北师大版高中数学2-2第二章变化率与导数-导数的概念与导数的几何意义习题课课件73324
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高中数学第二章变化率与导数2.2导数的几何意义2.2.2导数的几何意义课件北师大版选修2_2
=
4������,
得k=f'(x0)=4x0.
根据题意 4x0=8,x0=2,代入 8x-y-15=0 得 y0=1.
故所求切点为 P(2,1),a=2x02 − ������0 = 7.
M 目标导航 UBIAODAOHANG
Z 知识梳理 HISHI SHULI
D 典例透析 IANLI TOUXI
f'(x0)=
lim
Δ ������ →0
������y ������x
=
������������������
������x →0
[2(������+������)2-������]-(2������2-������) ������
=
lim (4������
Δ ������ →0
+
2������)
y=
1 2
������
+
2,
则������(1) + ������′(1) =
.
解析:由导数的几何意义得
f'(1)=
1 2
,
由点M
在切线上得
f(1)=
1 2
×
1
+
2
=
5 2
,
所以f(1)+f'(1)=3.
答案:3
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Z 知识梳理 HISHI SHULI
D 典例透析 IANLI TOUXI
A.f'(x0)=2
B.f'(x0)=-2
C.f'(x0)=1
D.f'(x0)不确定
答案:A
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北师大版高中数学选择性必修2第2章2.1导数的概念及其几何意义课件
谢
谢
聆
听
（环节五）目标检测
1.已知函数f(x)的图象如图所示，‘ 是f(x)的导函数， 2.如图，函数y=f(x)的图象在点P处的
5+∆ − 5
切线方程是y=-x+8,则 lim
=(
则下列结论正确的是（
）
∆
A. 0 < ′ 1 < ′ 3 <
C. 0 < ′ 3 < ′ 1 <
3 − 1
能帮助我们解决哪些与切线相关的问题？
以 = 2 为例
4
瞬时变化率
y
3
2
切线斜率
1
–4
切线方程
–3
–2
–1
O
–1
–2
–3
–4
1
2
3
4
x
（环节三）应用拓展
例5：图5.1-7是人体血管中药物浓度c=f(t)(单
位：mg/mL）随时间t(单位：min)变化的函数图
象，根据图象，估计t=0.2,0.4,0.6,0.8min时，
1.（1）求曲线 = −2 2 + 1在 1, −1 处的切线方程.
1
2
3
2
(2)求曲线 = 2 − 2在点（1， − ）处切线的倾斜角.
（3）课本71页第10题
B组 思考 运用
2.(1)课本71页第11，12题
（2）阅读•理解：收集有关微积分创建的时代背景和牛顿、莱布尼兹的资料.
谢谢大家！
B．f(x)的递减速度越来越快，g(x)的递减速度越来越慢，h(x)的递减速度越来越快
C．f(x)的递减速度越来越慢，g(x)的递减速度越来越慢，h(x)的递增速度越来越慢
谢
聆
听
（环节五）目标检测
1.已知函数f(x)的图象如图所示，‘ 是f(x)的导函数， 2.如图，函数y=f(x)的图象在点P处的
5+∆ − 5
切线方程是y=-x+8,则 lim
=(
则下列结论正确的是（
）
∆
A. 0 < ′ 1 < ′ 3 <
C. 0 < ′ 3 < ′ 1 <
3 − 1
能帮助我们解决哪些与切线相关的问题？
以 = 2 为例
4
瞬时变化率
y
3
2
切线斜率
1
–4
切线方程
–3
–2
–1
O
–1
–2
–3
–4
1
2
3
4
x
（环节三）应用拓展
例5：图5.1-7是人体血管中药物浓度c=f(t)(单
位：mg/mL）随时间t(单位：min)变化的函数图
象，根据图象，估计t=0.2,0.4,0.6,0.8min时，
1.（1）求曲线 = −2 2 + 1在 1, −1 处的切线方程.
1
2
3
2
(2)求曲线 = 2 − 2在点（1， − ）处切线的倾斜角.
（3）课本71页第10题
B组 思考 运用
2.(1)课本71页第11，12题
（2）阅读•理解：收集有关微积分创建的时代背景和牛顿、莱布尼兹的资料.
谢谢大家！
B．f(x)的递减速度越来越快，g(x)的递减速度越来越慢，h(x)的递减速度越来越快
C．f(x)的递减速度越来越慢，g(x)的递减速度越来越慢，h(x)的递增速度越来越慢
北师大版高中数学选择性必修第二册2.2 导数的概念及其几何意义【课件】
点A转动最后趋于直线l，直线l和曲线y＝f(x)在点A处“相切”，称直
点A
线l为曲线y＝f(x)在________处的切线．
要点四 导数的几何意义
函 数 y ＝ f(x) 在 x0 处 的 导 数 ， 是 曲 线 y ＝ f(x) 在 点 (x0 ， f(x0)) 处 的
切线的斜率
_____________．
函数y＝f(x)在[x0，x0＋Δx]的平均变化率为 ，它是过A(x0，f(x0))和
∆
斜率
B(x0＋Δx，f(x0＋Δx))两点的直线的________，这条直线称为曲线y＝
f(x)在点A处的一条割线．
要点三 切线的定义
点A
当Δx趋于零时，点B将沿着曲线y＝f(x)趋于________，割线AB将绕
Δy 2 Δx 2 +16Δx
∴ ＝
＝2Δx＋16.
Δx
Δx
Δy
当Δx趋于0时， ＝16，∴f′(3)＝16.
Δx
题型三 求曲线在某点处的切线方程
1 3 4
例3 已知曲线C：y＝ x ＋ ，求曲线C上的横坐标为2的点处的切
3
3
线方程．
解析：将x＝2代入曲线C的方程得y＝4，
∴切点P(2，4)，
Δy
要点一 导数的概念
设函数y＝f(x)，当自变量x从x0变到x1时，函数值y从f(x0)变到f(x1)，
−
∆
+∆ −(0 )
−
函数值y关于x的平均变化率为 ＝___________＝
.
∆
∆
固定的值
当x1趋于x0，即Δx趋于0时，如果平均变化率趋于一个____________，
点A
线l为曲线y＝f(x)在________处的切线．
要点四 导数的几何意义
函 数 y ＝ f(x) 在 x0 处 的 导 数 ， 是 曲 线 y ＝ f(x) 在 点 (x0 ， f(x0)) 处 的
切线的斜率
_____________．
函数y＝f(x)在[x0，x0＋Δx]的平均变化率为 ，它是过A(x0，f(x0))和
∆
斜率
B(x0＋Δx，f(x0＋Δx))两点的直线的________，这条直线称为曲线y＝
f(x)在点A处的一条割线．
要点三 切线的定义
点A
当Δx趋于零时，点B将沿着曲线y＝f(x)趋于________，割线AB将绕
Δy 2 Δx 2 +16Δx
∴ ＝
＝2Δx＋16.
Δx
Δx
Δy
当Δx趋于0时， ＝16，∴f′(3)＝16.
Δx
题型三 求曲线在某点处的切线方程
1 3 4
例3 已知曲线C：y＝ x ＋ ，求曲线C上的横坐标为2的点处的切
3
3
线方程．
解析：将x＝2代入曲线C的方程得y＝4，
∴切点P(2，4)，
Δy
要点一 导数的概念
设函数y＝f(x)，当自变量x从x0变到x1时，函数值y从f(x0)变到f(x1)，
−
∆
+∆ −(0 )
−
函数值y关于x的平均变化率为 ＝___________＝
.
∆
∆
固定的值
当x1趋于x0，即Δx趋于0时，如果平均变化率趋于一个____________，
北师大版高中数学选修2-2：第二章 变化率与导数 复习课件
g
(
x)
(
g
(
x)
0)
当点Q沿着曲线无限接点
P即Δx→0时,割线PQ如果有一
个极限位置PT。则我们把直线
y
PT称为曲线在点P处的切线。
设切线的倾斜角为α,那 么当Δx→0时,割线PQ的斜率, 称为曲线在点P处的切线的斜 率。
P o
即: k切线
f
' ( x0 )
lim
x0
y x
练习3：求下列函数的导数。
12 y
x x2
y 1 4 x2 x3
x y
1 x2
y 1 x2
1 x2 2
y tan x
本题可先将tanx转化为sinx和cosx的比值， 再利用导数的运算法则(3)来计算。
y
1 cos2
x
练习4：求曲线
y
9 x
在点M(3，3)处的切线
x)－f(x0)，若极限
lim
x0
y x
lim
x0
f
( x0
x) x
f
(x0 )
存在，
则此极限称为f(x)在点 x x0 处的导数，记为
f ’(x0)，或 y |xx0 。
2．导函数：如果函数y=f(x)在区间(a，b)内每一点都可导，
就说y=f(x)在区间(a，b)内可导．即对于开区间(a，b)内每
y 3x2 2
练习2：求下列函数的导数。
y x3 sin x cos x y 3 x 2 cos x sin x
y 2sin x cos x 2x2 1 y co s x 4 x
高中数学第二章变化率与导数2.2导数的概念及其几何意义课件北师大选修2_2
=
������(������0
+
������)-������(������0) ������
,曲线割线的斜率就是函数的平均
(2)切线的斜率.
当点B沿曲线趋近于点A时,割线AB绕点A转动,它的最终位置为
直线AD,这条直线AD叫作此曲线在点A的切线.则当Δx→0时,割线
AB的斜率趋近于在点A的切线AD的斜率,即 切线AD的斜率.
1.导数的概念
定义:设函数y=f(x),当自变量x从x0变到x1时,函数值从f(x0)变到
f(x1),函数值y关于x的平均变化率为
������ ������
=
������(������1)-������(������0) ������1-������0
=
������(������0+ΔΔ������������)-������(������0),
当x1趋于x0,即Δx趋于0时,如果平均变化率趋于一个固定的值,那
么这个值就是函数y=f(x)在x0点的瞬时变化率,在数学中,称瞬时变
化率为函数y=f(x)在x0点的导数.
计算公式:f'(x)= lim
������ 1 →������ 0
f(xx11)--fx(0x0)=������������x������→������0
§2.2 导数的概念及其几何意义
学习目标
思维脉络
1.通过实例分析,体会由平 均变化率过渡到瞬时变化
率的过程,了解导数概念建 立的背景. 2.理解瞬时变化率的含义, 并知道瞬时变化率就是导
数. 3.会求函数 f(x)在某一点 x0 处的导数. 4.理解导数的几何意义,并 能利用几何意义解决相关
问题. 5.会求与导数相关的切线 问题.
高中数学 第二章 变化率与导数 2.2.1 导数的概念 2.2.2 导数的几何意义课件 北师大版选
提示：在点x=x0处的导数的定义可变形为f′(x0)=
lx im 0f(x0－ 或－ xf )′－ x (xf0)=x0
lim
f
x
f
x0
.
xx0 x－x0
28
【类题·通】
求一个函数y=f(x)在x=x0处的导数的步骤
(1)求函数值的变化量Δy=f(x0+Δx)-f(x0).
(2)求平均变化率 yf(x0x)fx0.
47
(1)求直线l1，l2的方程. (2)求由直线l1，l2和x轴所围成的三角形的面积.
48
【思维·引】1.设出切点的坐标，利用导数在切点处的 导数值即为切线的斜率求解. 2.(1)利用导数的几何意义求出切线的斜率，进而求出 两直线的方程；(2)解方程组求出两直线的交点坐标， 利用三角形的面积公式求解.
36
【解析】将x=1代入曲线C的方程得y=1，即切点
P(1，1).
因为f′(1)=
limy＝ lim(1x)313
x x 0
x 0
x
＝ lim3x3(x)2(x)3
x 0
x
=
l
xi[m30 +3Δx+(Δx)2]=3，
37
所以切线方程为y-1=3(x-1)， 即3x-y-2=0.
38
【素养·探】 求曲线在某点处的切线方程通常应用的数学核心素养 是数学运算，一般要根据导数的定义求出函数的导数， 即所求切线的斜率，然后利用直线的点斜式方程求切 线的方程. 本典例中的切线与曲线C是否还有其他的公共点？
59
2.面积问题三类型 (1)曲线的一条切线与两坐标轴围成的图形的面积.此类 问题，只要求出切线方程与两坐标轴的交点，即可计 算.
2.2《导数的概念及其几何意义》课件(北师大版选修2-2)
T=f(t)表示. (1)f′(t)的含义是什么？f′(t)的符号是什么？为什么？
（2）f′(3)=-4的实际意义是什么？如果f(3)=60(℃)，你能
画出函数在点t=3时图象的大致形状吗？
2.已知曲线C:y=x2与定点A（2，3），过定点A与曲线相切的直 线方程为________.
3.求曲线f(x)=x2-x+3在点（1,3)处的切线方程.
∴切线方程为y-1=3(x-1) 即3x-y-2=0. 如图所示 易求得直线x=2与直线3x-y-2=0 的交点为（2，4）
1 2 4 8 (2- ) 4=2 = . 2 3 3 3 8 答案： 3
∴S△=
4.（15分）已知抛物线C1：y1=x2+2x和C2：y2=-x2+a.如果直线l
(A)4
(B) - 1 (C)2 (D) 1 4 2 【解题提示】求y=f(x)在点（1，f(1)）处切线的斜率即
求f′(1),可借助g′(1)求解.
【解析】
2.（5分）垂直于2x-6y+1=0且与曲线y=x3+3x2-1相切的直线方 程一般形式为_______.
【解析】直线2x-6y+1=0的斜率为 1 , 3 ∴所求直线的斜率为-3.
课程目标设置
主题探究导学
1.“函数y=f(x)在x=x0处的导数值就是Δ x=0时的平均变化率”.
这种说法对吗？
提示：这种说法不对，y=f(x)在x=x0处的导数值是Δx趋向于
y 0时，平均变化率 无限接近的一个常数值，而不是Δx=0时 x y 的值，实际上，在平均变化率的表达式 中，Δx≠0. x
2.能否认为函数在x=x0处导数越大，其函数值变化就越快? 提示：这种说法不正确.导数的正、负号确定函数值变化的趋 势，其绝对值大小确定变化的快慢.应说导数的绝对值越大， 函数值变化越快，即切线“越陡”.
（2）f′(3)=-4的实际意义是什么？如果f(3)=60(℃)，你能
画出函数在点t=3时图象的大致形状吗？
2.已知曲线C:y=x2与定点A（2，3），过定点A与曲线相切的直 线方程为________.
3.求曲线f(x)=x2-x+3在点（1,3)处的切线方程.
∴切线方程为y-1=3(x-1) 即3x-y-2=0. 如图所示 易求得直线x=2与直线3x-y-2=0 的交点为（2，4）
1 2 4 8 (2- ) 4=2 = . 2 3 3 3 8 答案： 3
∴S△=
4.（15分）已知抛物线C1：y1=x2+2x和C2：y2=-x2+a.如果直线l
(A)4
(B) - 1 (C)2 (D) 1 4 2 【解题提示】求y=f(x)在点（1，f(1)）处切线的斜率即
求f′(1),可借助g′(1)求解.
【解析】
2.（5分）垂直于2x-6y+1=0且与曲线y=x3+3x2-1相切的直线方 程一般形式为_______.
【解析】直线2x-6y+1=0的斜率为 1 , 3 ∴所求直线的斜率为-3.
课程目标设置
主题探究导学
1.“函数y=f(x)在x=x0处的导数值就是Δ x=0时的平均变化率”.
这种说法对吗？
提示：这种说法不对，y=f(x)在x=x0处的导数值是Δx趋向于
y 0时，平均变化率 无限接近的一个常数值，而不是Δx=0时 x y 的值，实际上，在平均变化率的表达式 中，Δx≠0. x
2.能否认为函数在x=x0处导数越大，其函数值变化就越快? 提示：这种说法不正确.导数的正、负号确定函数值变化的趋 势，其绝对值大小确定变化的快慢.应说导数的绝对值越大， 函数值变化越快，即切线“越陡”.
高中数学 第二章 变化率与导数 2.2.1 导数的概念 2.2.2 导数的几何意义学案(含解析)北师
2016-2017学年高中数学第二章变化率与导数2.2.1 导数的概念2.2.2 导数的几何意义学案（含解析）北师大版选修2-2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2016-2017学年高中数学第二章变化率与导数2.2.1 导数的概念2.2.2 导数的几何意义学案（含解析）北师大版选修2-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2016-2017学年高中数学第二章变化率与导数2.2.1 导数的概念2.2.2 导数的几何意义学案（含解析）北师大版选修2-2的全部内容。
2.2。
1 导数的概念2.2。
2 导数的几何意义1.理解导数的概念及导数的几何意义。
(重点、难点)2.会求导函数及理解导数的实际意义。
(重点）3.掌握利用导数求切线方程的方法.(难点）[基础·初探］教材整理1 函数f（x）在x＝x0处的导数阅读教材P32“例1”以上部分,完成下列问题。
函数y＝f（x）在x0点的瞬时变化率称为函数y＝f(x)在x0点的导数，通常用符号f′（x0)表示,记作f′(x0）＝错误!错误!＝错误!_错误!.设函数y＝f（x)可导，则错误!错误!等于（）A.f′(1) B。
3f′(1)C.错误!f′(1）D.以上都不对【解析】由f（x)在x＝1处的导数的定义知，应选A。
【答案】A教材整理2 导数的几何意义阅读教材P34～P36，完成下列问题.函数y＝f（x）在x0处的导数，是曲线y＝f(x)在点（x0,f(x0)）处的切线的斜率。
函数y ＝f（x）在x0处切线的斜率反映了导数的几何意义.抛物线y＝x2＋4在点(－2，8）处的切线方程为________________.【解析】因为y′＝错误!错误!＝错误! (2x＋Δx）＝2x,所以k＝－4，故所求切线方程为4x＋y＝0。
【优质课件】高二数学北师大版选修222.12.2 变化的快慢与变化率 导数的概念及其几何意义优秀课件.pptx
123
123
123
对平均速度和瞬时速度的关系的理解 剖析:平均速度和瞬时速度都是反映运动物体的位移随时间变化而变化的情况. 平均速度是运动物体在一个时间段里位移的改变量与这段时间的比值,而瞬时速 度是运动物体在某一时刻的速度,当一个时间段趋于0时的平均速度就是瞬时速度.
题型一
题型二
题型三
题型四
中小学精编教育课件
第二章 变化率与导数
§1 变化的快慢与变化率 §2 导数的概念及其几何意义
123
123
【做一做1】 设函数y=f(x),当自变量x从x0变到x0+Δx时,函数的改变量Δy为 ()
A.f(x0+Δx) C.f(x0)·Δx 答案:D
B.f(x0)+Δx D.f(x0+Δx)-f(x0)
题型一
题型二
题型三
题型四
题型一
题型二
题型三
题型四
题题型二
题型三
题型四
题型一
题型二
题型三
题型四
题型一
题型二
题型三
题型四
题型一
题型二
题型三
题型四
题型一
题型二
题型三
题型四
1 2 3 4 56
1 2 3 4 56
2设f'(x0)=0,则曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线 ( )
.
答案:210 m/s
1 2 3 4 56
1 2 3 4 56
1 2 3 4 56
感谢各位老师！
祝： 身体健康
万事如意
A.不存在
B.与x轴平行或重合
C.与x轴垂直
D.与x轴斜交
北师版高中数学选择性必修第二册精品课件 第二章 习题课——导数的概念及运算法则
( + Δ)-()
f'(x)= lim
,那么f'(x)是关于x的函数,称f'(x)为y=f(x)的导函数,
Δ→0
Δ
也简称导数,有时也将导数记作y'.
2.用定义法求函数f(x)=2x2的导数f'(x),并利用f'(x)求f'(0),f'(-1)的值.
2
2(x+x) -2x2
解:f'(x)= lim
又由题图知y=f'(x)与y=g'(x)的图象在x=x0处相交,说明y=f(x)与y=g(x)的图
象在x=x0处的切线的斜率相等,故可排除B.故选D.
答案:D
f(1-2x)-f(1)
3.已知函数 f(x)=2ln 3x+8x,则 lim
的值为(xຫໍສະໝຸດ Δ→0A.10B.-10
C.-20
).
D.20
6
2
解析:∵f(x)=2ln 3x+8x,∴f'(x)=3x+8=8+x .根据导数定义,知
(1-2Δ)-(1)
(1-2Δ)-(1)
=-2 lim
=-2f'(1)=-20.故选 C.
Δ
x→0
-2Δ
-2Δ→0
答案:C
1
4.已知函数f(x)=
3
sin3x+3xf'(0),则f'(0)=
y'=αxα-1
y'=axln a 特别地(ex)'=ex
1
1
y'=x a 特别地(ln x)'=x
1
(2)导数的运算法则
f'(x)= lim
,那么f'(x)是关于x的函数,称f'(x)为y=f(x)的导函数,
Δ→0
Δ
也简称导数,有时也将导数记作y'.
2.用定义法求函数f(x)=2x2的导数f'(x),并利用f'(x)求f'(0),f'(-1)的值.
2
2(x+x) -2x2
解:f'(x)= lim
又由题图知y=f'(x)与y=g'(x)的图象在x=x0处相交,说明y=f(x)与y=g(x)的图
象在x=x0处的切线的斜率相等,故可排除B.故选D.
答案:D
f(1-2x)-f(1)
3.已知函数 f(x)=2ln 3x+8x,则 lim
的值为(xຫໍສະໝຸດ Δ→0A.10B.-10
C.-20
).
D.20
6
2
解析:∵f(x)=2ln 3x+8x,∴f'(x)=3x+8=8+x .根据导数定义,知
(1-2Δ)-(1)
(1-2Δ)-(1)
=-2 lim
=-2f'(1)=-20.故选 C.
Δ
x→0
-2Δ
-2Δ→0
答案:C
1
4.已知函数f(x)=
3
sin3x+3xf'(0),则f'(0)=
y'=αxα-1
y'=axln a 特别地(ex)'=ex
1
1
y'=x a 特别地(ln x)'=x
1
(2)导数的运算法则
高中数学 第二章 变化率与导数 2.2.2 导数的几何意义课件6 北师大版选修2-2
2.2 导数的几何意义
K12课件
1
什么叫函数的导数?
在数学中，称瞬时变化率为函数y=f(x)在x0 点的导数，通常用符号fˊ(x0)表示，记作：
f
(x0 )
lim
x1 x0
f (x1) f (x0 ) x1 x0
lim f (x0 x) f (x0 ) .
x0
x
的正切值
C.曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处切线的斜率
D.点(x0，f(x0))与点(0,0)连线的斜率
K12课件
13
2.如图已知曲线 y 1 x3上一点P(2, 8 ) ,
3
3
y
求:(1)点P处的切线的斜率; 4
4
y 1 x3 3
(2)点P处的切线方程.
3
P
2
12x-3y-16=0
x0
x
y
2x (x)2
lim
2.
x0
x
因此,切线方程为y-2=2(x-1), 即y=2x.
P
M
x
1j
x
-1 O 1
K12课件
12
1.函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何 意义是( C)
A.在点x0处的函数值 B.在点(x0，f(x0))处的切线与x轴所夹锐角
K12课件
3
学习目标：
1.理解曲线的切线的概念，通过函数的图 像直观的理解导数的几何意义； 2.会用导数的几何意义解题。
K12课件
4
割线的斜率
y f(x2)
f(x1)
O
y=f(x)
B
f(x2)-f(x1)=△y
A
K12课件
1
什么叫函数的导数?
在数学中，称瞬时变化率为函数y=f(x)在x0 点的导数，通常用符号fˊ(x0)表示，记作：
f
(x0 )
lim
x1 x0
f (x1) f (x0 ) x1 x0
lim f (x0 x) f (x0 ) .
x0
x
的正切值
C.曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处切线的斜率
D.点(x0，f(x0))与点(0,0)连线的斜率
K12课件
13
2.如图已知曲线 y 1 x3上一点P(2, 8 ) ,
3
3
y
求:(1)点P处的切线的斜率; 4
4
y 1 x3 3
(2)点P处的切线方程.
3
P
2
12x-3y-16=0
x0
x
y
2x (x)2
lim
2.
x0
x
因此,切线方程为y-2=2(x-1), 即y=2x.
P
M
x
1j
x
-1 O 1
K12课件
12
1.函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何 意义是( C)
A.在点x0处的函数值 B.在点(x0，f(x0))处的切线与x轴所夹锐角
K12课件
3
学习目标：
1.理解曲线的切线的概念，通过函数的图 像直观的理解导数的几何意义； 2.会用导数的几何意义解题。
K12课件
4
割线的斜率
y f(x2)
f(x1)
O
y=f(x)
B
f(x2)-f(x1)=△y
A
高中数学第二章变化率与导数2.2导数的几何意义2.2.1导数的概念课件北师大版选修2_2
D 典例透析 IANLI TOUXI
S 随堂演练 UITANGYANLIAN
1
2
3
4
5
2已知函数f(x)=5-7x,则f'(2)为( ) A.5 B.7 C.-7 D.-9 答案:C
M 目标导航 UBIAODAOHANG
Z 知识梳理 HISHI SHULI
D 典例透析 IANLI TOUXI
S 随堂演练 UITANGYANLIAN
= lim
Δ������→0
-
������(������0-������)-������(������0) ������
=
lim
Δ������→0
������[������0
+
(-������)]-������(������0) -������
=
−2.
答案:-2
M 目标导航 UBIAODAOHANG
位:s)的函数,且y=f(t)=3t.求函数y=f(t)在t=2处的导数f'(2),并解释它
的实际意义.
解:根据导数的定义,得
������ ������
=
������(2+������)-������(2) ������
=
3(2+Δ������)-3×2 Δ������
=
3.
所以
f'(2)=
=
������(������1)-������(������0) ������1-������0
=
������(������0+������)-������(������0) ������
.
当������1 趋于������0, 即 Δ������趋于 0 时, 如果平均变化率趋于一个固定的值,
北师大版(2019)高中数学选择性必修2第2章2 导数的概念及其几何意义 课件(共17张PPT)
0 +Δ − 0
Δ
Δ→0
= lim
．
典例剖析：
0 +Δ − 0 −Δ
2Δ
Δ→0
若′ 0 = ，则 lim
A.−2
B.2
)
D.–
C.
0 +Δ − 0
Δ
Δ→0
解析：∵′ 0 = lim
= ，
0 +Δ − 0 −Δ
2Δ
1 − 0
1 −0
1 →0
′ 0 = lim
0 +Δ − 0
Δ
Δ→0
= lim
．
2.求导数的一般步骤：
①求函数的改变量Δ = 0 + Δ − 0 ；
Δ
②求平均变化率
Δ
=
0 +Δ − 0
Δ
③取极限，得导数′ 0 =
；
Δ
lim ．
A．0>f′(xA)>f′(xB)
B．f′(xA)<f′(xB)<0
C．f′(xA)＝f′(xB)
D．f′(xA)>f′(xB)>0
答案：B
解析：f′(xA)和f′(xB)分别表示函数图象在点A，B处的切线斜率，故f′(xA)<f′(xB)<0.
故选B.
)
1.导数的概念：设函数 = ，当自变量从0 变到1 时，函数值y从 0 变到
Δ
Δ
1 ，函数值y关于x的平均变化率为
=
1 − 0
1 −0
=
0 +Δ − 0
Δ
当1 趋于0 ，即Δ趋于0时，如果平均变化率趋于一个固定的值，那么这个值就是函
北师版数学高二选修2-2课件 章末复习课第二章变化率与导数
跟踪训练1 求下列函数的导数. (1)y＝cos(2 018x＋8)； 解 y′＝－sin(2 018x＋8)·(2 018x＋8)′ ＝－2 018sin(2 018x＋8).
解答
(2)y＝21－3x； 解 y′＝21－3x·ln 2·(1－3x)′ ＝－3ln 2·21－3x.
解答
Байду номын сангаас
(3)y ＝ ln(8x ＋ 6) ； 解 y′＝8x＋ 1 6·(8x＋6)′ ＝8x＋8 6＝4x＋4 3.
⑦f(x)＝tan
x，则f′(x)＝
1 cos2x
；
⑧f(x)＝cot x，则f′(x)＝－sin12x . (2)导数四则运算法则 ①[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)； ②[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
③[gfxx]′＝f′xgxg－2xfxg′x.
3.导数的运算 (1)基本初等函数的导数 ①f(x)＝c，则f′(x)＝0； ②f(x)＝xα，则f′(x)＝α·xα－1； ③f(x)＝ax(a>0且a≠1)，则f′(x)＝axln a；
1 ④f(x)＝logax，则f′(x)＝ xln a ； ______________
⑤f(x)＝sin x，则f′(x)＝cos x； ⑥f(x)＝cos x，则f′(x)＝－sin x ；
②计算函数值的增量Δy与自变量的增量Δx的比值 ΔΔyx＝fx0＋ΔΔxx－fx0；
③当Δx无限趋近于0时，即Δx→0时，则
Δy Δx
无限趋近于某一常数A，这一
常数A就是函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0).
(2)利用导数公式及运算法则求函数的导数f′(x)，则函数在x＝x0点的导 数为f′(x0). 2.利用导数求曲线的切线方程的步骤 (1)求出函数y＝f(x)在x0处的导数f′(x0). (2)利用直线方程的点斜式得切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0).
高中数学第2章变化率与导数2导数的概念及其几何意义课件北师大版选修2_2
1 C.2 解析：
1 D.4 ΔΔyx＝2＋1ΔΔxx－12＝－4＋12Δx，
当Δx→0时，ΔΔxy→－14，故在x＝2处的导数为－14. 答案： A
3．设函数y＝f(x)为可导函数，且满足 Δlxi→m 0
f1－f1－x x
＝－1，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处切线的倾斜角为______．
(2)∵f(x)＝ x，
∴Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝ 1＋Δx－1，
∴ΔΔyx＝
1＋ΔΔxx－1＝
1＋Δx－1 1＋Δx＋1 Δx 1＋Δx＋1
＝
1 1＋Δx＋1.
∴Δlxi→m 0 ΔΔxy＝Δlxi→m 0 1＋1Δx＋1＝12，
∴f′(1)＝12.
根据定义求导数是求函数的导数的基本方法，
[规范解答] 设直线l与曲线相切于点P(x0，y0). 1分
∵f′(x0)＝Δlxi→m 0
x0＋Δx3－2x0＋Δx2＋3－x30－2x20＋3 Δx
＝3x20－4x0，
4分
由导数的几何意义，得3x20－4x0＝4.
解得：x0＝－23或x0＝2.
6分
∴切点坐标为－23，4297或(2,3).
x0点的导数．用符号__f′__(_x0_)__表示，记作：f′(x0)＝ fxx11－－xf0x0＝x1l→imx0 fx0＋ΔΔxx－fx0.
x1l→imx0
(1)导数是研究在点x0处及其附近函数的改变量 Δy与自变量改变量Δx之比的极限，它是一个局部性的概念，
若Δlxi→m 0
x3，求曲线在点P(3,9)处的切线方
程．
[思路导引] 由于点P在曲线上，故可以求函数在x＝3处
的导数，就是所求切线的斜率，利用点斜式求得切线方程．
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9x 4 y 12 0 或 y 0
25.02.2021
练习 3.⑴如图已知曲线 y 1 x3 上的一点 P( 3 , 9) ,
3
28
求点 P 处的切线方程.
解:∵
y
x2 ,∴
y
|
x
3
2
9. 4
即点 P 处的切线的斜率等于 9 . 4
∴在点 P 处的切线方程
是 y 9 9(x 3) , 84 2
x03
x02 (1
x0 ) 化简得
2 3
x03
x02
0
解得
x0
0或
x0
3 2
①当 x0 0 时，所求的切线方程为：y=0;
②当
x0
3 2
时，所求的切线方程为：
y
9
9
(
x
3 )
,
84 2
即 9x 4 y 12 0
注:过一2点5.02的.202切1 线与一点处的切线是有区别的
能力练习:
1.过点 (1, 0) 作抛物线 y x 2 x 1的切线，则其中一条切线
f ( x0 ) 0 ,
f ( x0 )
1 ,则 lim
2
△x0
f ( x0 3△x) △x
___ .
2
25.02.2021
1.过点 (1, 0) 作抛物线 y x2 x 1的切线，则其中一条切线为（ ）
(A) 2x y 2 0 (B) 3x y 3 0 (C) x y 1 0 (D) x y 1 0
⑵直线运动的物体位移 s 与时间 t 的关系是
C s t2 2t 3, 则它的初速度为（ ）
(A)0 (B)3 (C) 2
(D)1
练习 3.⑴如图已知曲线 y 1 x3 上的一点 P( 3 , 9) ,求点
. 3
28
P 处的切线方程. 9 x 4 y 12 0
⑵已知曲线 y 1 x3 和点 A(1,0) , 求过点 A 的切线方程. 3
= 2x △x (△x)2 2△x
△y △x
2x △x
(△x)2 △x
2△x
2x
2 △x
.
∴ y lim y lim (2x 2 △x) 2 x 2
x x0
x 0
25.02.2021
练习 2.
⑴物体的运动方程是 s t 2 2t 3 (s 的单位：m．t 的
单位：s), 则物体在 t 2 s 时的瞬时速度是2___m_./s
解析：设 (x1, y1 ) 为作抛物线 y x 2 x 1上一点，则在该点处切 线的斜率为 y 2x1 1 ,于是过点 (x1, y1 ) 的抛物线的切线的方程为 y y1 (2x1 1)( x x1 )，又 y1 x12 x1 1， y （x12 x1 1） (2x1 1)( x x1 ) 又点（1，0）在切线上， （x12 x1 1）（2x1 1）(1 x1 ) 解之得 x1 0, x1 2 ，于是 y1 1或y1 3 则：过（0，1）的切线方程为 y 1 x ，即 x y 1 0 过（-2，-3）的切线方程为 y 3 3(x 2) ，即 3x y 12 0
即 9x 4 y 12 0 .
25.02.2021
⑵已知曲线 y 1 x3 和点 A(1,0) , 求过点 A 的切线方程. 3
解:
设切线的斜率为
k
f ( x0 )
x02
∴切线方程为
y
1 3
x03
x02 ( x
x0 )
又∵切线过点
A(1,0)
∴0
1 3
为（ D ）
（A） 2x y 2 0
（B） 3x y 3 0
（C） x y 1 0
（D） x y 1 0
2.已知曲线 C : y x2 2 x 3 ,直线 l : x y 4 0 ,在曲线 C
上求一点 P,使 P 到直线 L 的距离最短，并求出最短距离.
19 2
8
3 3.已知
∵ f ( x) 2x 2 , ∴ 2 x0 2 1 ,
解得 x0
3 2
,∴
y0
9 4
∴P
到直线的最短距离
d
|
3 2
9 4
4
|
19
2
2
8
25.02.2021
感谢观赏
讲评：本题考查利用导数的几何意义求抛物线的切线方程，注意 点（-1，0）不在抛物线上.
25.02.2021
2.已知曲线 C : y x2 2x 3 ,直线 l : x y 4 0 ,在
曲线 C 上求一点 P,使 P 到直线 L 的距离最短，并求
出最短距离.
解：设 P( x0 , y0 ) ,
北师大版高 中数学2-2 第二章变化 率与导数导数的概念 与导数的几 何意义习题
课课件
73324
练习 1.求下列函数的导函数
⑴y x
⑵ y 1 x3 3
⑶ y x2 2x 3
解:⑶ △ y ( x △x)2 2( x △x) 3 ( x2 2x 3)
x2 2x △x (△x)2 2x 2△x 3 x2 2x 3
25.02.2021
练习 3.⑴如图已知曲线 y 1 x3 上的一点 P( 3 , 9) ,
3
28
求点 P 处的切线方程.
解:∵
y
x2 ,∴
y
|
x
3
2
9. 4
即点 P 处的切线的斜率等于 9 . 4
∴在点 P 处的切线方程
是 y 9 9(x 3) , 84 2
x03
x02 (1
x0 ) 化简得
2 3
x03
x02
0
解得
x0
0或
x0
3 2
①当 x0 0 时，所求的切线方程为：y=0;
②当
x0
3 2
时，所求的切线方程为：
y
9
9
(
x
3 )
,
84 2
即 9x 4 y 12 0
注:过一2点5.02的.202切1 线与一点处的切线是有区别的
能力练习:
1.过点 (1, 0) 作抛物线 y x 2 x 1的切线，则其中一条切线
f ( x0 ) 0 ,
f ( x0 )
1 ,则 lim
2
△x0
f ( x0 3△x) △x
___ .
2
25.02.2021
1.过点 (1, 0) 作抛物线 y x2 x 1的切线，则其中一条切线为（ ）
(A) 2x y 2 0 (B) 3x y 3 0 (C) x y 1 0 (D) x y 1 0
⑵直线运动的物体位移 s 与时间 t 的关系是
C s t2 2t 3, 则它的初速度为（ ）
(A)0 (B)3 (C) 2
(D)1
练习 3.⑴如图已知曲线 y 1 x3 上的一点 P( 3 , 9) ,求点
. 3
28
P 处的切线方程. 9 x 4 y 12 0
⑵已知曲线 y 1 x3 和点 A(1,0) , 求过点 A 的切线方程. 3
= 2x △x (△x)2 2△x
△y △x
2x △x
(△x)2 △x
2△x
2x
2 △x
.
∴ y lim y lim (2x 2 △x) 2 x 2
x x0
x 0
25.02.2021
练习 2.
⑴物体的运动方程是 s t 2 2t 3 (s 的单位：m．t 的
单位：s), 则物体在 t 2 s 时的瞬时速度是2___m_./s
解析：设 (x1, y1 ) 为作抛物线 y x 2 x 1上一点，则在该点处切 线的斜率为 y 2x1 1 ,于是过点 (x1, y1 ) 的抛物线的切线的方程为 y y1 (2x1 1)( x x1 )，又 y1 x12 x1 1， y （x12 x1 1） (2x1 1)( x x1 ) 又点（1，0）在切线上， （x12 x1 1）（2x1 1）(1 x1 ) 解之得 x1 0, x1 2 ，于是 y1 1或y1 3 则：过（0，1）的切线方程为 y 1 x ，即 x y 1 0 过（-2，-3）的切线方程为 y 3 3(x 2) ，即 3x y 12 0
即 9x 4 y 12 0 .
25.02.2021
⑵已知曲线 y 1 x3 和点 A(1,0) , 求过点 A 的切线方程. 3
解:
设切线的斜率为
k
f ( x0 )
x02
∴切线方程为
y
1 3
x03
x02 ( x
x0 )
又∵切线过点
A(1,0)
∴0
1 3
为（ D ）
（A） 2x y 2 0
（B） 3x y 3 0
（C） x y 1 0
（D） x y 1 0
2.已知曲线 C : y x2 2 x 3 ,直线 l : x y 4 0 ,在曲线 C
上求一点 P,使 P 到直线 L 的距离最短，并求出最短距离.
19 2
8
3 3.已知
∵ f ( x) 2x 2 , ∴ 2 x0 2 1 ,
解得 x0
3 2
,∴
y0
9 4
∴P
到直线的最短距离
d
|
3 2
9 4
4
|
19
2
2
8
25.02.2021
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讲评：本题考查利用导数的几何意义求抛物线的切线方程，注意 点（-1，0）不在抛物线上.
25.02.2021
2.已知曲线 C : y x2 2x 3 ,直线 l : x y 4 0 ,在
曲线 C 上求一点 P,使 P 到直线 L 的距离最短，并求
出最短距离.
解：设 P( x0 , y0 ) ,
北师大版高 中数学2-2 第二章变化 率与导数导数的概念 与导数的几 何意义习题
课课件
73324
练习 1.求下列函数的导函数
⑴y x
⑵ y 1 x3 3
⑶ y x2 2x 3
解:⑶ △ y ( x △x)2 2( x △x) 3 ( x2 2x 3)
x2 2x △x (△x)2 2x 2△x 3 x2 2x 3