信号与系统1.4阶跃信号和冲击信号

1. 单位冲激信号的定义 2. 单位冲激信号的性质
定义1:规则信号取极限
f (t)
1
矩形脉冲信号：
f
(t)
1
u
t
2
u
t
2
O
2
0 面积1保持不变；脉宽↓；
t
2
脉冲高度↑； 窄脉冲集中于 t=0 处。
δ(t)
★面积为1 三个特点： ★宽度为0
(1)
1/τ
幅度
无穷
0
t 0 t0
-τ/2
§1.4 阶跃信号和冲激信号
奇异信号（函数）：函数本身有不连续点(跳 变点)或其导数与积分有不连续点的一类函数 统称为奇异信号或奇异函数。
要求：掌握单位斜变信号、单位阶跃信号、 单位冲激信号、冲激偶信号等奇异信号。
一、单位斜变信号（斜坡信号、斜升信号）
1． 单位斜变信号：
f
(t)
0 t
t0 t0
③奇函数 (t) (t) (t0 t) (t t0 )
④ 冲激偶的面积为0
(t) d t 0
(t) f (t) f (0) (t)
⑤ f (t) (t) f (0) (t) f (0) (t)
注意：与 (t) f (t) f (0) (t) 不同
⑥冲激偶的标度变换
(t t0 ) f (t) d t f (t0 )
2. 奇偶性
(t) (t)
f (t) (t)dt f (0)
令 t
f (t) (t)dt f ( ) ( )(d )
f ( ) ( )(d )
f (0)
3. 对(t)的尺度变换
at 1 t
a
冲激偶
s(t)
u(t)
1. 定义
u(t)
0 1
t 0 0点无定义或 1 1
t 0
2
2. 有延迟的单位阶跃信号
O
t
u(t t0 )
u(t t0 )
1
1
O
t0
0 u(t t0 ) 1
t t0 , t t0
t t0 0
t0 O
0 u(t t0 ) 1
t
t t0 , t t0
t0 0
3．用单位阶跃信号描述其它信号 门函数：也称窗函数
at 1 1 t
aa
(k) at
1 a
1 ak
(k)
t
总结： f(t)，u(t)， (t) 之间的关系
f (t)
(t)
u(t )
1
1
t
O1
O
Hale Waihona Puke Baiduf(t) 求 ↓↑积
u(t) 导 ↓↑分
(t)
(1)
t
t
O
(-<t< )
1
o t s(t )
1
2
O
t
1 2
0
(t)
(1)
O
t
(t)
t
O
冲激偶的性质
①“筛选性” (t) f (t) d t f (0)
对 t 的k阶导数： (k) t f t dt 1k f (k) 0
时移：
(t t0 ) f (t) d t f (t0 )
② t (t) d t t
0
t τ/2
(t)
lim
0
f
(t)
1 lim
0
ut
ut
2
2
(t)
(t t0 )
k (t)
(1)
(1)
(k)
O
t
O
t0
t
O
t
若面积为k，则强度为k。
定义2：狄拉克(Dirac)函数
(t) d t 1
(t) 0 t 0
(t)dt
0 (t) d t
0
➢ 函数值只在t = 0时不为零； ➢ 积分面积为1；
2．有延迟的单位斜变信号
f (t) 1
01
t
f (t t0 )
0 f (t t0 ) t t0
t t0 t t0
1
0 t 0 t0 1 t
3.截平斜变信号
f1
(t
)
K
f (t)
K
t t
4．三角形脉冲
f
2
(t
)
K
f (t)
t
0
t
f1 (t ) K
O
t
f2 (t)
K
O
t
二．单位阶跃信号
t =0 时， (t) ，为无界函数。
冲激函数的性质
1．抽样性 2．奇偶性 3．尺度变换
1. 抽样性(筛选性)
如果f(t)在t = 0处连续，且处处有界，则有
(t) f (t) f (0) (t)
(t) f (t) d t f (0)
f (t) f (0)
对于移位情况：
o
t
(t) f (t t 0) f (t0 ) (t)
Gτ t
1
G
(t
)
u
t
2
u
t
2
2
其它函数用门函数处理(乘以门函数)，
O
t
2
sgn t
就只剩下门内的部分。
1
符号函数：(Signum)
sgn(t)
1
1
t 0 t0
sgn(t) u(t) u(t) 2u(t) 1
O
t
-1
u(t) 1 [sgn(t) 1] 2
三．单位冲激信号（难点、重点）