高中物理 7-6 正弦稳态电路的功率
第6章 正弦稳态电路的功率
例 求图所示电路电源对电路提供的功率（有功功率）。
3 + 2H – 4 + 1F 8 • I 3 4
j4
– 10 0°
–j4
10 2 cos2tV
解 利用 P = UI cos z 计算，只要算得阻抗 Z 即可， j4(4–j4) Z = 3 + j4+4 –j4 = 3 + 4 + j4 = 7 + j4 = 8.0623 29.74° I = U = 10 = 1.2403 A 8.0623 |Z| P = UI cos z = 10×1.2403×cos 29.74° = 10.77W
+ I
10kW 0.8 (超前) 15kW 0.6 (滞后)
– = 10000 [0.8 – j 1 – 0.82 ] 2300V 0.8 = 10000 – j7500 V•A • S2 = S2[cosZ2+ jsinZ2] = 15000 [0.6 + j 1 – 0.62 ] 0.6 = 15000 + j20000 V•A • S = S1 + S2 = 25000 + j12500 = 27950.85 26.57° V•A
Us2 RL 由此可得 PL = ( Rs+RL)2 第二步，令以上关于RL的导数等于零，或直接引用第四章中的 结论，即： RL = Rs 时，负载上获得的功率最大。 Us2 RL Us2 此时 PLmax = = 2 (2RL) 4RL 总结：当 ZL = RL + jXL = Rs – jXs = Zs* 时（共轭匹配），负载获 得的功率最大。 如果阻抗模值可变而阻抗角不变，那么在满足什么条件下获 得最大功率？
电路分析基础正弦稳态电路的功率
电路分析基础
对指标点1-2的贡献： • 掌握正弦稳态功率的基本知识，能够应用基本理论分 析计算正弦稳态功率问题。 对指标点2-2的贡献： • 能够运用电路网络的基本定理，准确描述二端网络的 等效阻抗、阻抗匹配等工程问题。
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电路分析基础
10.1 二端网络的功率
1、瞬时功率
设端口电压、电流，且 u(t) Um cos(t u )V
S
显然 cos(u i ) 功率因数角：u i
有功功率、无功功率、视在功率的关系：
SQ
S2 P 2 Q2
P
功率三角形
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电路分析基础
S UI
P UI cos(u i ) Q UI sin(u i )
5、复功率
，
设：U Uu I Ii
定义： S~ UI 伏安（VA）
视在功率： S UI 复功率： S~ UI
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电路分析基础
测试题2 有功功率、无功功率、视在功率、复功率、 功率因素之间有何联系？
S~ P 2 Q2 S
P Re S
S~ P jQ
P
S
Q Im S
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电路分析基础
测试题3 填空题
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电路分析基础
例1 电路如图所示，已知 is (t) 20 cos100tmA 求三条支路的有功功率、视在功率和功率因数。
（2）电容
z 90o
Q UI CU 2 I 2 C
（3）电感 z 90 o
Q
UI
U2
LI 2
（4）若二端网络不含受控源，则 L
Q 网络内各电容和电感元件的无功功率之和。
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电路分析基础
正弦稳态电路的功率公式
正弦稳态电路的功率公式在电路中，功率是电能转换的重要指标之一。
而对于正弦稳态电路，我们可以通过一条简单而有效的公式来计算其功率。
本文将详细介绍正弦稳态电路的功率公式，并解释其背后的原理和应用。
一、正弦稳态电路的功率公式正弦稳态电路是指电路中的电流和电压都是正弦波形式，并且其频率保持不变。
在这种情况下，我们可以使用以下功率公式来计算电路中的功率：P = Vrms * Irms * cos(θ)其中，P表示电路的功率，Vrms表示电压的有效值，Irms表示电流的有效值，θ表示电压和电流之间的相位差。
二、功率公式的原理解释为了更好地理解功率公式的原理，我们可以从电能转换的角度来解释。
在正弦稳态电路中，电流和电压都是周期性变化的，而功率则是电能转化的速率。
根据能量守恒定律，电路中产生的功率等于电能的消耗速率。
在公式中，Vrms和Irms分别表示电压和电流的有效值。
有效值是指在一个周期内，电压和电流的平方值的平均值的平方根。
有效值可以反映电压和电流的实际大小，而不受正弦波形式的影响。
而c os(θ)则表示电压和电流之间的相位差。
相位差是指电压和电流的波形之间的时间差，它可以是正值、负值或零值。
当相位差为零时，电压和电流完全同相，功率取得最大值。
当相位差为正值或负值时，电压和电流存在一定的错位，功率将减小。
因此，正弦稳态电路的功率公式可以通过电压和电流的有效值以及它们之间的相位差来计算电路的功率。
三、功率公式的应用功率公式在电路分析和设计中有着广泛的应用。
它可以帮助我们计算电路中的功率消耗，并进一步优化电路的设计。
功率公式可以用于计算电路中不同元件的功率消耗。
例如，我们可以通过测量电压和电流的有效值，并计算它们之间的相位差，来确定电阻、电容或电感元件的功率消耗。
功率公式可以用于分析电路中的功率传递和传输效率。
通过计算电路中不同节点的功率，我们可以了解能量在电路中的分布情况，找出能量损失的原因，并进一步改进电路的效率。
第22讲 正弦稳态电路的功率要点
4. 视在功率(表观功率)S 定义： S
def
1 UI U m I m 2
单位 : VA (伏安)
反映发电机、变压器等电气设备的容量。 例如某变压器的容量为560 kVA。如果负载是纯电阻, 则λ=cosθ= 1, 其传输功率为560 kW ; 如果负载是感 性 的 , 譬 如 λ=cosθ=0.5 时 , 它 所 传 输 的 有 功 功 率 为 280kW 。所以这类设备只能用视在功率 S 来衡量其容 量。
S Sk
k 1
b
例. 已知如图，求各支路的复功率。
I 2
+
10∠0o A
U
I 1
10W j25W
5W -j15W
_
解一： 100o [(10 j 25) //(5 j15)] 236(37.1o ) V U
电流源: ~ o o S发 236(37.1 ) 100 1882 j1424 VA
U
_
负 载
P jQ j Se
复功率守恒
~ Sk 0
k 1 b
b
U
k 1
b
k
Ik 0
*
(P
k 1
k
jQk ) 0
b Pk 0 k 1 b Qk 0 k 1
* 复功率守恒 , 不等于视在功率守恒 .
一般情况下：
PC=UIcos=UIcos(-90)=0 C QC =UIsin =UIsin (-90) = -UI= -U2/XC=-I2XC<0
5 复功率
记
~ * 为复功率，单位VA S U I
j u
正弦电路的功率（ＰＤＦ）
今日作业：7-117-137.3 正弦稳态电路中的功率Power in Sinusoidal Steady State一、瞬时功率(Instantaneous Power)----W二、平均功率(Average Power or Active Power)----W 三、无功功率(Reactive Power)----Var 四、视在功率(Apparent Power)----VA 五、功率因数（Power Factor ）的提高六、复功率(Complex Power)----VA7.3 正弦稳态电路中的功率Power in Sinusoidal Steady State正弦稳态电路+_ui一、瞬时功率(Instantaneous Power)----WA)cos(2V cos 2ϕωω−==t I i t U u 设：tUI t UI t t UI t UI t t UI ui p ωϕωϕϕϕωϕωϕϕωϕωω2sin sin ]2cos 1[cos ]cos sin 2sin cos 2[cos )cos )2[cos()cos(cos 2⋅++=+⋅+⋅=+−=−⋅==ωti,u,p[cos(2)cos )cos [1cos 2]sin sin 2p UI t UI t UI tωϕϕϕωϕω=−+=++⋅ϕcos UI 不可逆部分可逆部分返回二、平均功率(Average Power or Active Power)----Wϕcos )(10UI dtt p T P T==∫cos ϕ−−功率因数正弦稳态电路+_U I计算平均功率的两种方法ϕcos )()(UI P P P R=∑=21RXtg iu 121−=−=ϕψψϕϕ）（）的求解：（返回三、无功功率(Reactive Power)----Var sin Q UI ϕ=计算无功功率的另一种方法XQ Q =∑返回正弦稳态电路+_U I 四、视在功率(Apparent Power)----VA22S P Q UI=+=PQSϕ功率三角形注：在工程上视在功率用来表示电源设备（变压器、发电机等）的容量，也可用来衡量发电机可能提供的最大平均功率（额定电压×额定电流）正弦稳态电路+_U I等于多少？问：此电路的功率因数，另一个负载的，，已知一个负载的)(.cos )(.cos 0850Kw 90070Kw 70222111>==<==ϕϕϕϕP P P 1cos ϕ1P 2cos ϕ21I 2I I+_U解例1问题的提出：日常生活中绝大部分负载为感性cos ϕI当U 、P 一定时，∴五、功率因数（Power Factor ）的提高P =P R =UI cos ϕ其消耗的有功功率为：R LR U LU IU +-+-+-1、线路损耗增加；2、终端负载工作电压降低，影响其正常工作；3、电源容量增加。
电路课件-正弦稳态电路的功率
i(t) Im cos( t i ) 2I cos( t i )
暫態功率為
p(t) u(t)i(t) Um cos( t u )Im cos( t i )
1 2
U
m
I
m
[cos(
u
i
)
cos(2 t
u
i )]
P
1 2
U
m
I
m
1 2
Im2R
1 2
Um2 R
2、網路等效阻抗為一個電抗。 此時單口網路電壓與電流相位為正交關
係，即Z=u-i =90, (+電感,－電容)
pL (t) UI cos(2 t 2u 90 ) pC (t) UI cos(2 t 2u 90 )
是頻率為2的正弦量，在一段時間內
2
1000
8.26W
2 若採用匹配網路滿足共軛匹配條件，
1000Ω負載電阻可能獲得的最大平均功
率為
PL
100 100 100
2
100
25W
可見，採用共軛匹配網路，負載獲得的
平均功率將大大增加。
3 設計一個由電感和 電容構成的網路來滿 足共軛匹配條件，以 使負載獲最大功率。
上圖網路是可滿足上述條件的一種方案。
*
ZL RL jXL Z o
所獲最大功率：
Ro jXo
Pmax
U
2 oc
4 Ro
例20 圖示電路，已知ZL為可調負載,試
求ZL為何值時可獲最大功率?最大功率
為多少? 2 a
a
+ 10∠0o V
-
j2
ZL
正弦稳态的功率和能量
p(t ) = UI cosj z + UI cos(2wt + j z ) =UI cos j z + UI (cos 2wt cos j z - sin 2wt sin j z ) =UI cos j z (1 + cos 2wt ) - UI sin j z sin 2wt = p R (t ) + p X (t )
第十章 正弦稳态的功率和能量
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第十章 正弦稳态的功率和能量
10.1 基本元件的功率和能量
i
设元件端电压和电流为关联参考方向,正弦稳态时
+ u -
u (t ) = 2U cos(wt + j u )V , i(t ) = 2 I cos(wt + j i ) A
& & U = Uj u , I = Ij i
6, QL 与 W L 关系:
WL = 1 2 LI 2
QL = 2wW L
QL = X L I 2=wLI 2
三,电容元件(由对偶关系可得) 1, P = 0
1 U2 QC = - U m I m = -UI = = XCI 2 2 XC 2,
/zqjc/020206/jcjy/10.htm
w L (t ) = 1 2 1 2 1 2 Li = LI m sin 2 wt = LI m (1 - cos 2wt ) 2 2 4
角频率: 2w , w(t ) 0 5,平均储能:
1 WL = T
ò
T
0
1 2 1 w(t ) dt = LI m = LI 2 4 2
无功功率 Q L 与 W L 及 w 成正比. 储能越大,则能量交换规模越大; 能 量 交 换 速 率 越 大,则 交 换 规 模 也 越
第6章 正弦稳态电路的功率
• 1 基本概念 • 2 电阻平均功率 • 3 电感、电容的平均 储能 • 4 单口网络的平均功 率 功率因数 • 5 单口网络的无功功率
• 6 复功率
• 7 正弦稳态最大功率传 递定理
一、 单口网络的平均功率（有功功率)、 无功功率、视在功率、功率因数
1、单口网络的瞬间功率： 设任何时刻，单口网络上电流、电压关联参考方向, 表示为 u(t) = Umcos(t+u)，i(t) = Imcos(t+i)，则网络吸收的功率为 p(t) = i(t)•u(t) = UmImcos(t+u)cos(t+i) UmIm [cos( – ) + cos(2t+ + )] = u i u i 2 = UI [cos + cos(2t+u+i)]
无功功率的物理意义：电容和电感之间交换电磁能量，体现在 无功功率相互抵消。理想情况下，两者正好相等（?）。
三、复功率
• • •* 视在功率相量： S = UI = UI(cos z + jsin z) = P +jQ = Scos + jSsin (V•A)
6.5.4 正弦稳态最大功率传递定理
与第四章中讨论的电阻电路最大功率传递定理类似，所不 同的是所有的量都必须是相量。 • • Us Us • • Zs = I + I= + ( Rs+RL) + j(Xs+XL) Zs + ZL • • Us U ZL U s I= L ( Rs+RL)2 + (Xs+XL)2 – – 负载上得到的有功功率（即负载电阻获得的功率）为 2 U s RL PL = I2 RL = 2 2 ( Rs+RL) + (Xs+XL) 目标：选择 RL和 XL，使 PL 最大。 第一步，使分母第二项为零，即XL = – Xs ；
正弦稳态电路的功率、 复功率 、最大功率传输
U2 XL
0
i
容性负载
+ u -
C
PC=UIcos(-90)=0
发出无功
QC =UIsin (-90)= -UI I 2 X C
U2 XC
0
8
电压、电流的有 UR _
•
U
P UI cos URI
•
+
U_
R+ UX_ jX
U X Q UI sin UX I
不明显。因此一般将cos 提高到0.9左右即可。
21
§9-6 最大功率传输
I
有
源 网 络
负 等效电路 载
Zeq
+
•
U OC
ZL
-
Zeq= Req + jXeq， ZL= RL + jXL
Z=Zeq+ZL= (Req+RL) + j(Xeq+XL)
问：Zeq给定，ZL取何值时获得最大功率？
I
U OC
C
P
U
2
(tanφ1
tanφ2 )
+R
U
_
L
C IL
10 103 (tg53.13 tg25.84) 557 F
314 2202
未并电容时：
I
IL
U
P
cos1
10 103 220 0.6
75.8A
并联电容后：
I
P
10 103
50.5A
U cos2 220 0.9
20
若要使功率因数从0.9再提高到0.95 , 试问还应增
•
•
•
•
I UR
正弦稳态电路的功率公式
正弦稳态电路的功率公式1.有功功率：有功功率表示电路中能转化为其他形式的功率，通常是用于实现有用功能的功率。
在正弦稳态电路中，有功功率可以通过电压和电流的乘积来计算。
对于单相电路，有功功率的公式如下：P = V × I × cos(θ)其中，P表示有功功率，V表示电流的有效值，I表示电压的有效值，θ表示电压和电流之间的相位差。
在三相电路中，有功功率的公式如下：P = √3 × V × I × cos(θ)其中，P表示有功功率，V表示电压的有效值，I表示电流的有效值，θ表示电压和电流之间的相位差。
2.无功功率：无功功率表示电路中产生的电能不能被转化为其他形式的功率，它主要是用来提供电路元件的无效功率。
在正弦稳态电路中，无功功率可以通过电压和电流的乘积来计算。
对于单相电路，无功功率的公式如下：Q = V × I × sin(θ)其中，Q表示无功功率，V表示电流的有效值，I表示电压的有效值，θ表示电压和电流之间的相位差。
在三相电路中，无功功率的公式如下：Q = √3 × V × I × sin(θ)其中，Q表示无功功率，V表示电压的有效值，I表示电流的有效值，θ表示电压和电流之间的相位差。
3.视在功率：视在功率表示电路中的总功率，它等于有功功率和无功功率的向量和。
在正弦稳态电路中，视在功率可以通过电压和电流的乘积来计算。
对于单相电路，视在功率的公式如下：S=V×I其中，S表示视在功率，V表示电流的有效值，I表示电压的有效值。
在三相电路中，视在功率的公式如下：S=√3×V×I其中，S表示视在功率，V表示电压的有效值，I表示电流的有效值。
4.功率因数：功率因数表示有功功率和视在功率之间的比率，它反映了电路中有效功率的利用率。
功率因数通常用cos(θ)表示，在正弦稳态电路中，功率因数可以通过有功功率和视在功率的比值来计算。
正弦稳态的功率
2
PL UocI I 2 Ro
再对电流求导数，并令其等于零
dPL U oc 2 IR o 0 dI
次导数，并令其小于零
U oc 2 Ro RL ＝Ro I
得到极大值或极小值的条件是RL=Ro。再对电流I求一
d 2 PL 2 Ro 0 2 dI
上式表明在Ro>0的前提下，负载获得最大功率的条件 是
复功率的虚部Q=UIsin称为无功功率，它反映电源和 单口网络内储能元件之间的能量交换情况，为与平均功率
相区别，单位为乏(var)。
复功率的模称为视在功率，它表示一个电气设备的容
量，是单口网络所吸收平均功率的最大值，为与其它功率
相区别，用伏安(VA)为单位。例如我们说某个发电机的容 量为100kVA，而不说其容量为100kW。
当单口网络呈现纯电阻时，功率因数角为零以及功 率因数cos=1，功率利用程度最高。当单口网络等效为一
个电阻与电感或电容连接时，即单口呈现电感性或电容性
时，功率因数角=090以及功率因数cos<1，以致于 P<UI。为了提高电能的利用效率，电力部门采用各种措施 力求提高功率因数。
例11-1 图(a)表示电压源向一个电感性负载供电的电路模 型，试用并联电容的方法来提高负载的功率因数。
由上可见，采用共轭匹配网络，负载获得的平均功率
将大大增加。
例11-2 图(a)电路工作于正弦稳态，已知电压源电压为
uS (t ) 2 2 cos t V ，求电压源发出的平均功率。
解：图a)电路的相量模型，如图(b)所示。先求出连接电压
源单口网络的等效阻抗
Z 0.5 j1.5 ( j1)(j1 1 j1) 0.5 j1.5 0.5 j0.5 (1 j1) 1 j1
正弦稳态电路的功率、 复功率 、最大功率传输
有功功率守恒 无功功率守恒
S UI S1 S 2 (U1 U 2 ) I 视在功率不守恒
14
3. 功率因数的提高
功率因数：
P cos S
功率因数反映了用电设备的有功功率占供电设备 视在功率的比重。 一般用电设备多为感性负载（可等效为电阻和电 感的串联电路），导致电路的功率因数较低。
UR
电压三角形
I
+ U _
IG G
IB jB
IG
IB
P UI cosφ UIG U Q UI sinφ UI B
I
称 I G 为 I 的有功分量 称 I B 为 I 的无功分量
9
电流三角形
|Z|
R
X
|Y|
G
B
U
UR
UX
I
IG
IB
P
S
Q
相似三角形 5. 正弦交流电路功率的测量
§9-4 正弦稳态电路的功率
I
+
U
-
无源 线性 网络
u (t ) 2U cos t i (t ) 2 I cos(t φ)
φ u i
1. 瞬时功率p(t)
p(t ) u (t )i(t ) 2U cos t 2 I cos(t φ)
UI[cos φ cos( 2t φ)] 第一种分解方法 UI cos φ(1 cos 2t ) UI sin sin 2t
讨论：ZL=RL+jXL获得最大功率的条件？ 1）讨论 ZL=RL+jXL可任意改变的情况 ① 先假设RL不变，XL可变。 当XL = -Xeq时，Z＝Req+RL，P达到最大。
第6章(3)正弦稳态电路的功率
单位：瓦 (6.5-3)
在正弦稳态情况下，平均功率不仅与电压、电流的有 效值有关，而且与电压、电流的位相差有关。 式中 λ = cos ϕ 称为功率因数(power factor) ϕ = ϕu − ϕi 称功率因数角(power-factor angle) 通常所说的功率，都是指平均功率而言。平均功 率又叫有功功率(active power)。
Q = UI sin ϕ = UI sin ϕ Z
(6.5-27)
②Reactive Power in Terms of Z or Y : 对于不含 独立源的一端口，无功功率也可以 用阻抗或导纳计算。根据式(6.5-6)和(6.5-18)， (6.5-18)，即 2 * * (6.5-28a) Q = Im(UI ) = Im( ZII ) = I Im( Z ) = I 2 X (ω )
p (t ) = UI cos ϕ + UI cos(2ωt + 2ϕu − ϕ ) = UI cos ϕ + UI cos ϕ cos(2ωt + 2ϕu ) + UI sin ϕ sin(2ωt + 2ϕu )
(6.5-2) 上式中第一项始终大于(或小于、或等于零)，它是 瞬时功率中的不可逆部分；第二项是瞬时功率中的 可逆部分，其值正负交替，说明能量在外施电源和 二端网络之间来回交换。
第六章 正弦电路的稳态分析
注： i) 如果一端口只由R、L、C等无源元件组成，则功率 因数角φ＝阻抗角φZ，且|φZ|≤900，所以平均功率P≥0， 一端口吸收能量。根据能量守恒可知，P为一端口中电阻 元件所消耗的总功率（∵L、C元件不耗能）。 ii) 如果一端口除无源元件外尚有受控源(亦有功率因 数角φ＝阻抗角φZ)， |φZ|可能＞900。其平均功率P为负 值，说明该一端口对外提供能量。 iii) 如果一端口内含有独立电源，则功率因数角φ为 端口电压与端口电流的位相差。P可能为正，也可能为负 值。即一端口可能吸收能量，也可能对外提供能量。
7-6 正弦稳态电路的功率知识讲解
纯电阻电路中只有p>0, 纯电抗电路中 p>0和p<0各一半。
4)通常p>0的部分大于p<0的部分。
2、平均功率(有功功率)
在一个周期内的瞬时功率的平均值，简称
功率。 正弦信号 的平均功率为：
P 1
T
p(t)dt
T0
T 10 T [ U Ic o sZ U Ic o s (2tui)]d t
Z 'arc 0 .8 c 3 o.9 6 s
I & ' 6 .2 5 3 6 .9 o A
I 'C
U
I CI 'I 6.2 53.9 6 1 06 0 I&C 5j3.7-(55 -j8. 6 4.9 6 1 )9A 0 I&
由于: 得:
IC CU CIU C 3144.9212071μF
网络吸收的平均功率P与cosZ的大小密
切相关，cosZ表示功率的利用程度，称
为功率因数：
pf
cosZ
P S
Z=u-i：功率因数角
当二端网络为无源元件R、L、C组成时：
|Z|<=90 ,0<= pf <=1 Z<0 ,电路呈容性，电流超前电压； Z>0 ,电路呈感性，电流滞后电压。
一发电机其输出有效值为200V和频率 为50Hz的电压，要求最大输出功率为 10该00发W电。机若对纯电阻供电，其需提供的 电流为5A；
若该发电机若对一pf=0.5的感性负载 供电，则其需提供的电流为10A；
即，在电源电压一定时，功率因数降低， 要保持负载获得同样的有功功率，必然要 求电源提供的电流增加。
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5、无功功率
p(t) U I cosZ U I cos(2 t Z ) U I cosZ U I cosZ cos 2t U I sin Z sin 2 t U I cosZ (1 cos 2 t) U I sin Z sin 2 t
上式第二项的最大值为二端网络的无功功率 Q 。即
~
S
U
I
ZI
I
I2Z
~
S Uຫໍສະໝຸດ I U (UY )
U
V
Y
U2Y
注意：电流、电压若用振幅值时，不要忘了要乘1/2。
7、复功率守恒 复功率守恒定理：对于工作于正弦稳态的电路，由每个独立电源发出的复功率 的总和等于电路中其它电路元件所吸收复功率的总和：
S~发出 S~吸收
若假设电压初相为零，得
pC
(t )
Um
cos
t
Im
cos(
t
2
)
U m cos t ( Im sin t )
1 2
U
m
I
m
sin
2
t
UI
sin
2 t
pL (t)
Um
cos
t
Im
cos(
t
2
)
U m cos t (Im sin t )
P I2P U2 GR
电阻分量消耗的平均功率，就是单口网络吸收的平均功率。
3、视在功率
S UI
表示一个电气设备的容量，是单口网络所吸收平均功率的最大值，单位： 伏安(VA)。例如我们说某个发电机的容量为100kVA，而不说其容量为 100kW
4、功率因数 网络吸收的平均功率P与cosZ的大小密切相关，cosZ表示功率的利用程度， 称为功率因数
用电压、电流有效值后，计算电阻消耗的平均功率公式，与直流电路中相同。 若用电流、电压的振幅值，上述公式为
P
1 2 Um Im
1 2
Im2R
1 2
Um2 R
2、网络等效阻抗为一个电抗。 此时单口网络电压与电流相位为正交关系，即Z=u-i =90, (+电感－电容)
pL (t) UI cos(2 t 2u 90 ) pC (t) UI cos(2 t 2u 90 )
7-6 正弦稳态电路的功率
本节讨论正弦稳态单口网络的瞬时功率、平均功率(有功功率)、无功功 率、视在功率、复功率和功率因数。正弦稳态单口网络向可变负载传输最 大功率的问题。
7-6-1 二端网络的功率 1、瞬时功率 端口电压和电流采用关联参考方向，它吸收的功率为
p(t) u(t)i(t)
正弦稳态时 ，端口电压和电流是相同频率的正弦量，即
P
U
2 oc
RL
(R0 RL )2
求导数，并令其等于零。
dP dRL
( R0
RL )2 2(R0 (R0 RL )4
RL
) RL
U
2 oc
0
得 RL=Ro。
负载获得最大功率的条件是
*
ZL RL jXL Z o Ro jXo
所获最大功率：
Pmax
U
2 oc
UIcosZ
Z
2、平均功率(有功功率) 简称功率:在一个周期内的平均值：
1T
P T 0 p(t)dt
1 T
T
0 [YI cos Z UI cos(2 t u i )]dt
UI cos Z
平均功率不仅取决于电压电流有效值乘积VI，还与阻抗角Z=u-I有关。
4 Ro
最大功率传输定理：工作于正弦稳态的网络向一个负载ZL=RL+jXL供电，由戴维 南定理(其中 Zo=Ro+jXo)，则在负载阻抗等于含源网络输出阻抗的共轭复数 (即 ）时，
负载可以获得最大平均功率：
*
ZL Zo
Pmax
U
2 oc
4 Ro
满足 的匹配，称为* 共轭匹配。
ZL Zo
例20 图示电路，已知ZL为可调负载,试求ZL为何值时可获最大功率?最大功率 为多少?
P
1.1103
I'
6.25A
U pf ' 220 0.8
由于pf’=0.8 (滞后),因此功率因数角:
Z ' arccos 0.8 36.9
I' 6.25 36.9 A
I'
U
IC I
IC I' I 6.25 36.9 10 60 5 j3.75 - (5 - j8.66) 4.9190 A
U oc
负载电流：
I U oc
U oc
Z0 Z L R0 jX 0 RL jX L
I
U oc
(R0 RL )2 ( X 0 X L )2
负载吸收的平均功率：
P
I 2 RL
( R0
U
2 oc
RL
RL )2 ( X 0
X L )2
当XL=-Xo时，分母最小，此时
Um Im[cos(u
i )
cos(2 t
u
i )]
UI cos Z UI cos(2 t 2u Z )
Z=u-i是电压与电流的相位差。瞬时功率由一个恒定分量和一个频率为2ω的正弦 分量组成，周期性变化，当p(t)>0时，该网络吸收功率；当p(t)<0时，该网络发出功 率。瞬时功率的波形如图所示。
u(t) Um cos( t u ) 2U cos( t u ) i(t) Im cos( t i ) 2I cos( t i )
瞬时功率为
p(t) u(t)i(t) Um cos( t u )Im cos( t i )
1 2
pf
cos Z
P S
Z=u-i为功率因数角。当二端网络为无源元件R、L、C组成时：
|Z|<90 ,0< pf <1。
Z<0 ,电路呈容性，电流导前电压； Z>0 ,电
路感呈性，电流滞后电压。
为了提高电能的利用效率，电力部门采用各种措施力求提高功率因数。例如 使用镇流器的日光灯电路，它等效于一个电阻和电感的串联，其功率因数小 于1，它要求线路提供更大的电流。为了提高日光灯电路的功率因数，一个常 用的办法是在它的输入端并联一个适当数值的电容来抵销电感分量，使其端 口特性接近一个纯电阻以便使功率因数接近于1。
2
S~
U S
*
I1
2
245 2 j2 P Re( S~) 2W
3
P发出
I12 R1
I
2 2
R2
2 0.5 11
2W
4 P发出 I12 Re( Z ) I12 Re(1 j1) 2 1 2W
7-6-2 最大功率传输
图(a)所示含独立电源网络用戴维南等效电路代替，得到图(b)。其中， 是含源网 络的开路电压，Zo=Ro+jXo是含源网络的输出阻抗，ZL=RL+jXL是负载阻抗。
2 a
+
10∠0o
j2
ZL
V
-
b
解：ab以左运用戴维南电路,得右图。
a
Z0
+-
ZL
U oc
b
U OC
2
j2 j2
100
5
245 V
ZO
2 2
j2 j2
1
j1
所以,当
时Z, L
*
ZO
1
j1
可获最大功率.
Pmax
Q UI sin Z
可验证L和C时的特殊情况。
无功功率反映电源(或外电路)和单口网络内储能元件之间的能量交换情 况，单位为乏(var)(无功伏安：volt amper reactive)
与功率计算类似:
Q UI sin Z I 2 X U 2 B
Q I2Q U2
S S~ 1000 VA
P Re[ S~] 800 W Q Im[ S~] 600 Var
由于 Z 36.9
所以 pf cosZ cos(36.9 ) 0.8（导前）
例18 感性负载接在U=220V,f=50Hz的交流电源上,其平均功率P=1.1KW,功率因 数pf=0.5，欲并联电容使负载的功率因数提高到0.8(滞后),求电容。
B
X
6、复 功 率
为了便于用相量来计算平均功率，引入复功率。工作于正弦稳态的网络，其电 压电流采用关联的参考方向，设
U Uu
I
I Ii
U
N
S~
U
*
I
UIu
i
UI Z
UI cos Z jUIsin Z P jQ
单位：VA
复功率还有两个常用的公式：
由此可以导出一个正弦稳态电路的有功功率和无功功率也是守恒的结论。
正弦稳态电路中，由每个独立电源发出的有功功率的总和等于电路中其它元件 所吸收的有功功率的总和；由每个独立电源发出的无功功率的总和等于电路中 其它元件所吸收的无功功率的总和：