数学建模全国赛A题嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略

A题嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略摘要人类掌握航天技术之后，探测地外天体的首选目标就是月球。

我国嫦娥三号于2013年12月6日成功登陆月球，嫦娥三号是我国首次地外天体软着陆任务，由于外太空的各种因素对探测器的影响很难进行人工干扰，为了保证登月探测器在月球表面平稳降落和应对外太空的影响，本文对探测器的软着陆过程的进行了深入的研究和设计。

针对问题一，本文采用逆向推理和微元分析的思想方法，从着陆点进行倒推，将每段进行微分，分析受力和运动状态，在达到6个阶段状态要求的前提下，求解出探测器θ，最终确定近月点与的水平位移为514.8km，通过坐标变换公式得出偏转角=17.0437远月点位置为：近月点：位置——（19.51W,27.08N）正上方15km处，速度为1.68km/m，方向为探测器俯仰姿态角83.17o远月点：位置——（19.51E, 152.92S）正上方100km处，速度为1.60/km m，方向为远月点弧的切线方向。

针对问题二，在轨道设计中，本文主要考虑粗避障与精避障阶段，为了避开月球表面的大型坑洞和障碍物，本文将附录中的两幅图像都分化为100⨯100的小区域分别模拟着陆，最终利用优选法绘制出了安全区域和软着陆轨道的图像。

着陆轨道的优化是一非线性、终端时间自由且带有控制约束的最优控制问题。

本文利用着陆器质心动力学方程，对其进行归一化处理，采取直接求解法，将问题转化为目标函数为燃料最省的的优化问题，运用模拟退火算法求解，得出最小燃料消耗为468.25kg。

关键词嫦娥三号软着陆轨道优化模拟退火算法一.问题重述嫦娥三号于1时30分成功发射，抵达。

嫦娥三号在着陆准备轨道上的运行质量为2.4t，其安装在下部的主减速发动机能够产生1500N到7500N的可调节推力，其比冲（即单位质量的推进剂产生的推力）为2940m/s，可以满足调整速度的控制要求。

在四周安装有姿态调整发动机，在给定主减速发动机的推力方向后，能够自动通过多个发动机的脉冲组合实现各种姿态的调整控制。

嫦娥三号的预定着陆点为19.51W，44.12N，海拔为-2641m。

嫦娥三号在高速飞行的情况下，要保证准确地在月球预定区域内实现软着陆，关键问题是着陆轨道与控制策略的设计。

其着陆轨道设计的基本要求：着陆准备轨道为近月点15km，远月点100km的椭圆形轨道；着陆轨道为从近月点至着陆点，其软着陆过程共分为6个阶段，要求满足每个阶段在关键点所处的状态；尽量减少软着陆过程的燃料消耗。

根据上述的基本要求，请你们建立数学模型解决下面的问题：1.确定着陆准备轨道近月点和远月点的位置，以及嫦娥三号相应速度的大小与方向。

2.确定嫦娥三号的着陆轨道和在6个阶段的最优控制策略。

3.对于你们设计的着陆轨道和控制策略做相应的误差分析和敏感性分析。

二.问题分析嫦娥三号是我国首次地外天体软着陆任务，在世界上首次成功实现了利用机械视觉的地外天体软着陆自主避障技术。

为了保证登月探测器在月球表面平稳地降落并且有效应对外太空环境下各种因素造成的干扰，需要对着陆轨道的控制方案进行深入研究和认真的设计。

针对上述问题，我们进行分析：➢对于着陆准备轨道的近月点和远月点位置的确定，首先我们根据着陆点及着陆轨道6个阶段的要求分析，由于在软着陆过程中的各个阶段的加速度不同，我们采用逆向思想，从探测器的着落点进行倒推，再结合运动学和微积分方法来对每段进行分析，从而可以得到每段的相关参数，确定探测器从近月点到着陆点的水平位移，进而得到近月点和远月点的位置；我们根据万有引力定律和探测器的运动，可知近月点和远月点的速度大少及方向。

➢对于嫦娥三号的着陆轨道的设计，我们通过探测器的质心动力学方程和基于遗传模拟退火，将是非线性月球软着陆轨道控制问题转换为以易于处理的优化问题，进行。

对于6个阶段的最优控制策略，通过分析我们主要从降落避障和燃料消耗最两方面进行优化软着陆轨道，在主减速和快速调整阶段，因推力和探测器的姿态是可变的，故采用模拟退火方法，进行优化；在粗避障和精避障阶段，主要面临是快速确定降落点并达到避障目的，我们采用matlab工具，根据查询探测器下降对月面的要求对拍摄区域进行螺旋式搜索，既达到避障，也节省时间（即减少燃料消耗）。

本文流程图如图1所示：图1 本文流程图三.模型假设1)假设月球为不旋圆球，引力场均匀；2)假设在软着陆过程中，不考虑地球，太阳对探测器的引力作用；3)由于月球的形状变率太小，忽略对软着陆轨道设计的影响；四.模型建立与求解4.1. 模型一：着陆准备轨道的设计与求解4.1.1 模型准备软着陆：是指月球着陆器经地月转移到达月球附近后, 在制动系统的作用下以很小的速度近乎垂直地降落到月面上, 以保证宇航员的安全和试验设备的完好。

主减速：该段中，着陆器距离月面相对较高，且着陆器走过的月面距离比较长，由主减速发动机产生1500N到7500N的可调节推力，主要任务是减速制动。

快速调整：利用16台小型姿态调整发动机进行快速调整探测器姿态，主要任务是快速衔接主减速和后续的接近段，快速姿态机动到接近段入口姿态，发动机推力同步减到低推力水平。

粗避障：为了在较大着陆范围内剔除明显危及着陆安全的大尺度障碍，为精避障提供较好的安全点选择区域，避免近距离精避障无可避的风险。

考虑到探测器运动速度较大，要求成像快，计算快。

其飞行轨迹要保证成像敏感器能够持续观测预定着陆区，以及接近段飞行轨迹为满足特定姿态和下降轨迹要求接近的目标着陆点轨迹。

精避障：为了在粗避障选取比较安全区域内进行精确的障碍检测，识别剔除危及安全的小尺度障碍，确保了落点安全。

缓速下降：为了保证着陆月面的速度和姿态控制精确度，缓慢下降段要以较小的设定的速度匀速垂直下降，消除水平速度和加速度，保持着陆器水平位置。

自由落体：关闭发动机和推力器，着陆器自由下降到月面。

4.1.2 模型的建立对月球软着陆主减速段、快速调整段、粗避障段、精避障段、缓速下降段和自由落体段的飞行动力学模型进行了研究, 同时基于动力学模型对各阶段制导进行了计算；在接近段（主减速和快速调整），考虑到探测器的速度大，7500N主发动机羽流带来的不可见区域为半锥角约25的锥体，而成像敏感器视场为30，为了避免主发动机羽流对成像敏感器的影响，且使成像敏感器的视线距离尽可能短，取成像敏感器视线偏置40角。

为了保证在接近段成像敏感器视场能够观测到着陆区，确定采用下降轨迹接近于水平夹角45[1]的直线下降方式逐步接近着陆区。

我们首先对探测器处于主减速段情况进行受力分析如图2；图2 主减速阶段的受力分析接着结合运动学进行分析，将其近视为抛体运动；水平方向： 2201=F cos()F cos()=(1)()(sin())2t f a m a s λλννλ⨯⎧⎪⨯⎪⎨⎪-⨯=⨯⨯⎪⎩水平水平水平垂直方向： 2=sin()sin()=(2)()sin()t f mg F mg F a m mgh F h λλνλ-⨯⎧⎪-⨯⎪⎨⎪=-⨯⨯⎪⎩垂直垂直式中：f 水平为水平方向的力；F 为主减速发动机提供的推力；m 为探测器的质量，0ν水平速度；t ν垂直速度。

图3 主减速阶段速度与时间关系图从而可得出水平位移51 5.112410s m =⨯。

在快速调整过程中，通过图3的受力分析，相对于主减速阶段增加了对探测器的姿势调整，则该阶段的加速度在不断变化，通过受力分析如图3所示；图4 快速调整阶段的受力分析该过程中，λ将从045逐步变化到090，所以运用微积分思想，把λ的变化范围进行n 等份，每等份记为λ∆。

即第1次细分时夹角变为λλ∆+，第2次细分时夹角变为λλ∆⨯+2……那第i 次细分时夹角变为λλ∆⨯+i ……直到第n 次变为090。

当λ∆足够小时，那么被细分出来的线段就相当于是一条倾斜的线段，探测器在在这段线段中受力不变。

再对第i 段线段中的运动进行分析：2cos(i )[sin(i )]2(3)i f s m λλνλλ⨯+⨯∆⨯+⨯∆=⨯⨯22sin(i ){sin[(i 1)]}[sin(i )]2(4)i mg f h m λλνλλνλλ-⨯+⨯∆⨯+-⨯∆-⨯+⨯∆=⨯⨯ tan(i )(5)i i h s λλ+⨯∆=0(6)n i ii s s ==∑从而得到水平位移23564s m =在避障段，为了保证最后的避障落点精度和节省推进剂，着陆器精确避障和下降同时进行。

嫦娥三号在距离月面2.4km 处对正下方月面223002300m ⨯ 的范围进行拍照，在降落可以用螺旋式搜索进行障碍的筛选，从上述已求得的水平距离为909.9053km,而在水平偏移少于2300m ，对结果影响小，故忽略。

在精避障段对正下方月面2100100m ⨯ 的范围进行拍照，与精避障方法相同，因而将其简化成垂直向下运动。

对其受力分析如图4；图5 避障阶段的受力分析综合对各个阶段的分析，我们得到最终的水平位移为3514.80410m ⨯我们建立月心系坐标，对探测器的软着陆轨道进行进一步分析，从上述中已知探测器从近月点到着陆点的水平距离，来确定探测器在软着陆过程的偏角值，从而确定近月点的位置。

图6 探测器下降轨道分段示意图 通过上图分析，我们采用三角形的余弦定律；22=arccos(1)(7)2s r θ-可求得=17.0437θ通过资料得知，嫦娥三号在变月轨道是月球的卫星，而卫星分为赤道卫星和极地卫星。

从嫦娥三号的软着陆点来看，其轨道为极地卫星，从而可知近月点的位置为（19.51W,27.08N ）正上方15km 处，则远月点的位置为（19.51E, 152.92S ）正上方100km 处。

我们利用牛顿的万有引力定律分别对近月点和远月点的速度大小进行求解； 近月点：212G (8)(R h)+hmV Mm R =+得1V =1.68km /s ; 根据对近月点出受力分析，可知速度方向为探测器俯仰姿态角83.17o远月点：我们通过角动量守恒定律进行求解；根据质点系的角动量守恒定律：当质点系所受到的外力对某参考点的力矩的矢量和为零时，则质点系对该参考点的总角动量不随时间变化。

12m (15R)m (100R)(9)V V ⨯⨯+=⨯⨯+得2=1.60km/s V ; 方向远月点弧的切线方向。

4.2. 模型二：软着陆轨道的设计及6个阶段的最优控制策略4.2.1 软着陆轨道的设计建立模型时考虑月球表面没有大气层，且软着陆过程的时间较短，在几百米范围内，可以不考虑月球引力摄动，且月球自转速度比较小，也可以忽略。

我们可以利用二体模型描述系统的运动。

图7 月球软着陆极坐标系如图6所建立的月心极坐标系，在假设着陆轨道在纵向平面内，月心o 为坐标原点，oy 指向动力下降段的开始制动点，ox 指向探测器的开始运动方向。