《等腰三角形的性质》优秀课件PPT
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13. 等腰三角形的性质 PPT课件(华师大版)
分析：由上述操作可以得到启示，即添加
等腰三角 形的顶角平分线AD，然
后证明△ABD≌ △ACD.
证明：画∠ABC的平分线AD. 在 △ABD和 △ACD中， ∵ AB＝AC (已知）， ∠ 1 = ∠ 2(角平分线的定义）， AD =AD (公共边）， ∴ △ABD≌ △ACD(S.A.S.). ∴ ∠B＝∠C(全等三角形的对应角相等）•
2．等腰三角形“三线合一”的性质常常可以用来证明角相 等、线段相等和线段垂直．在遇到等腰三角形的问题 时， 尝试作这条辅助线，常常会有意想不到的效果．
例4 如图 13.3.4，在△ABC中， AB＝AC ，D是BC 边上的中点， ∠B =30°．求 ：
（1）∠ADC的大小； （2）∠1的大小. 解： （1）∵ AB＝AC ，BD＝DC （已知），
3 (中考·丹东)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30° ，E为BC的延长线上一点，∠ABC与∠ACE的平 分线交于点D，则∠D的度数为( ) A．15° B．17.5° C．20° D．22.5°
知识点 2 等腰三角形的轴对称性：三线合一
探索
由前面的“做一做”，你还可以发现什么结论？请 写 出你的发现：
例2 已知：在△ABC中， AB＝AC ， ∠B =80°．求 ∠C和∠A的大小.
解： ∵ AB＝AC （已知）， ∴ ∠C＝∠B ＝ 80°（等边对等角）. 又∵ ∠A + ∠B + ∠C ＝ 180°(三角形的内角和 等于 180 °）， ∴ ∠A ＝ 180 °－ ∠B － ∠C (等式的性质） ＝ 180°－ 80°－ 80°＝ 20°.
做
一
做
剪一张等腰三角形的半透明纸片，每人所剪的等腰三角 形的大小和形状可以不一样，如图13.3.2,把纸片对折，让
等腰三角 形的顶角平分线AD，然
后证明△ABD≌ △ACD.
证明：画∠ABC的平分线AD. 在 △ABD和 △ACD中， ∵ AB＝AC (已知）， ∠ 1 = ∠ 2(角平分线的定义）， AD =AD (公共边）， ∴ △ABD≌ △ACD(S.A.S.). ∴ ∠B＝∠C(全等三角形的对应角相等）•
2．等腰三角形“三线合一”的性质常常可以用来证明角相 等、线段相等和线段垂直．在遇到等腰三角形的问题 时， 尝试作这条辅助线，常常会有意想不到的效果．
例4 如图 13.3.4，在△ABC中， AB＝AC ，D是BC 边上的中点， ∠B =30°．求 ：
（1）∠ADC的大小； （2）∠1的大小. 解： （1）∵ AB＝AC ，BD＝DC （已知），
3 (中考·丹东)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30° ，E为BC的延长线上一点，∠ABC与∠ACE的平 分线交于点D，则∠D的度数为( ) A．15° B．17.5° C．20° D．22.5°
知识点 2 等腰三角形的轴对称性：三线合一
探索
由前面的“做一做”，你还可以发现什么结论？请 写 出你的发现：
例2 已知：在△ABC中， AB＝AC ， ∠B =80°．求 ∠C和∠A的大小.
解： ∵ AB＝AC （已知）， ∴ ∠C＝∠B ＝ 80°（等边对等角）. 又∵ ∠A + ∠B + ∠C ＝ 180°(三角形的内角和 等于 180 °）， ∴ ∠A ＝ 180 °－ ∠B － ∠C (等式的性质） ＝ 180°－ 80°－ 80°＝ 20°.
做
一
做
剪一张等腰三角形的半透明纸片，每人所剪的等腰三角 形的大小和形状可以不一样，如图13.3.2,把纸片对折，让
等腰三角形性质(公开课)课件
底边
B
C
底边与腰的夹角叫做底角.
底角
活动（二）: 细心观察 大胆猜想
上面剪出的等腰三角形是轴对称图形吗？
把剪出的等腰三角形ABC沿折痕对折，
找出其中重合的线段和角，填入下表:
B
重合的线段
重合的角
AB=AC ∠B=∠C A D
BD=CD ∠ADB=∠ADC
AD=AD ∠BAD=∠CAD C
等腰三角形除了两腰相等以外,你还 能发现它的其他性质吗?
证明: 作顶角的平分线AD, 则∠1=∠2
在△BAD和△CAD中
AB=AC ( 已知 ) ∠1=∠2 ( 已作 )
B DC
AD=AD (公共边)
∴ △BAD ≌ △CAD (SAS).
∴ ∠ B= ∠C (全等三角形的对应角相等).
方法三: 作底边的高线
等腰三角形的两个底角相等。
A
已知: 如图，在△ABC中，AB=AC.
设问: 你发现了什么现象，
猜想等腰△ABC有哪些性质？
结论: 等腰三角形是轴对称图形；
角: ① ∠B = ∠C→ 两个底角相等 ② ∠BAD=∠CDA → AD为顶角∠BAC的平分线 ③∠ADC= ∠ADB=900 → AD为底边BC上的高
边: ④BD = CD →
AD为底边BC上的中线
等腰三角形性质:
知一线得二线
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
A
“三线合一”可以帮助我
们解决线段的垂直、相等
以及角的相等问题。
B
DC
1.等腰三角形一个底角为70°,它的顶角为__4_0__°_.
2.等腰三角形一个角为70°,它的另外两个角为 _______________7_0_°_.,40° 或 55°,55°
《等腰三角形的性质》ppt课件
C ∵ ∠A= ∠ B= ∠ C ∴△ABC是等边三角形
3 . 有一个角是60°的等腰 三角形是等边三角形.
∵ ∠B=600 ， AB=BC ∴△ABC是等边三角 形
怎样判断三角形ABC是等边三角形？
1.三边都相等的三角形是等边三角形.（定义）
A ∵AB=BC=AC
∴△ABC是等边三角形 一般三角形 B
B
D
C
底
A
归纳：等腰三角形的性质
从边看：等腰三角形的两腰相等 AB=AC
B
从角看： 等腰三角形的两底角相等 ∠B=∠C
D
C
从重要线段看： 等腰三角形顶角的平分线、底边上 的中线和底边上的高线互相重合
从对称性看：
等腰三角形是轴对称图形
等腰三角形性质： （简写成“等边对等角”）； 性质1 等腰三角形的两个底角相等。
与底边上的高互相重合）. ∴∠BAD=∠CAD=50°
A
三边都相等的三角形叫等边三角形。
AB=BC=CA
等边三角形是特殊的等腰三 角形也叫正三角形。
B
C
提出问题：等边三角形有哪些性质呢？
根据等腰三角形的性质去探讨等边三角形的性质：
①从边看 ③从对称性看
②从角看
④从重要线段看
等边三角形的性质
1 .三条边相等。 2.等边三角形的内角都相等，且等于60 °
等腰三角形的定义
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。
相等的两条边叫做腰 另一条边叫做底边
两腰所夹的角叫做顶角
腰与底边的夹角叫底角
注：等腰三角形中顶角可以是锐角、 直角、钝角；但底角只能是锐角
等腰三角形是轴对称图形，顶角平 分线（底边上的高、底边上的中线） 所在的直线是它的对称轴
等腰三角形的性质PPT
D
B
C
0
∵ ∠DAE+∠E+∠D=180 0 0 0 0 ∴∠DAE= 180 -25 -40 =115
小明练习册上的一个等腰三角形被墨迹污染了， 只有它的底边AB和∠B还保留着。你怎样画出 练习册上原来的等腰三角形形状呢？ C
A
B
想一想
三边都相等的三角形是等边三角形也叫 正三角形 （1）等边三角形是轴对称图形吗？找出对称轴 （2）你能发现它的哪些特征？
2. 等边三角形的性质。 3. 相关计算。
谈一谈
同学们，学了这节课你最想说什么？
认识了等腰三角形和等边三角形 1、等腰三角形是轴对称图形， 等腰三角形“三线合一” 等腰三角形的两个底角相等。 2、如果一个三角形有两个角相等， 那么它们所对的边也相等。
某开发区新建了两片住宅区:A区、B区 （如图）.现在要从煤气主管道的一个地方建 立一个接口,同时向这两个小区供气.请问,这个 接口应建在哪,才能使得所用管道最短? B 小区 A小区
已知：如图， △ ABC中， ∠ABC=50 º , ∠ACB=80 º ,延长 CB至D,使BD=BA,延长BC至E,使CE=CA .连结AD、AE. 求∠D、∠E、∠DAE的度数 . A 解：∵BD=CD ∴∠D=∠DAB ∵ ∠ABC=∠D+∠DAB 0 1 _ ∴∠D= ∠ABC=25 2 _ ∵CE=CA E ∴∠E=∠CAE ∵ ∠ACB=∠E+∠CAE 0 1 __ ∴∠E= 2∠ACB=40
根据等腰三角形性质定理2,在△ABC中， AB=AC时， (1) ∵AD⊥BC， A
∴∠_____ ____. BAD = ∠_____ CAD ，____= BD CD (2) ∵AD是中线，
《等腰三角形的性质》ppt课件
若只知道一个角为60°，但无法确定该角是顶角还是底角，则不能判定为等边三角形 。
在处理与等腰三角形有关的问题时，常常需要分类讨论，并考虑各种特殊情况。
04
等腰三角形面积计算与应用
面积计算公式推导
1 2
等腰三角形面积公式
S = 1/2 × b × h，其中b为底边长度，h为高。
通过已知两边和夹角求面积
特点
等腰三角形是轴对称图形，有一条对称轴，即底边的垂直平 分线；等腰三角形的两底角相等；等腰三角形底边上的垂直 平分线、底边上的中线、顶角平分线和底边上的高互相重合 ，简称“三线合一”。
与等边三角形关系
区别
等边三角形的三边都相等，而等腰三 角形只有两边相等；等边三角形的三 个内角都是60度，而等腰三角形的 两个底角相等，但不一定都是60度 。
应用举例
利用两边相等定理解决与等腰 三角形相关的问题，如角度计
算、边长求解等。
两角相等定理
两角相等定理内容
等腰三角形的两个底角相 等。
定理证明方法
通过构造高线或利用相似 三角形进行证明。
应用举例
利用两角相等定理解决与 等腰三角形相关的问题， 如角度计算、相似三角形 判定等。
对称性及其推论
对称性
等腰三角形是轴对称图形，其 对称轴是底边的垂直平分线。
若已知等腰三角形的两边a和夹角θ，则面积S = 1/2 × a^2 × sinθ。
3
通过已知三边求面积
应用海伦公式，先求出半周长p = (a + b + c) / 2，再代入公式S = sqrt[p(p - a)(p - b)(p - c)] 。
典型例题解析
例题1
例题3
已知等腰三角形的底边长为10cm， 腰长为8cm，求其面积。
在处理与等腰三角形有关的问题时，常常需要分类讨论，并考虑各种特殊情况。
04
等腰三角形面积计算与应用
面积计算公式推导
1 2
等腰三角形面积公式
S = 1/2 × b × h，其中b为底边长度，h为高。
通过已知两边和夹角求面积
特点
等腰三角形是轴对称图形，有一条对称轴，即底边的垂直平 分线；等腰三角形的两底角相等；等腰三角形底边上的垂直 平分线、底边上的中线、顶角平分线和底边上的高互相重合 ，简称“三线合一”。
与等边三角形关系
区别
等边三角形的三边都相等，而等腰三 角形只有两边相等；等边三角形的三 个内角都是60度，而等腰三角形的 两个底角相等，但不一定都是60度 。
应用举例
利用两边相等定理解决与等腰 三角形相关的问题，如角度计
算、边长求解等。
两角相等定理
两角相等定理内容
等腰三角形的两个底角相 等。
定理证明方法
通过构造高线或利用相似 三角形进行证明。
应用举例
利用两角相等定理解决与 等腰三角形相关的问题， 如角度计算、相似三角形 判定等。
对称性及其推论
对称性
等腰三角形是轴对称图形，其 对称轴是底边的垂直平分线。
若已知等腰三角形的两边a和夹角θ，则面积S = 1/2 × a^2 × sinθ。
3
通过已知三边求面积
应用海伦公式，先求出半周长p = (a + b + c) / 2，再代入公式S = sqrt[p(p - a)(p - b)(p - c)] 。
典型例题解析
例题1
例题3
已知等腰三角形的底边长为10cm， 腰长为8cm，求其面积。
《等腰三角形的性质》优秀课件
全等识别
若两个三角形三边及三角分别相等，则这两个三角形全等。在等腰三角形中， 若两个等腰三角形的底边和腰长分别相等，则这两个等腰三角形全等。
2024/1/26
21
对后续知识点（如圆、三角函数）的铺垫作用
对圆的知识点铺垫
等腰三角形的性质与圆的性质有密切联系。例如，在等腰三角形中，底边上的中垂线同时也是底边所 在圆的直径；此外，在等腰三角形中引入外接圆和内切圆的概念，可以进一步探讨三角形的性质。
SAS全等判定
若两个三角形两边和夹角分别相等，则这两个三 角形全等。
3
HL全等判定（直角三角形）
在直角三角形中，若斜边和一条直角边分别相等 ，则这两个三角形全等。
2024/1/26
5
与其他特殊三角形关系
与等边三角形的关系
等边三角形是特殊的等腰三角形，三 边都相等。
与相似三角形的关系
若两个等腰三角形的顶角和底角分别 相等，则这两个三角形相似。
8
边角关系
等腰三角形中，两个等腰边所 对的两个底角相等，即等边对 等角。
2024/1/26
等腰三角形的顶角平分线、底 边上的中线、底边上的高相互 重合，即“三线合一”。
等腰三角形中，若有一个角是 60度，则这个三角形是等边三 角形。
9
面积计算公式
等腰三角形的面积可以通过以下公式计算
面积 = (底边长度 × 高) / 2。其中，底边长度是两个等腰边所夹的底边的长度， 高是从顶点到底边的垂直距离。
《等腰三角形的性质》 优秀课件
2024/1/26
1
目录
2024/1/26
• 等腰三角形基本概念 • 等腰三角形性质探究 • 等腰三角形在生活中的应用 • 等腰三角形相关定理证明 • 等腰三角形在几何变换中的地位和作用 • 典型例题解析与课堂互动环节
等腰三角形的判定课件(共21张PPT)
复习回顾
等腰三角形的性质定理
1、从边看：等腰三角形的两腰相等。 （定义）
2、从角看：等腰三角形的两底角相等。 （性质定理1）
3、从重要线段看：等腰三角形的顶角平分线、 底边上的中线和底边上的高三线合一。 （性质定理2）
如何判定一个三角形是等腰三角形？
定义：有两边相等的三角形是等腰三角形。
还有其他方法吗？
A
B
D C
例2：已知：AD交BC于点O，AB∥CD，OA=OB
求证：OC=OD
问题：
1、若已知AB∥ CD，OC=OD，能
A
否证明OA=OB？
2、若已知OA=OB，OC=OD，能否
证明AB ∥ CD？
C
B O
D
规律：
AB ∥ CD，OA=OB，OC=OD中已知任两 个可推出第三个。
例3、如图，在Rt△ABC和Rt△A’B’C’中,
已知：△ABC中，∠B=∠CBAC的平分线AD
A
在△ BAD和△ CAD中， 1 2
∠B=∠C，
∠1=∠2，
B
AD=AD
C
D
∴ △ BAD≌ △ CAD（AAS）
∴AB=AC（全等三角形的对应边相等）
思考:作底边上的高可以吗?作底边中线呢?
等腰三角形的判定定理：
如果一个三角形有两个角相等,那么这两个 角所对的边也相等(简写成“等角对等边”)
∠ABC= ∠A’B’C’=90°，
AB=A’B’,AC=A’C’，
区别:条件和结论互换。
3、已知：ED ∥ OB，EO=ED
求证：Rt△ABC≌Rt△A’B’C’ 求证：OD平分 AOB。
例1 :已知：如图，∠CAE是△ABC的外角∠1=∠2，
等腰三角形的性质定理
1、从边看：等腰三角形的两腰相等。 （定义）
2、从角看：等腰三角形的两底角相等。 （性质定理1）
3、从重要线段看：等腰三角形的顶角平分线、 底边上的中线和底边上的高三线合一。 （性质定理2）
如何判定一个三角形是等腰三角形？
定义：有两边相等的三角形是等腰三角形。
还有其他方法吗？
A
B
D C
例2：已知：AD交BC于点O，AB∥CD，OA=OB
求证：OC=OD
问题：
1、若已知AB∥ CD，OC=OD，能
A
否证明OA=OB？
2、若已知OA=OB，OC=OD，能否
证明AB ∥ CD？
C
B O
D
规律：
AB ∥ CD，OA=OB，OC=OD中已知任两 个可推出第三个。
例3、如图，在Rt△ABC和Rt△A’B’C’中,
已知：△ABC中，∠B=∠CBAC的平分线AD
A
在△ BAD和△ CAD中， 1 2
∠B=∠C，
∠1=∠2，
B
AD=AD
C
D
∴ △ BAD≌ △ CAD（AAS）
∴AB=AC（全等三角形的对应边相等）
思考:作底边上的高可以吗?作底边中线呢?
等腰三角形的判定定理：
如果一个三角形有两个角相等,那么这两个 角所对的边也相等(简写成“等角对等边”)
∠ABC= ∠A’B’C’=90°，
AB=A’B’,AC=A’C’，
区别:条件和结论互换。
3、已知：ED ∥ OB，EO=ED
求证：Rt△ABC≌Rt△A’B’C’ 求证：OD平分 AOB。
例1 :已知：如图，∠CAE是△ABC的外角∠1=∠2，
《等腰三角形的性质》轴对称精品 课件
2、等腰三角形的底边上中线，既是底边上的高，又是
顶角平分线。 应用格式：∵AB＝AC BD＝DC （已知） ∴AD⊥BC ∠1＝∠2 （等腰三角形三线合一） 3、等腰三角形的底边上的高，既是底
边上的中线，又是顶角平分线。 应用格式：∵AB＝AC AD⊥BC （已知） ∴BD＝DC ∠1＝∠2 （等腰三角形三线合一）
•
十四、因为值得，所以等待；因为深爱 ，所以 追求； 直到拥 有，必 定珍惜 ；你若 不离， 我定不 弃。
•
十五、一个人最幸福的时刻，就是找对 了人， 他宠着 你，纵 容你的 习惯， 并爱着 你的一 切。
•
十六、有一天，你总会遇到那个愿为你 弯腰的 人。你 们彼此 不谈地 位，不 谈金钱 ，只谈 在一起 和一辈 子。
从而∠ABC= ∠C= ∠BDC=2x,
于是在△ABC中， 有∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°， 解得x=36°，
x
2x
2x 2x
在△ABC中， ∠A=36°，ABC=∠C=72°
课堂练习：
如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC边上的 中点，∠B=30。求∠１和∠ADC的度数．
∵ AB=AC，D是BC边上的中点
•
不老骑士说：“走，我们骑着欧兜迈（ 摩托车 ）环台 去！ ”
•
他们便出发了，从南到北，从黑夜到白 天，环 岛十三 天。他 们当中 有2位曾 患癌症 ，4位 需要带 助听器 ，8位患 了心脏 病，每 个人都 有关节 退化的 毛病。
身体和心灵总要有一个在路上，这件事 与年龄 无关。 安静地 待在医 院里， 是一种 活法， 勇敢地 走出去 也是一 种活法 。
3、等腰三角形的一边长为3cm,另一边长
顶角平分线。 应用格式：∵AB＝AC BD＝DC （已知） ∴AD⊥BC ∠1＝∠2 （等腰三角形三线合一） 3、等腰三角形的底边上的高，既是底
边上的中线，又是顶角平分线。 应用格式：∵AB＝AC AD⊥BC （已知） ∴BD＝DC ∠1＝∠2 （等腰三角形三线合一）
•
十四、因为值得，所以等待；因为深爱 ，所以 追求； 直到拥 有，必 定珍惜 ；你若 不离， 我定不 弃。
•
十五、一个人最幸福的时刻，就是找对 了人， 他宠着 你，纵 容你的 习惯， 并爱着 你的一 切。
•
十六、有一天，你总会遇到那个愿为你 弯腰的 人。你 们彼此 不谈地 位，不 谈金钱 ，只谈 在一起 和一辈 子。
从而∠ABC= ∠C= ∠BDC=2x,
于是在△ABC中， 有∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°， 解得x=36°，
x
2x
2x 2x
在△ABC中， ∠A=36°，ABC=∠C=72°
课堂练习：
如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC边上的 中点，∠B=30。求∠１和∠ADC的度数．
∵ AB=AC，D是BC边上的中点
•
不老骑士说：“走，我们骑着欧兜迈（ 摩托车 ）环台 去！ ”
•
他们便出发了，从南到北，从黑夜到白 天，环 岛十三 天。他 们当中 有2位曾 患癌症 ，4位 需要带 助听器 ，8位患 了心脏 病，每 个人都 有关节 退化的 毛病。
身体和心灵总要有一个在路上，这件事 与年龄 无关。 安静地 待在医 院里， 是一种 活法， 勇敢地 走出去 也是一 种活法 。
3、等腰三角形的一边长为3cm,另一边长
等腰三角形的性质定理公开课获奖课件省赛课一等奖课件
做一做
目前请同学们把手中旳等腰三角形对折，使两腰 AB、AC重叠在一起，折痕为AD，你还能能找出那些线段相等？哪些角相等？
等腰三角形旳性质定理2 等腰三角形旳顶角平分线、底边上旳中线和高线相互重叠,简称等腰三角形三线合一
（1）假如AD是等腰三角形顶角旳平分线，那么AD也是 、 。
G
已知：如图，在D，E在BC上，AB=AC，AD=AE，则BD与CE相等吗？
E
A
B
C
D
H
练习5：
已知：在△ABC中，AB=AC, AD是BC边上旳中线， ∠ABC旳平分线BG交AD于点E,EF⊥AB，垂足为F.求证：EF=ED
A
E
F
G
D
C
B
练习6：
（2）假如AD是等腰三角形底边上旳中线，那么AD也是 、 。
（3）假如AD是等腰三角形底边上旳高线，那么AD也是 、 。
底边上旳高线
底边上旳中线
顶角旳平分线
底边上旳高线
底边上旳中线
顶角旳平分线
例1已知：如图，AD平分∠BAC,∠ADB=∠ADC 求证：AD⊥BC
等腰三角形旳性质
文字论述
几何语言
等腰三角形旳两底角相等(同一种三角形中，等边对等角)
∵AB=AC∴∠B=∠C
等腰三角形顶角旳平分线、底边上旳中线、高线相互重叠（简称等腰三角形三线合一）
∵AB=AC，∠1=∠2 ∴AD⊥BC，BD=CD
对称轴顶角平分线底边高线底边中线所在直线
轴对称
练习4：已知：在△ABC中，AB=AC,D为CA延长线上一点，DF⊥BC,交AB于点E，求证：∠D=∠AED
E
1、已知：在 △ ABC中AB=AC,OB=OC， AO旳延长线交BC于点D，求证：AD⊥BC.
目前请同学们把手中旳等腰三角形对折，使两腰 AB、AC重叠在一起，折痕为AD，你还能能找出那些线段相等？哪些角相等？
等腰三角形旳性质定理2 等腰三角形旳顶角平分线、底边上旳中线和高线相互重叠,简称等腰三角形三线合一
（1）假如AD是等腰三角形顶角旳平分线，那么AD也是 、 。
G
已知：如图，在D，E在BC上，AB=AC，AD=AE，则BD与CE相等吗？
E
A
B
C
D
H
练习5：
已知：在△ABC中，AB=AC, AD是BC边上旳中线， ∠ABC旳平分线BG交AD于点E,EF⊥AB，垂足为F.求证：EF=ED
A
E
F
G
D
C
B
练习6：
（2）假如AD是等腰三角形底边上旳中线，那么AD也是 、 。
（3）假如AD是等腰三角形底边上旳高线，那么AD也是 、 。
底边上旳高线
底边上旳中线
顶角旳平分线
底边上旳高线
底边上旳中线
顶角旳平分线
例1已知：如图，AD平分∠BAC,∠ADB=∠ADC 求证：AD⊥BC
等腰三角形旳性质
文字论述
几何语言
等腰三角形旳两底角相等(同一种三角形中，等边对等角)
∵AB=AC∴∠B=∠C
等腰三角形顶角旳平分线、底边上旳中线、高线相互重叠（简称等腰三角形三线合一）
∵AB=AC，∠1=∠2 ∴AD⊥BC，BD=CD
对称轴顶角平分线底边高线底边中线所在直线
轴对称
练习4：已知：在△ABC中，AB=AC,D为CA延长线上一点，DF⊥BC,交AB于点E，求证：∠D=∠AED
E
1、已知：在 △ ABC中AB=AC,OB=OC， AO旳延长线交BC于点D，求证：AD⊥BC.
《等腰三角形》PPT优秀教学课件4
B ACA B NhomakorabeaA
C
B
猜想
①∠C=∠B ③CD=BD
②∠ADC=∠ADB ④∠CAD=∠BAD
⑤ AD平分∠CAB ，AD是BC边的中线， AD⊥BC （三线合一：顶角平分线，底边上的中线，底边上 的高重合）
猜想与验证
性质1 等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）.
已知：△ABC 过点O作直线EF//BC交AB于E,交AC于F. 中，AB=AC,
作线段AB的垂直平分线MN，与AB相交于点D.
∠ A ∠C， ∠B与 如图，等腰△ABC中，AB＝AC。
∴∠B=∠C（等边对等角）
C的边相交得到顶点 ．
在△ABC中， AB=AC时，
方法2：作BC边上的中垂线，与∠C 过点O作直线EF//BC交AB于E,交AC于F.
如果一个三角形有两个角相等,那么这个三角形是等腰三角形（简写成“等角对等边”）.
2.如图，已知∠A=36°，∠DBC=36°，∠C=72°， A
则∠1=__3_6_°_，∠2=__7_2_°_，图中的等腰三角形有
_△__A_B__C__△__D__B_A___△__B_C__D______. D
12
B
C
3.如图，等腰△ABC中，AB＝AC。D是AC上异于
(在 (3)△∵AABDC是中) 角，A平A、B分=A线CC时，，的任意一点，过D作DE⊥BC于E，交BA的延
E是AB上异于A、B的任意一点，延长AC到D，使CD＝BE，连接DE交BC于F。
长线于F。求证：AF＝AD。 ∴∠1=∠B（两直线平行，同位角相等），
在△ABC中， AB=AC时， 例1 求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形．
C
B
猜想
①∠C=∠B ③CD=BD
②∠ADC=∠ADB ④∠CAD=∠BAD
⑤ AD平分∠CAB ，AD是BC边的中线， AD⊥BC （三线合一：顶角平分线，底边上的中线，底边上 的高重合）
猜想与验证
性质1 等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）.
已知：△ABC 过点O作直线EF//BC交AB于E,交AC于F. 中，AB=AC,
作线段AB的垂直平分线MN，与AB相交于点D.
∠ A ∠C， ∠B与 如图，等腰△ABC中，AB＝AC。
∴∠B=∠C（等边对等角）
C的边相交得到顶点 ．
在△ABC中， AB=AC时，
方法2：作BC边上的中垂线，与∠C 过点O作直线EF//BC交AB于E,交AC于F.
如果一个三角形有两个角相等,那么这个三角形是等腰三角形（简写成“等角对等边”）.
2.如图，已知∠A=36°，∠DBC=36°，∠C=72°， A
则∠1=__3_6_°_，∠2=__7_2_°_，图中的等腰三角形有
_△__A_B__C__△__D__B_A___△__B_C__D______. D
12
B
C
3.如图，等腰△ABC中，AB＝AC。D是AC上异于
(在 (3)△∵AABDC是中) 角，A平A、B分=A线CC时，，的任意一点，过D作DE⊥BC于E，交BA的延
E是AB上异于A、B的任意一点，延长AC到D，使CD＝BE，连接DE交BC于F。
长线于F。求证：AF＝AD。 ∴∠1=∠B（两直线平行，同位角相等），
在△ABC中， AB=AC时， 例1 求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形．
等腰三角形性质课件
在等腰三角形中，顶角与底角是互补 的。即如果顶角为α，则每个底角为 (180°-α)/2。
可以通过等腰三角形的对称性和三角 形内角和定理来推导角度关系。首先 ，由于等腰三角形具有对称性，我们 可以知道两个底角相等。然后，根据 三角形内角和定理（三角形三个内角 之和等于180°），我们可以推导出顶 角与底角之间的关系。
课后练习题布置
练习题1
已知等腰三角形的一个角为100° ，求其其他两个角的度数。
练习题2
已知等腰三角形的一边长为10cm ，且腰长是底边的2倍，求等腰三 角形的各边长。
感谢您的观看
THANKS
相似三角形法求解
识别相似三角形
01
在复杂图形
利用相似性质
02
根据相似三角形的性质，对应边成比例，从而可以推导出等腰
三角形的面积与其他相似三角形的面积关系。
求解面积
03
通过已知相似三角形的面积和比例关系，求解等腰三角形的面
积。
坐标平面内面积计算
建立坐标系
。此为等角对等边。
性质
等腰三角形的顶角平分线、底边 上的中线、底边上的高相互重合
，简称“三线合一”。
应用
在几何证明题中，可以通过证明 两个角相等来判定等腰三角形， 进而利用等腰三角形的性质进行
推导和计算。
综合运用判定
综合运用两边相等法和角度相等法进行判定。
在实际问题中，可能需要同时考虑多种因素，如边长、角度、面积等，进行综合判 断。
结构稳定性
等腰三角形的结构特点使其在建筑中具有较好的稳定性和承重能 力，如桥梁、塔吊等结构的设计。
光学应用
在建筑的光学设计中，等腰三角形可用于反射、折射等光学现象 的分析和计算。
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B D C
=40°(三角形内角和定理) 又∵AB=AC，AD⊥BC， ∴∠BAD=∠CAD（等腰三角形顶角的平分线
与底边上的高互相重合）. ∴∠BAD=∠CAD=50°
问题：等腰三角形 的底角的范围是 什么？顶角呢？
等边三角形
• 1、定义：三条边都相等的三角形 是等边三角形 • 2、性质：等边三角形的各个角都 相等，各个边都相等，并且每一个 角都等于60°，也称为正三角形
性质2 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上 的高互相重合。 （可简记为“三线合一”）
∵AB=AC , ∠ BAD=∠CAD
∴BD=CD, AD⊥BC
(三线合一)
练一练
在等腰三角形中,
55°、55° （1）已知顶角为70°，其余两个角分别为＿＿。
70°、40° （2）已知底角为70°，其余两个角分别为＿＿。
F
C
作业 ：练习1、2、3、4 同步训练56页
• 等边三角形也是轴对称图形，它
有几条对称轴（3条）
同步训练56页第2题
如图，在△ABC中 ，AB=AC，点D在AC上，且 BD=BC=AD，求△ABC各角的度数
A ⌒
x
D
1、图中有哪几个等腰三角形？ △ABC 、△ABD、 △BDC 2、有哪些相等的角？ ∠ABC=∠ACB=∠BDC 、 ∠ A=∠ABD 3、这两组相等的角之间有什么 关系？ ∠BDC=2∠ A
折一折
剪一剪
展一展
等腰三角形定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。 腰: 相等的两条边（AB和AC）叫做腰 底边： 另一条边（BC）叫做底边 顶角： 两腰所夹的角（∠A）叫做顶角 底角：腰与底边的夹角（ ∠B 和∠C）叫底角 设问1：刚才剪纸得到的△ABC是轴对称图形吗？ 它的对称轴是什么？ 折痕AD所在的直线是它的对称轴 A 腰
腰
B 底D
C
设问2：通过折叠，你能发现哪些相等的线段、相等 的角？
（1）AB=AC
→ 等腰三角形的两腰相等 （2）BD = CD → AD为底边BC上的中线 （ 3） ∠ B = ∠ C → 两个底角相等 → AD为顶角∠BAC的平分线 （4）∠BAD=∠CAD
（5）∠ADC= ∠ADB=900 → AD为底边BC上的高
猜猜等腰三角形性质：
（简写成“等边对等角”）； 性质1 等腰三角形的两个底角相等。
性质2
等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边 （简写成“三线合一”）
上的高互相重合。
等腰三角形性质： （简写成“等边对等角”）； 性质1 等腰三角形的两个底角相等。
几何语言表示:
∵AB=AC ∴∠ B=∠C (等腰三角形的两个底角相等) 等边对等角
（3）已知一个角为70°, 其余两个角分别为＿＿
（4）已知一个角为100°，其余两个角分别为＿
(5)已知等腰三角形的两边长分别是4和6，则它的周长 是（ ） A、14 B、15 C、16 D、14或16
练习： 已知：如图，房屋的顶角∠BAC=100 º , 过屋顶A的立柱AD BC , 屋椽AB=AC. 求顶架上∠B、∠C、∠BAD、 ∠CAD的度数. A 解：在△ABC中 ∵AB=AC， ∴∠B=∠C（等边对等角） ∴∠B=∠C= 1/2 (180°－∠A)
C
2x
2x B
∠ABC+∠ACB+∠ A=180 °
已知:如图，AB=BC=CD=ED=EF.
∠A=15°，试求∠ FEM的度数？
B
Aபைடு நூலகம்
F D
N
C
E
M
已知:点D、E在△ABC中, AB=AC,AD=AE. 求证：BD=CE。 A
B
D
F
E
C
探一探
如图在等腰三角形ABC中，AB =AC.点D 为BC的中点． (1)猜想一下：点D到两腰的距离DE与DF相 A 等吗？ （2）如果DE、DF分别是AB、AC上的中 线或∠ADB、 ∠ ADC的平分线，它们还 相等吗？ E （3）如果将点D沿DA由D向A运动到D′， 那么点D′到两腰的距离还相等吗？试说 B D 明理由．
=40°(三角形内角和定理) 又∵AB=AC，AD⊥BC， ∴∠BAD=∠CAD（等腰三角形顶角的平分线
与底边上的高互相重合）. ∴∠BAD=∠CAD=50°
问题：等腰三角形 的底角的范围是 什么？顶角呢？
等边三角形
• 1、定义：三条边都相等的三角形 是等边三角形 • 2、性质：等边三角形的各个角都 相等，各个边都相等，并且每一个 角都等于60°，也称为正三角形
性质2 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上 的高互相重合。 （可简记为“三线合一”）
∵AB=AC , ∠ BAD=∠CAD
∴BD=CD, AD⊥BC
(三线合一)
练一练
在等腰三角形中,
55°、55° （1）已知顶角为70°，其余两个角分别为＿＿。
70°、40° （2）已知底角为70°，其余两个角分别为＿＿。
F
C
作业 ：练习1、2、3、4 同步训练56页
• 等边三角形也是轴对称图形，它
有几条对称轴（3条）
同步训练56页第2题
如图，在△ABC中 ，AB=AC，点D在AC上，且 BD=BC=AD，求△ABC各角的度数
A ⌒
x
D
1、图中有哪几个等腰三角形？ △ABC 、△ABD、 △BDC 2、有哪些相等的角？ ∠ABC=∠ACB=∠BDC 、 ∠ A=∠ABD 3、这两组相等的角之间有什么 关系？ ∠BDC=2∠ A
折一折
剪一剪
展一展
等腰三角形定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。 腰: 相等的两条边（AB和AC）叫做腰 底边： 另一条边（BC）叫做底边 顶角： 两腰所夹的角（∠A）叫做顶角 底角：腰与底边的夹角（ ∠B 和∠C）叫底角 设问1：刚才剪纸得到的△ABC是轴对称图形吗？ 它的对称轴是什么？ 折痕AD所在的直线是它的对称轴 A 腰
腰
B 底D
C
设问2：通过折叠，你能发现哪些相等的线段、相等 的角？
（1）AB=AC
→ 等腰三角形的两腰相等 （2）BD = CD → AD为底边BC上的中线 （ 3） ∠ B = ∠ C → 两个底角相等 → AD为顶角∠BAC的平分线 （4）∠BAD=∠CAD
（5）∠ADC= ∠ADB=900 → AD为底边BC上的高
猜猜等腰三角形性质：
（简写成“等边对等角”）； 性质1 等腰三角形的两个底角相等。
性质2
等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边 （简写成“三线合一”）
上的高互相重合。
等腰三角形性质： （简写成“等边对等角”）； 性质1 等腰三角形的两个底角相等。
几何语言表示:
∵AB=AC ∴∠ B=∠C (等腰三角形的两个底角相等) 等边对等角
（3）已知一个角为70°, 其余两个角分别为＿＿
（4）已知一个角为100°，其余两个角分别为＿
(5)已知等腰三角形的两边长分别是4和6，则它的周长 是（ ） A、14 B、15 C、16 D、14或16
练习： 已知：如图，房屋的顶角∠BAC=100 º , 过屋顶A的立柱AD BC , 屋椽AB=AC. 求顶架上∠B、∠C、∠BAD、 ∠CAD的度数. A 解：在△ABC中 ∵AB=AC， ∴∠B=∠C（等边对等角） ∴∠B=∠C= 1/2 (180°－∠A)
C
2x
2x B
∠ABC+∠ACB+∠ A=180 °
已知:如图，AB=BC=CD=ED=EF.
∠A=15°，试求∠ FEM的度数？
B
Aபைடு நூலகம்
F D
N
C
E
M
已知:点D、E在△ABC中, AB=AC,AD=AE. 求证：BD=CE。 A
B
D
F
E
C
探一探
如图在等腰三角形ABC中，AB =AC.点D 为BC的中点． (1)猜想一下：点D到两腰的距离DE与DF相 A 等吗？ （2）如果DE、DF分别是AB、AC上的中 线或∠ADB、 ∠ ADC的平分线，它们还 相等吗？ E （3）如果将点D沿DA由D向A运动到D′， 那么点D′到两腰的距离还相等吗？试说 B D 明理由．