传热学讲义设计—第二章

第二章 稳态导热

本章重点：具备利用导热微分方程式建立不同边界条件下稳态导热问题的数学模型的能力

第一节 通过平壁的导热

1-1 第一类边界条件 研究的问题：

（1）几何条件：设有一单层平壁，厚度为δ，其宽度、高度远大于其厚度（宽度、高度是厚度的10倍以上）。这时可认为沿高度与宽度两个方向的温度变化率很小，温度只沿厚度方向发生变化。（属一维导热问题）

（2）物理条件：无内热源，材料的导热系数λ为常数。 （3） 边界条件：假设平壁两侧表面分别保持均匀稳定的温度

1w t 和2w t ，21w w t t >。（为第一类边界条件，同时说明过程是稳态的）

求：平壁的温度分布及通过平壁的热流密度值。 方法1 导热微分方程：

采用直角坐标系，这是一个常物性、无内热源、一维稳态导热问题（温度只在 x 方向变化）。

导热微分方程式为：022=dx

t

d （2-1）

边界条件为：10w x t t == ， 2w x t t ==δ （2-2）

对式（2-1）连续积分两次，得其通解： 21c x c t += （2-3）

这里1c 、2c 为常数，由边界条件确定 ，解得：⎪⎩

⎪⎨⎧=-=

11221w

w w t c t t c δ （2-4）

最后得单层平壁内的温度分布为： x t t t t w w w δ

2

11--

= （2-5）

由于δ 、1w t 、2w t 均为定值。所以温度分布成线性关系，即温度分布曲线的斜率是常数（温度梯度），

const t t dx dt w w =-=δ

1

2 （2-6）

热流密度为：)(21w w t t dx dt q -=-=δ

λ

λ

2/m W （2-7） 若表面积为 A, 在此条件下 , 通过平壁的导热热流量则为 :

t A qA ∆==Φδ

λ W （2-8）

考虑导热系数随温度变化的情况：

对于导热系数随温度线形变化，即)1(0bt +=λλ，此时导热微分方程为：0=⎪⎭

⎫

⎝⎛dx dt dx d λ 解这个方程，最后得：

⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡++-+⎪⎭

⎫ ⎝⎛

+=+)(211212121121

122w w w w w w t t b x t t bt t bt t δ 或 x t

t t t b b t b t w w w w w δ

12211)(2112

2-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+

说明：壁内温度不再是直线规律，而是按曲线变化。

对上式求导得：⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=)1/(222bt dx dt b dx t

d

因为 01>+bt ，02

>⎪⎭

⎫

⎝⎛dx dt

所以 0>b ⇒ 02

2

d ⇒ 曲线是向上凸的； 0dx

t

d ⇒ 曲线是向上凹的。

通过平壁的导热热流密度为：

()

⎥⎦

⎤⎢⎣⎡++-=+-=-=2121211)1(00w w w w t t b t t dx dt bt dx dt q λδλλ

式中，()m w w t t b λλλλ=+=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡++22112

1

021 则 )(2

1

w w m

t t q -=

δ

λ 从上式可以看出，如果以平壁的平均温度2

2

1w w m t t t +=来计算导热系数，则平壁的热流密

度仍可用导热系数为常数时的热流密度计算式：

δ

λ2

1w w m

t t q -=

多层平壁（复合壁）的导热问题

多层壁（复合壁）：就是由几层不同材料叠加在一起组成的平壁。

以下讨论三层复合壁的导热问题，如图所示。 假设条件：层与层间接触良好，没有引起附加热阻（亦称为接触热阻）也就是说通过层间分界面时不会发生温度降。

已知各层材料的厚度为： 1δ、2δ、3δ ，导热系数为：1λ、2λ、3λ，且均为常数。多层壁的最外两侧表面分别维持均匀稳定的温度1w t 和4w t ，且41w w t t >。

求：该多层平壁中的温度分布和通过平壁的导热量。 设两个接触面的温度分别为2w t 和3w t 。

此问题是无内热源一维稳态导热。整个过程是由三个换热环节串联而成，每个环节的热流密度是相等的。

∑=-=

++-=

3

1

,3

,2,1,4

14

1i i

w w w w R t t R R R t t q λ

λλλ （三层平壁单位面积的总热阻等于各层热阻之和）

1,12λqR t t w w -=

)(2,1,3,143λλλR R q t qR t t w w w +-=+=

因为每层平壁的温度分布都是直线，各层中直线的斜率是不同的，所以多层平壁中的温度分布是一条折线。

对于n 层多层平壁，热流密度：∑=+-=

n

i i

w w R t t q n 1

,1

1λ

1-2 第三类边界条件 研究的问题：

（1）几何条件：设有一厚度为δ的无限大平壁。。 （2）物理条件：无内热源，材料的导热系数λ为常数。

多层平壁的导热