11数论方法选讲
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（第四届华杯赛决赛试题）
练习：一种游戏，每一局胜则得8分，平 则得5分，负则得0分.那么，无论比赛多 少局，不能达到的分数共有多少个？
数论知识链接
结论：设自然数a,b互质，则不能表成ax+by (x,y为非负整数)的最大整数为ab-a-b.
作业
1. 设p,q为正整数，使得
p 1 1 1 1 L 1 1 .
例2：已知最简分数m/n可以表示成：
m 1 1 1 L 1 ,
n 23
88
试说明分子m是质数89的倍数.
练习：设p,q为正整数，使得
p 1 1 1 1 L 1 1 1 .
q 234
1317 1318 1319
求证p是1979的倍数.
二、构造法
构造法是一种重要的数学方法，它灵活 多样，数论中很多问题都可以通过构造 某些特殊结构、特殊性质的整数或整数 的组合来解决.
（第六届“祖冲之杯”初中数学邀请赛试题）
练习：设 a1, a2 ,L , a100 , b1, b2 ,L , b100
为互不相同的实数，将它们按如下法则填入 1来自百度文库0100 的方格表：在位于第i行第j列之交处的方格内填入数
ai bj . 现知任何一列数的乘积都等于1.
证明：任何一行的数的乘积都等于－1.
（第25届苏联数学奥林匹克）
三、方程法
例6：取扑克牌中的四种花色1到10共40 张，任意摊放在桌上. 凡三张之和是9或 19或29就收起来. 这样操作下去，如果最 后剩下一张，问这张的点数是几？为什 么？
练习：某次考试，试题共6道，均为判 断题. 考生 认为正确的画“√”，认为错误的画“ ”.记分 的方法是：每道题答对的给2分，不答的给1分， 答错的不给分.已知赵，钱，孙，李，周，吴， 郑七人的答案及前六个人的得分记录在下表中. 请在表中填出郑的得分，并简单说明你的思路.
q 234
1999 2000
求证p是3001的倍数.
2. 从1，2，. . . ，2004这2004个数中，要求划去 尽量少的数，使得余下的数中每一个数都不 等于另外两个数的乘积. 应划去哪些数？
3. 有4个互不相等的自然数，将它们两两相加， 可以得到6个不同的和，其中较小的4个和是 64，66，68，70. 求这4个数.
例3：9999 和99! 能否表示成99个连续 的奇自然数之和？
练习：不能写成两个奇合数之和的最大偶 数是多少？
例4：从1，2，3，，999这999个数中，要求划 去尽量少的数，使得余下的数中每一个数都不 等于另外两个数的乘积. 应划去哪些数？
练习：一次考试中有 5道题目，对考试 成绩做了一个统计. 统计结果如下：81% 的学生做对了第1题，91%的学生做对了 第2题，85%的学生做对了第3题，79%的 学生做对了第4题，74%的学生做对了第 5题. 如果做对3题或者3题以上才算合格
答案 赵 钱 孙 李 周 吴 郑
1
√√√
√
2
√
√
3
√
√
4
√√
√√
5
√
√√
√
6
√√
得分 7 5 5 5 9 7
四、有序化
当我们研究的对象是一些数的时候，我们 常常将这些数排一个次序，即将它们有序化. 有序化的假设，实际上是给题目增加了一个 可供使用的条件.
例7：有4位小朋友的体重都是整数千克，他 们两两合称体重，共称了5次，称得的千克 数分别为99，113，125，130，144. 其中有 两人没有一起称过. 那么这两人中体重较重 的人的体重是多少千克？（1994年小学数学奥林匹克决
练习：某商场向顾客发放9999张购物券，每张 购物券上印有一个四位数的号码，从0001到 9999号. 若号码的前两位数字之和等于后两位 数字之和，则称这张购物券为“幸运券”. 例 如号码0734，因0+7=3+4，所以这个号码的购 物券是幸运券. 试说明，这个商场所发的购物 券中，所有幸运券的号码之和能被101整除.
数论方法选讲
配对法 构造法 方程法 有序化 枚举法
一、配对法
配对的形式是多样的，有数字的凑整配对， 也有集合间元素与元素的配对(可用于计数). 传说高斯8岁时求和（1+2+. . .+100）首创了 配对.像高斯那样，善于使用配对技巧，常常 能使一些表面上看来很麻烦.甚至很棘手的问 题迎刃而解.
例1：求1，2，3，. . .，9999998，9999999这 9999999个数中所有数码的和.
的话，那么这次考试的合格率至少是多
少？(华附1997年第二试倒数第二题)
例5：设 a1, a2 , b1, b2 都是实数，a1 a2 , 且
(a1 b1)(a1 b2 ) (a2 b1)(a2 b2 ) 1. 求证： (a1 b1)(a2 b1) (a1 b2 )(a2 b2 ) 1.
赛试题）
练习：将10到40之间的质数填入下图的圆圈中， 使得3组由“ ”所连的4个数的和相等. 如果 把和数相等的填法看做同一类填法，请说明一共 有多少类填法？并画图表示你的填法.
五、枚举法
小华玩某种游戏，每局可以随意玩若干 次，每次得分是8，a（a为自然数），0 这三个数中的一个. 每局每次得分的总和 叫做这一局的总积分. 小华曾得到过这样 的总积分：103、104、105、106、107、 108、109、110. 又知道他不可能得到 “83”分这个总积分. 问a是多少？
练习：一种游戏，每一局胜则得8分，平 则得5分，负则得0分.那么，无论比赛多 少局，不能达到的分数共有多少个？
数论知识链接
结论：设自然数a,b互质，则不能表成ax+by (x,y为非负整数)的最大整数为ab-a-b.
作业
1. 设p,q为正整数，使得
p 1 1 1 1 L 1 1 .
例2：已知最简分数m/n可以表示成：
m 1 1 1 L 1 ,
n 23
88
试说明分子m是质数89的倍数.
练习：设p,q为正整数，使得
p 1 1 1 1 L 1 1 1 .
q 234
1317 1318 1319
求证p是1979的倍数.
二、构造法
构造法是一种重要的数学方法，它灵活 多样，数论中很多问题都可以通过构造 某些特殊结构、特殊性质的整数或整数 的组合来解决.
（第六届“祖冲之杯”初中数学邀请赛试题）
练习：设 a1, a2 ,L , a100 , b1, b2 ,L , b100
为互不相同的实数，将它们按如下法则填入 1来自百度文库0100 的方格表：在位于第i行第j列之交处的方格内填入数
ai bj . 现知任何一列数的乘积都等于1.
证明：任何一行的数的乘积都等于－1.
（第25届苏联数学奥林匹克）
三、方程法
例6：取扑克牌中的四种花色1到10共40 张，任意摊放在桌上. 凡三张之和是9或 19或29就收起来. 这样操作下去，如果最 后剩下一张，问这张的点数是几？为什 么？
练习：某次考试，试题共6道，均为判 断题. 考生 认为正确的画“√”，认为错误的画“ ”.记分 的方法是：每道题答对的给2分，不答的给1分， 答错的不给分.已知赵，钱，孙，李，周，吴， 郑七人的答案及前六个人的得分记录在下表中. 请在表中填出郑的得分，并简单说明你的思路.
q 234
1999 2000
求证p是3001的倍数.
2. 从1，2，. . . ，2004这2004个数中，要求划去 尽量少的数，使得余下的数中每一个数都不 等于另外两个数的乘积. 应划去哪些数？
3. 有4个互不相等的自然数，将它们两两相加， 可以得到6个不同的和，其中较小的4个和是 64，66，68，70. 求这4个数.
例3：9999 和99! 能否表示成99个连续 的奇自然数之和？
练习：不能写成两个奇合数之和的最大偶 数是多少？
例4：从1，2，3，，999这999个数中，要求划 去尽量少的数，使得余下的数中每一个数都不 等于另外两个数的乘积. 应划去哪些数？
练习：一次考试中有 5道题目，对考试 成绩做了一个统计. 统计结果如下：81% 的学生做对了第1题，91%的学生做对了 第2题，85%的学生做对了第3题，79%的 学生做对了第4题，74%的学生做对了第 5题. 如果做对3题或者3题以上才算合格
答案 赵 钱 孙 李 周 吴 郑
1
√√√
√
2
√
√
3
√
√
4
√√
√√
5
√
√√
√
6
√√
得分 7 5 5 5 9 7
四、有序化
当我们研究的对象是一些数的时候，我们 常常将这些数排一个次序，即将它们有序化. 有序化的假设，实际上是给题目增加了一个 可供使用的条件.
例7：有4位小朋友的体重都是整数千克，他 们两两合称体重，共称了5次，称得的千克 数分别为99，113，125，130，144. 其中有 两人没有一起称过. 那么这两人中体重较重 的人的体重是多少千克？（1994年小学数学奥林匹克决
练习：某商场向顾客发放9999张购物券，每张 购物券上印有一个四位数的号码，从0001到 9999号. 若号码的前两位数字之和等于后两位 数字之和，则称这张购物券为“幸运券”. 例 如号码0734，因0+7=3+4，所以这个号码的购 物券是幸运券. 试说明，这个商场所发的购物 券中，所有幸运券的号码之和能被101整除.
数论方法选讲
配对法 构造法 方程法 有序化 枚举法
一、配对法
配对的形式是多样的，有数字的凑整配对， 也有集合间元素与元素的配对(可用于计数). 传说高斯8岁时求和（1+2+. . .+100）首创了 配对.像高斯那样，善于使用配对技巧，常常 能使一些表面上看来很麻烦.甚至很棘手的问 题迎刃而解.
例1：求1，2，3，. . .，9999998，9999999这 9999999个数中所有数码的和.
的话，那么这次考试的合格率至少是多
少？(华附1997年第二试倒数第二题)
例5：设 a1, a2 , b1, b2 都是实数，a1 a2 , 且
(a1 b1)(a1 b2 ) (a2 b1)(a2 b2 ) 1. 求证： (a1 b1)(a2 b1) (a1 b2 )(a2 b2 ) 1.
赛试题）
练习：将10到40之间的质数填入下图的圆圈中， 使得3组由“ ”所连的4个数的和相等. 如果 把和数相等的填法看做同一类填法，请说明一共 有多少类填法？并画图表示你的填法.
五、枚举法
小华玩某种游戏，每局可以随意玩若干 次，每次得分是8，a（a为自然数），0 这三个数中的一个. 每局每次得分的总和 叫做这一局的总积分. 小华曾得到过这样 的总积分：103、104、105、106、107、 108、109、110. 又知道他不可能得到 “83”分这个总积分. 问a是多少？