椭圆及其参数方程

设M （3cos ,2sin）
3 4 其中0满足 cos 0 ,sin 0 . 5 5 当 0 =0时，d min 5.
9 8 此时3cos =3 cos 0 , 2sin 2sin 0 . 5 5 9 8 因此，当点M 位于（ ，）时， 5 5 点M与直线x+2y-10=0的距离最小值 5.
O D
C
x
1.椭圆参数方程
x a cos , x b cos , 焦点在X 轴 焦点在Y 轴 y b sin . y a sin .
本节课我们得到了椭圆的参数方程，进一步体会了参数方程 的特点（用一个变量来描述曲线运动变化规律） 2.通过本节课的学习使我们知道凡是椭圆上的任一点只要用 一个变量就能写出其坐标。 3.椭圆参数与圆的参数方程中参数的几何意义不同。
O
A x
另外, 称为离心角,规定参数 的取值范围是 [0, 2 )
x a cos , x b cos , 焦点在X 轴 焦点在Y 轴 y b sin . y a sin .
x2 y 2 1 上一点，且 已知M为椭圆 16 9 MOX , 求点M的坐标。 3
x y 则 1 3 2
2 2
x x 2 2 cos ( ) cos 3 3 令 如何削去 , 2 y 2 y 参数呢？ sin ( ) sin 2 2 2
问题2:你能仿此推导出椭圆 x 2 y2 1(a b 0) a b
和上顶点，动点C在该椭圆上运动，求△ABC的
x 2 y2 已知A,B分别是椭圆 + = 1 上的右顶点 36 9
重心G的轨迹方程
y B A o x C
练习1:已知椭圆

x 4 cos y 5sin
，（ 为参数)上相邻
两顶点A,C，又B,D为椭圆上两个动点，且分 别在直线AC的两侧，求四边形ABCD面积的 y B 最大值 A
探究：P28
椭圆规是用来画椭圆的一种器械，它的构造如图所示。在一个十字型的 金属板上有两条互相垂直的导槽，在直尺上有两个固定滑块A，B它们可以分 别在纵槽和横槽中滑动，在直尺上的点M处用套管装上铅笔，使直尺转动一 周就画出一个椭圆。 你能说明它的构造原理吗？ 提示：可以用直尺AB和横槽所成的角为参数，求出点M的轨迹的参数方程。
φ
x
a b x a cos 椭圆的参数方程: (为参数) y bsin
椭圆的参数方程中参数φ的几何意义: 是∠AOX= ,不是∠MOX= .
圆的标准方程: x2+y2=r2
y
P θ
x r cos 圆的参数方程: (为参数) y r sin θ的几何意义是 ∠AOP=θ
浙江省定海第一中学
朱静
行星 轨迹
音 乐
一、巩固知新
问题1.将普通方程与参数方程进行互化 2cos 3 2cos 2 x 3 x 2 如何引入一个参数 2 2 ,则 将x,y联系起来呢？ cos 1 sin (1)(x-3) ( y 2) 4 令三角恒等式 y 2 2sin y 2 2sin x 3cos (2) (为参数)三角恒等式sin cos 1 y 2sin
y
M

o
3
x
如图，在椭圆
x2 y 2 1 上求一点M， 9 4
y
使M到直线 l：x+2y-10=0的距离最小.
分析1
O P x
平移直线 l 至首次与椭圆相切，切点即为所求.
分析2
3 4 | 5(cos sin ) 10| | 3cos 4sin 10| 5 5 则d 5 5 | 5cos( 0 ) 10| 5
椭圆
x2 y2 2 1 2 a b
a cos x b (为参数) asin y b
x r cos ( 为参数) y r sin
参数方程:
圆
x2+y2=r2
椭圆
知识归纳 x2 y2 椭圆的标准方程: 2 2 1
y A
B O M N
M B A
A，B，M三点固定，设 MBx 。 |AM|=a，|BM|=b，
yBaidu NhomakorabeaM 0
B A

x
设M(x,y)则x=acos ,y=bsin , 所以M点的轨迹为椭圆。
的参数方程吗？
2 2
2
2
x y 2 1 2 a b

x y 1 a b
2
2
x cos a 令 y sin b
x a cos (为参数) y b sin
这就是椭圆的参数方程
类比 标准方程