八年级初二数学平行四边形单元测试及答案
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分两种情形分别求解即可解决问题．
【详解】
解： 如图1中，以A为圆心AB为半径画弧交CD于E，作 的平分线交BC于点P，点P即为所求．
在 中， ， ， ，
，
故答案为6．
如图2中，结论： ．
理由：由翻折不变性可知： ， ，
垂直平分线段BE，
即 ，
，
，
，
．
如图 中，当点Q在线段CD上时，设 ．
在 中， ， ， ，
（1）试问四边形 能够成为菱形吗？如果能，求出相应的 值；如果不能，请说明理由；
（2）当 为何值时， ？请说明理由.
6．如图平行四边形ABCD，E，F分别是AD，BC上的点，且AE＝CF，EF与AC交于点O．
（1）如图①．求证：OE＝OF；
（2）如图②，将平行四边形ABCD（纸片沿直线EF折叠，点A落在A1处，点B落在点B1处，设FB交CD于点G．A1B分别交CD，DE于点H，P．请在折叠后的图形中找一条线段，使它与EP相等，并加以证明；
（3）如图③，若△ABO是等边三角形，AB＝4，点F在BC边上，且BF＝4．则 ＝（直接填结果）．
7．类比等腰三角形的定义，我们定义：有三条边相等的凸四边形叫做“准等边四边形”．
（1）已知：如图1，在“准等边四边形”ABCD中，BC≠AB，BD⊥CD，AB=3，BD=4，求BC的长；
（2）在探究性质时，小明发现一个结论：对角线互相垂直的“准等边四边形”是菱形．请你判断此结论是否正确，若正确，请说明理由；若不正确，请举出反例；
（3）拓展迁移：如图③，若四边形ABCD是平行四边形，且S四边形AEOG＝ S▱ABCD，若AB＝3，AD＝5，BE＝1，则AG＝．
10．在边长为5的正方形ABCD中，点E在边CD所在直线上，连接BE，以BE为边，在BE的下方作正方形BEFG，并连接AG．
（1）如图1，当点E与点D重合时，AG＝；
（2）如图2，当点E在线段CD上时，DE＝2，求AG的长；
(1)求直线AB的解析式，并求出t的值.
(2)当PE+PD取得最小值时，求 的值.
(3)设P的运动速度为1，若P从B点出发向右运动，运动时间为 ，请用含 的代数式表示△PAE的面积.
9．在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O的直线EF，GH分别交边AB、CD，AD、BC于点E、F、G、H．
拓展延伸：（3）在（2）的条件下，求出四边形 的两条对角线长；
（4）若四边形 为正方形，请仿照上述操作，进行一次平移，在图③中画出图形，标明字母，你能发现什么结论，直接写出你的结论．
3．在等边三角形ABC中，点D为直线BC上一动点（点D不与B，C重合），以AD为边在AD的上方作菱形ADEF，且∠DAF=60°，连接CF．
点Q为射线DC上的一个动点，将 沿AQ翻折，点D恰好落在直线BQ上的点 处，则 ______；
2．综合与实践．
问题情境：
如图①，在纸片 中， ， ，过点 作 ，垂足为点 ，沿 剪下 ，将它平移至 的位置，拼成四边形 ．
独立思考：（1）试探究四边形 的形状．
深入探究：（2）如图②，在（1）中的四边形纸片 中，在 ．上取一点 ，使 ，剪下 ，将它平移至 的位置，拼成四边形 ，试探究四边形 的形状；
（3）若AG＝ ，请直接写出此时DE的长．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、解答题
1．（1）①6；②结论： （2）为4和16．
【分析】
如图1中，以A为圆心AB为半径画弧交CD于E，作 的平分线交BC于点P，点P即为所求 理由勾股定理可得DE．
如图2中，结论： 只要证明 ， 即可解决问题．
（3）如图2，在△ABC中，AB=AC= ，∠BAC=90°．在AB的垂直平分线上是否存在点P，使得以A，B，C，P为顶点的四边形为“准等边四边形”．若存在，请求出该“准等边四边形”的面积；若不存在，请说明理由．
8．如图，等腰直角三角形OAB的三个定点分别为 、 、 ，过A作y轴的垂线 .点C在x轴上以每秒 的速度从原点出发向右运动，点D在 上以每秒 的速度同时从点A出发向右运动，当四边形ABCD为平行四边形时C、D同时停止运动，设运动时间为 .当C、D停止运动时，将△OAB沿y轴向右翻折得到△ ， 与CD相交于点E，P为x轴上另一动点.
（1）观察发现：如图①，若四边形ABCD是正方形，且EF⊥GH，易知S△BOE＝S△AOG，又因为S△AOB＝ S四边形ABCD，所以S四边形AEOG＝S正方形ABCD；
（2）类比探究：如图②，若四边形ABCD是矩形，且S四边形AEOG＝ S矩形ABCD，若AB＝a，AD＝b，BE＝m，求AG的长（用含a、b、m的代数式表示）；
八年级初二数学平行四边形单元测试及答案
一、解答题
1．在四边形ABCD中， ， ， ．
为边BC上一点，将 沿直线AP翻折至 的位置 点B落在点E处
如图1，当点E落在CD边上时，利用尺规作图，在图1中作出满足条件的图形 不写作法，保留作图痕迹，用2B铅笔加粗加黑 并直接写出此时 ______；
如图2，若点P为BC边的中点，连接CE，则CE与AP有何位置关系？请说明理由；
（1）（观察猜想）如图（1），当点D在线段CB上时，
① ；
② 之间数量关系为．
（2）（数学思考）：如图（2），当点D在线段CB的延长线上时，（1）中两个结论是否仍然成立？请说明理由．
（3）（拓展应用）：如图（3），当点D在线段BC的延长线上时，若 ， ，请直接写出 的长及菱形ADEF的面积．
．
4．在矩形 中，连结 ，点 从点 出发，以每秒1个单位的速度沿着 的路径运动，运动时间为 （秒）．以 为边在矩形 的内部作正方形 ．
，
在 中， ，
，
，
．
如图 中，当点Q在线段DC的延长线上时，
，
，
，
（1）如图，当 为正方形且点 在 的内部，连结 ，求证： ；
（2）经过点 且把矩形 面积平分的直线有______条；
（3）当 时，若直线 将矩形 的面积分成1：3两部分，求 的值．
5．如图，在 中， ，点 从点 出发沿 方向以 的速度向点 匀速运动，同时点 从点 出发沿 方向以 的速度向点 匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个地点也随之停止运动.设点 运动Βιβλιοθήκη Baidu时间是 秒（ ）.过点 作 于点 ，连接 .
【详解】
解： 如图1中，以A为圆心AB为半径画弧交CD于E，作 的平分线交BC于点P，点P即为所求．
在 中， ， ， ，
，
故答案为6．
如图2中，结论： ．
理由：由翻折不变性可知： ， ，
垂直平分线段BE，
即 ，
，
，
，
．
如图 中，当点Q在线段CD上时，设 ．
在 中， ， ， ，
（1）试问四边形 能够成为菱形吗？如果能，求出相应的 值；如果不能，请说明理由；
（2）当 为何值时， ？请说明理由.
6．如图平行四边形ABCD，E，F分别是AD，BC上的点，且AE＝CF，EF与AC交于点O．
（1）如图①．求证：OE＝OF；
（2）如图②，将平行四边形ABCD（纸片沿直线EF折叠，点A落在A1处，点B落在点B1处，设FB交CD于点G．A1B分别交CD，DE于点H，P．请在折叠后的图形中找一条线段，使它与EP相等，并加以证明；
（3）如图③，若△ABO是等边三角形，AB＝4，点F在BC边上，且BF＝4．则 ＝（直接填结果）．
7．类比等腰三角形的定义，我们定义：有三条边相等的凸四边形叫做“准等边四边形”．
（1）已知：如图1，在“准等边四边形”ABCD中，BC≠AB，BD⊥CD，AB=3，BD=4，求BC的长；
（2）在探究性质时，小明发现一个结论：对角线互相垂直的“准等边四边形”是菱形．请你判断此结论是否正确，若正确，请说明理由；若不正确，请举出反例；
（3）拓展迁移：如图③，若四边形ABCD是平行四边形，且S四边形AEOG＝ S▱ABCD，若AB＝3，AD＝5，BE＝1，则AG＝．
10．在边长为5的正方形ABCD中，点E在边CD所在直线上，连接BE，以BE为边，在BE的下方作正方形BEFG，并连接AG．
（1）如图1，当点E与点D重合时，AG＝；
（2）如图2，当点E在线段CD上时，DE＝2，求AG的长；
(1)求直线AB的解析式，并求出t的值.
(2)当PE+PD取得最小值时，求 的值.
(3)设P的运动速度为1，若P从B点出发向右运动，运动时间为 ，请用含 的代数式表示△PAE的面积.
9．在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O的直线EF，GH分别交边AB、CD，AD、BC于点E、F、G、H．
拓展延伸：（3）在（2）的条件下，求出四边形 的两条对角线长；
（4）若四边形 为正方形，请仿照上述操作，进行一次平移，在图③中画出图形，标明字母，你能发现什么结论，直接写出你的结论．
3．在等边三角形ABC中，点D为直线BC上一动点（点D不与B，C重合），以AD为边在AD的上方作菱形ADEF，且∠DAF=60°，连接CF．
点Q为射线DC上的一个动点，将 沿AQ翻折，点D恰好落在直线BQ上的点 处，则 ______；
2．综合与实践．
问题情境：
如图①，在纸片 中， ， ，过点 作 ，垂足为点 ，沿 剪下 ，将它平移至 的位置，拼成四边形 ．
独立思考：（1）试探究四边形 的形状．
深入探究：（2）如图②，在（1）中的四边形纸片 中，在 ．上取一点 ，使 ，剪下 ，将它平移至 的位置，拼成四边形 ，试探究四边形 的形状；
（3）若AG＝ ，请直接写出此时DE的长．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、解答题
1．（1）①6；②结论： （2）为4和16．
【分析】
如图1中，以A为圆心AB为半径画弧交CD于E，作 的平分线交BC于点P，点P即为所求 理由勾股定理可得DE．
如图2中，结论： 只要证明 ， 即可解决问题．
（3）如图2，在△ABC中，AB=AC= ，∠BAC=90°．在AB的垂直平分线上是否存在点P，使得以A，B，C，P为顶点的四边形为“准等边四边形”．若存在，请求出该“准等边四边形”的面积；若不存在，请说明理由．
8．如图，等腰直角三角形OAB的三个定点分别为 、 、 ，过A作y轴的垂线 .点C在x轴上以每秒 的速度从原点出发向右运动，点D在 上以每秒 的速度同时从点A出发向右运动，当四边形ABCD为平行四边形时C、D同时停止运动，设运动时间为 .当C、D停止运动时，将△OAB沿y轴向右翻折得到△ ， 与CD相交于点E，P为x轴上另一动点.
（1）观察发现：如图①，若四边形ABCD是正方形，且EF⊥GH，易知S△BOE＝S△AOG，又因为S△AOB＝ S四边形ABCD，所以S四边形AEOG＝S正方形ABCD；
（2）类比探究：如图②，若四边形ABCD是矩形，且S四边形AEOG＝ S矩形ABCD，若AB＝a，AD＝b，BE＝m，求AG的长（用含a、b、m的代数式表示）；
八年级初二数学平行四边形单元测试及答案
一、解答题
1．在四边形ABCD中， ， ， ．
为边BC上一点，将 沿直线AP翻折至 的位置 点B落在点E处
如图1，当点E落在CD边上时，利用尺规作图，在图1中作出满足条件的图形 不写作法，保留作图痕迹，用2B铅笔加粗加黑 并直接写出此时 ______；
如图2，若点P为BC边的中点，连接CE，则CE与AP有何位置关系？请说明理由；
（1）（观察猜想）如图（1），当点D在线段CB上时，
① ；
② 之间数量关系为．
（2）（数学思考）：如图（2），当点D在线段CB的延长线上时，（1）中两个结论是否仍然成立？请说明理由．
（3）（拓展应用）：如图（3），当点D在线段BC的延长线上时，若 ， ，请直接写出 的长及菱形ADEF的面积．
．
4．在矩形 中，连结 ，点 从点 出发，以每秒1个单位的速度沿着 的路径运动，运动时间为 （秒）．以 为边在矩形 的内部作正方形 ．
，
在 中， ，
，
，
．
如图 中，当点Q在线段DC的延长线上时，
，
，
，
（1）如图，当 为正方形且点 在 的内部，连结 ，求证： ；
（2）经过点 且把矩形 面积平分的直线有______条；
（3）当 时，若直线 将矩形 的面积分成1：3两部分，求 的值．
5．如图，在 中， ，点 从点 出发沿 方向以 的速度向点 匀速运动，同时点 从点 出发沿 方向以 的速度向点 匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个地点也随之停止运动.设点 运动Βιβλιοθήκη Baidu时间是 秒（ ）.过点 作 于点 ，连接 .