=9; (1),建立不超过3次的埃尔米特插值多项式;(2)计算f(1.6)的近似值;若M 4=0.5,估计f(1.6)的误差界.(已知|f (4)(x)|≤M 4).(2009-2010)5,写出满足条件H(0)=1, H(1)=0, H ’(1)=1, H(2)=1的三次插值多项式,并给出误差估计式.(2008-2009B)6,已知一组数据,求函数f(x)=0的根.(2008-2009B)x i -1 0 2 3 f(x i )-7-1177,已知f(x)的如下函数值及导数值:f(0)=1, f(1)=3, f ’(1)=1, f(2)=9, (1),建立不超过3次的埃尔米特插值多项式,写出误差估计式;(2),计算f(1.8)的近似值:若M 4=1,估计f(1.8)的误差界.(已知|f (4)(x)|≤M 4).(2007-2008) 8,已知f(x)的如下函数值及导数值:f(1)=2, f(2)=4, f ’(2)=5, f(3)=8, (1),建立不超过3次的埃尔米特插值多项式;(2),计算f(2.5)的近似值:若M 4=0.5,估计f(2.5)的误差界.(已知|f (4)(x)|≤M 4).(2006-2007) 9,已知f(x)的如下函数值表x i 0.1 0.2 0.3 0.4 f(x i )1.122.652.811.68选取合适的插值节点,用二次插值多项式计算f(0.35)的近似值.(2005-2006) 10,已知f(x)=sinx 的如下函数值表x i 1.0 1.5 2.0 sinx i0.84150.99750.9093用插值多项式计算sin1.8, 并估计误差界.(2004-2005)11,用f(x)的关于互异节点集112{}{}n ni i i i x x -==和的插值多项式g(x)和h(x)构造出关于节点集1{}ni i x =的插值多项式.(2005-2006)(课后习题)-11111121111{}(),()(){}(),()()()()))()())]()n n i i i i n n n n n n n n n n n n n n q x q x g x x x x x x x x x g A x x g x ==------=----=-解答:法一:设关于节点集x 的插值多项式为则与有共同插值节点x ,则设:q(x)=g(x)+Aw w f(x (x )由q(x )=f(x 得,w w 故:q(x)=g(x)+[f(x (x )w 法二:设q(x)=g(x)+1-122311111()()(){}()()()()(),01()=()[()()]()[()()]()()()()()()[()()]=-n n i i n n n n n n n n n n x g x h x B g x h x B x x x x x x B x x x g x h x BAx x g x h x Bq x f x h x Ah x g x x x g x h x BA B -=---=---≠----===+--Aw 由于和有共同插值节点x ,则存在常数,使得则,w 故:q(x)=g(x)+由得得1111()[()()]()n n x x x x h x g x x x ----则:q(x)=g(x)+12,(1),已知f(x)的如下函数值:f(0)=1,f(1)=3,f(3)=5,写出二次拉格朗日插值多项式L 2(x); (2),若同时已知:f ’(1)=1,用待定系数法求埃尔米特插值多项式H 3(x); (3),当(3)(4)1|()|2|()|4,[0,3]fx fx x ≤≤≤≤∈及3时,x 不取节点,[0,3]x ∈,求32()()||()()f x H x f x L x --的上界.(2011-2012)题型三:最佳平方逼近多项式及最小二乘法1,已知函数值表:x -2 -1 0 1 2 y121用二次多项式y=C 0+C 1X+C 2X 2按最小二乘法拟合改组数据,并求平方逼近误差.(2010-2011)(2005-2006)()000102030410111213142021222324012()()()()()11111()()()()()21012()()()()()4101401210,5010010010034T T T T x x x x x A x x x x x x x x x x y A AC A y c c c ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪==-- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==⎛⎫⎛ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝解答:法一:线性拟合的法方程组为:即()()01222*20000100011402583,0,3575833570581358||||=(y,y)-Y 01210402023531701(,)0,(,)(T c c y x C x xx δϕϕϕαϕαϕϕϕα⎫⎛⎫⎪ ⎪=⎪ ⎪⎪ ⎪⎭⎝⎭===-=-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=-=⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭====解得:c 则平方逼近误差:法二:构造首项系数为的正交多项式:(x)=1(x)=x-111211021100002*22022220,)0(,)(,)2,()()2(,)(,)46583()()0(2)(,)514357(,)8||||=(y,y)-(,)35i i i i i i i i i x x y x x x x y ϕϕϕϕϕβααϕβϕϕϕϕϕϕϕϕϕδϕϕ======----==++-=-=∑∑(x)(x)=x 则,平方逼近误差:2,求21()1f x x=+在区间[0,1]上的一次最佳平方逼近多项式及平方逼近误差(去权函数ρ(x)=x).(2009-2010) 3,通过实验获得以下数据:x i 0 1 2 3 y i13610请用最小二乘法求形如y=a+bx 2的经验公式.(2008-2009)T T A AC A y =解析:4,利用正交多项式的性质构造首项系数为1的正交多项式1{()}i i g x ∞=,有下列公式:010111()1()()()()(),(1,2,...)k k k k k g x g x x g x x g x g x k ααβ+--==-=--=其中:111(,),(0,1,2...)(,)(,),(1,2...)(,)k k k k k k k k k k xg g k g g g g k g g αβ---====(1),求[0,1]上首项系数为1的正交多项式(权函数ρ(x)=1),g 0(x),g 1(x),g 2(x)(2),以上述正交多项式为基,求sinx 在区间[0,1]上的二次最佳平方逼近多项式,并求平方逼近误差.(2008-2009B)(2004-2005)010000110001201111211021102110000*010001(1),()1(,)11,()(,)221()(,)121(,)2()2(,)11,()()()()(,)126(,)(,)(2),()(,)(g x xdx xg g g x x x g g dx x x dx xg g g g x dx g g g x x g x g x x x g g g f g f x g g g g αααβαβϕ=====-=--===-===--=-+=+⎰⎰⎰⎰解答:21212211120020111222000222*220(,),)(,)11()sin ()sin sin 11621()()1126()()260.00746 1.09130.23546(,)||||(,)0.000623.(,)i i i i g f g g g g g x x xdx x xdx xdx x x x dx x dx x x dx x x f g f f f g g ϕ=+-+-=⋅+⋅-+⋅-+--+=-+--=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑平方逼近误差:5,以正交多项式为基,求函数21()1f x x=+在区间[0,1]上的二次最佳平方逼近多项式,并求平方逼近误差.(2007-2008)(权函数ρ(x)=x,(2011-2012))20120122201201()1,(),(),111()2,()1,()2242211112234211113454111112224561.0656,0.503x x x x x f In f f In C F In c c c In ϕϕϕπϕϕϕπ=====-=-=⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⋅=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==-解答:法一:取解得,,,正规方程组为:H 即:解得:c c 2*222*00001000111110110002,0.07423() 1.06560.503020.07423=(f,f)-F 0.000029041()11(,)223,()1(,)332(,)8(,)1,(,)15(,)T n p x x x C g x xg g g x x x g g xg g g g g g g g δαααβ=-=--======-=-====c 故二次最佳平方逼近多项式:平方逼近误差:法二:构造首项系数为的正交多项式:221100*201220120011222*1882163()()()()()()15318510(,)(,)(,)()()()() 1.06560.503020.07423(,)(,)(,)=(f,f)-F 0.00002904T n g x x g x g x x x x x f g f g f g p x g x g x g x x x g g g g g g C αβδ=--=---=-+=++=--=则:平方逼近误差:6,通过实验获得以下数据:u i 0 1 9 16 v i11/21/31/4请用最小二乘法求形如011v c c u=+的经验公式,并求平方误差.(2006-2007)011:c c u v=+解答转化题型四:代数精确度1,确定参数α,使求积公式20()[(0)()]['(0)'()]2hhf x dx f f h h f f h α≈++-⎰的代数精确度尽可能高,并求其代数精确度.(2010-2011)23322442320()1,,()1(),=121()()(0)(03)2121()()0+)(04)212()[(0)()]['(0)'()]2h h h f x x f x f x x h f x x f x dx h h h h f x x f x dx h h h hf x dx f f h h f f h αα====++-=≠+-≈++-⎰⎰⎰解答:令显然成立令得又时:时:(故具有三次代数精确度.2,确定参数A 1,A 2,使求积公式12()()(0)()3hhhf x dx A f h A f f h -≈-++⎰的代数精确度尽可能高,并求其代数精确度.(2009-2010) 3,建立高斯型求积公式1211221()()()x f x dx A f x A f x -≈+⎰.(2009-2010)231212113112211224112211335112211212000010001,23025031,53()1(,)0,()(,)x A A x dx A x A x x dx A x A x x dx A x A x x dx x A A g x xg g g x x xg g ααα----+==+==+==+===-=-======-=⎰⎰⎰⎰解答:法一:已知求积公式有3次代数精确度,令f(x)=1,x,x 得解上述方程组得:x 法二:构造二次正交多项式11110110022110021211222112111221121(,)(,)30,(,)(,)53()()()()53()0,511,33133()[()()]355xg g g g g g g g g x x g x g x x g x x x x x x A x dx A x dx x x x x x f x dx f f βαβρ---=====--=-==-=---=⋅==⋅=--≈-+⎰⎰⎰令得高斯点: x 故高斯型求积公式为:方法三:设[-1,1]上权(x)2221221122122121122221122331122212121().223()0,+0,5352()0,0,053().52:3250()()(),(g x x ax b b x g x dx b a x xg x dx a g x x A A A x A x A x A x A x A x x x x x x x c x c x ϕϕ--=++===-⋅====-+=+=+=+==--=++⎰⎰=x ,首项系数为1的二次正交多项式为则有:即即所以剩下步骤同法二.法四显然222221122111122212211221112221222332211122211221112221122112)()0()()()()()()()2230,535()()()()()20,053(),5x A x A x A x c x c A x c x c A x A x c A x A x c A A c c A x x A x x A x A x c A x A x c A x A x c c x x ϕϕϕϕϕϕ==+=+++++=+++++=+==-+=+++++====-剩下步骤同法二.4,确定求积公式()()(0)()hhf x dx Af h Bf Cf h -≈-++⎰中的参数A,B,C ,使其代数精度尽量高,并指出其代数精确度.(2008-2009B) 5,确定求积公式1211123()()()()343234f x dx f f f ≈-+⎰的代数精确度.(2006-2007B) 6,确定下列求积公式中的参数,使求积公式的代数精确度尽可能高,并求出代数精确度10120113()()()()424f x dx A f A f A f ≈++⎰.(2005-2006)7,确定下列求积公式中的参数,使求积公式的代数精确度尽可能高,并求出代数精确度101()()(0)()hhf x dx A f h A f A f h --≈-++⎰.(2004-2005)8,已知h>0,建立高斯型求积公式:21122()()()hhx f x dx A f x A f x -≈+⎰.(2011-2012)题型五:求积公式的最少节点数1,设定积分32x e dx -⎰,问用复化辛普森(Simpson)求积公式进行计算,要求误差小于10-6,所需要的最少节点数为多少?(2010-2011)(4)2244(4)461(),()16301[]||()|101801801696017.0519.x xS f x e fx eb a h f h f h b ahη---==--=-≤⋅=<-=解答:复化辛普森公式截断误差:|R 解得:h<0.176,n>故应取个节点2,设定积分13x edx -⎰,问用复化梯形求积公式进行计算,要求误差小于10-6,所需要的最少节点数为多少?(2009-2010)(2)3322(2)261(),()9101[]||()|10121891622.8.x x T f x e f x e b a h f h f h b ahη---==--=-≤⋅=<-=解答:复化梯形公式截断误差:|R 解得:h<0.357,n>故应取4个节点3,给定积分2cos2xdx ⎰,问用复化梯形求积公式和复化辛普森(Simpson)求积公式进行计算,要求误差小于10-6,所需要的最少节点数各为多少?(注:2(2)4(4)[](),[](),[,]122880T S b a b a R f h f R f h f a b ηηη--=-=-∈)(2008-2009B) 4,给定积分14x edx -⎰,问用复化梯形求积公式和复化辛普森(Simpson)求积公式进行计算,要求误差小于10-6,所需要的最少节点数各为多少?(2007-2008) 5,给定积分21Inxdx ⎰,问用复化梯形求积公式和复化辛普森(Simpson)求积公式进行计算,要求误差小于10-6,所需要的最少节点数各为多少? (已知:2(2)4(4)1212[](),[](),,(,)12180T S b a b a R f h f R f h f a b ηηηη--=-=-∈)(2006-2007) 6,用积分82122dx In x=⎰计算In2,要使所得近似值具有7位有效数字,问用复化辛普森求积公式至少需要取多少个节点?(2005-2006)4(4)8(4)52(4)-744(4)4-7[](),[2,8]18011122,(),()223|()|,[2,8]817[]102631[]||()|101801808802820.04472,S S S b a R f h f In dx f x f x x x xf x x R f b a h R f h f h h n hηηη-=-∈===≤∈≤⨯-=-≤⋅=≤⨯-≤≥=⎰解答:复化辛普森公式截断误差公式:则使所得的近似值具有位有效数字,即令:|134.2137故至少需要取个节点.7,用积分6213dx In x=⎰计算In3,要使所得近似值具有5位有效数字,问用复化梯形求积公式至少需要取多少个节点?(2004-2005) 8,对于定积分1()If x dx =⎰,当M 2=1/8,M 4=1/32,用11点的复化辛普森(Simpson)求积公式求I 的截断误差为R s [f],用n 个节点的复化梯形求积公式求I 的截断误差为R T [f],要使R T [f]≤R s [f],n 至少是多少?(M 2=max|f ”(x)|,M 4=max|f (4)(x)|,[0,1]x ∈).(2011-2012)题型六:Doolittle 分解及方程组求解1,求矩阵212454635⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭的Doolittle 分解.(2010-2011) 212100212454210030635321001LU ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪== ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭解答:A=2,求矩阵114103241⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭的Doolittle 分解.(2009-2010) 3,设线性方程组123410135114152410162116x x x x ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪⋅= ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭ (1),对方程组的系数矩阵A 作Doolittle 分解;(2),用所得的Doolittle 分解求该线性方程组的解.(2007-2008&2005-2006)1234123410001013101311000132114124100013224101119162116210001313191,,,)(5,0,11,)13,,,)(1,1,1,1).T TT T A LU LY b y y y UX Y x x x --⎛⎫⎛⎫--⎛⎫ ⎪⎪- ⎪ ⎪⎪-⎪=== ⎪⎪--- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭==---==--解答:由得:(y 由得:(x4,设线性方程组123411415101312410762118x x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪⎪ ⎪⋅=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭ (1),对方程组的系数矩阵A 作Doolittle 分解;(2),用所得的Doolittle 分解求该线性方程组的解.(2006-2007)5,设线性方程组:12312312323153478113x x x x x x x x x ++=+-=-++=-(1),对方程组的系数矩阵A 作Doolittle 分解;(2),利用上述分解结果求解该线性方程组.(2004-2005)6,用高斯顺序消去法求解线性方程组:13241234242532431737x x x x x x x x x x +=+=+++=+=.(2010-2011)432110205102051020*******101301013=124317022312002160103701037000242,2,1, 1.x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪→→⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭====解答:增广矩阵回代求解:x 7,用高斯顺序消去法求解线性方程组:1231231233472212320x x x x x x x x x -+=-+-=---=.(2009-2010)题型七:条件数及范数1,求线性方程组1212391078981510x x x x x --=+==的系数矩阵A 的条件数cond 1(A),并说明其含义.(2010-2011)1111191008900015910089010015()||||||||19193611A A cond A A A A b ----⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪-- ⎪= ⎪⎪⎪⎝⎭==⨯=解答:系数矩阵条件数远大于,这说明当和有小扰动时会引起解的较大误差,即该方程组是病态的.2,设矩阵15000910089A ⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪⎝⎭,求cond ∞(A).(2009-2010) 3,设三阶对称矩阵A 的特征值分别为:-2,1,3,求||A||2及cond 2(A).(2007-2008)222max max max 111-122-12max max max 1222||||()()()3||||(())()=()=1()|||||||| 3.T T A A A A A A A A A A cond A A A λλλλλλ----========解答:()则:4,若n 元线性方程组Ax=b 为病态的,可以得到关于系数矩阵A 的什么性质.(2006-2007)5,若111123124A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,求cond 1(A).(2005-2006)求cond ∞(A).(2004-2005) 6,设1231032475A -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭,求1||||||||A A ∞与.(2007-2008)7,若1234A ⎛⎫= ⎪⎝⎭,求谱半径()A ρ.(2005-2006)5332ρ+解答:最大特征值:(A)=题型八:雅可比迭代与高斯-赛德尔迭代1,写出求解方程组1231231237321241021534818x x x x x x x x x -+=--=--=的雅可比迭代公式,并说明其收敛性.(2010-2011)(1)()()123(1)()()213(1)()()312(0)1(3212)71(4215)101(3418)87324102348.k k k k k k k k k J x x x x x x x x +++=-+=--++=--++-⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭解答:雅可比迭代公式为:x 雅可比迭代法迭代矩阵:B 严格对角占优,故求解该方程组的雅可比迭代法关于任意初始向量x 收敛2,设有方程组:132********2112212x x x x x x x -=+=-++=,讨论用雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法解此方程组的收敛性.(2010-2011)112330200030000202100002000121221000200020031()002110211||0,=0=-=-12J J J L D U B D L U E B B λλλλρ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=++=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫ ⎪ ⎪⎪=-+=- ⎪ ⎪⎪- ⎪⎝⎭-=解答:A=雅可比迭代矩阵:得,()<1,故用雅可比迭代法解答此方程组对任意(0)1123(0)20031-()00211001211||0,=012-S S S B D L U E B B λλλλρ-⎛⎫ ⎪ ⎪⎪=-+=- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭-===初始向量x 都收敛.高斯赛德尔迭代矩阵:得,()<1,故用高斯赛格尔迭代法解答此方程组对任意初始向量x 都收敛.3,写出求解方程组:123123123532124721535818x x x x x x x x x -+=--=--=的高斯-赛德尔迭代公式,并说明收敛性.(2009-2010)4,用雅可比迭代法求解以313132323A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭为系数矩阵的线性方程组时,确定其收敛性.(2009-2010)5,设线性方程组123123123221162222x x x x x x x x x -+=-+-=--+=-,讨论分别用雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法解此线性方程组的收敛性,若收敛,请给出迭代格式.(2008-2009B)6,设线性方程组:1231231232215202225x x x x x x x x x +-=-++=++=-(1),证明求解该方程组的雅可比迭代法关于任意初始向量收敛;相应的高斯-赛德尔迭代法不是关于任意初始向量收敛;(2),取(0)(0,0,0)T x =,用雅可比迭代法进行求解,要求(1)()5||||10k k xx +--<.(2007-2008)11231123022()101220||0,===0)1022()023002||0,0,2,)1-J J J S S S D L U E B D L U E λλλλρλλλλρ---⎛⎫ ⎪=-+=-- ⎪⎪--⎝⎭-=<-⎛⎫⎪=-+=- ⎪⎪⎝⎭-====>解答:(1):B B 解得:,(B B 解得:(B 所以用雅可比迭代法解此方程组对任意初始向量都收敛,而用高斯赛德尔迭代法解此方程组不是对任意初始向量都收敛.(2):(1)()()123(1)()()213(1)()()312(0)(1)(2)(3)(4)2215202225(0,0,0)(15,20,25)(105,60,35)(205,160,65)(205,160,65)k k k k k k k k k T T T TTx x x xx x x x x x x x x +++=-+-=--+=---==--=--=-=-雅可比迭代公式:x 当时,计算得:(精确解).7,设线性方程组:123123123821027325431111x x x x x x x x x ++=--++=-+=-(1),写出求解该方程组的雅可比迭代法的迭代公式和高斯-赛德尔迭代法的迭代公式,并确定其收敛性; (2),取(0)(0,0,0)T x=,用高斯-赛德尔迭代法计算x(3).(2006-2007)8,设线性方程组Ax=b 的系数矩阵232131t A t t ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭,其中t<0,问t 取何值时雅可比迭代法关于任意初始向量都收敛.(2006-2007)12122223021()0310422||()0=0=-,=)12||<1,t<-2,or t>20, 2.J J J t t D L U t t t t E B t t ttt t λλλλλλρ-⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪=-+=-- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭-=-=<<<-解答:雅可比迭代矩阵B 得,,雅可比迭代法对于任意初始向量都收敛,则(B 即:得又故9,1),设线性方程组:121232343243430424x x x x x x x +=+-=-+=-写出求解该方程组的雅可比迭代法的迭代公式,并确定该迭代法的收敛性;2),设线性方程组:123123123104413410811481025x x x x x x x x x ++=++=++=写出求解该方程组的高斯-赛德尔迭代法的迭代公式,并确定该迭代法的收敛性.(2004-2005)10,给定方程组:1231231232251223x x x x x x x x x +-=++=++=(1),用三角分解法解此方程组;(2),写出解此方程组的雅可比迭代公式,说明收敛性;取初始向量x 0=(0,0,0)T,当21||||10k kx x -+-<时,求其解.(2011-2012)11,设()21253sin 3421sincos 4134tan 5k k k k k k k Ak k k kkk⎛⎫- ⎪+ ⎪ ⎪= ⎪+ ⎪ ⎪+ ⎪⎝⎭,求()lim k k A →∞.(2007-2008)()020lim 021205K k A →∞⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭解答:12,若()()11,lim 1sin sin k k k k k k AA k k k k →∞⎛⎫⎪+=⎪ ⎪⎪⎝⎭求.(2004-2005)()01lim 10K k A→∞⎛⎫= ⎪⎝⎭解答: 题型九:非线性迭代1,设计一个算法求125的值.(2008-2009B)101125(),0.2k k kx x x +=+>解答:牛顿迭代公式:x2,给出用牛顿法求6170的近似值的迭代公式,并确定初值的取值范围.(2010-2011)6661556'5"4"*600066601050517017001701170[5]66()170,()60,()300170()()0,.1170170170(5)17061170()(5)6k k k k k kx x x x x x x x f x x f x x f x x x f x f x x x x x x g x x x +=-=-=-=+=-=>=>>⋅><-=+-=+-解答:转化为方程的正根.由牛顿迭代法得迭代公式:当时,故此时收敛到当0<时,设66'6666611*60170,(0,170)1850()(5)0,(0,170),()(170)0,6:1700,170,(0,170),.0.x g x x g x g xx x x x x ∈=-<∈>=->>∈>故故回到前段.所以当迭代公式也收敛到综上:3,给出用牛顿法求5140近似值的迭代公式,并给出初值的取值范围.(2009-2010)解答:方法同上.4,设φ(x)=x+c(x 2-5),当c 为何值时,x k+1=φ(x k ),(k=0,1,2…)产生的序列{x k }收敛于5;又c 为何值时收敛最快?(2010-2011)2''**1**'*5),||<1,||<1110,=50;51.25k k cx x c ϕϕϕϕϕ+-=-<<-<<解答:(x)=x+c(x (x)=1+2cxx (x )收敛,则有(x )即1+2cx 又,则当(x )=0,即c=-时,收敛最快5,设2()(3)x x c x ϕ=+-,应如何选取常数c 才能使迭代1(),(0,1,2)k k x x k ϕ+==具有局部收敛性?C 取何值时,这个迭代收敛最快?取x 0=2,123c =-计算()x ϕ的不动点,要求当61||10k k x x -+-<时结束迭代.(2004-2005)****21*2'****'**1(),(3)3,()(3)()|133|12|1,11,3,-0,,0.333(2),()0+0,636(3),k k k x x x x c x x x x c x x cx cx x c or c x x ϕϕϕϕ++==+-=±=+-<+<-<<=±<<<<==±±解答:(1),令x 收敛于则故要局部收敛,即|又得根据收敛阶定理,当时,迭代至少二阶收敛,即12cx 得c=故c=时,迭代收敛最快.迭代公式为:2012346*431(3)2321.7113248651.7319268031.7320508041.732050808|10,: 1.732050808.k k x x x x x x x x x x -=--=====-<=又因为|故6,方程x 3-3x-1=0在x=2附近有一根,构造一个局部收敛的不动点迭代法,并说明收敛的理由.(2009-2010)3'3223132(1.5) 1.765174168,(2.5) 2.040827551[1.5,2.5]()[1.5,2.5]11()|||0.33,(13) 5.5xx x x x x ϕϕϕϕϕ+===∈∈=≤<+解答:(x)=取的邻域[1.5,2.5]当时,又因为|故迭代在[1.5,2.5]上整体收敛.7,已知方程42()440f x x x =-+=有一个两重根02x =,请以初值x 0=1.5,用m 重根的牛顿迭代法计算其近似值,要求51||10k k x x -+-<.(2008-2009B)(P204例7.7)8,(1),已知方程240xex +-=在0.6附近有一根x ,迭代法214,0,1,2kx k x ek +=-=是否局部收敛?如果不收敛,试构造一个局部收敛的不动点迭代法,并说明收敛的理由.(2),取x 0=0.6,用你所构造的不动点迭代法求解该方程,迭代至x 5. (3),给出牛顿法求120的近似值的迭代公式,并给出初值的取值范围.(2007-2008)2'2'**1'''1(1):()4,()2|()|1,(0),1(4)211(4),()22(4)1(0)2,(1)3()[0,1]21()||(1)|161(4)2x xk k k k x e x e x x x In x In x x x In In x x x In x ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ++=-=->>=---=-==∈≤=<=-解答:故该迭代公式不是局部收敛的.构造:理由:取邻域[0,1](x)=故又|故迭代式在[0,1]上整体收敛11021324354101(2),(4),21(4)0.61188771521(4)0.61013645921(4)0.61039483321(4)0.61035672221(4)0.61036234421120(3),(),0.2k k k k kx In x x In x x In x x In x x In x x In x x x x x ++=-=-==-==-==-==-==+>.则9,给定方程x 2+x-2=0,[0,2]x ∈,采用迭代公式xk+1=x k +c(x k 2+x k -2),(k=0,1,2…)求其根,问当c 为何值时,迭代法收敛?又当c 为何值时,迭代法收敛最快?(2011-2012)*2'''1,()(2)()1(21)2(1)||1(21)|1,-0.31(1)=03x x x c x x x c x c c ϕϕϕϕ==++-=++=++<<<解答:当|即时,线性收敛当,即c=-时收敛最快.10,给定方程230x xe -=,[3,4]x ∈(1),构造一种线性收敛的不动点迭代公式求该方程的根(含迭代公式,初值取何值或何区间,迭代法收敛的原因); (2),构造一种二次收敛的不动点迭代公式求该方程的根(含迭代公式,初值取何值或何区间,迭代法收敛的原因).(2011-2012)21111'12102'"0(1),()(3),3.29(3)()(4) 3.8712(),[3,4]23(3),(0,1,2,)[3,4].(2),()3,[3,4](3)0,(4)0()60,()60,[3,4]3k k x x x x In x x x x In x k x f x x e x f f f x x e f x e x x ϕϕϕϕϕ+==≤≤=≤≤∈==∈=-∈><=-<=-<∈=解答:故不动点迭代公式:x 对于任意初值收敛取初值时,牛顿213.6kkx kk k x k x ex x x e+-=--迭代法:收敛,且二次收敛11,方程x 3-x 2-1=0在x=1.5附近有根,建立一个收敛的迭代公式,并证明其收敛性.(2004-2005)122''33312111.51()1(1.3) 1.591715976,(1.6) 1.390625[1.3,1.6]()[1.3,1.6]222(),|()|||0.921.311k k k kx x x x x x x x x x x x x ϕϕϕϕϕϕ++=+==+==∈∈=-=-≤<=+解答:取的邻域[1.3,1.6]故当时,又故迭代公式:在[1.3,1.5]上整体收敛.12,(1),已知方程1020x e x +-=在0.09附近有一根x,迭代法1(210),(0,1,2)k k x In x k +=-=是否局部收敛?如果不收敛,请构造一个局部收敛的不动点迭代法,并说明收敛的理由;(2),取x 0=0.09,用局部收敛的迭代法计算x 5; (3),用牛顿法求3234的近似值,并给出初值的取值.(2006-2007)'''*1''5(1),()(210),()15|()|1,[0,1],|()|>1.11510111(),()51010(0)0.1,(0.12)0.087250323[0,0.12]()[0,0.12]()|kx k x xx In x x xx x x x e x e x e x x x ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ+-=-=->∈=-=-=-==∈∈≤解答:显然故该迭代公式不是局部收敛的构造:因为取[0,0.12]邻域考察故当时,又|'0.12110.09010.09058257820.09051881530.0905241|(0.12)|||0.1131101151011(2),510110.09,0.090582578510110.090518815510110.09052579651011510k kx k x k e x e x e x x e x e x e x e ϕ++=-<<=-=-==-==-==-==-故迭代公式:在[0,0.12]上整体收敛.57960.09052503151200.090525031110.0905251155102117(3),()30.k k k x e x x x +==-==+>使用迭代公式:进行求解.初值:x13,设方程x 3-3x-1=0在x=2附近有根;1),证明该方程在区间[1.5,2.5]内有唯一根x *;2),确定迭代函数φ(x).当初始值x 0在何区间取值时,迭代公式x k+1=φ(x k ),(k=0,1,2…)收敛到x *,并说明理由. 3),写出求解该方程组的牛顿法迭代公式,当初始值x 0在何区间取值时,牛顿法迭代公式收敛到x,并说明理由.取x 0=1.8,用牛顿法迭代公式计算x,要求(1)()4||||10k k x x +--<.4),写出求解该方程的弦截法迭代公式,当初始值在何区间取值时,弦截法迭代公式收敛到x,并说明理由.(2005-2006)3'2'331223(1),()31,()33(1.5) 2.125,(2.5)7.125(1.5)(2.5)0,()0()0,[1.5,2.5][1.5,2.5].(2),3121(3),,3333()3k k k k k k k f x x x f x x f f f f f x f x x x x x x x x x f x x +=--=-=-=⋅<=>∈--+=-=--=-解答:证明:故在[1.5,2.5]内有根.又故方程在区间内有唯一根牛顿法迭代公式:'2"1,()33,()6x f x x f x x-=-=题型十:稳定算法1,对给定的x ,下列两式能否直接计算,说明理由;如果不能,请给出变换算式:(1)21x x +-,x 很大;(2)311x +-,|x|很小.(2010-2011)223331(1):1111=.1+1x x x x x x x +-=+++-+解答:不能直接计算,因为两个相近的数相减,会产生较大的误差:;2,为了提高计算精度,当正数x 很大时,计算1x x +-时应转化成什么形式.(2005-2006)3,给出计算积分1,(0,1,2,10)10nnx I dx n x ==+⎰的递推稳定算法和初值.(2010-2011) 1111111000-11110002010101101010101=101011111)11101010(1)11121[].2111)101)220(1)n n n n n n n n n n x x dx x dx x dx I I x x nn n x x x dx dx dx n x n n n n ----+-===-=-++-=<<=+++=+=+++⎰⎰⎰⎰⎰⎰解:I 该算法不稳定,变形得:I 因为(取初值I ((4,设计一种求1x n nI e x dx =⎰(n 为非负整数)稳定的递推算法,包括递推公式,初值的确定;当初值201221e I =⋅时,利用上述稳定的递推公式计算三个连续的积分值.(2011-2012)题型十一:部分证明题1,利用差分的性质证明:12+22+…n 2=n(n+1)(2n+1)/6222()12,g n n n =++证明:设函数对任意的建立差分表:g(n)(n+1)22n+3 2 g(n+1) (n+2)2 2n+5 2 g(n+2) (n+3)2 2n+7 g(n+3) (n+4)2 g(n+4)函数g(n)的三阶差分是与n 无关的非零常数,故g(n)是n 的三次多项式:3(1)1,(2)5,(3)14,(4)30111()()14521231(1)(2)(1)(2)(3)(1)(21)14521!2!3!6g g g g n n n g n N n n n n n n n n n n ====---⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭------++=+⋅+⋅+⋅=按等距节点牛顿向前插值公式建立三次插值多项式,则2,证明:n+1个互异节点的插值型求积公式的代数精确度至少为n.(2010-2011)(1)0()(),.(1)!n nbi ai f x x dx n ζ+=-+∏⎰证明:截断误差R[f]=易证 3,若0{()}ni i l x =是关于互异节点0{}ni i x =的拉格朗日插值基函数组,函数0011()()()(),(1)n n f x x l x x l x x l x n =++≥,证明:f(x)≡x.(2009-2010)00110()()()()()()()()n n i i n n i f x L x f x l x x l x x l x x l x f x x=≈==+++≡∑证明:故:4,证明:0101'()[()()]"()2hf x f x f x f h ζ=--,其中h=x 1-x 0,01(,)x x ζ∈.(2009-2010)"'20000"'211001010'"010())()()()2!(),())()()()2!1()[()()]()2f f x x x x x f x x f x f x x x x x hf x f x f x f h ζζζ+-+-==+-+-=--证明:由泰勒公式得f(x)=f(x 令则f(x 整理得: 5,证明:关于互异节点0{}ni i x =的拉格朗日插值基函数0{()}ni i l x =满足恒等式012()()()()1n l x l x l x l x +++≡.(2008-2009B)(2006-2007B)(2004-2005)120(1)(1)1010()1,(),,1=L ()()()()()()()1,()0,()()0(1)!()()()()1n n n n i n i n n n n ni n i f x f x x x x x R x l x f x R x f f x fx R x W x n l x l x l x l x ζ=+++==+=+=≡==+=+++≡∑∑证明:令对在上进行拉格朗日插值,有因故故:6,证明求积公式()[()()]2bab af x dx f a f b -≈+⎰的截断误差:3"()[](),12f R f b a ηη=--∈其中:(a,b).(2007-2008) (1)001(2)(2)(2)33()()(1)!1,,()()()1"()()()()()()()2!2!2!612n nb i ai b b aa f x x dx n n x a xb f f f f x a x b dx x a x b dx a b b a ζζηηη+=-+===--=--=⋅-=--∏⎰⎰⎰证明:插值型求积公式截断误差R[f]=R[f]=7,设矩阵A 为可逆上三角阵,证明A -1仍为上三角阵,并导出求逆算法.(2006-2007B)8,设x k =a+kh(k=0,1,2;h>0),f(x)的三阶导数连续,证明:2(3)102021'()[()()](),(,)26h f x f x f x f x x h ζζ=-+-∈其中为中值.(2011-2012)001122120201201201021012202112020101222,),,),,)()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()(22x y x y x y x x x x x x x x x x x x x f x f x f x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f x f x f x h h h ------=++------------=-+证明:过(((的拉格朗日插值多项式为:L 12'2102(3)201202(3)'''1210122'(3)10202)1()[()()]2()()()()()(),(,)3!()()()[()()()]3!1()[()()](),(,)26x x L x f x f x hf f x L x x x x x x x x x f f x L x x x x x x x h f x f x f x f x x h ηηηζζ==-+-=---∈-=---=-+-∈又故:。
数值分析期末复习题

数值分析期末复习题⼀、填空题1.设真值x=983350,则其近似值y=98000的有效数字的位数,绝对误差为,相对误差为。
2.x=0.1062,y=0.947,计算x+y 其有效数字的位数为。
3.对f(x)=x 3+x+1,差商f[0,1,2,3]= ;f[0,1,2,3,4]= 。
4.设f(x)可微,求⽅程x=f(x)根的⽜顿迭代法格式是。
5.设⽅程x=?(x)有根x *,且设?(x)在含x *的区间(a,b)内可导,设x 0∈(a,b)则迭代格式x k+1=?(x k )收敛的充要条件为。
6.求解线性⽅程组Ax=b 的迭代格式x (k+1)=Jx (k)+f 收敛的充要条件为。
7.=011001001001....A ,||A||∝= ,cond(A)∝= 。
8.n 次Legendre 多项式的最⾼次项系数为。
9.中矩形公式:)()2()(a b b a f dx x f b a -+=?的代数精度为。
10.求积公式:)1(21)0()(10f f dx x f '+≈?的代数精度为。
11.在区间[1,2]上满⾜插值条件??==3)2(1)1(P P 的⼀次多项式P(x)= 。
12.设∑==n k k k n x f A f I 0)()(是函数f(x)在区间[a,b]上的插值型型求积公式,则 ∑=n k k A0= 。
13.梯形公式和改进的Euler 公式都是阶精度的。
⼆、计算题1.利⽤矩阵的⾼斯消元法,解⽅程组=++=++=++2053182521432321321321x x x x x xx x x2.设有函数值表试求各阶差商,并写出Newton 插值多项式。
3.求解超定⽅程组= ?43231211121x x的最⼩⼆乘解。
4.给定下列函数值表:求3次⾃然样条插值函数5.给定x x f =)(在x=100, 121, 144 三点处的值,试以这三点建⽴f(x)的⼆次(抛物)插值公式,利⽤插值公式求115的近似值并估计误差。
数值分析期末试题

数值分析期末试题一、填空题(20102=⨯分)(1)设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=283012251A ,则=∞A ______13_______。
(2)对于方程组⎩⎨⎧=-=-34101522121x x x x ,Jacobi 迭代法的迭代矩阵是=J B ⎥⎦⎤⎢⎣⎡05.25.20。
(3)3*x 的相对误差约是*x 的相对误差的31倍。
(4)求方程)(x f x =根的牛顿迭代公式是)('1)(1n n n n n x f x f x x x +--=+。
(5)设1)(3-+=x x x f ,则差商=]3,2,1,0[f 1 。
(6)设n n ⨯矩阵G 的特征值是n λλλ,,,21 ,则矩阵G 的谱半径=)(G ρi ni λ≤≤1max 。
(7)已知⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1021A ,则条件数=∞)(A Cond 9(8)为了提高数值计算精度,当正数x 充分大时,应将)1l n (2--x x 改写为)1ln(2++-x x 。
(9)n 个求积节点的插值型求积公式的代数精确度至少为1-n 次。
(10)拟合三点))(,(11x f x ,))(,(22x f x ,))(,(33x f x 的水平直线是)(3131∑==i i x f y 。
二、(10分)证明:方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=++=+-12112321321321x x x x x x x x x 使用Jacobi 迭代法求解不收敛性。
证明:Jacobi 迭代法的迭代矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=05.05.01015.05.00J BJ B 的特征多项式为)25.1(5.05.0115.05.0)det(2+=---=-λλλλλλj B IJ B 的特征值为01=λ,i 25.12=λ,i 25.13-=λ,故25.1)(=J B ρ>1,因而迭代法不收敛性。
三、(10分)定义内积⎰=1)()(),(dx x g x f g f试在{}x SpanH ,11=中寻求对于x x f =)(的最佳平方逼近元素)(x p 。
数值分析题库

一. 单项选择题(每小题2分,共10分)1. 在下列四个数中,有一个数具有4位有效数字,且其绝对误差限为 51021-⨯,则该数是( ) A 0.001523 B 0.15230 C 0.01523 D 1.52300 2. 设方阵A 可逆,且其n 个特征值满足:n λλλ>≥> (21),则1-A 的主特征值是( )A11λ B nλ1 C1λ或n λ D 11λ或nλ13. 设有迭代公式→→+→+=fxB x k k )()1(。
若||B|| > 1,则该迭代公式( )A 必收敛B 必发散C 可能收敛也可能发散4. 常微分方程的数值方法,求出的结果是( )A 解函数B 近似解函数C 解函数值D 近似解函数值 5. 反幂法中构造向量序列时,要用到解线性方程组的( ) A 追赶法 B LU 分解法C 雅可比迭代法D 高斯—塞德尔迭代法二. 填空题(每小题4分,共20分)1. 设有方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-=+02132432132132x x x x x x x x ,则可构造高斯—塞德尔迭代公式为⎪⎩⎪⎨⎧2. 设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=111112101A ,则=∞A3. 设1)0(,2'2=+=y y x y ,则相应的显尤拉公式为=+1n y4. 设1)(+=ax x f ,2)(x x g =。
若要使)(x f 与)(x g 在[0,1]上正交,则a =5. 设T x )1,2,2(--=→,若有平面旋转阵P ,使P →x 的第3个分量为0,则P =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡ 三. 计算题(每小题10分,共50分)1. 求27的近似值。
若要求相对误差小于0.1%,问近似值应取几位有效数字?2. 设42)(x x x f -=,若在[-1,0]上构造其二次最佳均方逼近多项式,请写出相应的法方程。
3. 设有方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=-+1221122321321321x x x x x x x x x ,考察用雅可比迭代解此方程组的收敛性。
数值分析报告期末考试复习题及其问题详解

数值分析期末考试复习题及其答案1. 已知325413.0,325413*2*1==X X 都有6位有效数字,求绝对误差限。
(4分)解:由已知可知,n=65.01021,0,6,10325413.0016*1=⨯==-=⨯=ε绝对误差限n k k X 2分 620*21021,6,0,10325413.0-⨯=-=-=⨯=ε绝对误差限n k k X 2分2. 已知⎢⎢⎢⎣⎡=001A 220- ⎥⎥⎥⎦⎤440求21,,A A A ∞ (6分) 解:{},88,4,1max 1==A 1分 {},66,6,1max ==∞A 1分 ()A A A T max 2λ= 1分⎢⎢⎢⎣⎡=001A A T 420 ⎥⎥⎥⎦⎤-420⎢⎢⎢⎣⎡001 220- ⎥⎥⎥⎦⎤440=⎢⎢⎢⎣⎡001 080 ⎥⎥⎥⎦⎤3200 2分 {}3232,8,1max )(max ==A A T λ 1分 24322==A3. 设32)()(a x x f -= (6分) ① 写出f(x)=0解的Newton 迭代格式② 当a 为何值时,)(1k k x x ϕ=+ (k=0,1……)产生的序列{}k x 收敛于2解:①Newton 迭代格式为:xa x x x ax a x x a x x x f x f x x k k k k k k k k k k 665)(665)(6)()(')(22321+=+=---=-=+ϕ 3分②时迭代收敛即当222,11210)2(',665)('2<<-<-=-=a a x a x ϕϕ 3分4. 给定线性方程组Ax=b ,其中:⎢⎣⎡=13A ⎥⎦⎤22,⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=13b 用迭代公式)()()()1(k k k Ax b x x -+=+α(k=0,1……)求解Ax=b ,问取什么实数α,可使迭代收敛(8分)解:所给迭代公式的迭代矩阵为⎥⎦⎤--⎢⎣⎡--=-=ααααα21231A I B 2分其特征方程为 0)21(2)31(=----=-αλαααλλB I 2分即,解得αλαλ41,121-=-= 2分 要使其满足题意,须使1)(<B ρ,当且仅当5.00<<α 2分5. 设方程Ax=b ,其中⎢⎢⎢⎣⎡=211A 212 ⎥⎥⎥⎦⎤-112,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=765b 试讨论解此方程的Jacobi 迭代法的收敛性,并建立Gauss-Seidel 迭代格式 (9分)解:U D L A ++=⎢⎢⎢⎣⎡--=+-=-210)(1U L D B J 202-- ⎥⎥⎥⎦⎤-012 3分0,03213=====-λλλλλJ B I 2分即10)(<=J B ρ,由此可知Jacobi 迭代收敛 1分 Gauss-Seidel 迭代格式:⎪⎩⎪⎨⎧--=--=+-=++++++)1(2)1(1)1(3)(3)1(1)1(2)(3)(2)1(12276225k k k k k k k k k x x x x x x x x x (k=0,1,2,3……) 3分6. 用Doolittle 分解计算下列3个线性代数方程组:i i b Ax =(i=1,2,3)其中⎢⎢⎢⎣⎡=222A 331 ⎥⎥⎥⎦⎤421,23121,,974x b x b b ==⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡= (12分)解:①11b Ax =⎢⎢⎢⎣⎡222 331 ⎥⎥⎥⎦⎤421⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=9741x A=⎢⎢⎢⎣⎡111 110 ⎥⎥⎥⎦⎤100⎢⎢⎢⎣⎡002 021 ⎥⎥⎥⎦⎤211=LU 3分 由Ly=b1,即⎢⎢⎢⎣⎡111 110 ⎥⎥⎥⎦⎤100y=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡974 得y=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡234 1分 由Ux1=y ,即⎢⎢⎢⎣⎡002 021 ⎥⎥⎥⎦⎤211x1=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡234 得x1=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡111 2分 ②22b Ax =⎢⎢⎢⎣⎡222 331 ⎥⎥⎥⎦⎤421x2=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡111 由Ly=b2=x1,即⎢⎢⎢⎣⎡111 110 ⎥⎥⎥⎦⎤100y=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡111 得y=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡001 1分 由Ux2=y ,即⎢⎢⎢⎣⎡002 021 ⎥⎥⎥⎦⎤211x2=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡001 得x2=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡005.0 2分 ③33b Ax =⎢⎢⎢⎣⎡222 331 ⎥⎥⎥⎦⎤421x3=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡005.0由Ly=b3=x2,即⎢⎢⎢⎣⎡111 110 ⎥⎥⎥⎦⎤100y=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡005.0 得y=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-05.05.0 1分 由Ux3=y ,即⎢⎢⎢⎣⎡002 021 ⎥⎥⎥⎦⎤211x3=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-05.05.0 得x3=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-025.0375.0 2分7. 已知函数y=f(x)有关数据如下:要求一次数不超过3的H 插值多项式,使'11'33)(,)(y x H y x H i i == (6分)解:作重点的差分表,如下:3分21021101011001003))(](,,,[))(](,,[)](,[][)(x x x x x x x x f x x x x x x x f x x x x f x f x H --+--+-+= =-1+(x+1)-x(x+1)+2x.x(x+1)=232x x + 3分8. 有如下函数表:试计算此列表函数的差分表,并利用Newton 前插公式给出它的插值多项式 (7分)解:由已知条件可作差分表,3分i ih x x i =+=0 (i=0,1,2,3)为等距插值节点,则Newton 向前插值公式为: 033210022100003!3))()((!2))((!1)()(f h x x x x x x f h x x x x f h x x f x N ∆---+∆--+∆-+==4+5x+x(x-1)=442++x x 4分9. 求f(x)=x 在[-1,1]上的二次最佳平方逼近多项式)(2x P ,并求出平方误差 (8分)解:令22102)(x a x a a x P ++= 2分取m=1, n=x, k=2x ,计算得: (m,m)=dx ⎰-111=0 (m,n)=dx x ⎰-11=1 (m,k)= dx x ⎰-112=0(n,k)= dx x ⎰-113=0.5 (k,k)= dx x ⎰-114=0 (m,y)= dx x ⎰-11=1(n,y)=dx x⎰-112=0 (k,y)= dx x ⎰-113=0.5得方程组:⎪⎩⎪⎨⎧==+=5.05.005.011201a a a a 3分解之得c a a c a 2,1,210-=== (c 为任意实数,且不为零)即二次最佳平方逼近多项式222)(cx x c x P -+= 1分 平方误差:32),(22222222=-=-=∑=i i i y a fp f ϕδ 2分10. 已知如下数据:用复合梯形公式,复合Simpson 公式计算⎰+=10214dx x π的近似值(保留小数点后三位) (8分)解:用复合梯形公式:)}1()]87()43()85()21()83()41()81([2)0({1618f f f f f f f f f T ++++++++==3.139 4分用复合Simpson 公式: )}1()]43()21()41([2)]87()85()83()81([4)0({2414f f f f f f f f f S ++++++++==3.142 4分11. 计算积分⎰=20sin πxdx I ,若用复合Simpson 公式要使误差不超过51021-⨯,问区间]2,0[π要分为多少等分?若改用复合梯形公式达到同样精确度,区间]2,0[π应分为多少等分? (10分)解: ①由Simpson 公式余项及x x f x x f sin )(,sin )()4(==得544)4(2041021)1()4(360)(max )4(1802)(-≤≤⨯≤=≤n x f n f R x n πππππ 2分即08.5,6654≥≥n n ,取n=6 2分即区间]2,0[π分为12等分可使误差不超过51021-⨯ 1分②对梯形公式同样1)(''max 20≤≤≤x f x π,由余项公式得51021)2(122)(-⨯≤≤n f R n ππ2分即255,2.254=≥n n 取 2分即区间]2,0[π分为510等分可使误差不超过51021-⨯ 1分12. 用改进Euler 格式求解初值问题:⎩⎨⎧==++1)1(0sin 2'y x y y y 要求取步长h 为0.1,计算y(1.1)的近似值 (保留小数点后三位)[提示:sin1=0.84,sin1.1=0.89] (6分)解:改进Euler 格式为:⎪⎩⎪⎨⎧++=+=+-++-+)],(),([2),(1111n n n n n n n n n n y x f y x f hy y y x hf y y 2分 于是有⎪⎩⎪⎨⎧+++-=+-=+-++-+-+)sin sin (05.0)sin (1.012112121n n n n n n n n n n n n n x y y x y y y y x y y y y (n=0,1,2……) 2分 由y(1)=0y =1,计算得⎪⎩⎪⎨⎧=≈=+-=-838.0)1.1(816.0)1sin 11(1.01121y y y 2分 即y(1.1)的近似值为0.83813. ][],[],,[lim ],[),,(],,[)(0'000000'x f x x f x x f x x f b a x b a C x f x x ==∈∈→证明:定义:设(4分)证明:]['],[],[],[lim ][][lim]['00000000000x f x x f x x f x x f x x x f x f x f x x x x ===--=→→故可证出 4分14. 证明:设nn RA ⨯∈,⋅为任意矩阵范数,则A A ≤)(ρ (6分)证明:设λ为A 的按模最大特征值,x 为相对应的特征向量,则有Ax=λx 1分 且λρ=)(A ,若λ是实数,则x 也是实数,得Ax x =λ 1分而x x ⋅=λλ x A x ,⋅≤⋅⋅≤λ故x A Ax 2分由于A x 0x ≤≠λ得到,两边除以 1分故A A ≤)(ρ 1分 当λ是复数时,一般来说x 也是复数,上述结论依旧成立。
数值分析试题及答案

数值分析试题及答案一、选择题(每题3分,共30分)1. 下列关于数值分析的说法,错误的是()。
A. 数值分析是研究数值方法的科学B. 数值分析是研究数值方法的数学理论C. 数值分析是研究数值方法的误差分析D. 数值分析是研究数值方法的数学理论、误差分析及数值方法的实现答案:B2. 在数值分析中,插值法主要用于()。
A. 求解微分方程B. 求解积分方程C. 求解线性方程组D. 通过已知数据点构造一个多项式答案:D3. 线性方程组的解法中,高斯消元法属于()。
A. 直接方法B. 迭代方法C. 矩阵分解方法D. 特征值方法答案:A4. 牛顿法(Newton's method)是一种()。
A. 插值方法B. 拟合方法C. 迭代方法D. 优化方法答案:C5. 在数值分析中,下列哪种方法用于求解非线性方程的根?A. 高斯消元法B. 牛顿法C. 雅可比方法D. 斯托尔-温格尔方法答案:B6. 下列关于误差的说法,正确的是()。
A. 绝对误差总是大于相对误差B. 相对误差总是小于绝对误差C. 误差是不可避免的D. 误差总是可以消除的答案:C7. 在数值分析中,下列哪个概念与数值稳定性无关?A. 条件数B. 截断误差C. 舍入误差D. 插值多项式的阶数答案:D8. 用泰勒级数展开函数f(x)=e^x,下列哪一项是正确的?A. f(x) = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + ...B. f(x) = 1 - x + x^2/2! - x^3/3! + ...C. f(x) = x + x^2/2 + x^3/6 + ...D. f(x) = x - x^2/2 + x^3/6 - ...答案:A9. 插值多项式的次数最多为()。
A. n-1B. nC. n+1D. 2n答案:B10. 下列关于数值积分的说法,错误的是()。
A. 梯形法则是一种数值积分方法B. 辛普森法则是一种数值积分方法C. 龙格法则是数值积分方法中的一种D. 数值积分方法总是精确的答案:D二、填空题(每题3分,共15分)1. 在数值分析中,条件数是衡量问题的______。
数值分析期末复习题

一、填空题1.设真值x=983350,则其近似值y=98000的有效数字的位数 ,绝对误差为 , 相对误差为 。
2.x=0.1062,y=0.947,计算x+y 其有效数字的位数为 。
3.对f(x)=x 3+x+1,差商f[0,1,2,3]= ;f[0,1,2,3,4]= 。
4.设f(x)可微,求方程x=f(x)根的牛顿迭代法格式是 。
5.设方程x=ϕ(x)有根x *,且设ϕ(x)在含x *的区间(a,b)内可导,设x 0∈(a,b)则迭代格式x k+1=ϕ(x k )收敛的充要条件为 。
6.求解线性方程组Ax=b 的迭代格式x (k+1)=Jx (k)+f 收敛的充要条件为 。
7.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=011001001001....A ,||A||∝= ,cond(A)∝= 。
8.n 次Legendre 多项式的最高次项系数为 。
9.中矩形公式:)()2()(a b b a f dx x f b a -+=⎰的代数精度为 。
10.求积公式:)1(21)0()(10f f dx x f '+≈⎰的代数精度为 。
11.在区间[1,2]上满足插值条件⎩⎨⎧==3)2(1)1(P P 的一次多项式P(x)= 。
12.设∑==n k k k n x f A f I 0)()(是函数f(x)在区间[a,b]上的插值型型求积公式,则 ∑=n k k A0= 。
13.梯形公式和改进的Euler 公式都是 阶精度的。
二、计算题1.利用矩阵的高斯消元法,解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++2053182521432321321321x x x x x xx x x2.设有函数值表试求各阶差商,并写出Newton 插值多项式。
3.求解超定方程组⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛43231211121x x的最小二乘解。
4.给定下列函数值表:求3次自然样条插值函数5.给定x x f =)(在x=100, 121, 144 三点处的值,试以这三点建立f(x)的二次(抛物)插值公式,利用插值公式求115的近似值并估计误差。
数值分析期末试题及答案

数值分析期末考试试题一、单项选择题(每小题3分,共15分)1. 3.142和3.141分别作为π的近似数具有( )和( )位有效数字. A .4和3 B .3和2 C .3和4 D .4和42. 已知求积公式()()211211()(2)636f x dx f Af f ≈++⎰,则A =( )A . 16B .13C .12D .233. 通过点()()0011,,,x y x y 的拉格朗日插值基函数()()01,l x l x 满足( )A .()00l x =0,()110l x = B .()00l x =0,()111l x =C .()00l x =1,()111l x = D . ()00l x =1,()111l x =4. 设求方程()0f x =的根的牛顿法收敛,则它具有( )敛速。
A .超线性B .平方C .线性D .三次5. 用列主元消元法解线性方程组1231231220223332x x x x x x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪--=⎩ 作第一次消元后得到的第3个方程( ).A .232x x -+= B .232 1.5 3.5x x -+=C .2323x x -+= D .230.5 1.5x x -=-单项选择题答案1.A2.D3.D4.C5.B得 分 评卷人二、填空题(每小题3分,共15分)1. 设TX )4,3,2(-=, 则=1||||X ,2||||X = .2. 一阶均差()01,f x x =3. 已知3n =时,科茨系数()()()33301213,88C C C ===,那么()33C = 4. 因为方程()420x f x x =-+=在区间[]1,2上满足 ,所以()0f x =在区间内有根。
5. 取步长0.1h =,用欧拉法解初值问题()211yy yx y ⎧'=+⎪⎨⎪=⎩的计算公式 .填空题答案1. 9和292.()()0101f x f x x x --3. 18 4. ()()120f f < 5. ()1200.11.1,0,1,210.11k k y y k k y +⎧⎛⎫⎪ ⎪=+⎪ ⎪=+⎨⎝⎭⎪=⎪⎩得 分 评卷人三、计算题(每题15分,共60分)1. 已知函数211y x =+的一组数据:求分段线性插值函数,并计算()1.5f 的近似值.计算题1.答案()101x L x -=-()212x L x -=⨯-所以分段线性插值函数为()10.50.80.3x x L x x x ⎧-∈⎪=⎨-⎪⎩()1.50.8L =2. 已知线性方程组1231231231027.21028.35 4.2x x x x x x x x x --=⎧⎪-+-=⎨⎪--+=⎩(1) 写出雅可比迭代公式、高斯-塞德尔迭代公式;(2) 对于初始值()()00,0,0X =,应用雅可比迭代公式、高斯-塞德尔迭代公式分别计算()1X(保留小数点后五位数字).计算题2.答案1.解 原方程组同解变形为 1232133120.10.20.720.10.20.830.20.20.84x x x x x x x x x =++⎧⎪=-+⎨⎪=++⎩雅可比迭代公式为()()()()()()()()()1123121313120.10.20.720.10.20.830.20.20.84m m m m m m m m m x x x x x x x x x +++⎧=++⎪⎪=-+⎨⎪=++⎪⎩(0,1...)m = 高斯-塞德尔迭代法公式()()()()()()()()()1123112131113120.10.20.720.10.20.830.20.20.84m m m m m m m m m x x x x x x x x x ++++++⎧=++⎪⎪=-+⎨⎪=++⎪⎩ (0,1...)m =用雅可比迭代公式得()()10.72000,0.83000,0.84000X =用高斯-塞德尔迭代公式得()()10.72000,0.90200,1.16440X =3. 用牛顿法求方程3310x x --=在[]1,2之间的近似根 (1)请指出为什么初值应取2?(2)请用牛顿法求出近似根,精确到0.0001.计算题3.答案4. 写出梯形公式和辛卜生公式,并用来分别计算积分1011dx x +⎰.计算题4.答案确定下列求积公式中的待定系数,并证明确定后的求积公式具有3次代数精确度()()()()1010hhf x dx A f h A f A f h --=-++⎰证明题答案一、 填空(共20分,每题2分)1. 设2.3149541...x *=,取5位有效数字,则所得的近似值x= .2.设一阶差商()()()21122114,321f x f x f x x x x --===---,()()()322332615,422f x f x f x x x x --===--则二阶差商()123,,______f x x x =3. 设(2,3,1)TX =--, 则2||||X = ,=∞||||X 。
数值分析试题及答案
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数值分析试题一、 填空题(2 0×2′)1.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=32,1223X A 设x =0.231是精确值x *=0。
229的近似值,则x 有 2位有效数字。
2. 若f (x )=x 7-x 3+1,则f [20,21,22,23,24,25,26,27]= 1 , f [20,21,22,23,24,25,26,27,28]= 0 . 3. 设,‖A ‖∞=___5 ____,‖X ‖∞=__ 3_____,‖AX ‖∞≤_15_ __。
4. 非线性方程f (x )=0的迭代函数x =ϕ(x )在有解区间满足 |ϕ’(x )| <1 ,则使用该迭代函数的迭代解法一定是局部收敛的。
5. 区间[a ,b ]上的三次样条插值函数S (x )在[a ,b ]上具有直到 2 阶的连续导数。
6. 当插值节点为等距分布时,若所求节点靠近首节点,应该选用等距节点下牛顿差商公式的 前插公式 ,若所求节点靠近尾节点,应该选用等距节点下牛顿差商公式的 后插公式 ;如果要估计结果的舍入误差,应该选用插值公式中的 拉格朗日插值公式 。
7. 拉格朗日插值公式中f (x i )的系数a i (x )的特点是:=∑=ni i x a 0)( 1 ;所以当系数a i (x )满足 a i (x )>1 ,计算时不会放大f (x i )的误差. 8. 要使20的近似值的相对误差小于0。
1%,至少要取 4 位有效数字。
9. 对任意初始向量X (0)及任意向量g ,线性方程组的迭代公式x (k +1)=Bx (k )+g (k =0,1,…)收敛于方程组的精确解x *的充分必要条件是 ρ(B)<1 。
10. 由下列数据所确定的插值多项式的次数最高是 5 。
11. 牛顿下山法的下山条件为 |f(xn+1)|〈|f (xn )| 。
12. 线性方程组的松弛迭代法是通过逐渐减少残差r i (i =0,1,…,n )来实现的,其中的残差r i = (b i —a i1x 1—a i2x 2-…—a in x n )/a ii ,(i =0,1,…,n )。
数值分析期末考试复习题及其答案

数值分析期末考试复习题及其答案1. 已知325413.0,325413*2*1==X X 都有6位有效数字,求绝对误差限.(4分)解:由已知可知,n=65.01021,0,6,10325413.0016*1=⨯==-=⨯=ε绝对误差限n k k X 2分 620*21021,6,0,10325413.0-⨯=-=-=⨯=ε绝对误差限n k k X 2分2. 已知⎢⎢⎢⎣⎡=001A 220- ⎥⎥⎥⎦⎤440求21,,A A A ∞ (6分)解:{},88,4,1max 1==A 1分 {},66,6,1max ==∞A 1分 ()A A A T max 2λ= 1分⎢⎢⎢⎣⎡=001A A T 420 ⎥⎥⎥⎦⎤-420⎢⎢⎢⎣⎡001 220- ⎥⎥⎥⎦⎤440=⎢⎢⎢⎣⎡001 080 ⎥⎥⎥⎦⎤3200 2分 {}3232,8,1max )(max ==A A T λ 1分 24322==A3. 设32)()(a x x f -= (6分) ① 写出f(x )=0解的Newton 迭代格式② 当a 为何值时,)(1k k x x ϕ=+ (k=0,1……)产生的序列{}k x 收敛于2解:①Newton 迭代格式为:xa x x x ax a x x a x x x f x f x x k k k k k k k k k k 665)(665)(6)()(')(22321+=+=---=-=+ϕ 3分②时迭代收敛即当222,11210)2(',665)('2<<-<-=-=a a x a x ϕϕ 3分4. 给定线性方程组Ax=b ,其中:⎢⎣⎡=13A ⎥⎦⎤22,⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=13b 用迭代公式)()()()1(k k k Ax b x x -+=+α(k=0,1……)求解Ax=b ,问取什么实数α,可使迭代收敛 (8分)解:所给迭代公式的迭代矩阵为⎥⎦⎤--⎢⎣⎡--=-=ααααα21231A I B 2分其特征方程为0)21(2)31(=----=-αλαααλλB I 2分即,解得αλαλ41,121-=-= 2分 要使其满足题意,须使1)(<B ρ,当且仅当5.00<<α 2分5. 设方程Ax=b,其中⎢⎢⎢⎣⎡=211A 212 ⎥⎥⎥⎦⎤-112,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=765b 试讨论解此方程的Jacobi 迭代法的收敛性,并建立Gauss —Seidel 迭代格式 (9分)解:U D L A ++=⎢⎢⎢⎣⎡--=+-=-210)(1U L D B J 202-- ⎥⎥⎥⎦⎤-012 3分0,03213=====-λλλλλJ B I 2分即10)(<=J B ρ,由此可知Jacobi 迭代收敛 1分 Gauss-Seidel 迭代格式:⎪⎩⎪⎨⎧--=--=+-=++++++)1(2)1(1)1(3)(3)1(1)1(2)(3)(2)1(12276225k k k k k k k k k x x x x x x x x x (k=0,1,2,3……) 3分6. 用Doolittle 分解计算下列3个线性代数方程组:i i b Ax =(i=1,2,3)其中⎢⎢⎢⎣⎡=222A 331 ⎥⎥⎥⎦⎤421,23121,,974x b x b b ==⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡= (12分)解:①11b Ax =⎢⎢⎢⎣⎡222 331 ⎥⎥⎥⎦⎤421⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=9741x A=⎢⎢⎢⎣⎡111 110 ⎥⎥⎥⎦⎤100⎢⎢⎢⎣⎡002 021 ⎥⎥⎥⎦⎤211=LU 3分 由Ly=b1,即⎢⎢⎢⎣⎡111 110 ⎥⎥⎥⎦⎤100y=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡974 得y=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡234 1分 由Ux1=y ,即⎢⎢⎢⎣⎡002 021 ⎥⎥⎥⎦⎤211x1=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡234 得x1=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡111 2分 ②22b Ax =⎢⎢⎢⎣⎡222 331 ⎥⎥⎥⎦⎤421x2=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡111 由Ly=b2=x1,即⎢⎢⎢⎣⎡111 110 ⎥⎥⎥⎦⎤100y=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡111 得y=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡001 1分 由Ux2=y,即⎢⎢⎢⎣⎡002 021 ⎥⎥⎥⎦⎤211x2=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡001 得x2=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡005.0 2分③33b Ax =⎢⎢⎢⎣⎡222 331 ⎥⎥⎥⎦⎤421x3=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡005.0由Ly=b3=x2,即⎢⎢⎢⎣⎡111 110 ⎥⎥⎥⎦⎤100y=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡005.0 得y=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-05.05.0 1分 由Ux3=y ,即⎢⎢⎢⎣⎡002 021 ⎥⎥⎥⎦⎤211x3=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-05.05.0 得x3=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-025.0375.0 2分7. 已知函数y=f (x)有关数据如下:要求一次数不超过3的H 插值多项式,使'11'33)(,)(y x H y x H i i == (6分)解:作重点的差分表,如下:3分21021101011001003))(](,,,[))(](,,[)](,[][)(x x x x x x x x f x x x x x x x f x x x x f x f x H --+--+-+= =-1+(x+1)-x (x+1)+2x.x(x+1)=232x x + 3分8. 有如下函数表:试计算此列表函数的差分表,并利用Newton 前插公式给出它的插值多项式 (7分)解:由已知条件可作差分表,3分i ih x x i =+=0 (i=0,1,2,3)为等距插值节点,则Newton 向前插值公式为: 033210022100003!3))()((!2))((!1)()(f h x x x x x x f h x x x x f h x x f x N ∆---+∆--+∆-+==4+5x+x (x-1)=442++x x 4分9. 求f (x )=x 在[-1,1]上的二次最佳平方逼近多项式)(2x P ,并求出平方误差 (8分)解:令22102)(x a x a a x P ++= 2分取m=1, n=x , k=2x ,计算得: (m ,m)=dx ⎰-111=0 (m,n )=dx x ⎰-11=1 (m,k)=dx x ⎰-112=0(n,k )=dx x ⎰-113=0。
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一、(8分)用列主元素消去法解下列方程组:⎪⎩⎪⎨⎧=++-=+--=+-112123454321321321x x x x x x x x x二、(10分)依据下列数据构造插值多项式:y(0)=1,y(1)= —2,y '(0)=1, y '(1)=—4三、(12分)分别用梯形公式和辛普生公式构造 复化的梯形公式、复化的辛普生公式并利用复化的梯形公式、复化的辛普生公式计算下列积分:⎰91dxx n=4 四、(10分)证明对任意参数t ,下列龙格-库塔方法是二阶的。
五、(14分)用牛顿法构造求c 公式,并利用牛顿法求115。
保留有效数字五位。
六、(10分)方程组AX=B 其中A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡10101a a a a 试就AX=B 建立雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法,并讨论a 取何值时迭代收斂。
七、(10分)试确定常数A,B,C,a,使得数值积分公式⎰-++-≈22)(}0{)()(a Cf Bf a Af dx x f 有尽可能多的代数精确度。
并求该公式的代数精确度。
八、{6分}证明:A ≤ 其中A 为矩阵,V 为向量.第二套一、(8分)用列主元素消去法解下列方程组:⎪⎩⎪⎨⎧=++=+-=+322214332132132x x x x x x x x二、(12分)依据下列数据构造插值多项式:y(0)=y '(0)=0,y(1)=y '(1)= 1,y(2)=1三、(14分)分别用梯形公式和辛普生公式构造 复化的梯形公式、复化的辛普生公式,并利用复化的梯形公式、复化的辛普生公式及其下表计算下列积分:⎰2/0sin πxdx⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+-+=++==++=+13121231)1(,)1((),(),()(2hk t y h t x f k thk y th x f k y x f k k k h y y n n n n n n n n四、(12分)证明下列龙格-库塔方法是三阶的。
五、(10分)试确定常数A,B,C 使得数值积分公式⎰++≈2)2()1()0()(Cf Bf Af dx x f共 2 页 第 2 页有尽可能多的代数精确度。
并求该公式的代数精确度。
六、(14分)用牛顿法构造求c 1公式,验证其收敛性。
并求1/ e(保留4位有效数字)。
七、{10分}证明:设非负函数N(x )=x 为R n 上任意向量范数,则N(x )是x 分量x 1,x 2,…x n 的连续函数.参考答案一、解:(8分)⎪⎩⎪⎨⎧=++=+-=+322214332132132x x x x x x x x增广矩阵:⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-12003/13/4102/312/112/102/3014302/312/11321221111431 (4分) 解得:x 1=2/3, x 2=-1/3 x 3=1./2 (8分) 二、解:(12分)注:直接待定系数简单,或者用牛顿茶商设 P(x)=φ0(x)y(0)+φ1(x) y(1)+φ2(x)y(2)+ψ0(x) y’(0)+ψ1(x) y’(1) (4分) 解得:1(x)=x 2(x-2)2 φ2(x)=(1/12)x 2(x-1)2 ψ1(x)=-x 2(x-1)(x-2) (4分) P(x)= φ1(x) y(1)+φ2(x)y(2)+ψ1(x) y’(1)= φ1(x) +φ2(x)+ψ1(x)= x 2(x-2)2+(1/12)x 2(x-1)2 +x 2(x-1)(x-2) (4分)三、解:(14分) 推证复化的梯形公式 (3分)推证复化的辛普生公式 (3分)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++==++=+)3/2,3/2()3/,3/(),()3(423121131hk y h x f k hk y h x f k y x f k k k h y y n n n n n n n n利用复化的梯形公式⎰2/0sin πxdx= 利用复化的辛普生公式⎰2/0sin πxdx=四、(12分)证明:k 3=f(x n ,y n )+2h/3f’(x n ,y n )+(2h/3)2f’’(x n ,y n )/2+0(h 2) (4分) y n+1=y n +h/4(3 k 3+k 1)= y n + h f(x n ,y n )+h 2f’(x n ,y n )/2+h 3/6f’’(x n ,y n )+0(h3) (8分) y n+1*= y n + h y n ’ +h 2y n ’’/2+h 3/6 y n ’’’ +0(h 3)y n+1 -y n+1*=0(h 3)则该公式是三阶的 (12分)五、解:(10分) 将1,x,x 2代入原式得A+B+C=2 B+2C=2 B+4C=8/3解得:A=1/3, B=4/3 C =1/3⎰++≈20)2(31}1{34)0(31)(f f f dx x f (8分)代数精确度为2 (10分)。
六、证明:(14分)1/x-c=0X k+1=x k -)()(k k x f x f '=x k (2-cx k ) X k+1-1/c=-c(x k -1/c)2设r k =1-cx k r k+1=r k 2 反复递推 r k =02r k(8分)若选初值0<x0<2/c 0r <1这时r k 趋近于0,从而叠代收敛 (10分) 用牛顿法构造求1/ eX 5= (14分)七、{10分}证明:设x =∑=ni ii ex 1y =∑=ni ii ey 1(4分))(0)()()(11∑∑=∞==→-≤--≤-=-ni i i ni i ie c yx c e y xyx y x y N x N..(10分)第三套一、 (10分)利用列主元素消去法解方程:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++==++=+)3/2,3/2()3/,3/(),()3(423121131hk y h x f k hk y h x f k y x f k k k h y y n n n n n n n n⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡•⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---453311294642321x x x二、 (15分)证明下面龙格-库塔方法是三阶的:)43,43()2,2(),()432(93213211h y h x f k hy h x f k y x f k k k k hy y n n n n n n n n ++=++==+++=+三、 (10分)求3次插值多项式使:P(0)=3, P(1)=5,4)0(='P ,6)1(='P ,四、 (20分)确定下面公式中的a,b ,使其代数精确度尽量高,并指出其代数精确度的次数:)]()([)()]()([2)(2b f a f a b a b f a f ab dx x f ba'-'-++-≈⎰五、(20分)分别利用梯形公式和Simpson 公式推导复化的梯形公式和Simpson 公式,并分别利用复化的梯形公式和Simpson 公式计算积分⎰91dxx (n=8)六、(15分)用二分法求方程f(x)=x 3+4x 2-10在区间[1,]上的根。
(1)要得到具有3位有效数的近似根,须作几次二分;(2)用二分法求具有3位有效数的近似根。
七、(10分)设•是n n R ⨯中的任意范数,nn R A ⨯∈,则有A A ≤)(ρ参考答案五、(10分)利用列主元素消去法解方程:解:⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---41125)45(0215210529445331129)4(642 (5分)x 1=139/20, x 2=5/2, x 3=-3/20 (10分)六、(15分)证明下面龙格-库塔方法是三阶的:证:)(61)(21)()()(321ξy h x y h x y h x y x y n n n n '''+''+'+=+(5分)))(,(21)21(),(21),(22ξξy f h y x f h y x f k n n n n ''+'+=(9分) ))(,(21)43(),(43),(23ξξy f h y x f h y x f k n n n n ''+'+=(13分)∴y(x n+1)- y n+1=o(h 3) (15分)七、(10分)求3次插值多项式使:P(0)=3, P(1)=5,4)0(='P ,6)1(='P ,解:设)()()()()(221121103x p x p x p x p x p ϕϕφφ'+'++= (2分))1(,0)0,0)1(,1)0(1(111='='==φφφφ0)1(,0)0(,1)1(,0)0(2222='='==φφφφ 0)1(,1)0(,0)1(,0)0(1111='='==ϕϕϕϕ 1)1(,0)0(,0)1(,0)0(2222='='==ϕϕϕϕ (6分) =∴)(3x p 3+4x-2x 2+6x 2(x-1) (10分)八、(20分)确定下面公式中的a,b ,使其代数精确度尽量高,并指出其代数精确度的次数:)]()([)()]()([2)(2b f a f a b a b f a f ab dx x f ba'-'-++-≈⎰解:将1,x ,x 2,,x 3代入)]()([)()]()([2)(2b f a f a b a b f a f ab dx x f ba'-'-++-≈⎰(4分)得]22[)(][2)(3122233b a a b a b a a b a b --++-=-(10分)]33[)(][2)(412223344b a a b a b a a b a b --++-=-a=b=1/2(15分)将1,x ,x 2,,x 3,x 4,x 5代入公式的两端,可得该公式具有4次代数精确度。
(20分)五、(20分)分别利用梯形公式和Simpson 公式推导复化的梯形公式和Simpson 公式,并分别利用复化的梯形公式和Simpson 公式计算积分⎰91dxx (n=8)证: 利用梯形公式推导复化的梯形公式(5分)Simpson 公式推导复化Simpson 公式(10分)解:利用复化的梯形公式⎰91dxx (n=8) = (15分)Simpson 公式计算积分⎰91dxx (n=8)= (20分)六、(15分)用二分法求方程f(x)=x 3+4x 2-10在区间[1,]上的根。