高中数学：任意角的三角函数 课件
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高一数学1.2.1任意角三角函数_教学课件
解: ∵x＝ -3, y＝- 4,
r ( 3) ( 4) 5.
2 2
y
O
y 4 sin 4; r 5 5
cos x 3 3 ; r 5 5
y 4 4 tan . x 3 3
主页
x
P0
1. 2. 1任意角的三角函数 (一)
1. 2. 1任意角的三角函数 (一) 新课引入
主页
1. 2. 1任意角的三角函数 (一) 问题探索
10m
300
O
20m
. P
问题1：如图，摩天轮的半径为10m，中心O离地面为20m，现 在小明坐上了摩天轮，并从点P开始以每秒1度的速度逆时针 转动，当转动30秒后小明离地面的高度是多少？ 60秒? 主页
P1
o
M1 M x
结论:三个比值都不会随点P在α终边上的位置 变化而改变.
主页
1. 2. 1任意角的三角函数 (一)
【探究1】比值 b , a , b 是否因为P (a, b)点在终
r r a
边上的位置发生变化而变化？
当 r 1 时,
sin MP OP cos OM OP
y
b;
【6】角α的终边过点 P (-b, 4), 且cosα= 则 b 的值是( A ) A. 3
【解析】 r
3, 5
B. -3
b 2 16,
C.±3
D. 5
b 3 , cos x r 5 b2 16
解得 b = 3.
主页
1. 2. 1任意角的三角函数 (一)
1. 2. 1任意角的三角函数 (一) 问题探索
P1
高中数学必修一(人教版)《5.2.1 三角函数的概念》课件
答案：负
题型三 诱导公式一的应用 【学透用活】
对诱导公式一的三点说明 (1)公式一的实质是终边相同的角的三角函数值相等． (2)公式一的结构特征： ①左、右为同一三角函数； ②公式左边的角为α＋k·2π，右边的角为α. 注意公式一中的条件k∈Z不可遗漏． (3)公式一的作用：把求任意角的三角函数值转化为求0～2π(或0°～360°) 范围内的角的三角函数值．
[方法技巧] 利用三角函数的定义求角的三角函数值的类型
(1)若已知角，则只需确定出该角的终边与单位圆的交点坐标，即可求出各 三角函数值．
(2)若已知角 α 终边上一点 P(x，y)(x≠0)为单位圆上的点，则 sin α＝y，cos α＝x，tan α＝xy.
(3)若已知角 α 终边上一点 P(x，y)(x≠0)不是单位圆上一点，则 sin α＝yr， cos α＝xr，tan α＝xy(r＝ x2＋y2)．
(2)若sin α＝sin β，则α＝β.
答案：(1)√ (2)×
2．sin(－315°)的值是
A．－
2 2
B．－12
C.
2 2
D.12
解析：sin(－315°)＝sin(－360°＋45°)＝sin
45°＝
2 2.
答案：C
() ()
()
3．tan235π＝________. 解析：tan235π＝tan8π＋π3＝tanπ3＝ 3. 答案： 3
sin
α＝
2 ＝2 5
5
5，cos
α＝
1＝ 5
55，tan
α＝21＝2.
当角 α 的终边在第三象限时，在角 α 的终边上取点 Q(－1，－2)，由 r＝|OQ|
＝ －12＋－22＝ 5，
题型三 诱导公式一的应用 【学透用活】
对诱导公式一的三点说明 (1)公式一的实质是终边相同的角的三角函数值相等． (2)公式一的结构特征： ①左、右为同一三角函数； ②公式左边的角为α＋k·2π，右边的角为α. 注意公式一中的条件k∈Z不可遗漏． (3)公式一的作用：把求任意角的三角函数值转化为求0～2π(或0°～360°) 范围内的角的三角函数值．
[方法技巧] 利用三角函数的定义求角的三角函数值的类型
(1)若已知角，则只需确定出该角的终边与单位圆的交点坐标，即可求出各 三角函数值．
(2)若已知角 α 终边上一点 P(x，y)(x≠0)为单位圆上的点，则 sin α＝y，cos α＝x，tan α＝xy.
(3)若已知角 α 终边上一点 P(x，y)(x≠0)不是单位圆上一点，则 sin α＝yr， cos α＝xr，tan α＝xy(r＝ x2＋y2)．
(2)若sin α＝sin β，则α＝β.
答案：(1)√ (2)×
2．sin(－315°)的值是
A．－
2 2
B．－12
C.
2 2
D.12
解析：sin(－315°)＝sin(－360°＋45°)＝sin
45°＝
2 2.
答案：C
() ()
()
3．tan235π＝________. 解析：tan235π＝tan8π＋π3＝tanπ3＝ 3. 答案： 3
sin
α＝
2 ＝2 5
5
5，cos
α＝
1＝ 5
55，tan
α＝21＝2.
当角 α 的终边在第三象限时，在角 α 的终边上取点 Q(－1，－2)，由 r＝|OQ|
＝ －12＋－22＝ 5，
高中数学第7章三角函数7.2任意角的三角函数7.2.4第1课时诱导公式①②③④课件新人教B版必修第三
南京眼的桥身的完美对称 辽宁生命之环的完美对称
问题 你能否利用这种对称性，借助单位圆，讨论任意角 α 的终 边与 π±α，－α 有什么样的对称关系？
提示 π＋α 的终边与 α 的终边关于原点对称；π－α 的终边与 α 的终边关于 y 轴对称；－α 的终边与 α 的终边关于 x 轴对称．
1．诱导公式① sin(α＋k·2π)＝ sin α (k∈Z)， cos(α＋k·2π)＝ cos α (k∈Z)， tan(α＋k·2π)＝ tan α (k∈Z)．
[解] (1)cos 210°＝cos(180°＋30°)
＝－cos
30°＝－
3 2.
(2)sin 114π＝sin2π＋34π
＝sin 34π＝sinπ－π4
＝sin
π4＝
2 2.
(3)sin－436π＝－sin6π＋76π ＝－sin 76π＝－sinπ＋π6＝sin π6＝12. (4)cos(－1 920°)＝cos 1 920° ＝cos(5×360°＋120°) ＝cos 120°＝cos(180°－60°)＝－cos 60° ＝－12.
3 .
解决给值求值问题的策略 1解决给值求值问题，首先要仔细观察条件式与所求式之间的 角、函数名称及有关运算之间的差异及联系. 2可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形 向已知式转化.
[跟进训练]
2．已知 sin β＝13，cos(α＋β)＝－1，则 sin(α＋2β)的值为( )
＝cosπ＋π6＝－cos π6＝－ 23.
法二：cos－316π＝cos－6π＋56π ＝cosπ－π6＝－cos π6＝－ 23. (3)tan(－945°)＝－tan 945°＝－tan(225°＋2×360°) ＝－tan 225°＝－tan(180°＋45°)＝－tan 45°＝－1.
1.2.1任意角的三角函数课件高中数学人教A版必修4第一章
反思与感悟
利用诱导公式一可把负角的三角函数
化为0到2π间的三角函数，也可把大于2π的角的三
角函数化为0到2π间的三角函数，即实现了“负化
正，大化小”.同时要熟记特殊角的三角函数值.
明目标、知重点
跟踪训练3
求下列各式的值：
23π
(1)cos－ 3 ＋tan
解
17π
4 ；
π
π
原式＝cos3＋－4×2π＋tan4＋2×2π
角为自变量，以比值为函数值的函数， 角的概念推广
后，这样的三角函数的定义明显不再适用，如何对三角
函数重新定义，这一节我们就来一起研究这个问题.
明目标、知重点
探究点一 锐角三角函数的定义
思考1 如图， Rt△ABC中，∠C＝90°，若已知
a＝3，b＝4，c＝5，试求sin A，cos B，sin B，
反思与感悟
准确确定三角函数值中角所在象限是基
础，准确记忆三角函数在各象限的符号是解决这类问
题的关键.可以利用口诀“一全正、二正弦、三正切、
四余弦”来记忆.
明目标、知重点
跟踪训练2
已知cos θ·tan θ<0，那角θ是( C )
A.第一或第二象限角
B.第二或第三象限角
C.第三或第四象限角
D.第一或第四象限角
明目标、知重点
； 叫做α的正切，记作
②终边定义法：
设角α终边上任意一点的坐标为(x，y)，它与原点的距离为r，则
2
2
x
＋y
有sin α＝
，cos α＝
，tan α＝
任意角的三角函数PPT优秀课件
2.确定下列三角函 符数 号值 ：的
(1)sin256;
(2)cos(406);
23
(3)tan .
3
3.角 的终边 P (上 m ,5)且 ,有 co 一 sm (点 m 0),
13
求 sin co 值 s.
小结： 1．任意角的三角函数的定义； 2．三角函数的定义域； 3．正弦、余弦、正切函数的值在各象限的符号．
1．2．1任意角的三角函数（1）
问题1:你能回忆一下初中里学过的锐角三角函数(正弦, 余弦,正切)的定义吗?
在RtPO中 M
如何 将POM 放到平面直角 坐标系中？
sin PM
P
OP
co sOM OP
tanPM OM
O
M
锐角三角函数
问题2：将POM 放到平面直角坐， 标系中
87.当一切毫无希望时，我看着切石工人在他的石头上，敲击了上百次，而不见任何裂痕出现。但在第一百零一次时，石头被劈成两半。我体会到，并非那一击，而是前面的敲打使它裂开。――[贾柯·瑞斯] 88.每个意念都是一场祈祷。――[詹姆士·雷德非]
89.虚荣心很难说是一种恶行，然而一切恶行都围绕虚荣心而生，都不过是满足虚荣心的手段。――[柏格森] 90.习惯正一天天地把我们的生命变成某种定型的化石，我们的心灵正在失去自由，成为平静而没有激情的时间之流的奴隶。――[托尔斯泰]
(1)cos 7 ; (2)sin4(6)5; (3)tan11 .
12
3
解： (1) 7 是第二象限角 co， s7所 0.以
12
12
(2) 因为 4652360225,即465是第三象限角，所 sin(465)0.
(3) 因为 1125,即11 是第四象 ,所限 以角
苏教版高中数学必修第一册7.2.1任意角的三角函数【授课课件】
股定理得－122＋y2＝1，y<0，
7.2.1 任意角的三角函数
1
2
3
4
必备知识·情境导学探新知 关键能力·合作探究释疑难 学习效果·课堂评估夯基础 课时分层作业
解得 y＝－ 23， 所以 P－12，－ 23．因此 sin α＝－123＝－ 23， cos α＝－112＝－12，tan α＝－－2213＝ 3．
第7章 三角函数
7.2 三角函数概念 7.2.1 任意角的三角函数
7.2.1 任意角的三角函数
1
2
3
4
必备知识·情境导学探新知 关键能力·合作探究释疑难 学习效果·课堂评估夯基础 课时分层作业
1．理解三角函数的定义，会使用定义 求三角函数值．(重点、易错点) 2．会判断给定角的三角函数值的符 号．(重点) 3．会利用三角函数线比较两个同名三 角函数值的大小．(难点)
当 α 的终边在第四象限时，在 α 终边上取一点 P′(1，－ 3)，则 r＝2，
所以 sin α＝－ 23，cos α＝12，tan α＝－ 3．
7.2.1 任意角的三角函数
1
2
3
4
必备知识·情境导学探新知 关键能力·合作探究释疑难 学习效果·课堂评估夯基础 课时分层作业
2．将本例(1)的条件“在直线 y＝－2x 上”，改为“过点 P(－ 3a,4a)(a≠0)”，求 2sin α＋cos α．
[解] 当 α 的终边在第二象限时，在 α 终边上取一点 P(－1，2)，
则 r＝ －12＋22＝ 5，
所以
sin
α＝
2 ＝2 5
5
5，cos
α＝－51＝－
55，tan
α＝－21＝－2．
高中数学课件三角函数ppt课件完整版
2024/1/26
单调性
在各象限内，正弦、余弦 函数的单调性及其变化规 律。
最值问题
利用三角函数的性质求最 值，如振幅、周期等参导公式与恒等 式
REPORTING
2024/1/26
7
诱导公式及其应用
01
诱导公式的基本形式
通过角度的加减、倍角、半角等关系，将任意角的三角函数值转化为基
8
恒等式及其证明方法
2024/1/26
恒等式的基本形式
两个解析式之间的一种等价关系，即对于某个变量或一组变量的取值范围内，无论这些变 量取何值，等式都成立。
恒等式的证明方法
通常采用代数法、几何法或三角法等方法进行证明。其中，代数法是通过代数运算和变换 来证明恒等式；几何法是通过几何图形的性质和关系来证明恒等式；三角法是通过三角函 数的性质和关系来证明恒等式。
化简为简单的形式。
12
三角函数的乘除运算规则
乘积化和差公式
通过乘积化和差公式，可以将两 个三角函数的乘积转化为和差的
形式，从而简化运算。
商的化简
利用同角三角函数的基本关系， 可以将三角函数的商转化为简单
的三角函数运算。
倍角公式
通过倍角公式，可以将三角函数 的乘方运算转化为简单的三角函
数运算。
2024/1/26
建立三角函数与数列、概率统计相关 的数学模型
结合计算机编程和数学软件，实现模 型的数值模拟和可视化
2024/1/26
利用数学分析、高等代数等方法求解 模型
22
PART 06
总结回顾与拓展延伸
REPORTING
2024/1/26
23
本章节知识点总结回顾
三角函数图像
正弦、余弦、正切函数的图像 及其周期性、奇偶性等性质。
单调性
在各象限内，正弦、余弦 函数的单调性及其变化规 律。
最值问题
利用三角函数的性质求最 值，如振幅、周期等参导公式与恒等 式
REPORTING
2024/1/26
7
诱导公式及其应用
01
诱导公式的基本形式
通过角度的加减、倍角、半角等关系，将任意角的三角函数值转化为基
8
恒等式及其证明方法
2024/1/26
恒等式的基本形式
两个解析式之间的一种等价关系，即对于某个变量或一组变量的取值范围内，无论这些变 量取何值，等式都成立。
恒等式的证明方法
通常采用代数法、几何法或三角法等方法进行证明。其中，代数法是通过代数运算和变换 来证明恒等式；几何法是通过几何图形的性质和关系来证明恒等式；三角法是通过三角函 数的性质和关系来证明恒等式。
化简为简单的形式。
12
三角函数的乘除运算规则
乘积化和差公式
通过乘积化和差公式，可以将两 个三角函数的乘积转化为和差的
形式，从而简化运算。
商的化简
利用同角三角函数的基本关系， 可以将三角函数的商转化为简单
的三角函数运算。
倍角公式
通过倍角公式，可以将三角函数 的乘方运算转化为简单的三角函
数运算。
2024/1/26
建立三角函数与数列、概率统计相关 的数学模型
结合计算机编程和数学软件，实现模 型的数值模拟和可视化
2024/1/26
利用数学分析、高等代数等方法求解 模型
22
PART 06
总结回顾与拓展延伸
REPORTING
2024/1/26
23
本章节知识点总结回顾
三角函数图像
正弦、余弦、正切函数的图像 及其周期性、奇偶性等性质。
高中数学精品课件：任意角三角函数
段 AT 为正切线
答案
思考辨析
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)锐角是第一象限的角，第一象限的角也都是锐角.( × ) (2)角α的三角函数值与其终边上点P的位置无关.( √ ) (3)角 α 终边上点 P 的坐标为(－12， 23)，那么 sin α＝ 23，cos α＝－12； 同理角 α 终边上点 Q 的坐标为(x0，y0)，那么 sin α＝y0，cos α＝x0.( × ) (4)α∈(0，π2)，则 tan α>α>sin α.( √ ) (5)α 为第一象限角，则 sin α＋cos α>1.( √ )
B.k·360°＋94π(k∈Z)
C.k·360°－315°(k∈Z) D.kπ＋54π(k∈Z) 解析 与94π的终边相同的角可以写成 2kπ＋94π(k∈Z) ，
但是角度制与弧度制不能混用，所以只有答案C正确.
1 2 3 4 5 解析答案
3. 已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长
解析答案
(2)已知扇形的周长为10 cm，面积是4 cm2，求扇形的圆心角：
解
2R＋Rα＝10 由题意得12α·R2＝4
⇒Rα＝＝81，
R＝4， (舍去)，α＝12.
故扇形圆心角为12.
解析答案
(3)若扇形周长为20 cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个 扇形的面积最大？ 解 由已知得，l＋2R＝20. 所以 S＝12lR＝12(20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25， 所以当R＝5时，S取得最大值25， 此时l＝10，α＝2.
返回
练出高分
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答案
思考辨析
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)锐角是第一象限的角，第一象限的角也都是锐角.( × ) (2)角α的三角函数值与其终边上点P的位置无关.( √ ) (3)角 α 终边上点 P 的坐标为(－12， 23)，那么 sin α＝ 23，cos α＝－12； 同理角 α 终边上点 Q 的坐标为(x0，y0)，那么 sin α＝y0，cos α＝x0.( × ) (4)α∈(0，π2)，则 tan α>α>sin α.( √ ) (5)α 为第一象限角，则 sin α＋cos α>1.( √ )
B.k·360°＋94π(k∈Z)
C.k·360°－315°(k∈Z) D.kπ＋54π(k∈Z) 解析 与94π的终边相同的角可以写成 2kπ＋94π(k∈Z) ，
但是角度制与弧度制不能混用，所以只有答案C正确.
1 2 3 4 5 解析答案
3. 已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长
解析答案
(2)已知扇形的周长为10 cm，面积是4 cm2，求扇形的圆心角：
解
2R＋Rα＝10 由题意得12α·R2＝4
⇒Rα＝＝81，
R＝4， (舍去)，α＝12.
故扇形圆心角为12.
解析答案
(3)若扇形周长为20 cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个 扇形的面积最大？ 解 由已知得，l＋2R＝20. 所以 S＝12lR＝12(20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25， 所以当R＝5时，S取得最大值25， 此时l＝10，α＝2.
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人教A版高中数学必修一课件 《任意角和弧度制》三角函数PPT(第一课时任意角)
理解与角的概念有关问题的关键 正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念，弄清角 的始边与终边及旋转方向与大小．另外需要掌握判断结论正确与否 的技巧，判断结论正确需要证明，而判断结论不正确只需举一个反 例即可．
经过 2 个小时，钟表的时针和分针转过的角度分
别是( )
A．60°，720°
B．－60°，－720°
D．－390°
解析：选 D.－390°＝330°－720°，所以与 330°角终边相同 的角是－390°.
3．若角 α 的终边与 75°角的终边关于直线 y＝0 对称，且－360° <α<360°，则角 α 的值为____________． 解析：如图，设 75°角的终边为射线 OA，射线 OA 关于直线 y＝ 0 对称的射线为 OB，则以射线 OB 为终边的一个角为－75°，所 以以射线 OB 为终边的角的集合为{α|α＝k·360°－75°，k∈Z}．又 －360°<α<360°，令 k＝0 或 1，得 α＝－75°或 285°.
－110°是( ) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 答案：C
与 30°角终边相同的角的集合是( ) A．{α|α＝30°＋k·360°，k∈Z} B．{α|α＝－30°＋k·360°，k∈Z} C．{α|α＝30°＋k·180°，k∈Z} D．{α|α＝－30°＋k·180°，k∈Z}
本部分内容讲解结束
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象限角的条件是角的顶点与坐标原点重合，角的始边与 x 轴的非负 半轴重合．
3．终边相同的角 所有与角 α 终边相同的角，连同角 α 在内，可构成一个集合 S＝ _{_β_|β_＝__α_＋__k_·_3_6_0_°__，__k_∈__Z_}__，即任一与角 α 终边相同的角，都可以 表示成角 α 与_______整__数_个__周_角_____的和． ■名师点拨
高中数学必修4《第一章三角函数》精品课件：1.1.1任意角
S={α|α=45°＋k·180°，k∈Z}.
S={ －315°，-135°，45°，225°， 405°，585°}
课堂小结
Office组件之word2007
1.角的概念推广 正角、负角、零角、象限角
2.终边相同的角
3.终边在x轴、y轴上的角的表示
4.终边在各个象限上的角的表示
Office组件之word2007
思考2：终边在x轴上的角的集合表示
终边在x轴上：S={α|α=k·180°，k∈Z}；
新课教学
Office组件之word2007
思考3：终边在y轴非正半轴、非负半轴
上的角分别如何表示？
y轴非负半轴:α= 90°＋k·360°，k∈Z ； y轴非正半轴:α= 270°＋k·360°，k∈Z .
思考4：终边在y轴上的角的集合表示
y
x o
知识探究（三）：终边相同的角 Office组件之word2007
思考1：－32°，328°，－392°是第几 象限的角？这些角有什么内在联系？
y
328° o
－392° x
－32°
新课教学
Office组件之word2007
思考2：与－32°角终边相同的角有多 少个？这些角与－32°角在数量上相 差多少？
Office组件之word2007
1.1.1 任意角
知识探究（一）：角的概念的推广
Office组件之word2007
复习：角的定义 角是由平面内一条射线绕其端点从
一个位置旋转到另一个位置所组成的 图形（如图）.
B
始边
终边
A O
顶点
新课教学
Office组件之word2007
思考1：你认为将一条射线绕其端点按逆时针方向旋
2025届高中数学一轮复习课件：第五章 第1讲任意角、弧度制及三角函数的概念(共71张ppt)
解析 答案
高考一轮总复习•数学
第28页
题型 弧长与扇形的面积公式
典例 3(1)如图所示，在平面直角坐标系 xOy 中，将一个半径为 1 的圆盘固定在平面上，
圆盘的圆心与原点重合，圆盘上缠绕着一条没有弹性的细线，细线的端头 M(开始时与圆盘
上点 A(1,0)重合)系着一支铅笔，让细线始终保持与圆盘相切的状态展开，切
2．任意角的三角函数的定义(推广) 设 P(x，y)是角 α 终边上异于原点的任意一点，其到原点 O 的距离为 r，则 sin α＝yr， cos α＝xr，tan α＝yx(x≠0)．
高考一轮总复习•数学
第9页
3．三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦，如图．
高考一轮总复习•数学
第20页
1．终边相同的角的集合的应用 利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相 同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数 k 赋值来求得所需角． 2．象限角的两种判断方法 (1)图象法：在平面直角坐标系中作出已知角，并根据象限角的定义直接判断已知角是 第几象限角． (2)转化法：先将已知角化为 2kπ＋α(α∈[0,2π)，k∈Z)的形式，即找出与已知角终边相 同的角 α，再由角 α 终边所在的象限判断已知角是第几象限角.
答案
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第22页
解析：(1)由于 M 中，x＝2k·180°＋45°＝k·90°＋45°＝(2k＋1)·45°，2k＋1 是奇数；而 N 中，x＝4k·180°＋45°＝k·45°＋45°＝(k＋1)·45°，k＋1 是整数，因此必有 M⊆N.
(2)如图，在坐标系中画出直线 y＝ 3x，可以发现它与 x 轴的夹角 是π3，在[0,2π)内，终边在直线 y＝ 3x 上的角有两个：π3，43π；在[－2π， 0)内满足条件的角有两个：－23π，－53π，故满足条件的角 α 构成的集合 为－53π，－23π，π3，43π.
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第28页
题型 弧长与扇形的面积公式
典例 3(1)如图所示，在平面直角坐标系 xOy 中，将一个半径为 1 的圆盘固定在平面上，
圆盘的圆心与原点重合，圆盘上缠绕着一条没有弹性的细线，细线的端头 M(开始时与圆盘
上点 A(1,0)重合)系着一支铅笔，让细线始终保持与圆盘相切的状态展开，切
2．任意角的三角函数的定义(推广) 设 P(x，y)是角 α 终边上异于原点的任意一点，其到原点 O 的距离为 r，则 sin α＝yr， cos α＝xr，tan α＝yx(x≠0)．
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第9页
3．三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦，如图．
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1．终边相同的角的集合的应用 利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相 同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数 k 赋值来求得所需角． 2．象限角的两种判断方法 (1)图象法：在平面直角坐标系中作出已知角，并根据象限角的定义直接判断已知角是 第几象限角． (2)转化法：先将已知角化为 2kπ＋α(α∈[0,2π)，k∈Z)的形式，即找出与已知角终边相 同的角 α，再由角 α 终边所在的象限判断已知角是第几象限角.
答案
高考一轮总复习•数学
第22页
解析：(1)由于 M 中，x＝2k·180°＋45°＝k·90°＋45°＝(2k＋1)·45°，2k＋1 是奇数；而 N 中，x＝4k·180°＋45°＝k·45°＋45°＝(k＋1)·45°，k＋1 是整数，因此必有 M⊆N.
(2)如图，在坐标系中画出直线 y＝ 3x，可以发现它与 x 轴的夹角 是π3，在[0,2π)内，终边在直线 y＝ 3x 上的角有两个：π3，43π；在[－2π， 0)内满足条件的角有两个：－23π，－53π，故满足条件的角 α 构成的集合 为－53π，－23π，π3，43π.
高中数学(新课标人教A版)必修4 第一章三角函数精品课件 1.2任意角的三角函数(3课时)
tan 3
例5.求下列三角函数值
sin1480 10
'
9 s 4
11 tan( ) 6
小结:
1.任意角的三角函数是由角的终边与单 位圆交点的坐标来定义的. 2.三角函数值的符号是利用三角函数的 定义来推导的.要正确记忆三个三角函数 在各个象限内的符号； 3.诱导公式一的作用可以把大角的三角 函数化为小角的三角函数.
应用 1．利用同角三角函数的基 本关系求某个角的三角函数 值 例1．已知sinα＝－3/5，且 α在第三象限，求cosα和 tanα的值.
例2．已知 cos m (m 0, m 1), 求的其他三角函数值
4 sin 2 cos 例3.已知 tanα=3,求值（1） 5 cos 3 sin
y
a的终边 P(x,y)
1
P(x,y)
a
O
M
A(1,.0)
x
（1）y叫做 的正弦，记作sin ，即 sin y （2）x叫做 的余弦，记作cos，即 cos x y y （3） 叫做 的正切，记作tan ，即 tan x x
阅读课本P12：三角函数的定义
例题:
5 1 求 的正弦、余弦和正切值. 3
作业：
课本P20习题1.2A组
1,2，6，7，9
1.2.1任意角的三角函数(2)
复习回顾
1、三角函数的定义； 2、三角函数在各象限角的符号； 3、三角函数在轴上角的值； 4、诱导公式（一）：终边相同的角的 同一三角函数的值相等； 5、三角函数的定义域.
角是一个图形概念，也是一个数量概 念（弧度数）. 作为角的函数——三角函数是一个 数量概念（比值），但它是否也是一个 图形概念呢?
湘教版高中数学《任意角三角函数的定义》同步课件
y都可以作线段来表示.具体作图方法如下：
如图5.2-5，设单位圆的圆心为直角
坐标系的原点O，角α的终边与单位圆交
于点P，过点P作x轴的垂线，垂足为D.
(1)
(2)
(3)
图5.2-5
(4)
二 用有向线段表示三角函数
由三角函数的定义可知，三角函数值sin α＝y，cosα＝x有正负之分，若仅用
线段DP，OD来分别表示它们还不够，需引入方向. 为此，我们规定：
任意角三角函数的定义
CONTENTS
目
1
用比值定义三角函数
录
2 用有向线段表示三角函数
一 用比值定义三角函数
一
用比值定义三角函数
如图5.2-1，在平面上建立直角坐标系．以锐角 α 的顶点为原点O，角α的始边
为x轴的非负半轴．在α的终边OM上任取不同于原点O的点P(x，y)，则OP的长度
为 r x2 y2 .
二 用有向线段表示三角函数
同理，我们将OD看作有方向的线段，O为起点，D为终点：当OD指向x轴的 正方向时，取正实数值x；当OD指向x轴的负方向时，取负实数值x；当它的长度 为0时，取零值．在所有这些情况下都有
OD＝x＝cos α. 由单位圆与角α的交点P作出的这条带方向的线段DP，它的方向和长度分别代 表了sin α的符号和绝对值，DP代表的实数就是角α的正弦，故DP称为角α的正弦 线.同理，我们将有向线段OD称为角α的余弦线. 那么，如何用有向线段来表示角α的正切呢？
图5.2-2是否可以把这种思想推广到 直角坐标系中任意角的三角函数呢？
图5.2-2
一
用比值定义三角函数
如图5.2-2，设α是一个任意角，在角α的终边OM上任取不同于原点O的点P， 利用点P的坐标(x，y)定义：
人教A版高中数学必修四任意角的三角函数教学PPT精品课件
概念拓展
课堂小结
类比
当r=1
情景《引三入角函数概》整念体复设习计 概念探究
【概念再探】
概念形成
概念应用
概念拓展
课堂小结
y
单位圆：
r=1
直角坐标系中，以原点为圆
O
x
心，以单位长为半径的圆。
情景《引三入角函数概》整念体复设习计 概念探究
【概念形成】
概念形成
概念应用
概念拓展
课堂小结
y
O
x
情景《引三入角函数概》整念体复设习计 概念探究
【概念复习】
概念形成
概念应用
概念拓展
课堂小结
直角三角形中 线段比
情景《引三入角函数概》整念体复设习计 概念探究
【概念初探】
概念形成
概念应用
概念拓展
课堂小结
y
y
O
x
线段比--坐标比
情景《引三入角函数概》整念体复设习计 概念探究
【探究发现】
概念形成
概念应用
概念拓展
课堂小结
类比
？
演示，观察 相应的坐标比值。
人教A版必修四第一章
《任意角的三角函数》
情景《引三入角函数概》整念体复设习计 概念探究 概念形成 概念应用 概念拓展 课堂小结
情景《引三入角函数概》整念体复设习计 概念探究 概念形成 概念应用 概念拓展 课堂小结 y
O r=1 P
x
〰〰〰 〰〰〰 〰〰〰 〰〰〰 〰〰〰 〰〰 〰〰 〰〰〰
情景《引三入角函数概》整念体复设习计 概念探究 概念形成 概念应用 概念拓展 课堂小结 y
情景《引三入角函数概》整念体复设习计 概念探究
【探究发现】
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设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于
点P(x,y)
(1) y叫做α的正弦,记作sinα,
即
sinα=y
(2) x叫做α的余弦,记作cosα,
y
即
cosα=x
P(x,y)
(3) y 叫做α正切,记作tanα,
α
即
x
tan
y x
x
0
k
k
Z
x
A(1,0)
2
4.三角函数 正弦、余弦、正切都是以角为自变量,以单 位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的 函数
y
T
P
O MA x
sin MP cos OM tan AT
规律：三角函数线是有向线段的数量，要 分清起点、终点。 1）凡含原点的线段，均以原点为起点； 2）不含原点的线段，线段与坐标轴的交点 为起点； 3）正切线AT：起点A一定是单位圆与轴的 非负半轴的交点，终点T为终边（或延长线） 与过A的圆的切线的交点
4
tan
17 8
tan
7 8
3
tan
7 8
0
5
sin
4
3
sin
4
3
2
sin
2
3
0
6 tan 556 tan 360 196 stiann119696o>00
B. 第一、三象限 D. 第二、四象限
练习3. 若 cos θ 0，且sin2 0则θ的终
边在 __C__
A. 第一象限
B. 第三象限
C. 第四象限
D. 第二象限
1.下面从图形角度
认识一下三角函数
α的 终边
P
y
A(1,0)
MO
x
角α的终边与单位圆
交于点P.过点P作x轴
的垂线,垂足为M.
证明:如果①②式都成tan立 ,那0.么②θ为第三
象限角.
若sinθ<0,那么θ角的终边可能位于第
三或第四象限,也可能位于y轴的非正半 轴上
又若tanθ>0,那么θ角的终边可能位于
第一或第三象限.
因为①②式都成立,所以θ角的终边只能
7.终边相同的角的同一种三角函数值相等 诱导公式一
sin k 2 sin cos k 2 cos tan k 2 tan
OP r
OP r
OM a
将点P取在使线段OP的长r=1的特殊位置上
sin MP b,
OP
cos OM a,
OP
tan MP b
OM a
以原点O为 圆心,以单 位长度为 半径的圆 称为单位
圆
y
y
P(a,b)
1
α
P(a,bx)
M A(1,0)
α
OM x
3.利用单位圆定义任意角的三角函数
解:(1)因为250°是第_三__象限角,所以cos250°< 0
(2)因为
4
是第_四___象限角,所以
sin
4
<
0
(3)因为tan(-670°)=tan(48°-2×360°)=tan48°
而48°是第一象限角,所以 tan(-672°) > 0
(4)因为tan3π=tan(π+2π)=tanπ=0
终边 (Ⅲ)
y T α的
终边
P
A(1,0)
OM x
(Ⅰ)
y
M A(1,0)
O
x
PT
α的
(Ⅳ) 终边
这三条与单位圆有关的有向线段MP、OM、
AT,分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切 线,统称为三角函数线
当角α的终边与x轴重合时,正弦线、正切
线,分别变成一个点,此时角α的正弦值和正
切值都为0;
当角α的终边与y轴重合时,余
MP=y=sinα
思考
(2)你能借助单位圆,找到一条如OM、MP一 样的线段来表示角α的正切吗?
过点A(1,0)作单 α的 y
位圆的切线,设它 终边 P
A(1,0)
与α的终边或其
MO
x
反向延长线相交 于点T.
T
(Ⅱ)
tan MP
OM
y
T
AT AT y
OA
x
M
A(1,0)
O
x
α的 P
弧度制下,角的集合与实数集R之间建立 了一一对应关系
三型例题
例1 求 5 的正弦、余弦和正切值.
解: 在3直角坐标系中,作出 AOB= 5
3
sin 5 3
y
32
cos 5 1
32
5
3
O
Ax
tan 5 3
3
练
B
1 2
,
解: r x2 y2 122 52 13
sin y 5
r 13
cos x 12
r 13
tan y 5
x 12 返
口答: 设α是三角形的一个内角,在sinα,
cosα, tanα, tan(α/2)那些可能取负值?
0 , 0 ,
练习
利用三角函数的定义求 7 的三个三角函数值
6
解:如图
7
6
与单位圆的交点为
3 2
,
1 2
sin 7 y 1
y
6
2
7
cos 7 x 3
6
2
6
A(1,0)
O
x
tan 7 y 3
6x3 返
3 2
,
1 2
练习 已知角θ的终边过点P(-12,5),求角θ的三 角函数值
3 2
例2 已知角α的终边经过点P0(-3,-4),求角α的正弦、 余弦和正切值
解: OP0 32 42 5
设角α的终边与单位圆交于点P(x,y).分别过点P、 P0作x轴的垂线MP、M0P0,则
M0P0 4, MP y, OM0 3, OM y x
sin y y MP
1 OP
M0 M Ox
M0P0 4 ;
OP0
5
P(x,y) P0(-3,-4)
cos x x OM OM0 3 ;
1 OP
OP0
5
tan y sin 4 x cos 3
知道α终边上任意一点P(x,y),就可以求出角 α的三角函数值.
（2）若sin m 3 ，cos 4 2m 都有意义，则
m5
m5
m ________ ．
（3）若角 的终边过点Pa，8 ，且 cos 3 ，
5
则 a ________．
22
sin 0, tan 0
2 cos 0, tan 0
2
练习
确定下列三角函数值的符号
1 sin156 >0
2 cos 16
5
cos
2
5
cos
5
0
3 cos 450 cos 450 720 cos 270 0
返
填表:
角α
0° 90° 180° 270° 360°
角α的弧度数 0
2
3 2
2
sinα
0 1 0 1 0
cosα
1 0 1 0 1
tanα
0
0
0
反馈训练
（1）若角 终边上有一点P 3，0，则下列函数值不存在
的是（ ）．
A．sin B．cos C． tan D． cot
α的终边上任意一点P的坐标为(a,b),它与原点的
距离是_r_____a_2___b__2 ___0
过P作x轴的垂线,垂足为M,则
线段OM的长度为_a__
线段MP的长度为_b__
y P(a,b)
α
OM x
sin MP b , cos OM a , tan MP b
(Ⅱ)
y
|MP|=|y|=|sinα| |OM|=|x|=|cosα|
M
A(1,0)
O
x
α的 P
终边 (Ⅲ)
y
α的
终边
P
A(1,0)
OM x
(Ⅰ)
y
M A(1,0)
O
x
P
α的
(Ⅳ) 终边
思考 (1)为了去掉上述等式中的绝对值符号,能否 给线段OM、MP规定一个适当的方向,使它 们的取值与点P的坐标一致?
1.2.1 任意角的三角函数
1.复习引入
我们已经学习过锐角的三角函数，如图：
C
sin A BC AC
A
B
cos A AB tan A BC
AC
AB
你能在直角坐标系中来表示锐角三角函数吗?
2.利用平面直角坐标系表示锐角三角函数
设锐角α的顶点与原点O重合,始边与x轴的正半 轴重合,那么它的终边在第一象限.