椭圆及其参数方程
椭圆的参数方程及其应用
椭圆的参数方程及其应用大纲对椭圆的参数方程的要求是达到理解的程度，如果适当地引进一点简单的参数方程知识，可以起到拓宽视野，简化平面解析几何的运算的功效。
本文主要介绍椭圆的参数方程及其应用，希望能够给读者一些启迪。
一般都是这样定义的：椭圆1b )y y (a )x x (220220=-+-的参数方程是⎩⎨⎧α+=α+=sin b y y cos a x x 00（α是参数，0b 0a >>，）。
特别地，以点（00y x ，）为圆心，半径是r 的椭圆的参数方程是⎩⎨⎧α+=α+=sin r y y cos r x x 00（α是参数，r>0）。
一、求椭圆的内接多边形的周长及面积y x 22（20π<α<），22b a 4+，例2 已知点A 在椭圆136y 144x 22=+上运动，点B （0，9）、点M 在线段AB 上，且21MB AM =，试求动点M 的轨迹方程。
解：由题意知B （0，9），设A （ααsin 6cos 12，），并且设M （x ，y ）。
则，α=+⨯+α=++=cos 8211021cos 12211x 21x x B A 3sin 4211921sin 6211y 21y y B A +α=+⨯+α=++=， 动点M 的轨迹的参数方程是⎩⎨⎧+α=α=3sin 4y cos 8x （α是参数），消去参数得116)3y (64x 22=-+。
三、求函数的最值例3 设点P （x ，y ）在椭圆19y 16x 22=+，试求点P 到直线05y x =-+的距离d 的最大值和最小值。
解：点P （x ，y ）在椭圆19y 16x 22=+上，设点P （ααsin 3cos 4，）（α是参数且)20[π∈α，），则5553arcsin sin 534|5sin 4cos 3|d 22-⎪⎭⎫ ⎝⎛+α=+-α+α=。
当53arcsin 2-π=α时，距离d 有最小值0，此时椭圆19y 16x 22=+与直线05y x =-+相切；当53arcsin 23-π=α时，距离d 有最大值2。
高中数学【椭圆与双曲线】知识点总结
高中数学【椭圆与双曲线】知识点总结姓名：（一）椭圆1.椭圆的定义如果平面内一动点到两定点距离之和等于正的常数（大于两定点的距离），则动点的规迹是椭圆即|PF1|+|PF2|=2a其中P是动点，F1,F2是定点且|F1F2|=2C当a>c时表示当a=c时表示当a<c时第二定义：动点M与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数e(0<e<1)时，这个点的规迹是椭圆。
定点是，定直是e是2.椭圆的标准方程参数方程（1）标准方程（2）参数方程3.椭圆的性质（1）焦点在x轴上的椭圆标准方程x,y的范围顶点焦点对称轴对称中心长半轴的长短半轴的长焦距离心率e=范围e越大椭圆越e越小椭圆越准线焦半径公式|PF1|=|PF2|=(F1，F2分别为椭圆的左右两焦点，P为椭圆上的一点)椭圆的通径（过椭圆的一个焦点F且垂直于它过焦点的对称轴的弦）|P1P2|=（2）焦点在y轴上的椭圆标准方程x,y的范围顶点焦点对称轴对称中心长半轴的长短半轴的长焦距离心率e=范围e越大椭圆越e越小椭圆越准线焦半径公式|PF1|=|PF2|=(F1，F2分别为椭圆的下上两焦点，P为椭圆上的一点)4.椭圆系（1）共焦点的椭圆系方程为2221x yk k c+=-(其中k>c2,c为半焦距)（2）具有相同离心率的标准椭圆系的方程2222(0) x ya bλλ+=>(二)双曲线1.双曲线的定义如果平面内一个动点到两定点距离之差的绝对值等于正的常数（小于两定点间的距离），那么动点的轨迹是双曲线若一个动点到两定点距离之差等于一个常数，常数的绝对值小于两定点间的距离，那么动点的轨迹是双曲线的一支F1，F2为两定点，P为一动点，(1)若||PF1|-|PF2||=2a①0<2a<|F1F2|则动点P的轨迹是②2a=|F1F2|则动点P的轨迹是③2a=0则动点P的轨迹是(2)若|P F1|-|PF2|=2a①0<2a<|F1F2|则动点P的轨迹是②2a=|F1F2|则动点P的轨迹是③2a=0则动点P的轨迹是2.双曲线的标准方程3.双曲线的性质（1）焦点在x轴上的双曲线标准方程x,y的范围顶点焦点对称轴对称中心实半轴的长虚半轴的长焦距离心率e=范围e越大双曲线的开口越e越小双曲线的开口越准线渐近线焦半径公式|PF1|=|PF2|= (F1，F2分别为双曲线的左右两焦点，P为椭圆上的一点)（3）焦点在y轴上的双曲线标准方程x,y的范围顶点焦点对称轴对称中心实半轴的长虚半轴的长焦距离心率e=范围e越大双曲线的开口越e越小双曲线的开口越准线渐近线焦半径公式|PF1|=|PF2|= (F1，F2分别为双曲线的下上两焦点，P为椭圆上的一点)4.等轴双曲线22(0)x yλλ=±③离心率为-=≠特点①实轴与虚轴长相等②渐近线互相垂直y x5.共轭双曲线以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫原双曲线的共轭双曲线特点①有共同的渐近线②四焦点共圆双曲线22221x ya b+=的共轭双曲线是6.双曲线系（1）共焦点的双曲线的方程为2221x yk k c+=-(0<k<c2,c为半焦距)（2）共渐近线的双曲线的方程为2222(0) x ya bλλ-=≠。
椭圆参数方程
2、求定点(2a,0)和椭圆{
Hale Waihona Puke x = a cos θ y = b sin θ
(θ为参数)上各
点连线的中点轨迹方程。
解：设定点与椭圆上的点连线的中点为M ( x, y ) 2a + a cos θ x= 2 则{ (θ为参数) b sin θ y= 2 ( x − a) 2 y 2 上述的方程消去参数，得 + 2 =1 2 a b 4 4
x 9
2
y2 4
解 : 椭圆参数方程 设点P(3cos α ,2sin α ) S⊳ ABC 面积一定 , 需求 S⊳ ABP 最大即可 即 求 点 P 到 线 AB的 距 离 最 大 值
x 线 AB的 方 程 为 3 + y 2
= 1 ⇒ 2x + 3y − 6 = 0 =
6 13
d =
| 6 cos α + 6 sin α − 6 | 2 2 + 32
y
分析1：设P ( ± 8 − 8y 2 , y ),
则d = | ± 8 − 8y 2 − y + 4 | 2
O x
分析2：设P( 2 2 cos φ, sin φ),
则d = | 2 2 cos φ − sin φ + 4 |
P
2 至首次与椭圆相切，切点即为所求. 分析3：平移直线 l 至首次与椭圆相切，切点即为所求 小结：借助椭圆的参数方程， 小结：借助椭圆的参数方程，可以将椭圆上的任意一 点的坐标用三角函数表示，利用三角知识加以解决。 点的坐标用三角函数表示，利用三角知识加以解决。
思考： 与简单的线性规划问题进行类比，你能在实数 x y x, y满足 + = 1的前提下，求出z = x − 2 y的 25 16 最大值和最小值吗？
高中椭圆的参数方程
高中椭圆的参数方程
我们要找出高中椭圆的参数方程。
首先，我们需要了解什么是参数方程。
参数方程是一种描述曲线的方法，其中某些变量（称为参数）表示为另一个变量的函数。
对于椭圆，我们通常使用参数方程来描述其上的点。
椭圆的参数方程通常表示为：
x = a × cos(t)
y = b × sin(t)
其中，a 和b 是椭圆的半长轴和半短轴，t 是参数，表示椭圆上的点的角度。
这个参数方程告诉我们如何通过角度 t 来找到椭圆上的点。
例如，当 t = 0 时，x = a × cos(0) = a，y = b × sin(0) = 0。
这意味着椭圆上的一个点是 (a, 0)。
当t = π/2 时，x = a × cos(π/2) = 0，y = b × sin(π/2) = b。
这意味着椭圆上的另一个点是 (0, b)。
通过改变 t 的值，我们可以找到椭圆上的其他点。
当 a=3，b=2 时，椭圆的参数方程为：
x = 3cos(t)
y = 2sin(t)。
椭圆的参数方程表示
椭圆的参数方程表示
椭圆是一种常见的二次曲线，其方程可以表示为(x/a)^2 + (y/b)^2 = 1，其中a和b 分别为椭圆的长半轴和短半轴。
除此之外，我们还可以使用参数方程来描述椭圆。
椭圆的参数方程为：
x = a cos(t)
y = b sin(t)
其中t为参数，0 <= t <= 2π。
这个参数方程的意义是，我们可以通过让参数t从0到2π取遍所有可能的值，从而得到整个椭圆上的所有点的坐标。
具体来说，当t=0时，x=a，y=0，这个点位于椭圆的右端点。
当t=π/2时，x=0，y=b，这个点位于椭圆的上端点。
当t=π时，x=-a，y=0，这个点位于椭圆的左端点。
当t=3π/2时，x=0，y=-b，这个点位于椭圆的下端点。
当t=2π时，x=a，y=0，这个点又回到了椭圆的右端点。
通过这个参数方程，我们可以很容易地看出椭圆的形状和大小。
当a=b时，椭圆变成了一个圆，此时参数方程化简为：
x = r cos(t)
y = r sin(t)
其中r为圆的半径，t为参数。
椭圆在数学中有着广泛的应用，如在几何学中描述椭圆形的轨迹、在物理学中描述行星轨道、在工程学中描述电子轨道等等。
椭圆方程的参数方程是一种简单而直观的表示方式，方便我们对椭圆进行研究和应用。
高中数学椭圆及其参数方程
x 3
cos
如参y 何数 s削呢in去？
(
x 3
)2
2 ( y )
cos2
2
sin2
,
2
2
1
则
x 3
2
y 2
2
1
2
问题2:你能仿此推导出椭圆
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
的参数方程吗？
x2
a2
y2 b2
1
x
2
y
2
1
a b
令
x
a
y
b
cos sin
x
y
3.椭圆参数与圆的参数方程中参数的几何意义不同。
12
探究：P28
椭圆规是用来画椭圆的一种器械，它的构造如图所示。在一个十字型的
金属板上有两条互相垂直的导槽，在直尺上有两个固定滑块A，B它们可以分 别在纵槽和横槽中滑动，在直尺上的点M处用套管装上铅笔，使直尺转动一 周就画出一个椭圆。
你能说明它的构造原理吗？
(为参数)
椭圆的参数方程中参数φ的几何意义:
是∠AOX=,不是∠MOX= .
圆的标准方程: x2+y2=r2
圆的参数方程:
x r cos y r sin
(为参数)
θ的几何意义是 ∠AOP=θ
y
B O
Aφ
M
Nx
y P
θ
O
A x
5
另外, 称为离心角,规定参数 的取值范围是 [0, 2 )
两顶点A,C，又B,D为椭圆上两个动点，且分
别在直线AC的两侧，求四边形ABCD面积的
最大值
A yB
O
椭圆的参数方程的表达式
椭圆的参数方程的表达式
椭圆是一种非常常见的几何形状，它是由两条曲线相交而成的，它的精确的参数方程是：$$\frac{x^2}{a^2} +
\frac{y^2}{b^2} = 1
$$其中，$a$和$b$是椭圆的两个半径，$a$是椭圆的横轴，也称为长轴，$b$是纵轴，也称为短轴。
椭圆是一种广泛应用的几何形状，它可以用来描述很多自然界里的现象，比如圆周运动。
圆周运动是指一个物体绕着椭圆轨道运动，比如行星围绕恒星运行。
在几何学中，椭圆也有很多用途，比如用来绘制几何图形，比如椭圆形，橄榄形等等。
椭圆也可以用来求出某些特定的几何问题，比如求两个点之间的最短距离。
此外，椭圆在很多领域中都有应用，比如机械设计中，椭圆是用来设计齿轮的；在地理学上，椭圆也被用来描述地球的形状；在金融学中，椭圆也被用来描述投资组合的风险程度。
总之，椭圆是一种非常常见的几何形状，它的参数方程是$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$$，它有着广泛的应用，在机械设计、地理学、金融学等领域都有应用。
参数方程椭圆
参数方程椭圆一、椭圆的定义椭圆是平面上到两个定点F1和F2距离之和等于常数2a（a>0）的点P的轨迹。
定点F1和F2称为椭圆的焦点，线段F1F2的长度称为椭圆的长轴，长轴中点O称为椭圆的中心，线段AB垂直于长轴且过中心O，长度为2b，则b被称为短轴。
二、参数方程参数方程是用参数表示自变量和因变量之间关系的方程。
对于椭圆而言，其参数方程可以表示为：x=a*cos(t)y=b*sin(t)其中t是参数。
三、如何绘制椭圆可以使用计算机软件或者手工绘制来完成。
手工绘制需要画出长轴和短轴，并且确定焦点位置。
然后按照参数方程依次取不同t值时对应的x,y坐标进行描点，并将这些点依次连接起来即可得到整个椭圆形状。
四、参数方程与直角坐标系下方程之间的转换在直角坐标系下，椭圆可以表示为：(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1通过代入cos(t)和sin(t)得到：(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=cos^2(t)+sin^2(t)=1因此，参数方程和直角坐标系下的方程是等价的。
五、参数a和b的含义a和b分别代表椭圆长轴和短轴的长度。
在参数方程中，当t取0时，x=a；当t取π/2时，y=b。
因此，a和b可以用来确定椭圆的大小。
六、参数方程椭圆的性质1. 椭圆是对称图形，关于x轴、y轴以及原点对称。
2. 椭圆上任意一点到两个焦点距离之和等于常数2a。
3. 椭圆上任意一点到长轴中心O的距离与到短轴中心O'（O'为长轴与短轴交点）的距离之和等于常数2a，即PF1+PF2=2a=PQ+PQ'。
4. 椭圆面积为πab。
5. 椭圆周长无法用初等函数表示。
七、应用参数方程椭圆在数学以及物理学等领域有广泛应用。
例如，在天文学中，行星运动可以用椭圆来描述；在工程设计中，椭圆形状的物体可以减小空气阻力，提高速度；在艺术领域中，椭圆形状也常被用来表现某些特定的情感或者意境。
椭圆方程的参数方程
椭圆方程的参数方程椭圆方程的参数方程是数学中一种重要的工具，可以帮助我们更深入地理解椭圆这一几何形状。
在本篇文章中，我们将介绍椭圆参数方程的基本概念、性质与应用，希望能够给读者带来实用的指导意义。
在了解椭圆参数方程之前，我们先来回顾一下什么是椭圆。
椭圆是一种长轴和短轴长度不同的封闭曲线，可以用以下标准方程来表示：$ \frac{(x-h)^2}{a^2} + \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1 $其中，$a$ 和 $b$ 分别是椭圆的长轴和短轴长度，$h$ 和$k$ 是椭圆的中心点坐标。
不过，这种方程形式往往比较复杂，不利于我们对椭圆的几何特征进行深入研究。
因此，我们可以将椭圆的参数方程表达出来，简化椭圆的形式。
椭圆的参数方程可以通过以下公式求出：$x=a\cos t+h$$y=b\sin t+k$其中，$t$ 是参数，用来表示椭圆上每一个点的位置。
以这种形式表示，我们就可以更加清晰地看到椭圆的几何特征。
例如，我们可以通过调整参数 $t$ 的值，来绘制出椭圆上不同位置的点并观察其特征。
椭圆参数方程还有一些重要的性质。
首先是椭圆的周长和面积可以用以下公式求出：周长：$L = 4aE(e)$面积：$S = \pi ab$其中，$E(e)$ 是椭圆第二类完整椭圆积分，$e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}}$ 是椭圆的离心率。
这些公式可以帮助我们计算椭圆的几何特征，对于椭圆相关问题的求解有很大帮助。
此外，椭圆参数方程还可以应用到一些实际问题中。
例如，在天文学中，椭圆轨道可以用参数方程描述行星、卫星等天体的运动；在机械制造中，椭圆也被广泛应用于曲轴连杆机构的设计等方面。
总而言之，椭圆参数方程是一种非常有用的工具，可以使我们更加深入地理解椭圆这一几何形状及其相关特征。
通过对椭圆的参数方程进行研究和应用，我们能够更好地解决各种实际问题，提高数学思维和解题能力。
椭圆的参数方程
l：x-y+4=0的距离最小.
y
分析1： P( 8 8y 2 , y), 设
则d | 8 8y 2 y 4 | 2
O x
分析2：设P(2 2 cos, sin ),
则d | 2 2 cos sin 4 | 2
P
分析3：平移直线 l 至首次与椭圆相切，切点即为所求. 小结：借助椭圆的参数方程，可以将椭圆上的任意一
2
B
)
方程为__________ __________ ?
解：方程x 2 y 2 4 x cos 2 y sin 3 cos2 0 可以化为( x 2 cos ) ( y sin ) 1
2 2
所以圆心的参数方程为 {
x 2 cos y sin
(3)
x 9
2
1 (4)
y 25
2
x 64
2
y 100
2
1
x 2cos 练习2：已知椭圆的参数方程为 ( 是 y sin
参数) ，则此椭圆的长轴长为（ 4 ），短轴长为
（ 2 ），焦点坐标是（( 3 , 0)），离心率是 （
3 2
）。
例2、如图，在椭圆x2+8y2=8上求一点P，使P到直线
a ,0
(
）,(0,
c,0)
b)
（
b ,0
）,(0,
(0,
c)
a)
长半轴长为a,短半轴长为b.
焦距为2c;
a,b,c关系 离 心 率
a2=b2+c2
c e a
问题、如下图，以原点为圆心，分别以a，b（a＞b＞0） 为半径作两个圆，点B是大圆半径OA与小圆的交点，过 点A作AN⊥ox，垂足为N，过点B作BM⊥AN，垂足为M， 求当半径OA绕点O旋转时点M的轨迹参数方程. 分析：点M的横坐标与点A的横坐标相同, 点M的纵坐标与点B的纵坐标相同. y 而A、B的坐标可以通过 引进参数建立联系.
椭圆的参数方程
• 1．椭圆的参数方程
普通方程 ax22＋by22＝1 (a>b>0) ay22＋bx22＝1 (a>b>0)
参数方程
x＝ acos φ y＝ bsin φ
(φ为参数)
x＝bcos φ y＝asin φ
(φ为参数)
2．中心在（m,n）的
椭
圆
x－m2 a2
＋
y－n2 b2
的矩形的长和宽及其最大面积．(如图)
解析：
已知椭圆
x2 9
＋y42
＝1的参数方程为
x＝3cosφ， y＝2sinφ
(φ
为参数)，设P(x，y)是椭圆上在第一象限内的一点．
则P点的坐标是P(3cosφ，2sinφ)，
内接矩形面积为
S＝4xy＝4·3cosφ·2sinφ＝12sin2φ
当sin2φ＝1，即φ＝45°时，面积S有最大值12，
• ①通过参数θ简明地表示曲线上任一点坐标；
• ②将解析几何中的计算问题转化为三角问题，从而运用三角 性质及变换公式帮助求解诸如最值、参数取值范围等问题．
• (2)设出C的坐标为(6cosθ，3sinθ)； • (3)由重心公式可得G坐标； • (4)消去参数θ，即得G轨迹方程．
[解题过程] 由题意知A(6,0)、B(0,3)．由于动点C在椭圆 上运动，故可设动点C的坐标为(6cosθ，3sinθ)，点G的坐标设 为(x，y)，由三角形重心的坐标公式可得
(2)利用 asin θ＋bcos θ＝ a2＋b2sin(θ＋φ)化简，运用三角 函数的有界性求最值．
例1在椭圆 x 2 y 2 1上求一点M，使点M到直线x 2 y 10 0 94
的距离最小，并求出最小距离
椭圆的参数方程如下图
2 2
y
B O
φ
A
M N
x
是半径OA的旋转角；是∠AOX=φ,不是∠MOX=φ.
y
圆的标准方程: x2+y2=r2 x r cos 圆的参数方程: y r sin (为参数) θ的几何意义是: ∠XOP=θ
P θ
O
x
巩固练习
【练习1】把下列普通方程化为参数方程. 2 2 2 x y y 2 1 (2) x 1 (1) 4 9 16 (1) x 2 cos (2) x cos y 3sin y 4sin
一、椭圆的参数方程
一、知识构建
如下图，以原点为圆心，分别以a，b（a＞b＞0）为半径 作两个圆，点B是大圆半径OA与小圆的交点，过点A作 AN⊥OX，垂足为N，过点B作BM⊥AN，垂足为M，求当半径 OA绕点O旋转时点M的轨迹参数方程. 分析：点M的横坐标与点A的横坐标相同, 点M的纵坐标与点B的纵坐标相同. 而A、B的坐标可以通过 引进参数建立联系.
求矩形ABCD的最大面积。
Y y D
B2
解 : 设A 10cos ,8sin
AD 20cos , AB 16sin S 20 16sin cos 160sin 2
A1ALeabharlann F1CO B1
B
F2
X A2 X
所以, 矩形ABCD最大面积为 160
x2 y2 1、动点P(x,y)在曲线 1上变化 ，求2x+3y的最 9 4 大值和最小值
5、已知点A（1，0），椭圆
x 2 y 1 4
2
点P在椭圆上移动，求|PA|的最小值及此时
椭圆公式化为参数方程
椭圆公式化为参数方程
椭圆是数学中最重要的几何图形之一，它被定义为一个平面上围绕一个轴的曲线。
椭圆的学习和研究是学习数学的重要部分。
椭圆的公式化一般是椭圆面积公式或椭圆面积公式，也叫标准椭圆面积公式。
椭圆还可以用参数方程来描述。
参数方程是指根据数学函数中两个或多个参数的变化来描述一个曲线的方程。
因此，椭圆可以用参数方程来表示。
椭圆的参数方程的一般形式是：
$$
\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2}=1
$$
其中a,b为两个正实数，代表椭圆的长短轴长，a是椭圆的长半轴，b是椭圆的短半轴，并且a>b。
根据椭圆参数方程，可以得出椭圆的中心点坐标为(0,0)。
当a>b时，椭圆的形状为长椭圆，否则为短椭圆。
椭圆参数方程与其他数学曲线的参数方程类似，只是参数名称有所区别，而参数的意义与数学曲线的公式大体相同。
椭圆的参数方程的参数表示的椭圆的特征非常重要，可以根据椭圆的参数方程来解决许多几何学问题，并得出有用的结论。
同时，通过椭圆的参数方程可以轻松地绘制椭圆的图形，使人们容易理解椭圆的性质。
总之，椭圆的参数方程能精确描述椭圆的性质，提供了解决几何学问题和绘制椭圆图形的便利。
椭圆的参数方程总结
椭圆的参数方程总结椭圆是一种常见的几何形状，由于它的特殊性质，在数学和物理学中有着广泛的应用。
以下是关于椭圆的参数方程的总结：1. 基本定义椭圆可以被定义为平面上到两个固定点（焦点）的距离之和等于常数的点的轨迹。
一个椭圆由其两个焦点以及一个常数（半径和）决定。
2. 参数方程椭圆的参数方程描述了椭圆上每个点的坐标。
一种常见的参数方程形式如下：x = a * cos(t)y = b * sin(t)其中，a和b分别是椭圆的长半轴和短半轴的长度，t是参数，可以取0到2π之间的任意实数值。
3. 参数方程特性椭圆的参数方程具有以下特性：- 参数方程中的t表示了椭圆上每个点所对应的角度，因此可以使用参数方程来描述椭圆的整个轨迹。
- 当t等于0或2π时，对应的点位于椭圆的右焦点上。
- 当t等于π时，对应的点位于椭圆的左焦点上。
- 当t等于π/2或3π/2时，对应的点位于椭圆的顶点上。
- 参数方程中的a和b决定了椭圆的大小和形状，当a和b相等时，椭圆为圆形。
4. 示例以下是一个使用参数方程绘制椭圆的示例代码：import matplotlib.pyplot as pltimport numpy as npa = 5 # 长半轴b = 3 # 短半轴t = np.linspace(0, 2*np.pi, 1000) # 参数范围x = a * np.cos(t) # x坐标y = b * np.sin(t) # y坐标plt.plot(x, y)plt.axis('equal')plt.xlabel('x')plt.ylabel('y')plt.title('椭圆')plt.grid(True)plt.show()通过上述代码，可以得到一个长半轴为5，短半轴为3的椭圆。
5. 应用领域椭圆的参数方程在众多科学和工程领域有着广泛的应用，例如：- 天体运动的轨道模型- 电子轨道和原子结构的描述- 信号处理和图像处理中的滤波算法总之，椭圆的参数方程为我们描述和分析椭圆的性质提供了方便和灵活的方法，可以在各个领域中得到有效应用。
椭圆标准方程 参数方程
椭圆标准方程参数方程
椭圆是平面上一点到两个定点的距离之和等于常数的轨迹，这两个定点称为焦点。
椭圆在几何学和数学分析中有着重要的应用，而椭圆的标准方程和参数方程是描述椭圆的重要工具。
首先，我们来看椭圆的标准方程。
设椭圆的两个焦点分别为F1（c，0）和F2（-c，0），两焦点之间的距离为2a（a>c>0），则椭圆的标准方程为：\[\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\]
其中，a为长半轴的长度，b为短半轴的长度，满足关系式\(b^2 = a^2 c^2\)。
通过标准方程，我们可以方便地得到椭圆的长短轴长度、焦点位置等重要信息。
其次，我们来看椭圆的参数方程。
椭圆的参数方程为：
\[x = a \cos t\]
\[y = b \sin t\]
其中，t为参数，取值范围为0到2π。
通过参数方程，我们可以直观地了解椭圆上各点的位置，更容易进行参数化的描述和分析。
在实际问题中，我们经常需要根据给定的条件来确定椭圆的标准方程或参数方程。
例如，已知椭圆的焦点和长短轴长度，我们可以利用这些信息来确定椭圆的标准方程；而如果已知椭圆上某点的参数表示形式，我们也可以通过参数方程来描述椭圆。
总之，椭圆的标准方程和参数方程是描述椭圆的重要工具，它们分别从代数和
几何的角度对椭圆进行了描述，为我们理解和分析椭圆提供了便利。
在实际问题中，我们可以根据具体情况选择合适的描述方式，从而更好地解决问题。
通过学习和掌握椭圆的标准方程和参数方程，我们可以更深入地理解椭圆的性质和特点，为数学和工程等领域的应用打下坚实的基础。
椭圆的参数方程公式
椭圆的参数方程公式椭圆是高中数学中常见的几何图形之一，它具有许多独特的性质和特点。
本文将介绍椭圆的参数方程公式及其几何特性，帮助读者更好地理解和应用这一重要的数学概念。
一、椭圆的参数方程公式椭圆的参数方程公式为：x = a * cos(t)y = b * sin(t)其中，a和b分别代表椭圆的长半轴和短半轴的长度，t为参数，取值范围为[0, 2π]。
通过这个参数方程公式，我们可以得到椭圆上的每一个点的坐标。
当参数t从0到2π变化时，点在椭圆上按顺时针方向依次遍历。
二、椭圆的几何特性1. 长轴和短轴：椭圆的长轴是通过椭圆中心并且垂直于长轴的直线段，长轴的长度为2a；短轴是通过椭圆中心并且垂直于短轴的直线段，短轴的长度为2b。
2. 焦点和离心率：椭圆有两个焦点，分别位于长轴上，与中心距离分别为c和-c，其中c满足a^2 = b^2 + c^2。
离心率e是一个描述椭圆形状的参数，计算公式为e = c/a。
当e=0时，椭圆退化为一个圆；当0<e<1时，椭圆形状较扁；当e=1时，椭圆退化为一个抛物线；当e>1时，椭圆形状较细长。
3. 焦点和直径：椭圆上的任意一条直径都经过两个焦点之一。
直径长的一半等于长半轴的长度。
4. 弦和弦长：椭圆上的任意一条弦都经过椭圆中心。
弦长等于长轴的长度乘以sinθ，其中θ是弦与长轴之间的夹角。
5. 切线和法线：椭圆上的任意一点处的切线是通过该点并且与椭圆曲线相切的直线；法线是通过该点并且垂直于切线的直线。
6. 面积和周长：椭圆的面积为πab，其中π是圆周率；周长没有简洁的公式，可以通过数值积分来计算。
三、椭圆的应用椭圆作为一种重要的几何图形，在数学和实际应用中都有广泛的应用。
1. 天体运动：行星、卫星等天体的轨道大多为椭圆。
通过椭圆的参数方程，可以描述和预测天体的运动轨迹。
2. 电子轨道：原子中的电子围绕原子核的轨道也呈椭圆形。
椭圆的参数方程可以用来描述电子的运动状态。
椭圆的参数方程
9
1
x 64
2
y
2
100
1
练习2：已知椭圆的参数方程为
x 2 cos ( 是 y sin
参数) ，则此椭圆的长轴长为（ 4 （ 2 ），焦点坐标是（( （
3 2
），短轴长为
3 , 0)），离心率是
）。
练习3：
P 是 椭 圆{
x 4 co s y 2 3 sin
A1
D
B2
A
A D 2 0 co s , A B 1 6 sin
F1
C
O B1
B
F2
X A2 X
所 以 , 矩 形 A B C D 最 大 面 积 为160
四：小结: 1:椭圆的标准方程: 椭圆的参数方程:
x a
2 2
y b
2 2
1
(为参数)
x a cos y b sin
16
最大值和最小值吗？
设 M ( 5 cos , 4 sin ) 是椭圆上的一点，则 z 5 cos 8 sin cos( 0 ) [ 1,1] z [ 89 , 89 ] 89 cos( 0 )
x2 练习1：已知点A（1，0），点P在椭圆 y2 1上移动， 4
小结： 平移直线 l 至首次与椭圆相切，与切线的距离 分析3： 借助椭圆的参数方程，可以将椭圆上的任意一
点的坐标用三角函数表示，利用三角知识加以解决。 即为所求.
思考： 与简单的线性规划问题进行类比，你能在实数 x, y满 足 x
2
y
2
1的 前 提 下 ， 求 出 z x 2 y的
椭圆关系式
椭圆关系式椭圆是一种常见的几何图形，具有许多重要的性质和应用。
在代数几何中，椭圆可以通过其几何特征和方程表示。
本文将通过介绍椭圆的几何特征、标准方程和参数方程来讨论椭圆的关系式，希望能够对读者有所帮助。
一、椭圆的几何特征椭圆是一个平面图形，其特点是所有点到两个焦点的距离之和等于常数，这个常数称为椭圆的长轴。
两个焦点之间的距离称为焦距，椭圆上的点与两个焦点的距离之差的绝对值称为离心率。
二、椭圆的标准方程椭圆的标准方程是根据椭圆的几何特征得出的。
标准方程的形式如下：(x - h)²/a² + (y - k)²/b² = 1其中，(h,k)为椭圆的中心点坐标，a为椭圆的长轴长度的一半，b为椭圆的短轴长度的一半。
通过改变参数a和b的大小，可以调整椭圆的形状。
三、椭圆的参数方程椭圆的参数方程是用参数表示椭圆上的点的方程。
参数方程的形式如下：x = h + a * cosθy = k + b * sinθ其中，(h,k)为椭圆的中心点坐标，a为椭圆的长轴长度的一半，b为椭圆的短轴长度的一半，θ是一个参数。
通过改变参数θ的值，可以得到椭圆上的不同点的坐标。
四、椭圆的性质椭圆具有许多重要的性质，下面介绍其中几个常见的性质：1. 轴长：椭圆的长轴长度为2a，短轴长度为2b。
2. 离心率：椭圆的离心率e满足0<e<1，离心率越接近1，椭圆越扁平。
3. 焦点：椭圆上的点到两个焦点的距离之和等于常数。
4. 焦准线：焦点与椭圆对应的直线称为焦准线，焦准线与椭圆的交点称为顶点。
5. 弦：椭圆上的两个点及其通过中点的线段称为弦，弦的长度可以在椭圆上变化。
6. 切线和法线：切线是椭圆上一点的切线，法线是切线的垂直线。
以上是椭圆的一些基本性质，通过这些性质可以更好地理解和应用椭圆。
总结：本文通过介绍椭圆的几何特征、标准方程和参数方程，讨论了椭圆的关系式。
椭圆是一个重要的几何图形，具有许多重要的性质和应用。
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x2 y2 2 1 2 a b
a cos x b (为参数) asin y b
x r cos ( 为参数) y r sin
参数方程:
圆
x2+y2=r2
椭圆
知识归纳 x2 y2 椭圆的标准方程: 2 2 1
y A
B O M N
φ
x
a b x a cos 椭圆的参数方程: (为参数) y bsin
椭圆的参数方程中参数φ的几何意义: 是∠AOX= ,不是∠MOX= .
圆的标准方程: x2+y2=r2
y
P θ
x r cos 圆的参数方程: (为参数) y r sin θ的几何意义是 ∠AOP=θ
浙江省定海第一中学
朱静
行星 轨迹
音 乐
一、巩固知新
问题1.将普通方程与参数方程进行互化 2cos 3 2cos 2 x 3 x 2 如何引入一个参数 2 2 ,则 将x,y联系起来呢？ cos 1 sin (1)(x-3) ( y 2) 4 令三角恒等式 y 2 2sin y 2 2sin x 3cos (2) (为参数)三角恒等式sin cos 1 y 2sin
设M （3cos ,2sin）
3 4 其中0满足 cos 0 ,sin 0 . 5 5 当 0 =0时，d min 5.
9 8 此时3cos =3 cos 0 , 2sin 2sin 0 . 5 5 9 8 因此，当点M 位于（ ，）时， 5 5 点M与直线x+2y-10=0的距离最小值 5.
M B A
A，B，M三点固定，设 MBx 。 |AM|=a，|BM|=b，
y M 0
B A
x
设M(x,y)则x=acos ,y=bsin , 所以M点的轨迹为椭圆。
y
M
o
3
x
如图，在椭圆
x2 y 2 1 上求一点M， 9 4
y
使M到直线 l：x+2y-10=0的距离最小.
分析1
O P x
平移直线 l 至首次与椭圆相切，切点即为所求.
分析2
3 4 | 5(cos sin ) 10| | 3cos 4sin 10| 5 5 则d 5 5 | 5cos( 0 ) 10| 5
和上顶点，动点C在该椭圆上运动，求△ABC的
x 2 y2 已知A,B分别是椭圆 + = 1 上的右顶点 36 9
重心G的轨迹方程
y B A o x C
练习1:已知椭圆
x 4 cos y 5sin
，（ 为参数)上相邻
两顶点A,C，又B,D为椭圆上两个动点，且分 别在直线AC的两侧，求四边形ABCD面积的 y B 最大值 A
O D
C
x
1.椭圆参数方程
x a cos , x b cos , 焦点在X 轴 焦点在Y 轴 y b sin . y a sin .
本节课我们得到了椭圆的参数方程，进一步体会了参数方程 的特点（用一个变量来描述曲线运动变化规律） 2.通过本节课的学习使我们知道凡是椭圆上的任一点只要用 一个变量就能写出其坐标。 3.椭圆参数与圆的参数方程中参数的几何意义不同。
探究：P28
椭圆规是用来画椭圆的一种器械，它的构造如图所示。在一个十字型的 金属板上有两条互相垂直的导槽，在直尺上有两个固定滑块A，B它们可以分 别在纵槽和横槽中滑动，在直尺上的点M处用套管装上铅笔，使直尺转动一 周就画出一个椭圆。 你能说明它的构造原理吗？ 提示：可以用直尺AB和横槽所成的角为参数，求出点M的轨迹的参数方程。
O
A x
另外, 称为离心角,规定参数 的取值范围是 [0, 2 )
x a cos , x b cos , 焦点在X 轴 焦点在Y 轴 y b sin . y a sin .
x2 y 2 1 上一点，且 已知M为椭圆 16 9 MOX , 求点M的坐标。 3
的参数方程吗？
2 2
2
2
x y 2 1 2 a b
x y 1 a b
2
2
x cos a 令 y sin b
x a cos (为参数) y b sin
这就是椭圆的参数方程
类比 标准方程
x y 则 1 3 2
2 2
x x 2 2 cos ( ) cos 3 3 令 如何削去 , 2 y 2 y 参数呢？ sin ( ) sin 2 2 2
问题2:你能仿此推导出椭圆 x 2 y2 1(a b 0) a b