数系的扩充与复数的引入

1．复数的四则运算类似于多项式的四则运算，此时含有虚数单位i 的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可，但要注 意把i的幂写成最简单的形式，在运算过程中，要熟悉i的特点及熟练应用 运算技巧．
工具
工具
第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入
工具
第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入
处理有关复数的基本概念问题，关键是找准复数的实部和虚部，从 定义出发，把复数问题转化成实数问题来处理．每一个复数 z＝a＋bi(a，
→ b∈R)，在复平面内有唯一的一个点 Z(a，b)和它对应，而点 Z(a，b)与OZ 存在唯一对应关系，故复数可用点或向量表示．
2．复数的几何意义
(1)复平面的概念： 建立直角坐标系来表示复数的平面
叫做
复平面．
(2)实轴、虚轴：在复平面内，x轴叫做 实轴 ，y轴叫做 虚轴 ， 实轴上的点都表示 实数 ；除原点以外，虚轴上的点都表示 纯虚数 ．
(3)复数的几何表示： 复数 z＝a＋bi 复平面内的点
z(a，b) 平面向量O→Z.
解析： ∵z1＝4＋29i，z2＝6＋9i， ∴(z1－z2)i＝(－2＋20i)i＝－20－2i， ∴复数(z1－z2)i的实部为－20. 答案： －20
工具
第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入
5．已知0＜a＜2, 复数z＝a＋i的模的取值范围是________．
解析： ∵|z|＝|a＋i|＝ a2＋1，且 0＜a＜2， ∴0＜a2＜4，∴1＜a2＋1＜5.∴1＜|z|＜ 5. 答案： (1， 5)
工具
第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入
当实数a为何值时，z＝a2－2a＋(a2－3a＋2)i (1)为实数；(2)为纯虚数；(3)对应的点在第一象限内．
解析： (1)由 z 为实数得，a2－3a＋2＝0，
即(a－1)(a－2)＝0.
解得 a＝1 或 a＝2.
a2－2a＝0
①
(2)由 z 为纯虚数得a2－3a＋2≠0 ②
第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入
【变式训练】 1.将本例中的第(3)问改为“对应的点在第三象限”， 又如何求解？
a2－2a＜0 解析： z 对应的点在第三象限，则a2－3a＋2＜0 ， 即01＜ ＜aa＜ ＜22 ， 解得 1＜a＜2. ∴a 的取值范围是(1,2)．
工具
第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入
B．－1＋i D．－1－i
解析： 设 z＝a＋bi(a，b∈R)， 则 z ＝a－bi，∴z－ z ＝2bi＝2i，∴b＝1.
又 a－bi＝i(a＋bi)，∴－b＝a，∴a＝－1，∴z＝－1＋i.
答案： B
工具
第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入
Biblioteka Baidu
4．若复数z1＝4＋29i，z2＝6＋9i，其中i是虚数单位，则复数(z1－ z2)i的实部为________．
工具
第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入
工具
(2)复数的运算定律 若z1、z2、z3∈C，m、n∈N＋，则 ①z1＋z2＝ z2＋z1 . ②(z1＋z2)＋z3＝ z1＋(z2＋z3) ． ③z1z2＝ z2z1 . ④z1(z2z3)＝(z1z2)z3 . ⑤z1(z2＋z3)＝ z1z2＋z1z3 . ⑥zmzn＝ zm＋n . ⑦(zm)n＝ zmn . ⑧(z1z2)n＝z1nz2n .
第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入
1．在复平面内，复数z＝i(1＋2i)对应的点位于( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
解析： ∵z＝i(1＋2i)＝－2＋i，∴复数z在复平面内对应的点为
Z(－2,1)，该点位于第二象限．
答案： B
工具
第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入
由①得 a＝0 或 a＝2，
由②得 a≠1 且 a≠2，
∴a＝0.
工具
第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入
(3)当 z 对应的点在第一象限时，
a2－2a＞0
a＜0或a＞2
有a2－3a＋2＞0 ，得a＜1或a＞2 ，
解得 a＜0 或 a＞2.
∴a 的取值范围是(－∞，0)∪(2，＋∞)．
工具
工具
第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入
(4)复数的模
→ 向量OZ的长度 r 叫做复数 z＝a＋bi 的模，记作
即|z|＝|a＋bi|＝ a2＋b2
.
|z| 或 |a＋bi| ，
【思考探究】 任意两个复数能比较大小吗？ 提示： 不一定，只有这两个复数全是实数时才能比较大小．
工具
第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入
工具
第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入
3．复数的运算
(1)复数的加、减、乘、除运算法则
设 z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则 ①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝ (a＋c)＋(b＋d)i ； ②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝ (a－c)＋(b－d)i ； ③乘法：z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝ (ac－bd)＋(ad＋bc)i； ④除法：zz12＝ac＋＋dbii＝ac＋＋dbiicc－－ddii＝ac＋bdc2＋＋db2c－adi(c＋di≠0)．
2．已知复数 z＝1－i，则z－z21＝(
)
A．2
B．－2
C．2i
D．－2i
解析： ∵z＝1－i， ∴z－z2 1＝1－－ii2＝－－2ii＝2.
答案： A
工具
第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入
3．设 z 为复数 z 的共轭复数，若复数 z 同时满足 z－ z ＝2i， z ＝iz，
则 z 为( ) A．1＋i C．1－i
第4课时 数系的扩充与复数的引入
工具
第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入
工具
第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入
1．复数的有关概念 (1)复数的概念 形如a＋bi(a，b∈R)的数叫复数，其中a，b分别是它的 实部 和 虚部 ．若 b＝0 ，则a＋bi为实数；若 b≠0 ，则a＋bi为虚数；若 a＝0，b≠0 ，则a＋bi为纯虚数． (2)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔ a＝b，c＝d (a，b，c，d∈R)． (3)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔ a＝c，b＋d＝0 (a，b，c， d∈R)．