传热学讲义设计—第二章

第二章 稳态导热本章重点：具备利用导热微分方程式建立不同边界条件下稳态导热问题的数学模型的能力第一节 通过平壁的导热1-1 第一类边界条件 研究的问题：（1）几何条件：设有一单层平壁，厚度为δ，其宽度、高度远大于其厚度（宽度、高度是厚度的10倍以上）。

这时可认为沿高度与宽度两个方向的温度变化率很小，温度只沿厚度方向发生变化。

（属一维导热问题）（2）物理条件：无内热源，材料的导热系数λ为常数。

（3） 边界条件：假设平壁两侧表面分别保持均匀稳定的温度1w t 和2w t ，21w w t t >。

（为第一类边界条件，同时说明过程是稳态的）求：平壁的温度分布及通过平壁的热流密度值。

方法1 导热微分方程：采用直角坐标系，这是一个常物性、无内热源、一维稳态导热问题（温度只在 x 方向变化）。

导热微分方程式为：022=dxtd （2-1）边界条件为：10w x t t == ， 2w x t t ==δ （2-2）对式（2-1）连续积分两次，得其通解： 21c x c t += （2-3）这里1c 、2c 为常数，由边界条件确定 ，解得：⎪⎩⎪⎨⎧=-=11221ww w t c t t c δ （2-4）最后得单层平壁内的温度分布为： x t t t t w w w δ211--= （2-5）由于δ 、1w t 、2w t 均为定值。

所以温度分布成线性关系，即温度分布曲线的斜率是常数（温度梯度），const t t dx dt w w =-=δ12 （2-6）热流密度为：)(21w w t t dx dt q -=-=δλλ2/m W （2-7） 若表面积为 A, 在此条件下 , 通过平壁的导热热流量则为 :t A qA ∆==Φδλ W （2-8）考虑导热系数随温度变化的情况：对于导热系数随温度线形变化，即)1(0bt +=λλ，此时导热微分方程为：0=⎪⎭⎫⎝⎛dx dt dx d λ 解这个方程，最后得：⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+)(211212121121122w w w w w w t t b x t t bt t bt t δ 或 x tt t t b b t b t w w w w w δ12211)(21122-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+说明：壁内温度不再是直线规律，而是按曲线变化。

对上式求导得：⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=)1/(222bt dx dt b dx td因为 01>+bt ，02>⎪⎭⎫⎝⎛dx dt所以 0>b ⇒ 022<dx td ⇒ 曲线是向上凸的； 0<b ⇒ 022>dxtd ⇒ 曲线是向上凹的。

通过平壁的导热热流密度为：()⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-=+-=-=2121211)1(00w w w w t t b t t dx dt bt dx dt q λδλλ式中，()m w w t t b λλλλ=+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++221121021 则 )(21w w mt t q -=δλ 从上式可以看出，如果以平壁的平均温度221w w m t t t +=来计算导热系数，则平壁的热流密度仍可用导热系数为常数时的热流密度计算式：δλ21w w mt t q -=多层平壁（复合壁）的导热问题多层壁（复合壁）：就是由几层不同材料叠加在一起组成的平壁。

以下讨论三层复合壁的导热问题，如图所示。

假设条件：层与层间接触良好，没有引起附加热阻（亦称为接触热阻）也就是说通过层间分界面时不会发生温度降。

已知各层材料的厚度为： 1δ、2δ、3δ ，导热系数为：1λ、2λ、3λ，且均为常数。

多层壁的最外两侧表面分别维持均匀稳定的温度1w t 和4w t ，且41w w t t >。

求：该多层平壁中的温度分布和通过平壁的导热量。

设两个接触面的温度分别为2w t 和3w t 。

此问题是无内热源一维稳态导热。

整个过程是由三个换热环节串联而成，每个环节的热流密度是相等的。

∑=-=++-=31,3,2,1,4141i iw w w w R t t R R R t t q λλλλ （三层平壁单位面积的总热阻等于各层热阻之和）1,12λqR t t w w -=)(2,1,3,143λλλR R q t qR t t w w w +-=+=因为每层平壁的温度分布都是直线，各层中直线的斜率是不同的，所以多层平壁中的温度分布是一条折线。

对于n 层多层平壁，热流密度：∑=+-=ni iw w R t t q n 1,11λ1-2 第三类边界条件 研究的问题：（1）几何条件：设有一厚度为δ的无限大平壁。

（2）物理条件：无内热源，材料的导热系数λ为常数。

多层平壁的导热（3）边界条件：给出第三类边界条件，即：在0=x 处，界面外侧流体的温度为1f t ，对流换热表面传热系数为1h ；在δ=x 处，界面外侧流体的温度为2f t ，对流换热表面传热系数为2h 。

求：平壁的温度分布及通过平壁的热流密度值。

常物性、无内热源、一维稳态导热过程的导热微分方程式仍为：022=dxtd边界条件：)(0101==-=-x f x t t h dxdt λ)(22f x x t t h dxdt -=-==δδλ解得：)(11212121f f f f t t k h h t t q -=++-=λδ1111h q t t f w ⋅-= 211)1(212h q t h q t t f f w ⋅+=+⋅-=λδ 求出1w t 、2w t ，就可得出平壁中的温度分布：x t t t t w w w δ211--=补充：对于上述的常物性、无内热源、一维稳态导热问题，如果给定第二类边界条件，会出现什么情况？第二类边界条件：10C q x == 和 2C q x ==δ由于是无内热源，稳态导热，所以21C C =，这意味着，上述两个条件是一致的，实际上就是一个条件。

根据这样一个条件，不能求出方程022=dxtd 的通解 21c x c t +=中的两个待定常数1c 和2c 。

问题的解为不定解。

所以，对于一维稳态导热问题，必须具有两个独立的边界条件才能确定出惟一的解。

第二类边界条件下的温度分布曲线： 根据 dxdtq λ-=，得C dxdtdx dt x x ====δ，所以平壁内的温度分布曲线为已知斜率C 的一簇平行直线。

t w 1工程上会遇到这样一类平壁：无论沿宽度还是厚度方向，都是由不同材料组合而成——复合平壁。

在复合平壁中，由于不同材料的导热系数不同，严格地说复合平壁的温度场是二维或三维的。

如：空斗墙、空斗填充墙、空心板墙、夹心板墙。

复合平壁中，由于不同材料的导热系数不同，严格地说复合平壁的温度场是二维或三维的。

简化处理：当组成复合平壁的各种不同材料的导热系数相差不大时，可近似当作一维导热问题处理。

复合平壁的导热量：∑∆=ΦλR t式中，t ∆——两侧表面棕温差；∑λR ——总导热热阻。

∑++++++++=3322111111E D A E C A E B A R R R R R R R R R R λλλλλλλλλλ工程中常用圆管作为换热壁面，如锅筒、传热管、热交换器及其外壳。

圆筒受力均匀、强度高、制造方便。

3-1 第一类边界条件 研究的问题：（1）几何条件：单层圆筒壁面，内半径为1r ，外半径为2r ，长度为l ，长度l 远大于壁厚。

（忽略轴向热流，热流只沿径向）（2）物理条件：无内热源，圆筒壁材料的导热系数λ为常数。

（3） 边界条件：圆筒壁内、外表面分别维持均匀稳定的温度1w t 和2w t ，且21w w t t >。

（为第一类边界条件，同时说明过程是稳态的）求：圆筒壁内的温度分布及通过圆筒壁的导热量。

根据以上条件知，这是一个常物性、无内热源、一维、稳态导热问题。

由于温度场是轴对称的，所以采用圆柱坐标系。

导热微分方程为：0)(=drdtr dr d 圆筒壁边界条件为： 11w r r t t ==22w r r t t ==微分方程的通解为：21ln c r c t += 根据边界条件，得出：121ln 21r r t t c w w -=和 1122ln ln 211r r r t t t c w w w -+= 则圆筒壁的温度分布为：112ln ln 211r r r r t t t t w w w --= 或 112ln ln 211d dd d t t t t w w w --=由此可见，圆筒壁中的温度分布呈对数曲线，而平壁中的温度分布呈线性分布。

圆筒壁的导热量在无限大平壁中，热流密度是常数，但在圆筒壁中，不同半径处的热流密度并不相等。

（dr dt q λ-=，但drdt不等于常数，它是r 的函数） 在稳态情况下，通过长度为l 的圆筒壁的导热量是恒定的，即：drdtAA q λ-=⋅=Φ W （A 是圆筒壁的面积，在不同的r 处，有不同的A 值） 在圆筒壁内，取一个半径为r ，厚度为dr 的微圆筒壁来分析，此时，rl A π2=，则：dr dt l r ⋅⋅-=Φπλ2， 而 r r r t t drdt w w 1ln 1212⋅-=解得：12ln 221r r t t l w w -⋅=Φπλ （可见，Φ与r 无关，通过整个圆筒壁面的热流量不随半径的变化而变化，在不同的r 处，通过的热流量是相等的。

）将Φ写成热阻形式，则：12ln 2121r r l t t w w πλ-=Φ W 式中，12ln21r r lπλ是长度为l 的圆筒壁的导热热阻，W K / 通过每米长圆筒壁的热流量为：12ln 2121r r t t lq w w l πλ-=Φ= m W / 单位长度圆筒壁的导热热阻为：12ln21r r R l πλλ=W K m /⋅ 多层圆筒壁的导热多层圆筒壁：由几层不同材料紧密结合所构成的圆筒壁。

利用串联热阻跌价原理求解。

该部分自学。

∑∑=+=++-=-=ni i i iw w ni il n w w l d d t t R t t q n 111,1,ln 211,11πλλ[例2-4] 自学。

注意：求各层直径时，应是δ2+d 。

对于圆管外，用几层材料进行保温时，应将导热系数少的材料设置在内侧。

对平壁有这种要求吗？ 3-2 第三类边界条件 研究的问题：（1）几何条件：单层圆筒壁面，内半径为1r ，外半径为2r ，长度为l ，)(12r r l ->>。

（2）物理条件：无内热源，圆筒壁材料的导热系数λ为常数。

（3） 边界条件：已知1r r =一侧的流体的温度为1f t ，对流换热表面传热系数为1h ，2r r =一侧流体的温度为2f t ，对流换热表面传热系数为2h ，且1f t >2f t 。